Teoria do momento linear: Voo vertical · Helicópteros /Filipe Szolnoky Cunha Teoria do momento...
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Teoria do momento linear:
•Estudamos o voo a pairar do helicóptero.
Teoria do momento linear: Voo vertical
•Estudamos o voo a pairar do helicóptero.
•Vamos agora estudar o voo vertical (subida edescida).descida).
•Estas operações são importantes:•Estas operações são importantes:
•Descolagem vertical•Descolagem vertical
•Aterragem vertical
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Teoria do momento linear: Voo vertical
•Aterragem vertical
Representação e notaçãoRepresentação e notação
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 2Teoria do momento linear: Voo vertical
Teoria do momento linear:
• Aplicando as leis de conservação:
Teoria do momento linear: Voo vertical
– Conservação de massa
– Conservação de momento linear
– Conservação de energia– Conservação de energia
• Já tínhamos analisado a conservação de massa com Vc>0(subida).(subida).
( ) ( ) ∞+=+== AwVAvVAVmcicc
ρρρ 0
• Vamos agora ver as outras duas com Vc>0
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 3Teoria do momento linear: Voo vertical
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• No voo axial a equação do momento linear é:• No voo axial a equação do momento linear é:
• Que é o mesmo resultado para a situação de
( ) wmVmwVmTcc =−+=
• Que é o mesmo resultado para a situação depairar.
• Verificando agora a potência necessária para o• Verificando agora a potência necessária para orotor:
( ) =+ vVT ( )21 wVm + ( ) =−21 Vm( ) =+
icvVT ( )22
1 wVmc
+ ( ) =−2
21
cVm
( )wVwm += 21
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 4Teoria do momento linear: Voo vertical
( )wVwmc
+= 221
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• Se das duas equações anteriores substituirmos T• Se das duas equações anteriores substituirmos Tda primeira na segunda obtemos:
= wmT
( ) ( )⇒
+=+
=
wVwmvVT
wmT
cic22
1
cic 2
( ) ( )⇒+=+⇒ wVwmvVwmcic
221 ( ) ( )⇒+=+⇒ wVwmvVwm
cic22
⇒+=+⇒ wVvVcic 2
1
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 5Teoria do momento linear: Voo vertical
⇒+=+⇒ wVvVcic 2
Equações de conservaçãoEquações de conservação
ivw 2=
• Mais uma vez o mesmo resultado do que a pairar.
• Relembrando agora que :
ivw 2=
• Relembrando agora que :
Tv =
A
Tvh
ρ2=
• Com h de “hover”- pairar
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 6Teoria do momento linear: Voo vertical
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• A propulsão voo vertical é:• A propulsão voo vertical é:
• Então podemos escrever
wmT = ( )iicvvVA 2+= ρ( )wvVA
ic+= ρ
• Então podemos escrever
( )22 h
vA
T=
ρ( ) 2
iiciicvvVvvV +=+=
• E dividindo por vh2
( )2 h
vA
=ρ
( )iiciicvvVvvV +=+=
• E dividindo por vh
01
2
=−
+
ici
v
v
v
V
v
v
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 7Teoria do momento linear: Voo vertical
01=−
+
hhh
vvv
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• A solução para esta equação quadrática é:• A solução para esta equação quadrática é:
1
2
+
±
−= cciVVv
• Dado estarmos a estudar a voo vertical subida só
122
+
±
−=hhhvvv
• Dado estarmos a estudar a voo vertical subida sónos interessa a solução positiva:
122
2
+
+
−= cci
v
V
v
V
v
v
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 8Teoria do momento linear: Voo vertical
122
+
+
−=hhhvvv
Voo vertical: descidaVoo vertical: descida
• O modelo apresentado não pode ser utilizado parauma descida axial devido a:
• O modelo apresentado não pode ser utilizado parauma descida axial devido a:– Dado Vc<0 a esteira está por cima do rotor– Isto só acontece quando Vc é maior do que o dobro davelocidade induzida no rotor i.e.Vc>2vh
– Para as velocidades 2v <V <0 a velocidade em– Para as velocidades 2vh<Vc<0 a velocidade emqualquer plano pode ser para cima ou para baixo.
• Para o caso 2vh<Vc<0 o escoamento é complicado• Para o caso 2vh<Vc<0 o escoamento é complicadoé não se pode utilizar a teoria do momento linear.
• Esta situação será estudada mais tarde.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 9Teoria do momento linear: Voo vertical
• Esta situação será estudada mais tarde.
Voo vertical: descida
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 10Teoria do momento linear: Voo vertical
Voo vertical: descidaVoo vertical: descida
• Pressupostos:• Pressupostos:
– Vc>2vh– Vc>2vh– Vc é negativa se o seu sentido for para cima
– T é positivo e aponta para cima– T é positivo e aponta para cima
– v e w são positivos se os sentidos forem para baixo.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 11Teoria do momento linear: Voo vertical
Equações de conservação
• Da conservação de massa:
Equações de conservação
• Da conservação de massa:
• Conservação do momento
( ) ( )iccvVAwVAm +=+= ∞ ρρ
• Conservação do momento
• Calculando a potência necessária para o rotor
( )( ) ( )[ ]ccVmwVmT −+−= wm−=
• Calculando a potência necessária para o rotor
( ) ( ) =+−=+2121 wVmVmvVT ( ) ( ) =+−=+ 2
121 wVmVmvVT
ccic
( )wVwmc
+−= 221
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 12Teoria do momento linear: Voo vertical
( )wVwmc
+−= 22
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• Mais uma vez substituindo a equação do momento• Mais uma vez substituindo a equação do momentona equação da quantidade de movimento:
−= wmT
( ) ( )⇒
+−=+
−=
wVwmvVT
wmT
cic22
1
cic 2
( ) ( )⇒+−=+−⇒ wVwmvVwmcic
221 ( ) ( )⇒+−=+−⇒ wVwmvVwm
cic22
⇒+=+⇒ wVvVcic 2
1ivw 2=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 13Teoria do momento linear: Voo vertical
⇒+=+⇒ wVvVcic 2 i
vw 2=
Equações de conservação
• Relembrando que:
Equações de conservação
V 0<• Relembrando que:c
m
V
0
0
<
<
• Então das equações anteriores:
icvwV 2=>
• Então das equações anteriores:
0>T 0>T
( ) 0<+icvVTPotência do rotor
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 14Teoria do momento linear: Voo vertical
( )ic
Estado de operação
• Nesta situação :
Estado de operação
• Nesta situação :– O rotor fornece propulsão (sustentação)
– O rotor retira potência do escoamento. – O rotor retira potência do escoamento.
• Este estado é chamado de “moinho de vento”. • Este estado é chamado de “moinho de vento”.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 15Teoria do momento linear: Voo vertical
Equações de conservaçãoEquações de conservação
• Para o rotor a descer verticalmente:• Para o rotor a descer verticalmente:
• Podemos exprimir v em função de T
wmT −= ( )wvVAic
+−= ρ ( )iicvvVA +−= ρ2
• Podemos exprimir vh em função de T
2
2 hv
A
T=
ρ2iicvvV −−=( )
iicvvV +−=
• E dividindo por vh2
2 hv
A=
ρ
2 vVv
iicvvV −−=( )
iicvvV +−=
• E dividindo por vh01
2
=+
+
h
i
h
c
h
i
v
v
v
V
v
v
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 16Teoria do momento linear: Voo vertical
hhhvvv
ContinuidadeContinuidade
• A solução desta equação quadrática é:2
122
2
−
±
−= cci
v
V
v
V
v
v
• Dado que |Vc |>2vh a única solução válida é :
22
hhh
vvv
• Dado que |Vc |>2vh a única solução válida é :
1
2
−
−
−= cciVVv
• Que só é válida para V /v ≤-2
122
−
−
−=hhhvvv
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 17Teoria do momento linear: Voo vertical
• Que só é válida para Vc/vh≤-2
Potência para voo verticalPotência para voo vertical
• O rácio entre a potência para o voo vertical e para• O rácio entre a potência para o voo vertical e parao voo a pairar pode ser dada por:P + vV vV( )+ vVT
=hP
P=
+
h
ic
v
vV
h
i
h
c
v
v
v
V+
( )=
+
h
ic
Tv
vVT
• Substituído a expressão obtida anteriormente paravoo ascendente:
h h hhhTv
voo ascendente:
=P
P1
22
2
+
+
− ccc
v
V
v
V
v
V1
22
2
+
+
= cc
v
V
v
V
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 18Teoria do momento linear: Voo vertical
=hP
122
+
+
−hhhvvv
122
+
+
=hhvv
Potência para voo verticalPotência para voo vertical
• Podemos também então utilizar a expressão obtidaanteriormente para o rácio entre a velocidadeanteriormente para o rácio entre a velocidadeinduzida em voo descendente e em voo a pairar:
122
2
−
−= cc
v
V
v
V
P
P1
22−
−=hhhvvP
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 19Teoria do momento linear: Voo vertical
Gráfico da velocidade induzidaGráfico da velocidade induzida
De Leishman “Principles of Helicopter aerodynamics”
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 20Teoria do momento linear: Voo vertical
Gráfico da PotênciaGráfico da Potência
Helicopteraerodynamics”
Leishman“PrinciplesofHelicopter
De Leishman
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 21Teoria do momento linear: Voo vertical
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• A teoria do momento linear não é válida• A teoria do momento linear não é válida– Escoamento pode ter duas direcções
– Não há uma esteira definida– Não há uma esteira definida
• As curvas de velocidade e a potência podem serdefinidas por:definidas por:– Testes em voo
– Testes em túnel de vento– Testes em túnel de vento
• A velocidade induzida (média) não pode sermedida directamente.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 22Teoria do momento linear: Voo vertical
medida directamente.
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• Mas pode ser medida indirectamente:• Mas pode ser medida indirectamente:
• Relembrando que P é a potência para vencer a
( ) 0PvVTPicmeas
++=
• Relembrando que P0 é a potência para vencer aresistência aerodinâmica e que Ph=Tvh :
+ vV − PP − PP=
+
h
ic
v
vV=
−
h
meas
P
PP 0 =−
ATT
PPmeas
ρ20
hv
hP ATT ρ2
02
PPPCCC
imeas =−
=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 23Teoria do momento linear: Voo vertical
23
23
0
2TTCC
imeas ==
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• Há elevados níveis de turbulência junto ao rotor:• Há elevados níveis de turbulência junto ao rotor:– Há bastante dispersão nos valores medidos
”Helicopteraerodynamics”
Leishman“PrinciplesofHelicopter
De Leishman
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 24Teoria do momento linear: Voo vertical
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• Diversos autores propuseram equações para a• Diversos autores propuseram equações para avariação de vi para qualquer velocidade dedescida:descida:– Young: κ é o factor de potência induzida medido:
−≤≤−= 5.10 cci
VVvκ
−≤≤−= 5.10h
c
h
c
h
i
VVv
v
V
v
V
v
vκ
−≤≤−
+= 0.25.137
h
c
h
c
h
i
v
V
v
V
v
vκ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 25Teoria do momento linear: Voo vertical
hhhvvv
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• Outra aproximação é feita seja qual for a• Outra aproximação é feita seja qual for avelocidade:
432
VVVVv
4321
+
+
+
+=
h
c
h
c
h
c
h
c
h
i
v
Vk
v
Vk
v
Vk
v
Vk
v
vκ
• Com • k1=-1.125
hhhhh
• k1=-1.125
• k2=-1.372
• k3=-1.718
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 26Teoria do momento linear: Voo vertical
• k4=-0.655
Região -2≤Vc/vh≤0Região -2≤Vc/vh≤0
• Tendo a distribuição de vi é possível ”i
calcular a rácio da potência
Helicopteraerodynamics”
utilizando as expressões já
Leishman“PrinciplesofHelicopter
deduzidas:
De Leishman
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 27Teoria do momento linear: Voo vertical
Estados de funcionamento do rotor
• O rotor ao descer verticalmente opera em diversos• O rotor ao descer verticalmente opera em diversosestados dependendo da sua velocidade axial:– Estado normal– Estado normal
– Estado de anéis de vórtices
– Estado de esteira turbulenta– Estado de esteira turbulenta
– Estado de moinho de vento
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 28Teoria do momento linear: Voo vertical
Estado normalEstado normal
• Em subida e a pairar o rotor T• Em subida e a pairar o rotortrabalha no estado normal:– Os vórtices da ponta da pá
T
– Os vórtices da ponta da páseguem trajectóriashelicoidais bem definidas.
– O escoamento é estacionárioe sem perturbações.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 29Teoria do momento linear: Voo vertical
Vc para baixo, Vc+vi para baixo, Vc+2vi para baixo
Desempenho no estado normal
SubidaDescidaDescida
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 30Teoria do momento linear: Voo vertical
Estado de anéis de vórticesEstado de anéis de vórtices
• Para velocidades de descidapequenas não há alteração.
T• Para velocidades de descidapequenas não há alteração.
• Se a velocidade de descidafor aumentada:
T
for aumentada:– Os vórtices da ponta da pá nãosão convectados (formamsão convectados (formamanéis concêntricos) e ficampresos no plano do rotor.presos no plano do rotor.
– O anel aumenta de tamanho até rebentar
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 31Teoria do momento linear: Voo vertical
Vc para cima, Vc+vi para baixo, Vc+2vi para baixo
Desempenho Estado de anéis de vórtices
SubidaDescidaDescida
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 32Teoria do momento linear: Voo vertical
Estado de esteira turbulentaEstado de esteira turbulenta
• Para velocidades de descida T• Para velocidades de descidasuperiores:– Os vórtices formam uma
T
– Os vórtices formam umaespécie de esteira atrás dorotor.
– Esta esteira é turbulenta eaperiódica
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 33Teoria do momento linear: Voo vertical
Vc para cima, Vc+vi para cima, Vc+2vi para baixo
Desempenho no estado de esteira turbulenta
SubidaDescidaDescida
Potência muda Potência muda de sinal
Potência Potência negativa
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 34Teoria do momento linear: Voo vertical
Estado moinho de ventoEstado moinho de vento
• Aumentado ainda mais a T• Aumentado ainda mais avelocidade de descida:– O escoamento volta a ser
T
– O escoamento volta a serestável
– Os vórtices são convectados– Os vórtices são convectadospara longe do plano dorotor.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 35Teoria do momento linear: Voo vertical
Vc para cima, Vc+vi para cima, Vc+2vi para cima
Desempenho estado moinho de vento
SubidaDescidaDescida
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 36Teoria do momento linear: Voo vertical
Explicação física para o estado de moinho de ventode vento
SustentaçãoSustentação
Vc+vi
Ωr
Vc+vi
•O perfil está sobre a acção de uma propulsão induzida e não de uma•O perfil está sobre a acção de uma propulsão induzida e não de umaresistência induzida.•Isto provoca a rotação do rotor sem fornecimento de potência. A estefenómeno chama-se autorotação.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 37Teoria do momento linear: Voo vertical
fenómeno chama-se autorotação.•Os pilotos utilizam este fenómeno caso haja perda de potência.
AutorotaçãoAutorotação
• Concluímos que há um ponto onde a operação do• Concluímos que há um ponto onde a operação dorotor requer uma potência nula: P/Ph=0
• Este é chamado “ponto de autorotação ideal”.• Este é chamado “ponto de autorotação ideal”.
• É um estado de operação sustentado onde a energiapara o manter vem da velocidade de descida.para o manter vem da velocidade de descida.
• Tínhamos visto que nesta zona
+=
h
c
h
i
v
V
v
v37κ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 38Teoria do momento linear: Voo vertical
hhvv
Autorotação
• Então a potência vem:
Autorotação
• Então a potência vem:
( )icvVTP +
= icvV
+= =
++= ccVV37κ
( )
h
ic
hTv
vVT
P
P +=
h
i
h
c
v
v
v
V+= =
++=
h
c
h
c
v
V
v
V37κ
[ ] c
v
Vκκ 317 ++= [ ]
hv
κκ 317 ++=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 39Teoria do momento linear: Voo vertical
AutorotaçãoAutorotação
• A curva da potência passa o ponto de autorotação• A curva da potência passa o ponto de autorotaçãoóptimo quando:
−=κ7
cV
• Para um rotor ideal κ=1, V /v =-1.75
+−=
κ31h
c
v
• Para um rotor ideal κ=1, Vc/vh=-1.75
• Na realidade o valor será mais alto devido ao factoque para além de termos de entrar em conta com aque para além de termos de entrar em conta com aperdas induzidas também temos que contar com asperdas por resistência aerodinâmica.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 40Teoria do momento linear: Voo vertical
perdas por resistência aerodinâmica.
AutorotaçãoAutorotação
• Num caso real de autorotação podemos escrever:• Num caso real de autorotação podemos escrever:
( ) 00 =++= PvVTPic
• Concluímos que para uma autorotação estável énecessário um balanço de energia entre:necessário um balanço de energia entre:– TVc diminuição da energia potencial
– Tv potência induzida– Tvi potência induzida
– P0 potência para vencer a resistência aerodinâmica
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 41Teoria do momento linear: Voo vertical
AutorotaçãoAutorotação
• Podemos também escrever:• Podemos também escrever:
• E então:
( ) 00 =++= PvVTPic
( ) 0PvVTic
−=+⇒
• E então:
ic
Tv
P
v
vV 0−=+
3
20 AP ρ−=
• E usando a definição de FM:hh
Tvv−=
23
T−=
• E usando a definição de FM:
−= κ
ρ
FMT
AP 123
0
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 42Teoria do momento linear: Voo vertical
−= κFMT 2
3
AutorotaçãoAutorotação
• Então a condição de autorotação real é obtida:• Então a condição de autorotação real é obtida:
κκ 71
−−
−=−
FMVc
• A autorotação ocorre no intervalo
κκ 3131 +−
+−=
vh
c
• A autorotação ocorre no intervalo-1.85<Vc/vh<-1.9c h
– O rotor está a operar no regime de esteira turbulenta
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 43Teoria do momento linear: Voo vertical