Teselaciones

(o como embaldosar el plano)

Planteamiento del problema

Las teselaciones o recubrimientos del plano más simples se construyen a partir de piezas, todas de la misma forma, que encajan sin dejar huecos ni solaparse. Cuando las piezas son polígonos, hablamos de recubrimien-tos poligonales, y si además son re-gulares, de recubrimientos regulares.

Teselaciones regulares

El caso más sencillo, por ser el que más vemos, es el recubrimiento por cuadrados. He aquí dos ejemplos:

Tipo 1 Tipo 2

Teselaciones regulares

Solamente nos ocuparemos de recubri-mientos del primer tipo, en los que los polígonos se adosan unos a otros de manera que los lados coincidentes lo hacen en su totalidad (lado a lado). Cada vértice presenta una configuración que se llama figura en el vértice, cons-tituida por los polígonos que en él se juntan.

Teselaciones regulares Exigiremos que las figuras en los

vértices sean iguales. Puesto que en cada vértice se han de

juntar polígonos regulares iguales, sin huecos ni solapamientos, esto obliga a que tales polígonos no puedan ser más que triángulos equiláteros, cua-drados o hexágonos regulares. La razón de este hecho es la siguiente:

Ángulos interiores

Ángulo exterior

Ángulo interior

Ángulos en polígonos regulares

Todos los ángulos exteriores de un polígono regular suman 360 grados. Por tanto cada uno de ellos, al ser todos iguales entre sí, mide 360 dividido por el número de lados.

Ángulos en polígonos regulares

Como cada ángulo exterior, con el co-rrespondiente interior, suma 180 gra-dos, el ángulo interior de un polígono regular de n lados tiene como medida, en grados,

n

360180

Ángulos en los vértices

Si en cada vértice del recubrimiento regular coinciden m polígonos, cada uno de n lados, debe cumplirse que

Esta ecuación se puede escribir, tras un poco de cálculo, de esta forma más simple:

360)360

180( n

m

4)2)(2( nm

¿Cuántas teselaciones regulares existen?

m y n deben ser números natu-rales, y además mayores o igua-les que 3. Solo hay tres posibili-dades:

m n

6 3 (triángulos)

4 4(cuadrados)

3 6(hexágonos)

¿Cuántas teselaciones regulares existen?

Por tanto solamente existen tres teselaciones regulares, constituidas por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos.

Teselación triangular

Teselación cuadrada

Teselación hexagonal

Teselaciones duales

Si en una de las tres teselaciones anteriores unimos los centros de los polígonos ¿qué obtenemos?Tomemos la hexagonal:

Teselación dual

Teselación dual

Ha resultado una teselación triangular que se llama dual de la hexagonal.

Si se parte de una hexagonal, se obtiene como dual una triangular.

La teselación cuadrada tiene como dual otra cuadrada.

Teselaciones semirregulares

Si se mantienen las restricciones de seguir usando como teselas polígonos regulares, que los recubrimientos sean lado a lado, y que las figuras en los vértices sean iguales, pero se admite que puedan utilizarse polí-gonos de diferente número de lados ¿cuántas teselaciones distintas existen?

Teselaciones semirregulares

La respuesta es ocho. Estas son:

Teselaciones semirregulares

Teselaciones semirregulares

Teselaciones semirregulares

Una obra de Salvador Dalí:

Teselación “Cairo”

Esta es una teselación con pentágo-nos, pero no son regulares. Es dual de la que aparece a su lado.

Teselaciones con polígonos irregulares

¿Con qué tipo de polígonos irregula-res se podrá teselar el plano, mante-niendo que se adosen lado a lado y que todos sean de la misma forma y tamaño? He aquí un resultado: Cualquier paralelogramo permite teselar el plano.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares

Consecuencia inmediata del hecho anterior es este otro:

Cualquier triángulo permite teselar el plano.Pues dos copias del triángulo dado pueden unirse para formar un parale-logramo, y se aplica lo anterior.

Teselaciones con polígonos irregulares

¿Será posible teselar el plano con cuadriláteros cualesquiera? La respuesta es afirmativa. Para verlo, tomamos el punto medio de uno cualquiera de los lados del cuadrilá-tero, y hallamos la figura simétrica del mismo respecto de dicho punto.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares

La figura resultante es un hexágono que tiene los lados opuestos paralelos e iguales entre sí. Tal hexágono tese-la el plano.¿Qué ocurre si el cuadrilátero del que se parte no es convexo? El método sigue siendo válido.

Teselaciones con polígonos irregulares

Teselaciones con polígonos irregulares

Una vez vistos los casos de triángulos y cuadriláteros ¿qué se puede decir de la posibilidad de teselar el plano con polígonos irregulares convexos de mayor número de lados?

K. Reinhardt demostró en 1927 que es imposible recubrir el plano con teselas poligonales convexas de siete o mas lados.

Teselaciones con hexágonos

En su tesis doctoral de 1918, el ya citado K. Reinhardt demostró que se puede recubrir el plano con hexágo-nos irregulares convexos de tres tipos distintos, que deben verificar unas condiciones referidas a sus lados y a sus ángulos.

El curioso caso de los pentágonos

Fue de nuevo Reinhardt el que estudió los pentágonos convexos y encontró cinco clases de ellos que pueden tese-lar el plano, pero no probó que no hu-biera otros. En 1968, R.B.Kershner descubrió tres clases más, y manifestó que estaba seguro de haber cerrado el problema, aunque no lo demostró.

El curioso caso de los pentágonos

En julio de 1975 se publicó en Scien-tific American la clasificación aparen-temente completa de los pentágonos convexos que teselan el plano. Poco tiempo después, un lector descubrió una nueva clase -¡y ya van nueve!- y un ama de casa, Marjorie Rice, sin más bagaje matemático que el estu-diado en educación secundaria, descubrió cuatro clases más.

El curioso caso de los pentágonos

En 1985, un doctorando en matemá-ticas halló una nueva clase. Desde entonces no se ha descubierto ninguna nueva, pero no se ha demostrado que las halladas son todas las posibles.