teoria.trigonometria.4º esob

7/29/2019 teoria.trigonometria.4 esob

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Tema 7: Trigonometra Matemticas B 4 ESO 1

TEMA 7 TRIGONOMETRA

7.0 UNIDADES DE MEDIDAS DE NGULOS

4 7.0.1 GRADOS SEXAGESIMALES

Grados, minutos y segundos : 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos

4 7.0.2 GRADOS CENTESIMALES (No la utilizaremos)

Grados, minutos y segundos : 1 grado = 100 minutos, 1 minuto = 100 segundos

4 7.0.3 RADIANES

Un radian es la medida de un ngulo, cuyo radio coincide con el arco:

4 7.0.4 RELACIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

2 radianes 360 sexagesimales rad 180

7.1 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO

4 7.1.1 DEFINICIONES

Razn entre dos nmeros o proporcin entre ellos, a su cociente

4 Sobre un ngulo agudo , construimos un tringulo rectngulo:B

h y

A Cx

Seno de es la razn entre la longitud del cateto opuesto a y la longitud de la

hipotenusa:h

y

AB

BC

hipotenusa_la_de_longitud

_a_opuesto_cateto_del_longitudsen ==

=

Coseno de es la razn entre la longitud del cateto contiguo a y la longitud

de la hipotenusa: hxABAChipotenusa_la_de_longitud _a_contiguo_cateto_del_longitudcos===


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Tangente de es la razn entre la longitud del cateto opuesto a y la longituddel cateto contiguo a

x

y

AC

BC

_a_contiguo_cateto_del_longitud

_a_opuesto_cateto_del_longitudtag ==

=

Cosecante de es la razn entre la longitud de la hipotenusa y la longitud delcateto opuesto a :

y

h

BC

AB

_a_opuesto_cateto_del_longitud

hipotenusa_la_de_longitudeccos ==

=

Secante de es la razn entre la longitud de la hipotenusa y la longitud delcateto contiguo a :

x

h

AC

AB

_a_contiguo_cateto_del_longitud

hipotenusa_la_de_longitudsec ==

=

Cotangente de es la razn entre la longitud del cateto contiguo a y lalongitud del cateto opuesto a :

y

x

BC

AC

_a_opuesto_cateto_del_longitud

_a_contiguo_cateto_del_longitudagcot ==

=

Estas relaciones se llaman razones trigonomtricas del ngulo

Nota: Como en un tringulo rectngulo los catetos siempre son menores que lahipotenusa el seno y el coseno de un ngulo toman valores entre 0 y 1.

4 7.1.2 LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DEPENDEN DEL NGULOPERO NO DEL TRINGULO

4

Estos dos tringulos son semejantes, por tanto las razones trigonmetricas

dependen del ngulo no del tringulo.


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7.2 RELACIONES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES

4 7.2.1 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

4 Por las definiciones:cosec =

sen

1 sec =

cos

1 cotag =

tag

1tag =

cos

sen

Como es un tringulo rectngulo se cumple el teorema de Pitgoras:x2 + y2 = h2

Dividiendo por x2, y2, h2 respectivamente, obtenemos

2

2

2

2

2

2

xh

xy

xx =+

22

xh

xy1

=

+ 1 + tag2 = sec2

2

2

2

2

2

2

y

h

y

y

y

x=+

22

y

h1

y

x

=+

1 + cotag2 = cosec2

2

2

2

2

2

2

h

h

h

y

h

x=+ 1

h

y

h

x22

=

+

sen2 + cos2 = 1

4 7.2.2 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 30, 45 Y 60

4 Razones trigonomtricas de 45

La hipotenusa de este tringulo rectngulo issceles

1 mide: h = 211 22 =+

1

Por tanto: sen 45 =2

2

2

1= cos 45 =

2

2

2

1= tag 45 = 1

4 Razones trigonomtricas de 30 y 60

1 1 Calculamos la altura de este tringulo equiltero:

a =2

3

4

3

4

11

2

11

22 ===

1

Por tanto: sen 30 =2

1cos 30 =

2

3tag 30 =

3

3

sen 60 =2

3cos 60 =

2

1tag 60 = 3


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7.3 UTILIZACIN DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRA

4 7.3.1 SELECCIN DEL MODO DEG (GRADOS SEXAGESIMALES)

4 MODE + 4

4 7.3.2 ANOTAR NGULOS. TECLA

4 La tecla sirve para expresar en forma decimal un ngulo dado en grados,minutos y segundos:57 8 24 57 8 24 57,14 grados

Precedida de la tecla INV hace lo contrario: pasa de grados a grados, minutosy segundos

57,14 grados 57,14 INV 57 8 24

4 7.3.3 UTILIZACIN DE LAS TECLAS SIN, COS, TAN

Hallar la razn trigonomtrica de un nguloCalcular sen 47 : 47 sin = 0,731353701

Hallar un ngulo conocida una de sus razones trigonomtricasSi tag = 1,34 calcular : 1,34 INV TAN = 53,26717334

INV 53 16 2 Hallar una razn trigonomtrica conociendo otraSi sen = 0,84 hallar tag : 0,84 INV SIN 57,1401962

TAN 1,54814054

7.4 RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

4 7.4.1 INTRODUCCIN

4 Resolver un tringulo es hallar uno o ms elementos desconocidos (lados ongulos) a partir de algunos elementos conocidos:

Relacin entre sus ngulos : A + B + C = 180, A = 90 B + C = 90Relacin entre sus lados: Teorema de Pitgoras : x2 + y2 = h2Relacin entre lados y ngulos: Razones trigonomtricas


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4 7.4.2 CONOCIDOS DOS LADOS

4 El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitgoras Uno de los ngulos agudos se halla a partir de la razn trigonomtrica que lo

relaciona con los dos lados conocidos.

El otro ngulo se halla teniendo en cuenta que los dos ngulos agudossuman noventa grados.4 7.4.3 CONOCIDOS UN LADO Y UN NGULO

4 El otro lado se halla mediante la razn trigonomtrica que lo relaciona conel lado y el ngulo conocido

Se aplica Pitgoras para hallar el tercer lado El otro ngulo se halla teniendo en cuenta que los dos ngulos agudos

suman noventa grados.

4 7.4.4 ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRINGULOSOBLICUNGULOS

4 Cualquier tringulo no rectngulo puede ser resuelto, aplicando los mtodos deresolucin de tringulos rectngulos, mediante la estrategia de la altura.Consiste en elegir adecuadamente una de las alturas del tringulo de modo que,al trazarla, se obtengan dos tringulos rectngulos resolubles con los datos quese poseen.

7.5 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOSCUALESQUIERA

4 7.5.1 CIRCUNFERENCIA GONIOMTRICA

4 Trazamos una circunferencia de radio 1. Tomamos un sistema de referencia decoordenadas con el origen en el centro de la circunferencia.

Los ngulos se sitan sobre la circunferencia del siguiente modo: Su vrtice es el centro de la circunferencia Uno de los lados coincide con el semieje positivo de las X El otro lado se sita donde corresponda, abrindose el ngulo en el sentido

contrario al movimiento de las agujas del reloj.

4 7.5.2 SENO Y COSENO DE UN NGULO ENTRE 0 Y 360

4 Si situamos un ngulo agudo, , sobre la circunferencia goniomtrica, cos ysen son, respectivamente, las coordenadas x e y del punto A en el que elsegundo lado del ngulo corta a la circunferencia.


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4 7.5.3 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS EN LOSCUADRANTES

CUADRANTES DIBUJO NGULO SEN COS TAG

1 0 < < 90 + + +

2 90< < 180 + - -

3 180 < < 270 - - +

4 270 < < 360 - + -

4 7.5.4 NGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA

4 Los valores comprendidos entre 0 y 360 nos permiten medir cualquier ngulo.Pero tambin podemos darle sentido a otras medidas. Por ejemplo, podemosinterpretar 400 como una vuelta completa (360) ms un ngulo de 40. Esdecir, 400= 360 + 40. Las razones trigonomtricas de 400 sern, pues, lasmismas que las de 40.

Por ello si tenemos un ngulo mayor que 360 lo dividimos entre 360 (parasuprimir el nmero de vueltas completas) y dicho ngulo tendr las mismasrazones trigonomtricas que el ngulo obtenido en el resto de dicha divisin.

4 7.5.5 NGULOS NEGATIVOS4 Si un ngulo es positivo se dibuja en sentido contrario de las agujas del reloj.

Si un ngulo es negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj.

Si un ngulo es negativo y lo queremos convertir en positivo le sumamos unavuelta completa (es decir, 360)


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4 7.5.6 CALCULADORA

4 Para seno da un valor entre -90 y 90Para coseno da un valor entre 0 y 180Para tangente da un valor entre 90 y 90

Habr que tener en cuenta otro datos para ver si nos quedamos con dichosvalores o hay que hacer algn cambio.

7.6 CAMBIOS DE CUADRANTE

NGULOS COMPLEMENTARIOSDos ngulos se dice que son complementarios cuando suman 90 : Si + = 90

cos = cos (90 - ) = sen

sen = sen (90 - ) = cos

tag = tag (90 - ) = ctg

NGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 90 : B = 90 +

cos = cos (90 + ) = - sen

sen = sen (90 + ) = cos

tag = tag (90 + ) = - ctg

NGULOS SUPLEMENTARIOSDos ngulos se dice que son suplementarios si suman 180: + = 180

cos = cos (180 - ) = - cos

sen = sen (180 - ) = sen

tag = tag (180 - ) = - tg

NGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180 = 180 +

cos = cos (180 + ) = - cos

sen = sen (180 + ) = - sen

tag = tag (180 + ) = tg


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NGULOS QUE SUMAN 270 + = 270

cos = cos (270 - ) = - sen

sen = sen (270 - ) = - cos

tag = tag (270 - ) = ctg

NGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 270 = + 270

cos = cos (270 + ) = sen

sen = sen (270 + ) = - cos

tag = tag (270 + ) = - ctg

NGULOS OPUESTOSDos ngulos son opuestos si suman 360 o 0

cos (-) = cos (360 - ) = cos

sen (-) = sen (360 - ) = - sen

tag (-) = tag (360 - ) = - tg

NGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN UN NMERO ENTERO DE VUELTAS : y + 360k. k Z

cos = cos ( + 360k) = cos

sen = sen ( + 360k) = sen

tag = tag ( + 360k) = tag

4 7.6.8 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS PRINCIPALES NGULOS

0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

0 /6 /4 /3 /2 2/33/

45/6 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2

Sen 02

1

2

2 2

3 12

3 2

2 2

1 0 -

2

1 -

2

2 -2

3 -1 -2

3 -2

2 -2

1 0

Cos 12

3 2

2 2

1 0 -

2

1

-

2

2 - 23 -1 -

2

3 -2

2 -2

1 0

2

1

2

2 2

3 1

4

Tag 03

3 1 3 - 3 -1 -3

3 03

3 1 3 - 3 -1 -3

3 0

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