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$: Teoría fractal y efecto de cambio de escala: aplicación ... · se presenta un ejemplo del análisis fractal ... fractales, tales como los fractales autosimi-lares, autoafines y$
Cadernos Lab. Xeolóxico de LaxeCoruña. 1999. Vol. 24, pp. 99-119

TTeeoorrííaa ffrraaccttaall yy eeffeeccttoo ddee ccaammbbiiooddee eessccaallaa:: aapplliiccaacciióónn aall eessttuuddiioo

ddee llaa ppoorroossiiddaadd ddeell ssuueelloo

Fractal theory and scale change effect:application for studying soil porosity

VIVAS MIRANDA J. GARCIA 1, CHOMICZAK S.2, PAZ GONZÁLEZ A.1

AABBSSTTRRAACCTT

In this article the fractal theory and its application to soil structure and porosity is rewieved.Fractal geometry may provide a reliable description of soil structure, particularly in the case ofheterogeneous soil. The rewiev illustrates how the geometry of complex porous media may berepresented with simple fractal scaling models. Furthermore, three main clases of models pro-posed in the literature for soil porous space representation are discussed. A case study was presented based on quantitative evaluation of pore size distributions carriedon nine pairs of cultivated and uncultivated neighbour located soils. The fractal approach appe-ars to be a useful tool for understanding domains of organization as found in soil aggregates

1 Facultad de Ciencias. Universidad de A Coruña, A Zapateira 15.071 – A Coruña.2 Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Nordeste. Argentina.

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

Los procesos de transporte en mediosporosos no saturados, suelen ser descritos, aescala macroscópica, utilizando modelosmatemáticos tales como el de Darcy-Buckingham o las ecuaciones de Richards.Dichos modelos fueron ampliamente utili-zados en la predicción y modelización deltransporte de agua, coloides, microorganis-mos y energía en suelos. En algunas situa-ciones, particularmente en suelos muyheterogéneos, se ha comprobado en losúltimos años que el uso de estos modelosmacroscópicos encontró serias dificultades.

Se admite que es necesaria una buenacaracterización de la variabilidad espacialen cualquier intento de modelizar los pro-cesos de transporte en dichos medios poro-sos heterogéneos. De hecho, el estudio dela heterogeneidad a diferentes escalas fueel principal incentivo para la introducción,en la ciencia del suelo, de la geometríafractal, que, al menos en principio, debede permitir analizar su complejidad geo-métrica y su caracterización con sólo pocosnúmeros, los índices fractales.

En este trabajo se presenta, en primerlugar, un resumen de la bibliografía dispo-nible sobre los conceptos fractales aplicadosa la porosidad del suelo. En segundo lugar,se presenta un ejemplo del análisis fractalaplicado a datos obtenidos mediante unporosímetro de intrusión de mercurio.

La estructura del trabajo, por lo tanto,consta de una introducción básica a la geo-metría fractal y sus conceptos, seguida deuna breve revisión histórica de su aplicaciónen modelos de porosidad de suelos, parafinalizar con un análisis de los métodos más

recientes y, como ejemplo, la aplicación adatos de porosidad diferencial, obtenidossobre un amplio rango de escalas.

FFRRAACCTTAALLEESS

Fue en 1975 cuando Mandelbrot, apo-yado en las nuevas ideas sobre la topologíade los objetos irregulares y en las recientesinvestigaciones acerca de las leyes de dis-tribución con comportamiento Parencial(Pareto, 1897), establece las bases de ladenominada por él, geometría fractal. En sulibro "The Fractal Geometry of Nature"(1977), él acuña la palabra fractal, queproviene del adjetivo en latín fractus quesignifica "irregular" (verbo correspondien-te frangere que significa "quebrar"). De estaforma, la geometría fractal sería el estudiotopológico de las formas irregulares.

La geometría fractal establece un con-junto de herramientas matemáticas para elanálisis de objetos irregulares de caracte-rísticas especificas, que hasta entonceshabían sido convenientemente olvidadaspor la "ciencia lineal". El término fractalfue introducido para definir aquellos obje-tos o fenómenos espaciales y/o temporalesque son contínuos pero no diferenciables yque exhiben correlaciones espaciales sobremuchas escalas.

Durante las dos últimas décadas la geo-metría fractal ha progresado hasta llegar adesarrollar un aparato conceptual y meto-dológico muy importante. De este modo,hoy en día se habla de diversos tipos defractales, tales como los fractales autosimi-lares, autoafines y los multifractales(Korvin, 1992).

100 Vivas Miranda, et al. CAD. LAB. XEOL. LAXE 24 (1999)

CAD. LAB. XEOL. LAXE 24 (1999) Teoría fractal 101

FFiigguurraa 11 –– EEjjeemmpplloo ddee uunnaa ffiigguurraa ffrraaccttaall:: EEssppoonnjjaa ddeeMMeennggeerr.. SSee rreepprreesseennttaann 33 iitteerraacciioonneess ddee llaammiissmmaa,, ddee mmooddoo qquuee ccoommoo llíímmiittee ddee iinnffii--nniittaass iitteerraacciioonneess eell ccuubboo iinniicciiaall ssee ccoonnvviieerrtteeeenn uunn ffrraaccttaall.. SSii ssee aammpplliiaassee uunn ffrraaggmmeennttooddee llaa ccoonnssttrruucccciióónn II33,, ssee aapprreecciiaarrííaa ccoommoo eellddeettaallllee aammpplliiaaddoo eess sseemmeejjaannttee aall ttooddoo,, ppoorr

lloo qquuee eessttaa ffiigguurraa pprreesseennttaa aauuttoossiimmiilliittuudd..

La idea básica tras estos conceptos es lade autosimilaridad ilustrada en la Figura1, que implica la propiedad de invariabili-dad de escala.

De acuerdo con Mandelbrot (1982), unfractal es una figura construida, de algunaforma, de partes similares al todo.

Por otra parte, la mayor contribucióncualitativa del concepto de fractal, es loque se denomina dimensión fractal, pará-metro con el que objetos heterogéneospueden ser convenientemente medidos.

Existen diversos modos de introducirformalmente el concepto de fractal. Todosellos se basan en la idea de medida. Elcarácter, un tanto técnico, de algunos con-ceptos matemáticos hace aconsejable com-plementar algunas definiciones formales yconceptos con aproximaciones más intuiti-vas o, a veces, menos rigurosas. Por ejem-plo, una línea costera es un clásico ejemplode estructura fractal, ya que cuando seamplía aparecen bahías y promontorios.En consecuencia su longitud no podría sermedida, ya que al hacerse más precisa lamedida (disminuir la escala) se encontrarí-

an más y más detalles, aumentando elvalor de su longitud. De esta forma, ¿Cualsería la longitud de una línea costera?

La duda tras esta pregunta tal vez estéen la definición de dimensión y no en lacuestión en sí.

11 CCOONNCCEEPPTTOOSS BBÁÁSSIICCOOSS

De las diversas definiciones existentesde dimensión, nos restringiremos sola-mente a las que son útiles al concepto defractal.

Dimensión Topológica (Dt): Se definede forma recurrente. Un punto por defini-ción tiene dimensión cero. Para separaruna línea en dos partes desconectadas sólonecesitamos retirar un punto; de estaforma la dimensión topológica de unalínea es la dimensión topológica del puntomás uno, Dt=0+1=1. De forma similar,para separar un plano en dos partes desco-nectados necesitamos una línea con unvalor de Dt igual a 1, por lo que la Dt delplano será 2, y del mismo modo la dimen-sión topológica de la esfera será 3.

Dimensión de Inmersión (Di): Odimensión Euclidiana. Es la menordimensión en que el objeto puede estarinmerso. Por ejemplo un alambre rectotiene Dt=1 y Di=1, si lo doblamos enforma de aro tendrá Dt =1 y Di =2, y silo doblamos en forma de anteojos tendráDt=1 y Di=3.

Dimensión de Hausdorff (Db): Odimensión de medida, de HausdorffBesicovitch o de similitud. Fue introduci-da por Hausdorff en 1919 y está relaciona-da con el concepto de medida. Por ejemplosi queremos medir una recta y para ello

escogemos una escala e, su longitud L ven-drá definida por:

L = N(ε) ε

FFiigguurraa 22.. OObbtteenncciióónn ddee uunnaa lloonnggiittuuddiinnaall aa aa ppaarrttiirr

ddee uunn sseeggmmeennttoo..

Donde N(ε) es el número de veces quela escala ε es aplicada, como en el caso dela Figura 2, donde la longitud sería apro-ximadamente 5 ε .

En el caso de un área A (ver Figura 3)tendremos:

A(ε) = N(ε) ε2 .FFiigguurraa 33.. OObbtteenncciióónn ddee uunn áárreeaa aa ppaarrttiirr ddee uunn ccuuaa--

ddrraaddoo ddee llaaddoo EE..

Y análogamente para un volumen V:

V(ε) = N(ε) ε3.

Podemos percibir en la Figura 2 y en laFigura 3 que al reducir nuestra escala ε lamedida (longitud, volumen, etc.) se vuel-ve más precisa. Por tanto, podemos defi-nir, de forma genérica, la medida M:

Donde Dm es la dimensión del instru-mento de medida; si estamos midiendocon rectas Dm = 1, y en el caso de planosDm = 2.

Evaluando N(ε) tenemos que, en elcaso de una recta, a medida que ε dismi-nuye el número de intervalos N(ε) necesa-rios para cubrir toda la figura aumenta enrazón inversa, o sea,

N(ε) ~ ε -1

Para un plano tenemos que:N(ε) ~ ε -2

De esta forma:

donde C es una constante de propor-cionalidad.

Entonces, usando ε como escala relativaε = ε’/L (donde L es la longitud total) yaplicando la ecuación (2) en (1) se obtiene,

O sea, la medida sólo será definida paraDm=Db, pues para Dm>Db, en el límite deε 0 la medida será cero, y para Dm<Db

infinito. Esta conclusión es razonable,pues al intentar medir una recta con pla-nos obtendremos área cero, y en el casoinverso (un plano con rectas) obtendremoslongitud infinita.

La dificultad está en medir objetoscomo el de la Figura 1. En efecto, al inten-tar medir su contorno con segmentos detamaño ε (Dm=1=Dt), a medida que e dis-minuye se encuentran más detalles; de estaforma su longitud será infinita. Entonces,de acuerdo con lo dicho anteriormente sudimensión (Db) debe ser mayor que 1.Intentando medir esta dimensión con pla-


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cas cuadradas de lado ε (Dm=2=Di), elresultado obtenido es cero, por tratarse deun objeto de topología unidimensional.

De esta forma se puede concluir que ladimensión del contorno de la Figura 1debe estar entre 1 y 2.

Una explicación más precisa sobre elconcepto de la dimensión de Hausdorffpuede ser obtenida mediante unas pocasdefiniciones matemáticas (Falconer,1990).

Siendo U un sub-conjunto n-dimensio-nal en el espacio Euclidiano (U ⊂ Rn), eldiámetro de U, |U|, es la mayor distancia

que separa cualquiera par de puntos en U.Si F (mostrado en la Figura 4a) es un sub-conjunto en Rn, se le puede recubrir con unnúmero de sub-conjuntos Ui de Rn (posi-blemente grande pero contable), de formaque cada uno de ellos tenga un diámetropor lo menos igual a un valor dado ξ (0 <|Ui| ≤ ξ, para cada i). Este recubrimientoesta hecho de forma esquemática en laFigura 4b. F esta incluido en la unión detodos los Ui, o sea F ⊂ Ui. Un con-junto {Ui} que tenga estas propiedades seconsidera como un recubrimiento ξ de F.

(4)

FFiigguurraa 44 –– aa)) UUnn ccoonnjjuunnttoo FF yy bb)) uunnaa ppoossiibbllee rreeaalliizzaacciióónn ddee uunn rreeccuubbrriimmiieennttoo xx..

Entre todos los posibles recubrimien-tos ξ de F, podríamos estar interesados endeterminar cual de ellos es, de algunaforma, menor. Esta realización podría serdefinida como aquella que la suma de losdiámetros de los sub-conjuntos fuera menor.

Sería igualmente aceptable minimizar lassumas o , que

representarían la área o el volumen respec-tivamente. En el caso general, podríamoselevar a los diámetros |Ui| a una potenciano negativa s. Luego, para x < 0, se defi-ne que,


donde inf, representa el infimum, el mayorlímite, dentro de los inferiores, de un con-junto. En otras palabras la ecuación (4)busca el recubrimiento de F que minimi-ce la suma de las s-esimas potencias de losdiámetros; sería el equivalente a una medi-da de la longitud, área o volumen del con-junto a una escala ξ.

De la mismísima forma que hicimosanteriormente en esta misma sección, apli-camos el límite de ξ 0, para obtener lamedida exacta, y así resulta:

que se denomina la medida s-dimensional deHausdorff en el conjunto F. Para valores des enteros, la medida de Hausdorff se redu-ce a la tradicional medida n-dimensionalde Lebesgue (el usual n-dimensional volu-men), multiplicado por una constante.Para valores no enteros de s tenemos que s = Db,o dimensión de Hausdorff.

En realidad, en esta idea se basa una delas definiciones del término fractal, es decir:Un objeto es considerado fractal cuando sudimensión de medida, Db es mayor que sudimensión topológica, Dt y menor que sudimensión de inmersión, Di.

Por lo tanto, en Db está la idea de ocu-pación del espacio; así a medida que Db

aumenta, el grado de relleno del espacio,desorden o irregularidad también aumenta,como algo contínuo, pudiendo asumir valo-res no enteros. Todo ello difiere de la ideacomún clásica sobre dimensión geométricao Euclidiana. Por lo tanto, al determinar ladimensión fractal de un objeto, estamosobteniendo información acerca de la capa-

cidad de ocupación del espacio por partedel mismo.

La esponja de Menger

Como ejemplo de aplicación de la teo-ría fractal volvemos a consideral la enpon-ja de Menger presentada en la Figura 1, yaque el concepto que subyace a esta cons-trucción, ha demostrado ser de gran utili-dad en diversas ciencias, como geofísica yedafología.

La construcción de la esponja deMenger es bastante sencilla: el iniciador esun cubo de lado unitario; el generador (I1

en la Figura 1) se construye creando treshuecos cuadrados de lado 1/3, que cruzanel cubo en el centro de cada cara del ini-ciador. De esta forma se puede subdividirel volumen restante del cubo en 20 peque-ños cubos de lado 1/3; con éstos se repeti-ría el mismo procedimiento perforándoleshasta formar una figura infinitamenteagujereada (Figura 1).

Esta construcción iterativa puede serrepresentada desde un punto de vista físi-co, caracterizandola mediante el análisisfractal de su densidad y porosidad. Lasnociones de densidad y porosidad son tan-bién de gran utilidad en la modelizaciónde la fase sólida y los poros del suelo y sehan utilizado para elaborar modelos deorganización jerárquica de los agregados,como se discutirá posteriormente.

Para obtener la dimensión fractal de laesponja de Menger se considera el cuboiniciador de lado r0, hecho de un materialcualquiera con densidad ρ0; el primer esta-do, el generador, tendrá una porosidad φ1

(volumen de huecos partido por volumen

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total) igual a 7/27 y una densidad de masaρ1 (masa partido por volumen total) iguala 20ρ0/27. En la enésima iteración la den-sidad será dada por la masa restante parti-da por el volumen total del cubo:

donde rn es el lado del cubo resultante dela enésima iteración.

De acuerdo con el procedimiento des-crito, el lado de los cubos subdivididos enla enésima iteración vendrá dado por:

Aplicando el logaritmo en ambos tér-minos de las ecuaciones (6) y (7), se obtie-ne las relaciones:

y

Haciendo explicito n en la ecuación(9), substituyendolo en la expresión (8) yaplicando el exponencial en ambos térmi-nos, obtenemos la dependencia espacial dela densidad:

Por lo que, finalmente, utilizando larelación entre porosidad y densidad, φn=1-(ρn /ρ0), llegamos a:

Las ecuaciones (11) y (10) ilustranalgunas características de la esponja deMenger. En el límite de n ` ( o rn 0),la porosidad φn será igual a 1 y la densidadρn/ρ0 será igual a 0.

La ecuación (10) define una ley depotencia para la dependencia espacial de ladensidad, y en el límite de n `, consti-tuye un objeto autosimilar formado de unconjunto incontable de puntos con dimen-sión topológica cero.

22 AANNTTEECCEEDDEENNTTEESS DDEELL UUSSOO DDEEFFRRAACCTTAALLEESS EENN PPOORROOSSIIDDAADD DDEELLSSUUEELLOO

La estructura de los suelos puede serconsiderada según dos puntos de vistaopuestos pero complementarios. De acuer-do con el primero el suelo sería un mediocoherente, donde el empaquetamiento delos elementos sólidos forma agregados,que a su vez generan lagunas o poros. Parael segundo sería un medio poroso formadopor una red de poros, con más o menosconexiones, rodeadas por elementos sóli-dos. Ambos casos presentan una distribu-ción de tamaños dependiente de la escala.

Chepil en 1950 había observado uncomportamiento que tenia poco que vercon lo intuitivo, desde el punto de vista dageometría tradicional, al estudiar la rela-


(6)(11)

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ción entre la densidad y tamaño de agre-gados de suelos. En efecto, se observaba undecrecimiento sistemático en la densidad,al aumentar el tamaño de los agregados.

Turcotte, en 1986, fue el primero enincluir en su modelo de distribución departículas de un material geológico unaley de potencia:

N RiD´ = constante.

Donde N es el número total de partí-culas de radio mayor que Ri y D’ es ladimensión fractal de la distribución deltamaño de las partículas.

En 1981, Arya y Paris establecen unmodelo físico-empírico para la predicciónde la curva característica de humedad apartir de la distribución de tamaño de laspartículas, mediante una relación entre eltamaño de las partículas y el tamaño de losporos, dada por la ecuación:

siendo α un parámetro empírico mayorque la unidad, y e el índice de poros.

Ese modelo recibió críticas debido alcarácter empírico en el procedimiento uti-lizado para la determinación de α. Tyler yWheatcraft (1989) desarrollaron un mode-lo que elimina el carácter empírico delparámetro α, relacionándolo directamentecon la dimensión fractal del trazado delporo, o dimensión de capilaridad.

Basado en la misma idea de una distri-bución fractal de poros Bird et al. (1996)analizan las consecuencias de asumir dis-

tribuciones fractales para modelos deretención en superficies de suelos. Deacuerdo con los autores, aquellos modelosque asumían una distribución fractal delos poros basados en una distribución frac-tal de los agregados, deberían ser tomadoscon cautela. La explicación, en términosgenerales, proceden del simple hecho deque los espacios vacíos creados por losagregados mayores son rellenados por losagregados menores; eso implica una distri-bución de tamaños de rango menor, sugi-riendo una distribución distinta de la dis-tribución que resulta de considerar losespacios vacíos de los agregados.

La naturaleza jerárquica de la estructu-ra interna de los agregados también seajusta a modelos fractales. Hallett et al.(1998) la evaluó mediante dos técnicasdistintas, volumen específico y distribu-ción del tamaño de los poros, ambas seajustarán a distribuciones fractales, perocon valores distintos variando entre 2,70 y2,98, lo que sugiere una limitación al usode la dimensión fractal en predicciones delcomportamiento de propiedades físicas delsuelo a partir de parámetros o propiedadesmedidas a diferentes escalas.

Esta limitación puede ser explicada porel hecho de que ambas técnicas están ínti-mamente relacionadas con la distribuciónde los poros a distintos rangos de escala.De acuerdo con Childs (1969) la estructu-ra de poros en un suelo puede presentardistribuciones bimodales; así al ajustaruna única función estaríamos enmascaran-do los resultados para el rango de escalautilizado. Como cada técnica de medidatiene una precisión que la limita a rangosde escala distintos, los valores de la dimen-


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sión fractal serán distintos. De esta formaal evaluar la dimensión fractal de las pro-piedades físicas de los suelos es primordialun cuidadoso análisis de la forma de la dis-tribución a distintos rangos de escala.

33 MMÉÉTTOODDOOSS DDEE EESSTTIIMMAACCIIÓÓNN DDEE LLAADDIIMMEENNSSIIÓÓNN FFRRAACCTTAALL DDEE MMEEDDIIOOSSPPOORROOSSOOSS

Los suelos, y en general, los materialesporosos, se caracterizan por su masa sólida,m, masa de poros, p, y por el área de lainterfase solido-poro, s. El termino "masa"es utilizado aquí denotando longitud,superficie o volumen de un dato material,dependiendo de su dimensión topológica.

Como ya se ha mencionado anterior-mente, la primera propiedad de un objetofractal es su capacidad para describir, entérminos de reescalamiento, su autosimili-tud. De acuerdo con diversos autores (VanDamme et al., 1988; Van Damme y BenOhoud, 1990 y Pfeifer y Obert,1989), esposible encontrar relaciones fractales sim-ples en forma de ley de potencia entre lastres propiedades que definen la "masa" m,p y s y el tamaño R del material estudiado.Estas relaciones se pueden expresar enforma de leyes de potencia y se definen acontinuación.

donde Dm, Dp y Ds son las dimensionesfractales características de la masa sólida

m, masa de poros p y de la superficie deinterfase sólido-poro, respectivamente. Lavalidez de la ley de potencia, a priori, noesta de todo garantizada; distribucionesen forma de ley de potencia (fractal) pue-den existir aunque la distribución de masao superficie no tenga bien definida laforma de campana de las funcionesGausianas.

Al evaluar medidas efectuadas en subs-tratos bidimensionales, tales como seccio-nes delgadas de suelo, cada una de estasdimensiones Dm, Dp o Ds pueden ser obte-nidas adicionando 1 a sus correspondientesvalores medidos en el plano de intersec-ción del medio poroso (Mandelbrot,1982).

En el caso particular en que Dm= Dp =Ds = 3, el material no es un fractal. Este esel caso para materiales homogéneos, regu-lares y tridimensionales, como la gel desilice (Avnir et al, 1985) o la Caolinita(Van Damme y Ben Ohoud, 1990).

A continuación se describirán tresmétodos de evaluación de las dimensionesmencionadas en las ecuaciones (14), (15) y(16).

33..11 EEvvaalluuaacciióónn ddee Dm bbaassaaddoo eenn llaa ddeennssii--ddaadd aappaarreennttee ddee aaggrreeggaaddooss

Los resultados de la bibliografía(Wittmuss y Mazurak, 1958; Gumbs yWarkentin, 1976) coinciden en el hechode que la densidad aparente de agregadoso terrones de suelos disminuyen (o suporosidad crece) como una función de susdiámetros medios en el rango comprendi-do entre 0.1 a 2 mm para agregados, yentre 0.4 y 15 cm para terrones.


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La primera interpretación racional deestos resultados fue la propuesta porCurrie (1966), que mostró que el área de lasuperficie de los agregados podría afectarsubstancialmente a su densidad aparente.Este autor creó un modelo de agregadosesféricos (Figura 5), considerando la mag-nitud del espacio poroso que se perdía conlas subdivisiones sucesivas de los agrega-dos, y desarrolló una ecuación para estaporosidad efectiva. Esta ecuación se ajustaparcialmente a los datos experimentales.Nótese la notable similitud entre el mode-lo jerárquico de agregados presentado enla Figura 5 y la esponja de Menger de laFigura 1.

El principio de exclusión de la porosi-dad (Currie, 1966; Dexter, 1988) inferidoa partir de esto concepto de organizaciónjerárquica de los agregados (Figura 5) per-mite explicar, en esencia, porqué los agre-gados de menor tamaño poseen menosporosidad y mayor superficie de contactoentre partículas.

El modelo jerárquico de un agregadocreado por Currie es un autosimilar típico,y fue, naturalmente, reinterpretado utili-

zando la geometría fractal estadística, porRieu y Sposito (1991a,b).

La densidad aparente ρb de un medioporoso es, por definición, igual a la masasólida m partido por el volumen del agre-gado V:

Si el medio poroso es un fractal de tipomasa sólida, la masa m se reescalonará enforma de ley de potencia en función de R(ecuación (14). Siendo el volumen unafunción de R3, la densidad aparente ρb

estará relacionada con la dimensión fractalde masa sólida Dm por:

Aplicando la clásica ecuación de poro-sidad φ (R)=1-ρb(R), obtenemos:

A pesar de que algunos de los datospublicados en la bibliografía disponiblepresenten una dispersión considerable encuanto a los métodos de medida y en con-

FFiigguurraa 55 –– IIlluussttrraacciióónn ddeell mmooddeelloo ddee jjeerráárrqquuiiccoo ddee aaggrreeggaaddooss ddee CCuurrrriiee ((11996666))..

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secuencia en cuanto a los resultados obte-nidos, todos ellos son consistentes, desdeel punto de vista estadístico, con las ecua-ciones (18) y (19) (Figura 6). Téngase encuenta que la ecuación (19) es semejante a

la ecuación (11) deducida empíricamentepara la esponja de Menger, que al igualque la proporción de las fases porosa y sóli-da del suelo, también se caracterizabamediante la densidad.


FFiigguurraa 66 –– IIzzqquuiieerrddaa:: ddeennssiiddaadd aappaarreennttee ppaarraa ddiissttiinnttooss ttaammaaññooss ddee aaggrreeggaaddooss.. DDeerreecchhaa:: PPoorroossiiddaadd eenn ffuunn--cciióónn ddeell ddiiáámmeettrroo mmeeddiioo ddee aaggrreeggaaddooss ppaarraa ssuueellooss ffrraannccoo--lliimmoossooss ((aa)),, ffrraannccoo--aarrcciilllloo--lliimmoossooss ((bb)) yyaarrcciilllloossooss ((cc)) ((ddaattooss ddee MMoonnnniieerr eett aall.. 11997733)).. LLooss ddaattooss ffuueerroonn aajjuussttaaddooss uuttiilliizzaannddoo llaass eeccuuaacciioonneess((1188)) yy ((1199)) ((DDmm==22,,9944 ccoonn PP<<00..000011,, DDmm==22,,9955 ccoonn PP<<00..000011 yy DDmm==22,,9988 ccoonn PP<<00..002255 ppaarraa ((aa)),, ((bb)) yy((cc)),, rreessppeeccttiivvaammeennttee))..

Alguno de estos resultados se presen-tan en la Figura 6, e indican que la distri-bución de masa de los agregados se hacemás homogénea al aumentar el contenidoen arcilla, para el rango de diámetros enque se aprecia comportamiento fractal(entre 0,1 y 1,6 mm y entre 1 y 20 mm enlos gráficos izquierda y derecha de laFigura 6, respectivamente).

33..22 EEvvaalluuaacciióónn ddee DDpp mmeeddiiaannttee eell mmééttooddoo""BBooxx--CCoouunnttiinngg""

El método conocido como "box-coun-ting", fue introducido en la ciencia delsuelo por Hetano et al. (1992) y Crawfordet al. (1993b). La imagen binaria digitali-zada de una sección delgada de suelo, esrecubierta con una rejilla formada de cel-das cuadradas de lado r. El número de cel-

das cuadradas N(r) que contengan un poro(bien un poro individual o bien una frac-ción del espacio poroso) será consideradofractal si se puede establecer la siguienterelación:

donde Dp es la dimensión fractal del espa-cio poroso.

Hetano et al. (1992) estudiaron el espa-cio poroso en horizontes B de suelos delgrupo de los Andisoles teñidos con azul demetileno. Los patrones de manchas forma-dos por tinción fueron atribuidos a la pre-sencia de fenómenos de flujo preferencial.Estos autores encontraron que la dimen-sión fractal del espacio poroso disminuyeal aumentar la profundidad en el suelo,desde 0,59 hasta 2,0 m. Es interesante el

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resultado encontrado al analizar regionescon abundantes grietas y canales de raíces.En estas zonas se observaron valores de Dp

menores que 1, mientras que se encontróun valor mayor que 1.7 considerandograndes manchas que se extendían portoda la columna del suelo. El Regosol vol-cánico, del que procede el Andisol, tieneun valor medio de Dp de 1,48, con unavarianza relativamente pequeña.

Crawford et al. (1993b) utilizaron elmismo método con 200 puntos, cuyo ori-gen fue elegido aleatoriamente. La hetero-geneidad de la red de poros fue mayor parasuelos con estructura en bloques angularesseparados por patrones regulares de agrie-tamiento (Dp =1,71) que en los suelos conestructura migajosa (Dp =1,94).

Skjeltorp y Meakin (1988), en su traba-jo sobre simulación de fracturas en mono-capas, encontraron resultados similares alde Crawford, con redes de grietas que pre-sentaban un patrón de agrietamiento simi-lar al del suelo (Dp =1,68±0,06). En amboscasos, lo fundamental para el proceso decrecimiento de grietas trazados por estosautores sugiere claramente que los patronesde agrietamiento deben ser descritos entérminos conceptuales propios de la geo-metría fractal.

33..33 DDeetteerrmmiinnaacciióónn ddee DDss aa ppaarrttiirr ddee ddiiss--ttrriibbuucciioonneess ddee ppoorroo//vvoolluummeenn

Un método disponible para identificarindirectamente los contornos de las inter-fases sólido-poro, es el uso de una medidaindirecta de la superficie específicamediante un fluido tal como el nitrógeno(Avnir et al., 1985) o del espacio poroso

mediante técnicas como la intrusión demercurio (Bartoli et al., 1993). En estoscasos, la dimensión fractal de superficie Ds

es solamente una dimensión de similitudpues la superficie medida describe princi-palmente la superficie accesible para lasonda y no la superficie real sólido-poro.La accesibilidad puede variar tanto con laescala como con el tipo de sonda utilizada.Por ejemplo, un gran poro cuyo accesohacia el exterior de la muestra de suelo esteformado solamente por un canal delgado,será considerado como un poro relativa-mente pequeño.

Comparando el método tradicional queusa nitrógeno (N2 - B.E.T) para estimar lasuperficie especifica de suelos, la porosi-metría de intrusión de mercurio, comouna medida de la estructura intergranular,este último tiene la desventaja de delimi-tar las interfaces sólido-poro con menorresolución (efectos cuellos de botella "bot-tle neck"), pero presenta la ventaja de quepuede ser analizado un rango mayor detamaños. Comparado con las técnicas deanálisis de imagen (que permiten medirmacroporos), las medidas con intrusión demercurio tienen la gran ventaja de sumayor rapidez.

La estructura superficial de los porospuede ser caracterizada por una distribu-ción, Vp(R), definida como el volumenacumulado de los poros con radio límitemayor que R. Si Vp(R) sigue una distribu-ción en forma de una ley de potencia, suescalamiento será del tipo (ver ecuación(3)):


(21)

donde D es la dimensión del volumenporoso y el exponente 3 se refiere a ladimensión topológica del volumen de losporos.

El área total de la superficie de porosS(R) con radio límite mayor que R vienedado por:

Substituyendo la ecuación (21) en (22),obtenemos la relación:

donde Ds es la dimensión fractal de lainterfase sólido-poro.

Escribiendo la ecuación (23) en laforma diferencial tenemos:

Que para el volumen de poros residual(VR=Vtotal-Vp):

Por lo tanto la dimensión fractal de lasuperficie puede ser obtenida como la pen-diente del ajuste lineal de la ecuación (25)en un gráfico doble logarítmico. De acuer-do con lo comentando anteriormente lainterpretación de Ds como una dimensiónfractal lo restringe al intervalo 2 < Ds < 3.

Por otra parte, se pueden considerar losconceptos anteriores, en combinación conla ecuación de Laplace (o Washburn):

donde P es la presión aplicada en las expe-riencias con mercurio y las demás variables(α y δ) son parámetros del medio y nodependientes de la escala.

De donde tenemos que la diferencialdR~dP(-P-2), lleva a una relación más con-veniente desde el punto de vista operativo:

44 EESSTTUUDDIIOO DDEE UUNN CCAASSOO:: DDIIMMEENNSSIIÓÓNNFFRRAACCTTAALL DDEELL EESSPPAACCIIOO PPOORROOSSOO DDEELLSSUUEELLOO CCAARRAACCTTEERRIIZZAADDOO PPOORRIINNTTRRUUSSIIÓÓNN DDEE MMEERRCCUURRIIOO

A continuación se discute la aplicaciónla relación (27) a 16 muestras de agrega-dos procedentes de diferentes localidades,con distintas composiciones de suelo. Lasmuestras estaban agrupadas en parestomados en parcelas adyacentes dedicadasa pradera y cultivo, y se analizó la distri-bución de tamaño de poro mediante la téc-nica de la intrusión de mercurio.

La técnica de porosimetría de mercuriopermite conocer no solo el volumen totalde poros, sino también su distribución portamaños de diámetro en el intervalo com-prendido entre 200 μm y 60 nm, es deciren un rango de escala que abarca cincoordenes de magnitud.

La composición y las propiedades delos suelos estudiados se han descrito deta-lladamente en trabajos anteriores (Paz yGuerif, 1993 y Fernandez Rueda, 1997).En la Tabla 1 se presentan los resultadosdel análisis granulométrico y contenido en


(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Localidad y símbolo Granulometria

P % LF % LG % AF % AG % MO % Porosidad

Dedicación: Cultivo

Raigoso (RAC) 17,10 42,10 20,40 10,10 10,30 6,11 35,28Sigüeiro (SIC) 14,40 15,90 11,70 30,70 27,30 4,87 42,14La Silva (LSC) 13,70 31,30 13,50 14,90 26,60 13 48,94Mabegondo (MAC) 16,40 41,70 18,40 14,30 9,20 3,47 43,88Monforte (MOC) 18,00 29,10 21,40 23,10 12,50 2,03 35,90Barreiro (BAC) 8,70 26,80 19,00 22,60 22,90 2,92 47,15Bonxe (BOC) 16,50 19,20 12,70 28,60 21,40 4,8 41,20Castro (CAC) 13,20 13,70 11,90 26,90 34,30 6,5 29,25

Dedicación: pradera

Raigoso (RAP) 21,00 49,30 17,20 8,50 4,00 7,96 41,20Sigüeiro (SIP) 14,90 20,20 10,70 28,30 25,90 3,85 46,33La Silva (LSP) 12,40 34,00 13,40 15,40 24,80 10,2 54,50Mabegondo (MAP) 20,80 57,40 10,70 8,00 3,10 7,55 54,55Monforte (MOP) 13,10 27,00 20,20 25,80 14,00 2,25 36,76Barreiro (BAP) 9,10 25,00 18,20 20,60 27,10 3,42 51,16Bonxe (BOP) 18,10 19,00 13,50 28,20 21,30 6,5 49,57Castro (CAP) 16,50 16,40 10,30 22,50 34,30 12,12 35,97

TTaabbllaa 11 –– IInnffoorrmmaacciióónn ggeenneerraall ssoobbrree llooss ssuueellooss eessttuuddiiaaddooss ((PP== ccoonntteenniiddoo eenn aarrcciillllaa;; LLFF==lliimmoo ffiinnoo;; LLGG==lliimmooggrruueessoo;; AAFF==aarreennaa ffiinnaa;; AAGG==aarreennaa ggrruueessaa;; MMOO==mmaatteerriiaa oorrggáánniiccaa))..

materia orgánica de los mismos. Se apreciaque la textura oscila entre moderadamentegruesa y media, destacando la cantidadpoco importante de arcilla. El conjunto de

los suelos seleccionados presenta unamplia gama de contenido en materiaorgánica que oscilan desde aproximada-mente 2 hasta 12,1%.


La distribución de tamaño de poro semedió en muestras de 1,7 a 2 g formada pordiversos agregados individuales de 2 a 3 mmde diámetro. Se utilizó un porosímetroMicromeritics 9310 con dos unidades quepermiten operar desde 3.10-3 hasta 200 Mpa(Fiès y Bruand, 1990). Admitiendo que losporos son cilíndricos, el radio medio equiva-lente, R, se calcula a partir de la presión Pejercida para forzar la entrada de mercurio, latensión superficial, Γ, y el ángulo de contac-to, θ, de acuerdo con:

Para efectuar los cálculos se empleó unvalor medio de θ=130º y de Γ=0,484N/m-1.

Los datos de porosidad diferencial delos suelos estudiados han sido discutidospor Paz y Guerif (1993), Benito etal.(1991), Pini et al. (1993) y FernándezRueda (1997).

En la Figura 7 se presenta la represen-tación gráfica (en gráficos doble logarítmi-cos) de la ecuación (25) para las muestrasestudiadas. En estas gráficas se nota uncomportamiento lineal bimodal, con unaleve pendiente inicial para el rango aproxi-(28)

mado de R entre 3x10-3 y 4x10-1μm y unaumento de la pendiente para valores de R> 4x10-1μm. Resultado similares han sidoobtenidos por Bartoli et al. (1992, 1997).

A pesar de que en ambas regiones setiene un buen ajuste lineal, no podemosasignar a la segunda (R > 4x10-1μm) unadimensión fractal, debido a que su valorsería mayor que la dimensión topológica delmedio 3, por lo tanto sin significado físico.

El rango de comportamiento fractalcoincide aproximadamente con el rango delos mesoporos (poros que almacenan elagua útil para las plantas), y que de acuer-do con lo comentado anteriormente unmedio fractal es una de las estructuras máseficiente de ocupación del espacio, o sea lasplantas se adaptaron para extraer el aguadel medio que mejor la almacena.


FFiigguurraa 77 –– RReellaacciióónn eennttrree vvaarriiaacciióónn ddeell vvoolluummeenn yy rraaddiioo mmeeddiioo ddee llooss ppoorrooss.. ((RR eenn μμmm))..

Los resultados obtenidos para Ds, calcula-dos para la primera región (3x10-3<4x10-1μm),se consignan en la Tabla 2, y se represen-tan gráficamente en la Figura 8.

Al examinar los valores de Ds en laTabla 2 (o Figura 8) se puede observar una

clara diferencia entre los dos tipos de usodel suelo, los valores para pradera son casisiempre, con excepción de Monforte,mayores que para cultivo.

Nombre CULTIVO PRADERA

Ds Error R Ds Error R

Monforte 2,61 0,03 0,9604 2,52 0,05 0,872Bonxe 2,31 0,04 0,7908 2,33 0,05 0,758Castro 2,41 0,06 0,7447 2,45 0,06 0,785La Silva 2,43 0,03 0,9516 2,51 0,03 0,953Raigoso 2,26 0,01 0,9649 2,36 0,02 0,941Barreiro 2,25 0,04 0,7289 2,38 0,03 0,932Sigueiro 2,27 0,03 0,8519 2,43 0,02 0,953Mabegondo 2,36 0,02 0,9593 2,55 0,03 0,954

TTaabbllaa 22 –– RReessuullttaaddooss ddee llaa ddiimmeennssiióónn ffrraaccttaall ppaarraa llooss ssuueellooss eessttuuddiiaaddooss ((DDiimmeennssiióónn ffrraaccttaall eerrrroorr ddee ccáállccuulloo

yy ccooeeffiicciieennttee ddee ccoorrrreellaacciióónn ddee llooss aajjuusstteess))..


La correlación entre los Ds calculadospara cultivo y pradera indican que única-mente algo menos del 47% de la variabili-dad (R2=0,4667) puede ser explicada porlas diferencias de composición (distintocontenido de arcilla y materia orgánica),restando otros 53% sin explicar debido aotros factores como: laboreo del suelo,compactación, etc.

Se comprueba que son precisamente lasmuestras más compactas, las del suelotomado en Monforte, las únicas que pre-sentan una dimensión fractal superior a2,5, tanto bajo cultivo como bajo pradera.En los restantes pares de muestras ladimensión fractal solo supera 2,5 en doscasos (La Silva y Mabegondo); lo más des-tacable, sin embargo, de estes ocho paresde muestras es que el valor de la dimen-

sión fractal parece depender de la dedica-ción, de modo que es mayor bajo praderaque bajo cultivo.

Estos resultados parecen sugerir queexiste una relación entre la dedicación, o loque es lo mismo, el efecto de la materiaorgánica, y la dimensión fractal, de modo,que la dedicación a pradera parece quetiende a incrementar el valor de la dimen-sión fractal. Un valor de dimensión fractalmás alto significa una mayor homogenei-dad de los tamaños de poro, lo que no seobserva por el simple análisis directo delas curvas de intrusión de mercurio. Portanto el análisis fractal aporta nuevos ele-mentos para comprender el efecto de lamateria orgánica sobre la organizaciónestructural de los agregados.

Los R2 entre los elementos de la Tabla1 y Ds no sobrepasan 0,1, lo que indicaque, al considerar Ds como índice caracte-rizador de la estructuda de los poros, sepuede concluir que la granulometría delsuelo no afecta su estructura.

Entre tanto, al relacionar las diferenciasentre cultivo y pradera para los elementosde la Tabla 1 y las correspodientes diferen-cias en la dimensión, obtenemos una corre-lacion de 0,51 entre direfencia de limo finoy diferencia de Ds. Esto concuerda conresultados previos que señalan la importan-cia de la fracción limo para establecer dis-tinciones entre las muestras estudiadas,dado que los contenidos en arcilla de lasmismas son muy pocos variables.

55 RREESSUUMMEENN YY CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS

La geometría fractal aporta a laCiencia del Suelo una herramienta fiablepara la descripción de la estructura delsuelo, particularmente en el caso demedios heterogéneos.

Los resultados más recientes sobredescripciones cuantitativas de la estruc-tura "desordenada" del suelo fue la incor-poración de la dimensión fractal delsuelo y/o otras dimensiones característi-cas de la estructura fractal, tales como lapropagación y la conectividad dentro demodelos matemáticos de transporte deagua y ciclo de nutrientes (Bartoli etal.1997).

El hecho de que algunas característicasdel suelo se ajusten en el dominio de lageometría fractal implica una serie decambios en la forma de medir, modelizar yextrapolar medidas en estos medios. Alcontrario de lo que se pensaba, el cambiode escala afecta el valor de medida, y deacuerdo con lo visto en este trabajo lasuposición de homogeneidad entre escalasimplica errores en ordenes de potencia. Asídentro del contexto de la geometría fractallas hipótesis de cambio de escala deben sercuidadosamente estudiadas.

Del análisis de la dimensión fractal deuna serie de curvas de porosimetría de mer-


FFiigguurraa 88 –– VVaalloorreess ddee llaa ddiimmeennssiióónn ffrraaccttaall sseeppaarraaddooss ppoorr llaa ffoorrmmaa ddee uussoo ddeell ssuueelloo..

curio se aprecia que dicha propiedad delsuelo presenta comportamiento fractal enun rango de diámetros que viene a coinci-dir con las dimensiones de los mesoporos.

La dimensión fractal parece estar rela-cionada con el contenido en materia orgá-nica y en consecuencia puede ser unaherramienta que ayude al estudio de losmecanismos de agregación.

AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOOSS

Este trabajo se efectuó gracias a dosbecas AECI del Ministerio de AsustosExteriores y, en parte, también fue finan-ciado por la Xunta de Galicia en el marcodel proyecto XUGA 29101B93.


BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA

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Teoría fractal y efecto de cambio de escala: aplicación ... · se presenta un ejemplo del...

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