tesis
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1 En la tesis hace un estudio sobre los posibles estados deformados de un cascar´ on esf´ erico simplemente soportado sobre un plano horizontal, cuando es sometido a un campo de presi´ on uniforme. En esta tesis se utilizan las ecuaciones de John a primer orden Se deducen bajo la suposici´ on de que hay deformaciones peque˜ nas, pero a diferencia de los modelos para placas delgadas tales como los modelos de Von K´ arm´ an, no se hacen suposiciones acerca del tama˜ no de los desplazamientos, ni se supone una simetr´ ıa con respecto al eje z. Las ecuaciones de John se deducen a partir de la elasticidad tridimensional y forman un sistema cerrado de doce ecuaciones. En el capitulo (2) Se demuestra que es posible reducir el sistema de doce ecuaciones, a s´ olo dos en t´ erminos de la funci´ on de esfuerzos f y la funci´ on de curvatura w junto con las condiciones de frontera apropiadas para un cascar´ on simplemente soportado sobre un plano horizontal. En el cap´ ıtulo (3) utilizando las t´ ecnicas usuales del an´ alisis funcional, es posible encontrar la formulaci´ on d´ ebil de las ecuaciones de deformaci´ on. Se hace un estudio del espacio de energ´ ıa y de los operadores abstractos encontrados en el transcurso de la formulaci´ on y se encuentra que las ecua- ciones en el espacio abstracto , se desacoplan y reducen el problema a una sola ecuaci´ on abstracta dependiente de un par´ ametro En el cap´ ıtulo (4), se reduce el problema de encontrar estados de deformaci´ on a encontrar bifurca- ciones de la ecuaci´ on L λ w + αQ(w)+ C (w) = 0 donde L λ w es un operador de Fredholm y lineal, Q(w) es la parte cuadr´ atica y C (w) es la parte c´ ubica. Se hallan los valores crticos para la pres´ ıon para los estados deformados. Se Aplicael m´ etodo de Liapunov-Schmidt para obtener las ecuaciones de bifur- caci´ on y para demostrar la existencia de estados deformados. Se hace uso de la teor´ ıa del grado topol´ ogico, la cual da resultados de existencia en funci´ on de la dimensi´ on del kernel y las propiedades de la parte cuadr´ atica y c´ ubica .se demuestra que la soluci´ on debil es C ∞ y es soluci´ on fuerte, estos son los llamados teoremas de regularidad. Finalmente, en el cap´ ıtulo (5) se realizan c´ alculos num´ ericos para en- contrar las superficies de los distintos estados deformados. Del hecho que el m´ etodo de Liapunov-Schmidt encuentra la soluci´ on en la vecindad de la pre- si´ on cr´ ıtica, es posible recuperar la primera y segunda formas fundamentales de la superficie deformada en una vecindad del par´ ametro. Se integran la ecuaciones de Gauss y encontramos las gr´ aficas de la superficie deformada a orden O(θ 2 ) para los distintos modos.
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En la tesis hace un estudio sobre los posibles estados deformados de uncascaron esferico simplemente soportado sobre un plano horizontal, cuandoes sometido a un campo de presion uniforme.
En esta tesis se utilizan las ecuaciones de John a primer ordenSe deducen bajo la suposicion de que hay deformaciones pequenas, pero a
diferencia de los modelos para placas delgadas tales como los modelos de VonKarman, no se hacen suposiciones acerca del tamano de los desplazamientos,ni se supone una simetrıa con respecto al eje z.
Las ecuaciones de John se deducen a partir de la elasticidad tridimensionaly forman un sistema cerrado de doce ecuaciones.
En el capitulo (2) Se demuestra que es posible reducir el sistema de doceecuaciones, a solo dos en terminos de la funcion de esfuerzos f y la funcionde curvatura w junto con las condiciones de frontera apropiadas para uncascaron simplemente soportado sobre un plano horizontal.
En el capıtulo (3) utilizando las tecnicas usuales del analisis funcional,es posible encontrar la formulacion debil de las ecuaciones de deformacion.Se hace un estudio del espacio de energıa y de los operadores abstractosencontrados en el transcurso de la formulacion y se encuentra que las ecua-ciones en el espacio abstracto , se desacoplan y reducen el problema a unasola ecuacion abstracta dependiente de un parametro En el capıtulo (4), sereduce el problema de encontrar estados de deformacion a encontrar bifurca-ciones de la ecuacion Lλw + αQ(w) + C(w) = 0 donde Lλw es un operadorde Fredholm y lineal, Q(w) es la parte cuadratica y C(w) es la parte cubica.Se hallan los valores crticos para la presıon para los estados deformados. SeAplicael metodo de Liapunov-Schmidt para obtener las ecuaciones de bifur-cacion y para demostrar la existencia de estados deformados. Se hace uso dela teorıa del grado topologico, la cual da resultados de existencia en funcionde la dimension del kernel y las propiedades de la parte cuadratica y cubica.se demuestra que la solucion debil es C∞ y es solucion fuerte, estos son losllamados teoremas de regularidad.
Finalmente, en el capıtulo (5) se realizan calculos numericos para en-contrar las superficies de los distintos estados deformados. Del hecho que elmetodo de Liapunov-Schmidt encuentra la solucion en la vecindad de la pre-sion crıtica, es posible recuperar la primera y segunda formas fundamentalesde la superficie deformada en una vecindad del parametro. Se integran laecuaciones de Gauss y encontramos las graficas de la superficie deformada aorden O(εθ2) para los distintos modos.
