TEORIA DEL MODELADO EN FLUJO DE FLUIDOS

El estudio de movimientos de fluidos dinmicamente semejantes constituye las bases para la teora de los modelos, el diseo de experimentos y la correlacin de datos experimentales. El hincapi que se hace en el calificativo experimental, sirve para puntualizar que debemos basarnos en una gran cantidad de informacin de ese tipo, a fin de resolver los muchos problemas que se presentan en mecnica de fluidos.

Debido a que por procedimientos analticos basados en las ecuaciones generales de movimiento, nicamente puede resolverse un nmero limitado de problemas, y a que las ecuaciones del movimiento para flujo laminar, o de las deducidas a partir de hiptesis restrictivas como las de suponer a los flujos como no viscosos 0 irrotacionales, suelen resultar inaplicables, esto ha dado motivo a que los investigadores empleen los llamados mtodos empricos o experimentales; en busca de soluciones aceptables a los problemas por resolver.

Como un ejemplo podemos considerar el problema de encontrar la fuerza ejercida sobre una esfera estacionaria por un fluido en movimiento. Como veremos en los captulos 8 y 9. si las velocidades del fluido son muy pequeas (movimientos de fluencia), los trminos de la aceleracin no lineal en las ecuaciones de movimiento, pueden ser despreciados y se puede encontrar una solucin analtica. Al aumentar las velocidades y las aceleraciones, las aproximaciones analticas se dificultan a causa de nuestra incapacidad para resolver las ecuaciones no lineales.

Debemos considerar tambin la posibilidad de que el flujo se convierta en variado y turbulento. En este caso, el concepto de movimiento permanente es muy til. Pero requiere una nueva definicin, la cual introducir trminos adicionales a las ecuaciones de movimiento. Suponer que el flujo es irrotacional no constituye ayuda en el problema de la esfera, puesto que las distribuciones de la presin calculadas para el flujo irrotacional son simtricas y producen una fuerza neta igual a cero. Si la respuesta debe ser encontrada por mtodos experimentales. el problema de investigar todos los dimetros posibles de la esfera en todos los fluidos posibles a todas las velocidades posibles, es en verdad formidable. y tal vez imposible.

Como veremos posteriormente. en el captulo que trata de las fuerzas sobre los Cuerpos sumergidos, el hecho es que muchos experimentos pueden ser representados mediante una curva simple, la cual relaciona una fuerza neta adimensional con un parmetro tambin adimensional, para expresar las caractersticas del flujo y las propiedades del fluido. Esta es una notable demostracin del poder y utilidad de los conceptos de similitud dinmica en la correlacin de la informacin experimental. El inters en el movimiento de fluidos dinmicamente Semejantes tambin obedece a un deseo de investigar los flujos que involucran condiciones de Frontera complejas; para cuyo fin se hacen experimentos sobre sistemas geomtricamente semejantes, los cuales difieren del sistema original, o prototipo, solamente en el tamao.

Lo ms frecuente es hacer estas investigaciones sobre un sistema reducido a escala, conocido como modelo; as, los componentes de modelos de aviones o proyectiles dirigidos se prueban en tneles de viento, y los modelos de ros o estuarios se construyen con el propsito de determinar el efecto de los cambios propuestos, respecto al comportamiento del prototipo. En esos ejemplos, las ecuaciones de movimiento y las condiciones de frontera son, por lo general, demasiado complejas para permitir predicciones puramente analticas del comportamiento del prototipo.

El inters en el movimiento de fluidos dinmicamente semejantes tambin obedece a un deseo de investigar los flujos que involucran condiciones de frontera complejas; para cuyo fin se hacen experimentos sobre sistemas geomtricamente semejantes, los cuales difieren del sistema original, o prototipo, solamente en el tamao.

Lo ms frecuente es hacer estas investigaciones sobre un sistema reducido a escala, conocido como modelo; as, los componentes de modelos de aviones o proyectiles dirigidos se prueban en tneles de viento, y los modelos de ros o estuarios se construyen con el propsito de determinar el efecto de los cambios propuestos, respecto al comportamiento del prototipo. En esos ejemplos, las ecuaciones de movimiento y las condiciones de frontera son, por lo general, demasiado complejas para permitir predicciones puramente analticas del comportamiento del prototipo.

Si todas las variables de un fenmeno fluido se conocen, se aprendi que el anlisis dimensional dar como resultado un conjunto de grupos adimensionales independientes que usualmente pueden ponerse en la forma de los diferentes nmeros analizados antes y de grupos adimensionales en la forma de relaciones geomtricas simples.

Si al menos todos los grupos, excepto uno, se duplican para flujos geomtricamente similares, de acuerdo con lo establecido en la seccin 8.7 se llega a la conclusin de que es probable que los flujos sean dinmicamente similares. Este hecho introduce la posibilidad de ensayar un modelo de algn aparato propuesto con el fin de estudiar, a menor costo, el comportamiento a escala natural y posibles variaciones en el diseo, como se indic antes.

Por ejemplo, en la industria aeronutica el ensayo sobre modelos de algn perfil aerodinmico propuesto o un modelo de avin entero es una parte muy importante y significativa de todo programa de desarrollo (vase la figura 8.8). Ntese que el ensayo sobre modelos no es barato: los modelos valen muchos miles de dlares, al igual que el uso por horas de instalaciones de prueba. Adems de estos problemas existe la pregunta prctica importante de cunta similitud dinmica puede alcanzarse en una prueba. De hecho, ste es un criterio muy relevante sobre la utilidad de los resultados.

propuestos se remolcan a lo largo de un canal de agua y se hacen estimaciones del rrastre con la ayuda de ciertas mediciones. Ahora se demostrar que inclusive en este ensayo aparentemente directo, la similitud dinmica verdadera no puede alcanzarse para ensayos prcticos. Un anfilisis dimensional revelar que tres grupos intervienen en la determinacin del arrastre sobre el casco: el coeficiente de presin, el nmero de Reynolds y el nmero de Froude. Por consiguiente, para obtener similitud dinmica es necesario que por lo menos el nmero de Froude y el de Reynolds se dupliquen en el flujo del prototipo y en el flujo del modelo, geomtricamente similar.

Supngase que el prototipo tiene una longitud de 100 pies y una velocidad de 10 nudos, y debe impulsarse a travs de agua dulce con una viscosidad de 2.10 x lo- lbf-s/pie y una densidad de 62.4 lbrn/pie3.

7-2 SIMILITUD GEOMETRICAEn un sentido estricto, la similitud geomtrica implica que la proporcin de todas las longitudes correspondientes, en los dos sistemas, deben ser las mismas. As, si ciertas longitudes seleccionadas en las direcciones X, Yy Z (y los dos sistemas son designados con los subndices M y P), la ondicin para la similitud geomtrica es

donde Lr, es la escala de longitudes, mediante la cual se describen las dimensiones relativas de los dos sistemas. En este captulo el subndice r se emplear para designar la relacin entre cantidades correspondientes en los dos sistemas.Una consecuencia de la similitud geomtrica es que las escalas de las reas y los volmenes, en los dos sistemas, pueden expresarse en trminos del cuadrado y el cubo de la escala de longitudes y, por lo tanto,

En algunos casos es imposible lograr una similitud geomtrica exacta, particularmente en modelos oceanogrficos y de ros, en los cuales la profundidad es pequea en relacin con la anchura y la longitud. Tales modelos frecuentemente estn distorsionados en la direccin vertical, siendo necesario, en tal caso definir dos escalas de longitudes, por medio de una ecuacin adicional similar a la (7-1); por ejemplo:

7-3 SIMILITUD DINAMICAEl concepto bsico de similitud dinmica puede establecerse como un requisito para que dos sistemas, con fronteras geomtricamente semejantes, tengan configuraciones de flujo geomtricamente semejantes, en tiempos correspondientes.As, todas las fuerzas individuales que actan sobre los elementos de masa de los correspondientes fluidos, pueden ser debidas o a una fuerza del cuerpo tal como el peso, en un campo gravitacional, a fuerzas superficiales, resultantes de los gradientes de presin, esfuerzos viscosos o la tensin superficial.

para la fuerza resultante o inercial, como para las fuerzas elementales debe existir una misma relacin entre los dos sistemas; llamada escala de fuerzas. El requisito para una sola escala de fuerzas es que los polgonos de fuerzas para los elementos de masa correspondientes sean geomtricamente semejantes. Este concepto puede ilustrarse mediante el siguiente ejemplo: Ejemplo 7-1: Polgono de fuerza para sistemas dinmicamente semejantes Consideremos las fuerzas que actan sobre una partcula de agua, en la vecindad de la cresta del vertedor de ena presa, como se muestra en la figura 7-1 (a). Podemos identificar las fuerzas superficiales que actan sobre la partcula, en trminos de las fuerzas debidas al gradiente de la presin normal y al esfuerzo tangencial. Considerando la fuerza por unidad de masa de fluido, encontrmos que stas estn representadas por f, Y f,. respectivamente. La fuerza de cuerpo oor unidad de masa, debida a la traccin gravitacional, %:s f,. La fuerza resultante o inercia] por unidad de masa, fi, la encontramos trazando el polgono mostrado en la figura 7-1 (b). La direccin de la aceleracGn de la partcula es, por tanto, idntica a la direccin de fi. La figura 7- muestra el modelo de un vertedor del tipo considerado en este ejemplo.

La similitud dinmica de dos movimientos geomtricamente semejantes requiere que la magnitud y direccin de la aceleracin resultante, por unidad de masa, sca la misma en los dos sistemas; lo cual implica que los polgonos de fuerzas por unidade masa sean idnticos. Veremos despus que frecuentemente es imposible obtener una similitud dinmica exacta, y que entonces es necesario simplificar el polgono de fuerzas, ignorando las componentes menos importantes. El polgono mostrado en la figura 7-1 k) es un ejemplo del efecto de eliminar la fuerza tangencial. El resultado es nicamente un pequeo cambio en la direccin y la magnitud del vector resultante fc.

En la discusin anterior sobre similitud dinmica, se implica la existencia de escalas de longitudes, tiempos, masas y fuerzas, las cuales relacionan a los dos sistemas. Es importante observar que dentro del dominio de la mecnica newtoniana, no podemos escoger, en forma independiente, ms de tres de esas cuatro escalas. La prueba de esto se obtiene simplemente escribiendo la condicin de que los dos sistemas satisfagan la segunda ley de Newton.