Tercero medio

UNIDAD 3

Plano cartesiano y homotecia

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJEEn esta unidad desarrollarás lacapacidad de:- Comprender la geometría cartesiana como un modelo para el tratamiento algebraico de los elementos y relaciones entre figuras geométricas.- Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos temas tratados en

el nivel,y utilizar heurísticas para resolver

APRENDIZAJES eSPERADOS1 Deducir la distancia entre

dos puntos enel plano cartesiano y

aplicarla al cálculode magnitudes lineales en figuras

planas.2 Describir la homotecia de

figurasplanas mediante el producto

de unvector y un escalar.3 Usar un procesador geométrico

problemas combinando, modificandoo generalizando estrategiasconocidas, fomentando la actitudreflexiva y crítica en la resolución de problemas.- Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.-Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

paravisualizar las relaciones que

seproducen al desplazar figurashomotéticas en el plano.

Antiguamente, los matemáticos se habían dedicado a estudiar y dar respuestas a variados temas matemáticos y a establecer relaciones entre los elementos de dos grandes áreas: los números y las figuras.

La aritmética y la geometría habían ido desarrollándose por caminos paralelos. Aunque ya en el año 350a. C. un matemático llamado Menecmo había convertido el problema geométrico de construir un cubo con el doble de volumen de otro dado en una ecuación, fue hasta el siglo XVII cuando René Descartes en su libro llamado “La Geometría” formalizó el estudio de la geometría a través del álgebra. Si bien es cierto que Descartes solo trabajó con los ejes positivos, él dio las bases para desarrollar lo que hoy conocemos como geometría analítica, herramienta que sustentaría disciplinas como el cálculo, la geometría infinitesimal y otras que actualmente se estudian.

la geometría analítica ha permitido el estudio de temas como las transformaciones isométricas. El mirar aquellas transformaciones en el plano como resultantes de operaciones angulares y vectoriales hace que su estudio sea más sencillo y mucho más rico en aplicaciones, que si solo se estudiara bajo un punto de vista geométrico euclidiano. Veremos aplicaciones de la geometría analítica al estudio de variación de figuras geométricas llamado homotecia.

Conocimientos previos

Recordaremos un concepto: el de razón

Una razón es la comparación de dos cantidades, mediante cociente.

Tener presente que:

- tanto el antecedente como el consecuente no representan necesariamente, las cantidades reales involucradas en una situación. Por ejemplo, si la razón entre los niños y niñas en un curso es 2:3, esto no quiere decir que en el curso haya 2 niños y 3 niñas, sino que por cada 2 niños hay tres niñas

- Una razón podría confundirse con un racional, pero no son lo mismo, aun cuando se utilice la misma notación o forma de escritura. Los racionales son números y la razón es una comparación.

Problema 1Pamela quiere hacer un queque para la once y la receta dice que por cada 400 g de harina debe agregar 200 g de margarina. ¿Cuál es la razón entre la harina y la margarina?

Problema2 Según el censo del año 2002, la densidad poblacional de Santiago era de 392,05 hab/km2. Si la superficie de Santiago es de 15403 km2, aproximadamente, ¿cuántos habitantes había el año 2002?

Plano cartesiano y sus elementosDefiniremos un plano cartesiano como un plano que contiene un sistema de referencia que está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. Ellas se intersectan en el cero.

el plano queda dividido en 4partes llamadas cuadrantes, los que se nombran con números romanos y en sentido contrario a los punteros del reloj

Los ejes coordenados se llaman eje de las abscisas (x) y eje de las ordenadas ( y ). Los ejes no pertenecen a ningún cuadrante

el plano está formado por puntos, la idea en un plano cartesiano es poder determinar la ubicación de un punto de él con precisión. Para esto, nombraremos un punto del plano según su posición con respecto al origen

hablar de los puntos