Teoria y Problemas de Integrales Triples Ccesa001
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ANALISIS MATEMATICO III
INTEGR LES TRIPLES
Demetrio Ccesa Rayme
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Integrales Triples
Definición:
Sea D una región cerrada y acotada del espacio IR .
Sea f: IR IR una función definida sobre la región D.
Los pasos que conducen a la definición de integral triple son semejantes a los que
conducen a la definición de integral doble y se resumirían así:
1. Consideramos una red tridimensional de planos que contenga a D siendo Di
i=1,….., n subregiones de la red, de volúmenes respectivos ∆Vi, totalmentecontenidas en R.
2. Escogemos (Xi,Yi, Zi) punto arbitrario de Di para i=1,…..,n.
3. Calculamos la suma
4. Consideramos redes cada vez más finas que contengan a D, de modo que las
dimensiones de cada subregión tiendan a 0, y el número de subregiones
contenidas en D sea cada vez mayor. Entonces definimos:
Funciones Integrables
La función escalar de tres variables f definida en la región D cerrada y acotada se dice
que es integrable sobre D si y solo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es
finito. El valor recibe el nombre de integral triple de f sobre D.
Condición suficiente de integralidad
Si la función f es continua en la región D cerrada y acotada entonces f es integrable sobre
D.
Propiedades de la integral triple
En coordenadas rectangulares cartesianas dV = dx dy dz.
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Reducción de integrales triples a integrales
iteradas
Supongamos que la región de integración D está limitada inferiormente por la gráfica de
Y superiormente por la gráfica de , de manera que en el plano xy la
proyección de D viene dada por:
Las dos últimas
integraciones indican
el plano coordenado
sobre el que se
proyecta el dominio
D.
Para efectuar unaintegral triple
tendremos 3! = 6
posibilidades en
cuanto al orden de
integración se
refiere.
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Interpretación y aplicaciones de la integral
triple
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Cambio de variable
Consideremos el cambio de variable dado por la aplicación:
x = X (u,v,w)
y = Y (u,v,w)
z =Z (u,v,w)
siendo D´ la región del espacio uvw que se aplica en la región D del espacio xyz.
Si se cumplen las condiciones siguientes:
-Las funciones:
son continuas en D´.
-La aplicación de D´ sobre D es biyectiva.
-El jacobiano de la aplicación J(u,v,w) ≠0.
Entonces:
∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = ∫∫∫ f(X(u,v,w), Y(u,v,w)) │J(u,v,w)│ du dv dw
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Cambios de variable usuales
(1) Coordenadas Cilindricas
X=rcosθ
Y=rsenθ
Z=z
J(r, θ , z) = r
(2) Coordenadas Esfericas
X=rsenφcosθ
Y=rsenφsenθ
Z=rcosφ
J(r, φ, θ) = r senφ
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TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Divergencia de un campo vectorial
Para el campo vectorial F: IR IR
(x,y,z) (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z))
Se define la divergencia de F como el siguiente campo escalar:
Teorema de la divergencia
Sea F: IR IR un campo vectorial cuyas componentes sean funciones
continuas con primeras derivadas parciales continuas en un dominio del espacio
que contenga a la region D cerrada y acotada.
Sea S, frontera de la region D, una superficie regular a trozos y n vector normal
exterior a S.
Entonces:
O analogamente:
Interpretacion del teorema
La integral de superficie de F.n se interpreta como el flujo neto que atraviesa la
superficie cerrada S en direccion de la normal exterior; este valor es igual a la
integral triple sobre la
region D del campo
escalar div F, que seinterpreta como el
flujo que se genera
en el interior de S.
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Problemas Resueltos:
1. Calcular el volumen del solido limitado por el
paraboloide z = + y la esfera + + =
Proyección de intersección curva:
+ =
+ + = 2
Sustituyendo + por z:
+ = 2
+ 2 = 0
Soluciones: z=1 , z=-2
La única solución válida es z=1; esto indica
que la curva de intersección esta en z=1, por tanto, su proyección en el plano coordenado
xy es:
+
= 1
Descripción del solido D en coordenadas cilíndricas:
X = rcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
Y = rsenθ J (r , θ , z) = r 0 ≤ r ≤ 1
Z= z ≤ z ≤ √2
Vol (D) =
∭ = ∫ ∫ ∫
22
= 2π ∫ 2 2 3 = 2 12 (22)323 2⁄ 4
4
= 2π [1 3⁄ (2√ 2 1) 1 4⁄ ] = 8√ −76
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2. Calcular el volumen del solido limitado por + = + = z=1 z= ⁄
En cilíndricas:
X = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π
Y = r senθ J (r , θ , z) = r D1 1/2 ≤ r ≤ 1
Z= z 1/2≤ z ≤ r
0 ≤ θ ≤ 2π ya que la proyección de la intersección es:
1 ≤ r ≤ √ 2 D2
½ ≤ z ≤ 1
D1: D2:
Entonces:
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3.- Calcular el volumen de la región del espacio limitada
por el paraboloide , el cilindro y el
plano z=-3.
Solución:
En coordenadas cilíndricas:
X=rcosθ
Y=rsenθ J(r, θ,z)= r
Z=z
Descripción de la región D:
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4.- Calcular el volumen del cuerpo limitado inferiormente
por el paraboloide y superiormente por la esfera
Solución:
La solución válida es z=1 y supone que ambas superficies se cortan en el plano
<=1. Para hallar su proyección en el plano coordenado basta sustituir en una
cualquiera de las dos el valor de z por 1, y obtener:
Descripción de D en coordenadas cilíndricas:
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5.- Calcular las siguientes integrales triples:
(a) ∭ .
D solido limitado por la superficie z = xy y los planos y = x, x = 1, z = 0
Descripción de D:
(b) ∭ + + + −.
D solido delimitado por el plano x + y + z = 1 y los planos
coordenados.
Descripción de D:
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(c) ∭ .
D solido limitado por el paraboloide = + , y el
plano x+y = 1 y los planos de coordenadas.
Descripción de D:
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6.- Calcular el volumen del solido delimitado por el
cilindro + = y los planos z=0 z=4
Coordenadas
cilíndricas:
Descripción de D en
cilíndricas:
Integrando:
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7.- Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro + = y los planos z = 2 – x z = 0
Coordenadas Cilíndricas:
Descripción de D en coordenadas
cilíndricas:
Integrando:
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8.- Calcular el volumen limitado por el cilindro + = y los planos z = 0 x + y + z = 2
Coordenadas Cilíndricas:
Descripción de D en
cilíndricas:
Integrando:
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9.- Calcular el volumen del solido comprendido entre las
superficies = y z = 1/2
Proyección en el plano xy de
la curva intersección:
En coordenadas cilíndricas:
D se describe como:
Integrando:
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10.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por el
paraboloide = + y el cono = + /
Curva intersección del cono
y el paraboloide:
Sustituyendo + por z:
Z = 2 -
√
Llamando √ =
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11.- Calcular = + y la semiesfera + + =
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12.- Calcular el volumen del solido limitado por el plano z
= 0, el cilindro circular + = y el semicono = +
El cilindro + = es + =
Por la simetría del solido consideramos solamente la
mitad correspondiente a la proyección sobre el primer
cuadrante de xy, D.
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13.- Calcular el volumen del solido que es el interior del
cilindro + = limitado por la esfera + + =
El cilindro
+
= es, completando cuadrados
+ = /
Por la simetría de la figura, consideramos la parte
superior y de esta la porción octante, por lo tanto:
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14.- Calcular la integral del campo F (x,y,z) = (xyz,
sen + , z – ½ ) sobre la superficie formada por
el plano 2x – y + z = 1 y los planos de coordenadas.
Como se trata de una superficie cerrada podemos aplicar
el teorema de la divergencia.
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15.- Calcular la integral del campo vectorial F(x,y,z) = (, , 3x-sen xy) sobre la superficie limitada por la
porción del paraboloide = y la semiesfera
+ + = ¿Puede aplicarse el teorema de ladivergencia?
Para z ≥0 la superficie es la paraboloide = . Su intersección con
el plano z=0 es la circunferencia + = .
Para z ≤0 la superficie es la semiesfera + + = . Su intersección del
plano z=0 es también la circunferencia + = .
Asi pues, ambas superficies intersectan el plano z=0 en una misma
circunferencia de centro el origen y de radio
/. La unión de ambas
superficies en una superficie cerrada y podrá aplicarse el teorema de ladivergencia.
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16.- Para el campo vectorial cuyascomponentes sean funciones con derivadas parciales deprimer y segundo orden continuas, demostrar que:
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17.- Calcular la divergencia de los siguientes campos
vectoriales:
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18.- Probar el momento de inercia de una bola esférica
maciza de densidad constante respecto a uno cualquiera
de sus diámetros es 2/5 M , donde M denota masa y R
el radio de la bola.
Si tomamos como diámetros de la bola el eje OZ
tendremos:
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19.- Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro
parabólico = y los planos z=0 x+2y+z=4
Para la determinación del
solido D necesitamossaber cuál es la
intersección de la
parábola 2 = con la
recta x=4-2y. La parábola
y la recta son,
respectivamente, las
intersecciones del cilindroparabólico y del plano dados con el plano coordenado z=0.
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20.- Calcula el volumen común a los interiores de las
esferas + + = y + + =
Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de
ambas esferas: