Tarea 2Teorıa de Numeros II

Universidad Nacional Autonoma de MexicoFacultad de Ciencias

1) Calcular los coeficientes de Bezout de:

a) 1223x+197y=7

ya que (1223, 197) = 1 procedemos a calcular sufraccion continua

1223

197= 6 +

41

197= 6 +

1

197

41

= 6 +1

4 +33

41

= 6 +1

4 +1

41

33

= 6 +1

4 +1

1 +8

33

= 6 +1

4 +1

1 +1

33

8

= 6 +1

4 +1

1 +1

4 +1

8

∴1223

197= [6; 4, 1, 4, 8] (1)

tomando la ecuacion homogenea

1223x + 197y = 0 (2)

entones las soluciones homogeneas son

x0 = 197, y0 = −1223 (3)

por otro lado sabemos que

c5 =1223

197=

p5

q5

ademas

pnqn−1 − qnpn−1 = (−1)n (4)

entonces

p5q4 − q5p4 = (−1)5

1223q4 − 197p4 = −1

1223(−q4) + 197p4 = 1

1223(−7q4) + 197(7p4) = 7 (5)

calculando los convergentes

c1 =p1

q1=

a1

1=

6

1

c2 =p2

q2=

a2a1 + 1

a2=

25

4

c3 =p3

q3=

a3p2 + p1

a3q2 + q1=

31

5

c4 =p4

q4=

a4p3 + p2

a4q3 + q2=

149

24

c5 =p5

q5=

a5p4 + p3

a5q4 + q3=

1233

197

(6)

entonces los coeficientes de Bezout son

x = −7q4 + x0t, t ∈ Zy = 7p4 + y0t, t ∈ Z

∴x = −168 + 197t, t ∈ Zy = 1043− 1223t, t ∈ Z 2 (7)

2) Determinar los numeros irracionales repre-sentados por cada fraccion continua simpleinfinita:

a) [0; 1, 2]

Sea

x = [0; 1, 2]

= 0 +1

1 +1

2 +1

1 +1

2 +1

. . .

entonces

x =1

1 +1

2 + x

=1

x + 3

x + 2

=x + 2

x + 3

x(x + 3) = x + 2

x2 + 3x = x + 2

x2 + 2x− 2 = 0

eso implica que

U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias

x =− (2) +

√(2)2 − 4(1)(−2)

2(1)

=− 2 +

√12

2

=− 2 + 2

√3

2

∴ x = −1 +√

3 2 (8)

b) [0; 1, 2, 1]

Sea

x = [0; 1, 2, 1]

= 0 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

. . .

entonces

x =1

1 +1

2 +1

1 + x

=1

1 +1

2x + 3

1 + x

=1

1 +x + 1

2x + 3

=1

3x + 4

2x + 3

=2x + 3

3x + 4

x(3x + 4) = 2x + 3

3x2 + 4x = 2x + 3

3x2 + 2x− 3 = 0

eso implica que

x =− (2) +

√(2)2 − 4(3)(−3)

2(3)

=− 2 +

√40

6

=− 2 + 2

√10

6

∴ x =− 1 +

√10

32 (9)

c) [1; 1, 2]

Sea

x = [1; 1, 2]

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

2 +1

. . .

entonces

x− 1 =1

1 +1

2 +1

1 +1

2 +1

. . .

eso implica que

x = 1 +1

1 +1

2 + (x− 1)

= 1 +1

1 +1

x + 1

= 1 +1

x + 2

x + 1

= 1 +x + 1

x + 2

=2x + 3

x + 2(10)

x(x + 2) = 2x + 3

x2 + 2x = 2x + 3

x2 = 3

eso implica que

∴ x =√

3 2 (11)

3) Calcular los primeros cinco convergentes delas fracciones continuas simples que represen-tan a cada numero:

a)3 +√

5

2

entonces

3 +√

5

2=

3 + (1− 1) +√

5

2= 2 +

√5− 1

2

= 2 +1

2√

5− 1

= 2 +1

2√

5− 1

(√5 + 1√

5 + 1

)2

U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias

= 2 +1

2(√

5 + 1)

4

= 2 +1

√5 + 1

2

= 2 +1

(1− 1) +√

5 + 1

2

= 2 +1

2 +√

5− 1

2

= 2 +1

1 +

√5− 1

2

= 2 +1

1 +(3− 3) +

√5− 1

2

= 2 +1

1 +3 +√

5− 4

2

= 2 +1

1 +

(3 +√

5

2− 2

)

por otro lado

3 +√

5

2− 2 =

1

1 +

(3 +√

5

2− 2

)

eso significa que

3 +√

5

2= 2 +

1

1 +

(3 +√

5

2− 2

)

= 2 +1

1 +1

1 +

(3 +√

5

2− 2

)

= 2 +1

1 +1

1 +1

1 +

(3 +√

5

2− 2

)

= 2 +1

1 +1

1 +1

1 +1

. . .

∴3 +√

5

2= [2; 1] (12)

calculando los primeros cinco convergentes

c1 =p1

q1=

a1

1=

2

1

c2 =p2

q2=

a2a1 + 1

a2=

3

1

c3 =p3

q3=

a3p2 + p1

a3q2 + q1=

5

2

c4 =p4

q4=

a4p3 + p2

a4q3 + q2=

8

3

c5 =p5

q5=

a5p4 + p3

a5q4 + q3=

13

5

(13)

6) Mediante fracciones continuas, resolver las si-guientes ecuaciones:

a) x2 − 32x− 7 = 0

Se calcula la fraccion continua de la raız deldiscriminante

√D =

√b2 − 4ac (14)

=√

(−32)2 − 4(1)(−7)

=√

1024 + 28

√D =

√1052

como

32 <√

1052 < 33

entonces

√1052 = 32 + (

√1052− 32)

= 32 +1

1√

1052− 32

= 32 +1

1√

1052− 32

(√1052 + 32√

1052 + 32

)

= 32 +1

√1052 + 32

28

= 32 +1

(24− 24) +√

1052 + 32

28

= 32 +1

2 +

√1052− 24

28

= 32 +1

2 +1

28√

1052− 24

= 32 +1

2 +1

28√

1052− 24

(√1052 + 24√

1052 + 24

)

= 32 +1

2 +1

28(√

1052 + 24)

476

= 32 +1

2 +1

√1052 + 24

173

U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias

= 32 +1

2 +1

(27− 27) +√

1052 + 24

17

= 32 +1

2 +1

3 +

√1052− 27

17

= 32 +1

2 +1

3 +1

17√

1052− 27

= 32 +1

2 +1

3 +1

17√

1052− 27

(√1052 + 27√

1052 + 27

)

= 32 +1

2 +1

3 +1

17(√

1052 + 27)

323

= 32 +1

2 +1

3 +1

√1052 + 27

19

= 32 +1

2 +1

3 +1

(30− 30) +√

1052 + 27

19

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +

√1052− 30

19

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

19√

1052− 30

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

19√

1052− 30

(√1052 + 30√

1052 + 30

)

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

19(√

1052 + 30)

152

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

√1052 + 30

8

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

(26− 26) +√

1052 + 30

8

= 32 +1

2 +1

3 +1

3 +1

7 +

√1052− 26

8

sea

y =

√1052− 26

8(15)

∴√

1052 = [32; 2, 3, 3, 7, y] (16)

calculando los primeros cinco convergentes

c1 =p1

q1=

a1

1=

32

1= 32

c2 =p2

q2=

a2a1 + 1

a2=

65

2= 32.5

c3 =p3

q3=

a3p2 + p1

a3q2 + q1=

227

7' 32.4285

c4 =p4

q4=

a4p3 + p2

a4q3 + q2=

746

23' 32.4347

c5 =p5

q5=

a5p4 + p3

a5q4 + q3=

5449

168' 32.4345

(17)

como

√1052 ' 32.4345 (18)

entonces la soluciones del sistema

x2 − 32x− 7 = 0

se pueden aproximar por4

U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias

x± =− b±

√D

2a

x± '32± c5

2

x± '32±

5449

1682

x± '

5376± 5449

1682

∴ x± '5376± 5449

3362 (19)

7) Resuelve las siguientes ecuaciones de Pell:

a) x2 − 37y2 = 1

Calculando la fraccion continua de√

37 , como

6 <√

37 < 7 (20)

entonces

√37 = 6 + (

√37− 6)

= 6 +1

1√

37− 6

= 6 +1

1√

37− 6

(√37 + 6√

37 + 6

)

= 6 +1

√37 + 6

1

= 6 +1

(6− 6) +√

37 + 6

= 6 +1

12 + (√

37− 6)

como

√37− 6 =

1

12 + (√

37− 6)

entonces

√37 = 6 +

1

12 +1

12 + (√

37− 6)

= 6 +1

12 +1

12 +1

12 + (√

37− 6)

= 6 +1

12 +1

12 +1

12 +1

. . .

∴√

37 = [6; 12] (21)

como los numeros de elementos que conforman elperiodo son k = 1, que es impar

√37 = [6; 12︸︷︷︸

k=1

]

las soluciones estan dadas por

x = p2ik, y = q2ik, i ∈ Z+

para comprobar la primera solucion (i = 1) senecesita el segundo convergente

c2 =p2

q2=

a2a1 + 1

a2=

73

12

entonces

x = 73, y = 12x2 = 5329, y2 = 144

x2 − 37y2 = 5329− 37(144) = 1

eso quiere decir que la soluciones son de la forma

∴ x = p2i, y = q2i, i ∈ Z+ 2 (22)

5