ITC DGEST SES SEP

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

PROFESOR: ING. JESÚS ADOLFO JIMÉNEZ RAMOS

1.2 Propagación de las ondas electromagnéticas planas en medios con y sin pérdida.

1.3 Polarización, potencia y vector Poynting.

Alumno: Sánchez Medina Gustavo

Quinto semestre

Ingeniería Electrónica

H.H. Cuautla Mor. 03 de septiembre de 2012

1.2 Propagación de las ondas electromagnéticas planas en medios con y sin pérdida.

Ecuaciones de onda.

La principal función de las ecuaciones de Maxwell es predecir la propagación de la energía en formas de onda.

Las ecuaciones que nos dicen la forma de propagación de los campos electromagnéticos consideran que los medios son lineales, isotrópicos y homogéneos. Cuando consideramos un medio lineal nos referimos a que la permitividad no depende de la magnitud o el nivel del campo eléctrico y la permeabilidad no depende de la magnitud ni el nivel del campo magnético. Isotrópico se refiere a que la densidad del flujo eléctrico es paralela al campo eléctrico y a la densidad del flujo magnético.

El principal interés es el estudio de la distancia, el tiempo y la relación que esto tiene con las ondas.

Para empezar γ es la constante propagación, ésta se divide en dos partes, parte real y parte imaginaria como se muestra en la ecuación 1:

γ=α+ jβ

A la parte real se le conoce como α que es la constante de atenuación y a la parte imaginaria se le conoce como β que es la constante de fase. Estas se calculan como se muestra en la ecuación 2:

γ=√ jωμ(σ+ jωε)

Las ecuaciones en el dominio del tiempo, se dan en forma sinusoidal como se muestran en las ecuaciones 3a para el campo eléctrico y 3b para el campo magnético:

E x=Emcos ( ωt+ βz+θ )

Hy=Emη

cos (ωt+βz+θ)

Aquí se muestra como se ven las ondas en t=0 para el campo eléctrico y el magnético.

En la siguiente gráfica se muestran los dos campos del mismo tamaño ya que es sólo una gráfica demostrativa.

En la gráfica se muestra el campo eléctrico que tiene su amplitud en el eje x y el campo magnético que tiene su amplitud en el eje y, y todo esto se propaga en dirección z, que en este caso es la distancia.

Ondas electromagnéticas planas

Las propiedades de las ondas electromagnéticas se pueden deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell. Un planteamiento para obtener estas propiedades es resolver la ecuación diferencial de segundo orden obtenida a partir de la tercera y cuarta ecuaciones de Maxwell.

Para una onda electromagnética que viaja en la dirección x (la dirección de propagación), donde el campo eléctrico E esta en la dirección y y el campo magnético B está en la dirección z, tales ondas, en que los campos eléctricos y magnéticos se restringen a ser paralelos a un par de ejes perpendiculares, se dice que son ondas linealmente polarizadas.[]

Si la fuente de las ondas electromagnéticas es tal que una onda radiada desde cualquier posición en el plano yz (no solo desde el origen) se propaga en la dirección x y todas las ondas semejantes se emiten en fase. Si se define un rayo como la línea a lo largo de la cual viaja la onda, todos los rayos para estas ondas son paralelos. A esta colección completa de

Campo eléctrico y magnético propagándose.

ondas con frecuencia se les llama onda plana. Una superficie que conecta los puntos de igual fase en todas las ondas en un plano geométrico denominado frente de onda. En comparación, una fuente puntual de radiación envía ondas radialmente en todas direcciones. Una superficie que conecta puntos de igual fase para esta situación es una esfera, así que onda se llama onda esférica.

Para generar la predicción de ondas electromagnéticas []se parte de ley de Faraday:

∮C

❑

E⃗ ∙ d⃗ l=−dΦB

dt

En un instante cuando una onda plana pasa a través de una trayectoria rectangular de ancho dx que se encuentra en el plano xz, el campo magnético en dirección z varía de:

B⃗ a B⃗+ d⃗b

Esta variación especial en B⃗ da origen a un campo eléctrico variable en el tiempo a lo largo de la dirección y, de acuerdo a:

δBδx

=−μ0 ϵ 0δEδt

El término plana nos indica que los campos vectoriales E y H están sobre un plano en cada punto del espacio. El término uniforme nos indica que los fasores de los campos vectoriales tanto el de magnitud, como el de fase son independientes de las posiciones en cada uno de estos planos.Aparte de la constante de propagación, también existe otro factor que también depende de las características del medio en el que se encuentran las ondas y afecta a éstas, las modifica, se le conoce como impedancia intrínseca del medio.

η=√ jωμσ+ jωε

En la ecuación anterior se puede ver como se calcula la impedancia intrínseca del medio.Esta también puede constar de 2 partes, que son la magnitud y el ángulo. Estos valores afectan directamente al campo magnético.

η∠θη

Una onda plana uniforme es una solución particular de las ecuaciones de Maxwell teniendo

E la misma dirección, magnitud y fase en planos infinitos perpendiculares a la dirección de

propagación (lo mismo para H). De manera estricta, una onda plana uniforme no existe en

la práctica, ya que para crearla se requeriría una fuente de extensión infinita. Sin embargo,

si estamos lo suficientemente alejados de la fuente, el frente de onda (la superficie de fase

constante) será casi esférica y una porción muy pequeña de una esfera gigante es casi un

plano. Las características de las ondas planas uniformes son muy simples y su estudio es

fundamentalmente importante tanto desde el punto de vista teórico como del práctico.

Propagación en medios sin pérdidas.

Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio, o sea que la conductividad es cero.Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las siguientes ecuaciones:

α=0β=ω √με

La impedancia intrínseca se vuelve un número real.

η=√ jωμjωε

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto sólo tiene una parte real y no parte imaginaria.La velocidad de fase de la onda se vuelve:

μ=dzdt

=ωβ= 1

με

La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico:

Ex=En cos (ωt−βz+θ )

La siguiente ecuación nos dice como se comporta el campo magnético:

Hy=Emη

cos (ωt−βz+θ )

Consideraciones para la propagación en el espacio libre:

μ0=4 π ×10−9 F /m(Permeabilidad en el espaciolibre)

ε 0=1

36 π×10−9 F /m(Permitividad enel espacio libre)

v0=3 ×108 m /s (Velocidad de propagaciónenel espacio libre)

Para cualquier otro tipo de material ε=ε r ∙ ε 0 y μ=μr ∙ μ0

μ=√ v0

μr ∙ εr

m /s

η=η0 √ μr

εr

Ω

β=β0 √μr ∙ ε r rad /m

λ=λ0

√μr ∙ ε r

A continuación centraremos nuestra atención en el comportamiento ondulatorio en el

estado estacionario senoidal. Representaremos las cantidades senoidales con fasores, sin

usar el subíndice s por cuestiones de sencillez. En aquellos casos donde se analicen

funciones temporales instantáneas, indicaremos de manera explícita la dependencia

temporal de las cantidades relevantes usando el símbolo t en sus argumentos. Las

ecuaciones de onda libres de fuentes en un medio simple no conductor se convierten en una

ecuación vectorial homogénea de Helmholtz.

∇2 E+k2 E=0

Donde k es el número de onda. En un medio caracterizado por ε y μ tenemos, a partir de la ecuación:

k=ω√ με= ωup

(rad /m)

La ecuación en coordenadas cartesianas equivale a tres ecuaciones escalares de Helmholtz, para las componentes E x , E y y E z . Si escribimos la ecuación para la componente E x tenemos:

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 +k2)Ex=0

Considere una onda plana uniforme caracterizada por una E x uniforme (magnitud uniforme y fase constante) sobre superficies planas perpendiculares a z; es decir:

∂2 Ex

∂ x2 =0 y∂2 Ex

∂ y2 =0

La ecuación se simplifica a:

∂2 Ex

dz2 +k2 Ex=0

Que es una ecuación diferencial ordinaria porque E x, un fasor, depende únicamente de z. La solución a la ecuación es:

Ex ( z )=Ex+¿ ( z )+E x

−¿ ( z )¿ ¿

¿ E0+¿ e− jkz+E0

−¿e jkz ¿¿

Donde E0+¿ ¿

y E0−¿¿

son constantes arbitrarias que deben determinarse a partir de las

condiciones en la frontera (condiciones de contorno).

El primer término fasorial del lado derecho de la ecuación anterior:

E ( z )=ax Ex+¿ ( z )=ax E 0

+¿e− jkz (Ec . ∀ )¿ ¿

La expresión instantánea del fasor E dado por la ecuación es, para una referencia coseno,

E ( z ,t )=ax Ex+¿ ( z , t )=ax Re ¿¿

¿ax R e ¿

Onda que se propaga en la dirección z positiva E x+¿ ¿(z,t)=E0

+¿ cos (ωt−kz ) , ¿ para distintos

valores de t

En la figura anterior se ha representado la ecuación con referencia en coseno para varios

valores de t . En t=0 , Ex+¿ (z ,0 )=E0

+¿coskz ¿ ¿ es una curva coseno con amplitud E0+¿ ¿

. En instantes

sucesivos, la curva de hecho se propaga en la dirección z positiva. Tenemos entonces una onda viajera. Si nos centramos en un punto específico de la onda, asignamos cos (ωt−kz )=una constanteo ωt−kz=fase constan te , de lo cual se obtiene:

up=dzdt

=ωk= 1

√ μϵ

La ecuación anterior asegura que la velocidad de propagación de un frente de fase constante (la velocidad de fase) es igual a la velocidad de la luz. El número de onda k tiene una relación clara con la longitud de onda:

k=ω√ μϵ=2 πλ

El campo magnético H puede determinarse a partir de la ecuación ∇× E:

∇× E=¿

Lo cual nos lleva a

H x+¿=0 ,¿

H x

+¿=1

− jωμ∂

Ex+¿(z )

∂ z¿¿

H x+¿=0¿

De esta manera H x+¿¿

es la [única componente de H distinta de cero correspondiente a Een

la ecuación ( Ec . ∀ ). Además, dado que:

∂Ex

+¿(z)

∂ z= ∂

∂ z¿¿

La ecuación anterior produce:

H=ay H y

+¿ ( z )=ayk

ωμE x

+¿( z) ¿¿

¿a y1η

Ex+¿(z)¿

De esta forma se obtuvoη , η=ωμ /k o, lo que es igual:

η=√ μϵ(Ω)

Denominada impedancia intrínseca del medio. En el aire tenemos

η0=√μ0/ϵ 0=120 π=377 (Ω). H y+¿(z )¿ está en fase con E x

+¿( z)¿ y podemos escribir la expresión

instantánea del campo H como:

H ( z , t )=a y H y+¿ ( z ,t )=a y Re ¿¿

¿a y

E0+¿

ηcos(ωt−kz ) .¿

Ondas transversales electromagnéticas

Hemos visto que una onda plana uniforme caracterizada por E=ax Ex que se propaga en la

dirección +z tiene asociado un campo magnético H=ay H y. Por lo tanto, E y H son perpendiculares entre sí y ambos son transversales a la dirección de propagación. Éste es el caso específico de una onda transversal electromagnética (TEM).A continuación se examinará la propagación de una onda plana uniforme en una dirección arbitraria que no coincide necesariamente con un eje de las coordenadas.En lugar de E(z ) en la ecuación∀, considermos:

E ( x , z )=ay E0 e− j k x x− j k x z (Ec . ϑ )

Que representa la intensidad eléctrica en la dirección y de una onda plana uniforme que se propaga en las direcciones +x y +z. Si definimos un vector de número de onda, k , como:

k=ax kx+az k z=ak k ,

Y un vector de posición R de origen a un punto arbitrario

R=ax x+a y y+az z ,

La ecuación ϑ puede escribirse en forma escueta como:

E=a y E0 e− jk ∙ R=ay E0 e− jk ak ∙R

Esta situación se ilustra en la siguiente figura:

La relación ak ∙ R=longitud OP (una constante ) es la ecuación del plano (lugar geométrico

de los puntos extremos del vector de posición R ¿ normal a ak, la dirección de propagación, y es un plano de fase constante y amplitud uniforme.El campo magnético Hasociado con el campo eléctrico de la ecuación anterior es:

H− 1jωμ

∇× E=E0

ωμ(−ax k z+az k x)e− j k x x− j k z z

Se puede expresar esta ecuación en forma más general:

H= kωμ

ak × E=1η

ak × E

De esta manera es fácil determinar H si se conoce el valor de E de una onda plana uniforme que se propaga en una dirección determinada.

Vector de posición y vector unitario de onda normal al frente de fase de una onda plana uniforme.

Propagación en medios con pérdidas

Un medio con pérdidas existe, cuando hay conductividad aunque sea mínima, y como existe conductividad dentro de este medio, la onda va a cambiar a consecuencia de esto.Debemos dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas uniformes en medios sin pérdidas y en las que se propagan en medios con pérdidas. La primera diferencia es que la parte real de la constante de propagación se vuelve distinta de cero.Y por lo tanto se divide en 2 como se muestra en las siguientes ecuaciones:

γ=√ jωμ(σ+ jωε)¿α + jβ

Podemos ver que la γ se dividió en 2 partes su parte real α se le conoce como constante de atenuación esta dada en Np /m y su parte imaginaria β que se le conoce como constante de fase y esta dada en rad /m.La otra diferencia es la impedancia intrínseca, esta para medios con pérdidas también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:

η=√ jωμσ+ jωε

η=η∠θη

Ahora la ecuación de onda, se muestra en la siguiente ecuación, para el caso de medios con pérdidas:

Ex=Eme−az cos (ωt−βz+θ)

Hy=Emη

e−az cos (ωt−βz+θ η)

Hasta ahora se ha considerado la propagación de ondas en medios simples sin pérdidas y sin fuentes (ρ v=0 , j=0). Si un medio es conductor (σ ≠ 0), fluirá una corriente j=σE debido a la existencia de E. En este caso debemos cambiar la ecuación con dependencia armónica con el tiempo ∇× H a:

∇× H=( σ+ jωϵ ) E= jω(ϵ + σjω )E

¿ jω ϵ c ECon

ϵ c=ϵ− jσω

(F /m)(Ec . ∂)

Las otras tres ecuaciones no cambian. Por lo tanto, las ecuaciones previamente presentadas para medios no conductores serán aplicables a medios conductores si se sustituye e por la permitividad compleja ϵ c de la ecuación anterior.

Al aplicar a cuerpos materiales un campo eléctrico externo variable con el tiempo, se producen pequeños desplazamientos de cargas ligadas que a su vez originan una densidad de volumen de polarización. Este vector de polarización variará con la misma frecuencia que el campo aplicado. Al aumentar la frecuencia, la inercia de las partículas cargadas tiende a evitar que el desplazamiento de partículas se mantenga en fase con los cambios del campo, lo cual produce un mecanismo de amortiguamiento de vibraciones que produce pérdida de potencia debido al trabajo necesario para superar las fuerzas de amortiguamiento. Este fenómeno de polarización fuera de fase puede caracterizarse por una susceptibilidad eléctrica compleja y por consiguiente por una permitividad compleja. Si el cuerpo o medio material tiene además una cantidad importante de portadores de carga libres, como los electrones en un conductor, los electrones y huecos en un semiconductor o los iones en un electrólito, también se presentarán pérdidas óhmicas. Al estudiar estos me-dios es costumbre incluir los efectos de las pérdidas óhmicas y por amortiguamiento en la parte imaginaria de la permitividad compleja ϵ c:

ϵ c=ϵ'− j ϵ ' ' (F /m)

donde ϵ ' y ϵ ' ' pueden ser funciones de la frecuencia. Alternativamente, podemos definir una

conductividad equivalente que represente todas las pérdidas y escribir:

σ=ω ϵ' ' (S /m)

Al combinar las dos ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación ∂.

La razón ϵ ' ' /ϵ' se denomina tangente de pérdidas porque es una medida de la pérdida de potencia en el medio:

tan δc=ϵ ' '

ϵ ' ≅σ

ωϵ

la cantidad δ c en la ecuación se conoce como ángulo de pérdidas.

Se dice que un medio es un buen conductor si σ ≫ωϵ y un buen aislante si ωϵ ≫σ . Así, un material puede ser un buen conductor a frecuencias bajas pero tener las propiedades de un dieléctrico con pérdidas a frecuencias muy altas.

El estudio del comportamiento para una dependencia armónica con el tiempo de un medio con pérdidas puede realizarse a partir de:

k c=ω√μ ϵ c

Hay que examinar la solución de la siguiente ecuación homogénea de Helmholtz:

∇2 E+kc2 E=0

Para seguir el convenio de notación usado en la teoría de las líneas de transmisión, se acostumbra definir una constante de propagación, γ , tal que:

γ= j kc= jω√μ ϵ c(m−1)Como γ es compleja:

γ=α+ jβ= jω√ μϵ (1+ σjωϵ )

12

o

¿α + jβ= jω√μ ϵ' (1− jϵ' '

ϵ ' )12

donde α y β son las partes real e imaginaria de γ , respectivamente. En un medio sin pérdidas, σ=0 (ϵ ' '=0 , ϵ=ϵ ' ' ) , α=0 y β=k=ω √μϵ

Usando la ecuación de Helmholtz y la constante de propagación γ se convierte en:

∇2 E−γ2 E=0

En el caso de una onda plana uniforme que se propaga en la dirección −z y que está caracterizada por E=ax Ex y H=ay hy la ecuación se reduce a:

d2 Ex

dz2 =γ 2 Ex

Cuya solución es:

E x=E0 e−γz=E0 e− jβz e− jβz

Donde α y β son cantidades positivas. El primer factor, e−az se reduce al aumentar z y por consiguiente es un factor de atenuación; α se denomina constante de atenuación. La unidad del SI de la constante de atenuación es el neper por metro (Np /m). El segundo factor, e− jβz, es un factor de fase; β

se conoce como constante de fase y se expresa en radianes por metro (rad /m). La constante de fase expresa la magnitud del cambio de fase que se produce cuando la onda viaja un metro.

Dieléctricos con pequeñas pérdidas

Un dieléctrico con pequeñas pérdidas es un buen aislante pero imperfecto, con una conductividad equivalente de cero, de manera que ϵ ' '≪ ϵ ' o σϵ ≪1. Si se presenta esta condición podemos aproximar mediante el desarrollo del binomio la expresión de γ a:

γ=α+ jβ≅ jω√μ ϵ ' [1− jϵ ' '

2 ϵ ' +18 ( ϵ ' '

ϵ ' )2]

De donde obtenemos la constante de atenuación

α R e (γ )≅ ω ϵ ' '

2 √ μϵ' (Np /m)

y la constante de fase

β=R m (γ )=ω√ μϵ ' [1+ 18 ( ϵ ' '

ϵ ' )2](rad /m)

La constante de fase de esta ecuación varía muy poco con respecto al valor ω √μϵ correspondiente a un dieléctrico perfecto (sin pérdidas).La impedancia intrínseca de un dieléctrico con pequeñas pérdidas es una cantidad compleja.

ηc=√ μϵ ' (1− j

ϵ' '

ϵ ' )12

≅ √ μϵ ' (1+ j

ϵ ' '

2 ϵ ' )(Ω)

La impedancia intrínseca es la razón de E x y H y de una onda plana uniforme, por lo que las intensidades de campo eléctrico y magnético en un dieléctrico con pérdidas no están en fase temporal, como lo están en un medio sin pérdidas.

La velocidad de fase up=ωβ≅ 1

√ μ ϵ 1 [1−18 ( ϵ ' '

ϵ' )2](m

s )

que es ligeramente menor que su valor cuando el medio no tiene pérdidas.

1.3 Polarización, potencia y vector Poynting

Polarización de las ondas planas uniformes

Existen varias maneras conocidas en las cuales se pueden polarizar a las ondas planas uniformes, a continuación se muestran las formas de polarización más comunes.

Polarización transversal eléctrica

Ocurre cuando la amplitud del campo eléctrico se encuentra en el eje x y la amplitud del campo magnético se encuentra en el eje y. A continuación se muestran dos ecuaciones, la primera describe el comportamiento del campo eléctrico y la segunda describe el comportamiento del campo magnético.

Ex=Emcos (ωt−βz )

Hy=Emη

cos (¿ωt−βz )¿

Polarización transversal magnética

Ocurre cuando la amplitud del campo magnético se encuentra en el eje x y la amplitud del campo eléctrico se encuentra en el eje y. Las ecuaciones para este tipo de modo son las siguientes:

Ey=Emcos (ωt−βz)

Hx=Emη

cos (¿ωt−βz )¿

Polarización lineal

Para este tipo de polarización existen dos casos que se tratarán a continuación y estos casos son polarización lineal con pendiente de 45° y polarización lineal con pendiente distinta de 45°.

Polarización lineal con pendiente de 45°

Para poder ver este tipo de polarización se tienen que considerar las siguientes ecuaciones:

E=Em1 cos (ωt−βz ) ax+Em1 cos (ωt−βz+θ ) ay

H=Em1

ηcos (ωt−βz ) ay−

E m1

ηcos (ωt−βz+θ ) ax

en las cuales se describe el campo eléctrico y magnético, pero estos tienen dos componentes, una en el eje x y otra en el eje y.Como se puede ver, la amplitud se mantiene constante en los dos casos ya que solo existen una sola Em1 en ambos ejes y como θ=0 no existe desfasamiento.

Polarización lineal con pendiente distinta a 45°

Para este caso se consideran las siguientes ecuaciones:

E=Em1 cos (ωt−βz ) ax+Em2 cos (ωt−βz+θ ) ay

H=Em1

ηcos (ωt−βz ) ay−

E m2

ηcos ( ωt−βz+θ ) ax

En este caso se puede ver cómo la amplitud para el eje x es distinta a la amplitud considerada para el eje y, tanto en el campo eléctrico como en el campo magnético, también otra de las condiciones para que exista este tipo de polarización es que de nuevo θ=0 y tampoco existe desfasamiento en este otro caso particular.

Polarización circular

En este caso las ecuaciones cambian ya que tiene que haber un desfasamiento en sus campos eléctricos, ya que para este tipo de polarización existe la amplitud de un campo eléctrico en el eje x y otra con amplitud en el eje y, propagándose en dirección z. Como se puede ver en las siguientes ecuaciones, la primera se refiere al campo eléctrico y la segunda ecuación se refiere a el campo magnético.

E=Em1 cos (ωt−βz ) ax+Em1 cos (ωt−βz+θ ) ay

H=Em1

ηcos (ωt−βz ) ay−

E m1

ηcos (ωt−βz+θ ) ax

Ahora este tipo de polarización lo que hace es un desfasamiento entre los campos de 90°. Las amplitudes tanto en el eje x y como en el eje y se conservan iguales. En los respectivos casos de campo eléctrico y campo magnético.

Como se puede ver en la figura de arriba, existen dos formas en las que se pueden mover los campos eléctricos y magnéticos, polarización circular de mano derecha, ésta se da cuando el desfasamiento es de θ=−90 °, y para la polarización circular de mano izquierda es de θ=90 °.

Polarización elíptica

En la polarización elíptica las fórmulas en el dominio del tiempo se conservan de manera muy parecida a las de la polarización circular, pero existe un cambio el cual se mostrará en las siguientes ecuaciones.

E=Em1 cos (ωt−βz ) ax+Em2 cos (ωt−βz+θ ) ay

H=Em1

ηcos (ωt−βz ) ay−

E m2

ηcos ( ωt−βz+θ ) ax

El cambio que hubo fue la amplitud, ya que ahora se trabaja con dos amplitudes distintas Em1 y Em2, esto es lo que le da su forma característica a la polarización elíptica, sigue existiendo el desfasamiento en θ de 90°.

Gráficos que muestran en el lado izquierdo la polarización de la mano derecha y en el lado derecho la polarización de la mano izquierda

Igual que en la polarización circular, en las figuras de arriba se puede ver que existen dos tipos de movimiento, en sentido de las manecillas del reloj, que es conocida como la polarización en este caso elíptica de la mano derecha, θ=−90 °, y la polarización elíptica de la mano izquierda donde θ=90 °.

Flujo de potencia electromagnética y vector de Poynting

Las ondas electromagnéticas transportan energía electromagnética. La energía se transporta

por el espacio a puntos receptores distantes a través de ondas electromagnéticas. A

continuación derivaremos una relación entre la razón de transferencia de tal energía y las

intensidades de campos eléctricos y magnéticos asociados con la onda electromagnética

que se propaga.

Comenzamos con las ecuaciones de rotacional:

∇× E=−∂ B∂ t

∇× H= j+ ∂ D∂ t

Es posible comprobar la siguiente identidad de operaciones vectoriales si usamos coordenadas cartesianas:

∇ ∙ ( E × H )=−H ∙∂ B∂t

−E∙∂ D∂t

−E ∙ j

Para un medio simple cuyos parámetros constitutivos ϵ ,μ y σ no cambian con el tiempo, tenemos:

Gráficos que muestran en el lado izquierdo la polarización de mano derecha y en el lado derecho la polarización de la mano izquierda

H ∙∂ B∂t

=H ∙∂ (μH )

∂ t=1

2∂ ( μH ∙ H )

∂ t= ∂

∂t ( 12

μH 2) ,

E ∙∂ D∂ t

=D ∙∂ (ϵE )

∂ t=1

2∂ (ϵE∙ E )

∂t= ∂

∂ t ( 12

ϵ E2) ,

E ∙ J=E ∙ (σE )=σ E2

Rescribiendo entonces la ecuación como sigue:

∇ ∙ ( E × H )=−∂∂ t ( 1

2ϵ E2+ 1

2μ H 2)−σ E2 ,

que es una relación de función puntual. Al integrar ambos lados sobre el volumen que nos interesa se obtiene una forma integral de la ecuación anterior:

∮s

❑

( E × H ) ∙ ds=−¿ ∂∂ t∫

v

❑

( 12

ϵ E2+ 12

μ H 2)dv−∫v

❑

σ E2 dv ,(Ec .∅ )¿

Donde se ha aplicado el teorema de la divergencia para convertir la integral de volumen de ∇ ∙ (E × H ) en la integral de superficie cerrada de ( E × H ).

Vemos que el primero y el segundo términos del lado derecho de la ecuación anterior representan la razón de cambio temporal de la energía almacenada en los campos eléctrico y magnético, respectivamente. El último término es la potencia óhmica disipada en el volumen como resultado del flujo de la densidad de corriente de conducción σE en presencia de un campo eléctrico E. De esta forma podemos interpretar el lado derecho de la ecuación como la razón de reducción de las energías eléctrica y magnética almacenadas, menos la potencia óhmica disipada en forma de calor en el volumen V . Esto debe ser igual a la potencia (razón de energía) que sale del volumen a través de su superficie, para ser consistentes con la ley de la conservación de la energía. Por consiguiente, la cantidad (E × H ) es un vector que representa el flujo de potencia por unidad de área. Definamos:

p=E × H (W /m2)

La cantidad p se conoce como vector de Poynting, y es un vector de densidad de potencia

asociado con el campo electromagnético. La afirmación de que la integral de superficie de

sobre una superficie cerrada, dada por el lado izquierdo de la ecuación ∅ , es igual a la

potencia que sale del volumen encerrado, se conoce como teorema de Poynting. Esta

afirmación no está limitada a ondas planas. Podemos escribir la ecuación ∅ de otra manera:

−∮s

❑

p∙ ds= ∂∂ t∫

v

❑

(w e+wm ) dv+∫v

❑

ρσ dv ,(Ec .∴)

donde

w e=12

ϵ E2=12

ϵE∙ E¿=densidad deenergía magnética,

wm=12

μ H 2=12

μH ∙ H ¿=densidad deenergía eléctrica ,

ρσ=σ E2=J2/σ=σE ∙ E¿=J ∙ J ¿ /σ=densidad de potenciaóhmica

Dicho con otras palabras, la ecuación ∴ establece que la potencia total que fluye hacia dentro de una superficie cerrada en un instante cualquiera será igual a la suma de las razones de incremento de las energías eléctrica y magnética almacenadas t de la potencia óhmica disipada dentro del volumen limitado por la superficie. Un asterisco en una cantidad denota el conjugado complejo de dicha cantidad.

Densidades de potencia instantánea y media

El valor instantáneo de una cantidad es la parte real del producto de la cantidad fasorial por e jωt cuando se usa cos ωt como referencia. Por ejemplo, si se tiene el fasor:

E ( z )=ax Ex ( z )=ax E0 e−( α+ jβ ) z

La expresión instantánea es:

E ( z ,t )=R e [ E (z ) e jωt ]=ax E0 e−αz R e [e j (ωt−βz )]¿ax E0 e−ax cos (ωt−βz )

En el caso de una onda plana uniforme que se propaga en la dirección +z en un medio con pérdidas, el fasor de intensidad de campo magnético asociado es:

H ( z )=a y H y ( z )=a y

E0

|ηc|e−αz e

− j ( βz+θη ) ,

Donde θη es el ángulo de fase de la impedancia intrínseca ηc=|ηc|e jθη del medio. La correspondiente expresión instantánea de H ( z ) es:

H ( z , t )=R e [ H ( z)e jωt ]=a y

E0

|ηc|e−αz cos (ωt−βz−θc )

La expresión instantánea del vector de Poynting o vector de densidad de potencia es:

p ( z , t )=E ( z ,t )× H (z , t )=R e [ E (z)e jωt ]× R e [ H ( z )e jωt ]

¿az

E02

|ηc|e−2 αz cos ( ωt−βz )cos (ωt−βz−θη )

¿az

E02

|ηc|e−2 αz [cosθη+cos(2 ωt−2 βz−θη) ](Ec . φ)

En lo que se refiere a la potencia transmitida por una onda electromagnética, su valor medio es una cantidad más relevante que su valor instantáneo. Utilizando la ecuación φobtenemos el promedio temporal del vector de Poynting, pav (z ) :

pav (z )=1T∫0

T

p ( z , t )dt=az

E02

2|ηc|e−2αz cosθc (W /m2)

donde T=2 π /ω es el periodo temporal de la onda. El segundo término del lado derecho de la ecuación φ es una función coseno de frecuencia doble cuyo valor medio es cero en un periodo fundamental. En el caso de la propagación de ondas en un medio con pérdidas, ηc → η es real, σ=0 y θη=0; entonces, la ecuación anterior se reduce a:

pav (z )=az

E02

2 η(W /m2)

Es probable que en el caso general no se trate de una onda que se propaga en la dirección z, así que escribimos:

pav=12

R e ( E × H ¿)(W /m2)

Que es la fórmula general para calcular la densidad de potencia media en una onda que se propaga.

Ejemplo:

Encuentre el vector de Poynting sobre la superficie de un alambre conductor recto, muy

largo (de radio b y conductividad σ ) por el que circula una corriente continua I . Verifique

el teorema de Poynting.

Solución:

Puesto que se trata de una situación de corriente continua, la corriente en el alambre se

distribuye de manera uniforme sobre su sección transversal. Supongamos que el eje del

alambre coincide con el eje z. En la figura se muestra un segmento de longitud l del

alambre largo. Tenemos:

J=az ( I / π b2 )

y

E=J /σ=az ( I / σπ b2 )

En la superficie del alambre,

H=aϕ (I /2 πb)

Por lo tanto, el vector de Poynting en la superficie del alambre es:

p=E × H=( az × aϕ )(I 2/2σ π2 b3)

¿−ar (I /2 σ π2 b3),

Dirigido en todos los puntos hacia el interior de la superficie del alambre.

Para verificar el teorema de Poynting integramos p sobre la pared del segmento de alambre

de la figura:

Donse se ha usado la fórmula de la resistencia de una alambre recto, R=l /σS. El resultado

anterior confirma que la integra de superficie negativa del vector de Poynting es

exactamente igual a la pérdida de potencia óhmica I 2 R en el alambre conductor. Así queda

verificado el teorema de Poynting.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ondas_electromagn%C3%A9ticas_planas

http://catarina.udlap.mx/udla/tales/documentos/lem/vilabca/capitulo1.pdf

Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería, David K Cheng, Ed. Addison- Wesley Iberoamericana. Págs. 273-302.