Tesis 100% actualizz
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ÁLGEBRA TEMPRANA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADITIVOS BRIGITTE BUELVAS LÓPEZ DILIBET SALAZAR ROJAS UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS BARRANQUILLA 2015
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ÁLGEBRA TEMPRANA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ADITIVOS
BRIGITTE BUELVAS LÓPEZ
DILIBET SALAZAR ROJAS
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2015
ÁLGEBRA TEMPRANA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ADITIVOS
BRIGITTE BUELVAS LÓPEZ
DILIBET SALAZAR ROJAS
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL
TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
ASESOR
RAMIRO MÁRQUEZ CÁRDENAS
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2015
NOTA DE ACEPTACIÓN
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
PRESIDENTE DEL JURADO
_________________________________
JURADO
_________________________________
JURADO
BARRANQUILLA, MARZO DE 2015
AGRADECIMIENTOS
Las integrantes de éste trabajo expresan sinceros agradecimientos:
A Dios, porque sin él esto no habría sido posible, por habernos dado fortaleza para seguir
adelante y reconocernos en su gracia las virtudes de la humildad y la sensatez para construir un
excelente perfil académico y profesional.
A nuestras Familias, ya que han sido sin duda uno de los principales precursores de este logro,
por darnos su amor y apoyo incondicional en todos los momentos que lo hemos necesitado.
A nuestros profesores especialmente a Ramiro Márquez eIsidro Ávila, por sus aportes y
enseñanzas de las cuales es fruto esta investigación.
A la Universidad Del Atlántico, por brindarnos un profesorado excelente y hacer de nosotras las
profesionales que somos hoy.
AlaInstitución Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras, por abrirnos sus puertas y
darnos paso en la aplicación de nuestro proyecto de grado.
Las autoras
DEDICATORIA
Doy gracias a Dios por guiarme en cada sendero de la vida. De su mano he llegado a contemplar con humildad éste éxito de formación profesional y personal.
Junto a mi familia, mis padres Tomás B. y Vanessa L. y la alegría y espontaneidad de mis hermanas Romy, Isis y Alejandra se enriquece un cultivo cuantioso de valores que me
incentivaron cada día a esforzarme por culminar cada etapa de mi vida con entrega y pasión.
Se une también un ángel de amor, Juan H. que Dios me concedió para enseñarme la hermosura de la vida y el ímpetu por estudiar sin cansancio, en compañía de nuestros amigos y la gran
esencia de la sabiduría, la comunidad cristiana Lazos de Amor Mariano.
Al cuerpo de docentes que desde el inicio de mi vida académica, estuvieron conmigo instruyéndome con paciencia y entusiasmo en el proceso de aprendizaje donde, también hay un espacio para mi
compañera de proyecto Dilibet S. que con su ahínco nos comprometimos a trabajar por transformar la sociedad gestionada en el conocimiento.
Brigitte Buelvas López.
DEDICATORIA
Este es otro logro más en mi vida del cual me siento muy contenta y orgullosa, porque una vez
más me demuestro que puedo alcanzar todas las metas trazadas que tengo para mí futuro.
Un logro que no hubiese sido posible primero sin la ayuda de Dios, por estar conmigo en cada
paso que doy, por fortalecer mi corazón e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a
aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el periodo de estudio.
A mis padres Damaris Rojas y Atilano Salazar por ser ellos el pilar fundamental en todo lo
que soy, en toda mi educación, tanto académica, como ética-moral, por su incondicional apoyo
perfectamente mantenido a través del tiempo.
A mi novio Rodrigo León por estar a mi lado acompañándome en todo este proceso, por su apoyo
constante y su amor incondicional.
Dilibet Salazar Rojas
RESUMEN
El presente proyecto de investigación titulado “Álgebra temprana a través de la resolución
de problemas aditivos” se presenta como una acción pedagógica para mejorar las
dificultades y limitaciones en el modo de pensar algebraico que muestran los estudiantes de
educación básica secundaria, reflejadas en observaciones objetivas descritas durante el
periodo de prácticas pedagógicas y de su incidencia en estereotipos cognitivos que surgen
de la enseñanza tradicional en las matemáticas como ciencia aislada del contexto vivencial.
En singular medida, este trabajo es aplicado en la primaria escolar con niñas de Quinto
grado pertenecientes a la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras. Esta
estrategia educativa consiste en iniciar los procesos de modelación matemática desde
temprana edad en un espacio dinámico y creativo a partir de, la auto-reflexión y la
capacidad inventiva de las niñas. Se refiere pues, la construcción de una propuesta didáctica
donde se aplica el proceso de transición de la aritmética al álgebra dando lugar al puente
cognitivo que facilita este proceso de cambio en las estudiantes para la resolución de
problemas aditivos a través de actividades lúdicas de aprendizaje para crear pensamiento
matemático.
PALABRAS CLAVE:
Álgebra temprana, Transición de la aritmética al álgebra, Puente cognitivo, Resolución de
problemas aditivos, Modelación matemática.
ABSTRACT
This research project entitled "Álgebra temprana a través de la resolución de problemas
aditivos" is presented as a pedagogical action to improve the difficulties and limitations in
algebraic thinking that show high school students basic education, reflected in comments
objective described during the teaching practices and their impact on cognitive stereotypes
that arise from traditional instruction in math and science isolated from the experiential
context.
In singular measure, this work is applied in primary school to Grade Five girls belonging to
the Institución Educativa Distrital Sofia Camargo de Lleras. This educational strategy is to
start the process of mathematical modeling at an early age in a dynamic and creative space
from the self-reflection and inventiveness of girls. Refers thus building a didactic proposal
where the transition from arithmetic to algebra leading to cognitive bridge that facilitates
this process of change in students problem solving additives through playful learning
activities to apply create mathematical thinking.
KEYWORDS:
Early Algebra, Transition from arithmetic to algebra, cognitive Bridge, Resolution additive
problems, mathematical modeling.
INTRODUCCIÓN
En la orientación del proceso de aprendizaje es esencial conocer de manera profunda las
estructuras cognitivas de cada discente porque, de este saber el maestro atiende
constructivamente las formas de aprender y las falencias que cada uno presente en su
desenvolvimiento académico.
En un enfoque disciplinario, la matemática afronta desafíos aptitudinales que promueven en
el niño(a) el fortalecimiento del pensamiento lógico y variacional, éste a su vez, facilita la
comprensión de análisis, la solución de problemas y el significado de lo que aprende.
Ciertamente, el álgebra como instrumento de modelación matemática permite iniciar en él
una lectura epistémica de contenidos teóricos y prácticos sumergidos en una secuencia
didáctica que relaciona y fundamenta la transición del pensamiento aritmético al algebraico
para convertirse en sujetos activos y participativos de su contexto.
A partir de esta concepción, se presenta la siguiente investigación titulada“ÁLGEBRA
TEMPRANA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADITIVOS”. Sustentado en
función de aminorizar la deserción escolar y mejorar en las estudiantes su proceso
académico; obteniendo una apropiación conceptual de ésta en la educación secundaria a
través de, la introducción del álgebra a temprana edad en estudiantes de 5° de primaria en
la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras con una pedagogía constructiva
y didáctica en el proceso de aula. En el trabajo se presentan las informaciones recolectadas
en la etapa diagnóstica de manera descriptiva y cualitativa para establecer un paralelo entre
el proceso de Enseñanza – Aprendizaje del docente con respecto al estudiante y viceversa.
Así pues, ésta indagación pedagógica plantea el diseño y aplicación de una propuesta
metodológica enriquecida con actividades lúdicas a fin de, superar la visión tradicional y
limitada del algebra, definida como una manipulación de letras que representan números no
especificados con el propósito de manejar memorísticamente sistemas matemáticos siendo
éste, el centro del currículo escolar.
En este trabajo el propósito es ubicar al álgebra como un modo de pensar, herramienta de la
que se puede valer la matemática para refinarla de acuerdo a su dinámica en la resolución
de problemas aditivos. Se ponen de manifiesto evidencias gráficas, matrices de síntesis,
guías-taller, fotografías y textos argumentativos que dan significado a la propuesta y a su
aplicación formativa dentro del marco académico.
TABLA DE CONTENIDO Páginas
INTRODUCCIÓN
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................................................ 16
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ............................................................................................ 16
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ......................................................................................... 18
1.2.1. PREGUNTAS PROBLEMATIZADORAS ............................................................................... 18
1.3. JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................... 19
1.4. OBJETIVOS ......................................................................................................................... 21
1.4.1. OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 21
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................. 21
2. MARCO REFERENCIAL ........................................................................................................... 22
2.1. ANTECEDENTES ................................................................................................................. 22
2.2. MARCO TEÓRICO – CONCEPTUAL ...................................................................................... 30
2.2.1. ÁLGEBRA TEMPRANA. ................................................................................................... 31
2.2.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ........................................................................................ 35
2.2.3. PENSAMIENTO ADITIVO .................................................................................................. 38
3. DISEÑO METODOLÓGICO ......................................................................................................... 46
3.1. PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN ....................................................................................... 46
3.2. TIPO DE INVESTIGACIÓN ................................................................................................... 47
3.3. DELIMITACIÓN ................................................................................................................... 48
3.3.1 DELIMITACIÓN ESPACIAL. ................................................................................................ 48
3.3.2. DELIMITACIÓN TEMPORAL. ............................................................................................ 48
3.3.3. DELIMITACIÓN CONCEPTUAL .......................................................................................... 49
3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA .................................................................................................... 49
3.4.1. POBLACIÓN .................................................................................................................... 49
3.4.2. MUESTRA ...................................................................................................................... 49
3.5. DIAGNÓSTICO INICIAL ....................................................................................................... 50
3.5.1. INSTRUMENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN. ............................ 50
3.6. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS................................................................... 52
3.6.1. ANÁLISIS DE LA OBSERVACIÓN........................................................................................ 52
3.6.2. ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO A DOCENTES. .................................................................... 53
3.6.3. ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DEL TALLER ESCRITO A 5°. ................................................. 54
3.6.4. ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DEL TALLER ESCRITO A 6°. ................................................. 56
3.6.5. INTERPRETACIÓN GRÁFICA ............................................................................................. 59
4. PROPUESTA PEDAGÓGICA .................................................................................................... 68
4.1. TITULO DE LA PROPUESTA ................................................................................................. 68
4.2. PRESENTACIÓN.................................................................................................................. 69
4.3. JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................... 70
4.4. OBJETIVOS ......................................................................................................................... 72
4.4.1. OBJETIVO GENERAL ....................................................................................................... 72
4.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS ................................................................................................ 72
4.5. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ............................................................................................. 73
4.6. METODOLOGÍA .................................................................................................................. 75
4.7. PLAN OPERATIVO DE ACCIÓN ............................................................................................. 76
4.8. ACTOS PEDAGÓGICOS ........................................................................................................ 78
4.9. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PROPUESTA ............................................................ 113
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................................ 130
5.1. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 130
5.2. RECOMENDACIONES ........................................................................................................ 132
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 133
ANEXOS ..................................................................................................................................... 135
TABLA DE MATRIZ
Páginas
MATRIZ I : Análisis pedagógico del soporte teórico-conceptual.................................30 MATRIZ II: Tratamiento teórico...................................................................................42 MATRIZ III: Análisis de los instrumentos para la recolección de datos..................... 50 MATRIZ IV : Tratamiento de la información estudiada en 5°......................................54 MATRIZ V : Tratamiento de la información estudiada en 6°.......................................56 MATRIZ VI: Síntesis de la propuesta pedagógica........................................................76
LISTA DE GRÁFICOS
Páginas
Interpretación gráfica de Quinto grado
Gráfica 1: Resuelve problemas de modelación...........................................................................59 Gráfica 2: Resuelve operaciones aditivas y las traduce al lenguaje matemático........................60 Gráfica 3: Resuelve operaciones aditivas con términos semejantes (simbolizados en frutas del mismo grupo)................................................................................................................................60
Interpretación gráfica de Sexto grado
Gráfica 4:Identifica el factor común de una expresión algebraica..............................................61 Gráfica 5:Traduce al lenguaje matemático..................................................................................62 Gráfica 6:Selecciona la ecuación que modela cada situación.....................................................62 Gráfica 7:Halla el valor de x en cada ecuación...........................................................................63 Gráfica 8:Determina el valor de cada expresión algebraica........................................................63 Gráfica 9:Resuelve problemas de modelación............................................................................64
Interpretación gráfica de la propuesta
Gráfica 10:Resuelve ecuaciones................................................................................................127 Gráfica 11: Reduce términos semejantes....................................................................................127 Gráfica 12: Resuelve problemas de modelación algebraicamente..............................................128 Gráfica 13: Soluciona expresiones algebraicas...........................................................................129 Gráfica 14: Selecciona el valor de la incógnita...........................................................................129
LISTA DE ANEXOS
Páginas
Momentos fotográficos
I. Prueba diagnóstica – entrevista........................................................................136 II. Actividades de la propuesta..............................................................................137
Evidencias
III. Cuestionario para docentes de matemática.......................................................139 IV. Prueba diagnóstica presentada a los estudiantes de 5º......................................140 V. Prueba diagnóstica presentada a los estudiantes de 6°......................................142 VI. Prueba final aplicada a los estudiantes de 5º….................................................144
16
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Educar es uno de los soportes de formación en la sociedad, mediado por el conocimiento, el
desarrollo de capacidades comunicativas y gestuales sin descuidar aspectos socio afectivo para
la construcción de una sociedad mejor que posibilite ambientes de vida saludable. Hoy por
hoy la globalización mundial enjuga la actividad económica y política de una nación, razón
más para consolidar con excelencia profesional del individuo y fortalecer sus dimensiones
cognitivas, sociales y ético-morales. Por ello, la escuela debe estructurar los conocimientos
relacionados lógicamente, pues éste refleja e interpreta el comportamiento de la realidad,
traducido en las matemáticas, el lenguaje universal.
Frente a la realidad educativa y en caso del estudio que se investiga, se percibe que los
estudiantes no utilizan conceptos y procedimientos del álgebra cuando llegan a grados
superiores, es por esto que la acción pedagógica del aula tiende a formar estereotipos de
dificultad en la noción del aprendizaje matemático, teniendo en cuenta que mencionar en el
trabajo del aula expresiones de tipo 푥 + 3푥푦 + 푦 (polinomio) donde entran a jugar los
conceptos de coeficientes, parte literal (variables) o términos semejantes, los estudiantes
comienzan a sentirse lejos del saber matemático y sus deficiencias (interpretar el lenguaje
algebraico, identificar el grado de una ecuación, reconocer y efectuar operaciones algebraicas)
aumenta creando una actitud apática en su formación académica, acumulando una serie de
situaciones que dificultan la comprensión en el tránsito de la aritmética al álgebra, de las
operaciones concretas a las abstractas.
17
Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen consigo las nociones y los enfoques
que usaban en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una generalización de la
aritmética. Aprender álgebra no es hacer explícito lo que estaba implícito en la aritmética. El
álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas
concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones kieran y Filloy (1989).
De ahí que, es posible observar las dificultades para significar el signo igual y algunas de las
convenciones de notación del álgebra o la falta de habilidad para expresar formalmente los
métodos y los procedimientos que usan para resolver problemas.
Según Godino y Font (2003) el signo “=” (igual) indica que lo que se encuentra a la izquierda
de este signo, primer miembro de la igualdad, y lo que se encuentra a la derecha de este signo,
llamado el segundo miembro de la igualdad, son dos maneras de designar al mismo objeto, o
dos escrituras diferentes del mismo.
Diversos estudios muestran las interpretaciones que hacen los niños del signo “=” y de las
ecuaciones pueden diferir de las que pretende en la enseñanza. Por ejemplo, los estudiantes
piensan que el uso principal del signo igual es separar el problema de la respuesta; la igualdad,
2 + 3 = 5, se interpreta como "2 más 3 da como resultado 5", no como la equivalencia entre las
expresiones "2+3" y "5".
Se visualiza además nuevas falencias académicas ocurren también a nivel institucional, es
decir, la elaboración del currículo que se pretende seguir no se adecúa a la integración de los
distintos saberes afectando de forma negativa la interdisciplinariedad de éstos, lo que
imposibilita en gran manera lograr en los estudiantes un aprendizaje confiable y significativo
que sea práctico en la cotidianidad de los mismos; a partir de ello nace la importancia de
implementar un tipo de enseñanza, acorde a las exigencias con un currículo pedagógico y
18
didáctico que garantice una educación integral en los centros escolares, desde lineamientos en
la transición del conocimiento.
Teniendo en cuenta las falencias presentadas por los estudiantes de la secundaria descritos
anteriormente, surge la necesidad de incorporar el álgebra a temprana edad1 desde los
conceptos de modelación y solución de problemas aditivos. Lo que lleva a plantear el
siguiente interrogante:
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Cuáles son los obstáculos epistemológicos2 que presentan los estudiantes de matemática
inicial en el tránsito de la aritmética al álgebra temprana?
1.2.1. PREGUNTAS PROBLEMATIZADORAS
1. ¿Qué ventajas ofrece introducir el álgebra desde temprana edad?
2. ¿Qué procesos potencian en el niño la introducción del álgebra temprana?
3. ¿Cuáles son los elementos, puente cognitivo de la aritmética al álgebra?
4. ¿Cuál es el enfoque pedagógico del docente en la clase de transición del álgebra?
1TEMPRANA EDAD: edades que oscilan entre los 10 y 12 años.
2OBSTÁCULOS ESPISTEMOLÓGICOS: son aquellos impedimentos y confusiones que experimentan el sujeto durante
nuevas realidades del aprendizaje.
19
1.3. JUSTIFICACIÓN
La formación del estudiante en su actividad académica, requiere una aprehensión de conceptos
fundamentales. El maestro y la institución escolar deben diseñar situaciones didácticas que
propicien el aprendizaje significativo, de los cuales podrá hacer uso en su vida cotidiana,
llevándolo a desarrollar habilidades de pensamiento.
Es por ello, el estudio del álgebra temprana es pertinente debido a que promueve
características como la claridad, el orden, la secuenciación, la relación, la lógica, la
coherencia, además se aplica en solución de problemas de las matemáticas mismas
(trigonometría y cálculo), de otras áreas (física y química) y de la vida diaria.
Algunos de los trabajos en que se describe y defiende el Álgebra Temprana (Blanton y Kaput,
2005; Freiman y Lee, 2004; Kaput, 1998, 2000; Lins y Kaput, 2004) permiten identificar
varias de las razones que motivaron su estudio:
La insatisfacción con la actual y tradicional enseñanza del álgebra.
El reconocimiento de la importancia de los hábitos mentales propios de esta sub-área
de las matemáticas.
La preocupación por hacer su estudio accesible a los estudiantes y buscar formas más
efectivas de abordar su enseñanza.
La constatación de que los niños necesitan de un periodo prolongado de tiempo para
desarrollar los diferentes modos de pensamiento involucrados en la actividad
algebraica, así como significados nuevos o más amplios para los símbolos presentes en
la aritmética y el álgebra escolar.
20
Constantemente se observan dificultades en esta área, que ofrecen al docente comprender y
reflexionar sobre las necesidades y carencias que presentan los estudiantes en el álgebra; su
relevancia entonces incide en implementar el álgebra temprana a los estudiantes desde la
básica primaria en el grado Quinto (5°). Se ha llegado a pensar que el problema viene de pre-
concepciones adquiridas por costumbres, permitiendo así, que estos logren apropiarse de los
conceptos básicos del álgebra, partiendo de la base como es la aritmética, en este sentido, si
esa base está sólida y firme se podrá construir el conocimiento en la forma esperada.
Así pues, esta investigación reviste particular relevancia a la educación generada en la
institución educativa donde se forman los niños por cuanto, sus resultados pueden ofrecer
espacios de aprendizajes y desarrollo del pensamiento algebraico.
En resumen, el docente debe buscar una secuencia fundamental de aprender el álgebra no con
el sentido aritmético sino matemático. Si apelamos el álgebra a la matemática, ella misma dará
elementos; porque así se da el álgebra, como un fondo matemático que elevará la educación y
el nivel académico de la institución.
21
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. OBJETIVO GENERAL
Determinar los obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes de matemática inicial
en el tránsito de la aritmética al álgebra temprana.
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Determinar las ventajas en el aprendizaje temprano del álgebra en el niño.
2. Caracterizar paralelamente al álgebra los procesos de razonamiento cognitivo,
comunicativo y actitudinal.
3. Caracterizar los elementos, puente cognitivo3 de la aritmética al álgebra.
4. Caracterizar el enfoque pedagógico del docente.
3PUENTE COGNITIVO: Ausubel, acuña el concepto de "aprendizaje significativo", la significatividad sólo es posible si se relacionan los nuevos conocimientos con los que ya posee el sujeto. Esté puente recibe el nombre de organizador previo.
22
2. MARCO REFERENCIAL
2.1. ANTECEDENTES
La construcción de los antecedentes de esta investigación permiten avanzar en la elaboración
del estado de arte puesto que, saber cuánto se ha logrado en esta temática, es decir, ¿Qué se ha
hecho para mejorar este proceso de formación? Y saberlo es, de alguna manera, un pensar
mejor desde lo educativo y lo pedagógico.
En esta revisión sobre los antecedentes se destacan:
A nivel internacional, se han llevado a cabo investigaciones que promueven y analizan
la integración del álgebra en el currículo de la escuela primaria, es decir, los primeros
cursos escolares (Cai y Knuth, 2011; Bastable y Schifter, 2007; Carraheret al, 2007)
Esta propuesta, conocida con el nombre de Álgebra Temprana (Early Algebra), plantea
la introducción de modos de pensamiento algebraicos, en la matemática escolar, Kaput,
(1998, 2000).En términos de Kaput (2000), la propuesta consiste en la “algebraización
del currículo” y según Carpentery Levi (2000), desarrollar el pensamiento algebraico y
no el uso hábil de los procedimientos de álgebra.
Aquí se destaca la Universidad Autónoma de México, en el año 2004, presenta la
investigación “Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en la
geometría”. Y presentado por Butto C. y Rojano T.
Se fundamentó en un estudio sobre la transición de la aritmética al álgebra basada en
un modelo de enseñanza que incorpora fuentes de significados relacionados con el
razonamiento proporcional numérico y geométrico, aspectos de la variación
23
proporcional y procesos de generalización. En dicho modelo se utiliza el ambiente
logo, que hace explicita la vinculación entre dominios matemáticos con dos niños de
diez y once años de edad de una escuela primaria privada.
El estudio pretende:
Investigar la factibilidad de la iniciación temprana al álgebra a partir de contenidos
matemáticos como el razonamiento proporcional, la variación funcional y los
procesos de generalización.
Utilizar la percepción intuitiva y diferentes contextos (numéricos y geométricos)
para relacionarlos con los conceptos algebraicos.
Observar diferentes tipos de interacción social durante el aprendizaje temprano de
ideas algebraicas y los aspectos cognitivos, efectos y relaciones con otros dominios
matemáticos.
El análisis de los resultados muestra que los niños transitan de un pensamiento de tipo
aditivo a uno de tipo multiplicativo con dificultades para percibir la diferencia entre
secuencias aritméticas y geométricas, así como para expresar relaciones funcionales. Sin
embargo, se observaron logros al final del trabajo experimental en cuanto a la
percepción de patrones generales y de su expresión en la lengua natural o en el lenguaje
de programación logo.
La analogía existente entre la anterior investigación y la presente consiste en la
utilización de ambientes logos para introducir de manera eficiente modos de
pensamiento algebraico en niños de educación primaria; el interrogante por la
factibilidad de éste en los contenidos matemáticos y el concepto de variación en la
24
metodología. El aporte destaca el uso de procesos de generalización y de la expresión
en la lengua natural; como también, los diferentes tipos de interacción social durante el
aprendizaje en el tránsito de la aritmética al álgebra; actividades que dinamizan el foco
de interés a seguir.
La Universidad Pedagógica Nacional, de México, en el año 2011, desarrolló una
investigación titulada “Introducción temprana al pensamiento algebraico con el uso de
tecnologías digitales: un estudio teórico-experimental en el nivel básico” realizado por
Cristianne Butto Zarzar.
Este proyecto de investigación se trabaja en la franja del pensamiento pre-algebraico,
con estudiantes de la escuela primaria de 10-11 años de edad, donde aún no se
introduce a los estudiantes a la sintaxis algebraica. Se introducen las ideas algebraicas
en dos versiones: pre-simbólica (Percepción de la idea de la variación proporcional) y
simbólica (encontrar y expresar una regla general e incorporarla en los lenguajes Logo,
Expresser y Software específico que desarrollaremos en Visual Basic, Visual C++ y
Java), por medio de la resolución de problemas propuestos en una secuencia de
enseñanza. Para alcanzar ese objetivo se proponen dos rutas de acceso al álgebra: el
razonamiento proporcional y los procesos de generalización. La elección de la primera
(razonamiento proporcional) se fundamenta, en primera instancia, en la familiaridad de
los niños con ese contenido matemático en la escuela primaria y específicamente en
ese grado escolar (5° y 6° año de primaria) aun cuando están en transición del
pensamiento aditivo al multiplicativo, y examinan el hecho de que ese contenido
matemático se conecta conceptual e históricamente (Radford; 1996) a la idea de
variación proporcional, variable como relación funcional y número general, que lo
25
conecta a la segunda ruta de acceso (los procesos de generalización), que involucran a
los niños a percibir patrones, a ser capaces de expresar y escribir el patrón mediante
actividades que involucran el razonamiento acerca de patrones en gráficas, patrones
numéricos y figuras, entre otras actividades.
Los resultados revelan la existencia de habilidades y dificultades típicas de esas edades
(transición del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo), esto, en parte por el
énfasis que la instrucción escolar hace en los problemas de estructura aditiva. Se
observa que, a pesar de que los estudiantes no han desarrollado aún todas las
estructuras cognitivas y matemáticas para comprender la complejidad del pensamiento
algebraico, ellos son capaces de hacerlo con una secuencia didáctica enfocada a
superar las dificultades encontradas por los estudiantes al inicio del estudio.
Lo anteriormente mencionado no es ajeno al presente trabajo de investigación, aunque
su trabajo sea realizado con herramientas tecnológicas debido a que la meta trazada es
precisamente, la introducción temprana al pensamiento algebraico. En ella se hace
explícita una vinculación teórico-experimental que desarrolla en el estudiante una
percepción real sobre lo que se está estudiando en el salón de clases, en la que se sigue
una secuencia didáctica para superar las dificultades académicas en éstos niños y, esto
es un gran aporte actitudinal a la investigación efectuada.
En la Universidad del Atlántico, de Barranquilla-Colombia, en el año 2010, se realizó
un estudio laborioso referente a, primeros pasos en el proceso de transición de la
Aritmética y Álgebra “la interpretación y resolución mediante procesos algebraicos”
presentada por Tatiana Galezzo y colaboradores. Quienes focalizan su estudio en el
26
desarrollo del pensamiento algebraico orientado a la resolución de problemas; bajo la
premisa de que el álgebra es un método de aprehender y explicar interrelaciones que
permiten llegar a lo general por la vía de lo particular y además descubrir los modelos
que se presentan en lo cotidiano. esto como un acercamiento a la “otra álgebra”, al
álgebra escolar también llamada proceso de transición de la aritmética al álgebra. La
población estudiada está conformada por 170 estudiantes de la jornada matutina del
colegio Sarid Arteta de Vásquez, distribuidos de la siguiente manera: 86 estudiantes de
octavo grado año 2009 y 84 estudiantes de octavo grado año 2010, las edades
oscilaban entre 12 y 14 años. El problema detectado aquí fue sobresaliente en los
errores de sintaxis, la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico y la
interpretación incorrecta de expresiones algebraicas así como dificultad al plantear la
solución de problemas mediante procesos algebraicos. Lo que les exige recurrir a la
aritmética, propiamente dicha, debido a la escasa comprensión del concepto de
variable.
Por otra parte, cabe resaltar la investigación desarrollada por Chica y Salazar en la
Universidad del Atlántico, durante el año 2010 titulada “El Lenguaje Algebraico: Un
recurso significativo para la transición de la aritmética al álgebra”.
Este proyecto de investigación fue presentado con el propósito de dar solución a la
problemática presentada en los estudiantes de octavo grado del Colegio Distrital Sarid
Arteta de Vásquez de Barranquilla, puesto que, se les dificulta la interpretación,
comprensión y ejecución de acciones matemáticas que contextualicen las indicaciones
que se les solicite; por ejemplo muestran deficiencias al leer signos y símbolos
matemáticos los cuales deben ser llevados al lenguaje articulado.
27
De allí que, el grupo de investigadores optó por desarrollar una propuesta didáctica de
manera recreativa que logre en los dicentes un aprendizaje significativo, a partir de la
transformación de expresiones cotidianas a expresiones matemáticas y viceversa,
dominio de términos, reconocimientos y diferenciación de símbolos; para que más
tarde esto redunde en la transformación de estudiantes competentes y dotados de
habilidades matemáticas, esta propuesta fue realizada a 20 estudiantes entre los 13
años y 16 años de edad.
La relación existente entre estas investigaciones referenciadas y el presente trabajo
radica en que parten de la necesidad de buscar un aprendizaje significativo en el
desarrollo del pensamiento algebraico orientado a la resolución de problemas que
permitan articular el lenguaje natural al simbólico y los posible déficits cognoscitivos
que se encontrarán en el proceso del estudio investigativo. Es de resaltar que este
proyecto va enmarcado a estudiantes de 5° en donde se puede recurrir a los métodos
aritméticos debido a la poca aprehensión de éstos en el nivel de la educación
secundaria para su uso en contenidos algebraicos y demás, lo que aporta un
mejoramiento a la calidad académica en el proceso en que se aminorasen las falencias
del pensamiento matemático.
Siguiendo en un orden regional, el estudio adelantado en la Universidad del Atlántico
en el año 2008 titulado: “Desarrollo de Competencias Interpretativas, Argumentativas
y Propositivas a través de la resolución de problemas aditivos y multiplicativos” en
estudiantes de 5°grado del Colegio Técnico Distrital Meira del Mar en Barranquilla,
efectuado por los docentes Fernández y colaboradores.
28
Este trabajo se presenta como una alternativa pedagógica para contribuir a mejorar las
dificultades y limitaciones de aprendizaje que presentan estos niños acerca del
desarrollo de competencias relacionadas con la resolución de problemas aditivos y
multiplicativos
Ésto, como consecuencia de la implementación de prácticas educativa tradicionales en
el área de matemáticas, lo cual muy poco permitía la generación y el planteamiento de
situaciones problemas contextualizadas por parte del docente y su respectiva
resolución a través de proceso heurístico por parte del estudiante, dentro de un clima
de clase dinámico, placentero y creativo que permitiera la auto-reflexión, la autonomía
y la capacidad inventiva de los niños.
Se añade al proyecto pedagógico aquí descrito, la utilización objetiva de competencias
interpretativas, argumentativas y propositivas que facilitan el desarrollo de la clase y la
participación constante del estudiante en la enseñanza del álgebra temprana para
conseguir un mejoramiento académico.
El fundamento del Álgebra Temprana está en promocionar en las aulas la observación
de patrones, relaciones y propiedades matemáticas y, de esta forma, cultivar hábitos de
pensamiento que atiendan a la estructura que subyace a las matemáticas. Para lo
anterior, se recomienda un ambiente escolar en el cual se valore que los alumnos hagan
predicciones, modelen, exploren, argumenten, discutan, verifiquen ideas y también
practiquen destrezas de cálculo (Blanton y Kaput, 2005).
29
La algebraización del currículo según estos autores mencionados, favorece en el estudiantado
el modo de pensar algebraico y no la realización de algoritmos esquematizados. Cultivar esta
forma de pensamiento matemático en el presente trabajo investigativo ayuda a fortalecer en
los niños las fuentes cognitivas que subyacen en su experiencia académica diaria para que en
un nivel más complejo de sus competencias cognoscitivas ellos, sepan apropiarse del
aprendizaje en su función teórica y práctica. Además, permitir al niño participar de forma
autónoma en el aula, es afirmar que se está siguiendo por un modelo pedagógico
constructivista para desarrollar un conjunto equilibrado de dimensiones sociales y éticas que a
su vez, capacitan al niño para su desenvolvimiento eficiente y crítico en la cotidianidad vivida.
De manera general, la introducción del álgebra temprana es una propuesta admisible a la
educación moderna y los antecedentes definidos anteriormente así lo demuestran. Ella,
permite fortalecer el pensamiento algebraico y modelar en cuanto a la resolución de problemas
a fin de perfeccionar el nivel de aprendizaje en cada discente.
30
2.2. MARCO TEÓRICO – CONCEPTUAL
Después de hacer una revisión bibliográfica, se encontraron investigaciones acerca de la
introducción del álgebra temprana y de las concepciones en el tránsito del pensamiento
aritmético al algebraico, los cuales poseen una estrecha relación con esta investigación
sustentada en la siguiente maya epistémica:
CATEGORÍAS
SUB-CATEGORÍAS
AUTORES
Álgebra temprana.
La transición de la aritmética al
álgebra (conceptualización).
diseño de tareas para apoyar el pensamiento algebraico en la escuela primaria.
El álgebra como una herramienta de representación y la resolución de problemas.
Teresa Rojano.
Kieran
Eugenio Filloy.
Sonia Ursini.
Resolución de problemas.
Didáctica en la enseñanza de la
Matemática.
Algebraización del currículo académico.
Santaló
George Polya
Blanton y Kaput
Pensamiento aditivo.
El significado de las
operaciones.
dominio numérico (simbolización numérica).
David Slavit.
Mason.
MATRIZ I: ANÁLISIS PEDAGÓGICO DEL SOPORTE TEÓRICO-CONCEPTUAL
FUENTE: Elaboración del grupo investigador
31
A continuación se relacionan con carácter significativo, las teorías anteriormente descritas
para darle apoyo al presente trabajo.
2.2.1. ÁLGEBRA TEMPRANA.
La transición de la aritmética al álgebra (Conceptualización)
Las matemáticas encaminan al ser humano hacia un desarrollo progresivo de sus
potencialidades sin descuidar el dominio de su entorno, es ahí donde comienza a relacionarse
con la aritmética y sin darse cuenta con el álgebra ya que se encuentra implícita en nuestro
quehacer diario. La aritmética es el primer paso que dan los estudiantes en sus primeros años
escolares, luego conocen lo que es el álgebra y esa transición se convierte un poco confusa
para los dicentes.
Rojano, T. (1991), ha afirmado que “la transición de la aritmética al álgebra es un
paso crucial para llegar a ideas más complejas y abstractas dentro de las matemáticas
escolares. La manera en que el estudiante hace su transición al algebra simbólica es a
partir de la superación de dificultades que en su mayoría son producto de la
introducción tardía del álgebra en la escuela. Lo anterior ha tenido como consecuencia
una enseñanza del álgebra a partir de fuentes de significado muy limitadas”. Esto
implica tenerlo en cuenta para fundamentar este trabajo.
Al respecto, ella al lado de otros autores como Booth (1984), Kieran (1980), Kieran y
Filloy (1989), Mason (1985), Filloy y Rojano (1985) y Ursini (1990) señalan que los
estudiantes suelen usar métodos aritméticos en lugar de métodos algebraicos para
resolver problemas de enunciado y tienen dificultades para comprender y manejar
32
conceptos propios del álgebra (incógnita, número general y variable), así como para
comprender que las operaciones en álgebra pueden no llevar a un resultado numérico y,
a la larga, pueden quedar como operaciones suspendidas.
Kieran(2004),sugiere que para pasar de pensar aritméticamente a pensar
algebraicamente se debe: 1) enfocar en las relaciones y no en el cálculo de un valor
numérico; 2) orientarse en las operaciones y en sus inversas, más que en la idea de
hacer y no hacer; 3) centrar la atención tanto en la representación como en la solución
del problema, en lugar de sólo resolverlo; 4) enfocarse en los números y en las letras,
no solo en los números; y 5) un nuevo enfoque del significado del signo de igual, de un
significante para calcular, a un símbolo que denota una relación de equivalencia entre
las cantidades. Lo anterior es parte del dominio de la aritmética, sin embargo, también
representa un movimiento hacia el desarrollo de las principales ideas para el estudio
del álgebra. De esta forma, aunque existan deficiencias en el tránsito de la aritmética al
álgebra, es un paso crucial y debe llevarse a cabo para hacer ameno el proceso de
aprendizaje en los estudiantes.
Como lo plantea Kieran (1989, 1992), los escolares4 al comenzar el estudio del álgebra,
traen nociones y enfoques de uso en el trabajo aritmético, pero no son suficientes para
abordar el trabajo algebraico, ya que éste no es la generalización del aritmético.
“Resalta que las dificultades de los estudiantes de secundaria en el tránsito de la
aritmética al álgebra se centran en la necesidad de manipular letras y dotar a esta
4ESCOLARES: Término utilizado para nombrar al estudiante que acude a la escuela para formarse.
33
actividad de significado, lo que supone un cambio notable en las convenciones usadas
en la aritmética y el álgebra”. (Godino, 2012, P. 486).
Diseño de tareas para apoyar el pensamiento algebraico en la escuela
primaria.
Filloy, E.(1999), hace algún tiempo introdujo un sistema de signos lo suficientemente
amplia como para que pudiera servir más adelante; al respecto propone que los signos
se han de enseñar estén correlacionados y permitan su aprehensión de manera más fácil
para luego ser abstraídos por los estudiantes en resolución de problemas aditivos.
El Modelo Teórico Local (MTL) que propone Filloy se identifica por la interconexión
que hay entre sus cuatro componentes; modelo de los procesos cognitivos, modelo de
enseñanza, modelo de comunicación y modelo de competencia formal.
Éste modelo es recursivo y fácil de interiorizar por los estudiantes debido a su
significación de la nueva perspectiva desde donde se aborda el problema, luego se
plantea el MTL con posibilidad de implementar y los resultados obtenidos inciden en
la manera como se observe la problemática y el replanteamiento del MTL.
El álgebra como una herramienta de representación y la resolución de
problemas.
Ursini, S.(1993), hace referencia al paso del modelo de aprendizaje tradicional a una
evolución hacia prácticas matemáticas. Las dos rutas de acceso, el pensamiento
proporcional y los procesos de generalización proporcionaron la introducción a las
34
primeras ideas algebraicas, conjuntamente con el diseño de las actividades en ambos
ambientes: papel, lápiz e ambiente Logo. La clave fue la integración de esos dos
contextos: numérico y geométrico.
La combinación de las actividades, los materiales, el ambiente y la estructura de la
secuencia didáctica supervisada por la ayuda del profesor promoviendo la zona de
desarrollo próximo (ZDP). Los resultados revelaron que los estudiantes son capaces de
comprender las ideas de variación proporcional, descubren un patrón y formulan una
regla general, y comprenden los problemas que involucra la relación funcional, como
consecuencia del tránsito del pensamiento aditivo al multiplicativo. Por otro lado, el
trabajo con un compañero más experto se mostró significativo para que los niños
pudieran expresar una regla general.
Para esta autora la mayoría de los sistemas matemáticos de signos tienen, como parte
de ellos, algunos estratos de la aritmética.
1ª Problemática: Sus bases; La numeración y el conteo, introducidos en la pre-primaria,
se basan en experiencias de aprendizaje casi espontáneas con modelos de enseñanza
muy tradicionales y poco efectivos. La investigación debe tornar sus ojos a modelos
formales que se correspondan con modelos de enseñanza en la ordinalidad tenga
preeminencia sobre la cardinalidad, al contrario de lo que sucede, ahora, en los
sistemas escolares.
2ª Problemática: La pre-álgebra y el álgebra. Estudiados ya como los fenómenos del
inverso de la multiplicación, la polisemia de la “x”, los cortes didácticos asociados a la
resolución de ecuaciones de primer grado y el asociado a la resolución de sistemas de
35
ecuaciones lineales; quedan todavía por investigar muchas problemáticas relacionadas
con la factorización y los productos notables, las ecuaciones de segundo grado, las
competencias necesarias para calcular fórmulas asociadas a la combinatoria y por
supuesto, la resolución de problemas.
2.2.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Algebraización del currículo académico.
Blanton Y Kaput (1998 - 2000), plantean la introducción de modos de pensamiento
algebraicos, en la matemática escolar, desde los primeros cursos escolares. Comentan
además, el Álgebra Temprana persigue fomentar un aprendizaje con comprensión de
las matemáticas y, en especial, facilitar el aprendizaje del álgebra. Establecen que el
pensamiento algebraico puede emerger con naturalidad de las matemáticas propias de
la educación primaria, especialmente con el aprendizaje de la aritmética, y tiene el
potencial de enriquecer la actividad matemática escolar (Blanton y Kaput, 2005;
Kaput, 1998). En particular, se considera que unas matemáticas elementales
“algebraizadas” darán poder a los estudiantes, promoviendo un mayor grado de
generalidad en su pensamiento y aumentando su capacidad de expresar generalidad.
Afirman, el Álgebra Temprana va ligada de una amplia concepción del álgebra que
engloba el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de
relaciones funcionales, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el
desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de
expresión y formalización de generalizaciones.
36
Estos autores, reconociendo el potencial del Álgebra Temprana, señalan la necesidad
de:
- Identificar qué contenidos algebraicos pueden y deben ser presentados, promovidos y
enfatizados en el aula de educación primaria y cómo pueden ser integrados en la
enseñanza y aprendizaje de otras áreas de la matemática; analizar qué herramientas
(diagramas, notaciones, gráficos) pueden conducir con éxito, a los estudiantes, a
desarrollar modos algebraicos de pensar.
- Explorar la puesta en práctica de esta propuesta y analizar el desarrollo de pensamiento
y razonamiento algebraico por alumnos de educación primaria.
- Estudiar la implicación de la aplicación de esta propuesta para la enseñanza de las
matemáticas en niveles superiores (Lins y Kaput, 2004).
Además otras razones citadas por Kaput (1995), junto con las ya expuestas, parece indicar que
el aprendizaje del álgebra debe estar perfectamente vinculado con el desarrollo del
pensamiento aritmético y, no sólo ser continuación natural de éste sino, incluso solaparse en
los aspectos expuestos para que la formalización posterior se haga sobre conceptos e
intuiciones ya establecidos, lo que asegurará el aprendizaje significativo del álgebra.
Didáctica en la enseñanza de la matemáticas
Evidentemente, la utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para
poder desarrollarse. Pero, se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese
idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, de unas técnicas para hacerlo. En el caso del
37
idioma matemático, una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de
resolución de problemas.
La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la
educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la
potencia y utilidad de las matemáticas en el mundo que les rodea.
Santaló(1985), gran matemático español e interesado en su didáctica, señala que
«enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar
matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».
Polya, G.(1968), En una conferencia pronunciada decía: «Está bien justificado que los
textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso
considerarse como la parte esencial de la educación matemática».
Por otra parte, Polya (1945) dice, las cuatro etapas esenciales para la resolución de un
problema son:
1° Comprender el problema
Leer tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario leerlo varias veces, hasta estar
seguro de haberlo entendido y que no se ha escapado ningún dato interesante. Se ha de
tener muy claro en qué consiste, qué se conoce, qué se pide, cuales son las condiciones,
entre otras.
2° Trazar un plan para resolverlo
Cuando ya se está seguro de haber entendido bien el problema y se cree tener la
información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo.
38
3° Poner en práctica el plan
Cuando ya se tiene una estrategia adecuada, es necesario trabajarla con decisión y no
abandonarla a la primera dificultad. Si las cosas se complican demasiado y no se acerca
a la solución, es preciso volver al paso anterior y probar con una estrategia diferente.
4° Comprobar los resultados
Es importante en la vida diaria porque supone la confrontación del resultado obtenido
con la realidad a resolver. Por ello, es necesario examinar a fondo el camino que se ha
seguido.
2.2.3. PENSAMIENTO ADITIVO
El significado de las operaciones.
Slavit, D.(1999), considera la aritmética, el álgebra y la geometría como lenguajes
matemáticos, y alega: “se puede ver que en muchos libros de texto, y las prácticas de
un buen número de profesores, ejemplifican bastante bien ese principio: primero se
exponen reglas, definiciones y ejemplos (significados), y el tema se cierra con una
serie de problemas y ejercicios en que esos significados deben aplicarse (usos)” Ello
demuestra que los estudiantes asocian significados incorrectos para las expresiones
algebraicas, y esas falsas concepciones estén estrechamente relacionadas con las
dificultades que muestran los estudiantes para plantear y resolver problemas
algebraicos, en donde el conocimiento matemático se limita a saber operar
correctamente, tanto en álgebra como en aritmética.
39
Indica, “una enseñanza basada en el dominio de reglas y definiciones no parece
favorecer que los estudiantes aprecien a la aritmética y el álgebra como herramientas
para plantear y explorar conjeturas, o para formular y justificar generalizaciones,
herramientas indispensables en la resolución de problemas”
Por lo cual, él mismo propone: el mejor ejemplo de aprendizaje a través del uso es la
forma en que aprenden los niños los rudimentos del lenguaje natural. En el caso de la
lengua materna, los niños asignan significados al lenguaje a partir de usarlo como
medio de comunicación, sin necesidad de tener como punto de partida el conocimiento
de reglas y definiciones.
En cuanto al álgebra argumenta: el contexto algebraico ofrece una buena oportunidad
para ayudar a los estudiantes a desarrollar nociones, conceptos y estrategias que son
fundamentales en el conocimiento de la aritmética, esencialmente las nociones de
aproximación, estimación y divisibilidad. No se puede pedir a un estudiante que apenas
inicia en el álgebra que sea capaz de extraer términos que a simple vista él no puede
observar, debido a que en otras etapas de su aprendizaje algunas operaciones pasaron
desapercibidas para este y que solo a partir de nociones básicas se irá relacionando con
las nuevas exigencias.
Ultima diciendo: el profesor desempeña un rol determinante en el éxito de un
acercamiento didáctico como el que aquí se discute pues permite a los estudiantes
explorar libremente siguiendo sus propias formas de razonamiento.
40
Dominio Numérico (Simbolización Numérica)
Mason(1985), la generalización en algebra es el punto de partida hacia la abstracción
matemática y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones o regularidades.
Para aprender el lenguaje algebraico, es importante que el estudiante tenga algo que
comunicar; así, al percibir un patrón o una regularidad, puede intentar expresarlo y
comunicárselo a alguien. Para el referido autor, hay cuatro etapas para trabajar la
generalidad en el salón de clases: percepción de un patrón, expresiones de un patrón,
registro de un patrón, prueba de la validez de la(s) formula(s).
A modo de conclusión, resulta inevitable afirmar que al iniciar el estudio del álgebra en la
secundaria, muchos estudiantes presentan dificultades en el tránsito del pensar aritmético al
pensar algebraico puesto que, su modo de responder a las situaciones problemas es
completamente aritmético y no asimilan los conceptos propios del álgebra, así como para
comprender que en los ejercicios no siempre se obtiene un resultado numérico.
Además, los estudios mencionados en este marco teórico evidencian la mejor forma de
construir nociones básicas del álgebra y, es a través de una contextualización de su entorno
académico basado en el buen manejo del pensamiento variacional que no es más sino la
interpretación de ideas a través de lenguajes simbólicos para representar y analizar situaciones
y estructuras matemáticas razonando sobre el concepto de cambio en diversos contextos.
Bien es sabido que el pensamiento variacional se refiere a la comprensión general que tiene
una persona sobre la variación y el cambio en diferente contextos. Ello involucra la
percepción, identificación, descripción, modelación y representación de dicha variación en
41
distintos registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. (MEN 2006
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Pág. 67).
De allí que, entre los elementos que articulan el pensamiento variacional mencionados por el
MEN se hallen:
- Procesos de generalización.
- La comunicación y modelación de situaciones de cambio.
- Estudio de regularidades y patrones.
- Contextos de dependencia entre variables.
En consecuencia, toda ésta secuencia didáctica nace de la necesidad de implementar en la
educación básica primaria actividades que inicien la ejercitación del pensamiento variacional
como una vía para adentrarse al razonamiento algebraico, desde temprana edad ya que, en la
educación primaria se enfatiza más en enseñar lo numérico y lo geométrico a través de
operaciones aritméticas y resolución de problemas, que en el estudio del pensamiento
variacional por lo cual éste trabajo pretende aportar contenidos que enriquezcan la
generalización de patrones numéricos.
Así pues, se alegan a este proyecto de investigación, fundamentaciones teóricas que sujetan
todo un contenido pedagógico y didáctico esencial para el avance académico del currículo
institucional perteneciente al MEN (Ministerio de Educación Nacional). Ya que, se hace en
conjunto con los autores expuestos una gran relevancia de las insuficiencias cognitivas
presentes en la escuela primaria que persisten en la secundaria y ameritan por tanto, iniciar la
mencionada estrategia, Introducción del Álgebra a Temprana Edad. Estudio que se ha llevado
42
a cabo en varias universidades y consolida una columna para el aprendizaje matemático,
definida como el alma de la argumentación lógica y numérica.
TRATAMIENTO TEÓRICO
AUTOR APORTES INTERPRETACIÓN SIGNIFICACIÓN
Teresa Rojano
Usan métodos aritméticos en vez del álgebra.
Se sigue un proceso adecuado pero se debe incluir un pensar algebraico.
Trabajar o insistir en la apropiación del concepto algebraico en los estudiantes.
Dificultad en el manejo de conceptos propios del álgebra.
Exige ir poco a poco en formular conceptos, para avanzar en el dominio de la teoría matemática.
Crear espacios para la comprensión, es premisa de aprendizaje. Pensar en la implementación de estrategias creativas.
De pensar aritméticamente a pensar algebraicamente
El pensar crítico mueve a aprender. El reflexionar crítico mueve a la significación del aprendizaje.
Hacer actividades que promuevan el desarrollo del puente cognitivo.
Kieran
El dominio de la aritmética representa el desarrollo de las principales ideas para el estudio del álgebra.
Es importante tener un buen manejo de las bases aritméticas en coordinación con los procesos matemáticos.
La educación matemática es procesual donde exige implementar estrategias creativas del docente y estas sean modelos para el estudiante.
El álgebra no es la generalización de la aritmética.
Si bien es cierto debe dominarse algunos conceptos aritméticos para los desarrollos algebraicos, es importante tener en cuenta un enfoque algebraico que haga secuencia con la naturaleza de este proceso.
La aritmética debe convertirse en puente cognitivo hacia un aprendizaje exitoso y de calidad del álgebra. La aritmética no debe ser obstáculo en el aprendizaje del álgebra.
43
Eugenio Filloy
El modelo teórico local. Hace referencia a la interconexión que hay entre sus cuatro componentes; modelo de los procesos cognitivos, modelo de enseñanza, modelo de comunicación, modelo de competencia formal.
Este autor menciona unos elementos básicos para el desarrollo de la formación matemática de los estudiantes. No es simplemente el desarrollo de contenidos. Exige del docente reflexionar para movilizar su acción hacia nueva vías de aprendizaje.
Sonia Ursini
Paso del modelo de aprendizaje tradicional hacia la evolución de las prácticas matemáticas.
Los procesos de la matemática deben ir evolucionando en busca de nuevas rutas.
El cambio debe darse en los docentes de matemática: ajustar su teoría o lo que pregonan como teoría a la acción del aula, igualmente a la realidad contextual del estudiante.
Blanton y Kaput
Modos de pensamientos algebraicos.
Hacen un llamado a la reflexión sobre los desarrollos matemáticos especialmente en la básica primaria.
Algunos conceptos son esenciales: el manejo de los conceptos y teorías. Ir depurando científica y pedagógicamente sus saberes y experiencias. Pensar en una práctica en el aula para que el estudiante aprenda y se anime por estos procesos. En consecuencia la clase debe ser resultado del pensamiento del profesor con el propósito de que el estudiante comprenda estas teorías y las aplique en su realidad contextual.
El álgebra temprana fomenta un aprendizaje con comprensión de las matemáticas.
Facilitar el aprendizaje del álgebra desde la familia, la escuela primaria, secundaria, es todo un proceso desde la infancia.
El docente y la escuela deben potenciar en los estudiantes este tipo de educación y formación, implementando estrategias innovadoras para el acto educativo del aula.
44
Matemáticas elementales algebraizadas.
Dado que la matemática en sus procesos de aprendizaje conlleva una secuencia de conceptos y teorías que se manejan es bueno y necesario iniciar al estudiante a un álgebra acorde con su edad, su contexto y realidad, su vida y su cultura.
En este sentido exige como base inicial de este proceso y en cada periodo, conocer al estudiante para actuar en consecuencia a su favor.
El aprendizaje del álgebra debe estar perfectamente vinculado con el desarrollo del pensamiento aritmético y, no solo ser continuación natural de éste.
Asegura el aprendizaje significativo del álgebra.
Exige redoblar acciones pedagógicas y de acción que implique una reflexión tanto del estudiante como de su profesor para que el aprendizaje de las matemáticas se convierta en parte de la vida de los estudiantes.
Santaló y
George Polya
Enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas.
Justifica la importancia de la didáctica en la enseñanza de las matemáticas.
Si bien es cierto que la solución de problemas es parte de la escuela, de la vida del estudiante y de la misma matemática, es bueno reflexionar sobre este manejo en el aula. Los conceptos y teorías matemáticas deben partir de la solución de problemas pero no cualquier problema. Como antes se ha señalado esto dependerá de la vida y realidad de los estudiantes, de lo que sienten, de lo que piensan y de lo que hacen, debe ser una matemática contextualizada y orientada a mejorar el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes, para su desempeño en la familia, en la misma escuela, en
45
MATRIZ II: Tratamiento teórico
Fuente: Elaboración del grupo investigador.
Con la anterior matriz, queda plasmado que dichos autores fueron de gran ayuda para el desarrollo de éste proyecto debido a sus aportes que se pueden evidenciar y a su vez la significación que tiene para las investigadoras.
sus comportamientos.
David Slavit
Dificultad para plantear y resolver problemas algebraicos. Significado de las operaciones y expresiones algebraicas. Estilo de enseñanza.
Este autor señala unos elementos que son objetos de investigación en este trabajo: como es el planteo y solución de problemas. Desconocimiento del sentido de la lógica procesual de las operaciones. Desconocimiento y aplicación de una forma de enseñar y de aprender.
Exige una renovación, por parte de los profesores, de la enseñanza ligada más a establecer relaciones de un mejor saber hacia un mejor hacer, ligado a una práctica que asuma los conceptos y teorías orientados a facilitar el aprendizaje de los estudiantes. Una práctica más creativa, renovada, critica, liberadora.
Mason
La generalización en álgebra es el punto de partida hacia la abstracción matemática.
La importancia de la generalización en matemáticas es fuente para un aprendizaje creativo, innovador, de construcción permanente, orientado a un aprendizaje eficaz y de calidad.
La generalización es un proceso que debe estar presente en los enfoques para la enseñanza de las matemáticas orientado a la facilitación de la abstracción. Ejercitar las teorías pedagógicas que facilita los procesos de aprendizaje: de lo conocido a lo desconocido. De lo simple a lo complejo.
46
3. DISEÑO METODOLÓGICO
3.1. PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación se relaciona con el paradigma socio-crítico, el cual introduce la ideología
de forma explicativa y la auto-reflexión crítica de los procesos del conocimiento, tiene como
objetivo transformar el contexto en que se encuentran los estudiantes, por consiguiente su
finalidad es cambiar las estructuras de las relaciones sociales de la realidad y dar respuestas a
determinados problemas generados por éstas.
En este paradigma se considera la unidad dialéctica de lo teórico y lo práctico que demarca la
dinámica en la actividad que sustenta la enseñanza temprana del álgebra, así mismo, exige al
estudiantado una racionalidad que incluya los juicios, los valores y los intereses cognitivos
para gestionar el conocimiento construido.
Esta propuesta de una teoría crítica de la enseñanza pretende buscar una comprensión más
consistente de la teoría y la práctica educativa, considerando al estudiante como investigador
dentro de una concepción crítica de la racionalidad, además dadas las bondades de este
paradigma, se considera apropiado aplicarlo con el grado Quinto de primaria de la Institución
Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras.
47
3.2.TIPO DE INVESTIGACIÓN
Para las investigadoras este proyecto es de tipo exploratoria, descriptiva y acción, la cual está
centrada en el tránsito del pensamiento aritmético al algebraico de los estudiantes de 5º de
primaria de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras.
Es de tipo exploratoria porque a partir de ella se recopila la información preliminar que
ayudará a describir detalladamente las causas de la problemática a estudiar, donde consiste en
la aprehensión del álgebra a temprana edad.
También es de tipo descriptiva porque de esta forma se llega a conocer los procesos
algebraicos de manera cuidadosa y el análisis minucioso de los resultados, a fin de extraer
generalizaciones significativas que contribuyan a hacer matemáticas. Su meta no se limita a la
recolección de datos como lo es en el caso de la investigación exploratoria, sino a la
descripción exacta.
Y se dice de acción porque constituye un proceso continuo, una espiral, donde se van dando
los momentos de problematización, diagnóstico, diseño de propuesta, aplicación de la
propuesta y evaluación, para luego reiniciar un nuevo circuito partiendo de una nueva
problematización; estas investigaciones satisfacen el presente proyecto.
48
3.3.DELIMITACIÓN
3.3.1 DELIMITACIÓN ESPACIAL: la investigación se realizó en la Institución Educativa
Distrital Sofía Camargo de Lleras sede I, ubicado en la Calle 53D entre carreras 21 y 21B.
también cuenta con una sede II en la calle 53D N° 20B – 40 Barrio El Carmen, es una
institución educativa oficial, patrimonio de la sociedad Barranquillera, que ofrece la formación
integral de niñas y jóvenes de calendario A, en los niveles de preescolar, básica y media
académica, con profundización en ciencias naturales, matemáticas, acciones comunicativas y
con alianzas Institucionales.
Su cuerpo directivo está conformado por una rectora, dos coordinadores académicos, dos
coordinadores de convivencia en su jornada correspondiente, dos psicorientadoras, 42
profesores en la jornada matinal y 27 en la jornada vespertina.
En cuanto a su estructura física, la sede I cuenta con un bloque de tres pisos, una oficina de
rectoría, dos oficina de coordinación (académica y convivencial), una sala de profesores, una
biblioteca, una sala de consejería, un salón múltiple (paraninfo), tres salas de informática, una
sala de audio visuales, un laboratorio de física, química y biología, unos baños, una cancha
deportiva, una sala de profesores, un comedor escolar y 23 salones de clases. A la sede II la
conforman 11 salones de clases, una sala de profesores, una sala de rectoría, dos salas de
informática, una cancha y unos baños.
3.3.2. DELIMITACIÓN TEMPORAL: la presente investigación se ejecutó inicialmente en
el segundo semestre del año 2013, luego se retomó a finales del año 2014 y principios del
2015.
49
3.3.3. DELIMITACIÓN CONCEPTUAL:
Los conceptos que fundamentan el trabajo teórico son:
- Álgebra a temprana edad
- Transición de la aritmética al álgebra
- Puente cognitivo
- Obstáculos epistemológicos
- Lenguaje algebraico
- Pensamiento variacional
- Modelación
- Paradigma socio-critico
- Investigación exploratoria, descriptiva y acción
- Resolución de problemas matemáticos
3.4. POBLACIÓN Y MUESTRA
3.4.1. POBLACIÓN
La planta de profesores en matemática la componen 11 licenciados, en correlación al
estudiantado lo forman seis (6) cursos de 5° entre los 10 y 12 años y, cuatro (4) cursos de 6°
cuyas edades oscilan entre 11 y 13 años respectivamente, para un total de 350 estudiantes.
3.4.2. MUESTRA
De esta Institución educativa se tomó una muestra de 35 estudiantes de 5º-04 de la jornada
vespertina, conformado por niñas de 10 a 12 años de edad.
50
3.5. DIAGNÓSTICO INICIAL
Luego de un diagnóstico inicial de contextualización del problema y con el propósito de
consolidar el análisis cualitativo se determinaron como técnicas para la recolección de datos
las siguientes:
3.5.1. INSTRUMENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN.
Para la recolección de datos e información de este proyecto, fue prioritaria la utilización de
información valida y confiable garantizando la veracidad de la misma, los instrumentos
fueron convalidados y aplicados a la población y muestra seleccionada, con el objetivo de
diagnosticar y analizar el dominio algebraico que muestran las estudiantes en la solución de
ejercicios de pensamiento variacional.
Las técnicas utilizadas para la recolección de información fueron:
TÉCNICAS
INSTRUMENTOS
JUSTIFICACIÓN
Observación objetiva
Ficha de observación
Esta observación se realizó para analizar las características y organizar el proceso de investigación por etapas. Además se recoge la información directa sobre el aprendizaje del niño en las matemáticas y la forma como el profesor orienta el proceso de aprendizaje.
Encuesta a docentes
Guía de entrevista
Es una técnica de estudio que en la presente investigación, consiste en recolectar datos a través de un cuestionario prediseñado y convalidado, con un conjunto de preguntas dirigidas a los docentes del área de matemática; además se realiza en forma individual, privada,
51
de manera que el docente pueda expresar sus opiniones sin presiones y libremente. Esta encuesta se realizó con el objetivo de diagnosticar los obstáculos epistemológicos que los docentes tienen acerca de introducir el álgebra temprana en el currículo de matemáticas.
Taller escrito (5°)
Guía – taller
Este instrumento fue aplicado, con el objetivo de diagnosticar las debilidades y fortalezas de las estudiantes de Quinto grado de la institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras, que presentan en la transición del pensamiento aritmético al algebraico.
Taller escrito (6°)
Guía – taller
Así mismo, en las estudiantes de Sexto grado se utilizó éste instrumento evaluativo para recolectar información sobre el dominio de expresiones matemáticas para modelar situaciones problema y conocer así, nivel cognoscitivo mantenido.
Memoria visual
Evidencias fotográficas
Es un instrumento dinámico que permite visualizar en tiempo real lo acontecido en el espacio de la clase. Es empleado en el transcurso de esta investigación, con el fin de evidenciar los procesos desarrollados a todas las personas involucradas y de esta manera mostrar los momentos relevantes.
MATRIZIII: ANÁLISIS DE LOS INSTRUMENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE DATOS.
Fuente: Elaboración del grupo investigador.
52
3.6. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
A partir de los instrumentos y técnicas aplicadas a la muestra seleccionada, se presentan
descriptivamente un análisis objetivo del tratamiento de la información establecida para el
proceso de enseñanza y aprendizaje en la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de
Lleras, así:
3.6.1. ANÁLISIS DE LA OBSERVACIÓN: La observación, constituyó una de las técnicas
más importantes de este proceso investigativo, a partir de ella fue posible determinar la
problemática existente del proceso de aprendizaje del álgebra en los estudiantes de octavo
grado y esto ayudó a la escogencia del tema a investigar, es decir, introducir álgebra temprana
en estudiantes de Quinto grado para que este problema observado en la secundaria no sea una
constante de déficit cognoscitivo.
Luego, en la práctica docente se observó que las estudiantes presentaban falencias al abordar
los temas que subyacen en el paso de la aritmética al álgebra y poca comprensión de la misma,
puesto que las clases orientadas en el aula no estaban contextualizadas y su forma de pensar
residía básicamente en procesos aritméticos. Así mismo, la metodología del docente durante el
proceso de enseñanza se asimilaba al conductismo, es decir, expone la temática y los
estudiantes se remiten a escuchar y escribir sin dar espacio a una didáctica que habilite la
participación activa de ellas e incentive el ánimo por aprender matemáticas y resolver
problemas de modelación.
Lo anterior, es un agregado de comportamientos ambientales y académicos que facilitan el
diseño de la propuesta pedagógica expuesta en esta investigación y orientan la didáctica de
acuerdo a los estereotipos y dificultades que caracteriza el grupo a estudiar.
53
3.6.2. ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO A DOCENTES (Anexo 1): Esta encuesta consta
de cinco interrogantes la cual fue aplicada a seis docentes de matemáticas en la Institución
Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras, afirmando que el álgebra se enseña para
desarrollar el pensamiento variacional, la modelación, generalizar patrones, resolver
problemas de la vida diaria y de base para futuras asignaturas ya que, es esencial para resolver
problemas de física, trigonometría, geometría analítica, cálculo, etc.
A renglón seguido, las competencias que los niños deben tener para iniciar el estudio del
álgebra son interpretativa, propositiva, comunicación matemática y argumentativa. En cuanto
a fomentar el pensamiento variacional, el grupo de maestros encuestado coincidió en que se
debe desarrollar, relacionando en los estudiantes las temáticas a estudiar con su experiencia de
vida sin dejar de lado a las herramientas tecnológicas.
Para terminar, ellos opinan también, que introducir el álgebra temprana en Quinto grado de
primaria, es importante para ir desarrollando el pensamiento variacional y facilitar el tránsito
de la aritmética al álgebra, de ésta manera al llegar a grados superiores tendrán unos buenos
cimientos como lo son, gran comprensión lectora, una alta capacidad de razonamiento, un
buen uso de las operaciones básicas y la resolución de situaciones problemas alegados a éstas.
Desde la posición docente, este análisis minucioso sobre los beneficios de introducir el álgebra
temprana es muy provechoso para justificar esta investigación, pues supone mejorar la
metodología con que se viene enseñando el álgebra y la matemática en general, basándose en
un buen aprestamiento de la clase que consolide el crecimiento personal y epistémico de las
estudiantes en compañía de herramientas lúdicas y dinámicas.
54
3.6.3. ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DEL TALLER ESCRITO A 5°. (Anexo 2)
ACTIVIDAD
PREGUNTA O SITUACIÓN PROBLEMA
ASPECTOS
EVALUADOS
ANÁLISIS
CUANTITATIVO
REFLEXIÓN E
INTERPRETACIÓN
SIGNIFICACIÓN
TALLER
ESCRITO A
5°
1. Mariana y Ricardo reunieron $52.300. Si Mariana tenia $18.900, ¿Cuánto dinero tenia Ricardo?
Procedimiento Resolución
aritmética o algebraica.
Interpretación. Modelación.
En la resolución de este problema solo 9 estudiantes contestaron correctamente, 20 incorrectamente y 6 estudiantes no respondieron.
En la aplicación del taller, señalando al primer ejercicio se observó que las estudiantes presentan dificultades en la lectura de problemas matemáticos, la selección de datos y su respectiva solución aritmética.
Se infiere que el estilo de las matemáticas requiere tener en cuenta la lectura como fuente de aprendizaje a nivel de la comprensión
2. Resuelve operaciones aditivas y las traduce al lenguaje textual.
Interpretación Redacción
matemática.
23 estudiantes contestaron correctamente, y 12 estudiantes respondieron presentando errores.
En este ejercicio del taller las estudiantes debieron realizar unas operaciones aritméticas y luego redactarlas textualmente, pero en algunas niñas no hubo comprensión total del esquema a seguir, por lo cual mostraron una solución deficiente.
En las matemáticas es de gran importancia comprender el lenguaje en el cual se trabaja y darle a éste una significación en la comprensión y diferenciación del lenguaje natural al lenguaje simbólico propio de las matemáticas.
3. En una tienda de figuras geométricas los precios de cada artículo están en el centro de cada uno de ellas. ¿Qué valor tiene el rectángulo?
Procedimiento Resolución
aritmética o algebraica.
Interpretación. Modelación.
A este interrogante matemático las 35 estudiantes respondieron correctamente.
En referencia a ello, éste ejercicio fue el más fácil para las niñas por su sencillez aritmética, todas contestaron correctamente sin ninguna dificultad.
Es considerable la capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación y así resolver problemas mediante la acción de ordenar ideas, construyendo modelos matemáticos que reflejen fielmente las
55
condiciones propuestas para llegar a una conclusión significativa.
4. Resolver operaciones aditivas con términos semejantes (simbolizados en frutas del mismo grupo).
Agrupación de
términos semejante.
En la práctica de los ejercicios a resolver, las estudiantes obtuvieron 22 repuestas correctas, y 13 incorrectas.
Las estudiantes resolvieron este punto del taller con gran habilidad. Pero no se detuvieron a observar analíticamente el comportamiento de términos semejantes usados en la estructura algebraica.
Cabe resaltar que este tipo de situaciones se debe aprovechar para dar inicio al estudio del álgebra temprana, asociada con las propiedades aritméticas para dar significado a la variable y por ende al lenguaje algebraico.
5. Durante cada una de las cuatro semanas del mes de enero, Rubén ahorra $7.650. En las semanas de febrero, ahorró $8.190. ¿Cuánto más ahorró en febrero que en enero?
Procedimiento Resolución
aritmética o algebraica.
Interpretación.
Modelación.
Las estudiantes obtuvieron 10 respuestas correctas, 21 respuestas incorrectas y 4 estudiantes no dieron respuesta alguna.
En este problema de modelación la gran mayoría de las estudiantes no comprendían la forma de dar solución al problema. Ya que, se les dificulta un poco la comprensión en la lectura del mismo y no asimilan el proceso de modelación.
En las matemáticas es de vital importancia la comprensión del sentido de las operaciones como una estrategia fundamental para el desarrollo del pensamiento numérico, así como del conocimiento de procedimientos matemáticos y algorítmicos, cómo y cuándo usarlos apropiadamente y a la flexibilidad para adaptarlos a su respectiva solución.
6. Andrés y Ana tienen 10 láminas entre los dos. Si Andrés tiene 8 láminas, ¿Cuántas láminas tiene Ana?
Procedimiento
. Resolución
aritmética o algebraica.
Interpretación.
24 estudiantes respondieron correctamente, 8 incorrectamente 1 no responde y 2
Las niñas resuelven con facilidad problemas de sencilla estructura matemática.
El proceso presente en la actividad matemática que tiene que ver con el aprendizaje de formular, tratamiento y resolución del problema está relacionado
56
Modelación. resolvieron el ejercicio sin proceso.
con la capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación para la modelación de situaciones problemas.
MATRIZ IV: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTUDIADA EN 5°
Fuente: Elaboración del grupo investigador.
3.6.4. ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DEL TALLER ESCRITO A 6°. (Anexo 3)
ACTIVIDAD
PREGUNTA O SITUACIÓN PROBLEMA
ASPECTOS
EVALUADOS
ANÁLISIS
CUANTITATIVO
REFLEXIÓN E
INTERPRETACIÓN
SIGNIFICACIÓN
TALLER
ESCRITO A
6°
1. ¿Qué letra es el factor común en las siguientes expresiones?
Factor común.
Interpretación.
Después de aplicado el examen se obtuvo el análisis de 19 respuestas correctas, 10 incorrectas, y 1 con la opción de no responden.
En este punto las niñas de Sexto Grado se mostraron un poco indecisas en sus respuestas, ya que no reconocen ni definen la expresión algebraica factor común. Sin embargo, a la mayoría les fue bien después de una dinámica explicación.
Se sabe que la comunicación implica reconocer el lenguaje de las matemáticas que a su vez, permite ganar habilidades como la agilidad de identificar, interpretar y evaluar ideas matemáticas de representaciones simbólicas, para producir argumentos en el pensamiento variacional y en los sistemas algebraicos y analíticos.
2. Traduce al lenguaje matemático los
Traducir del
lenguaje materno al
Se obtuvieron 5 respuestas correctas y 18 incorrectas. 7
En las respuestas, las niñas colocaron no haber visto la temática evaluada de este
La significación descrita anteriormente, se manifiesta también en la destreza
57
diferentes enunciados.
lenguaje matemático.
Interpretación.
niñas no respondieron.
ejercicio en clases. Aunque unas cuantas respondieron sin error alguno.
necesaria para la solución de éste interrogante. Lo cual indica reconocer el lenguaje propio de las matemáticas usando las nociones convenientes, previas y precisas y reconocer su significado e interpretación.
3. Selecciona la ecuación que modela cada situación.
Modelación. Interpretación.
Los resultados fueron, 10 respuestas correctas y 20 incorrectas.
Las estudiantes no interpretaron el enunciado aquí descrito puesto que sus respuestas no fueron totalmente correctas sino muy regulares
Se infiere que la comunicación, representación y la modelación son competencias que están referidas entre otros aspectos, a interpretar el lenguaje formal y simbólico y traducir del lenguaje natural al simbólico formal, así como distinguir entre diferentes tipos de representaciones.
4. ¿Cuál es el valor de x en cada ecuación?
Determinar el
valor de la variable desconocida.
17 respuestas correctas, 11 incorrectas, y 2 no responden.
Para la solución de éste ejercicio, algunas niñas sustentaron que no sabían, y otro grupo sostuvo que sí lo habían estudiado antes. Al final se pudo dar respuesta al ejercicio en equipo. Presentando falencias en su procedimiento
Las matemáticas son caracterizadas entre otros aspectos, por dar cuenta del cómo y del por qué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones, justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones-problemas.
5. Determina el valor de cada
Sustituir Resolución de
2 respuestas correctas, 26
Las operaciones con fracciones y las multiplicaciones de
La utilización de métodos en la solución de ecuaciones
58
expresión algebraica para las cuales a=3 y b=2.
operaciones matemáticas.
incorrectas y 2 no responden, respectivamente.
enteros fueron las mayores falencias presentadas en las educandas.
implica el conocimiento de los procesos matemáticos que lleven a esta, mediante los saberes y habilidades dada una situación.
6. Mariana y Ricardo reunieron $52.300. Si Mariana tenía $18.900, ¿Cuánto dinero tenía Ricardo?
Procedimiento
Resolución aritmética o algebraica.
Interpretación
Modelación.
16 respuestas correctas, 12 respuestas malas y 2 no responden.
Las discentes mostraron que tienen falencias en la compresión y argumentación de los problemas matemáticos ya que, no tenían la certeza de sus respuestas.
Usualmente, la ordenación de ideas permite llegar a conclusiones que requirieron de una buena comprensión, en el caso particular, de las matemáticas, incluye justificaciones de los procedimientos que se realizan para dar solución a una situación problema.
MATRIZ V: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTUDIADA EN 6°Fuente: Elaboración del grupo investigador.
Al concluir el análisis cuantitativo y analítico de los talleres aplicados a los cursos de 5° y 6° en la Institución Educativa Distrital Sofía
Camargo de Lleras, se alude que estas estudiantes no comprenden el proceso de modelación en las operaciones matemáticas ni
demuestran un tránsito sólido del pensamiento aritmético al algebraico. Por el contrario, expresan tener dificultades para resolver
situaciones problemas al no identificar las operaciones indicadas en cada una de ellas y falencias en la resolución de operaciones con
estructura matemática sencilla.
Por ello, la necesidad de introducir el álgebra a temprana edad y evitar los déficits que se evidenciaron en el curso de Sexto Grado
desarrollando competencias y habilidades que soporten el uso y manejo del pensamiento variacional.
59
3.6.5. INTERPRETACIÓN GRÁFICA
A continuación se presenta de manera gráfica y significativamente el resultado obtenido en
cada ejercicio resuelto por las estudiantes de 5° y 6°; posteriormente analizados en una matriz
descriptiva.
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE QUINTO GRADO. (Anexo 2)
Gráfica 1
Los puntos 1, 3, 5 y 6 del taller escrito aplicado a las estudiantes de 5°-04 hacen referencia a
problemas de modelación, es decir problemas de la vida diaria en los cuales se busca que las
estudiantes relacionen, interpreten por si solas cada uno de ellos; y la gráfica muestra las
dificultades que tienen para resolver este tipo de ejercicios.
correctamente incorrectamente no responde sin proceso1. problema 9 20 6 03.problema 35 0 0 05. problema 10 21 4 06. problema 24 8 1 2
05
10152025303540
RESUELVE PROBLEMAS DE MODELACIÓNEstudiantes
60
Gráfica 2
En el punto dos del taller escrito, las estudiantes debían resolver operaciones aditivas las
cuales a su vez tenían que traducir al lenguaje matemático, esto con el fin de asociar lo gráfico
con las matemáticas y ver la diferencia que existe entre la aritmética y el álgebra.
Gráfica 3
En el cuarto punto del taller escrito, el 63% de las estudiantes contestaron correctamente y se
notó que su proceso fue meramente aritmético, asociándolo cuando ellas tienen algo y le
66%
34%
2. RESUELVE OPERACIONES ADITIVAS Y LAS TRADUCE AL LENGUAJE MATEMÁTICO
correctamente
incorrectamente
63%
37%
4. RESUELVE OPERACIONES ADITIVAS CON TÉRMINOS SEMEJANTES (SIMBOLIZADOS EN FRUTAS DEL
MISMO GRUPO).
correctamente
incorrectamente
61
regalan más; pero las estudiantes no se dieron cuenta que el proceso que estaban haciendo era
algebraico, es decir que estaba implícito en este punto.
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE SEXTO GRADO. (Anexo 3)
Gráfica 4
El 64% de las estudiantes contestaron correctamente, pero fue porque relacionaron el concepto
de factor común con lo que más se repite y este proceso lo hicieron solo diciendo cual era
dicha letra en cada uno de los sub puntos, sin darse cuenta que esto hace parte del álgebra.
Además el 33% contesto incorrectamente porque escogieron otra letra que no era el factor
común y el 3% no entendieron que era lo que les pedía hacer dicho punto.
64%
33%
3%
1. IDENTIFICA EL FACTOR COMÚN DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
correctamente
incorrectamente
no responde
62
Gráfica 5
En el punto número dos, las estudiantes debían traducir al lenguaje matemático tres
enunciados diferentes, los cuales decían expresiones que se conocen en el grado sexto para
poder resolverlo, pero el 60% de las niñas respondió incorrectamente debido a que dichas
respuestas eran ajenas a lo pedido y solo un 17% contestaron correctamente.
Gráfica 6
En el tercer punto del taller escrito las estudiantes debían escoger cual era la ecuación correcta
que modelaba dicha situación es decir, que para éste ejercicio les correspondía leer,
comprender y relacionar para poder escoger la respuesta correcta.
17%
60%
23%
2. TRADUCE AL LENGUAJE MATEMÁTICO
correctamente
incorrectamente
no responde
33%
67%
3. SELECCIONA LA ECUACIÓN QUE MODELA CADA SITUACIÓN
correctamente
incorrectamente
63
El 67% de las niñas respondió incorrectamente dado que había ejercicios parecidos pero que
decían o expresaban dos cosas diferentes.
Gráfica 7
En este punto las estudiantes tenían que hallar el valor de la variable (x) y el proceso realizado
por estas fue meramente aritmético, la gráfica muestra los resultados obtenidos y el 56%
contesto correctamente, el 37% respondió incorrectamente y solo el 7% no respondió nada a
este punto pero alegaron que no sabían que hacer.
Gráfica 8
6%
87%
7%
5. DETERMINA EL VALOR DE CADA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
correctamenre
incorrectamente
no responde
56%37%
7%
4. HALLA EL VALOR DE X EN CADA ECUACIÓN
correctamente
incorrectamente
no responde
64
La grafica presenta el porcentaje de las respuestas obtenidas por parte de las estudiantes, el
87% de las estudiantes respondieron incorrectamente y ésto se presenta porque al reemplazar
los valores de las variables (a), (b) en los diferentes ejercicios, las niñas se equivocaron al
momento de resolver operaciones con fraccionarios y multiplicaciones.
Gráfica 9
El último punto del taller escrito, las estudiantes de sexto grado debían resolver un problema
de modelación y los resultados obtenidos se muestran en la gráfica.
36%
40%
7%17%
6. RESUELVE PROBLEMAS DE MODELACIÓN
correctamente
incorrectamente
no responde
sin procedimiento
65
CONCLUSIONES
La realización de la presente investigación es de vital importancia, porque gracias a ésta se
puede establecer los motivos por la cuales se facilita el álgebra temprana a través de la
resolución de problemas aditivos, concluyendo así que:
Por medio del proceso de observación se facilitó evidenciar las fortalezas y
debilidades presentes en los estudiantes y en el cuerpo docente así como, resaltar el
contexto donde éstos interactúan desde el ámbito convivencial, disciplinario y
académico.
Con el uso de los instrumentos y las técnicas de recolección de datos y el contexto
escolar, se obtuvo cierta información que ayudó al grupo investigativo a plantear y
elaborar una estrategia didáctica fundamentada en la introducción del álgebra temprana
a través de la contextualización de la misma para mayor aprensión y solidez en la
adquisición de los procesos y conocimientos, dando un gran aporte significativo a la
presente investigación.
RECOMENDACIONES
Teniendo en cuenta el proceso desarrollado en este trabajo investigativo y su carácter
relevante se brindan las siguientes recomendaciones:
Iniciar en el docente la necesidad de conocer a los estudiantes, su manera de pensar, su
modo de vivir y de relacionarse con el contexto, su ritmo de aprendizaje y la amistad
docente-estudiante para adentrarse en las fortalezas y debilidades presente en cada uno
66
de ellos y encontrar la manera más correcta de crear empatía hacia las matemáticas y
su desenvolvimiento en ella.
Implementar el uso diario del preparador de clases donde se describa la didáctica a
utilizar y cada uno de los momentos referidos a la participación del estudiante y su
aprovechamiento al máximo.
67
68
4. PROPUESTA PEDAGÓGICA
4.1. TITULO DE LA PROPUESTA
Estrategia didáctica para la transición de la aritmética al álgebra en estudiantes de Quinto
grado de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras.
69
4.2. PRESENTACIÓN
Las principales bondades del presente proyecto de investigación resaltan debido a que ofrece
una mejor calidad educativa, abordado el estudio de los procesos de aprendizaje en el marco
de la pedagogía teórico – práctico, con las expresiones algebraicas dándole significados
concretos a los símbolos, letras y otros términos propios del lenguaje matemático.
Teniendo en cuenta que los estudiantes de Octavo grado se enfrentan a una nueva temática
como lo es el álgebra de la cual muestran falencias, la propuesta pedagógica se focaliza en
introducir el álgebra en estudiantes de Quinto grado de primaria para que su apropiación sea
factible, a fin de facilitar la adquisición y comprensión en los grados superiores y de esta
manera el beneficio seria para los estudiantes, los docentes y hasta para el mismo plantel
educativo.
Con lo anterior se busca cambiar el estado de ánimo y percepción que puedan presentar los
estudiantes cuando ven por primera vez el álgebra, por ello surge la necesidad de introducir el
álgebra a estudiantes de Quinto grado de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo De
Lleras.
70
4.3.JUSTIFICACIÓN
La razón de ser de cualquier investigación es generar conocimiento y, a partir de ella
implementar cambios. En el campo educativo los cambios tienen que ser orientados a avanzar
en los procesos educativos. Por esto, es deber de las escuelas liderar espacios dinámicos en el
aula, enfocados a plantear estrategias metodológicas que faciliten el trabajo matemático a
partir del desempeño que corresponde al afianzamiento de las competencias interpretativa,
argumentativa y propositiva.
Desde esta perspectiva, la resolución de problemas aditivos se vuelve la actividad central que
permite la construcción del saber matemático desde los primeros años de la escuela y, es
objetivo esencial para el proceso de modelación de las expresiones aritméticas a las
algebraicas en que se relacionan la capacidad inductiva del estudiante para resolver situaciones
de la vida práctica.
Además, se perfila esta propuesta dinámica en sustento a la necesidad de renovar el proceso de
Enseñanza–Aprendizaje liderado por un docente que base su clase en estrategias innovadoras
y de espacio al estudiante para involucrarse constantemente en ella. Así mismo, se halla
justificada al respaldo de una fundamentación investigativa después de construido el análisis
del diagnóstico aplicado a las estudiantes de la primaria y a los profesores de la misma
institución educativa, dedicados a trabajar en el área de las matemáticas. Donde se hace
referencia al nivel cognoscitivo propiamente dicho y al comportamiento en el aula y, del
interés que el maestro despierta en cada momento de construcción del pensamiento
matemático en concordancia al desarrollo de las dimensiones sociales y personales del
estudiante.
71
Con base en lo anterior, se presenta esta propuesta pedagógica enfilada a desarrollar en las
niñas un pensamiento abstracto y la edificación viable del puente cognitivo entre el pensar
aritmético y el pensar algebraico dando así, respuesta a los lineamientos estipulados por la Ley
General de Educación, los cuales enfatizan en la necesidad de planificar y desarrollar un
proceso pedagógico que facilite la preparación integral del individuo.
72
4.4. OBJETIVOS
4.4.1. OBJETIVO GENERAL
Desarrollar actividades metodológicas que propicien en las estudiantes de la escuela primaria
la modelación de expresiones aritméticas a las algebraicas a través de la resolución de
problemas aditivos.
4.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Brindar espacios de enseñanza agradables donde las niñas tengan la oportunidad de
desarrollar el pensamiento variacional.
Realizar adaptaciones de recursos didácticos que conlleven a comprender la solución
de ecuaciones y reconocer cada uno de sus términos.
Desarrollar habilidades y destrezas matemáticas en las estudiantes para comprender el
enunciado de los problemas aritméticos, interpretar los datos y modelarlos a una
expresión algebraica.
73
4.5. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
"Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo." Albert Einstein
Para lograr el aprendizaje de un nuevo concepto es necesario tener un puente cognitivo entre ese
nuevo concepto y alguna idea de carácter más general ya presente en la mente del estudiante.
Desde este punto de vista Ausubel prioriza en que hay dos tipos de aprendizaje: el que se refiere
al modo en que se adquiere el conocimiento y el relativo a la forma en que el conocimiento es
subsecuente incorporado en la estructura de conocimientos o estructura cognitiva del aprendiz.
Es de resaltar, que para el grupo investigador los dos tipos de aprendizaje que anticipa Ausubel
no se pueden desprender, ya que dan soporte a este estudio en cuanto a las estrategias que se
utilicen para incorporar los nuevos conocimientos algebraicos y la manera como estos son
aceptados y procesados por los estudiantes a través del puente cognitivo establecido entre la
aritmética y el álgebra.
Así mismo, para que el aprendizaje sea significativo son necesarias dos condiciones. En primer
lugar el material de aprendizaje debe poseer un significado en sí mismo, es decir, que sus partes
deben estar relacionadas; en segundo lugar que el material resulte potencialmente significativo
para el alumno.
Por lo anterior, el objetivo de la presente propuesta permite que las estudiantes manejen una
nueva forma de pensar, el álgebra, desde el desarrollo de las principales ideas para su estudio
partiendo de los conocimientos previos que tienen de la aritmética como lo sugiere Kieran. En
este sentido, Teresa Rojano sostiene “la manera en que el estudiante hace su transición al álgebra
74
simbólica es a partir de la superación de dificultades que en su mayoría son producto de la
introducción tardía del álgebra en la escuela” (Rojano,sn)
Por cuanto se sabe que en la escuela hoy día, se viene manejando una calidad educativa
deficiente, la pedagogía implementada es poco dinámica y aísla a los estudiantes del proceso
significativo de Enseñanza y Aprendizaje. En éste sentido, introducir álgebra a temprana edad
asegura un buen rendimiento académico en el educando desde su práctica diaria hasta la
adquisición de conocimientos matemáticos, valora los procesos constructivos para el desarrollo
en habilidades del pensamiento y se privilegia de los fenómenos educativos que integran la
transposición didáctica en el pensamiento variacional.
Es también sabido que dentro de las áreas de dificultades comunes en el aprendizaje del álgebra
temprana se destacan:
El manejo de las operaciones
La estrategia del tanteo
El método esquematizado
Relación entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje algebraico
Cambio de concepción entre la aritmética y el álgebra.
Desde ésta perspectiva, todo los postulados mencionados anteriormente se trabajarán en la
siguiente propuesta pedagógica para que el tránsito del pensamiento aritmético al algebraico sea
eficiente y armonice la relación entre los estereotipos matemáticos existentes y la forma de
aprender, siendo esta última una actividad social.
75
4.6. METODOLOGÍA
La propuesta se lleva a cabo en las estudiantes de 5°- 04 de la Institución Educativa Distrital
Sofía Camargo De Lleras, la formación de las estudiantes se realiza a partir de actividades
participativas con intensidad de tres horas semanales dentro de la jornada escolar, lo cual
busca fortalecer la calidad educativa y desarrollar las capacidades de cada estudiante en
cuestión. Esta propuesta se encuentra dividida en cuatro etapas: iniciación, prerrequisitos,
conceptualización y prueba final.
La primera etapa denominada iniciación, se hace la presentación formal del grupo investigador
y se habla del proyecto de investigación. En la segunda etapa de pre-requisitos, se afianzaran
los conocimientos previos, para abordar la temática a tratar. En la tercera etapa de
conceptualización, se inicia con los conceptos básicos del algebra, después con ecuaciones,
reducción de términos semejantes y por ultimo resolución de problemas algebraicos. La cuarta
etapa prueba final, se evidenciaran los logros alcanzado por las estudiantes.
Estas etapas constan de actividades grupales e individuales, las cuales requieren una actitud
favorable por parte de las dicentes para lograr un aprendizaje significativo del álgebra; dichas
actividades se realizaran en mesa redonda, grupos de cinco, grupos de once y doce niñas en el
salón de clases y con varios recursos didácticos.
76
4.7. PLAN OPERATIVO DE ACCIÓN
OBJETIVOS ACCIONES ACTIVIDADES RECURSOS TIEMPO LOGRO EVALUACIÓN
Incentivar a las estudiantes a aprender otro lenguaje de la matemática.
Etapa I
Presentación del grupo investigador
Planta física de la institución, Tablero, marcador y dialogo.
Una hora
Presentan una actitud favorable hacia el aprendizaje del álgebra.
Asistencia Actitud favorable
Afianzar el aprendizaje de operaciones con fraccionarios y la comprensión lectora de problemas aritméticos para soportar un buen tránsito cognitivo hacia el álgebra.
Etapa II
Preconceptos
Planta física de la institución, Tablero, marcador borrable.
Dos horas
Opera correctamente operaciones con fraccionarios y las aplica a la resolución de problemas aritméticos útiles para el proceso de modelación matemática y su contextualización.
Participación
argumentativa. Realización de
actividades. Actitud
favorable.
Comprender los conceptos necesarios para el aprendizaje significativo del álgebra.
Etapa III
Teorización sobre los conceptos básicos del álgebra.
Ecuaciones. reducción de
términos semejantes.
Planta física de la institución, cartulina fluorescente, Cinta, tablero, marcador borrable, una bolsa, una serie de problemas,
Siete horas
Deduce las diferencias conceptuales entre la aritmética y el álgebra estableciendo un puente cognitivo.
Asimila y ejercita el modo de pensamiento algebraico. Expresa en lenguaje
Actitud favorable.
Participación argumentativa
Utilización de preconceptos algebraicos.
Procedimiento algebraico.
77
resolución de problemas algebraicos.
dado y borrador de tablero.
matemático la relación entre datos conocidos y desconocidos.
Reduce términos semejantes del mismo signo y signos diferentes.
Traduce del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico.
Relaciona números y letras para encontrar el número desconocido.
Resolución de ejercicios.
Valorar los resultados obtenidos en las estudiantes de Quinto grado de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras, después de implementada la propuesta pedagógica.
Etapa IV
Aplicación de la prueba final.
Papel, lápiz y borrador
Una horas
Resuelve situaciones problema haciendo uso del álgebra.
MATRIZ VI: SÍNTESIS DE LA PROPUESTA PEDAGÓGICA
Fuente: Elaboración del grupo investigador.
78
4.8. ACTOS PEDAGÓGICOS
ETAPA I- INICIACIÓN
Objetivo: Incentivar a las estudiantes a aprender otro
lenguaje de la matemática.
Actividad #1
Título: Presentación del grupo investigador
Logro: Presentan una actitud favorable hacia el aprendizaje del álgebra.
Desarrollo: Se inicia el evento pedagógico dando las buenas tardes a las estudiantes y a la
docente de matemática, después se hace la presentación formal del grupo investigador del cual
se hace necesaria la utilización del tablero para escribir los nombres y seguidamente se habla
del proyecto como tal, explicando sus propósitos e importancia en la educación matemática y
en el mundo real.
Además, se socializa con las estudiantes con lo que se busca interactuar e irlas conociendo
poco a poco para que el proceso de enseñanza aprendizaje se de en un ambiente armónico y
lleno de confianza.
Evaluación: para verificar que se ha alcanzado el objetivo se tendrá en cuenta la asistencia y
la actitud favorable que presentan las estudiantes en el aula de clase.
79
ETAPA II- PRE-REQUISITOS
Objetivo: Afianzar el aprendizaje de operaciones con números
naturales, fraccionarios y la comprensión lectora
de problemas aritméticos para soportar un buen tránsito
cognitivo hacia el álgebra.
Actividad #1
Título: Preconceptos
Logro: Opera correctamente operaciones con números naturales y fraccionarios y, las aplica a
la resolución de problemas aritméticos útiles para el proceso de modelación matemática y su
contextualización.
Desarrollo: Se afianzarán los conocimientos previos, mediante un juego de agilidad en la
solución de operaciones con números fraccionarios y aplicación de éstos en situaciones
problemas de la vida cotidiana; para ello, las estudiantes del salón de clases formarán tres
grupos y escogen un representante de cada grupo, respectivamente. A medida que se les va
asignando un ejercicio, se hace el conteo de los aciertos para cada uno de los grupos y
seguidamente se les incentiva con una premiación al final de la actividad.
80
Los ejercicios propuestos son:
3. Simplifica
1. Por la compra de un atlas
del universo Lina acumuló 4.572 puntos de descuento y por la compra del telescopio 5.212 puntos. ¿Cuántos puntos acumuló en total?
2. Un año normal tiene 365
días. Si una semana tiene siete días, ¿Cuántas semanas hay en un año?
1. ¿Cómo se lee37
12 ?
2. ¿Falso o Verdadero?
es una fracción
impropia( ___ )
1. ¿Falso o Verdadero?
+ = ( ___ )
2. ¿Cuáles son las partes
de una fracción?
3. Laura dice que el producto de x
es ,
Jaime dice que el producto es , ¿quién está en lo correcto? Explica tu respuesta.
3. Resuelve:
+
81
1. Para preparar un pastel, 2. Simplifica: 3. Como se lee: se necesita: 1/3 de un paquete de azúcar 72
12 3/4 de un paquete de harina 3/5 de una barra de mantequilla. ¿Cuántos ingredientes en total se necesitan para el pastel?
1. Simplifica: 2. Resuelve: 3. ¿Falso o Verdadero?
+
es una fracción
propia (___)
1. Resuelve: 2. Una caja contiene 60 3. Con el dinero que tengo
× bombones. Eva se comió y $247más, podría pagar
1/5 de los bombones y una deuda de $525 y me
Ana 1/2. ¿Cuántos sobrarían $37. ¿Cuánto
bombones se comieron dinero tengo?
Eva y Ana?
Evaluación: La evaluación de esta actividad se irá realizando paulatinamente, a medida que se
desarrolla el evento pedagógico. Para ello, se tiene en cuenta que los estudiantes utilicen los
procesos aritméticos correctamente, y así mismo respondan adecuadamente y con argumentos
las situaciones planteadas.
82
ETAPA III- CONCEPTUALIZACIÓN
Objetivo: Comprender y definir la aritmética estudiada durante el proceso académico dirigido
por la institución y los elementos algebraicos necesarios para su aprendizaje significativo
estableciendo un paralelo entre ambas áreas.
Actividad #1
Título: teorización sobre los conceptos básicos del álgebra.
Logro:
*Deduce las diferencias conceptuales entre la aritmética y el álgebra estableciendo un puente
cognitivo.
* Asimila y ejercita el modo de pensamiento algebraico.
Desarrollo: Durante la sesión de clases se pregunta a las estudiantes ¿cómo definen la
aritmética? y ¿el álgebra qué podría ser? Comenzando así a construir conceptos.
A medida que éste evento sucede, se colocan en el tablero carteleras llamativas con la
definición de ambos conceptos, pero se enfatiza en qué consiste el álgebra, teniendo en cuenta
los siguientes elementos primarios para su aprendizaje: Coeficiente, constante, variable o parte
literal, términos semejantes, reducción de términos semejantes.
83
ARIT
MÉT
ICA
ÁLGE
BRA
Para ti es más sencillo encontrar la aritmética dentro de tu vida cuando:
Vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dará el tendero.
Cuando estas a punto de a abordar el servicio público y cuantas rápidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.
También cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.
Se piensa que la Aritmética nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitivo poseía.
El álgebra es una rama de las matemáticas en la que se usan usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra
son adición, sustracción, multiplicación y división.
El álgebra básica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos.
84
Para adentrarse en el estudio del álgebra se necesita primero conocer ciertos conceptos para
familiarizarse con los elementos propios de esta rama de las matemáticas.
Lo primero que se va a estudiar son los símbolos y signos algebraicos. Dentro de los símbolos
tenemos letras y números. Las letras representan cantidades conocidas o desconocidas
(constantes y variables), los números cantidades conocidas y acostumbramos a llamarlos
coeficientes si seguido a ellos tenemos letras. Los signos son de operación (suma, resta,
multiplicación, división).
A continuación se describe cada uno de los conceptos primarios del álgebra:
CONSTANTE: son valores numéricos que nunca cambian.
COEFICIENTE: es el número que acompaña a la letra o variable.
PARTE LITERAL: se representa con una letra e indica que hay un valor desconocido
VARIABLE: es la parte literal de una expresión algebraica y su valor puede cambiar.
TÉRMINOS SEMEJANTES: son los valores numéricos que tienen igual part literal, es decir la misma letra y exponente.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES: significa reducir varios términos semejantes a uno sólo a través de operaciones aritméticas, siempre y cuando sea igual su factor literal.
85
Sucesivamente, se va mostrando con ejemplos cada parte de una expresión algebraica descrita
anteriormente, luego a partir de ésta construcción conceptual se define teóricamente lo qué es
una expresión algebraica:
Dentro de las expresiones algebraicas se puede hablar de términos algebraicos. El término
algebraico es una expresión que consta de un solo símbolo (letra o número) o de la
combinación de varios símbolos no separados entre sí por el signo más o el signo menos.
Ejemplo:
Términos semejantes
Coeficiente Constante
Expresión algebraica 3f + 2f – 5gh +8= 2
Parte literal
Término algebraico
Evaluación: El proceso evaluativo de esta sesión de clases se lleva a cabo a través de la
siguiente actividad a manera de participación.
Una expresión algebraica es una forma simbólica que emplea constantes, variables y operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división.
86
Practica y aplica
“El álgebra, idioma de las matemáticas”.
a) En las siguientes expresiones algebraicas encierra en un círculo las variables y subraya
las constantes y señala los término que sean semejantes:
9mn + 856p
8000 – 40t + 45 -15
321ad – 7ad – 1
pqr +13z - t
87f + 32lk + rs
87
Actividad #2
Título: las ecuaciones
Logro: Expresa en lenguaje matemático la relación entre datos conocidos y desconocidos
Desarrollo: Para el desarrollo de ésta clase cada niña hará uso de una balanza construida por
ellas mismas y algunos objetos cotidianos en la cual se representará la siguiente situación
problema:
Daniel tiene una balanza de platillos, con un objeto de 125 gr y otro objeto de 250 gr.
Encontró un tarro con balines, todos iguales y se propuso averiguar el peso de cada uno de
ellos. Después de varios ensayos, logró equilibrar la balanza al colocar en el plato en donde
reposaba el objeto de 125 gr tres balines; y colocó en el otro plato, es decir en donde reposaba
el objeto de 250 gr, un solo balín.
88
Al representar en forma simbólica este hecho y asociando cada letra b al valor del peso de
cada balín, se tiene:
En la anterior igualdad, existe un valor desconocido, que es el peso del balín, y que se
representó con la letra b.
Seguidamente, se les explica que a cualquier situación cotidiana, en donde se involucren
cantidades numéricas o datos, y valores desconocidos o incógnitas, se le puede asociar el
nombre de ecuación.
Veamos:
Nota: la expresión 3b indica la multiplicación de 3 por b. (b es el peso de cada balín).
En las ecuaciones los datos se comportan como valores constantes, es decir nunca cambian y
por lo general, se presentan sumando o restando en cualquier lado de la igualdad.
3b + 125 = b + 250
A las igualdades en donde hay un valor
desconocido, incógnita o variable, se
les conoce como ecuaciones
Variables Constantes
3b + 125 = b + 250
Igualdad
89
Los valores desconocidos son las incógnitas, y en la igualdad se
representan mediante una variable (una letra), es decir un factor literal
que indica que dicho valor es desconocido. La variable puede ir
acompañada o no de un número que la multiplica o la divide.
¿Qué es resolver una ecuación?
Resolver una ecuación es como encontrar un objeto escondido.
Para facilitar la interpretación de esta definición cada niña tendrá consigo una caja con
divisiones en su interior y un objeto a esconder. Se procederá así:
Supongamos que Ariel siguió el siguiente procedimiento para esconder una sorpresa:
a. Abrió el armario
b. Abrió uno de los cajones
c. Guardó la sorpresa
d. Cerró el cajón.
e. Cerró el armario
Si su hermana menor quiere encontrar la sorpresa debe
deshacer las acciones que hizo Ariel, pero en el orden
inverso:
a. Abrir el armario
b. Abrir el cajón
c. Sacar la sorpresa
d. Cerrar el cajón
e. Cerrar el armario.
90
Ejemplo:
Resolvamos la siguiente ecuación:
j + 3 = 15
Dar solución a la ecuación j + 3 = 15 es encontrar el valor escondido
de j. Para esto se debe dejar sola a la letra (variable) j de un lado de la igualdad y reunir a los
números (constantes) del otro lado de la misma.
Se procede aplicando la operación inversa de la que ya está representada en el ejercicio dado,
a ambos lados de la igualdad. Así:
j + 3 – 3 = 15 – 3
Resolviendo la operación indicada, j + 0 = 12
j = 12
sol= {12}
Finalmente hemos encontrado el valor de j que es igual a 12.
Solucionar: 7m = 21
Se inicia por observar la operación indicada en la ecuación. Ella es la multiplicación o el
producto de 7 por m. su inversa es la división.
Ahora se pregunta: ¿Cuál debe ser el valor de m para que la ecuación sea verdadera? Es decir,
¿Cuál es el número que multiplicado por 7 da 21?
91
Ahora bien, para dar una solución algebraica a esta expresión emplearemos la palabra despejar
(dejar sola), en este caso la variable m. Para ello, se aplica el inverso multiplicativo de la
constante 7 en cada miembro de la ecuación, esto es:
17 × 7푚 =
17 × 21
Luego, resolvemos los productos indicados:
77푚 =
217
Así mismo, resolvemos las divisiones:
1m=3
Y, esto se puede escribir como:
m= 3
sol= {3}
Por tanto, el valor de que debe tomar la variable m para que la ecuación se verdadera debe ser
3.
Prueba:
7m = 21
7×3=21
21= 21.
Para resolver la ecuación 2x + 1 = 3 debemos tener en cuenta que a la incógnita x
primero se le ha multiplicado por 2 y luego se ha sumado 1 al resultado, para obtener 3.
92
Si deshacemos las operaciones en el orden inverso, debemos deshacer la suma, es decir, restar
1:
2x + 1 – 1 = 3 – 1
De donde, 2x + 0 = 2
2x = 2
Ahora, debemos deshacer la multiplicación, para lo cual se debe dividir por 2 a ambos lados
de la igualdad.
2x÷ 2 = 2 ÷ 2
De allí se obtiene, x = 1
Sol = {1}
Prueba:
2x + 1 = 3
2 × 1 + 1 = 3
2+ 1 = 3
3 =3
93
Plantea para el siguiente caso la ecuación correspondiente y resuelve.
Una balanza equilibrada con 12 rosas blancas de un lado y 6 rosas blancas y un libro
de 3 kg en el otro lado. ¿Cuál es el peso de una rosa?
Solución:
Se comienza por escribir 12 rosas como 12r de un lado del signo igual y del otro lado
6 rosas blancas como 6r más (+) 3 que es el peso del libro que acompaña a éstas rosas
blancas. Entonces se obtiene la siguiente expresión:
12r = 6r + 3
r = es el peso de una rosa blanca.
12r – 6r = 6r – 6r + 3
6r = 0 + 3
6r = 3
r =
r =
Sol = {ퟏퟐ
}
94
Evaluación:
La evaluación de la clase dada se hará formando parejas para solucionar los siguientes
ejercicios:
Plantea una ecuación para la situación que se presenta en cada imagen y halla el
peso que se pide:
Una balanza equilibrada con 2 balones de fútbol
en un lado y una pelota de playa de 12 kg del otro lado
El peso de una pelota es: __________
Una balanza equilibrada con 9 platillos redondos
en un lado y tres rectangulares de 12 kg en el otro.
El peso de un platillo de aluminio: _________
Una balanza equilibrada con 1 bombillo de luz grande
en un lado y seis bombillos de luz pequeños en el
otro lado.
El bombillo de luz grande pesa 6 gr.
Cada bombillo pequeño pesa: ________
95
Deshace las ecuaciones y encuentra el valor de la incógnita en cada caso:
10 + m = 3 + t + = 15 6x = 4
8b – 5 = 19 j – 3 = 15 9k = 81
Encuentra el valor numérico de cada expresión, ten presente que:
a = 100, b = 50, c = 20 y d =10
Ejemplo: a × b – d + c
Reemplazando los valores para cada variable se obtiene:
100 × 50 – 10 + 20 =
5000 – 30 =
4070
a) (a × b )+ c= d) =
b) (a × b) –( c × d) = e) a × a × a ÷ d × d × d =
c) a ÷ b + b – c= f) c + d
96
Actividad #3
Título: Reducción de términos semejantes
Logro: Reduce términos semejantes.
Desarrollo: Para iniciar este evento pedagógico, se le pregunta a las
estudiantes lo siguiente:
1. ¿Qué es semejante?
2. ¿Qué entiendes por término semejante?
3. ¿Qué entiendes por reducción de términos?
Después que las estudiantes respondieron con sus propias palabras lo que significa para ellas
los interrogantes expuestos, se aclara el significado que tiene para las matemáticas y
específicamente para el álgebra con las siguientes situaciones gráficas; las cual se hace
necesario cumplir con ciertas peticiones que las investigadoras le harán a las educandas como:
Armar una mesa redonda, armar dos grupos de niñas uno de cabello liso y el otro de cabello
riso, un grupo de niñas con uniforme de diario y otro con el uniforme de educación física, y así
sucesivamente.
97
GRUPOS:
Niñas con el cabello rizado Niñas con el cabello liso
Niñas con uniforme de diario Niñas con uniforme de educación física.
Con lo anterior se busca dar ejemplos de reducción de términos semejantes en lo cual se
suministrarán operaciones entre los grupos.
98
Ejemplo:
Sumar:
+ + + -
1r + 1r + 1f + 1f – 1d
2r + 2f - d
Para sumar o reducir estos dos términos semejantes lo que debemos hacer es simplemente
sumar los coeficientes de ambos términos y luego lo acompañamos con la parte literal,
entonces obtenemos como resultado final una expresión algebraica.
Definición: Es una expresión algebraica se llama términos semejantes a todos aquellos
términos que tienen igual parte literal es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras
(símbolos literales) e iguales exponentes.
Ejemplos:
6푎 푏 Es término semejante con2푎 푏 porque ambos tienen la mismas parte literal (푎 푏 ) y
están elevados a los mismos exponentes.
x5yz Es término semejante con x5yz porque ambos tienen la mismas parte literal (x5yz).
99
En cambio 0,3 a2c no es término semejante con 4ac2 porque la parte literal no esta elevada a
los mismos exponentes.
푥 푦푧 No es termino semejante con 푥 푦 푧 porque la parte literal no esta elevada a los
mismos exponentes.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una
expresión algebraica, al resultado agregarle la misma parte literal y los mismos exponentes.
Ejemplos:
7푚 + 8푚 = (7 + 8)푚 = 15푚
9푥 − 3푥 = (9− 3)푥 = 6푥
7푥 푦 푧 + 3푥 푦 푧 = (7 + 3)푥 푦 푧 = 10푥 푦 푧
8푚 − 3푚 = (8 − 3)푚 = 5푚
6푎 푏 − 3푎 푏 = (6 − 3)푎 푏 = 3푎 푏
Si no son semejantes los términos, se deja indicada la
operación.
Ejemplos:
8푎푏 + 8푏푐 =
3푚 푛 − 5푚 푛 =
7푥 + 8푦 + 9푥 + 3푦 − 5푥 = (7푥 + 9푥 − 5푥) + (8푦 + 3푦)
= (7 + 9 − 5)푥 + (8 + 3)푦
= 11푥 + 11푦
6푥 + 4푥 + 5푦 + 4푦 = (6 + 4)푥 + (5 + 4)푦 = 10푥 + 9푦
100
Actividad en clase:
Resuelve:
4푥 + 8푥 =
푥푦+ 푥푦=
10xy + 12x – 7xy =
340x푦 + 8xy =
푎푏푐 + 푎푏푐 + 78푎푏 =
25푝푞 − 푝푞 − 56푝 푞 + 74푝푞 =
580xz + 240xz + 2xy =
Evaluación: Para la evaluación de la actividad desarrollada en este evento pedagógico, se
valora la validez matemática en los procedimientos usados para la resolución delos ejercicio
de reducción de términos semejantes, del mismo modo, se tendrá en cuenta la calidad y
argumentación de las opiniones y sugerencias de las estudiantes al dar respuesta a la situación
problema planteada en clase.
101
Actividad #4
Título: resolución de problemas algebraicos
Logro:
*Traduce del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico.
*Relaciona números y letras para encontrar el número desconocido.
Desarrollo: Para la realización de este evento pedagógico, se divide la actividad en tres fases
con el fin de elaborar un proceso que sea viable para la resolución de problemas algebraicos.
Fase I. De las palabras a los símbolos
La cual tiene como objetivo traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas, debido
que normalmente para resolver problemas de álgebra se debe traducir frases a números y
expresiones que contengan variables. Para ello la clase se empezó preguntando a las
estudiantes:
¿Cómo escribirían la suma de dos números cualquieras?
¿Qué significa la expresión 4푥?
¿Qué operación se encuentra en dicha expresión?
Ahora bien, analizando las respuestas de las estudiantes, se concluye en conjunto:
El doble, el triple, cuatro veces un número, y en general cualquier valor que indique
determinada cantidad de veces un número, implica una multiplicación. Así: El doble de un
número n se interpreta mediante la multiplicación de 2 × n = 2n.
102
A continuación, se darán ejemplos para lograr una aclaración de la clase, los ejemplos se
ilustran en la siguiente malla.
Operación
Frase
Traducción
Suma
La suma de 5 con푥
Un número incrementado en 4
Un número aumentado en 6
ퟓ + 풙
풚 + ퟒ
풛 + ퟔ
Resta
La diferencia entre un número y 8
Un número disminuido en 12
5 menos un numero
풙 − ퟖ
퐰 − ퟏퟐ
ퟓ − 풂
Multiplicación
4 veces un número
El triple de un número
Un número multiplicado por 8
ퟒ풑
ퟑ풙
풙ퟖ
División
El cociente de un número con 8
Un número divido por 3
La tercera parte de un numero
풓ퟖ
풌ퟑ
ퟏퟑ풅
¿Qué tanto se ha aprendido?
1. La frase “5 menos푝” se traduce 푝 − 5 ó5 − 푝.
2. La frase “7 más que 푥” se traduce 7 + 푥 ó푥 + 6.
3. “un número disminuido en 10”
4. Traduzca la expresión:
a. 2n b. n+ 3 c. 8n + 4
103
Fase II. Del lenguaje diario a las ecuaciones
Para la realización de esta fase, se inicia pidiendo a las estudiantes que pensaran un número
arbitrario "푥" y crearan un programa de operaciones que hiciera lo siguiente, al número
pensado le adicionara 2, multiplicara el resultado por 3, restara 5, restara el número pensado,
multiplique por 2 y finalmente le reste 1.
Interrogante:
¿Cómo sería el programa pedido?
En la tabla siguiente se muestra el programa de operaciones, indicado en la columna
izquierda.
Piense un número 푥 푥
Adicionen 2 푥 + 2 푥 + 2
El resultado multiplíquenlo por 3 3(푥 + 2) 3푥 + 6
Resten 5 3푥 + 6− 5 3푥 + 1
Resten el número pensado 3푥 + 1 − 푥 2푥 + 1
Multipliquen por 2 2(2푥 + 1) 4푥 + 2
Resten 1 4푥 + 2− 1 4푥 + 1
Ejercicios:
En los siguientes ejercicios se trabajara la traducción de una expresión a una ecuación.
1.
El doble de la suma de un número con siete es 30
2 (푥 + 7) = 30
104
2. Siete menos que un número 푥 es 14.
R/ 7 − 푥 = 14
3. El triple de un número 푥 es 27.
R/ 3푥 = 27
4. El doble de un número 푥 mas el mismo número es 90
R/ 2푥 + 푥 = 90
Aplico lo que sé.
Escriba en forma de ecuación cada una de las siguientes expresiones:
a. La suma de 7 y un número es 80.
b. Un número disminuido en 10 es igual a 50
c. La diferencia entre un número y 8 es 200
d. El producto entre 10 y un número es 1000
e. La suma de dos números es igual a 500
f. El número anterior a n g. El triple de n h. El siguiente de n
105
Fase III. Problemas y ecuaciones
La edad de Alberto es el triple de la de Berta. Si al sumar ambas edades da 128
¿Cuáles son las edades de Alberto y Berta?
Para Resolver Problemas De Algebra Debemos Seguir Algunos Pasos Básicos:
1. Leer cuidadosamente el problema. Determinar cuáles son las cantidades conocidas y cuales
las buscadas. Un esquema puede ser de ayuda.
2. Escoger una variable que represente el valor buscado en el problema.
3. Leer nuevamente el problema y plantear una ecuación que represente la relación entre los
datos del problema.
4. Resolver la ecuación
5. Verificar la solución con el planteamiento inicial del problema.
Ejemplo.
Resolvamos el problema planteado al inicio.
La edad de Alberto es el triple de la de Berta. Si al sumar ambas edades da 128
¿Cuáles son las edades de Alberto y Berta?
106
Solución:
1. los valores desconocidos son las edades de Alberto y Berta.
2. llamemos 푥 = edad Berta (edad del menor).
Así tenemos que:
3푥 =Edad de Alberto
3. La ecuación según la condición del problema es:
3푥 + 푥 = 128
4. Resolvamos la ecuación.
3푥 + 푥 = 128
4푥 = 128
푥 =128
4
푥 = 32
Luego 32 es la edad de Berta y 3*32 = 96 entonces 96 es la edad de Alberto.
5. verifiquemos que la solución corresponda al enunciado inicial:
Si súmanos:
96 + 32 = 128
Además la edad de Alberto es el triple de la de Berta.
107
La edad de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, ¿Qué edad
tiene cada una?
Solución:
1. los valores desconocidos son las edades de A y B.
2. llamemos 푥 = edad A.
Así tenemos que:
5푥 = Edad de B
2. La ecuación según la condición del problema es:
푥 + 5푥 = 48
3. Resolvamos la ecuación.
푥 + 5푥 = 48
6푥 = 48
푥 =486
푥 = 8
Luego 8 es la edad de A y 5*8 = 40 entonces 40 es la edad de B.
5. verifiquemos que la solución corresponda al enunciado inicial:
Si súmanos:
8 + 40 = 48
Además la edad de B es 5 veces la edad de A.
108
Las edades de una madre y su hijo suman 60 años, si la edad de la madre es el doble
de la de su hijo ¿Cuáles son las edades de cada uno?
Solución:
1. los valores desconocidos son las edades de la madre y la del hijo.
2. llamemos 푥 =la edad del hijo.
Así tenemos que:
2푥 = Edad de la madre.
1. La ecuación según la condición del problema es:
2푥 + 푥 = 60
2. Resolvamos la ecuación.
2푥 + 푥 = 60
3푥 = 60
푥 =603
푥 = 20
Luego 20 es la edad del hijo y 2*20 = 40 entonces 40 es la edad de la madre.
5. verifiquemos que la solución corresponda al enunciado inicial:
Si súmanos:
20 + 40 = 60
Además la edad de la madre es 2 veces la edad del hijo.
109
Evaluación: Realizadas las tres fases se inicia la siguiente actividad evaluativa:
Agitar el dado problematizado
La cual consiste en armar una mesa redonda en el salón de clases, donde varias niñas saldrán a
participar para lanzar el dado que tiene escrito en sus caras laterales las palabras aritmética o
álgebra. Para ello, se tendrá dos bolsas una con problemas aritméticos y otra con problemas
algebraicos. Se inicia cuando una estudiante toma el dado, lo lanza al piso; si la cara del dado
visible dice aritmética, sacará un papel de la bolsa de los problemas aritméticos y lo resolverá
de esa manera de lo contrario, algebraicamente. Para este último caso primero deberá formar
la ecuación indicada según los datos del problema, resolverla para dar respuesta al problema
planteado. Se le da un tiempo límite para resolverlo y si no lo hace debe cumplir una
penitencia puesta por su compañera de al lado.
Se valorará la participación activa de las estudiantes en desarrollo de la actividad. De igual
manera, se tendrá en cuenta la disposición frente a la clase y la forma como resuelven los
problemas.
110
Los problemas sustentados son:
1. El doble de la edad de Ana menos tres años, es igual a su misma edad aumentada en
10 años.
2. El doble de la edad de Pedro menos 6 unidades es igual a 28.
3. Carlos tiene 5 juguetes menos que Andrés. Si Andrés tiene 12 juguetes, ¿Cuántos
tiene Carlos?
4. Al dinero que tengo le sumo su doble y le resto $15.000; si me quedan $9.000,
¿cuánto dinero tengo?
5. Juan tiene el doble de dinero que Pepe entre los dos tienen $123.000. ¿Cuánto dinero
tiene cada uno?
6. Un número más su doble suman 210. ¿Cuál es ese número?
7. La diferencia entre los sueldos mensuales de Sofía y Ana es de $95.000. Sofía gana
$4.500.000. ¿Cuánto puede ganar Ana?
8. Vanessa y Ricardo reunieron $ 174 fichas de jugar Si Vanessa tenía 95, ¿Cuántas
cuantas fichas tenía Ricardo?
9. Durante cada una de las cuatro semanas del mes de enero, Rubén ahorró $ 7 650. En
las semanas de febrero, ahorró $ 8 190. ¿Cuánto más ahorró en febrero que en enero?
10. Después de haber llenado dos álbumes de animales prehistóricos, Juan completó 256
estampillas. Si en el primer álbum tiene 153 estampillas, ¿cuántas tiene en el segundo
álbum?
11. John dedica 7/2 horas cada día a estudiar matemáticas y 3/4 de hora a practicar su
hobbie de manejar carros. ¿Cuánto tiempo dedica a estas dos actividades?
111
12. Cerca de 3/50 de la superficie de la Tierra está cubierta de tierra apta para el cultivo,
12/50 es desierto, hielo o montañas y 35/50 es agua. ¿Qué fracción de la tierra no es
agua?
13. Teniendo la ecuación + = , busca dos valores para a y b de tal manera que se
cumpla la ecuación. Explica tu razonamiento.
ETAPA IV- PRUEBA FINAL
Objetivo: Valorar los resultados obtenidos en las estudiantes de Quinto grado de la Institución
Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras, después de implementada la propuesta
pedagógica.
Actividad #1
Título: Aplicación de la prueba final
Logro: Resuelve situaciones problema haciendo uso del álgebra.
Desarrollo: Para la realización de este evento pedagógico, se realizará una prueba final
escrita, en la que se evaluará en su totalidad el eje temático tratado durante el transcurso de la
implementación de esta propuesta pedagógica. Por consiguiente, los puntos de dicha prueba
son:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 푥 + 3 = 8
b) 5 + 푐 = 12
112
c) 푦 − 6 = 4
2. Reduce a su mínima expresión los siguientes términos semejantes. a) 2푎 + 6푏 + 5푎 =
b) 8푥 + 7 − 4푥 =
c) 3푎푏 − 5푎푏푐 + 8푎푏 + 6푎푏푐 =
d) 9푦 − 3푦 + 2푦 + 2푦 =
3. Resolver mediante el álgebra los siguientes problemas.
a) La edad de una madre y su hijo suman 60 años. Si la edad de la madre es el doble
de la edad del hijo, calcular ambas edades.
b) Las edades de Andrea y Laura suman 48 años. Si la edad de Laura es 5 veces la edad de Andrea, ¿Qué edad tiene cada una?
4. Soluciona las siguientes expresiones algebraicas y une con una línea la respuesta correcta. a) 5푧 + 3푧 − 6푥
b) 푥푦 + 3푥 푦 + 5푥푦 + 12푥 푦
c) 8 + 푧 = 10 d) 푧 − 4 = 21 e) 9푎 + 7푏 − 3푎 − 푏
5. Selecciona el valor de la incógnita que permite resolver cada ecuación. Justifica tu elección a) n + 25 = 73 b) p – 32 = 89 c) 123 + m = 135
6a + 6b
8Z – 6X
Z = 25
Z = 2
6XY3 +15 X2Y
98
57 48 25
111 12
121
113
4.9.ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PROPUESTA
De acuerdo con los resultados arrojados tras la implementación de la propuesta Estrategia
didáctica para la transición de la aritmética al álgebra en estudiantes de Quinto grado de la
Institución Educativa Distrital Sofía Camargo de Lleras se redactan los siguientes análisis
pedagógicos y metodológicos para hacer memoria de cada actividad aplicada y relacionar a
partir de teorías las fortalezas y debilidades para cada una de ellas, las cuales se tornaron
aceptables para el grupo investigador y para las estudiantes, incentivaron el interés por
aprender y enseñar las matemáticas y se involucraron de manera activa en las clases
realizadas.
La propuesta a sugerir señala las formas en que se puede acceder al álgebra desde la primaria
y fomentar un modo de pensar algebraico potencializado en dinámicas sencillas que ofrecen la
oportunidad de proponer conceptos, representar y analizar situaciones y estructuras
matemáticas, modelar expresiones numéricas o textuales a las algebraicas y dar una solución
a ésta, como lo indica George Polya citado en el marco teórico. Posterior a ello, se enseña a
Interpretar ideas utilizando un lenguaje de símbolos, realizar relaciones entre cantidades y
letras, analizar el concepto de cambio y reforzar las operaciones aditivas con números
naturales y fraccionarios. De forma más simple, se dio desarrollo al pensamiento variacional.
Las actividades se encuentran divididas por etapas, en total fueron cuatro etapas y cada una de
ellas consta de una o más actividades dependiendo de los temas y subtemas tratados en esta
propuesta pedagógica, a continuación se presenta el análisis de esas actividades.
114
ETAPA I: Iniciación
ACTIVIDAD #1: Presentación
La presente actividad se llevó a cabo el día 4 de Octubre de 2013, la cual tiene como objetivo
incentivar a las estudiantes a aprender otro lenguaje de la matemática, iniciando con la
presentación formal del grupo investigador y del proyecto en el aula de clases a las estudiantes
de 5-04 de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras, se les explico a las
estudiantes los propósitos e importancia del presente trabajo en la educación matemática y en
el mundo real.
La docente a cargo del grupo les
comunico que “eran afortunadas que
nosotras lleváramos a cabo ese proyecto
con ellas” y seguidamente las niñas
reaccionaron satisfactoriamente al saber
que la idea era trabajar un tema nuevo,
debido a esto se mostraron muy atentas e
hicieron preguntas como ¿cuánto tiempo estaríamos con ellas?, acerca de lo que iba a pasar
con ellas, en cuanto a la calificación de la asignatura de matemática, las investigadoras
hicieron las respectivas aclaraciones sobre dichas preguntas dando a entender que la
participación de ellas era independiente a las notas del área de matemática y el tiempo seria el
adecuado para la aplicación de nuestra propuesta.
115
Después se hicieron preguntas a las estudiantes como ¿cuál es tu nombre?, ¿Dónde vives?,
¿Qué edad tienes?, ¿Qué te parece la materia de matemáticas?, entre otras, con el fin de irlas
conociendo y fomentar la confianza.
De esta manera se concluye la primera actividad diciendo que nos volveríamos a ver después
de la semana de vacaciones para continuar con la aplicación de la propuesta, dejando en las
estudiantes una satisfacción de alegría.
ETAPA II: Pre-requisitos
ACTIVIDAD #1: preconceptos
El presente evento pedagógico se inició el 16 de Octubre de 2013, a fin de afianzar los
conocimientos adquiridos durante el proceso académico concernientes a la aritmética. Se
desarrolló a través de la aplicación de situaciones problemas y ejercicios operacionales que
demostraron el cimiento matemático contenido en cada niña. Esto se ejecutó por medio de una
dinámica educativa que consistió en
formar 3 grupos en el salón de clases y a
su vez dividir el tablero en tres partes
donde se escribieron los ejercicios a
resolver. Cada grupo debía escoger una
niña diferente para cada actividad y era
ganador quien terminara primero lo
116
asignado por las docentes investigadoras. La acción se realizó repetidas veces hasta lograr una
gran participación de las niñas y consolidar el nivel de su adiestramiento en las matemáticas.
Las estudiantes se mostraron muy participativas y atentas a la solución de cada actividad. Se
mantuvo la disciplina y el trabajo en equipo.
Durante el avance de la actividad se interactúa con las estudiantes para facilitar su desempeño en
la clase acompañado de notas para recordar algunas definiciones aritméticas y el manejo de
operaciones con fracciones.
La finalidad de la actividad anterior, fue abarcar en las estudiantes el fortalecimiento de las
dificultadas constatadas en la prueba diagnóstica sobre la lectura de problemas y la
interpretación de datos para la solución de éste.
Seguidamente, se organizan un poco los pupitres y se les demuestra agradecimiento por su
amplia colaboración con la clase. Como incentivo de ésta
se les reparte un dulce a las estudiantes del grupo y a las
demás estudiantes se les participa el éxito por superar sus
dificultades cognoscitivas y aptitudinales.
117
ETAPA III: Conceptualización
ACTIVIDAD #1: Conceptos básicos del álgebra
Esta acción pedagógica se realizó el día 18 de Octubre
de 2013, con el objetivo de realizar un paralelo entre
las concepciones aritméticas y las algebraicas
enfatizando más en los conceptos primarios del álgebra para su mayor comprensión en el
tránsito del puente cognitivo.
Para su ejecución se inicia por preguntar a las niñas según lo estudiado con su profesora de
matemáticas y la actividad implementada en la clase anterior por el grupo investigador cómo
define la aritmética y qué pueden decir sobre el álgebra. Sus respuestas fueron muy cercanas a
la concepción formal de la aritmética y en cuanto al álgebra, ninguna estudiante dio respuesta
alguna; solo afirmaron que antes no habían escuchado éste término.
Entonces, el grupo investigador se dio a la tarea de enseñarles las definiciones formalmente
sencillas sobre ambas áreas del aprendizaje matemático. Seguidamente se les participa a las
estudiantes los elementos primarios del álgebra, como el uso de letras, términos de una
expresión algebraica, la identificación
de términos semejantes, entre otros.
Esto a través de carteleras llamativas, a
medida que se enunciaba un concepto se
pegaba la cartelera en el tablero, con
118
ayuda de las niñas para finalmente entender la definición del
álgebra.
En cuanto al comportamiento de las estudiantes, su actitud
fue de mucha escucha y atención ya que, era un tema
totalmente nuevo para ellas, lo cual demuestra que la
enseñanza del álgebra temprana no se ha implementado en
las instituciones educativas del distrito.
Luego, para evaluar el excelente provecho de la clase por parte de las estudiantes, las
investigadoras asignaron una actividad sencilla que permitió destacar cada tema enseñado.
Durante la solución de esta actividad surgieron preguntas como ¿cuál es la diferencia entre
parte literal y variable? La cual fue respondida inmediatamente en función de todo el grupo
para que, estas definiciones quedaran muy claras puesto que, más adelante serán útiles para el
manejo eficiente del álgebra
Finaliza la clase con el compromiso de volver a reunirse con entusiasmo y, se les pidió el
favor de traer en grupo una balanza en la próxima clase y objetos pequeños o medianos para
pesarlos en ella; a fin de trabajar el tema de ecuaciones. Las niñas se alegran por la idea de
construir la balanza y se despiden muy agraciadamente.
119
ACTIVIDAD #2: Las ecuaciones
Se inició el evento pedagógico el 25 de Octubre de 2013. Ya entrando en el pensamiento
algebraico, se pasó a enseñar el tema de ecuaciones, su concepto, partes que la componen y las
formas de solución. Para comprender el concepto se realizó la siguiente dinámica: tomando la
balanza que trajeron por grupos, asignado en el compromiso anterior se presentó una situación
problema, mientras se leía las niñas iban trabajándola con sus objetos, después se representó
lo sustentado en forma matemática, es decir haciendo uso de números y letras a fin de formar
una expresión algebraica llamada ecuación para entender su significado. Seguidamente se
pidió a las estudiantes que enumeraran las características que encontraron en esta
representación simbólica, las cuales fueron acertadas. Así pues, se comenzó a definir cada
término de una ecuación y su conceptualización. Al instante, se les hizo la pregunta ¿qué es
resolver una ecuación? Para dar respuesta a esto se realizó la siguiente actividad: tomando una
caja con divisiones en su interior se procedió a esconder un objeto en ella describiendo paso a
paso lo que se hizo, después para
encontrarlo se siguió la misma
instrucción. Terminada la actividad se
concluyó que resolver una ecuación es
como encontrar un objeto escondido que
se buscaría paso a paso.
A continuación, se escriben unos
ejemplos en el tablero donde se denotan
las diferentes formas de ecuación y su
120
respectiva solución con paciencia y dedicación, a fin de estimular la interiorización de los
conceptos aprendidos.
Las estudiantes se mostraron muy atentas a cada solución del ejercicio y siempre listas a
responder preguntas que acrecentaron su aprendizaje en el pensamiento variacional.
Como actividad de refuerzo se asignaron unos ejercicios sencillos para que los trabajaran por
sí mismas. En la evaluación se trabajaron unas situaciones problemas acompañadas de la
balanza en la que debieron escribir en números y letras lo planteado y luego hallar la solución.
Lo anterior como preámbulo a la traducción del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico y la
resolución de problemas algebraicos.
En el desarrollo de la actividad evaluativa las niñas mantuvieron un comportamiento de
estudio e interés por aprender el modo de pensar algebraico ya que el uso de la balanza fue una
herramienta muy práctica para el aprendizaje significativo.
Se finaliza la sesión de clases con un saludo fraterno. Dispuesta a seguir trabajando en éste
proyecto de investigación pedagógico.
121
ACTIVIDAD #3: Reducción de términos semejantes
La presente actividad se llevó a cabo el 30 de Octubre de 2013, con la muestra seleccionada
para la implementación de la propuesta, se tomó como punto de partida unas preguntas las
cuales fueron respondidas por las estudiantes como: ¿Qué es semejante? Es algo que es igual o
parecido, la respuesta fue acorde porque las estudiantes se hicieron ejemplos entre ellas
mismas con sus útiles escolares, es decir, con los cuadernos y lápices porque decían mi
cuaderno es semejante al tuyo pero no tienen el mismo dibujo en la portada, pero habían otros
que si eran iguales y por tal motivo llegaron a esa conclusión.
¿Qué entiendes por término semejante? Son los que tienen su parte literal igual, los que tienen
iguales letras. Y por último ¿Qué entiendes por reducción de términos? Para dar respuesta a
esta pregunta dijeron que era llevar un número o algo a lo más pequeño, que era como
simplificar los términos.
Después que las estudiantes respondieran con sus propias palabras lo que significa para ellas
los interrogantes expuestos, se
aclara el significado que tiene
para las matemáticas y
específicamente para el álgebra
en unas situación gráfica o
representativas; en la cual se
hace necesario cumplir con
ciertas peticiones que las
investigadoras le harán a las estudiantes como: Armar una mesa redonda, armar dos grupos de
122
niñas uno de cabello liso y el otro de cabello riso, un grupo de niñas con uniforme de diario y
otro con el uniforme de educación física, y así sucesivamente.
Con lo anterior se busca dar ejemplos de reducción de términos semejantes en lo cual se
suministrarán operaciones entre los grupos, es decir, se escogieron dos estudiantes de cabello
rizado (r), dos estudiantes con uniforme de física (f) y una estudiante con el uniforme de diario
(d), las cuales fueron representadas con las letras anteriores, otras estudiantes se colocaron el
signo más y el signo menos, estas fueron colocadas al frente de las demás estudiantes y el
resto debía observar la explicación que se les daba al respecto y de esta manera provechosa las
niñas se dieron cuenta que la reducción de términos la podemos hacer con las cosas que nos
rodean.
Posteriormente se dio la definición de términos semejantes con sus respectivos ejemplos y así
mismo se mostraron las situaciones que se podían presentar cuando eran o no semejantes y
para esto fue necesario realizar en el tablero un cuadro donde se observara que signos iguales
se suman y se coloca el signo que poseen y signos diferentes se restan y se coloca el signo del
mayor, se realizaron ejemplos los cuales una parte fue resuelta por las investigadoras y la otra
parte por las estudiantes; para la apropiación de que operación debían realizar cuando vieran
los signos fue necesario recitar lo escrito en forma de una canción.
En este evento pedagógico se recalcaron términos que ya se habían trabajado con las
estudiantes con el fin de darnos cuenta que todo el proceso que llevábamos estaba asimilado.
Y para culminar la clase se realizó una actividad la cual constaba de siete ejercicios parecidos
es decir, del mismo modelo de los trabajado en la clase y tres de ellos se tenían que operar con
fracciones homogéneas y heterogenias.
123
ACTIVIDAD #4: Resolución de problemas algebraicos
El evento pedagógico se llevó acabo el 1 de Noviembre de 2013, para su realización se dividió
la actividad en tres fases con el fin de elaborar un proceso que sea viable para la resolución de
problemas algebraicos. La primera fase denominada “De Las Palabras A Los Símbolos” la
cual tiene como objetivo traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas, se empezó
preguntando a las estudiantes ¿Cómo escribirían la suma de dos números cualquiera? Entonces
una estudiante se levantó y dijo cinco más dos (5+2), la actitud que mostro fue seguridad en lo
que decía y fue felicitada por el grupo investigador.
Luego se volvió a preguntar ¿Qué significa la expresión 4푥? Las respuestas fueron un cuatro y
una equis, cuatro equis, y para la última pregunta ¿Qué operación se encuentra en dicha
expresión? No supieron responder es decir, se quedaron calladas, por tal motivo se concluye
en conjunto: El doble, el triple, cuatro veces un número, y en general cualquier valor que
indique determinada cantidad de veces un número, implica una multiplicación. Después de eso
fue necesario hacer la aclaración por medio de una malla.
La malla se dividió en operaciones, frases y traducción, se inició con la suma, luego la frase
era “la suma de 5 y x” y la traducción se escribiría de forma algebraica; de igual modo se hizo
con la resta, la multiplicación y la división. Terminada la aclaración con la malla se escribió en
el tablero ¿Qué tanto se ha aprendido? Lo cual constaba de cuatro puntos que tenían que
responder en voz alta, la gran mayoría de las estudiantes participaron dando las respuestas
adecuadas.
124
Para la fase dos titulada “Del Lenguaje Diario A Las Ecuaciones” se inició pidiendo a las
estudiantes que pensaran un número arbitrario “x” y crearan un programa de operaciones que
hiciera lo siguiente, al número pensado le adicionara 2, multiplicara el resultado por 3, restara
5, restara el número pensado, multiplique por 2 y finalmente le reste 1; luego de cinco minutos
de haber formulado el problema se hizo el siguiente interrogante ¿Cómo será el programa
pedido?; las estudiantes realizaron lo anterior en sus cuadernos de matemáticas y nosotras
fuimos pasando por los puestos a ver que habían realizado y nos demostraron que la gran
mayoría habían entendido lo que se pedía y las demás estudiantes hicieron operaciones
aritméticas, pero se escribió en el tablero lo
que se quería para aclarar.
Seguidamente se colocaron cuatro ejercicios
en los cuales tenían que traducir las
expresiones a una ecuación, para lo cual
pasaron estudiantes al azar y se notó que
habían entendido, aunque fue necesaria la
intervención de las investigadoras en el último
ejercicio que decía “el doble de un número 푥 más el mismo número es 90” debido a que la
ecuación que habían escrito no era la correcta, pero luego de unas pistas la estudiante que
estaba en el tablero supo cómo escribirla. Para finalizar esta fase y poder pasar a la tercera se
aplicó ocho ejercicios en los que tenían que hacer lo mismo a los anteriores, las estudiantes no
duraron ni quince minutos resolviendo dichos ejercicios.
125
Esto fue de gran ayuda para poder
avanzar a la fase tres llamada
“problemas y ecuaciones” la cual
tenía como objetivo la resolución
de problemas algebraicos, se inició
planteando un problema con el fin
que las estudiantes pensaran por si solas, después de varios minutos y al escuchar las posibles
soluciones que brindaron, se estableció un procedimiento general para resolver estos tipos de
problemas; para la aplicación de los pasos se tomó el problema planteado inicialmente,
además se escribieron dos problemas más con el propósito de que las estudiantes siguieran
practicando los pasos.
Finalizada las tres fases se realiza una actividad evaluativa llamada “agitar el dado
problematizado” el cual era un juego que consistía en armar una mesa redonda en el salón de
clases, pasar de una estudiante a otra un marcador, donde varias niñas salieron a participar
para lanzar el dado que tenía escrito en sus caras laterales las palabras aritmética o álgebra.
Para ello, había una bolsa con papeles en los que se enuncian problemas matemáticos. Se
inició cuando una estudiante se quedó con el
marcador y posteriormente toma el dado, lo
lanza al suelo, y la cara del dado visible por el
curso dice álgebra, saca un papel de la bolsa y
resuelve ese problema algebraicamente. Se dio
un tiempo límite para resolverlo y las estudiantes
que no cumplieron con lo pedido tuvieron que
126
realizar una penitencia que era puesta por la
compañera de al lado, las penitencia fueron bailar,
decir cosas, desfilar, etc.
Las estudiantes se mostraron alegres porque por
medio de un juego estaban aprendiendo más y de
esta manera la actividad concluyo con éxito.
ETAPA IV: Prueba final
ACTIVIDAD #1: Aplicación de la prueba final
Para la realización de este evento pedagógico, se realizó una prueba escrita la cual se llevó a
cabo el 6 de Noviembre de 2013, con el objetivo de valorar los resultados obtenidos en las
estudiantes de Quinto grado de la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras.
Esta prueba constaba de cinco puntos los cuales tenían unos incisos, en el primer punto se les
plantea a las estudiantes resolver tres ecuaciones en las cuales ellas se mostraron seguras de
poder hacerlas y sobre todo que entendían como comenzar a realizarlas, los resultados
obtenidos comprueban lo anteriormente dicho, debido a que 29 estudiantes responden
correctamente, 4 estudiantes incorrectamente, 2 estudiantes no realizaron proceso y ninguna
estudiante quedo sin hacer este punto.
127
Gráfica 10
El punto número dos, las estudiantes debían reducir a su mínima expresión los términos
semejantes, en el cual se puso a prueba la capacidad que tenían para agrupar y resolver los
cuatro ejercicios expuestos en la prueba final a las 35 estudiantes, las cuales resolvieron
fácilmente, concentradas cada una en sus respectivos talleres o pruebas, sin hacer pregunta
alguna y los resultados obtenidos fueron 26 estudiantes contestaron correctamente este ítems,
5 estudiantes respondieron incorrectamente, todas las estudiantes realizaron su debido proceso
por tal motivo se obtuvo cero en sin proceso y por ultimo 4 estudiantes no dieron respuestas es
decir, que fue sin respuesta.
Gráfica 11
En el tercer punto de la prueba final las estudiantes muestran su interés en saber cuáles son las
edades debido a que este tipo de problemas fueron resueltos en clase, hubo una estudiante que
83%11% 6% 0%
1. RESUELVE ECUACIONES
Correctamente
Incorrectamente
Sin proceso
Sin respuesta
74%14%
0%12%
2. REDUCE TÉRMINOS SEMEJANTES
Correctamente
Incorrectamente
Sin proceso
Sin respuesta
128
llamo la atención debido a que dijo “esto ya lo dimos en clase, esta fácil” y tenía toda la razón
dado que uno de los problemas ya lo habían resuelto en clases y el otro era totalmente
diferente y los resultados muestran que las estudiantes asimilaron los problemas algebraicos,
puesto que 31 estudiantes contestaron correctamente, 2 estudiantes incorrectamente,2
estudiantes no hicieron proceso y 0 estudiantes en la opción sin respuestas, es decir que todos
contestaron este tercer punto de la prueba final.
Gráfica 12
En el cuarto punto de la prueba final las estudiantes ya se sentían victoriosas porque estaban
terminando dicho taller y sus rostros estaban llenos de satisfacción debido a que entendían
todo lo que se les pedía hacer, es decir en este punto tenían que solucionar las expresiones
algebraicas y unir con líneas la respuesta indicada o correcta; hubieron estudiantes que nos
dijeron “profesora yo sé cuál es la respuesta sin hacer proceso” y por tal motivo los resultaron
fueron 28 estudiantes contestaron correctamente, 1estudiante contesto incorrectamente, 5
estudiantes realizaron este punto sin proceso y 1solo estudiante no respondió.
88%6% 6% 0%
3. RESUELVE PROBLEMAS DE MODELACIÓN ALGEBRAICAMENTE
Correctamente
Incorrectamente
Sin proceso
Sin respuesta
129
Gráfica 13
En el último punto de la prueba final tenían que seleccionar el valor de la incógnita que
permitía resolver cada ecuación, tenían que justificar el porqué de esa respuesta y para ello
tenían que hacer el proceso, en este punto las estudiantes utilizaron los lados de la hoja para
justificar y no hicieron ninguna pregunta es decir, que todo estaba claro para ellas y los
resultados fueron: 31 estudiantes contestaron correctamente, 2 estudiantes contestaron
incorrectamente, 1 sola estudiante no realizo proceso y 1estudiante no dio respuesta alguna.
Gráfica 14
Para dar por terminada dicha propuesta, se les agradeció a las estudiantes el esfuerzo y la
atención brindada en todo el trascurso de este proyecto y a la docente encargada del área de
matemáticas por permitir y brindarnos el espacio para que esto fuese posible.
80%3%
14% 3%
4. SOLUCIONA EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Correctamente
Incorrectamente
Sin proceso
Sin respuesta
88%6% 3% 3%
5. SELECCIONA EL VALOR DE LA INCÓGNITA
Correctamente
Incorrectamente
Sin proceso
Sin respuesta
130
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1.CONCLUSIONES
La enseñanza es un proceso complejo donde es indispensable proponer eventos pedagógicos y
didácticos que ayuden al crecimiento de los niveles cognoscitivos del ser humano y a la
apropiación de ésta con total empatía, teniendo en cuenta que, en la etapa de los niños(as)
entre los 10 y 12 años es más fácil asimilar temas nuevos donde se haga participe la diversión
y el juego que promuevan la adquisición de conocimientos y enriquezcan su acción en el
estudio y en la vida diaria. A partir de ello, se implementó esta propuesta pedagógica que
incorpora el álgebra en estudiantes de Quinto grado de primaria, garantizando el tránsito de la
aritmética al álgebra temprana, su comprensión y aplicación en las ciencias matemáticas y en
otras áreas del saber, en la Institución Educativa Distrital Sofía Camargo De Lleras, surgiendo
las siguientes conclusiones:
Por medio de estrategias metodológicas las estudiantes lograron asimilar que el álgebra
está relacionada con su entorno y no es más que saber expresarlo, haciéndose
significativas las actividades propuestas, originando el diálogo matemático como un
factor de aprendizaje significativo.
La exploración de las nociones y los conocimientos previos de las estudiantes dieron
un punto de partida horizontal para establecer lo que era necesario afianzar a cerca de
la aritmética e introducir problemas aditivos que generen expresiones algebraicas,
además de relacionarlas con los nuevos saberes, a fin de alcanzar un aprendizaje
algebraico significativo.
131
En este proceso de aprendizaje se hizo necesario determinar el avance de los
estudiantes tras la implementación de la propuesta pedagógica, para ello se realizó una
prueba final que permitió valorar los resultados obtenidos, al igual que verificar el
cumplimiento de los objetivos, los cuales se alcanzaron satisfactoriamente.
Gracias a esta investigación se alcanzó a introducir el estudio del álgebra temprana en
las niñas de la I.E.D. Sofía Camargo De Lleras logrando en ellas una nueva forma de
vivir las matemáticas, aprenderlas y ejecutarlas por medio de la potencialización del
aprendizaje por competencias en el saber hacer y en el aprender a aprender, ayudando
a desarrollar habilidades y actividades favorables para la solución de problemas
aditivos donde es indispensable la aplicación del álgebra, estos problemas están
relacionados con la comprensión, la comunicación, la ejecución y la comprobación de
los mismos.
Se generó hábitos de trabajo despertando en las estudiantes la curiosidad y el interés
para indagar, dando lugar a la creatividad en el expresar conjeturas y la confianza en la
propia capacidad para interpretar, analizar, aprender y dar solución a situaciones
problemas. Fortaleciéndose el componente motivacional-académico en las niñas.
132
5.2. RECOMENDACIONES
A partir de la investigación realizada en colaboración a mejorar el proyecto educativo ya
instituido por el MEN se sugiere a continuación las siguientes recomendaciones:
Incentivar en los docente la necesidad de hacer un diagnóstico al iniciar cada año
escolar para conocer su nivel de adquisición en los conocimientos matemáticos y las
dificultades de aprendizaje; con el fin de elaborar una malla curricular ajustada a la
realidad del contexto estudiantil y social.
Superar la forma tradicional de enseñar con la implementación de la propuesta
pedagógica, estrategia didáctica para la transición de la aritmética al álgebra en
estudiantes de 5º a través de, espacios lúdicos desde la aplicación de estrategias como
herramientas para motivar y facilitar el aprendizaje de la matemática y la acción de
aprender del niño.
Incluir en el diseño de la propuesta pedagógica, temáticas que promuevan la diversión
al aprender y ayuden a la apropiación del pensamiento algebraico en estudiantes de 5°
grado de básica primaria.
133
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135
136
Momentos fotográficos: prueba diagnóstica – entrevista
137
Momentos fotográficos: Actividades de la propuesta
Implementación de la Etapa I, Etapa II y Etapa III de la propuesta
138
Implementación de la Etapa IV de la propuesta “prueba final”
139
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Anexo 1
OBJETIVO: Diagnosticar los obstáculos epistemológicos que los docentes tienen acerca de introducir el álgebra temprana en el currículo de matemáticas.
CUESTIONARIO PARA DOCENTES DE MATEMÁTICA
“Apreciado profesor(a) le agradecemos su colaboración, ayudándonos con nuestra monografía respondiendo las siguientes preguntas”.
1. ¿Para qué se enseña el álgebra?
2. ¿Cómo relaciona el álgebra con otras áreas?
3. ¿Qué competencias cree usted debe tener el niño para iniciar el estudio del álgebra?
4. ¿Cómo cree usted se puede fomentar el pensamiento variacional en los estudiantes?
5. ¿Cuál es su opinión acerca de introducir el álgebra temprana en quinto grado de primaria?
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Anexo 2
OBJETIVO: Diagnosticar las dificultades que se presentan en los niños en el tránsito de la aritmética al álgebra.
“APRENDER ÁLGEBRA”
"Apreciado dicente le agradecemos su colaboración con muestra monografía respondiendo este taller”.
1. Resuelve el siguiente problema. Mariana y Ricardo reunieron $ 52.300. Si Mariana tenia $18.900, ¿Cuánto dinero tenia Ricardo?
2. Resuelve y traduce. EJEMPLO
a) 2 + 5 = 7 ”dos tijeras más cinco tijeras es igual a siete tijeras”
b) 20 - 8 +1 = ____
c) 7 - 4 =____
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3. En una tienda de figuras geométricas los precios de cada artículo están en el centro de cada uno de ellas. ¿Qué valor tiene el rectángulo?
4. Resolver:
a) 4 + 2 = ____
b) 10 - 7 = ____
c) 18 + 3 - 9 =___
5. Durante cada una de las cuatro semanas del mes de enero, Rubén ahorró $ 7 650. En las semanas de febrero, ahorró $ 8 190. ¿Cuánto más ahorró en febrero que en enero?
6. Andrés y Ana tienen 10 láminas entre los dos. Si Andrés tiene 8 láminas, ¿Cuántas láminas tiene Ana?
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Anexo 3
OBJETIVO: Analizar el dominio algebraico que muestran las estudiantes en la solución de ejercicios de pensamiento variacional.
TALLER DE ÁLGEBRA
“Apreciado dicente le agradecemos su colaboración con muestra monografía resolviendo este taller”.
1. ¿Qué letra es el factor común en las siguientes expresiones?
a) abc + acd + cae – eab − gaf b) zxy + azx – yxb + xwy
2. Traduce al lenguaje matemático el siguiente enunciado:
a) El doble de un número menos el cuadrado de otro.
b) El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.
c) Carlos tiene seis canicas más que Rodrigo. Entre los dos tienen en total 78 canicas.
3. Selecciona la ecuación que modela cada situación.
a) La diferencia entre dos números es 147. Si el menor es 873, ¿Cuál es el mayor? X + 873 = 147 X – 873 = 147 X* 873 = 147 873 – x = 147
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b) Después de jugar canicas, Samir quedo con 45. Si al empezar a jugar tenía 23 canicas, ¿Cuántas gano durante el juego? Y + 23 = 45 Y – 23 = 45 Y * 23 = 45 23 – y = 45
4. Cuál es el valor de 푥. a) Si 푥 − 6 = 2 entonces 푥 = ____ b) Si 푥 − 9 = 3 entonces 푥 = ____
c) Si 푥 − 1 = 31entonces 푥 = ____
5. Determina el valor de cada expresión para a= 3 y b = 2.
a) a + b = + 2 =
b) a – b = 3 - =
c) a – 2b =
d) 6a + 4b =
e) + =
6. Resuelve. Mariana y Ricardo reunieron $ 52.300. Si Mariana tenia $18.900, ¿Cuánto dinero tenia Ricardo?
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Anexo 4
“Apreciada estudiante le agradecemos su colaboración con nuestro proyecto de grado
resolviendo esta prueba, motivo por el cual solicitamos la mayor seriedad y honestidad
posibles al realizarla; resaltando además que los resultados obtenidos son totalmente
independiente de su calificaciones y/o valoraciones académicas”.
PRUEBA FINAL
1. Resuelve las siguientes ecuaciones. d) 푥 + 3 = 8
e) 5 + 푐 = 12
f) 푦 − 6 = 4
2. Reduce a su mínima expresión los siguientes términos semejantes. e) 2푎 + 6푏 + 5푎 =
f) 8푥 + 7 − 4푥 =
g) 3푎푏 − 5푎푏푐 + 8푎푏 + 6푎푏푐 =
h) 9푦 − 3푦 + 2푦 + 2푦 =
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3. Resolver mediante el álgebra los siguientes problemas. c) La edad de una madre y su hijo suman 60 años. Si la edad de la madre es el doble
de la edad del hijo, calcular ambas edades.
d) Las edades de Andrea y Laura suman 48 años. Si la edad de Laura es 5 veces la edad de Andrea, ¿Qué edad tiene cada una?
4. Soluciona las siguientes expresiones algebraicas y une con una línea la respuesta correcta. f) 5푧 + 3푧 − 6푥
g) 푥푦 + 3푥 푦 + 5푥푦 + 12푥 푦
h) 8 + 푧 = 10 i) 푧 − 4 = 21 j) 9푎 + 7푏 − 3푎 − 푏
5. Selecciona el valor de la incógnita que permite resolver cada ecuación. Justifica tu
elección. d) n + 25 = 73 e) p – 32 = 89 f) 123 + m = 135
6a + 6b
8Z – 6X
Z = 25
Z = 2
6XY3 +15 X2Y
98
57 48 25
111 12
121
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