Teora de singularidad y Anlisis no lineal de bifurcacin .IntroduccinLa teora de la singularidad es una herramienta matemtica para el estudio de la soluc de in bifurcaciones. Este proceso consiste en reducir una funcin singular en una forma simple y normal. Las propiedades de las mltiples soluciones de una ecuacin de bifurcacin se pueden determinar a partir de un nmero infinito de derivadas de una funcin singular. El propsito de este captulo es dar una breve exposicin de la teora de la singularidad para investigadores en elasticidad. Tambin puede servir como una referencia practica de las tcnicas y formulas utilizables en el anlisis de bifurcacin. Para ilustrar algunos tpicos relacionados con la teora de singularidad se empieza con un problema clsico de la bifurcacin no lineal en elasticidad (el problema de la elstica). Considere la deformacin de una barra esbelta elstica sometida a un par de fuerzas compresivas aplicadas en sus extremos Por la teora de la viga de Bernoulli-Euler, el momento flexionarte es proporcional a su curvatura.

Y sus condiciones de frontera con:

La solucin para este problema se puede representar usando integrales elpticas. En un anlisis elemental se considera esta expresin linealizada. Esta solucin nos proporciona cierta informacin importante acerca de la solucin del problema no lineal. Existen ciertos cuestionamientos que no pueden ser resueltos por los anlisis linealizados. Algunos de estas cuestiones se discuten continuacin. i. Es bien sabido la existencia de la solucin no trivial de la ecuacin no linealizada es una condicin necesaria de bifurcacin. De cualquier forma, no es suficiente para esa condicin. Cuando una rama solucin de bifurcacin existe, poco puede ser dicho sobre su comportamiento cualitativo en base a la solucin de la ecuacin linealizada (Desaparece o continua segn el parmetro incremente o disminuya?, por ejemplo). Una ecuacin matemtica a menudo representa una idealizacin de un sistema fsico real, que puede tener imperfecciones que no son cuantificadas por dicha ecuacin. Como resultado, el comportamiento real del sistema podra ser diferente, y algunas veces drstico en comparacin con el predicho. En la realidad, existe una infinidad de formas en las cuales las imperfecciones podran estar presentes en cualquier sistema.

ii.

iii.

La teora de la singularidad est encaminada a cuantificar sistemticamente los efectos anteriormente descritos. Esta provee las herramientas necesarias para estudiar problemas por

1

bifurcacin, por ejemplo, usando la reduccin de Liapunov(1) Schimdt(2), se puede probar que la ecuacin (1) que se defini en un espacio dimensionalmente infinito, es equivalente a una ecuacin de una sola variable y estable. Otro tpico concerniente a la teora de bifurcacin son los sistemas simtricos. La teora de singularidad tambin trata las ramas de solucin de estabilidad por bifurcacin. Bajo dicho criterio, la reduccin algebraica de la ecuacin es tratada como la que rige en los estados de equilibrio del sistema dinmico y la estabilidad de las soluciones se determina examinando el comportamiento del sistema bajo pequeas perturbaciones dinmicas.

Ecuacin de bifurcacin y reduccin de Liapunov -Schimdt.En esta seccin se formulan los problemas por bifurcacin y se discute la condicin necesaria para la solucin por bifurcacin por ramas examinando la ecuacin linealizada. Sean espacios de Banach, Considera la transformacin suave a) Ecuacin de bifurcacin. Ecuacin linealizada. un subespacio de , y un subespacio abierto de . Asumimos que la ecuacin .

Define el estado de un sistema fsico con n parmetros. Por ejemplo puede ser el equilibrio elstico de un cuerpo. En esta conexin, puede ser una funcin que describe la deformacin de un cuerpo, un operador diferencial, y un conjunto de parmetros que especifican por ejemplo, las cargas, la geometra y las propiedades del material del cuerpo. La variable es llamada la variable de estado, y el parmetro de bifurcacin. Como ejemplo podemos reformular el problema de la elstica.

Y sea

dado por.

En este ejemplo, el modulo elstico E y el momento de inercia I se toman como constantes. Alternativamente, pueden ser tomados como parmetros de bifurcacin adicionales, aunque aqu sus efectos son esencialmente inseparables de . Suponga que satisface la ecuacin (5); si el nmero de soluciones en una vecindad pequea y arbitraria de que es llamado el punto de bifurcacin. se asume que sea suave en el sentido que tenga las derivadas de Frchet de cualquier orden, este operador es no invertible si, y solo si, en la vecindad de las condiciones de frontera y tiene una solucin no trivial. Esto ocurre si y solo si. El mapeo de

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918), fue un matemtico y fsico ruso, que es conocido principalmente por su desarrollo en la teora de estabilidad de sistemas dinmicos as como tambin por sus contribuciones a la fsica matemtica y la teora de la probabilidad(2)

(1)

Earhard Schmidt (1876-1959), matemtico alemn cuyo trabajo influyo significativamente en la direccin del estudio de las matemticas del siglo XX

2

b) Reduccin de Liapunov-Schimdt. Para muchos problemas de bifurcacin en elasticidad, el espacio del estado variable es dimensionalmente alto inclusive infinito, como en el caso de la ecuacin (4). Esta es una de las fuentes de dificultad en resolver problemas de bifurcacin. Existe sin embargo, un procedimiento estndar, llamado reduccin de Liapunov-Schimdt, que puede ser muy efectivo y que reduce el problema de dimensionalmente infinito en uno de bajas dimensiones. La idea bsica es descomponer la ecuacin (3) en dos ecuaciones equivalentes. Una tiene dimensiones finitas o dimensiones bajas si (3) es dimensionalmente finito. La otra ecuacin puede ser resuelta usando del teorema de funcin im plcita. Al sustituir la solucin de la segunda ecuacin en la primera resulta en una reduccin de la ecuacin que es equivalente a ( 3). La reduccin de Liapunov-Schmidt se puede aplicar cuando la derivada de Frechet de la funcin en el punto de bifurcacin es un operador de Fredholm. Consideremos ahora la ecuacin entonces: . Suponga que es una solucin de ,

Como ejemplo, se examina la ecuacin (a) con el espacio dado por (4), y dado por (c). La derivada de Frchet de con respecto a en est dada por: . (8)

Resolviendo los valores de en los puntos de las condiciones iniciales.

Se encuentra que (la dimensin del kernel o ncleo de L): Consideraremos ahora el caso en que Empleando el producto interno estndar.

. El subespacio del kernel L esta dado por

3

El complemento ortogonal de de rango en satisface. Adems, un elemento en el complemento ortogonal de rango

en satisface.

De aqu que,

debe satisfacer

Este resultado concuerda con el hecho de que el operador lineal . Para este ejemplo en particular tenemos que:

Aun ms el, la proyeccin ortogonal de

en el intervalo de

esta dado por.

Los subespacios

y

son unidimensional y expandida por la funcin y as sucesivamente. Entonces las

Entonces podemos usar derivadas quedan.

en lugar de

De lo anterior queda que:

Sabemos que

. Y definiendo

. Esta

Se observa que el operador lineal es la restriccin de operacin es invertible. Por el teorema de la funcin implcita se puede resolver

4

localmente para . Esto es, existe un funcin en el kernel de , tal que

suave definida en la vecindad de

de

Definiendo la transformacin

Por la construccin de W, la ecuacin

En trminos generales, el hecho de que la ecuacin (3) admita mltiples soluciones cerca del punto de bifurcacin significa que es imposible expresar todos los componentes de la variable de estado nicamente en trminos del parmetro de bifurcacin.

Esta ecuacin es la llamada ecuacin reducida de bifurcacin. Es de notar que la variable de estado de la ecuacin reducida esta en el espacio dimensionalmente finito

c) El problema del reconocimiento.El problema de reconocimiento para una ecuacin algebraica dada es encontrar un polinomio, tan simple como sea posible, en el cul la solucin es de correspondencia biunvoca con aquella dada en la vecindad del punto de bifurcacin. Este polinomio, llamado forma normal de la funcin dada, puede ser determinado solamente por los valores de un nmero finito de derivadas de la funcin dada en el punto de bifurcacin.

Equivalencia y forma normal.El objetivo primordial es encontrar una ecuacin, tan simple como sea posible, cuya solucin tenga el mismo comportamiento cualitativo como el de la ecuacin reducida de bifurcacin y cuyo diagrama de bifurcacin pueda ser fcilmente obtenido por clculos elementales. Sea el ejemplo en donde se examina la funcin previamente definida que satisface la condicin (7). Se mostrara en la siguiente seccin que existen funciones )y , que satisfacen la ecuacin

Tal que:

En una vecindad de

. Donde la funcin

La solucin de y por tanto la solucin del problema de la elstica, est definido en una correspondencia biunvoca con su solucin.

es equivalente a:

5

El diagrama de bifurcacin siguiente corresponde a la bifurcacin de tenedor (pithcfork)

Y entonces

.

La funcin se llamada forma normal Gran parte de la teora de la singularidad est dedicada a la determinacin de la forma normal ms simple para una funcin dada, para l cul un numero dado de derivadas est definida para un punto de bifurcacin.

El problema del reconocimiento de la bifurcacin de tenedor (pitchfork)El desarrollo de la teora de la singularidad se basa fuertemente en la teora del algebra. Algunos de los conceptos bsicos sern mejor expuestos con teora de grupos y anillos. Particularmente se expondr que una funcin como , es fuertemente equivalente a si y solo si:

Las ecuaciones anteriores se llaman definicin de condiciones para la forma normal mientras que las desigualdades son condiciones no degenerativas. Ahora nos enfocamos a la suficiencia. Sea una funcin suave condiciones de frontera (26). Satisfechas las condiciones anteriores y el Teorema de Taylor,

,

que satisface las puede ser escrita como:

6

Donde

y

son constantes, y

Las series de expansin de Taylor de una funcin suave consiste en una coleccin de monomios, que pueden ser divididas en tres clases: de orden bajo, intermedio y superior. Discutiremos ahora la secuencia del tratamiento de estos trminos para resolver el problema del reconocimiento. Los trminos de bajo orden son aquellos monomios definicin de condiciones. tales que en la

son funciones suaves con

Los trminos de orden superior son todos los monomios que pueden ser trasformados mediante transformaciones de equivalencia fuerte. En el caso de (26), estas son Estos trminos pueden ser determinados usando los teoremas definidos previamente y examinando los espacios tangentes de una forma normal y sus perturbaciones, como se hizo para el trmino . Los monomios que no son, ni de orden superior, ni inferior, son de orden intermedio. Estos trminos sobreviven en la forma normal. Despus de reducir la funcin dada en trminos de rdenes intermedios y finitos, tan slo basta con transformar sus coeficientes, que son funciones suaves, en constantes usualmente 1 o -1, para llegar a la expresin final de la forma normal. Esto usualmente puede ser realizado mediante clculos elementales.

Soluciones de algunos problemas de reconocimiento.Nomenclatura Punto limite Bifurcacin simple Forma normal Condiciones de definicin Condiciones no(3) degnerativas

Histresis Cspide asimtrica

Pitchfork (tenedor) Pliegue cuadrtico

Cspide alada(3)

La funcin signo es una funcin matemtica especial, una funcin definida en trozos, que obtiene el signo de cualquier nmero real que se tome por entrada. Se representa mediante sgn(x).

7

,

Despliegue universalLa teora del despliegue universal trata sobre la bifurcacin imperfecta, en la cual la bifurcacin de ecuaciones est sometida a pequeas imperfecciones. Mientras la perturbacin pueda ser introducida a la ecuacin de bifurcacin en un infinito de maneras posibles, el comportamiento cualitativo de todos los diagramas de bifurcacin posibles podr ser capturado al introducir un nmero finito de parmetros en la forma normal de la ecuacin de bifurcacin no perturbada. una funcin suave definida en la vecindad de sea una funcin suave definida en la vecindad de positivo. La funcin se dice que es un despliegue de si. Sea del origen de , y sea , y es un entero

Bifurcacin de deformacin homogneamente pura con simetra enEl anlisis de la bifurcacin con deformacin homogneamente pura de un cuerpo homogneo, isotrpico, incompresible y elstico bajo cargas muertas de traccin con simetra en . Fsicamente, est la situacin de una lmina que est siendo extendida en sus cuatro bordes por dos pares perpendiculares, fuerzas uniformemente distribuidas de igual magnitud. Este es quizs el problema de bifurcacin ms simple con dos variables de estado y estructura simtrica. En particular interesa saber la solucin de la ruptura de bifurcacin de simetra.

Bifurcacin de deformacin homogneamente pura con simetra enEl problema que se discute en esta seccin es similar, en espritu, al previo a esta seccin. Otra vez, se considera la bifurcacin de un cuerpo homogneo, isotrpico, incompresible y elstico bajo cargas muertas de traccin. La diferencia estriba en que las cargas se consideran en esta seccin con simetra en . Como resultado de las caractersticas de bifurcacin para el presente problema son un poco diferentes de aquellas de la seccin previa. Entre otras cosas, el presente problema demuestra la utilidad de despliegue universal, que revela la existencia de una bifurcacin secundaria de la rama de solucin con simetra en hacia la rama de solucin asimtrica, mientras que la bifurcacin primaria es de soluciones con simetra hacia soluciones con simetra en . Fsicamente el anlisis describe deformaciones homogneamente puras de un cubo elstico que est siendo estirado en sus seis caras por tres pares perpendiculares, fuerzas uniformemente distribuidas de igual magnitud.

Bifurcacin de membranas esfricas infladas.Consideremos las deformaciones axisimtricas de una membrana esfrica inflada que encierra una masa controlada de gas. Las ecuaciones de equilibrio son un par de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por la reduccin de Liapunov Schmidt, se obtiene una ecuacin reducida con una

8

variable de estado. Se estudian dos formas normales de una funcin singular. Una corresponde a la de tenedor pitchfork en cuya solucin dos ramas no esfricas se bifurcan de la rama esfrica de solucin. La otra forma normal corresponde a una aislada. El despliegue universal de la forma normal posterior sugiere un diagrama de bifurcacin en el cual dos ramas de solucin no esfricas bifurcan de la rama de solucin esfrica, as pues, mientras la cantidad de gas aumenta, se regresa a una rama de solucin esfrica. Considere una membrana esfrica elstica de radio unitario. En coordenadas esfricas, una deformacin axisimetrica de la membrana es representada por.

Las funciones

y

satisfacen las condiciones de frontera

La membrana es homognea e isotrpica, y est asociada con la energa de deformacin el cual es simtrico en sus dos argumentos. La membrana esta inflada por un gas ideal, cuya masa se toma como el parmetro de control. Las ecuaciones de equilibrio son.

En donde el subndice en

denota la derivada respecto a

y p la presin del gas dada por:

, es una constante positiva del gas, deformada. Una deformacin esfrica est dada por.

el volumen del gas encerrado por la membrana

En donde

es el alargamiento principal de la membrana deformada.

La solucin por bifurcacin de la deformacin esfrica existe solamente si la derivada de Frchet de la ecuacin diferencial no lineal asociada a la ecuacin de equilibrio es no reversible en las condiciones de deformacin previamente expuestas. Esto nos lleva a la ecuacin de equilibrio linealizada.

En donde desplazamiento. Las funciones

y y

corresponden a las componentes radial y transversal del satisfacen las ecuaciones de frontera.

9

Se puede demostrar que la solucin no esfrica del ms bajo orden que satisface las ecuaciones de frontera existe cuando.

Esta dada por

Esta solucin, corresponde a la llamada modo uno de bifurcacin que sugiere un forma deformada de pera en la cual los estiramientos se incrementan montonamente de un polo al otro. La solucin a varios problemas de reconocimiento para funciones con simetra est dada por Golubitsky y Schaeffer, en la siguiente tabla que son de particular inters para los problemas de elasticidad. Forma normal Condiciones definitorias Condiciones no degenerativas

Mtodos de perturbacin y anlisis no lineal de estabilidad.

En este captulo se discute la aplicacin del aproximamiento al anlisis de estabilidad de cuerpos elsticos sometidos a grandes deformaciones. Varias de las ideas comnmente usadas en la propuesta de perturbacin son explicadas usando ejemplos sencillos. Dos tipos de bifurcaciones se distinguen: bifurcacin en modo distinto de cero y bifurcacin en el modo cero. Para cada tipo primero se explica con la ayuda de un modelo l anlisis de estabilidad puede ser llevado al cabo y luego explicar como el anlisis puede ser extendido hacia problemas de elasticidad finita. Aunque el presente anlisis se enfoca en el enfoque de perturbacin, la propuesta de sistemas dinmicos se discute brevemente. En la seccin final se lleva a cabo un anlisis detallado para la inestabilidad de cuello de una placa elstica incompresible bajo estiramiento.

IntroduccinEste captulo concierne al anlisis de estabilidad no lineal de cuerpos elsticos sujetos a grandes deformaciones. Un problema tpico que se tiene en mente es el de la estabilidad de un tubo cilndrico de hule que es comprimido ya sea por una presin externa o dos fuerzas en los bordes planos. En trminos generales se considera un cuerpo elstico el cual tiene una configuracin no deformada en el espacio tridimensional Euclidiano. Este cuerpo elstico es sometido despus a fuerzas externas. Ahora es consuetudinario referir a dicho cuerpo elstico como pretensado en la literatura de elasticidad finita (el pretensado considerado en el presente contexto no es por lo

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tanto el inducido por el proceso de manufactura). Muy frecuentemente una solucin para la deformacin resultante en el cuerpo elstico puede ser fcilmente encontrada en la literatura. Por ejemplo, cuando una placa elstica es comprimida a lo largo de una direccin, la solucin es compresin uniaxial. Se refiere a la primera solucin como la deformacin primaria. Se denota como la configuracin correspondiente del cuerpo elstico y por la deformacin, en donde y son las posiciones de los vectores que representan las partculas en y respectivamente. En muchas situaciones ingenieriles es muy importante conocer si la deformacin primaria es estable, en otras palabras cuando otras deformaciones adyacentes/configuraciones sean posibles y preferidas por el cuerpo elstico (este mtodo es conocido en la literatura de elasticidad finita como equilibrio adyacente). Por ejemplo, cuando se comprime un puntal elstico se puede ver que la lnea recta de configuracin es la nica configuracin posible cuando la fuerza es lo suficientemente pequea, pero cuando la fuerza excede cierto valor crtico, otra configuracin (pandeada) es posible y es de hecho preferida por el puntal sobre la configuracin de lnea recta. Entonces, para determinar cuando el cuerpo elstico pretensado es estable o no, dos cuestionamientos deben ser planteados. Primeramente, Existen otras soluciones (estticas) matemticamente posibles? La respuesta depende de las condiciones de frontera. Aqu se consideran las condiciones de frontera en la cual todas las partes del cuerpo estn sometidas a fuerzas de traccin cuya resultante se fija en la bsqueda de otras soluciones. La estabilidad de un caparazn esfrico en el fondo del agua no es un problema de carga muerta ya que la resultante actuante en el caparazn es dependiente de la forma de la configuracin alabeada. Segundo, si otra configuracin (esttica) es matemticamente admisible y si esta es preferida por el cuerpo. Para determinar cundo, otra configuracin es posible bajo condiciones de carga muerta, primeramente se asume que otra solucin (de pandeo) es de hecho posible y se denota con en donde es la posicin del vector, en la configuracin pandeada , del material de la partcula cuyo vector de posicin en es x. Dado que satisface la mismas ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera el incremento de desplazamiento , definido como , debera satisfacer el problema no lineal de los valores caractersticos el cual admite la soluciones trivial . En trminos del tenso de esfuerzos incrementales, el problema antes mencionado de los valores caractersticos consiste en resolver la ecuacin de equilibrio incremental.

Y la condicin de incompresibilidad Sujeto a la carga muerta de condicin de frontera. En donde todas las variables dependientes son funcin del material que diferenciacin con respecto a la coordenada.

en

y la coma significa

11

El primer paso para entender las propiedades de la solucin de los valores caractersticos es realizar un anlisis lineal. Primeramente se lineariza las ecuaciones gobernantes y las condiciones de frontera. Cuando se busca la solucin del modo normal, las ecuaciones diferenciales parciales se reducen a ecuaciones diferenciales ordinarias y el valor de pre esfuerzo al cual el problema reducido tiene una solucin no trivial, entonces se puede determinar. Este valor es usualmente una funcin del nmero de modo. El mnimo de esta funcin es usualmente referido como el pre esfuerzo crtico y el correspondiente modo, como el modo crtico. Dicho anlisis lineal ha sido conducido en las pasadas cinco dcadas para diferentes geometras (placas, tubos, cascarones esfricos, etc.), diferentes materiales y diferentes pre esfuerzos. En la mayora de estos estudios, las geometras y formas de pre esfuerzo son lo suficientemente simples tanto que las ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas al problema de valores caractersticos y ser resuelta analticamente. Con la aparicin de de paquetera los suficientemente poderosa para hacer manipulacin simblica, tales como Mathematica(4) y Maple, la complejidad algebraica de las ecuaciones ya no es un obstculo. Se puede hacer mucho progreso entendiendo las propiedades del post pandeo de cuerpos elsticos sometidos a grandes deformaciones.

En este captulo se revisan y juntan varios mtodos de estabilidad no lineal que han sido desarrollados en la elasticidad finita y otras disciplinas. Se ha observado tambin que el enfoque de perturbacin puede usarse en el estudio de una variedad de problemas, no solo en problemas de bifurcacin esttica, sino tambin en problemas concernientes a la propagacin no lineal de ondas. Cualquier problema que sea estudiado, las tcnicas usadas son las mismas. Los problemas de estabilidad en el enfoque del modo normal pueden ser divididos en dos categoras: problemas en donde el modo crtico, , no es cero y los problemas en donde lo es. Grosso modo, cuando no es cero, el operador lineal es (fuertemente) dispersivo en el sentido de que si es una solucin se asume que sea sinusoidal, cuando son en general soluciones que del operador lineal. Como resultado, la amplitud de las ecuaciones son usualmente formuladas imponiendo una condicin de resolubilidad de tercer orden de las aproximaciones sucesivas en el enfoque de la perturbacin. Cuando es cero, la solucin depende de atraves de una variable a larga distancia y la condicin de resolubilidad tiene que ser impuesta, en aproximaciones sucesivas de segundo orden.

(4)

Ver apndice A

12

Bifurcacin de los modos diferentes de cero.Problema modelo Se usara el simple problema:

Para explicar cmo dbiles anlisis no lineales pueden ser realizados, usando el enfoque de perturbacin, para problemas cuando la bifurcacin toma el modo diferente de cero. En la ecuacin anterior es funcin de y , y un subndice denota su derivada y la constante es el parmetro de bifurcacin. La solucin trivial es claramente solucin para todos los valores de . La idea es encontrar soluciones no triviales (y las condiciones bajo los cuales existe). Dicha ecuacin es la forma escalada del modelo aproximada del modelo gobernante de la ecuacin dinmica/movimiento de una viga infinitamente larga apoyada por un arreglo de resortes elsticos. El parmetro (escalado) de la fuerza compresiva aplicada en y denota la deflexin transversal. Con el termino es despreciado, la ecuacin se reduce a

Que gobierna la deflexin de una viga de su configuracin delinea recta cuando la viga se pandea (estticamente). Cuando aparece el pandeo depende si dicha ecuacin acepta o no, la solucin trivial

Efecto de las imperfecciones.Una propiedad importante asociada con la bifurcacin subcritica es la sensibilidad a las imperfecciones. Las imperfecciones pueden tomar varias formas, por ejemplo el modulo de Young de una viga puede no ser constante del todo a lo largo de la viga, la viga pudiera no ser completamente recta o la carga puede no estar alineada con el eje (entonces la deflexin ocurre apartir de que deja de ser cero). Imperfecciones que varan a lo largo del eje x como el modo critico de pandeo, son conocidas como imperfecciones modales. Dichas imperfecciones pueden ser fcilmente incorporadas en los anlisis antes expuestos. Simplemente se asume que la imperfeccin es de tal orden que su efecto deja ser de . Un trmino tal podra aparecer en la ecuacin de amplitud. De cualquier forma, un estudio de dichas imperfecciones no es necesario porque existe una elegante teora de singularidad, (como se vio en el capitulo anterior) que nos dice que no importa que imperfeccin el sistema tenga, la ecuacin de amplitud ms amplia describe el comportamiento muy cercano al crtico que es de la forma.

En donde y son constantes. Dicha ecuacin es del tipo de despliegue universal de la forma normal. Dado que dos parmetros independientes son requeridos para esto, la bifurcacin se dice que es de dimensin 2. Las imperfecciones tienen un efecto drstico en bifurcaciones subcriticas, por ejemplo, si , la ecuacin se reduce a:

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Esta ecuacin, cuya solucin tiene tres ramas de bifurcacin para en contra de , pero la rama en la cual es fsicamente es ms relevante cuando satisface la condicin , cuando . Este comportamiento es capturado, balanceando el primer y tercer trmino y tenemos orden (debido a la imperfeccin). La rama tiene un punto de inflexin, , que quedara Resolviendo las ltimas dos ecuaciones simultneamente y En particular, la esta dada cuando. ceden en el punto de inflexin. cuando . Cuando se incrementa gradualmente, es inicialmente de de . El valor

se determina cuando la condicin

En donde caracteriza la imperfeccin de la amplitud inicial. Este hecho es conocido como la ley de dos tercios de Koiter, que describe la bifurcacin subcritica. La presencia de imperfecciones puede reducir el valor crtico real, en una cantidad que es proporcionalmente a dos tercios de la amplitud de la imperfeccin.

14

Teora de la singularidad en pandeo de barras esbeltas compresibles con deformacin de la seccin transversal.Considere una barra elstica esbelta articulada en sus extremos, sometida a un empuje , como se muestra en la figura. La articulacin al principio puede rotar, pero no se desplaza mientras que la que est al final se puede desplazar. La configuracin inicial de la barra est alineada con el eje x y cualquier punto sobre el eje se representa con . En la configuracin deformada, el eje alabeado de la barra es generalmente curva, y cualquier punto tpico de la barra se asigna como en la curva. La longitud del arco medido desde el origen hasta el punto se denota como . El ngulo de la lnea tangente de la curva en que hace con la horizontal se denota con .

De la figura se tiene que: El acortamiento de la barra La curvatura de la curva

(3)

Se usa y para simbolizar la fuerza axial y el momento flexionante en la seccin transversal de la seccin de la barra albeada en el punto entonces del diagrama se puede obtener. (4).

La teora para vigas en flexin dice que existe equilibrio cuando: Estrictamente en atencin a la elasticidad lineal de barras

15

Entonces el radio de curvatura de la viga flexionada queda:

En donde e son el rea y el mnimo momento de inercia de la seccin transversal deformada respectivamente; es el mdulo elstico. Cabe mencionar que crtico. Sustituyendo (9) en (7). e estn relacionadas con , pero no vara de acuerdo a en el estado

Derivando ambos lados de la ecuacin (7) y usando las ecuaciones de (5) nos queda la ecuacin diferencial siguiente. Se utiliza para denotar la longitud de la barra y barra doblemente articulada y se hace notar que dimensionales. Con las condiciones de frontera

para la carga crtica de Euler de la . Al introducir las cantidades

Con la ayuda de la ecuacin (6), finalmente se tiene la siguiente ecuacin diferencial.

Las condiciones de frontera (11) implican que los extremos de la barra estn articulados y permiten la rotacin libremente pero se les obliga a permanecer en alineadas el eje. La ecuacin (10) es una ecuacin diferencial no linear ordinaria de segundo orden con parmetros y .

De la ecuacin (6) se ve que

.

As entonces existir un nmero infinito de puntos de bifurcacin para una barra elstica lineal compresible que es el mismo resultado para el caso de Euler.

(5)

En matemticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo S, existe, es el mnimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mnima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comnmente se denota con . Ejemplo,

16

Evidentemente , es la solucin trivial de la ecuacin (10) y (11). El propsito ahora es determinar si (10) y (11) tiene otras soluciones de bifurcacin para ciertos valores de los parmetros y , y encontrar que tipos de bifurcacin son va la teora de la singularidad.

La teora de la singularidad provee herramientas eficientes para el estudio de problemas de bifurcacin local. El comportamiento de una ecuacin lineal no lineal puede ser determinado por un simple polinomio (llamado forma normal). El problema del reconocimiento de la forma normal requiere calcular a veces algunas derivadas de la ecuacin diferencial no lineal. Los anlisis de bifurcacin a travs de la teora de la singularidad se hacen a travs de los siguientes pasos. 1. La linearizacin de la ecuacin diferencial no lineal. 2. La reduccin de Liapunov-Schmidt 3. El problema del reconocimiento de la forma normal.

Linealizacin.La linealizacin de alrededor de La linealizacin de en se calcula como se define como:

Desde un enfoque prctico solo interesa cuando.

Al hacer la analoga con el anlisis de la barra de Euler la linealizacin para todo menos de que

es invertible a

En el caso de la solucin no trivial tiene la forma

, en donde A es un constante. y deben satisfacer

Adicionalmente, desde el punto de vista fsico se puede argumentar que la condicin siguiente.

Cuando que

implica que

, por ejemplo, si la barra es incompresible.

que es la carga crtica de Euler.

Implica

De la ecuacin (15) se obtiene (16) tenemos.

, escogiendo la que satisfaga las condiciones

17

La curva

contra

para la ecuacin (17) se grafica a continuacin. Es fcil ver que .

cuando

0.160.14

0.120.1

0.08 0.060.04

0.020

0

2

4

6

8

10

12

Sea

la relacin de esbeltez

. Cuando

significa que si

, la barra no se alabea. En dicho no se ha predicho en la existente teora de estabilidad de barras. Al recordar la teora de Euler, es bien sabido que una barra se puede pandear para cualquier cociente de esbeltez a menos que se vaya ms all del rgimen de la elasticidad lineal.

Reduccin de Liapunov-SchmidtLa idea bsica es descomponer (10) en dos ecuaciones equivalentes. La primera es unidimensional y la segunda que pude ser resuelta usando el teorema de la funcin implcita. Substituyendo la solucin de la segunda en la primera resulta en la ecuacin reducida que se , que es equivalente a (10) en el punto de bifurcacin . denota por La ecuacin reducida es por lo general una ecuacin diferencial no lineal y no puede ser resuelta explcitamente. Cuando se estudia el comportamiento cualitativo de la ecuacin (10) en la vecindad del punto de bifurcacin usando la teora de la singularidad y la solucin no e del s todo necesaria. Como se ha mencionado, lo que se necesita no es ms que los valores de unas en el punto de bifurcacin. De acuerdo al valor de las derivadas se cuantas derivadas de puede determinar la forma normal (un polinomio) el cual se bifurca en el punto de bifurcacin de la misma forma que lo hace la ecuacin (10). Para el problema de la barra, Entonces cuando es para respecto a , esto es .

se tiene.

18

Y en el punto de bifurcacin

y tambin se tiene que:

En donde el subndice

y

denota derivacin y

producto interno.

En la seccin siguiente se calcula las derivadas de la funcin reducida problema del reconocimiento de la forma normal.

y se finaliza con el

El problema del reconocimientoSe obtiene al evaluar.

De las ecuaciones de (19) En donde Estableciendo resulta. De la ecuacin (17) se obtiene el valor de k. Entonces el punto en dos partes y

divide en el intervalo

, en otras palabras, y . : cuando

se separa en los intervalos , ; cuando ),

19

De la ecuacin (17) se obtiene el valor correspondiente para k

De aqu se tiene que para todo

.

Por la teora de la forma normal, se ha mostrado que la barra compresible se somete a una bifurcacin superficial de tenedor en bifurcacin de tenedor subcrtica en cuando , al someterse a una

. Los diagramas de bifurcacin seran.

Bifurcacin subcrtica de tenedor en el punto ,

cuando

Bifurcacin supercrtica de tenedor en el punto , Se puede escribir

cuando

20

En donde denota la esbeltez original de la barra. Para dar valores cuantitativos del anlisis de alabeo para barras elsticas compresibles asociadas con la esbeltez inicial, se restringe el anlisis a barras con seccin circular y con dimetro inicial en la configuracin sin deformar y con dimetro en la configuracin deformada crtica, de esto ltimo se tiene.

En donde Entonces

es la relacin de Poisson.

Al sustituir las ecuaciones de (29) en (27) conduce a

Con las ecuaciones de (24) a (26) se deriva que la barra compresible bajo una bifurcacin supercrtica cuando cuando , , . y bajo la bifurcacin subcrtica

En muchas situaciones la deformacin de la seccin transversal de la barra puede ser despreciada. En ese caso tan slo significa la relacin de esbeltez original de la barra. Dado que los factores y son un poco ms grandes que la unidad, un poco de cambio en los puntos de bifurcacin cuando existan relaciones de esbeltez mayores ocurrirn cuando la deformacin sea considerada. Ese hecho es obviamente es fsicamente relevante

Conclusiones.Si la deformacin de la seccin transversal se desprecia, se puede concluir lo siguiente. , la barra no se alabea. 1. Si la relacin esbeltez de la barra es ms pequea que 2. La carga crtica de la barra compresible es siempre ms grande que la de Euler y se tiene que , la carga crtica de 1-2.25 veces la de Euler. 3. La barra compresible bajo una bifurcacin subcrtica cuando la relacin de esbeltez , colapsar. En ese caso la deformacin restrictiva dentro del rango elstico lineal da esfuerzos de . 4. La barra compresible bajo una bifurcacin supercrtica cuando la relacin de esbeltez Si la deformacin de la seccin transversal es considerada, la barra compresible bajo una bifurcacin subcrtica de tenedor cuando su esbeltez sea significa que la bifurcacin al menos que la barra sea lo suficientemente suave cuando sea proporcional al lmite. Esto

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, ,

o bajo una bifurcacin supercrtica de tenedor cuando un pequeo cambio en los puntos de bifurcacin

hacia

relaciones de esbeltez ms grandes ocurrir, esto es relevante desde el punto de vista fsico.

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APENDICE A Empleo del software Mathematica.Mathematica es un programa de clculo de gran potencia. El enorme nmero de comandos y funciones internas que posee lo hacen aplicable en mltiples temas que requieren un soporte matemtico o grfico. En un nivel bsico puede ser utilizado para realizar clculos numricos y simblicos, as como representaciones grficas de funciones. Pero en niveles ms avanzados puede usarse como lenguaje de programacin, de gran utilidad por poseer incorporadas funciones e instrucciones que en los lenguajes tradicionales requeriran rutinas adicionales. Adems se puede personalizar el programa aadiendo funciones propias, macros, aplicacio nes, etc., y guardarlas en Paquetes de manera que se puedan usar siempre que se quiera como si formaran parte del programa. El programa se estructura internamente en dos partes bien definidas:y y

el Kernel - Ncleo-: es la parte "pensante", donde se realizan los clculos el Front - End - Entrada, Interface, Entorno-: es la parte "visual" del cuaderno y de interaccin con el usuario.

Ambos trabajan separadamente, lo que permite detener al Kernel sin afectar al Front - End, es decir, se puede detener la evaluacin de una entrada o desconectar totalmente el ncleo, sin salir del Notebook (cuaderno). Para realizar una operacin, la escribimos apropiadamente en un cuaderno, desde el Front - End, y luego le pedimos al Kernel que la evalu. Si esta operacin es la primera que ejecutamos, veremos cmo tarda bastante en devolver el resultado, ya que el Kernel an no se ha cargado en memoria, y espera a la primera operacin para hacerlo. Esto se puede comprobar con el mensaje "Loading Kernel", que aparece en la parte inferior izquierda de la pantalla. Una vez que el Kernel se ha instalado en memoria se puede comprobar en la parte inferior derecha de la pantalla una considerable reduccin de Bytes libres. En definitiva, usar Mathematica consiste en mantener una conversacin entre el usuario y el Kernel. Para que tal dilogo sea fructfero debemos esforzarnos en usar un "cdigo" comn, es decir, que comandos hemos de ejecutar para que el ordenador realice la operacin deseada. Es importante prestar atencin a la ortografa y a la sintaxis de los comandos. -Algunos comandos

Una gran variedad de operaciones simblicas y numricas se pueden realizar en Mathematica. A continuacin se listan algunas de ellas ejemplificando el uso de sus comandos.

y Aritmtica bsicaSuma In[1]:= 5+2 Out[1]= 7 Resta In[2]:= 3-7 Out[2]= -4 Multiplication In[3]:= 4*5 Out[3]= 20

De manera equivalente, puede reemplazarse el smbolo * por un espacio en blanco: In[4]:= 4 523

Out[4]= 20 Debe tenerse cuidado al utilizar el espacio en blanco para indicar multiplicacin, pues en Mathematica a b es la multiplicacin de a por b, mientras que ab (sin espacio Intermedio) se refiere a la variable de nombre ab. / Division In[5]:= 30/6 Out[5]= 5 Potenciacin In[6]:= 2^5 Out[6]= 32 Raz cuadrada In[7]:= Sqrt[32] Out[7]= 42 Observemos un punto importante aqu: La primera letra de las funciones propias en Mathematica (built-in functions) es mayscula y sus argumentos debern ser indicados entre corchetes [] (en caso de que la funcin dependa de ms de un argumento, estos sern separados por el smbolo de una coma,).Comandos tiles En Mathematica existen varios comandos para manipular las expresiones tanto de la entrada como de la salida. Por ahora, aqu introducimos dos de los que resultan ser de mucha utilidad: Al introducir; al final de la lnea de entrada, se omitir la salida. Resulta ser de utilidad al declarar funciones propias del usuario: In[8]:= 7^2 + 3; Podemos recuperar la salida mediante el siguiente comando: Out[n ] In[9]:= Out[8] Out[9]= 52 El valor de la salida n-esima, es asignado al comando Out[n]. El mismo comando puede Abreviarse mediante el uso del operador %n: %n In[10]:= %9 Out[10]= 52 Cuando el valor de n es omitido, el operador % har referencia al resultado inmediatamente Anterior: In[11]:= 5 + 8 (2 - 3); In[12]:= % * (-1) Out[12]= 3 Constantes y algunos operadores Mathematica incluye un gran nmero de constantes frecuentemente utilizadas en Fsica y Matemticas. Como toda funcin propia de Mathematica, inician con letra mayscula y obviamente carecen de argumentos. Tres de las constantes ms utilizadas son: Pi In[13]:= Pi Out[13]= Para obtener el valor numrico de la constante, se utiliza el comando N[]: In[14]:= N[%13] Out[14]= 3.14159

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Al utilizar un segundo argumento en el comando N se obtiene el valor numrico solicitado con tantos d gitos como sea indicado: In[15]:= N[%13,30] Out[15]= 3.14159265358979323846264338328 E Numero de Euler: e In[16]:= N[E] Out[16]= 2.71828 I Unidad imaginaria: i = 1 In[17]:= N[I] Out[17]= 0. + 1.i

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Bibliografa1. Fu Y. B., Ogden R. W. Nonlinear Elasticity: Theory and applications. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001. 2. Zhang Yitong, Xiong Chengan, Xie Yuxin, Singularity Theory on Buckling of compressible slender with deformation of cross section, Transactions of Tianjin University vol. 12, no. 2, Apr. 2006.

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