8/3/2019 Teoria Del Coseno

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Teorema del Coseno 1

Teorema del Coseno

Prof. J. M. Vargas

25 de octubre de 2011

Teorema 0.1. Sea ABC un triangulo y denotense sus angulos por las letras de los verices y sus

lados por las letras minusculas correspondientes a sus vertices opuestos. Con esa notacion en uso,

el teorema del coseno afirma lo siguiente:

a2 = b2 + c2 2bc cosA

Demostracion. Consideramos tres casos: Cuando el angulo A es recto, cuando A es agudo y cuandoA es obtuso. En todos los casos la idea es reducirlo al teorema de Pit agoras trazando la altura hdel triangulo. Tambien conviene recordar que en un triangulo rectangulo el cateto adyacente es lahipotenusa por el coseno del angulo y el cateto opuesto es la hipotenusa por el seno del angulo. Estoultimo se sumariza en la fig.0.1

A

B

Cb = h cosA

ha = h sinA

Figura 0.1: Funciones trignometricas

1. Si A es recto, entonces el coseno de A es cero, y el teorema del coseno afirma lo mismo que elteorema de Pitagoras, es decir

a2 = b2 + c2 2 b c 0 = b2 + c2

2. Si A es agudo, entonces la situacion es como en la fig.0.2:

tttt

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

A C

B

Hb

cah

e

Figura 0.2: Caso A agudo.

Observe primero tres igualdades que se siguen del teorema de Pit agoras y la definicion delcoseno de un angulo:

a2 = h2 + e2; c2 = h2 + (b e)2; e = b c cosA

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Teorema del Coseno 2

de donde se calcula

a2 = c2 (b e)2 + e2

= c2 b2 + 2be e2 + e2

= c2b2 + 2b(b

c cosA)

= c2 + b2 2bc cosA

3. Si A es obtuso, entonces la situacion se ve como en la fig.0.3. De nuevo la idea es usar elteorema de Pitagoras.

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp p p p p p p p p p

C A

B

Hb

a hce

Figura 0.3: Caso A obtuso.

a2 = (b + e)2 + h2 (1)

= b2 + 2be + e2 + h2 (2)

= b2 + 2be + c2 (3)

= b2 + c2 2bc cosA (4)

Como en el caso anterior, se uso el teorema de Pitagoras en (1) para a, denuevo lo mismo en

(3) para c2

= h2

+ e2

, y, finalmente, que e =c cosA (observe que el

se debe a que A es

obtuso.)

Listo el teorema del coseno Q.E.D.