DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE

TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO

WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA

LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

BARRANQUILLA 2014

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE

TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO

WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA

LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN

MATEMÁTICAS

ASESOR:

MG. CLARA INÉS DE MOYA FRUTO

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

BARRANQUILLA 2014

Nota de aceptación

Presidente

Jurado I

Jurado II

Barranquilla 2014

AGRADECIMIENTOS

Este proyecto de investigación fue realizado con mucho esfuerzo y entusiasmo para

obtener el título de licenciado en matemáticas, durante el proceso de elaboración le

agradecemos Dios por permitirnos alcanzar una meta más en nuestras vidas y

convertirnos en profesionales de la educación, brindándonos la fuerza, las ganas y la

satisfacción de haber realizado nuestro trabajo a tiempo y de cumplir el sueño de

graduarnos con nuestros compañeros, de la misma forma a la universidad del Atlántico,

la cual nos ofreció formación de calidad para poder desempeñarse de la mejor forma en

el quehacer docente, además a la asesora Clara Inés de Moya Fruto quien con mucho

interés veló por el bienestar y resultado exitoso de nuestro trabajo de investigación y por

último a la institución Educativa Esther de Peláez, al comité de profesores y estudiantes

de octavo grado que nos brindaron apoyo para lograr los resultados esperados en esta

investigación.

DEDICATORIA

A Dios por hacer posible el logro de este gran sueño de convertirme en licenciada

en matemáticas. A mis padres CELINA GARCIA MEJIA Y CARLOS CAMARGO

VILLALBA, por todo lo que me han dado en esta vida, especialmente por sus sabios

consejos, por estar siempre a mi lado apoyándome y colaborándome en los momentos

más difíciles.

A mis hermanos, VICENTA CAMARGO, JOHANINIS CAMARGO Y

HERNANDO JAVIER CAMARGO quienes han sido mi mayor motivación y alegría

cada día. A mi primo, CARLOS ENRIQUE NARVAEZ, que desde el cielo me ha

brindado las fuerzas necesarias para seguir adelante en mi carrera y en mi vida. Y por

último a mí amiga, LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ, quien día a día ha sido mi

compañera de batalla para poder alcanzar este sueño. Gracias a todas las personas que

me han apoyado. A TODOS LOS AMO.

Wendis Paola Camargo García

DEDICATORIA

Después de realizar mi trabajo de investigación, quiero dedicárselo a mi padre y a

mí abuela que desde el cielo se dio cuenta de mi dedicación y empeño con que realicé

mi trabajo de investigación cumpliendo así un sueño en mi proyecto de vida, de igual

forma cabe resaltar a Dios que es el intermediario para que todos mis sueños se hagan

realidad y el que permitió culminar mis estudios de una manera satisfactoria.

A mí porque realice a cabalidad toda la investigación y durante ella mostré mucha

dedicación, interés y esfuerzo para su realización logrando así el resultado deseado por

todos.

Por último a todos los profesores, a mí madre y a mí esposo que con mucha

dedicación colaboraron con mucho empeño a que mi sueño se hiciera realidad y

cumpliera una meta más de mi proyecto de vida.

Luz Elena Muñiz Márquez

RESUMEN

El presente documento plantea ofrecer una panorámica teórica general encaminada

a utilizar las demostraciones de triángulos congruentes como estrategia didáctica para

que favorezca la competencia de razonamiento y argumentación matemática a través de

una interrelación entre docente- estudiante y su nivel de independencia para responder a

cada una de las temáticas teniendo en cuenta los contenidos básicos del aprendizaje para

la educación secundaria plasmados en los lineamientos curriculares y en los estándares

básicos de competencia de matemáticas, a fin de lograr un óptimo desempeño de los

estudiantes dentro del ámbito escolar. 

Diseñar intervenciones educativas enmarcadas en actividades contextuales y una

ambientación propicia llevando así al desarrollo de las habilidades cognitivas,

permitiendo facilitar el acceso y uso de la geometría, además de lograr un aprendizaje

significativo y una empatía e interés en los estudiantes hacia un lenguaje nuevo.

ABSTRACT

TABLA DE CONTENIDO

Introducción

Capítulo I

1. Planteamiento del Problema

1.1 Descripción del Problema.

1.2 Formulación del Problema.

1.3 Justificación.

1.4 Objetivos.

1.4.1 Objetivo General.

1.4.2 Objetivos Específicos.

Capítulo II

2. Marco Referencial

2.1 Antecedentes.

2.2 Marco Teórico

2.3 Marco Conceptual.

Capítulo III

3. Diseño Metodológico

3.1 Paradigma de Investigación.

3.2 Tipo de Investigación.

3.2.1 Etapas de la Investigación.

3.3 Población y Muestra.

3.4 Técnicas para la Recolección de Información.

3.5 Análisis e Interpretación de los Resultados.

Capítulo IV

4. Propuesta Pedagógica

4.1 Título.

4.2 Presentación.

4.3 Justificación.

4.4 Objetivos.

4.4.1 Objetivo General.

4.4.2 Objetivos Específicos.

4.5 Metodología.

4.6 Plan de Acción.

4.7 Actividades realizadas.

4.8 Análisis de la Implementación de la propuesta.

4.8.1 Análisis Estadístico.

4.8.2 Análisis de la Evaluación Final.

4.9 Conclusiones.

4.10 Recomendaciones.

Lista de Anexos

Anexo A: Diagnóstico

Anexo B: Encuesta Realizada a Estudiantes

Anexo C: Entrevista a Docentes.

Anexo D: Entrevista a Estudiantes.

Anexo E: Evidencias de Redacción de Información.

Anexo F: Evidencias Aplicación de la Propuesta.

Anexo G: Evaluación Final

Anexo H: Evidencias Fotográficas.

Lista de Gráficas

Ilustración nº 1 Gráfico de la Prueba Diagnóstica.

Ilustración nº 2 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes.

Ilustración nº 3 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes (Desempeño en Geometría).

Ilustración nº4 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos (Prueba Diagnóstica).

Ilustración nº 5 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos. (Evaluación Final).

Ilustración nº 6 Gráfico de Talleres de las Actividades. Ilustración nº 7 Gráfico de Análisis de la Evaluación Final.

1

INTRODUCCIÓN

Este trabajo está orientado a desarrollar la competencia de razonamiento y

argumentación matemática en relación a la enseñanza-aprendizaje de las

demostraciones de triángulos congruentes, en el nivel de básica secundaria en el grado

octavo; este tema es de vital interés, ya que evidencia en diversas investigaciones, la

forma y tamaño, de las figuras geométricas, la cual surge de un modo natural la

posibilidad de que dos o más figuras coincidan. El paso siguiente consiste en establecer

una relación que incluye esta posibilidad en el pensamiento geométrico, el objetivo es

que los estudiantes aprendan lo que necesitan aprender, lo sepan aplicar y aprovechar a

lo largo de la vida. Partiendo de las dificultades presentadas a la hora de realizar

demostraciones de triángulos congruentes se hacen presente las siguientes:

Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).

No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.

Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.

Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.

Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.

Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a memorizar

los procesos sin una argumentación valida.

Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización de la

demostración.

2

Por tales situaciones, se hizo importante la elaboración del trabajo de investigación

titulado “desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación matemática en

el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”, éste se proyecta como una gran

alternativa metodológica que favorezca al individuo en el desarrollo de esta

competencia y al docente en el mejoramiento, para el desarrollo de su clase.  En la

misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los estudiantes que el

medio escolar estimule el desarrollo de las competencias matemáticas, ya que es en la

etapa escolar, en que se desarrolla o limita su potencial intelectual.  Las dificultades

presentadas por los estudiantes de octavo grado de la Institución Educativa Esther de

Peláez fueron detectadas a través del registro y análisis de la información recolectada

mediante encuestas, entrevistas aplicadas a estudiantes, docentes, y el dialogo directo

con los estudiantes y docentes frente a la ausencia de la asignatura dentro del horario de

clases; lo cual permitió establecer un diagnóstico que explicitara con claridad la

problemática.

Es así como se asume el diseño y elaboración de una propuesta estructurada a través

de la formulación, el planteamiento, la transformación y resolución de problemas, por

medio de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas

mismas, enmarcadas en actividades concretas. Permitiendo analizar la situación;

identificar lo relevante en ella; establecer relaciones entre componentes y con

situaciones semejantes; formarse modelos mentales y representarlos externamente en

distintos registros; construyendo distintos problemas, posibles preguntas y respuestas

que surjan a partir de ella. Integrando el razonamiento y la argumentación, exigiendo la

justificación del análisis y procedimientos realizados además de la validez de las

soluciones.

3

1.0 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1. Descripción del Problema

Debido a la actual postura mundial hacia la globalización, el país y las instituciones

educativas deben estar a la vanguardia hacia la modernización, partiendo de un proceso

de enseñanza – aprendizaje basado en la construcción de conocimiento y el desarrollo

de competencias, por medio de herramientas metodológicas propias en el área de

matemáticas. Por diversas razones, durante muchos años las matemáticas han

constituido un “dolor de cabeza” para los padres, los maestros y los estudiantes desde el

inicio de su proceso educativo, generando situaciones en el proceso de enseñanza –

aprendizaje que flaquean al estudiante produciendo dificultad en la construcción de

conceptos matemáticos y la argumentación de procesos operacionales, creando así

apatía a la disciplina, además de razonamientos que solo se limitan a respuestas

predeterminadas, por tal razón se les complica realizar demostraciones de triángulos

congruentes a los estudiantes de octavo grado, debido a que no identifican la

información dada, presentando confusión en la comprensión y aplicación de teoremas,

postulados, además de la poca interpretación de gráficas y figuras. Debido al mal

manejo del lenguaje matemático propuesto por el docente, así como la monotonía en las

clases, sin recursos didácticos que propicien el aprendizaje.

Las dificultades presentadas por los estudiantes a la hora de realizar demostraciones

de triángulos congruentes son las siguientes:

Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).

No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.

Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.

4

Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.

Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.

Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a

memorizar los procesos sin una argumentación valida.

Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización

de la demostración.

Algunos ejemplos que proporcionan veracidad a las dificultades mencionadas

anteriormente en conjunto con los resultados de las pruebas saber en los grados quinto y

noveno en los años 2012 y 2009 arrojan las deficiencias de los estudiantes en el

componente geométrico específicamente en la competencia de razonamiento y

argumentación matemática dando razón a la problemática vivenciada en los estudiantes

en el área de geometría:

1) Si BD⊥ AC ,∠1=∠2; demostrar que ∆ ABD ≅ ∆ CBD

Claramente no hay un análisis del reconocimiento de los datos dados y el debido

procedimiento a ejecutar posteriormente.

Demostración:

∠ABD =∠ DBC = 90º (definición de perpendicularidad).

BD=BD  (Lado común);

∠1=∠2 (Ángulo común) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ CBD (dado)

5

En concordancia con el desarrollo de la demostración del ejercicio anteriormente

planteado, se observa la poca organización de ideas a la hora de efectuar la

demostración.

En el siguiente ejemplo los estudiantes distinguen los datos conocidos, pero no

saben ubicar los datos en la figura, a pesar de que la construyen.

1) Si AC=¿ AD y ∠1= ∠2 Demostrar que ∠C = ∠D

AC=¿ AD Y ∠1= ∠2 (son datos conocidos)

Se estancan en esta parte y no saben cómo continuar.

2) Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio (LLL, LAL)

∆ I ≅∆ V , ∆ IV ≅ ∆ II , ∆ V ≅ ∆ VII , ∆ VI ≅ ∆ III

6

No son capaces de resolver el sistema a partir de la suma de los ángulos interiores

de un triángulo que es igual a 180°, por lo que no realizan conjeturas y análisis de

propiedades, para conocer el otro ángulo y asociarlo de manera que cumpla el

postulado.

3) En la figura AC=BC Y DC=EC. Demostremos que AE=DB

La complejidad de los ejercicios el estudiante provoca en el estudiante frustración al

no poder dar una solución acertada a la demostración. No hay un pensamiento espacial

desarrollado, lo que no permite una visualización de la figura planteada.

DC=BD  (Lado común)

∠1=∠2 (ángulo común) ⇒ AE=DB

A continuación se muestran unas gráficas tomadas de los resultados de las pruebas

7

saber del año 2012 de la Institución Educativa Esther de Peláez específicamente del área

de matemáticas en quinto grado y noveno grado.

En comparación con el año 2009 al 2012 hubo un descenso en el desarrollo de la

8

competencia de razonamiento y argumentación reflejada en el componente geométrico

tanto en quinto grado como en noveno grado.

Es necesario que se dé la temática teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los

estudiantes para así desarrollar actividades y talleres en donde lo esencial es que el

estudiante se apropie del conocimiento motivándolo para que comprenda la utilidad y

aplicabilidad, para luego darlo a conocer simultáneamente. Este proceso general

requiere del uso flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para

expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver

los problemas asociados a dicha situación.

1.2 Formulación del Problema

9

Frente a este planteamiento del problema se pretende dar respuesta a los siguientes

interrogantes:

• ¿Cómo desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación

matemática a través de las demostraciones de triángulos congruentes en

octavo grado?

• ¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes de octavo

grado en el desarrollo de demostraciones de triángulos congruentes?

• ¿Qué habilidades usan los estudiantes para resolver sus demostraciones

en geometría?

• ¿Qué habilidades matemáticas facilitan el desarrollo de las

demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?

• ¿Cómo el docente facilita el desarrollo de la competencia de

razonamiento y argumentación matemática por medio de la enseñanza de

demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?

1.3 JUSTIFICACIÓN

10

Las demostraciones de triángulos congruentes son de gran importancia en octavo

grado, ya que los estudiantes presentan dificultades tanto para demostrar como para

razonar, aplicar teoremas y postulados, debido a las pocas bases obtenidas en los grados

anteriores, por lo que se encuentran en una etapa transitoria entre el pensamiento

concreto y el pensamiento formal.

Piaget (s.f.), propone cuatro factores relacionados con el desarrollo

cognoscitivo: la madurez, la experiencia adquirida, lenguaje y transmisión

social, y equilibrio. Considera además que cada uno de estos factores y la

interacción de los mismos establecen las condiciones necesarias para el

desarrollo cognoscitivo, pero que ninguno por sí mismo es suficiente para

asegurar el desarrollo cognoscitivo. Los movimientos en cada etapa del

desarrollo y entre éstas son funciones de estos factores y su interacción.

El pensamiento formal integra las generalizaciones, discernimientos, perspicacia,

intuición y comprensión, así mismo ver la interacción existente entre las ideas y las

acciones. El estudiante que ha desarrollado el pensamiento formal Es capaz ahora de

entender plenamente y apreciar las abstracciones simbólicas, de razonar correctamente

sobre proposiciones en las que no cree aún (hipótesis). Periodo denominado también

hipotético – deductivo.

De esta forma; se hace transcendental para la formación de la matemática, la

geometría, la cual pertenece al pensamiento espacial, en el que los procesos cognitivos

11

mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los

objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas

traducciones o representaciones materiales en ella se contemplan las actuaciones del

sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas

maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y,

a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan

la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales.  Esto requiere del

estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos

y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio

cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos.

Por tal razón; es necesario que los niños de octavo grado se encuentren situados en

este tipo de pensamiento, lo cual casi siempre es una de las grandes dificultades, puesto

que se ven afectados en esa etapa transitoria de un grado otro, como lo es el caso de

séptimo a octavo grado, durante este proceso los estudiantes intentan seguir los métodos

antiguos provenientes del grado anterior y no le dan paso a nuevas formas de

generalizar patrones, por tal razón se les hace complicado un tema en específico que

requiere un pensamiento formal, como lo son las demostraciones de triángulos

congruentes, las cuales requieren la utilización de nuevos conceptos y la aplicación de

competencias como la argumentación, la comunicación, el razonamiento, y modelación;

de tal manera; se desea desarrollar esta temática a partir de nuevos métodos y

herramientas que permitan que el pensamiento del estudiante empiece a ser reversible,

flexible y mucho más complejo.

Además, se requiere el uso de estrategias didácticas que faciliten el desarrollo

de la competencia de razonamiento y argumentación matemática rompiendo con los

12

parámetros tradicionales de la enseñanza-aprendizaje de la geometría, por lo que se

propone la construcción de características y propiedades de las formas geométricas

bidimensionales y tridimensionales y desarrollar argumentos acerca de las relaciones

geométricas. Como transformaciones y describir relaciones espaciales para analizar

situaciones matemáticas. Para un mayor desarrollo intelectual, para que los estudiantes

logren ser personas competentes y con grandes habilidades del pensamiento. El

desarrollo de las competencias básicas ha supuesto un nuevo enfoque de las relaciones

enseñanza-aprendizaje y esto es así, en la medida en que su incorporación al currículo

permite poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles,

desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 Objetivo General.

13

Desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación matemática en

estudiantes de octavo grado a través de las demostraciones de triángulos

congruentes.

1.4.2 Objetivos Específicos.

• Determinar las causas y efectos generados en los estudiantes a la hora de

realizar demostraciones de triángulos congruentes en geometría.

• Proponer situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en

los aspectos espaciales, métricos y geométricos, apoyado en el uso de gráficas.

• Promover herramientas didácticas que faciliten la comprensión de

teoremas y postulados en las demostraciones de triángulos congruentes.

• Propiciar ambientes interesantes y creativos en la enseñanza de las

matemáticas que reflejen el afecto y comprensión hacia los estudiantes durante

el desarrollo de los eventos pedagógicos.

2.0 MARCO REFERENCIAL

Los intentos emprendidos para mejorar la enseñanza de la geometría, de forma que

se recupere del olvido intencional al que la comunidad didáctica le había relegado en la

década de los sesenta, no parecen haber dado los resultados esperados. Se está

14

produciendo un estancamiento que se hace evidente tanto en las concepciones que los

alumnos se forman de esta materia como en el dominio, cada vez más grande que ejerce

el campo numérico (la aritmética) no solo de la geometría sino también sobre otras

ramas de la matemática.

Todas las investigaciones sobre geometría señalan la conveniencia de una buena

construcción del espacio que prepare la modelación del mismo que constituye cualquier

tipo de geometría. Por lo que dicha construcción debe manejarse en los primeros niveles

de educación como paso previo para poder abordar posteriormente una construcción

seria de la geometría, para así encontrar una prolongación entre los diferentes conceptos

geométricos adquiridos en los diferentes modelos. La génesis de los conceptos

geométricos en el niño impone la construcción y modelización de un espacio sobre el

que él pueda actuar y construir los distintos conceptos geométricos.

Existen diferentes investigaciones, monografías, teóricos y artículos de revistas, en

el ámbito internacional, nacional y regional que de alguna manera contribuyen con esta

investigación. A continuación se señalan las siguientes:

2.1 Antecedentes Internacionales

Marcos Lorenzón (2008), España, realizó una investigación titulada ”un modelo de

análisis de competencias matemáticas en un entorno interactivo”, con el objetivo de

diagnosticar los beneficios cognitivos que se producen en los alumnos en relación con la

adquisición de determinadas competencias matemáticas, en particular relacionadas con

15

el aprendizaje de la geometría y con el desarrollo de la competencia comunicativa,

utilizando un entorno interactivo de aprendizaje soportado por los medios informáticos.

Se ha implementado y analizado un modelo para potenciar el desarrollo de ciertas

competencias matemáticas por parte de alumnos de educación secundaria, cuando los

mismos desarrollan trabajo colaborativo en un entorno virtual de aprendizaje (EVA) que

utiliza soportes informáticos, implementado ciertas estrategias para el diseño de las

actividades que permiten atender a la diversidad. Estas estrategias, que consisten

básicamente en un sistema de "ayudas progresivas" y “diversificaciones”, han

constituido una herramienta potente para dar una respuesta estratégica al problema de la

atención a la diversidad, posibilitando que cada alumno desarrolle al máximo sus

potencialidades; herramienta factible de aplicarse en otros contextos de aprendizaje.

Para realizar el análisis del aprendizaje de la Geometría y del desarrollo de la

competencia comunicativa matemática a lo largo del proceso, se han diseñado y

aplicado unos instrumentos de análisis específicos. En relación al aprendizaje de la

geometría, hemos diseñado y utilizado un instrumento de análisis con sus

correspondientes indicadores que nos permite estudiar el "itinerario de resolución"

recorrido por cada alumno, y nos aporta una información muy relevante para el estudio

del proceso, estableciendo la complejidad de la actividad resultante para cada enunciado

en cada caso, y evaluar la evolución de cada estudiante a lo largo del proceso.

En el mismo sentido en el proceso de validación, el estudiante pone en juego lo que

denominamos esquemas de argumentación, entendidos como la forma en que un

individuo utiliza su razonamiento durante una práctica argumentativa; y esta última

queda definida como el conjunto de acciones y razonamientos que un individuo pone en

juego para justificar o explicar un resultado o para validar una conjetura nacida durante

16

el proceso de resolución de un problema (Flores, 2007, Pág. 47-49).

Crespo Crespo (s.f.), Argentina, Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V.

González”, En el trabajo titulado “la importancia de la argumentación matemática en el

aula”, con el objetivo de mostrar la demostración en el aula de matemática en la tarea

docente, enfrenta la situación en la cual los educandos no comprenden la necesidad de

la demostración de propiedades en matemática. En ciertas oportunidades se contentan

con una simple verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente.

Aún cuando puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario

demostrar una propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en

las ciencias formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas

demostraciones. Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas

satisfactoriamente por los estudiantes en la escuela.

La demostración en clase de matemática presenta una gran diversidad de formas, y

aparece en los distintos niveles educativos a través de variados tipos de

argumentaciones. El pensamiento deductivo se va construyendo lentamente a lo largo de

las distintas etapas de la escuela. Esto no significa que se logre realmente su

construcción de manera sólida. Es común encontrar estudiantes universitarios que aún

17

no han logrado dominar este contenido procedimental (Ibañes y Ortega, 1997).

Los matemáticos, habituados a demostrar, consideran muchas veces que se trata de

un procedimiento natural en el estudio de la matemática. Sin embargo, indudablemente

se ponen de manifiesto serios obstáculos al adquirirlo: lo que para el matemático es

natural y fácil, para la mayor parte de los estudiantes es algo difícil, artificial e incluso

sin sentido, ya que muchas veces no manifiestan la necesidad de la demostración para

aceptar una propiedad. Esto pone en evidencia concepciones distintas con respecto a la

matemática (Crespo, (s.f.), Pág. 23).

En este propósito Aravena Díaz & Caamaño Espinoza en el artículo titulado

“Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de establecimientos

municipalizados de la Región del Maule. Talca, Chile”, Revista latinoamericana de

investigación en matemática educativa, Relime vol.16 no.2 México jul. 2013, Al mismo

tiempo, los estudios son coincidentes en señalar que el aprendizaje de la geometría

juega un papel fundamental en la resolución de problemas, puesto que si se considera

como un modelo de representación y descripción de la realidad, se constituye en un

importante elemento unificador (Fortuny & Giménez, 1998). Desde el punto de vista del

aprendizaje, ayuda al estudiante a desarrollar diversos procesos de razonamiento, que en

la mayoría de los casos tienen adecuados soportes gráficos y manipulativos.

El documento "Perspectivas en la enseñanza de la geometría para el siglo XXI",

elaborado por el ICME en los años noventa, deja claro la importancia de la geometría en

el proceso de formación de los estudiantes, al ser considerada como "una herramienta

para comprender, describir e interactuar con el espacio en que vivimos, es quizás la

parte más intuitiva, concreta y unida a la realidad de las matemáticas" (ICMI, 1998,

18

p.337, citado en Blanco y Barrantes, 2003, Pág. 2).

En particular, se analizan los estudios centrados en los procesos cognitivos que se

enfocan en la manera cómo se produce el aprendizaje de los conceptos geométricos,

para explicar la evolución del pensamiento geométrico, colocando el énfasis en los

procesos claves, tales como: visualización, reconocimiento, identificación, clasificación

y representación. También se abordan los procesos de argumentación de los hechos

geométricos: la generalización, aplicación y demostración; teniendo en consideración

las interacciones que existen entre los procesos de visualización y razonamiento (Vinner

& Hershkowitz, 1983; Hershkowitz, 1990; Vinner, 1991; Gutiérrez y Jaime, 1998;

Duval, 1998; Fortuny y Giménez, 1998).

2.1.1 Antecedentes Nacionales

A su vez Morales Chávez & Majé Floriano (2011), Florencia, Colombia, realizaron

una investigación titulada “competencia matemática y desarrollo del pensamiento

espacial. Una aproximación desde la enseñanza de los cuadriláteros” con el objetivo de

diagnosticar el reconocimiento del fracaso en la enseñanza de la matemática moderna,

diversos trabajos han centrado su interés en el estudio de la enseñanza y el aprendizaje

de las matemáticas y la geometría en las aulas escolares. En particular:

Godino, Batanero y Font (2004) proponen un estudio cuyo objetivo es que los maestros

en formación desarrollen una visión de la enseñanza de las matemáticas que contemple

entre otras cosas, las clases como comunidades matemáticas, el razonamiento

matemático más que los procedimientos de simple memorización, la formulación de

conjeturas, la invención, la resolución de problemas, la conexión de las ideas

19

matemáticas y sus aplicaciones y la tecnología como elemento esencial en la enseñanza

para estimular el aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes.

En el mismo sentido el (MEN) a través de los lineamientos curriculares en

matemáticas (1998) y estándares básicos de competencias en la misma área (2006),

constituyen la base para la orientación de los procesos de enseñanza y aprendizaje en las

aulas escolares. Para ello se establecen unos conocimientos básicos, los cuales permiten

desarrollar el pensamiento matemático y hacen referencia a diferentes tipos: numérico,

espacial, métrico, variacional y aleatorio. De acuerdo a los lineamientos, se plantea una

nueva visión del conocimiento matemático en la escuela dentro de sus referentes

curriculares haciendo énfasis en la importancia de la geometría por su mismo carácter

de herramienta para interpretar, entender y apreciar un mundo que es eminentemente

geométrico; por tanto, constituye una importante fuente de modelación y un ámbito por

excelencia para desarrollar el pensamiento espacial y procesos de nivel superior y, en

particular, formas diversas de argumentación. En cuanto a los sistemas geométricos se

hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el

conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan

las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus

transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales (MEN,

1998, Pág. 37).

La Formulación y Resolución de Problemas

En este aspecto se encuentran diversos estudios, los cuales, adicionaron otros

componentes integradores al desarrollo del pensamiento matemático. Lo anterior se

puede resumir de la siguiente manera: Rico (1990) plantea que resolver problemas no es

solo llegar a la respuesta de algo que antes no se conocía, sino que intervienen

20

diferentes procesos en los que se involucran la comprensión, el planteamiento y

elección de estrategias. En particular, el autor afirma: Resolver problemas no se reduce

a usar la matemática conocida, requiere de una gran dosis de creatividad y reelaboración

de hechos, conceptos y relaciones, en el sentido más real del término, resolución de

problemas es crear y construir matemática. Memorizar y repetir todas las reglas

deductivas que operan en un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces

una derivación del comportamiento real del matemático. Confundir los procesos de

producción y elaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados

es un error frecuente en nuestra enseñanza; por ello, la resolución de problemas

constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de

aproximación más real al trabajo en matemática (Pág. 15).

Godino et al. (2004) afirman que resolver problemas es esencial si se requiere

conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No se debe pensar en esta

actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los

vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas y una fuente de motivación

para los estudiantes, ya que permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al

resolver un problema el estudiante dota de significado a las prácticas matemáticas

realizadas, ya que comprende su finalidad.

De igual forma en Colombia, los lineamientos curriculares proponen el desarrollo

de unos procesos generales asumidos en la enseñanza de toda actividad matemática y

que están relacionados con:

• La resolución y el planteamiento de problemas

• El razonamiento

21

• La comunicación

• La modelación

• La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.

Además se indica que: La resolución de problemas es el mejor camino para

desarrollar estas competencias ya que permite activar las capacidades básicas

del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan

de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez

de las soluciones, etc. Esta debe ser asumida como el eje central del currículo de

matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte

integral de la actividad matemática, pero esto no significa que se constituya en

un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un

contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos (MEN, 1998,

Pág. 74-75).

Bermúdez Davis (2011), San Andrés isla, Colombia, en su investigación titulada

“Estudio de la congruencia de figuras planas. Construcciones con regla y compas. Una

propuesta para sexto grado”, la investigación adopta la elaboración de una propuesta

didáctica, basada en las construcciones con regla y compás, el trabajo responde a un

problema detectado en el aula de clase, como lo es, el no reconocimiento, por parte de

22

los estudiantes, de las figuras planas, propiedades y las relaciones de congruencia y

semejanza.

Por su parte Herrera Sepúlveda (2012), Medellín Colombia, en su trabajo de

investigación “Evaluación de la competencia argumentativa en matemáticas”, afirma

que entre las definiciones existentes de argumentación se optara por entender, en

términos generales el argumentar como el uso del lenguaje verbal o escrito “para formar

un discurso que dé cuenta de nuestras convicciones acerca de un asunto. Este discurso

tiene como función fundamental convencer o persuadir, en forma razonada, a otro (s) de

las creencias personales; exige entonces, realizar, a partir de la premisa que se tiene por

cierta, construcciones que expliquen, justifiquen, relacionen y concluyan

convincentemente la (s) tesis supuesta (s).” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía,

1996, Pág.12).

Ante la situación planteada, se asume que en matemáticas dicho discurso se

encaminará a la justificación “que el estudiante pone de manifiesto ante un problema; la

expresión de dichos por qué busca poner en juego las razones o justificaciones

expresadas como parte de un razonamiento lógico, esto es, las relaciones de necesidad y

suficiencia, las conexiones o encadenamientos que desde su discurso matemático son

válidos” (Pedraza, LP y Constanza, Luz, 2004, Pág. 21).

Es importante tener en cuenta que dichas justificaciones, razones o por qué, no

deben corresponder a una argumentación desde lo puramente cotidiano, sino que deben

ser razones que permitan justificar el planteamiento de una solución o una estrategia

particular desde las relaciones o conexiones válidas dentro de la matemática.

23

Es conveniente que se haga dicha aclaración ya que, aunque el significado o la

esencia de la argumentación en matemáticas no es diferente a la argumentación en otras

áreas, si se tiene que las situaciones argumentativas en matemáticas difieren de otras

situaciones puesto que, lo que se pone en juego en la argumentación son las

restricciones propias del problema a resolver y ellas son las que determinan la elección

de los argumentos. En matemáticas la fuerza del argumento dependerá principalmente

de su adaptación a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor;

se trata de asegurar que la solución funciona o puede funcionar (Calderón, Dora Inés y

León C, Olga Lucía, 2003, Pág. 38).

Teniendo en cuenta lo anterior, se podría decir que el argumentar en matemáticas se

hace importante en la medida que fortalece la competencia comunicativa en dicha área,

ya que, en la medida que el estudiante se sienta en la necesidad de argumentar se verá

en la obligación de manejar de manera adecuada el lenguaje y el discurso matemático,

además de utilizar una serie de operaciones discursivas como: Designar objetos y

generar proposiciones a partir de otras proposiciones dadas, igualmente “ la actividad

argumentativa permite confrontar procesos, representaciones y soluciones; y, junto con

ello, concepciones en varios ámbitos: matemático, social, ideológico, afectivo, entre

otros” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía, 1996, Pág. 22).

2.1.2 Antecedentes Locales

Arias, Castañeda & Navarro 2002 realizaron una investigación titulada “Estrategia

pedagógica para la enseñanza y aprendizaje de triángulos sus segmentos y rectas

notables en estudiantes de sexto grado” con el objetivo de diagnosticar el material

24

didáctico y guía como medio de construcción y comprensión de conceptos, basados en

el modelo constructivista con aprendizaje significativo para acceder al conocimiento en

forma secuencial a partir de la manipulación de objetos concretos.

Desarrollo del Pensamiento Espacial

Los lineamientos curriculares creados por el MEN (1998) exponen que en los

sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual

es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se

construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las

relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a

representaciones materiales. Los sistemas geométricos se construyen a través de la

exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en

reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso

cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio- motor.

(Que se relaciona con la capacidad de práctica de actuar en el espacio manipulando

objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas,

cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la

capacidad de representar internamente el espacio reflexionando y razonando sobre

propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los

resultados de manipulaciones mentales.

Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por

las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico,

cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe

favorecer estas interacciones, se trata de actuar y argumentar sobre el espacio

25

ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y

movimientos corporales.

Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Por tanto el pensamiento espacial debe

privilegiarse mediante el estudio de la geometría plana para los grados séptimo, octavo

modelada por situaciones problémicas donde el estudiante se motive al estudio a partir

de las reflexiones que le motive el problema, que piense, dialogue y ejecute posibles

soluciones geométricas, basándose en sus conceptos previos donde el papel del docente

será modelar este proceso para posibilitar el desarrollo del pensamiento espacial (MEN

1998).

2.2 MARCO TEÓRICO

2.2.1 Razonamiento y Argumentación.

2.2.1.1 Razonar Matemáticamente.

26

El razonamiento es una actividad que adopta multitud de formas, ya que abarca

enfoques muy alejados unos de otros. Se puede definir como un esquema organizado de

proposiciones que se orienta hacia un enunciado-objetivo, con miras a modificar el

valor epistémico, y que por tanto, altera el valor de verdad bajo el cumplimiento de

ciertas condiciones.

Cabe señalar las características siguientes, necesarias para que un discurso pueda

ser reconocido como razonamiento:

• Estar orientado hacia el enunciado-objetivo, es decir, hacia la proposición a

justificar.

• Estar centrado en el valor lógico o epistémico de esta proposición, y no sobre su

contenido. Precisamente esta segunda propiedad distingue al razonamiento de la

explicación: La explicación de una o más razones para volver comprensible o entendible

un dato, tiene un valor descriptivo, sin valor epistémico; el razonamiento también da

razones, pero su papel es el de comunicar la fuerza de argumento a las afirmaciones que

se desean justificar.

Con todo y lo anterior uno de los razonamientos que se va a desarrollar es el de

demostración, pero, ¿Qué se entiende por demostración?, hoy en día, los matemáticos

afirman que una demostración no es otra cosa sino aquello que los matemáticos aceptan

como demostración; en palabras de N. Balacheff, Acuña, (1996) la define como:

“prueba es una explicación aceptada por una comunidad en un momento dado, y si un

27

enunciado se conoce como verdadero y bien definido, a estas pruebas las llamaremos

demostraciones”.

Dado que la práctica de razonamientos no forma parte expresa de los distintos

currículos en matemáticas, por tanto, el razonamiento que el estudiantado emplea es el

que se desarrolla por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana. Sin

embargo y, aunque necesaria, esta lógica del sentido común no es suficiente para el

estudio matemático que requiere otro tipo de reglas. Duval (1999) distingue con toda

claridad argumentación de demostración, así, mientras la argumentación es un

procedimiento lógico que busca convencer, la demostración es un procedimiento lógico

que produce proposiciones apodícticas. En matemáticas, los razonamientos empleados

buscan concluir proposiciones que se revelan necesariamente verdaderas, es decir,

apodícticas. Por el contrario en la lógica cotidiana, se busca convencer.

En este propósito para Duval la deducción matemática es un proceso de

razonamiento intrínsecamente ligado a un lenguaje y, como tal, en sus diversas formas,

se caracteriza por movilizar explícitamente proposiciones y consiste en el paso

“justificado” o “necesario” que tiene lugar desde la enunciación de ciertas proposiciones

en calidad de premisas, a la aserción de una nueva proposición en calidad de su

consecuencia o conclusión. Así mismo, un razonamiento ligado a un lenguaje no tiene

que ser confirmado o invalidado por la experiencia, por el aporte de informaciones

suplementarias o por el establecimiento de consenso en el interior de un grupo, sino que

es por sí mismo válido o no válido dependiendo esto, únicamente del respeto a las reglas

que rigen la organización de las proposiciones entre sí, y no del contenido de las

mismas.

28

En este sentido, se entiende por razonamiento a la facultad humana que permite

resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los

hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. En sentido

más restringido se puede hablar de diferentes tipos de razonamiento:

El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la

actividad lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión

lingüística de un razonamiento.

El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante la cual,

partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro

juicio distinto. El estudio de los argumentos corresponde a la lógica, de modo que a ella

también le corresponde indirectamente el estudio del razonamiento. Por lo general, los

juicios en que se basa un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo

menos, postulados como hipótesis. Es posible distinguir entre varios tipos de

razonamiento lógico. Por ejemplo el razonamiento deductivo (estrictamente lógico), el

razonamiento inductivo (donde interviene la probabilidad y la formulación de

conjeturas) y razonamiento deductivo, entre otros.

En general, se considera válido un razonamiento cuando sus premisas ofrecen

soporte suficiente a su conclusión. Puede discutirse el significado de "soporte

suficiente", aunque cuando se trata de un razonamiento no deductivo, el razonamiento

es válido si la verdad de las premisas hace probable la verdad de la conclusión. En el

caso del razonamiento deductivo, el razonamiento es válido cuando la verdad de las

29

premisas implica necesariamente la verdad de la conclusión.

De ahí los razonamientos no válidos que, sin embargo, parecen serlo, se denominan

falacias. El razonamiento nos permite ampliar los conocimientos sin tener que apelar a

la experiencia. También sirve para justificar o aportar razones en favor de lo que

conocemos o creemos conocer. En algunos casos, como en las matemáticas, el

razonamiento nos permite demostrar lo que sabemos; es que aquí hace falta el

razonamiento cuantitativo. El termino razonamiento es el punto de separación entre el

instinto y el pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo.

En contraste con Piaget (1979) mantiene la prevalencia del razonamiento deductivo

sobre el lenguaje al afirmar la menor dificultad de ejecutar materialmente un acto que

ejecutarlo en el pensamiento, lo que requiere traducirlo de manera simbólica en palabras

o imágenes y esta reelaboración supone una aceleración que llega hasta ciertas vistas de

conjunto simultáneas.

Es por ello que a la hora de hablar de razonamiento es relevante detenerse en la

comprensión y uso de los términos “definir” y “demostrar”, para identificar el

razonamiento matemático. No es posible avanzar de un nivel a otro sin poseer esas

habilidades. Para conocer en qué nivel de razonamiento se encuentra un estudiante es

necesario atender tanto a sus estrategias de resolución de problemas como a su forma de

30

expresarse y al significado que le da al vocabulario que escucha, lee o utiliza para

expresar sus conocimientos. Hay que tener en cuenta, que el paso de un nivel de

pensamiento a otro no es automático, no está rígidamente ligado a la edad, sino que

depende de la correcta superación del nivel anterior. Por ello es conveniente atender al

desarrollo de los primeros niveles si se pretende que se alcancen adecuadamente los

niveles de pensamiento deductivo.

2.2.1.2 Leer, Escribir y Argumentar.

La argumentación es el mecanismo que relaciona la información concreta con las

abstracciones y generalizaciones; es decir, es el proceso que relaciona datos, siguiendo

las reglas del pensamiento crítico, para obtener información nueva (Álvarez, Pág.74).

De esta manera, podemos decir que el propósito principal de los textos argumentativos

es legitimar explícitamente la información nueva que proporciona el texto, por medio de

datos empíricos, razonamientos o pruebas; en otras palabras, la función primordial de la

argumentación es persuadir al lector de lo que se afirma.

Según Álvarez, en el libro escribir en español, los componentes básicos de la

argumentación son presentar una información dada o de saber general y una

información aducida que puede relacionarse con la antes mencionada para llegar a una

conclusión. Ambos tipos de información conducen a información nueva, otra

conclusión, o al contenido nuclear del texto (Pág.74). La información nueva se obtiene

gracias a la asociación de ideas, datos, ejercicios, bibliografía y razonamientos lógicos;

es decir, al ejercicio del pensamiento crítico. Es por esto que la argumentación es un

medio de comunicación importante, de generación de nuevas ideas y conocimiento.

31

Es así como incidir en el desarrollo de la competencia argumentación desde el área

de matemáticas se debe insistir en dos aspectos. Por una parte la incorporación de lo

esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su

uso. Por otra parte, es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción

verbal de los razonamientos y de los procesos. Se trata tanto de facilitar la expresión

como de propiciar la escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la

propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.

Ahora bien, según Sardà (2003), “La argumentación es una actividad social,

intelectual y verbal que sirve para justificar o refutar una opinión, y que consiste en

hacer declaraciones teniendo en cuenta al receptor y la finalidad con la cual se emiten.

Para argumentar hace falta elegir entre diferentes opciones o explicaciones y razonar los

criterios que permiten evaluar como más adecuada la opción elegida” (Pág. 123).

Desde otro punto de vista, Raymond Duval, por su parte, establece una discusión

entre discusión y argumentación Duval, (1999) “una argumentación trata de mostrar el

carácter de verdad de una proposición, una explicación da una o más razones para

volver comprensibles un dato, fenómeno o resultado y una demostración es una

secuencia de enunciados según reglas determinadas” (Pág.35). Para este autor, el

concepto de argumentación se encuentra estrechamente ligado al de justificación de una

afirmación, o bien en contra de una afirmación que se debe refutar.

Técnicas Argumentativas

Existen diferentes modos de presentar y llevar a cabo la argumentación. La más

común es, según el orden de los componentes, ya sea por medio de la deducción (se

32

inicia con la tesis y posteriormente con la argumentación) o la inducción (la tesis se

expone después de los argumentos). Por otro lado, el argumentador, puede echar mano

de estrategias que le permitirán sostener de manera eficaz su opinión, y concluir de

manera verosímil:

Argumentos basados en la generalización: abstraen lo común y esencial de las

cosas para formar un concepto general; es decir, generalizar algún dato, información o

idea. Ejemplo: El argumentar mis propias ideas, me ayuda a desarrollarlas. Por esta

razón, la argumentación fomenta el pensamiento crítico. Otras son las generalizaciones

indiscutibles: La generación espontánea no existe.

Argumentos basados en la analogía: comparar o buscar relación entre dos o más

razones, conceptos, datos; es decir, buscar la similitud entre diferentes situaciones o

eventos.

Argumentos basados en signos: tomar en cuenta que ciertos tipos de evidencia son

sintomáticos de un principio más amplio.

Argumentos causales: argumentar que un evento o situación determinada es el

resultado o el efecto de un factor determinado.

Argumentos de autoridad: utilizar algún recurso de respaldo de nuestra opinión para

fortalecer la argumentación.

Argumentos basados en principios: utilizar principios aceptados por la sociedad y

mostrar cómo éstos se relacionan con lo que se intenta argumentar.

Contraste de ideas: contraponer o mostrar la diferencia entre dos o más ideas.

Ejemplo: De acuerdo con la teoría de Piaget, el desarrollo cognitivo no es un proceso

cuantitativo de ir añadiendo nuevos elementos a las cadena, sino que existen diferencias

cualitativas entre los niveles de desarrollo.

33

Ejemplificación: ilustrar los argumentos por medio de casos particulares. Ejemplo: En

el caso de la violencia escolar, quienes la sufren son los jóvenes en las aulas: en el D.F.

un alumno de bachillerato puso una denuncia por continuas agresiones de sus

compañeros.

Finalmente la argumentación suele combinarse con el resto de las estructuras

retóricas (narración, exposición/explicación y descripción) con diferentes fines. Es muy

común que los textos argumentativos estén combinados con el discurso expositivo

(pretende informar) y con el explicativo (pretende aclarar) porque estos ayudan a la

construcción de argumentos sólidos. La exposición se utiliza para informar, información

que sirve para convencer o persuadir a alguien de la propuesta establecida (Sánchez

Lobato, 381). Por otro lado, aunque la narración y la descripción son menos frecuentes

en los textos argumentativos, también suelen utilizarse normalmente como herramientas

que ayudan a persuadir al lector. Por ejemplo, narrando una historia que ayude a

sostener el argumento presentado. Así que, se puede afirmar que cada una de las

estructuras retóricas complementa y ayuda a la realización de las otras.

2.2.1.3 Razonamiento y Argumentación en el Ámbito Escolar.

La enseñanza en educación matemática está marcada por lo tradicional, los

estudiantes realizan los ejercicios mecánicamente y no hay una análisis reflexivo de los

resultados al preguntarle al estudiante como llego a la respuesta comúnmente responde

no sé, solo sé que es la repuesta pero ¿por qué es importe enseñar a pensar? Sin

34

embargo, la mayoría de nosotros que hablamos acerca de enseñar a pensar,

probablemente coincidiríamos que lo que necesitamos enseñar y aprender, en esa área,

no es como pensar en un sentido absoluto, sino como pensar más efectivamente más

críticamente, más coherentemente, más creativamente, más profundamente de lo que a

menudo hacemos típicamente. Para estar seguros, toda la gente hace cálculos, pero no

igualmente acertados; toda la gente usa analogías, pero no igualmente apropiadas; toda

la gente saca conclusiones, pero no con igual cuidado; toda la gente estructura

argumentos, pero no con la misma fuerza.

La idea es que se puede constatar una reciente preocupación por incluir en los

distintos programas educativos actuales una parte específica relacionada con la

demostración. Por ejemplo, en el borrador de los estándares para el 2000 del NCTM,

uno de estos estándares se llama “Razonamiento y prueba”, en el que explícitamente se

señala: Los programas de instrucción matemática deberían centrarse en el aprendizaje

de razonamientos y la construcción de pruebas como parte de la comprensión

matemática de forma que todos los estudiantes:

• Realicen e investiguen conjeturas matemáticas.

• Desarrollen y evalúen los argumentos y pruebas matemáticas.

• Seleccionar y usar los tipos de razonamiento y métodos de demostración

apropiados.

• Reconozcan el razonamiento y la prueba como una poderosa y esencial parte de

las matemáticas.

Basándose en la experiencia, hay una pequeña evidencia de que los estudiantes

35

adquieren buenas habilidades de pensamiento como simple consecuencia del estudio

convencional de las materias del curso. Aunque el conocimiento del campo específico

es esencial para el pensar bien dentro de un campo, no es suficiente para asegurar que

ocurrirá el pensar bien.

Cabe señalar el planteamiento de:

Glaser (1985) Un estudiante no tiende "naturalmente" a desarrollar una

disposición general a considerar atentamente las materias y problemas que

vienen dentro del rango de su experiencia, ni si él o ella probablemente

adquieran conocimiento de los métodos de preguntas lógicas y razonamiento y

habilidad en la aplicación de estos métodos simplemente como resultado de

haber estudiado esta o aquella materia. Hay una pequeña evidencia de que los

estudiantes adquieren habilidad en pensamiento crítico como una necesidad

derivada del estudio de cualquier materia dada (Pág. 27).

A todo esto, la definición va enmarcada a justificar, lo que lleva a una estrecha

relación entre ellas por lo que se hace necesario tomar la concepción de justificación de

Jorba 1998, se entiende que “justificar es producir razones o argumentos, establecer

relaciones entre ellos y examinar su aceptabilidad con la finalidad de modificar el valor

epistémico de una tesis en relación al corpus de conocimientos en que se incluyen los

contenidos objeto de la tesis” (Pág. 81).

36

Es oportuno ahora destacar que el niño de básica secundaria se familiariza con un

nuevo lenguaje para él, por lo que es de vital importancia potenciar las competencias

matemáticas en especial la de razonamiento y argumentación, a través de tareas fáciles y

un trabajo en conjunto con los padres de familia o cualquier persona que frecuente su

círculo social.

A lo largo de los planteamientos hechos anteriormente, “el estado de desarrollo

cognitivo del estudiante impondrá que la acción didáctica plantee situaciones que,

tomando como base la zona de desarrollo efectivo, se den primordialmente en la zona

de desarrollo potencial” Vygotsky (s.f.). “Esa acción didáctica no será posible si las

situaciones a las que enfrentamos al estudiante no se desarrollan en un espacio que

permita ejercer la devolución” Rousseau (s.f.). El estudiante se debe enfrentar a

situaciones espaciales en las que pueda manejar, pueda confrontar, pueda ejercer una

acción y pueda designar los diversos elementos espaciales a los que se enfrenta. Esto no

es posible si no se tiene en cuenta la talla del espacio sobre el que se plantean las

diversas situaciones de enseñanza- aprendizaje.

2.2.2 Competencia Matemática.

2.2.2.1 Acerca del Concepto de Competencia.

Se define competencia como aquella capacidad de responder a las distintas

demandas tanto individuales como colectivas, o también para realizar una función

determinada de una forma adecuada. Así surge de la combinación de habilidades

prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros

37

componentes sociales y de comportamiento que se movilizan para lograr una acción

eficaz.

La idea es que la educación basada en competencias es una nueva orientación que

sobre todo pretende dar respuesta a la sociedad de la información. El concepto de

competencia tal y como lo entienden en educación, es el resultado de las nuevas teorías

de cognición y básicamente significa saberes de ejecución.

Nótese que todas esas ideas van encaminadas hacia el lenguaje, es así como

Chomsky (1985), a partir de las teorías del lenguaje instaura el concepto y define

competencias como la capacidad y disposición para el desempeño y para la

interpretación. La educación basada en competencias se fundamenta en un currículo

apoyado en las competencias de manera integral y en la resolución de problemas. Es

una cuestión fundamental de entender es que la educación basada en competencias,

quien aprende lo hace al identificarse con lo que produce, al reconocer el proceso que

realiza para construir, así como las diferentes metodologías que dirigen el proceso.

Para ilustrar mejor este enfoque de la formación con base en competencias pretende

orientar la formación de los estudiantes hacia el desempeño idóneo en los diversos

contextos culturales y sociales, esto requiere hacer de ellos protagonistas de su vida y de

su proceso de aprendizaje a partir del desarrollo y fortalecimiento de sus habilidades

cognoscitivas y meta cognoscitivas, la capacidad de actuación y el conocimiento y

regulación de sus procesos afectivos y motivacionales. Han supuesto un avance, porque

matizan y enriquecen los enfoques basados en capacidades que han sido dominantes en

38

las políticas curriculares de muchos países durante finales del siglo XX.

En el campo educativo son múltiples las definiciones que puede contactarse sobre

competencias. Levy-Laboyer (2000) definen las competencias como “repertorios de

comportamientos que unas personas dominan mejor que otras, lo que las hace eficaces

en una situación determinada”. Tejada (1999) plantea que las competencias expresan

“un conjunto de conocimientos, procedimientos y actitudes combinados, coordinados e

integrados, en el sentido de que el individuo ha de saber hacer y saber estar para el

ejercicio profesional, como resultante de su formación escolar”. Otra definición dada

por Fernández (2004) quien señala “las competencia aluden al resultado del desempeño

de un sujeto frente a las exigencias de una tarea con un alto nivel de calidad y auto

responsabilidad” (p 156). El Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación

Superior –ICFES-, define las competencias como un conjunto de acciones que el sujeto

realiza cuando interactúa significativamente en un contexto determinado, definición que

se resume en: un saber hacer en contexto (ICFES, 1999).

Por otra parte, desde el enfoque epistemológico, García Fraile, Tobón y López

(2009), asumen las competencias desde un enfoque socio formativo, esto es asumir las

competencias como “actuaciones integrales ante problemas del contexto con idoneidad

y compromiso ético”. El carácter socio formativo a que han referencia los autores está

en el hecho de concebir las competencias como una actuación o desempeño

contextualizado. Tal concepción supone problemas epistemológicos, filosóficos y

pedagógicos importantes en la reflexión curricular.

39

Visto así, las competencias expresan una actuación compleja de la persona, en la

que se ponen en juego sus capacidades reales y potenciales en términos de lo que

conoce, de lo que puede hacer, y las formas como puede valorar y disponerse

actitudinalmente en el abordaje de situaciones personales, sociales y profesionales.

En términos pedagógicos, las competencias son la resultante del esfuerzo educativo

por florar o desplegar las facultades mentales, actitudinales y procedimentales –vista en

su complejidad- en el individuo, para que, tal como lo plantea Tobon, la persona pueda

transitar los diversos ámbitos de la vida –social, laboral, profesional- haciendo uso del

repertorio de atributos que posee y que adquirido en su proceso formativo.  Esto implica

que para el desarrollo de competencias en el individuo debe proyectarse y promoverse

conocimientos, habilidades y valores en la persona que le habilite a interactuar con su

entorno.

Las competencias se constituyen en un referente de organización de la enseñanza,

sustitutivo del modelo educativo basado en objetivos de enseñanza y objetivos de

aprendizaje, ya que se considera que es una forma fragmentaria de promoción de la

enseñanza y del aprendizaje, contrario a un contexto social signado por la idea de “la

imagen total”, la “multicausalidad y referencialidad”, la indeterminación, la

complejidad, etc.

Queda definido entonces que las competencias integran:

40

(i) saber: asociado al conocimiento que posee una persona y “demuestra el

conjunto de saberes teóricos o prácticos relacionados con una determinada

ocupación” (Delors, 1996).

(ii) saber hacer: relacionado con las habilidades y destrezas del individuo y se

refiere a “aptitudes para realizar con facilidad y precisión las tareas de una ocupación”.

(iii)  saber estar y convivir: conjunto de actitudes que asume la persona

internamente y/o con relación al entorno, indicando la “manera de enfocar el desempeño

de las diversas tareas de una ocupación”.

(iv)  saber ser: vinculado a los valores de los sujetos, como factores que guían sus

comportamientos y decisiones. En el proceso de operacionalización, las competencias se

descomponen en atributos o tareas e indicadores de desempeño. Los atributos o tareas

son las acciones desarrolladas por el individuo en el marco de su desempeño profesional

y los indicadores de desempeño son unidades de análisis que expresan el nivel de logro

o ejecución de la competencia. Se descompone de esta forma ya que se entiende la

enseñanza como posibilidad de análisis y el aprendizaje como posibilidad de síntesis de

los aspectos señalados anteriormente, pero puestos en contextos -hipotéticos y reales- de

actuación de la persona.

2.2.2.2 Ser Competente: Un Reto Escolar.

Actualmente se maneja la posición de que el aprendizaje de los estudiantes debe ser

por competencias, todas las áreas manejan un tipo específico, en el caso del área de

matemáticas es preciso citar la citar la siguiente definición:

La competencia matemática consiste en un saber hacer en la práctica mediante

herramientas matemáticas. Consiste en utilizar la actividad matemática en contextos tan

41

variados como sea posible. Hace especial énfasis en aspectos sociales como la

comunicación y la argumentación. Muestra cómo los estudiantes pueden utilizar lo que

han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana. Se alcanzará en la medida en

que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia

variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida

cotidiana (Rico y Lupiáñez, 2008).

Cabe agregar que la competencia matemática tal cono la considera Niss (1999) va

encaminada a un punto fijo en el horizonte es entonces la habilidad de entender, juzgar,

hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones y contextos intra y extra

matemáticos, en los que éstas juegan o podrían jugar un papel.

A los efectos de este es interesante comprender lo que es competencia matemática,

para que los docentes desempeñen la labor de la mejor forma, hay que salir de los

parámetros tradicionales en la enseñanza de las matemáticas en especial de la geometría

que en ocasiones es olvidada dentro del plan de estudios, considerada como relleno o

comodín cuando los contenidos se acaban, hay que desarrollar todas las áreas de las

matemáticas transversalmente yendo siempre a la aplicabilidad de los conceptos.

Resulta oportuno conocer ¿Qué es lo que hay que saber acerca de las competencias

42

matemáticas? la competencia matemática se vincula al desarrollo de diferentes aspectos,

presentes en toda la actividad matemática de manera integrada:

Formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: se refiere al

conocimiento de procedimientos matemáticos (como algoritmos, métodos, técnicas,

estrategias y construcciones), cómo y cuándo usarlos apropiadamente y a la flexibilidad

para adaptarlos a diferentes tareas propuestas.

Modelación: entendida ésta como la forma de describir la interrelación entre el

mundo real y las matemáticas, se constituye en un elemento básico para resolver

problemas de la realidad, construyendo modelos matemáticos que reflejen fielmente las

condiciones propuestas, y para hacer predicciones de una situación original.

Comunicación: implica reconocer el lenguaje propio de las matemáticas, usar

las nociones y procesos matemáticos en la comunicación, reconocer sus significados,

expresar, interpretar y evaluar ideas matemáticas, construir, interpretar y ligar

representaciones, producir y presentar argumentos.

Razonamiento: usualmente se entiende como la acción de ordenar ideas en la

mente para llegar a una conclusión. Para este caso particular, incluye prácticas como

justificar estrategias y procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas, encontrar

contraejemplos, argumentar y exponer ideas.

Formulación, tratamiento y resolución de problemas: está relacionado con la

capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación para plantear o resolver

problemas no rutinarios; es decir, problemas en los cuales es necesario inventarse una

nueva forma de enfrentarse a ellos.

43

Se observa claramente que hay que destacar la competencia del sujeto por como

este se relaciona con el contexto en el que se desenvuelve y en un tiempo específico, no

como un ser aislado que se desarrolla en sí mismo, realzando el valor del entorno que lo

rodea y de cómo este afecta su actividad. Es así como se propone que los estudiantes

competentes sean capaces de construir referentes desde los cuales situarse y actuar sobre

la realidad, configuran proyectos deseados y deseables a modo de horizontes que

gatillan el dinamismo de su desarrollo, capaces para la autogestión en escenarios de

desequilibrio e incertidumbre, tomando una postura en sus procesos de construcción de

identidad .

Significa entonces que realidad y entorno se presentan como intrínseco de las

competencias en matemática, dejando en claro que la matemática es una herramienta

para actuar y generar actividad sobre ella, gestionar y tomar decisiones desde la

matemática en el quehacer cotidiano son parte del desarrollo del estudiante competente

en matemática, no ha de ser suficiente desarrollar las competencias matemáticas cuyo

fin sea la matemática misma.

Como ya se ha aclarado la educación en matemática y en todas las ramas que la

componen debe ser crítica de la actividad y del entorno en que se desarrolla, potenciar

un nivel de competencia que favorece el desarrollo de herramientas intencionadas al

enfrentar en diversos contextos y situaciones la necesidad de utilizar modelos, además

de favorecer que sea el mismo estudiante quien gestione su desempeño; la educación

matemática los contenidos, como la base cognitiva del pensamiento y las competencias,

obligan a la reflexión crítica sobre la calidad y la cantidad de dichos contenidos que

están a la base de las competencias matemáticas, por lo que se propone la elección de

44

contenidos disciplinarios de las matemáticas que constituyan los núcleos fundacionales

o campos conceptuales, alrededor de los cuales articular otros contenidos al interior de

un tema disciplinario que provenga de un interés didáctico (D` Amore, Godino &

Fandiño, 2008, Pág. 19).

Desde los planteamientos anteriores se deduce que es probable que el enfoque de

competencias pueda mostrar su mayor riqueza si se logra incorporar de manera real en

la tarea docente, en la promoción de ambientes de aprendizaje escolares. En este sentido

se trataría de pasar de los modelos centrados en la información hacia modelos centrados

en desempeños. Los conceptos de movilización de la información, de transferencia de

las habilidades hacia situaciones inéditas adquieren una importancia en esta perspectiva.

2.2.2.3 Estrategias para el Desarrollo de la Competencia Matemática.

La formación matemática en Educación Básica históricamente ha presentado

severas debilidades, muchas de las cuales se atribuyen al desempeño del docente en el

área específica de la disciplina., Esto quizá se deba a que la mayoría de los docentes

evaden ocuparse de la matemática porque ellos mismo no la entienden o no la dominan

y se enfocan en lengua y literatura, ciencias sociales entre otras áreas en las que se

sienten más cómodos. Para estos docentes la matemática es solo operacional y numérica

45

y no han interiorizado, que la matemática escolar constituye una oportunidad para

elevar de manera sistemática la capacidad de razonamiento del aprendiz; ya que

mediante ella se logran potenciar las habilidades de pensamiento.

Actualmente siempre se habla sobre lo que se debe hacer en la educación

matemática y el deber de desarrollar competencias en los estudiantes de matemáticas

pero no como hacerlo por lo que nace la siguiente pregunta ¿Cómo estimular estas

competencias? A esto variados autores e instituciones Quintanilla, Labarrere, Díaz &

Santos (2007), OCDE, (2006), hacen referencia a un aprendizaje basado en la

resolución de problemas como forma de promoción y adquisición de competencias por

parte del estudiante. En relación, Pólya (1990), en Alfaro (2006) expresa que la parte

más importante de la forma de pensar que se desarrolla en matemática es la correcta

actitud de la manera de cometer y tratar los problemas, tenemos problemas en la vida

diaria, en las ciencias, en la política, tenemos problemas por doquier. La actitud correcta

en la forma de pensar puede ser ligeramente diferente de un dominio a otro pero solo

tenemos una cabeza y por lo tanto es natural que en definitiva allá sólo un método de

acometer toda clase de problemas.

Es así como lo señalado por Pólya, hace énfasis a la enseñanza de la matemática

desarrollando tácticas en la Resolución de Problemas.

En efecto Quintanilla, Labarrere, Díaz & Santos (2007), proponen unas

características de los estudiantes competentes:

1. Desarrolla maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar

matemático competente.

2. Aborda tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la

46

creación, la comunicación y la gestión.

3. Desarrolla actividad matemática estudiantil con modelos y situaciones

(orientación en contextos).

4. Despliega competencias de autoreferencia y autorregulación de su desempeño en

la actividad matemática.

5. Ostenta actividad matemática escolar en ambientes de desarrollo intencional.

En este propósito se alude a que el estudiante tenga confianza en sí mismo y en su

capacidad matemática, que piense que es capaz de resolver tareas matemáticas y de

aprender matemáticas; en suma, que el estudiante admita y valore diferentes niveles de

sofisticación en las capacidades matemáticas. También tiene que ver con reconocer el

saber matemático como útil y con sentido. Llegar a ser matemáticamente competente es

un proceso largo y continuo que se perfecciona durante toda la vida escolar, en la

medida que los aspectos que integran una actividad matemática se van desarrollando de

manera simultánea, integrados al dinamismo que propone el maestro y las interacciones

que se propician en el aula de clase. El maestro de matemáticas debe ser consciente de

esto al planificar su enseñanza y al interpretar las producciones de sus estudiantes, pues

sólo así logrará potenciar progresivamente en ellos las aptitudes y actitudes que los

llevará a tener mejores desempeños en su competencia matemática. Las competencias

matemáticas no son un asunto de todo o nada.

El desarrollo de competencias matemáticas conlleva utilizar espontáneamente -en

los ámbitos personal y social los elementos y razonamientos matemáticos para

interpretar y producir información, para resolver problemas provenientes de situaciones

cotidianas y para tomar decisiones (Castro, 2006). En los procesos formativos se

47

requiere pensar diferente, los límites ya no son las tecnologías, el límite es nuestra

imaginación, es una expresión que a más de uno pone a pensar con frecuencia los

docentes en matemáticas solo se centran en desarrollar la memoria mecánica del

estudiantes por lo que no único que logran en que los estudiantes aprendan por el

momento dejando a un lado la memoria analítica que permite desarrollar los contenidos

aplicando la lógica y el sentido en cada uno de los ejercicios.

En este orden de ideas se puede citar la importancia tres preguntas que contribuyen

al desarrollo de las competencias matemáticas como ¿qué?, ¿cómo? ¿Por qué?

posibilitan la ruta para conseguir estudiantes competentes además de ser guía para el

docente en el aula.

Es importante que en los proyectos de aprendizajes matemático diseñados para el

estudiante de educación básica, el docente incluya actividades donde estén implícitas las

habilidades básicas del pensamiento matemático, porque el desarrollo de éstas ayudará

al estudiante a tener mejor dominio en la ejecución de tareas y él va aprender a tomar

conciencia de lo que debe hacer y cómo lo debe hacer.

El desarrollo de estos procesos básicos en los contenidos de matemática ofrece un

conjunto de referencias pedagógicas que son esenciales para generar estructuras

cognitivas, estimular y desarrollar la capacidad para organizar y relacionar las ideas y

generar capacidades mentales cada vez más complejos, que permitan al estudiante

entender y explicar los eventos de su entorno matemáticamente.

A lo largo de los planteamientos hechos hay que volver a plantear el sentido del

aprendizaje en el contexto escolar. Preguntarse ¿Cuál es la finalidad de lo que se

48

enseña? llenar la cabeza de información que se retenga y sea reproducida en los

esquemas y textos mostrados en la escuela, o formar un individuo con capacidad propia

de razonamiento y con un conjunto de habilidades que le permitan resolver situaciones

cotidianas. Sin lugar a dudas que éste es el centro del debate de los paradigmas en el

campo de la didáctica en los últimos cien años, un debate que nos permite vislumbrar lo

difícil que es para un sistema educativo y para un sistema de enseñanza docente,

abandonar la mirada enciclopedista de la educación para desarrollar una visión atenta a

la sociedad de la información, acorde con las exigencias de resolver situaciones

problemas.

2.2.3 Triángulos Congruentes.

2.2.3.1 Génesis del Triángulo.

El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió

las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de

lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las

situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos, el

hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin,

observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas,

figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que

designamos con el nombre de geometría.

En geometría, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea -

recta, curva, quebrada, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen

todas las figuras geométricas. El patio de la escuela, una cancha de fútbol, los muebles

49

de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden

apreciar figuras geométricas. Entonces, una figura geométrica (también se la puede

denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por

superficies.

Desde la antigüedad se utilizaron las figuras geométricas, una de ellas es el

triángulo. Por historia se sabe que el hombre primitivo a las puntas de sus herramientas

de caza les daba forma triangular. Los faraones tuvieron tumbas de forma de pirámide,

cuyas caras tenían las formas de un triángulo. Hoy en día, se aplican en diversos

campos. Por ejemplo: en la arquitectura, ingeniería, topografía, etc. Para un estudiante

el tema triángulos le servirá de base para luego conocer otras figuras de mayor cantidad

y para resolver problemas de su vida diaria.

Precisando de una vez un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados

determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados

(Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse

un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un

ángulo y dos medianas; un lado, una altura y una mediana.

Ante la situación planteada si está contenido en una superficie plana se denomina

triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está

50

contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en

cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación de los Triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o

por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se

clasifica:

• Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos

internos miden 60 grados o radianes.)

• Triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos

piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a

estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un

triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre

longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).

• Triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes

diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Propiedades de los Triángulos

Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana. La

suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer

lado.  El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de

dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.  Para cualquier triángulo se verifica el

Teorema del seno que establece: Los lados de un triángulo son proporcionales a los

senos de los ángulos opuestos; a su vez los triángulos se clasifican de acuerdo al

tamaño de sus lados, en equilátero, isósceles o escaleno; o bien, por el tamaño de sus

51

ángulos, en acutángulos, rectángulos u obtusángulos.

Tal como se ha visto los triángulos tienen una importancia suprema en la

geometría, pues todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Esta

gran importancia de los triángulos en la geometría, ya la conocían los geómetras desde

los tiempos de las primeras civilizaciones. El estudio tan amplio de los triángulos, que

ha generado en sí misma una rama de la geometría y de las matemáticas, es la

trigonometría.

Así mismo, la importancia del triángulo, la podemos ubicar dentro de la perfección

y es origen de todos lo que existe y todo lo que tenemos en la madre naturaleza, que es

influenciada por energía cósmica.  El elemento geométrico triángulo, se le relaciona con

el símbolo de la triada, en la creación principio de la transmutación, manifestación,

renovación. En lo universal se relaciona con Júpiter, el signo zodiacal Géminis, la nota

musical mí, el color púrpura, el metal estaño, la esencia de tuberosa, el mineral

aguamarina, la substancia química potasio clorhídrico y en el hombre está asociado al

Plexo esplénico, hígado y tensión muscular.

Como ya se ha aclarado hay que tener presente que un ángulo del triángulo este

apuntando hacia arriba, significa que toda duda que exista en la base o abajo, la solución

se encontrara en el vértice o en la parte superior, esta figura bien conocida y respetada

por los egipcios los cuales construyeron tres pirámides perfectas, que semejan la

constelación de Orión, constituida por tres estrellas, en la misma situación que las

pirámides egipcias. El triángulo resulta ser un símbolo muy importante en todos los

sentidos, por lo que debemos tener presente que es la fuente de la existencia, de la

perfección y de la vida.

52

2.2.3.2 Iguales en Medida, Ángulos y Lados: ¡Son Congruentes los Triángulos!

Congruencia, del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de

una característica que se comprende a partir de un vínculo, es la relación de similitud o

equilibrio que puede existir entre dos o más elementos. Desde la antigüedad el hombre

clasifica y ordena. Históricamente Arquímedes hace una de las plantas. En particular la

clasificación se formaliza a través del concepto de relación de equivalencia. De hecho,

la relación de congruencia en la colección de los segmentos (ángulos, triángulos) es una

relación de equivalencia. De otro lado, para introducir el tema de las congruencias y

semejanzas de figuras es necesario, retomar la historia de la aparición de los conceptos

de conmensurabilidad, el problema de la incomensurabilidad; y como un problema de

estos lleva al descubrimiento de la teoría de la proporcionalidad como sustento

matemático de las construcciones de figuras congruentes y semejantes.

Es evidente entonces el planteamiento de Tales de Mileto (600 a.d.c), quien explicó

diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes, fue el primer

filósofo que intentó dar una explicación física del universo, que para él era un espacio

racional pese a su aparente desorden sin embargo, no buscó un creador en dicha

racionalidad, pues para el todo nacía del agua, la cual era el elemento básico delo que

estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito. En

geometría, y con base en los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto

de teoremas generales y de razonamientos deductivos que posteriormente fue recopilado

53

por Euclides en su obra elementos.

Como puede observarse la congruencia de triángulos se basa en el estudio de la

igualdad entre triángulos, es decir, gracias a esto se puede saber si dos triángulos o más

son congruentes (iguales) entre sí. Dicho de modo sencillo, estudia los casos en que dos

o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida. Dos triángulos son

congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo

del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con

los del otro triángulo.

A los efectos de este al observar y comparar figuras geométricas, es común que, en

algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros,

puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al compararlas, si observa que tienen la

misma forma y la misma medida, puede hablarse que las figuras son congruentes. El

símbolo que se emplea para denotar la congruencia es (≈). Para comparar dos

triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se

describen y ejemplifican a continuación:

Primer criterio: Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si los

tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.

Segundo criterio: Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si,

en el primer triangulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos del segundo

triángulo.

Tercer criterio: Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes si

dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes

con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.

54

Cuarto criterio: Lado, Lado, Ángulo (LLA). Dos triángulos son congruentes si

tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los

lados también son congruentes.

Hechas las consideraciones anteriores la congruencia de triángulos proporciona en

los estudiantes en la clase de geometría según Villella (2001) sostiene que, en la clase

de geometría, habitualmente, “el uso de la demostración para justificar la validez de

una propiedad, suele ser confundida por los estudiantes y también por algunos docentes,

con la enunciación o la representación gráfica de ejemplos que la verifican” (Pág. 186).

En este sentido, se considera que aprender geometría no consta únicamente de aprender

definiciones, representaciones, clasificaciones de figuras y construcciones, sino también

de la forma de organizar la información para que, por medio de la utilización de la

lógica, pueda arribarse a la determinación de la verdad o falsedad de las proposiciones

analizadas. El autor sostiene también que, aprender geometría en la escuela secundaria

es un proceso que busca caracterizar el espacio, mediante propiedades formalmente

validadas, a partir de la exploración del mismo.

En este mismo orden y dirección es preciso mencionar que actualmente en los

diseños curriculares y libros de texto de matemática de la mayoría de los niveles

educativos la actividad referente a la demostración es escasa o hasta nula en el peor de

los casos los estudiantes no ven geometría provocando deficiencias en el desarrollo del

pensamiento geométrico además de las competencias propias de este pensamiento,

Camargo, (2005) considera la demostración como medio de descubrimiento,

comunicación, explicación y sistematización de los resultados, sostiene que a ésta le

debería corresponder un papel protagónico en la enseñanza, en diversos cursos de

55

matemática. Tomando lo planteado por el autor las demostraciones en este caso de

triángulos congruentes desarrollan la exploración y el análisis crítico, además de la

competencia de razonamiento y argumentación.

2.2.3.3 Problemas o Ejercicios de Triángulos Congruentes: Una Situación Difícil de Resolver.

La solución de problemas matemáticos, en especial los de carácter geométrico como

los ejercicios o problemas de triángulos congruentes, comúnmente representan un

obstáculo en el proceso de enseñanza- aprendizaje, muchas veces los estudiantes se

bloquean al no hallar la solución correcta en el ejercicio es así como diferentes autores

conceptualizan el problema a partir de estrategias en donde el educando tendrá la

capacidad de analizar y a partir de la exploración llegar a una respuesta correcta sin caer

en el fracaso o deserción del problema.

En este propósito George Polya, (1957) manifiesta el proceso del descubrimiento, o

cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Para entender una teoría, se debe

conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza se enfatiza en el proceso de

descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Involucrar a

los estudiantes en la solución de problemas, generaliza el método en los siguientes

cuatro pasos:

1. Entender el problema. Hacerse preguntas con respecto a la formulación del problema.

Comparar con situaciones similares.

2. Configurar un plan. Estrategias para llegar a la solución.

3. Ejecutar el plan. Implementar las estrategias propuestas.

4. Mirar hacia atrás. Análisis de lo realizado hasta el momento, seguridad en el

56

resultado obtenido.

El desarrollo de los pasos permite un acercamiento a la situación lo que promueve

una aproximación al conocimiento y al desarrollo de estrategias en la solución de

problemas. En la misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los

educandos que el medio escolar estimule el desarrollo y habilidad para realizar este tipo

de problemas o ejercicios, ya que es en la etapa escolar cuando el niño desarrolla o

limita su potencial intelectual. 

En efecto este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por

ello es importante señalar alguna distinción entre “ejercicio" y "problema". Para

resolver un ejercicio, se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta.

Para resolver un problema, se hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute

pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de

dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo

que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta

distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que

se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema

encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria

responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada

uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros

esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".

Cabe agregar que hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las

matemáticas: ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos entre otras

57

cosas, los cuales podrán aplicarse cuando se enfrenten a la tarea de resolver problemas,

además el estudiante desarrolla la capacidad de resolver problemas a partir del contexto,

en situaciones reales dentro del ámbito escolar o extraescolar interactuando

participativamente a través de estrategias de enseñanza que le faciliten el aprendizaje

por descubrimiento como las preguntas frecuentes a la hora de enfrentarse a un

problema y la asociación entre un aprendizaje u otro, el diseño de métodos, teoremas o

propiedades para llegar a la respuesta.

En el orden de ideas anteriores destacando la importancia del problema matemático,

el modelo de los esposos Van Hiele (s.f.) categorizan unos niveles centrados en la

geometría, los que muestran el avance del joven en el reconocimiento y/o compresión

de los cuerpos geométricos, lo que muestra que el conocimiento puede dar pistas de

cómo partiendo de la realidad se puede ir creando modelos cada vez más abstractos.

El modelo consiste en cinco niveles de comprensión de los cuales son vitales para la

investigación los siguientes:

Nivel Básico: Visualización

Reconocimiento de las figuras, que son distinguidas por su forma global, por su

aspecto físico y no por un análisis de sus propiedades.

Nivel Análisis: Conocimiento de las componentes de las figuras, de sus

propiedades básicas, en el que se comienzan a establecer relaciones entre figuras, pero

de una forma intuitiva, experimental, no de una forma lógica.

Nivel de deducción informal: Es un nivel de relación lógica, en el que se

58

relacionan y clasifican las figuras de un modo lógico, mediante razonamientos sencillos,

pero sin la potencia lógica suficiente para hacer aparecer los diferentes conocimientos

geométricos organizados en forma de sistema deductivo.

Nivel de deducción: En él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones,

los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende

suficientemente el significado de rigor en las demostraciones.

En el mismo sentido es fundamental de la geometría en la educación media, el

desarrollo espacial espontaneo, formas de razonamiento geométrica, ligado al

conocimiento de las propiedades fundamentales de las figuras y las relaciones entre

ellas; es necesario una amplísima base en el conocimiento de las figuras y sus

relaciones, una comprensión de las propiedades del espacio. Los estudiantes poseen

unos conocimientos previos y a partir de estos se realizan actividades entre un vínculo

de interrelación docente – estudiante y su capacidad para desarrollarlas de manera

individual o grupal.

Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas y el

modelo en que se encuentra el joven, se pueden conocer muchos métodos pero no cuál

aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los estudiantes a

utilizar los instrumentos que conoce, con lo que se ubica en un nivel metacognitivo, que

es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los

demás.

59

De Villiers (1999) propone que los profesores planteen a los estudiantes problemas

que les permitan notar las diferentes funciones de las demostraciones como:

explicación, descubrimiento, reto intelectual, sistematización y comunicación; existen

diferentes formas de interpretar la argumentación, vital en el desarrollo de las

demostraciones ya que permiten al estudiante concebir ideas para contextualizar

situaciones problemas desarrollando un aprendizaje significativo además de destreza a

la hora de realizar cualquier problema.

A manera de resumen final es necesario que los problemas geométricos

relacionados con las demostraciones de triángulos congruentes le permitan al estudiante

el desarrollo del razonamiento y argumentación a lo que, Duval 1999 afirma que “todo

lenguaje común incluye términos que permiten indicar una relación lógica entre las

proposiciones: son los conectivos. Así, la elección de los conectivos, cuyo uso sería

inherente a toda técnica de razonamiento, permitiría realizar la distinción”. Aunque en

realidad la situación es más complicada, es importante señalar que se puede distinguir

tres tipos de conectivos; los combinatorios, los argumentativos y los organizativos, y en

base a la existencia de éstos se realizará posteriormente la distinción.

2.3 REFERENTE CONCEPTUAL

Las consideraciones discutidas en este estudio, se dirigen a una explicación común

con relación a la construcción del conocimiento y con ello la comprensión de la

realidad, especialmente mediante el descubrimiento y la solución de problemas, por esta

razón esta investigación se sustenta desde una perspectiva pedagógica, debido a que esta

se relaciona de una u otra manera con el proceso de enseñanza- aprendizaje.

60

A continuación se discuten los aportes teóricos que sustentan los conceptos que son

indispensables para la organización de este trabajo.

Actividades Escolares: Ejercitaciones que forman parte de la programación escolar

y que tienen por finalidad proporcionar a los alumnos la oportunidad de vivenciar y

experimentar hechos o comportamientos tales como pensar, adquirir conocimientos,

desarrollar actitudes sociales, integrar un esquema de valores e ideales y conseguir

determinadas destrezas y habilidades específicas.

Argumentación: Es una variedad discursiva con la cual se pretende defender una

opinión y persuadir de ella a un receptor mediante pruebas y razonamientos, que están

en relación con diferentes: la lógica (leyes del razonamiento humano),

la dialéctica (procedimientos que se ponen en juego para probar o refutar algo) y

la retórica (uso de recursos lingüísticos con el fin de persuadir movilizando resortes no

racionales, como son los afectos, las emociones, las sugestiones.

Competencia: Incluye distintos niveles como saber (datos, conceptos,

conocimientos), saber hacer (habilidades, destrezas, métodos de actuación), saber ser

(actitudes y valores que guían el comportamiento) y saber estar (capacidades

relacionada con la comunicación interpersonal y el trabajo cooperativo). En otras

palabras, la competencia es la capacidad de un buen desempeño en contextos complejos

y auténticos. Se basa en la integración y activación de conocimientos, habilidades,

destrezas, actitudes y valores.

61

Competencia Matemática: Consiste en la adquisición de las habilidades para

aplicar con precisión y rigor los conocimientos y el razonamiento matemático en la

descripción de la realidad y en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Congruencia: Del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de

una característica que se comprende a partir de un vínculo entre dos o más cosas. Para

la matemática, la congruencia es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los

restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un

número natural distinto de 0). Esta expresión se representa con tres rayas horizontales

entre los números y, si les asignamos las variables a y b, se lee de la siguiente

forma: a es congruente con b módulo m. La congruencia matemática, por lo tanto,

refiere a dos números enteros que tienen el mismo resto al dividirlos por un número

natural distinto de cero (el módulo).

Demostración: Es  aquello que se prueba o evidencia. A través de demostraciones,

pueden comprobarse teorías o hipótesis. Es habitual que las demostraciones se lleven a

cabo mediante experimentos o tareas de laboratorio. Las demostraciones

matemáticas están compuestas por razonamientos lógicos que avanzan desde una

hipótesis hasta llegar a una afirmación. Cada uno de estos pasos debe sostenerse a través

de la deducción o de otro método.

Lúdica: Es el mejor medio de aprendizaje existente en la educación porque facilita

el proceso de transmisión y adquisición de conocimientos en distintas áreas.

62

Razonamiento: Es la facultad o capacidad para resolver problemas, y que nos

permite extraer conclusiones, aprendiendo de una manera consciente los hechos, es

decir, aprendemos. A partir del razonamiento, facultad característica solo de los seres

humanos, podemos establecer conexiones, causalidades, mediante la lógica. Esta es la

definición general, porque luego podemos encontrar distintos tipos de razonamiento. Es

característico de los seres humanos, que se diferencian de los demás seres que actúan

por instinto. El ser humano es capaz de pensar, de razonar y además de comunicar lo

que piensa o razona.

Triángulo: es un polígono de tres lados está determinado por tres segmentos de

recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

Zona de Desarrollo Próximo: fue introducido por Lev S. Vigotsky. Es la distancia

entre el nivel actual de desarrollo de un alumno (nivel de desarrollo real), determinado

por la capacidad del individuo de resolver independientemente un problema, y el nivel

de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la

supervisión de un adulto.

3.0 DISEÑO METODOLÓGICO

3.1 Paradigma de Investigación

Esta perspectiva surge como respuesta a las tradiciones positivistas e interpretativas

y pretenden superar el reduccionismo de la primera y el conservadurismo de la segunda,

admitiendo la posibilidad de una ciencia social que no sea ni puramente empírica ni solo

interpretativa.

63

La idea es que el paradigma socio-crítico introduce la ideología de forma explícita y

la autorreflexión critica en los procesos del conocimiento. Tiene como finalidad la

transformación de la estructura de las relaciones sociales y dar respuesta a determinados

problemas generados por éstas. Sus principios son:

Conocer y comprender la realidad como praxis.

Unir teoría y práctica (conocimiento, acción y valores).

Orientar el conocimiento a emancipar y liberar al hombre.

Implicar al docente a partir de la autorreflexión.

Todo esto justifica  el uso de las técnicas de observación, desarrollando así cuatro

procesos cognitivos que aparecen inherentes a esta investigación como son:

comprensión, teorización y recontextualización. Pero a su vez se hace necesario una

forma de ver el mundo; desde esta perspectiva se hace presente el paradigma socio

crítico cuando se hace referencia a que la tarea del investigador se traslada desde el

análisis de las transformaciones sociales hasta el ofrecimiento de respuestas a los

problemas derivados de éstos a partir de una orientación dirigida a la aplicación y su

implicación en la solución de problemas a partir de la autorrelación, se trabaja una

interacción entre sujeto – objeto de estudio por un carácter auto reflexivo y

transformador para ambos logrando así una constante observación participante propicia

para la solución de problemas transformando la realidad a partir de la praxis sin dejar a

un lado la parte teórica, busca la emancipación del individuo y autoliberarse en su

contexto logrando así una perspectiva mejor en el individuo de acuerdo a lo social,

moral, político y crítico ante situaciones cotidianas.

3.2 Tipo de Investigación

64

Bajo esta perspectiva desde el enfoque metodológico se hace referencia a la

investigación acción en la medida que es una metodología que apunta a la a una

variedad de usos y sentidos utilizada para describir una familia de actividades que

realiza el profesorado en las aulas con fines tales como: el desarrollo curricular, su

autodesarrollo profesional, la mejora de los programas educativos, los sistemas de

planificación o la política de desarrollo, que son implementadas y más tarde sometidas a

observación, reflexión y cambio. Se considera como un instrumento que genera cambio

social y conocimiento educativo sobre la realidad social y/o educativa, proporciona

autonomía y da poder a quienes la realizan.

El término "investigación acción" proviene del autor Kurt Lewis y fue utilizado por

primera vez en 1944. Describía una forma de investigación que podía ligar el enfoque

experimental de la ciencia social con programas de acción social que respondiera a los

problemas sociales principales de entonces. Mediante la investigación – acción, Lewis

argumentaba que se podía lograr en forma simultáneas avances teóricos y cambios

sociales.

El termino investigación-acción hace referencia a una amplia gama de estrategias

realizadas para mejorar el sistema educativo y social. Existen diversas definiciones de

investigación-acción; las líneas que siguen recogen algunas de ellas Elliott, el principal

representante de la investigación-acción desde un enfoque interpretativo define la

investigación-acción en 1993 como «un estudio de una situación social con el fin de

mejorar la calidad de la acción dentro de la misma». La entiende como una reflexión

sobre las acciones humanas y las situaciones sociales vividas por el profesorado que

65

tiene como objetivo ampliar la comprensión (diagnóstico) de los docentes de sus

problemas prácticos. Las acciones van encaminadas a modificar la situación una vez

que se logre una comprensión más profunda de los problemas.

Con Kemmis (1984) la investigación-acción no sólo se constituye como ciencia

práctica y moral, sino también como ciencia crítica. Para este autor la investigación-

acción es:

Una forma de indagación autorreflexiva realizado por quienes participan

(profesorado, alumnado, o dirección por ejemplo) en las situaciones sociales

(incluyendo las educativas) para mejorar la racionalidad y la justicia de: a) sus

propias prácticas sociales o educativas; b) su comprensión sobre las mismos; y

c) las situaciones e instituciones en que estas prácticas se realizan (aulas o

escuelas, por ejemplo).

Lomax (1990) define la investigación-acción como «una intervención en la práctica

profesional con la intención de ocasionar una mejora». La intervención se basa en la

investigación debido a que implica una indagación disciplinada. Para Bartolomé (1986)

la investigación-acción «es un proceso reflexivo que vincula dinámicamente la

investigación, la acción y la formación, realizada por profesionales de las ciencias

sociales, acerca de su propia práctica. Se lleva a cabo en equipo, con o sin ayuda de un

facilitador externo al grupo».

66

Lewin (1946) contempla la necesidad de la investigación, de la acción y de la

formación como tres elementos esenciales para el desarrollo profesional Los tres

vértices del ángulo deben permanecer unidos en beneficio de sus tres componentes.

Esquema nº 1 Elementos esenciales para el desarrollo profesional.

Según este autor la investigación acción tiene un doble propósito, de acción para

cambiar una organización o institución, y de investigación para generar conocimiento y

comprensión. La investigación-acción no es ni investigación ni acción, ni la intersección

de las dos, sino el bucle recursivo y retroactivo de investigación y acción.

Kemmis y McTaggart (1988) han descrito con amplitud las características de la

investigación-acción. Las líneas que siguen son una síntesis de su exposición. Como

rasgos más destacados de la investigación-acción se citan las siguientes:

Es participativa. Las personas trabajan con la intención de mejorar sus propias

prácticas.

La investigación sigue una espiral introspectiva: una espiral de ciclos de

planificación, acción, observación y reflexión.

67

Es colaborativa, se realiza en grupo por las personas implicadas.

Crea comunidades autocríticas de personas que participan y colaboran en todas

las fases del proceso de investigación.

Es un proceso sistemático de aprendizaje, orientado a la praxis (acción

críticamente informada y comprometida).

Induce a teorizar sobre la práctica.

Somete a prueba las prácticas, las ideas y las suposiciones.

Implica registrar, recopilar, analizar nuestros propios juicios, reacciones e

impresiones en torno a lo que ocurre; exige llevar un diario personal en el que se

registran nuestras reflexiones.

Es un proceso político porque implica cambios que afectan a las personas.

Realiza análisis críticos de las situaciones.

Procede progresivamente a cambios más amplios.

Empieza con pequeños ciclos de planificación, acción, observación y reflexión,

avanzando hacia problemas de más envergadura; la inician pequeños grupos de

colaboradores, expandiéndose gradualmente a un número mayor de personas.

El propósito fundamental de la investigación-acción no es tanto la generación de

conocimiento como el cuestionar las prácticas sociales y los valores que las integran con

la finalidad de explicitarlos. La investigación-acción es un poderoso instrumento para

reconstruir las prácticas y los discursos sociales. Así pues la investigación-acción se

propone:

Mejorar y/o transformar la práctica social y/o educativa, a la vez que

procurar una mejor comprensión de dicha práctica.

68

Articular de manera permanente la investigación, la acción y la formación.

Acercarse a la realidad: vinculando el cambio y el conocimiento.

Convertir a los prácticos en investigadores.

3.2.1 Etapas de la Investigación

El Proceso de Investigación-Acción.

Los ciclos de la investigación acción son más formas de disciplinar los procesos de

investigación que formas de representar la investigación. Ayudan a organizar el

proceso. Por lo general se trasforman en nuevos ciclos, de modo que la investigación

puede verse como una “espiral de espirales”. También puede verse como una “espiral

autoreflexiva”, que se inicia con una situación o problema práctico, se analiza y revisa

el problema con la finalidad de mejorar dicha situación, se implemente el plan o

intervención a la vez que se observa, reflexiona, analiza y evalúa, para volver a

replantear un nuevo ciclo.

El modelo de Hemmis, cuyas fases de la espiral son planificación acción,

observación y reflexión, tiene la finalidad de proporcionar los elementos y directrices

para poder realizar un proyecto de investigación. El proceso es flexible y recursivo, que

va emergiendo en la medida que se va realizando. Tienen el propósito de ayudar y

orientar, un proyecto siempre debe desarrollarse y ajustarse a la situación personal de

cada uno.

Planificación.

69

Se inicia con una “idea general” con el propósito de mejorar o cambiar algún

aspecto problemático de la práctica profesional. Identificado el problema se diagnostica

y a continuación se plantea la hipótesis acción o acción estratégica. Kemmis plantea tres

preguntas: ¿Qué está sucediendo ahora? ¿En qué sentido es problemático? ¿Qué puedo

hacer al respecto? Dentro del plan de acción podemos considerar al menos tres aspectos.

El problema de Investigación.

El Diagnóstico del Problema o Estado de la Situación.

Identificado el problema es preciso hacer un reconocimiento o diagnóstico del

mismo. La finalidad es hacer una descripción y explicación comprensiva de la situación

actual.

La Hipótesis Acción o Acción Estratégica.

Un momento importante es la formulación de la propuesta de cambio o mejora: la

hipótesis acción o acción estratégica. Es un momento decisivo en el proceso; de su

planteamiento dependerá el éxito del proyecto de investigación. En la investigación, la

acción es el centro del proceso y la investigación se pone a su servicio.

Acción.

En la investigación acción la reflexión recae principalmente sobre la acción; esto es

porque el énfasis se pone en la acción más que en la investigación; la investigación

es así mismo revisada, pero su función principal es servir a la acción.

Observación.

70

La observación recae sobre la acción, ésta se controla y registra a través de la

observación. La investigación acción prevé una mejora de la práctica profesional, la

información obtenida nos permite identifica evidencias o pruebas para comprender

si la mejora ha tenido lugar o no.

Como Supervisa la Acción.

Observar y supervisar la acción es algo más que la simple recogida de datos, es la

generación de datos para reflexionar, evaluar y explicar lo ocurrido. La observación

recae en la propia acción y en la acción de otras personas. Es importante recordar

que:

Se necesita utilizar técnicas de recogida de datos que aporten evidencias de

la calidad del curso de acción emprendido.

Se deben utilizar técnicas que pongan de manifiesto los efectos derivados de

la acción, tanto los buscados como los imprevistos.

Acciones que Pueden Supervisarse para Generar Información.

Autoobservar la propia acción: identificar intenciones y motivaciones antes de la acción

y las subsiguientes reflexiones durante la acción.

Supervisar la acción de otras personas: Como investigador en la acción intentará

persuadir a otras personas a que se involucren en el proyecto de investigación.

Supervisar conversaciones críticas sobre la investigación: Conversaciones críticas tienen

lugar durante todo el proceso de la investigación. Éstas generan información que puede

ser útil para recoger datos sobre el proceso.

Cómo Recoger la Información.

71

Disponer de tres vías o maneras de averiguar lo que pasó. Observar lo que las personas

dicen o hacen y tratar de descubrir lo que ocurrió, o preguntarles sobre lo que ocurrió, o

también podemos analizar los materiales o huellas que dejaron. Como investigador en la

acción puede observar los efectos de su acción en otros y puede solicitar a otros que

observen su acción, preguntar a otras personas implicadas en la investigación por sus

puntos de vista, o analizar todo tipo de material de referencia.

Reflexión.

Constituye la fase que cierra el ciclo y da paso a la elaboración del informe y

posiblemente el replanteamiento del problema para iniciar un nuevo ciclo de la espiral

autoreflexiva. Constituye uno de los momentos más importantes del proceso de

investigación acción es una tarea que se realiza mientras persiste el estudio.

Tareas Básicas del Proceso de Análisis de Datos.

a) Recopilación de la información. d) Reducción de la información.

b) Disposición, representación de la información. e) Validación de la información.

c) Interpretación de la información.

3.3 Población y Muestra

La Institución Educativa Distrital Esther de Peláez es de carácter oficial ubicada en

el barrio abajo con dirección correspondiente a la Carrera 54 # 49 -09, ofrece todos los

niveles de escolaridad como: preescolar, básica primaria, básica secundaria y media

72

vocacional, con una modalidad mixta para dos jornadas mañana. Para el desarrollo de la

investigación se tomaron Jóvenes de 13 y 14 años que se encuentran cursando el grado

octavo de la jornada de la mañana, estos niños presentan algunas características propias

acordes con su edad, pero en ocasiones no muestran interés hacia la geometría debido a

la forma en como se le ha enseñado. La muestra tomada para trabajar es de tipo no

probabilística intencionada, de 24 estudiantes.

3.4 Técnicas para la Recolección de la Información

La recolección de datos son todos esos instrumentos que se aplican en un momento

en particular, con la finalidad de buscar información que será útil a una investigación en

común. La presente investigación trata con detalle los pasos que se debe seguir en el

proceso de recolección de datos, con las siguientes técnicas: encuestas a estudiantes, la

entrevista semi estructurada a profesores y estudiantes, el diagnóstico, grupo de

discusión con los estudiantes y una evaluación final.

Encuestas: Las encuestas hacen preguntas específicas y tienden a incluir respuestas

cortas, respuestas múltiples y preguntas-respuestas de escala. Las encuestas se pueden

hacer en la red de Internet, a través del correo y pueden ser llevadas a cabo en persona.

La forma más efectiva de llevar a cabo encuestas es frente a frente con otra persona

como en forma de entrevista para que el encuestador pueda entablar una relación

personal con el encuestado. Las encuestas ayudan más a recolectar información de un

número grande de personas y para recolectar información cuantitativa como números

que para recolectar data cualitativa, como historias personales. Las encuestas te pueden

ayudar a la hora de exigir cambios a la política y los medios tienden a responder mejor

73

con números y data cuantificable.

Se asignarán entrevistas no estructuradas al docente y a un grupo de 10 estudiantes,

quienes deben manifestar su consentimiento en la participación de la misma. De

acuerdo a Goetz y Lecompte (1988) y Parra (1995), son formas de intercambio cara a

cara entre el investigador y el entrevistado haciendo la tarea mucho más espontánea.

Para ello es necesario hacer un bosquejo con una serie de preguntas de manera escrita

y sin un orden establecido de manera rigurosa.

Estas entrevistas se realizaran después de aplicado el diagnostico con la finalidad de

que los estudiantes formen un criterio de todos los aspectos del proceso de la enseñanza

– aprendizaje, así como las perspectivas que tienen para mejorar. Como técnica

cualitativa, la entrevista es una de las vías más comunes para investigar la realidad

social. Permite recoger información sobre acontecimientos y aspectos subjetivos de las

personas: creencias y actitudes, opiniones, valores o conocimiento, que de otra manera

no estaría al alcance del investigador (Rodríguez y otros, 1999; Acevedo, 1988; Arnal y

otros 1995).

Para elegir el tema de la entrevista, en principio se tiene que tener algún

conocimiento sobre la temática a estudiar, esto se puede conseguir a través de la

consulta de fuentes, que pueden ser documentales archivos de diarios, de instituciones

públicas, internet y testimonios directos protagonista, testigos, allegados, adversarios de

los protagonista, y especialistas en el tema. En esta investigación se optó por la

74

aplicación de un diagnóstico y un sondeo a través de preguntas hacia los estudiantes y

no una observación del evento pedagógico, ya que la geometría no se desarrolla dentro

del horario de clases solo nociones muy básicas de años anteriores, de todo esto

surgieron los interrogantes que hicieron parte de la entrevista, de esta forma es como el

autor indica que de esas charlas seguramente surgirán ideas, o hipótesis de investigación

(Acevedo, 1988).

Este tipo de entrevista que se utilizó no necesariamente requiere una secuencia,

porque las preguntas que se elaboraron fueron de carácter abierto y el entrevistado en

este caso los docentes y estudiantes construyen su propia respuesta.

Según Krueger (1988): "Un grupo de discusión puede ser definido como una

conversación cuidadosamente planeada. Diseñada para obtener información de un área

definida de interés" (Pág.24). En efecto, un grupo de discusión permite a través de un

procedimiento adecuado, con un moderador experto, recabar información relevante para

el objetivo central de la investigación. Por otro lado, es de vital importancia tener en

cuenta a la hora de la convocatoria de un grupo de discusión el número de integrantes,

sus características y muy especialmente su formación profesional.

La idea es que el grupo de discusión es una técnica de investigación que se inscribe

en un campo de producción de discursos, en el análisis de procesos reflexivos

individuales y colectivos, el objetivo general de esta técnica en el marco de la presente

investigación es detectar opiniones y argumentos que justifiquen una actuación

determinada, en nuestro caso ajustada a los resultados de las observaciones de clases a

75

los profesores, para valorar en colectivo los factores que están afectando el desarrollo de

los estudiantes en geometría.

La evaluación final es el proceso por el cual se valoran los aprendizajes y las

competencias que han desarrollado las personas al terminar el estudio de un módulo,

con el fin de acreditarlo.

Los propósitos de la evaluación final son:

Reconocer y acreditar las competencias desarrolladas por las personas al estudiar

los módulos.

Realimentar el proceso educativo.

Certificar la primaria y la secundaria.

3.5 Análisis e Interpretación de la Información

3.5.1 Análisis de la Prueba Diagnóstica

Categorías Aspectos Dato estadístico

SI NO %

76

Concepto de TriánguloEl conocimiento hacia la figura geométrica es básico.

14 10 100%58% 42%

Elementos del Triángulo (gráfica)

Manejan los elementos básicos del triángulo y los identifican con dificultad.

14 10 100%58% 42%

Congruencia de Triángulo

No conocen la congruencia y criterios en los triángulos.

0 24 100%

Congruencia (Gráfica)Saben ubicar cuales son iguales o congruentes pero no justifican las razones de congruencia,

0 24 100%

Construcción de Figuras (Triángulo)

Todos coinciden en el desconocimiento de la simbología y las definiciones para la construcción de triángulos,

0 24 100%

Tabla nº1 Prueba Diagnóstica.

77

Ilustración nº 1 Gráfico de la Prueba Diagnóstica.

Análisis: Después de la aplicación de la prueba diagnóstica en octavo grado, los

resultados arrojados muestran las dificultades presentadas por los estudiantes en lo

relacionado a los conceptos básicos de triángulos, los elementos que lo conforman, la

congruencia, así como la forma de representarla gráficamente y la construcción de

figuras (triángulos); a pesar del nivel educativo en el que se encuentran ubicados, el

conocimiento hacia esta asignatura es deficiente reflejado en los resultados de la prueba

diagnóstica.

3.5.2 Entrevista a Docentes

Concepto de tr

iángulo

Congruencia (g

ráfica)

Congruencia de tr

iángulo

Construcci

ón de figuras (tri

ángulo)

Elementos del tr

iángulo (gráfica

)0

10

20

30

14

0 0 0

1410

24 24 24

10

Prueba Diagnóstica

Suma de SISuma de NO

78

Docentes entrevistados: 4

Categorías Análisis / reflexión

Aprendizaje de la Geometría

Tres de los docentes encajan en que el aprendizaje de la geometría se caracteriza por ser concreto, visual, creativo, generador de ideas a partir de actividades lúdicas para captar la atención de los estudiantes, mientras que el otro docente afirma que el aprendizaje en los estudiantes se caracteriza porque no tienen la actitud adecuada, no cuentan con los materiales básicos; además la institución no posee el espacio adecuado, la intensidad horaria es débil haciendo difícil el proceso de enseñanza- aprendizaje en los educandos.

Competencias Matemáticas

Dos de los docentes coinciden, que las competencias que desarrolla el estudiante al aprender geometría son: argumentación, comunicación, razonamiento e interpretación, mientras que los otros docentes afirmaban como competencias la visualización del conocimiento, habilidades específicas, de dibujo, lógicas y de aplicación. etc. Ante esto es preciso señalar que dos docentes describían características pertenecientes a las competencias pero en si no mencionaban el nombre como tal de las competencias de geometría en octavo grado, dando a conocer el desconocimiento hacia este aspecto tan vital en el desarrollo del conocimiento de los estudiantes.

Metodología

La postura de tres docentes corresponde a que una forma adecuada de trabajar es partiendo de lo básico a lo abstracto, siendo prácticos a través de la realización de talleres y actividades basadas en la realidad y el entorno que los rodea, en el mismo sentido el otro docente utiliza la tecnología apoyada en el uso de las TICS para lograr un buen aprendizaje en los estudiantes en la asignatura de geometría.

Estrategias de Aula

Los argumentos de los docentes se inclinan hacia realizar estrategias lúdicas, solución de situaciones problemas que posibiliten el razonamiento y la argumentación o en su defecto sean formuladas por los estudiantes; además, la aplicación de software interactivos, pero a su vez los docentes afirman que es demasiado difícil aplicar estas estrategias en colegios públicos en donde muchas veces no hay los recursos necesarios, ni tampoco estudiantes idóneos, debido a la falta de organización en el sistema educativo nacional.

79

Desempeño de los Estudiantes

Los docentes concuerdan que el nivel de los estudiantes es bajo, ya que no hay el espacio, solo se ve como una unidad para finalizar el programa y no como una asignatura, por lo que no se avanza dando siempre lo mismo, es decir, desarrollando los mismos contenidos básicos, todo ello debido al tiempo y otros aspectos que no permiten la asimilación del aprendizaje en los estudiantes.

Tabla nº 2 Entrevista a Docentes.

Análisis: Las apreciaciones dadas por los docentes permiten reconocer la posición

que tienen respecto a la problemática vivida por los estudiantes de octavo grado; en lo

relacionado al aprendizaje de la geometría para desarrollar competencias en los

estudiantes, los docentes confunden cuales son las competencias matemáticas por lo

que, Pólya (1990), en Alfaro (2006) expresa que la parte más importante de la forma de

pensar que se desarrolla en matemática es la correcta actitud de la manera de cometer y

tratar los problemas, tenemos problemas en la vida diaria, en las ciencias, en la política,

tenemos problemas por doquier. La actitud correcta en la forma de pensar puede ser

ligeramente diferente de un dominio a otro pero solo tenemos una cabeza y por lo tanto

es natural que en definitiva allá sólo un método de acometer toda clase de problemas. Es

así como lo señalado por Pólya, hace énfasis a la enseñanza de la matemática

desarrollando tácticas en la Resolución de Problemas.

En efecto Quintanilla, Labarrere, Díaz & Santos (2007), proponen unas

características de los estudiantes competentes:

1. Desarrolla maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar

matemático competente.

2. Aborda tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la

creación, la comunicación y la gestión.

80

3. Desarrolla actividad matemática estudiantil con modelos y situaciones

(orientación en contextos).

4. Despliega competencias de autoreferencia y autorregulación de su desempeño en

la actividad matemática.

En este orden de ideas los lineamientos en matemáticas afirman que el pensamiento

espacial debe privilegiarse mediante el estudio de la geometría plana para los grados

séptimo, octavo modelada por situaciones problémicas donde el estudiante se motive al

estudio a partir de las reflexiones que le motive el problema, que piense, dialogue y

ejecute posibles soluciones geométricas, basándose en sus conceptos previos donde el

papel del docente será modelar este proceso para posibilitar el desarrollo del

pensamiento espacial (MEN 1998). Es decir desarrollar estudiantes competentes en las

aulas de clases; pero es a partir de la problemática que se evidencia en esta

investigación que los docentes no van por el camino adecuado debido a limitantes en los

recursos didácticos, la actitud presente en estudiantes y docentes; además de la

exclusión de la asignatura en el horario de clases, llevando consigo el bajo nivel

académico de los estudiantes de octavo grado en geometría.

3.5.3 Entrevista a Estudiantes.

Categoría Análisis / reflexión

Concepto de Triángulo

Los estudiantes de octavo grado coinciden que el conocimiento que poseen sobre el triángulo es básico porque en la institución no se da la asignatura, además manifiestan querer aprender más.

81

Desempeño en la Prueba DiagnósticaAfirman que lo poco que saben lo dieron de manera superficial y siempre lo mismo no permitiendo el avance en el desarrollo de los contenidos en geometría.

Mejorar el Desempeño en Geometría

Manifiestan que leyendo más, participando en clase, que se encuentre la asignatura dentro del horario de clases no solo en este grado sin en toda la institución.

Enseñanza y Aprendizaje de Triángulos Congruentes

Contando con una buena disposición para aprender por parte de los estudiantes, encaminada al respeto, que las clases sean siempre diferentes con actividades lúdicas y no monótonas permitiendo el razonamiento y argumentación en cada temática.

Tabla nº 3 Entrevista a Estudiantes.

Análisis: Partiendo de los resultados de los estudiantes en la prueba ellos

argumentan que sus dificultades se deben a los limitantes en los recursos didácticos a la

ausencia de la geometría en la intensidad horaria dentro del horario de clases, además de

la actitud negativa que con frecuencia manejan los estudiantes hacia la asignatura,

quizás por las actividades desarrolladas por el docente que en su mayoría son

monótonas y repetitivas.

3.5.4 Encuesta a Estudiantes

Categorías Aspectos Dato estadísticoSI NO

Atracción por la Geometría

Reflejan positivamente una compatibilidad hacia la geometría.

10 2

83% 17%

82

Horario de GeometríaAseguran que la asignatura no se encuentra en el horario de clases.

0 12

100%

Desarrollo de la Clase Afirman que no dan esta asignatura por lo que no contestan la pregunta.

0 0

100%

Conocimiento deCongruencia

Coinciden que no han visto este tema en la asignatura de geometría.

0 12

100%

Situaciones Matemáticas

La repuesta está dividida más de la mitad confirma que no hay espacios en la clase que propicie el razonamiento y

3 9

25% 75%

Desempeño Describen que su desempeño tiende a ser regular y deficiente.

Bueno Regular Deficiente

1 6 5

8% 50% 42%

Tabla nº 4 Encuesta a Estudiantes.

83

Ilustración nº 2 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes.

Ilustración nº 3 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes (Desempeño en Geometría).

Análisis: Las respuestas de los estudiantes reflejan y argumentan con claridad la

8%

50%

42%

Encuesta a EstudiantesDesempeño en Geometría

BuenoRegularDeficiente

84

problemática vivida, dando a conocer las causas probables en la asignatura de

geometría, dando como resultado el bajo desempeño de los educandos. Coinciden en

que aunque no conocen la geometría porque no la ven en la institución les gustaría

aprenderla. En la misma línea es importante resaltar que la asignatura no se encuentra

dentro de la intensidad horaria por lo que el desempeño de esta no es el más favorable

como se ha mencionado anteriormente, por tal motivo los estudiantes no podían

calificar la clase de geometría si no la dan, del mismo modo argumentan el gusto por lo

desconocido, pero es claramente reflejado el desconocimiento hacia la congruencia de

triángulos como los espacios de racionamiento y argumentación matemática que

desarrollan en el estudiante la destreza y la auto reflexión crítica en situaciones

problemas.

3.5.5 Síntesis de la Triangulación

La triangulación de los datos cualitativos de la enseñanza de los triángulos

congruentes y la adquisición de la competencia de razonamiento y argumentación

matemática, ha mostrado que los datos, y aportaciones por las distintas fuentes fueron

mayormente concordantes. Esta concordancia ha permitido confirmar que las

tendencias observadas fueron similares a las provistas por las entrevistas. Esta

triangulación ha dejado ver que la mayoría de las actitudes de los docentes se

encuentran fundamentadas en ideas tradicionales no ajustadas a las necesidades o

exigencias de los estudiantes de octavo grado, ya sea porque ese sea su método de

enseñanza o por que las circunstancias así lo ameritan y se ve reflejado durante su

práctica docente.

Al mismo tiempo, los datos de las estrategias de aula y la metodología de enseñanza

que implementan en sus clases reflejaron la misma tendencia, han confirmado que los

85

docentes tienen un conocimiento amplio pero se ve restringido debido a la situación de

la institución educativa y a la desorganización en el plan de estudios.

La evidencia aportada por la triangulación indica que la enseñanza de los triángulos

congruentes no se ha desarrollado debido a los espacios y la poca importancia hacia la

asignatura de geometría. Esta afirmación se sostiene en los resultados de las actitudes de

los docentes y estudiantes ante la enseñanza - aprendizaje de la geometría y de los

triángulos congruentes. Después del análisis de las distintas fuente de información,

donde la triangulación es importante para ofrecer alguna aproximaciones de alcance

pedagógico y de investigación, como conclusiones del problema investigado, se

determinó la presencia de una serie de dificultades en cuanto a la enseñanza y

aprendizaje de los triángulos congruentes en la asignatura de geometría en la institución

educativa, como son la poca utilización de estrategias pedagógicas por parte de los

docente al momento de impartir sus conocimientos, el poco espacio, la mala

organización en la intensidad horaria además de la poca importancia de la asignatura de

geometría en las instituciones educativas. Las cuales han provocado en los estudiantes

un desempeño bajo no permitiendo el desarrollo del pensamiento geométrico y las

debidas competencias matemáticas que el estudiante debe dominar en este nivel de

básica secundaria.

Con la implementación de estrategias y actividades concretas de fenómenos y

cuerpos geométricos se mantendrá activa el desarrollo de la competencia de

86

razonamiento y argumentación matemática, además de potenciar el pensamiento

geométrico, solo faltaría motivación y desempeño por parte del docente y estudiantes

para la realización de actividades prácticas en el aula, ajustándolas al contexto, con el

fin de no limitarse a los pocos recursos que ofrece la institución educativa, ya que en

muchas ocasiones no se cuenta con lo más básico o necesario para su realización y que

esto no sea obstáculo sino que se presenten alternativas como actividades concretas con

materiales sencillos cotidianos; permitiéndole al estudiante lograr un aprendizaje

significativo, de igual forma sentirse competentes desarrollando su propio conocimiento

facilitándole el desarrollo de situaciones problemas.

Atracci

ón por la G

eometría

Conocimiento de Congruencia

Desarro

llo de la

Clase

Horario de G

eometría

Situacio

nes Matemática

s0

2

4

6

8

10

12

14

10

0 0 0

32

12

0

12

9

Encuesta a Estudiantes

Suma de SISuma de NO

88

4.2 Presentación

La siguiente propuesta nace de la inquietud de este grupo investigador quienes con

muchos interrogantes y reflexiones, pretenden que la enseñanza de las demostraciones

de triángulos congruentes en la Institución Educativa Esther de Peláez, contribuya al

desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación, para así a las

necesidades y/o problemas observados en los eventos pedagógicos de la enseñanza-

aprendizaje de la geometría en octavo grado.

Los estudiantes de octavo grado emplean estrategias en el aprendizaje de la

geometría. Entre estas estrategias están la imitación, la incorporación de figuras o

modelos representativos del entorno, herramientas de trabajo como: la regla, compás y

transportador. Son entusiastas, curiosos, interesados en el aprendizaje de la geometría.

Cada palabra nueva, cada tema diferente es una curiosidad nueva para ellos y la

repetirán mil veces hasta aprenderla.

A la hora en la que el docente se da a la tarea de enseñar geometría, debe emplear

técnicas y metodologías de enseñanza que estén a la vanguardia. Además debe apoyarse

en material didáctico como: afiches, murales que tengan que ver con el tema, juegos, y

utilizar elementos del entorno como medio para lograr que los estudiantes comprendan

las diversas características e importancia de la geometría. Por ejemplo: si se va a

enseñar el concepto de triángulo y los elementos es conveniente partir de actividades

concretas del entorno o construidas por los estudiantes de forma que se evidencie la

competencia de razonamiento y argumentación.

89

4.3 Justificación

“Si un estudiante sabe repetir una demostración, pero no sabe repetirla si se

cambian las letras o la posición del polígono, significa que ha aprendido la

demostración de memoria y esto sí no tiene ningún valor. Mejor dicho: tiene un valor

altamente negativo, pues significa que el alumno, no solamente ignora tal demostración,

sino que desconoce totalmente lo que es la Matemática y que ha desperdiciado el uso de

la memoria con un objetivo inútil y nada educativo”(Santaló, 1962).

Muchas veces, en la tarea docente, hemos enfrentado la situación en la cual los

estudiantes de octavo grado no comprenden la necesidad de la demostración de

propiedades en matemática. En ciertas oportunidades se contentan con una simple

verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente. Aun cuando

puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario demostrar una

propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en las ciencias

formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas demostraciones.

Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas satisfactoriamente

por los estudiantes en la escuela.

El diseño e implementación del recurso didáctico ayudan a ejercitar las habilidades

de los estudiantes y también a desarrollarlas, Facilitan la comprensión de lo que se

estudia al presentar el contenido de manera tangible, observable y manejable,

desarrollando la competencia razonamiento y argumentación en los estudiantes de grado

octavo por medio de las demostraciones de triángulos congruentes, utilizando

herramientas didácticas encaminadas a facilitar su aprendizaje.

90

El presente proyecto busca implementar una propuesta pedagógica como

mecanismo para desarrollar en los estudiantes de grado octavo la competencia de

razonamiento y argumentación en la Institución Educativa Esther de Peláez de una

forma práctica, en la que se trabajaran diferentes tipos de aprendizaje como base para

dicho proceso de mediación, pues es claro que no son suficientes los elementos

utilizados por los maestros, de tal manera se hace necesario diseñar una propuesta

pedagógica.

Es conveniente comprender como parte fundamental que el razonamiento permite al

estudiante aprender, conocer y en general dar uso a su actividad cognitiva, con el

propósito de responder al mundo que lo rodea en lo personal, lo social y en general en

todos los escenarios que le permitan interactuar con los demás.

En definitiva, supone aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar,

comprender una argumentación matemática, expresarse y comunicarse en el lenguaje

matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas. El proyecto contribuye al

desarrollo de esta competencia ya que planea la resolución de un problema de la

realidad (deben construir las figuras congruentes, deben hacer algo con lo que van

aprendiendo). Además se trabaja el manejo de elementos matemáticos básicos: medidas,

ángulos, figuras geométricas…Por otra parte, se fomenta la comprensión, la expresión y

el razonamiento, ya que en primer lugar deben interpretar la información con la que

cuentan, aplicarla en contextos reales (construcción de figuras y demostraciones) y

ponerla en común con los compañeros.

91

4.4 Objetivos:

4.4.1 Objetivo General:

Brindar orientaciones para desarrollar la competencia de razonamiento y

argumentación matemática en los estudiantes de octavo grado, a través de estrategias

lúdicas, actividades concretas que el estudiante pueda construir poniendo en juego el

contexto y el grado de formalización requerido.  

4.4.2 Objetivos Específicos:

Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por medio de dibujos.

Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.

Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.

Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.

Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la

construcción de demostraciones de triángulos congruentes.

Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de

triángulos congruentes.

92

4.5 Metodología

Se trata de una metodología particular, fruto de la reflexión, del trabajo y la

experiencia, permite desarrollar un análisis participativo, donde los actores implicados

se convierten en los protagonistas del proceso de construcción del conocimiento de la

realidad sobre el objeto de estudio, en la detección de problemas y necesidades y en la

elaboración de soluciones planteando el para qué y el para quién de la investigación

como primer problema a resolver.

Con el fin de detectar esas demandas reales relacionadas con el objeto de estudio y

concretarlas en propuestas de acción ajustadas a necesidades sentidas, se desarrolla un

proceso de investigación que apunta a la transformación mediante el trabajo individual y

colectivo, con sensibilidades o intereses comunes, lo cual facilita una movilización

hacia la implicación ciudadana que favorece la creatividad social en beneficio de toda la

comunidad local. El conocimiento de la realidad se construye progresivamente en un

proceso participativo en el cual los actores implicados "tienen la palabra", y de este

modo se crean las condiciones que facilitan espacios de reflexión, programación y

acción social relacionados con los problemas que plantea el objeto de estudio.

Para crear esas condiciones necesarias se aplica un procedimiento de investigación

riguroso bajo el enfoque de la denominada Investigación-Acción, que apunta a una

variedad de usos y sentidos utilizada para describir una familia de actividades que son

implementadas y más tarde sometidas a observación, reflexión y cambio. Se considera

como un instrumento que genera cambio social y conocimiento educativo sobre la

realidad social y/o educativa, proporciona autonomía y da poder a quienes la realizan.

93

Por eso se trabaja con grupos humanos, con el fin de transformar su entorno, a partir

del conocimiento crítico de la realidad que les rodea y de la puesta en marcha de un

conjunto de estrategias y propuestas vertebradoras, propicia la conversación y el diálogo

como mecanismos con los que crear procesos donde los sujetos afectados aporten, tras

la reflexión, soluciones a sus problemas. Construyendo las respuestas con los distintos

agentes sociales (estudiantes) se abre un gran abanico de posibilidades, pero las

respuestas, soluciones y propuestas de acción se ajustarán más a la realidad concreta, en

la medida en que han sido participadas y compartidas.

El proceso de investigación ha permitido avances sustantivos, con resultados que

varían en concreción y alcance. Esta metodología combina dos procesos, el de conocer

y el de actuar, implicando en ambos a la población cuya realidad se aborda. Es un

proceso que combina la teoría y la praxis, y que posibilita el aprendizaje, la toma de

conciencia crítica de la población sobre su realidad, su dedicación el refuerzo y

ampliación de su movilización colectiva y su acción transformadora.

94

4.6 Plan de Acción

Objetivo Actividad Acciones Recursos Evaluación

Identificar el triángulo y los elementos que lo

componen por medio de dibujos.

El pictionary geométrico Trabajo en equipo Imágenes, papel, marcador y cronometro

Durante el desarrollo de la actividad de manera individual, grupal.

Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.

Reinado de triángulos Socialización y trabajo individual

Vestuario, tarjetas, el salón de clases, internet, decoraciones alusivas al

tema

Se da de forma individual.

Desarrollar las características de los

triángulos según los lados.Todos al triángulo Trabajo grupal

Tiza de diferentes colores, el patio, dibujos, internet

Durante la actividad con el interés y participación

de cada estudiante.

Conceptualizar la clasificación de los

ángulos según la posición.

Juguemos con los ángulos y su posición Trabajo grupal Transportador, hojas,

mensajes con pistas, internet

Se realiza en el desarrollo de la actividad.

95

Aplicar los criterios de congruencia en los

triángulos.

Tablero preguntónTrabajo individual

Tablero, dados, imágenes, tablero del juego

Durante el desarrollo de la clase y con la

participación de cada estudiante de manera

individual.

Determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir de las construcciones con

información dada en los estudiantes de octavo

grado.

Torres de encaje triangular Trabajo grupal

4 bases de madera con vástago, reglas,

transportador, fomis de colores, tijeras

Cada grupo va a entregar un documento escrito de manera creativa donde este consignado paso a

paso todo el trabajo realizado durante la

actividad.

Registrar los conceptos de teoremas, postulados y

propiedades para la construcción de

demostraciones de triángulos congruentes.

La v de Gowin en teoremas, postulados y

propiedadesTrabajo individual

Internet, libros de geometría, v de Gowin

Se realiza durante la actividad buscando el

ingenio y creatividad de cada estudiante.

96

Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de triángulos congruentes.

¡Busquemos parejas! Trabajo individual Cartón paja, colores, marcadores, internet y triángulos congruentes

El razonamiento y justificación de cada

estudiante al encontrar una pareja de triángulos

congruentes.

Identificar, contrastar y aplicar condiciones suficientes para el desarrollo de las

demostraciones con triángulos congruentes.

Cerillos triangulares Trabajo en parejasCerillos, cartón paja, hojas

de block, silicona.

Se realiza de manera individual, teniendo en

cuenta la responsabilidad y buen desarrollo de las

demostraciones.

Realizar demostraciones de triángulos congruentes

para el desarrollo de la competencia razonamiento

y argumentación.

Triángulos en fomi Trabajo en parejasFomis escarchados,

cartulinas de colores, tijeras, goma, reglas,

block

El análisis y justificación de los pasos dados para la

realización de la demostración.

97

ACTIVIDAD Nº 1

EL PICTIONARY GEOMÉTRICO

Objetivo: Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por medio de

dibujos.

Descripción de la actividad

Desarrollar el concepto de triángulo y sus elementos dando una explicación teórica

previa a la realización práctica del tema por medio del juego. Se van a utilizar imágenes

y una lluvia de ideas para indagar sobre esta figura geométrica y lo que la conforma,

posteriormente se aplica el pictionary geométrico de la siguiente manera:

Dividir el curso en 4 grupos de 6 estudiantes cada uno, en el tablero se coloca un papel

grande y marcador para cada representante del grupo que pase al frente. Se necesitan

tarjetas con las palabras correspondientes a los elementos que conforman al triángulo,

clasificándolas por colores diferentes. Ejemplo: segmento, vértice, ángulo, etc.

Reglas del juego

Se enfrentan 4 equipos formados cada uno por 6 estudiantes uno de los cuales es el

“primer dibujante”. Se colocan las tarjetas boca abajo sobre la mesa. Se sortea el equipo

que comienza el juego.

El primer dibujante del equipo que comienza el juego coge la primera tarjeta, y sin

que la vean los demás hace un dibujo para ilustrar el término que aparece en ella, pero

no puede utilizar letras, números ni los símbolos habituales. Hay un tiempo limitado de

40 segundos para realizar el dibujo.

98

Una vez hecho el dibujo, el “dibujante”, sin hablar ni hacer gestos de ningún tipo,

debe intentar en un tiempo limitado (por ejemplo, otro minuto) que sus compañeros de

equipo acierten el término que había en la tarjeta. Si lo consigue se anota un punto al

equipo, y otro miembro del equipo pasa a ser el “dibujante”. No se repite el papel de

“dibujante” hasta que no lo hayan ejercido todos los miembros del equipo. Si no lo

aciertan en el tiempo límite, no se anotan ningún punto y pasan a hacer la misma

mecánica el equipo siguiente.

Algunas de las tarjetas llevan marcado “para todos los equipos”. Cuando un jugador

levanta una de estas tarjetas, lo comunica a los restantes equipos y un “dibujante” de

cada uno de ellos realiza su dibujo, que enseña a los miembros de su equipo. El primer

equipo que la acierte es el que se apunta el punto y el que continúa jugando. Gana la

partida el equipo que más puntos tenga cuando se acaba un tiempo prefijado.

Recursos: Imágenes, papel, marcador y cronometro.

Evaluación: Se va a dar durante toda la clase de manera individual, grupal y toda la

participación e interés que muestre durante la actividad.

99

ACTIVIDAD Nº 2

REINADO DE TRIÁNGULOS

Objetivo: Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.

Desarrollo de la actividad

Se brindan orientaciones a los estudiantes para que consulten previamente estos

conceptos, se intercambian las ideas por medio de una socialización, posterior a eso se

organiza el salón para un reinado, un grupo de estudiantes será el jurado, dos serán los

presentadores y el resto las reinas o reyes postulantes. Cada participante va a estar

representando a un triángulo en específico por ejemplo: isósceles, equilátero,

obtusángulo, rectángulo, etc. Su imagen será según la ocasión y la figura que esté

representado los presentadores van exponiendo las características de cada uno, el jurado

elimina los participantes hasta coronar a la reina o rey ganador (a). En esta actividad los

estudiantes conocen a fondo las características de los triángulos según los lados y

ángulos.

Recursos: Vestuario, tarjetas, el salón de clases, internet, decoraciones alusivas al tema.

Evaluación: Se da de forma individual, observando el interés y empeño

que le coloque cada estudiante, además de la participación de cada uno.

100

ACTIVIDAD Nº 3

TODOS AL TRIÁNGULO

Objetivo: Desarrollar la características de los triángulos según los lados.

Desarrollo de la actividad

Se dibujan varios triángulos en el patio, los estudiantes se ubican en una línea de

salida por grupos cuando se dé la orden diciendo que se ubiquen en el triángulo

escogido cada grupo va a un triángulo diferente al momento de llegar el grupo debe

responder una pregunta que va acorde a la figura donde se ubiquen como: ¿qué

características tiene el triángulo isósceles?, ¿según las características visibles de este

triángulo como se llama? si responde acertadamente obtiene dos puntos de no ser así

pierde, se continua así hasta acumular 10 puntos. El ganador se lleva una calificación

más alta en comparación a los demás participantes.

Para que los estudiantes puedan diferenciar los triángulos se colocan ciertas pistas

como las medidas en los lados del triángulo, la forma del triángulo, los ángulos internos

en cada figura, etc. que los diferencian de los demás en donde los estudiantes usan la

visualización y los conceptos aprendidos para llegar al triángulo y responder

acertadamente.

Recursos: Tiza de diferentes colores, el patio, dibujos, internet.

101

Evaluación: se da durante la actividad con el interés y participación de cada estudiante.

ACTIVIDAD Nº 4

JUGUEMOS CON LOS ÁNGULOS Y SU POSICIÓN

Objetivo: Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.

Desarrollo de la actividad

Se divide a la clase en varios grupos. Cada grupo es “socio” de otro grupo. La mitad

de los grupos (los llamaremos grupos A) recibe la misma figura que representa a un

ángulo y la otra mitad (grupos B) otro ángulo. En general ambas son parecidas, ya que

se tratan de mismos conocimientos que hay que poner en juego en esa clase. Cada grupo

A elabora un mensaje escrito con instrucciones por ejemplo tiene un vértice y un lado

común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro, pueden ser 2 o tres

frases lo importante es que sea necesario para reproducir la figura correspondiente. Para

que su grupo socio B, al recibirlo, pueda reproducir el ángulo. Los grupos B hacen sus

mensajes para los grupos A. Luego se intercambian los mensajes y ambos grupos

inician la construcción a partir de las instrucciones recibidas. Luego, se comparan y

analizan los errores. Ganan los “socios” (grupo A y B) que hayan logrado reproducir el

mensaje correctamente. Se plantea a los estudiantes que los mensajes no pueden tener

dibujos con la finalidad de que tengan que esforzarse en explicitar el máximo de

relaciones en palabras. Este tipo de juego no es una actividad aislada.

102

Es interesante que los estudiantes puedan enfrentarse a este tipo de problemas, de

tal modo que, el análisis de las dificultades y de los errores, se constituya en

aprendizajes. En general, los estudiantes no logran en el primer intento reproducir la

figura ya que presentan intencionalmente, un cierto nivel de desafío. Se trata de

promover en los jóvenes el entusiasmo por analizar las dificultades e incorporar nuevos

conceptos con el fin de “volver a jugar”. Utilizar como herramienta para la construcción

de los ángulos el transportador, gana el grupo que acumule más puntos.

Recursos: Transportador, hojas, mensajes con pistas, internet.

Evaluación: Se realiza durante el desarrollo de la actividad analizando detenidamente

el desempeño de cada estudiante a la hora de enfrentarse a un problema.

103

ACTIVIDAD Nº 5

TABLERO PREGUNTÓN

Objetivo: Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.

Desarrollo de la actividad

Antes de empezar se dan unas indicaciones del juego, se discute un poco acorde con

las ideas consultadas por los estudiantes, la cual es ayuda a la comprensión del tema. Se

diseña un tablero de juego de cuatro jugadores, ya que se reunirán en 4 grupos de 6

estudiantes.

El tablero tiene una zona de comienzo y una zona de llegada que solo llega le

ganador, pero para llegar a la meta hay que responder a preguntas sencillas como: ¿qué

dice el criterio LAL?, ¿cuáles son los criterios de congruencia?, haz un dibujo en donde

representes el criterio LLL, y demás cuestionamientos que el equipo debe responder

para obtener un punto. Se utilizan dados comunes para indicar la casilla a seguir en cada

turno. Las preguntas están diseñadas para que el estudiante conozca todo lo relacionado

a los criterios de congruencia, debe razonar y argumentar su respuesta durante un

tiempo limitado de 60 segundos de ser acertada acumula punto sino pierde la

oportunidad de avanzar. Para ganar el juego el equipo debe hacer 15 puntos.

Recursos: Tablero, dados, imágenes, tablero del juego.

104

Evaluación: Se da durante el desarrollo de la clase y con la participación de cada

estudiante de manera individual.

ACTIVIDAD Nº 6

TORRES DE ENCAJE TRIANGULAR

Objetivo: Determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir

de las construcciones con información dada.

Descripción: El área de matemáticas, en el grado octavo, trabaja la unidad de

congruencia de triángulos, la idea es fortalecer todo el proceso de aprendizaje de los

criterios de congruencia de triángulos como elemento fundamental en la solución de

problemas que tiene que ver con dichos triángulos.

Es importante, en esta unidad llevar al estudiante que manipule los elementos

constitutivos de los triángulos y que él pueda concluir que los triángulos son iguales, no

importa la posición en que estén dibujados, pues la posición no determina la igualdad o

no de dos o más triángulos.

Desarrollo de la actividad

La actividad consiste en formar 4 grupos de 6 estudiantes, los cuales deben hacer un

bosquejo de las diferentes clases de triángulos siguiendo las indicaciones dadas por el

docente ya sean según sus (lados, ángulos, tamaños, colores, etc.) en un tiempo

determinado, con la ayuda de tijeras, fomis de colores, regla y transportador. Los

estudiantes deben insertar cada figura realizada en un vástago que estará a una distancia

de 10 metros, el cual será previamente clasificado en el cual deben ir la fichas

105

correctamente según el criterio de los estudiantes, el grupo que mayor acierto obtenga

va a hacer el ganador.

Recursos: 4 bases de madera con vástago, reglas, transportador, fomis de colores,

tijeras.

Evaluación: cada grupo va a entregar un documento escrito de manera creativa donde

este consignado paso a paso todo el trabajo realizado durante la actividad, las

conclusiones a las que llegaron, deben tener una redacción clara y coherente. Para esta

evaluación se entregan hojas de block de colores, goma y colores.

106

ACTIVIDAD Nº 7

LA V DE GOWIN EN TEOREMAS, POSTULADOS Y PROPIEDADES

Objetivo: Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la

construcción de demostraciones de triángulos congruentes.

Desarrollo de la actividad

A partir de la herramienta investigativa de Gowin, se utiliza para que los estudiantes

construyan la conceptualización necesaria para la realización de demostraciones de

triángulos congruentes. Cada estudiante individualmente realizará su v de Gowin para

analizar estos aspectos necesarios para la solución de problemas de congruencia de

triángulos, además que potencializa el razonamiento y argumentación y a su vez

comprenderán y diferenciarán un concepto del otro.

Recursos: Internet, libros de geometría, v de Gowin.

Evaluación Se realiza durante la actividad buscando el ingenio y creatividad de cada

estudiante para la comprensión de estos conceptos en la v de Gowin.

107

ACTIVIDAD Nº 8

¡BUSQUEMOS PAREJAS!

Objetivo: Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de

triángulos congruentes.

Integrantes: 4 estudiantes.

Desarrollo de la actividad

Recortando cartas en las que aparecen dibujadas diferentes triángulos congruentes

se va a jugar ¡busquemos parejas! Se sitúan boca abajo sin que el estudiante vea la

ubicación 16 fichas en las que se encuentran triángulos de diferentes colores que poseen

datos que ayudaran al estudiantes a identificar con facilidad cuáles son congruentes y

cuáles no, como por ejemplo ángulos, medida de lados, etc.

Un jugador levanta una carta, la mira y la vuelve a dejar como estaba. A

continuación levanta otra, si su desarrollo corresponde con la figura, se queda las dos, la

idea es justificar por qué son congruentes; de manera que el estudiantes conozca el

sentido y la importancia al realizar demostraciones; en caso de que no sea igual la

coloca boca abajo y tiene otro intento de volver a levantar otras dos de la misma

manera, y así sucesivamente. En caso contrario la vuelve a situar boca abajo y pasa el

108

turno al otro jugador. Gana aquel que tenga mayor número de cartas, cuando no quede

ninguna oculta o ya no se puedan emparejar.

Reglas de juego

Pierde el turno o los puntos acumulados si lleva, el jugador que quiera voltear las

cartas para conocer la ubicación de las figuras antes o durante su turno o quiera volarse

a algún compañero.

Recursos: Cartón paja, colores, marcadores, Internet y triángulos congruentes.

Evaluación: Los estudiantes durante el juego darán las razones por las cuales los

triángulos son congruentes, es a partir del análisis de ellos que se evaluará la

competencia de razonamiento y argumentación matemática además de la forma en que

llegan a la respuesta a partir de datos conocidos como las medidas en los lados y los

ángulos de manera individual.

109

ACTIVIDAD Nº 9

CERILLOS TRIANGULARES

Objetivo: Identificar, contrastar y aplicar condiciones suficientes para el desarrollo de

las demostraciones con triángulos congruentes.

Desarrollo de la actividad

Inicialmente se presenta a los estudiantes información acerca de las definiciones

de los criterios de congruencia de triángulos, se le brinda a cada uno de los estudiantes

copias sobre esa información; dándoles varios minutos para su previa lectura; de allí se

procede a realizar la actividad la cual consiste en : De manera individual, cada uno de

los estudiantes deben realizar varias parejas de triángulos congruentes con cerillos

sobre cartón paja siguiendo indicaciones como, longitud de cada uno de los lados,

grado de los ángulos, formas, luego debían redactar como habían logrado hacer las

figuras. El paso siguiente era realizar ejercicios sobre las demostraciones de triángulos

congruentes correspondientes a la figura que habían construido, en él se debía

evidenciar el razonamiento y la argumentación de cada uno de ellos.

Recursos: Cerillos, cartón paja, hojas de block, silicona.

Evaluación: Se realiza de manera individual, teniendo en cuenta la responsabilidad y

buen desarrollo de las demostraciones.

110

ACTIVIDAD Nº 10

TRIÁNGULOS EN FOMI

Objetivo: Realizar demostraciones de triángulos congruentes para el desarrollo de

la competencia razonamiento y argumentación.

Desarrollo de la actividad

Se proporciona información en carteleras acerca de las definiciones de los

criterios de congruencia de triángulos de tal manera que el estudiante tenga pleno

conocimiento de cada uno de estos, permitiéndoles realizar la actividad correspondiente

sobre las demostraciones de triángulos congruentes, dicha actividad consiste en:

formar 6 grupos de 4 estudiantes, se les entrega a cada uno de ellos en una hoja de block

un ejercicio (figura, datos conocidos) sobre las demostraciones de triángulos

congruentes, de allí cada uno de los grupos deben identificar, analizar y crear una

réplica de esta figura, la cual debe ser hecha en fomis, con la ayuda de goma debe ser

plasmada en unas cartulinas de colores, después de haber realizado eso deben proceder a

argumentar y razonar paso a paso la demostración teniendo en cuenta los datos

conocidos y la figura proporcionados en el ejercicio, el grupo que primero realice la

actividad es el ganador.

Recursos: Fomis escarchados, cartulinas de colores, tijeras, goma, reglas, block.

111

Evaluación: Se plasma en hojas de block cada uno de los pasos a seguir al momento de

realizar el ejercicio (figura en fomi).

TALLER DE LA ACTIVIDAD 1 Y 2

NOMBRE: FECHA:

1. En la siguiente figura señala los triángulos que observas. Enuméralos

2. Observa el siguiente triángulo y determina que lineas se encuentran trazadas,

además identifica por lo menos tres elemntos básicos de la figura.

112

3. Pablo ha hecho un avión de papel que tiene dos triángulos escalenos, y paula

uno que tiene dos triángulos isósceles. Escribe de quien es cada avión.

4. Une cada triángulo con el número de lados correspondientes.

5. Marca con una X en el lugar correspondiente.

6. Clasifica los siguientes triángulos según sus ángulos y enuméralos en una lista.

113

114

TALLER DE LA ACTIVIDAD 3 Y 4

NOMBRE: FECHA:

115

2. Escribe sobre las lineas el nombre del triángulo que corresponda de acuerdo a la clasificación por los lados y por los ángulos.

116

3. Une los puntos para encontrar los triángulos según los lados.

Triángulo equilatero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

4. Escribe la medida de cada ángulo en el recuadro indicado.

5. Mide los ángulos señalados y clasificalos según su posición y suma.

e

117

TALLER DE LA ACTIVIDAD 5 Y 6

NOMBRE: FECHA:

1) Dados los siguientes triángulos. Señala cuales son congruentes.

2) Resuelve la sopa de letras. Encuentra las palabras posibles relacionadas a los criterios de congruencia de triángulos.

C A S T B A E F H D E

O N B Z L N G I T S R

N G A A C L R Y V O M

G U S S E L A U G I N

R L E O I O L L L R P

U O C Ñ D S H J K E Ñ

E S L A L A M K Z T B

N X S V X D L N O I M

T R I A N G U L O R E

E Z P U W X A C T C L

Palabras a encontrar: Criterios, Triángulo, Congruente, LLL, LAL, ALA, Iguales, Ángulos, Lados.

118

3) Construye una pareja de triángulos representado los tres criterios de congruencia.

4) Para encontrar la salida en el laberinto, el camino que escojas hasta llegar a la salida debe contener los criterios de congruencia de triángulos en vez de una línea.

LLL

5) 1 2 a) Si el ∆(1) es congruente con el ∆ (3) porque ambos tienen dos lados y ángulos iguales 3 4 ¿qué criterio de congruencia es?

b) Si el ∆ (2) y el ∆ (4) son congruentes porque

ambos tienen los tres lados iguales ¿qué criterio

de congruencia es?

119

TALLER DE LA ACTIVIDAD 7 Y 8

NOMBRE: FECHA:

1) Justificar porque los siguientes triángulos son congruentes.

2) Imagina que la siguiente figura está formada por 13 cerillos acomodados de manera que se forman 6 triángulos. Puedes quitar 3 cerillos y seguramente quedarán sólo tres triángulos. ¿Cuáles cerillos debes quitar? Justifica tu respuesta.

120

3) ¿Las figuras son las mismas arriba y abajo? Justifica tu respuesta.

4) Completa el siguiente mapa conceptual.

5) El poste AD de una casa de campaña es perpendicular al suelo. ¿Qué otras condiciones deben cumplirse para asegurar que los lados AB y AC sean de igual longitud?

121

TALLER DE LA ACTIVIDAD 9 Y 10

NOMBRE: FECHA:

1) utilizando los criterios de congruencia, indicar que triángulos son congruentes ubicando la respuesta en la siguiente tabla.

Relación de congruencia Criterio justificación

2) Gonzalo junto con su primo Benjamín decidieron participar del próximo concurso de skate. En el concurso, según la información que obtuvieron, existen rampas fabricadas para realizar saltos profesionales. Estas poseen un ángulo de 50° a un lado y de 88° al otro, ángulos que dan la gran altura a esta rampa.

Responde: ¿Podrán replicar la rampa con la información entregada? ¿Por qué?

122

¿Cuántos datos son necesarios como mínimo para construir rampas congruentes?

Considera como información adicional el lado comprendido entre los dos ángulos igual a 80 cms. ¿Podrán replicarla? ¿Por qué?

3) Observa la imagen y luego responde.

¿Por qué la banca con el apoyo diagonal es más estable que la otra? Explica.

4) En la figura el ∆ ABC ≅ ∆ BADI) ∆ AEC ≅ ∆ ADBII) ∆ AEC ≅ ∆ BEDIII) AC ≅ DB

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

123

4.8 Análisis de la Aplicación de la Propuesta

De acuerdo con los objetivos de este proyecto de investigación, los

resultados obtenidos en las diferentes actividades, talleres y evaluación final,

ciñéndose a las exigencias de la investigación de tipo cualitativo gira en torno a

tres aspectos importantes como:

Pedagógico.

Didáctico.

Cognitivo.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1

EL PICTIONARY GEOMÉTRICO

Objetivo: Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por

medio de dibujos.

Pedagógicamente la actividad desarrollada se apoyó en la teoría del

aprendizaje por descubrimiento, los estudiantes mediante acciones concretas

adquieren el conocimiento, dentro del aula de clases pero con una intención

diferente a lo tradicional basada en la construcción del aprendizaje por los

estudiantes teniendo en cuenta orientaciones dadas por el docente, empezando

por la identificación de elementos esenciales del triángulo como figura plana.

124

Desde lo didáctico es impresionante observar como los estudiantes de

octavo grado, el aprendizaje se hace más llamativo a través de actividades

lúdicas sin darse cuenta capturan la esencia de la temática y la realizan en un

ambiente folclórico pero sin perder el horizonte y la disciplina en el salón de

clases, como lo es el pictionary geométrico en donde la visualización y

construcción de figuras como pistas son la herramienta esencial para hallar los

elementos del triángulo, se efectúa de manera satisfactoria haciendo notorio la

motivación e interés en la asignatura como en los temas relacionados a esta.

Imagen nº 1 Estudiante Realizando la Actividad. Imagen nº 2 Explicación de la Actividad.

En cuanto a lo cognitivo se alcanzó un nivel de aprendizaje optimo en los

estudiantes en la conceptualización necesaria sobre los elementos del triángulo

indispensables para la realización de demostraciones de triángulos congruentes así

como la construcción de los elementos representados gráficamente en la figura. Los

resultados se vivencian en la comparación de los resultados reflejados por los

estudiantes tanto en la prueba diagnóstica como en la evaluación final.

127

Ilustración nº 4 gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos (Prueba Diagnóstica).

Ilustración nº 5 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos. (Evaluación Final)

0 5 10 15 20 25 30

0

24

0

24

Conceptualización del Triángulo y sus Elementos

0 2 4 6 8 10 12 14 16

10

14

10

14

Conceptualización del Triángulo y sus Elementos

128

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2

REINADO DE TRIÁNGULOS

Objetivo: Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.

En este propósito desde el aspecto pedagógico la actividad está centrada en la teoría

del aprendizaje significativo, ya que los estudiantes a partir de situaciones propuestas por

el equipo investigador y estímulos, recrean el aprendizaje tomando lo necesario para la

adquisición del conocimiento, en un ambiente distinto por medio de eventos como el

reinado que es característico de la ciudad y acogido satisfactoriamente por la población.

En efecto desde lo didáctico se centra en una herramienta conocida por los

estudiantes como lo es el reinado que concede al estudiante la responsabilidad de

representar un candidato en este caso de la clasificación de los triángulos según lados y

ángulos permitiendo poner en juego la creatividad e imaginación así como la diversión en

un tema que frecuentemente es dado por los docentes muy formal y monótono.

129

Imagen nº 4 Desfile de Concursantes.

Imagen nº 3 Coronación de la Reina de los Triángulos.

Finalmente en lo cognitivo se trabajaron los contenidos planteados, logrando gran

acogida por los estudiantes permitiendo avance en los temas y recopilar la información

necesaria para la realización de demostraciones de triángulos congruentes. Es evidente la

comunicación y la retroalimentación de contenidos básicos logrando la aprehensión de

saberes propios de la competencia de razonamiento y argumentación matemática.

130

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3

TODOS AL TRIÁNGULO

Objetivo: Desarrollar la características de los triángulos según los lados.

Dadas las condiciones en lo pedagógico la actividad se fundamentó en un aprendizaje

por competencias permitiendo al estudiante que sea capaz de generar situaciones

problemas a partir del conocimiento adquirido por medio de una conducta asociada a ese

conocimiento, logrando así un conocimiento: conceptual, procedimental y actitudinal

convirtiéndose en una herramienta que le permite al estudiante mostrar que puede hacer

con lo aprendido teniendo en cuenta que la formulación del aprendizaje se basa en el

entorno o el contexto como medio para llegar a un buen aprendizaje en los estudiantes de

octavo grado. En el mismo sentido lo didáctico se centró en el juego haciendo uso de

espacios dentro del colegio como la cancha y el patio, generando una actitud positiva en

los estudiantes así como el trabajo en equipo lo cual fue vital para el desarrollo del tema y

el avance de la investigación.

131

Imagen nº 5 Dibujando los Triángulos para la Actividad.

Imagen nº 6 Realizando la Actividad.

Cognitivamente, la actividad tuvo como eje central el razonamiento por medio de

preguntas que involucren el análisis y reflexión de los estudiantes, promoviendo la

participación conociendo a su vez la adquisición del conocimiento frente al tema.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 4

JUGUEMOS CON LOS ÁNGULOS Y SU POSICIÓN

Objetivo: Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.

El desarrollo de la actividad pedagógicamente se fundamentó en la teoría del

aprendizaje cooperativo, los estudiantes trabajaron en equipo e intercambiaban ideas,

discutiendo juntos para encontrar la solución acertada en el juego, permitiendo la

132

participación continua exponiendo los razonamientos y argumentos a la hora de

enfrentarse al problema.

En el orden de ideas anteriores desde lo didáctico la actividad estuvo enmarcada a la

realización de un juego en donde se intercambiaban mensajes con pistas con el objetivo

de que los estudiantes ejercitarán la construcción de figuras, analizando los criterios

importantes como medidas, claves para obtener los puntos y ser el ganador.

Finalmente en lo relacionado a lo cognitivo el eje central giraba en torno al análisis,

creatividad de los estudiantes en una situación problema contextualizada a partir de

mensajes que le ayudarían a encontrar la respuesta adecuada y de esta manera potenciar

la competencia de razonamiento y argumentación matemática, de una manera fácil y

sencilla, donde los estudiantes expresaban total agrado y disposición al aprender algo

nuevo en la clase de geometría.

Imagen nº 8 Escribiendo el Mensaje.

133

Imagen nº 7 Construyendo el Ángulo.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 5

TABLERO PREGUNTÓN

Objetivo: Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.

La actividad estuvo centrada en la teoría constructivista, en la medida que los

estudiantes a través de orientaciones dadas construían el conocimiento en un ambiente

diferente a la clase tradicional en el tablero, permitiéndoles exponer los razonamientos

frente a preguntas que contribuyen al desarrollo de la competencia de razonamiento y

argumentación matemática.

En este propósito en lo concerniente a lo didáctico la actividad se centró en un juego

popular muy conocido en la sociedad, como lo es el parques, basándose en el mismo

funcionamiento se diseñó el tablero preguntón con el objetivo que los estudiantes se

ubicaran en un color diferente y acertaran en las preguntas en donde se evaluaría la

apreciación y comprensión sobre los criterios de congruencia, expresando a través de

argumentos y justificando cada una de las respuestas para poder avanzar y llegar al tesoro

obtener el triunfo

134

A los efectos de este el aspecto cognitivo tuvo énfasis en lo que respecta a la

creatividad e ingenio de los estudiantes a la hora de responder las preguntas como al azar

en el momento de lanzar los dados y conseguir números grandes que le permitían avanzar

más en comparación de los demás estudiantes y así ser el ganador (a). Involucrando a los

estudiantes al desarrollo de demostraciones de triángulos congruentes a través del análisis

y reflexión frente a una situación problema

Imagen nº 10 Solución de la Pregunta.

Imagen nº 9 Jugando con el Tablero.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 6

TORRES DE ENCAJE TRIANGULAR

Objetivo: Determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir de las

construcciones con información dada.

135

Pedagógicamente, el evento pedagógico se apoyó en la teoría del aprendizaje

significativo, puesto que relacionaron los conocimientos previos con los conocimientos

nuevos. Esto lo llevamos a cabo con la actividad torres de encaje triangular en la cual los

estudiantes memorizaban, trabajaban mecánica y motriz mente y además reconocían las

estructuras identificando y relacionando así los conceptos básicos como los diferentes

criterios de congruencia desarrollados en la actividad.

Desde lo didáctico, se pudo observar que la utilización de material didáctico género

en los estudiantes una motivación permitiéndoles interactuar tanto con el material como

con sus compañeros lo cual mostro una gran satisfacción al momento del desarrollo de la

actividad. En cuanto a lo cognitivo los estudiantes alcanzaron el objetivo propuesto el

cual consistía en determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir

de las construcciones con información dada, ya que recibían la información, la analizaban

y construían conclusiones que le permitían analizar los conceptos y llevarlos a la práctica.

136

Imagen nº 11 Construyendo los Triángulos. Imagen nº 12 Ubicando los Triángulos.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 7

LA V DE GOWIN EN TEOREMAS, POSTULADOS Y PROPIEDADES

Objetivo: Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la construcción de

demostraciones de triángulos congruentes.

El evento pedagógico, se apoyó en la técnica conocida como v de Gowin la cual nos

sirve como base a seguir para aprender a aprender. Esta técnica permitió representar de

manera visual la estructura del conocimiento y logrando así que los estudiantes

identifiquen ítems claves para llevar acabo su aprendizaje de manera eficiente. La v de

Gowin, permitió que los estudiantes por medio del aprendizaje obtenido realizaran un

análisis de actividades experimentales y los relacionaran, los analizaban con los

conocimientos teóricos logrando así explicar los conceptos sobre teoremas, postulados y

propiedades para la construcción de demostraciones de triángulos congruentes,

ayudándolos así en la obtención de un mejor aprendizaje.

137

Desde lo didáctico, la actividad básicamente se centró en que los estudiantes de

manera creativa realizaran un bosquejo de la v de Gowin permitiéndoles expresar

claramente cada uno de los conceptos trabajados , como teoremas, postulados,

propiedades de los triángulos congruentes logrando así obtener un mejor desempeño y

fortalecer cada uno de sus conocimientos. En cuanto a la parte cognitiva los estudiantes

lograron asimilar de manera correcta cada uno de los temas trabajados, logrando obtener

así un aprendizaje significativo.

Imagen nº 13 Realizando la v de Gowin.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 8

¡BUSQUEMOS PAREJAS!

Objetivo: Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de triángulos

138

congruentes.

Pedagógicamente, esta actividad permitió obtener un aprendizaje visual y

significativo en donde los estudiantes relacionan los conceptos de triángulos congruentes

con sus imágenes físicas, logrando en ellos un mejor aprendizaje debido a que visualizan,

analizan y observan cada una de las formas, tamaños y figuras teniendo en cuenta cada

uno de los criterios de congruencia trabajados, ayudándolos de esta manera a tener mayor

claridad sobre cada uno de los conceptos.

En cuanto a lo didáctico los estudiantes mostraron interés ya que se le proporcionaba

el material hecho en cartón paja (parejas de triángulos), ya que decían que lograban

reconocer mucho mejor cada uno de las figuras tocándolas y observándolas, y que de

igual forma sentían una mayor satisfacción al llevar todo lo aprendido a la práctica por

medio de material didáctico y palpable.

A los efectos de este la actividad busquemos parejas permitió, que los estudiantes

relacionarán imágenes similares e identificarán sus diferencias, es decir procesa su

información a partir de la percepción.

139

Imagen nº 14 Buscando Parejas. Imagen nº 15 Pareja Encontrada.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 9

CERILLOS TRIANGULARES

Objetivo: Identificar, contrastar y aplicar condiciones suficientes para el desarrollo

de las demostraciones con triángulos congruentes.

En el sentido pedagógico, se obtuvo un aprendizaje significativo ya que los

estudiantes lograron relacionar los conceptos acerca de los criterios de triángulos

congruentes, identificar sus propiedades, realizar figuras, para poder llevar acabo la

realización de las demostraciones por medio del razonamiento y la argumentación. Desde

lo didáctico, la actividad cerillos triangulares permitió que los estudiantes trabajaran con

el material físico tales como cerillos, silicona, cartón paja, observando en ellos el interés

y la motivación que les generaba trabajar con material didáctico.

140

Finalmente en lo cognitivo los estudiantes lograron obtener un mejor aprendizaje ya

que todo el proceso de apropiación del conocimiento fue para ellos un reto, lo cual les

hacía sentir satisfacción al momento de realizar cada una de las actividades propuestas.

Imagen nº 17 Construyendo Triángulos.

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 10

TRIÁNGULOS EN FOMI

141

Objetivo: Realizar demostraciones de triángulos congruentes para el desarrollo de la

competencia razonamiento y argumentación

El evento pedagógico, permitió obtener en los estudiantes un aprendizaje

significativo, ya que ellos lograban relacionar todo el conocimiento presentado sobre los

criterios y propiedades de triángulos congruentes para así poder llevar acabo cada una de

las demostraciones propuestas; la actividad les permitió razonar y argumentar cada uno

de los pasos a seguir para realizar las demostraciones, logrando obtener en los estudiantes

un mejor desempeño académico.

Según se ha citado en el aspecto didáctico, la actividades permitieron a los

estudiantes apropiarse aún más del conocimiento ya que la actividad fue realizada con

material sencillo como fomis escarchados, tijeras, goma los cuales les parecía y

propiciaba en ellos un ambiente agradable ya que podían palpar y trabajar ellos mismos,

se veía en ellos la motivación, las ganas de querer hacer las actividades y el

aprovechamiento que le daban a estas.

En el sentido cognitivo fueron capaces de razonar y argumentar por medio de las

demostraciones de triángulos congruentes ayudándoles así a obtener un avance

significativo de acuerdo a cada uno de los temas realizados, en este caso lograron

identificar claramente cada una de las propiedades y cada uno de los criterios de

congruencia de triángulos, observando el avance que lograron tener desde el inicio de las

142

actividades hasta el final de las mismas

Imagen nº 19 Construyendo Triángulos. Imagen nº 18 Análisis de los Triángulos.

4.8.1 Análisis Estadístico

Talleres de las Actividades

Taller Análisis/ reflexión Dato Estadístico

Actividad 1 y 2

Después de realizar las actividades correspondientes a este taller, los estudiantes mostraron dominio en los conceptos básicos y elementos del triángulo así como su clasificación permitiendo avances en los conceptos.

SI NO

90% 10%

Actividad 3 y 4

Los contenidos son más complejos los estudiantes muestran la habilidad para realizar razonamientos cortos, análisis de gráficas y utilización de instrumentos para la construcción de figuras.

SI NO

90% 10%

143

Actividad 5 y 6

Los resultados de los estudiantes muestran un avance hacia los contenidos de la congruencia, aplicando los diferentes criterios a partir de situaciones que le permiten realizar un análisis y reflexión de las respuestas de forma acertada.

SI NO

90% 10%

Actividad 7 y 8

A partir de un bagaje de los elementos esenciales para las demostraciones de triángulos congruentes los estudiantes sin conocer directamente que realizaban demostraciones aplicaban justificación y argumentación en cada uno de los procedimientos dados en los ejercicios obteniendo acierto en la respuesta.

SI NO

95% 5%

Actividad 9 y 10

Culminado con el tema se propone a los estudiantes a partir de situaciones aplicadas a la realidad se identifican elementos, simbología y demás propiedades importantes en las demostraciones de triángulos congruentes.

SI NO

100% 0

Tabla nº 5 Talleres de las Actividades.

Análisis: Partiendo de las dificultades presentadas por los estudiantes en relación al

aprendizaje de los triángulos congruentes se realizaron actividades centradas al desarrollo

de la competencia de razonamiento y argumentación matemática centradas en el contexto

y la vida cotidiana logrando consigo el desarrollo de habilidades y destrezas por parte de

los estudiantes a la hora de realizar un ejercicio o problema; además de mostrar el avance

en la problemática estudiada son más críticos y analíticos frente a cualquier situación

presentada.

144

Ilustración nº 6 Gráfico de Talleres de las Actividades.

4.8.2 Análisis de la Evaluación Final

Categorías AspectosDato Estadístico

SI NO %

Elementos del Triángulo

Los estudiantes muestran resultados satisfactorios y avances en lo relacionado al triangulo como figura geométrica y sus elementos reflejado en los resultados de la evaluación.

24 0 100%

Actividad 1 y 2 Actividad 3 y 4 Actividad 5 y 6 Actividad 7 y 8 Actividad 9 y 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.9 0.9 0.90.95

1

0.1 0.1 0.10.05

0

Talleres de las Actividades

Suma de SISuma de NO

145

Clasificación del Triángulo

Es visible como los estudiantes dominan con facilidad clasificar los triángulos según los lados, ángulos, así como la clasificación de los ángulos interpretando sin complicaciones lo que se le pregunta exponiendo sus razonamientos y argumentos para acertar en la respuesta.

24 0 100%

Criterios de Congruencia

Se hace presente la capacidad en los estudiantes a la hora de enumerar los criterios aplicados a la congruencia en los triángulos de forma adecuada mostrando consigo los avances en la temática de la investigación.

24 0 100%

Congruencia (Gráfica)

A la hora de construir figuras para mostrar la congruencia de los triángulos hay análisis y reflexión en las respuestas dadas permitiendo que los estudiantes justifiquen lo realizado.

24 0 100%

Análisis de Figura

A partir de la visualización y algunos datos conocidos los estudiantes fueron capaces de utilizarlos de la mejor forma logrando mostrar las características del triángulo de vital importancia a la hora de realizar demostraciones de triángulos congruentes.

22

92%

2

8%

100%

Tabla nº 6 Evaluación Final.

Análisis: Es evidente notar el óptimo avance de los estudiantes en la realización de la

146

evaluación final, el desarrollo de las actividades así como la utilización de materiales

concretos, fundamentan el aprendizaje de los estudiantes en lo relacionado a las

demostraciones de triángulos congruentes para desarrollar la competencia de

razonamiento y argumentación matemática partiendo de un nivel básico a uno más

complejo teniendo en cuenta las dificultades presentadas por los estudiantes así como la

situación vivenciada por la institución en relación a la asignatura.

Ilustración nº 7 Gráfico de Análisis de la Evaluación Final.4.9 Conclusión

Después de culminar la realización del trabajo de investigación se puede concluir

que en la enseñanza y aprendizaje de la geometría se hace necesario utilizar un sin

números de estrategias para lograr un aprendizaje significativo y eficaz en los

estudiantes, por lo que debe haber una interacción entre docente y discente, y que cada

evento pedagógico este encaminado a desarrollar actividades contextuales que

desarrollen la competencia de razonamiento y argumentación matemática teniendo

siempre presente utilizar las situaciones problemas encaminadas al análisis crítico y

Analisis de la Figura

Clasificación del Triángulo

Congruencia (gráfica)

Criterios de Congruencia

Elementos del Triángulo

0

5

10

15

20

25

30

2224 24 24 24

20 0 0 0

Análisis de la Evaluación Final

Suma de SISuma de NO

147

reflexivo, como un vínculo para la adquisición del pensamiento geométrico. Es de vital

importancia interactuar con actividades como: juegos en donde a través de orientaciones

los estudiantes puedan descifrar el contenido de forma rápida y con resultados

satisfactorios; además objetos del entorno que ayudan a interpretar las temáticas

aprovechando que los estudiantes desarrollan más la competencia visual y reforzar cada

uno de los temas al igual que potenciar la construcción y solución de situaciones de

origen geométrico logrando así un aprendizaje capaz de desarrollar un nivel complejo y

abstracto del conocimiento.

Además a través de las demostraciones y argumentaciones lógicas, es posible evitar

la tendencia de la algoritmación de la matemática en el aula, evitando el aprendizaje

mecánico de fórmulas y la aplicación de las mismas de forma rutinaria. La consideración

de las demostraciones como un tipo más de problemas a resolver, hace que los alumnos

comprendan que simplemente se trata de procedimientos necesarios para la resolución de

problemas y no vean al proceso de demostrar como algo destinado únicamente a los

matemáticos.

Los distintos tipos de argumentaciones en la clase de matemática permiten que los alumnos

adquieran el dominio de formas de razonamiento que si bien pueden aplicarlas inicialmente a un

dominio formal, posteriormente les permitan enriquecer su manera de razonar ante problemáticas

de diverso origen.

Es importante aclarar que consideramos que los errores en matemática respecto a la

148

demostración de triángulos congruentes pueden ser superados y aceptados, no como algo

que no tendría que haber aparecido, si no como una instancia cuya aparición es útil e

interesante, ya que permite la adquisición de un nuevo y mejor conocimiento. Es

conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos

espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico y, en particular, el

razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráficas. En esas situaciones pueden

aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico

inductivo y deductivo, al formular hipótesis o conjeturas, como el deductivo, al intentar

comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como

teoremas, axiomas, postulados o principios, o al intentar refutarla por su contradicción

con otras o por la construcción de contraejemplos.

Concluiría por lo consiguiente, que en estos tiempos cambiantes postmodernos la

necesidad de adecuarse a nuevas metodologías pedagógicas que buscan

una educación que brinde al estudiante un aprendizaje significativo, requiere

inexorablemente también, de nuevas formas de abordar la enseñanza.

Es de igual importancia diseñar y emplear estrategias facilitadoras para el aprendizaje, es por ello

que los materiales didácticos que estimulan la función de los sentidos para acceder de manera

fácil a la adquisición de conceptos habilidades, actitudes o destrezas, se convierten en recursos

indispensables para favorecer estos procesos de enseñanza-aprendizaje.

149

Si se procura que las matemáticas sean representativas, interesantes, motivadoras y

estén conectadas con la realidad, habrá más posibilidades de conseguir que los

estudiantes se impliquen emotivamente en la actividad y pongan interés. "Es importante

procurar que los contextos sean motivadores y adaptarse al ritmo de cada alumno porque

no todos aprenden de la misma manera y al mismo tiempo”.

De manera general podemos concluir que el estudiante.

Identifica la clasificación del triángulo según sus ángulos y lados.

Traza líneas y ángulos, diseña triángulos de diferentes tamaños.

Interpreta gráficamente la forma de los triángulos

Construye triángulos congruentes conociendo las dimensiones de las rectas.

Aplica cada uno de los diferentes criterios de congruencia de triángulos

(ALA,LLA,LLL,LAL)

Realiza demostraciones de triángulos congruentes propiciando el desarrollo de la

competencia de razonamiento y argumentación matemática.

4.10 Recomendaciones

Se sugiere a la Institución Educativa Esther de Peláez, a los profesores y demás lectores

sin importar el área en que se desempeñen seguir implementando esta propuesta ya que se

obtuvo excelentes resultados en los estudiantes dando razón a los planteamientos de Jorge Polya

cuando dice que para entender una teoría se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su

enseñanza se enfatiza en el proceso de descubrimiento.

150

Se propone realizar trabajo en equipos, en ambientes donde los estudiantes se sientan

cómodos, lo cual ayuda en su motivación para obtener un mejor conocimiento.

Extender el estudio de la geometría permitiendo al estudiante mejorar y ampliar su

conocimiento acerca de la asignatura.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Vasco, Carlos. (1994). Un nuevo enfoque para la didáctica de la matemática. Tunja. Editorial Jotamar.

153

ANEXO A

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTHER DE PELAEZ

PRUEBA DIAGNÓSTICA

La siguiente prueba tiene como propósito identificar las fortalezas y debilidades en el rendimiento académico de los estudiantes en el área de la geometría, específicamente en la realización de demostraciones de triángulos congruentes, por tanto se considera necesario realizar la prueba de una manera clara y honesta, por ser esta un instrumento más que permitirá conocer el estado académico en que se encuentran cada uno de los educandos, que es fundamental para el trabajo investigativo titulado: Desarrollo de la competencia razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado

1. ¿Qué es un triángulo y cuáles son sus elementos?2. ¿Qué es una congruencia de triángulos? ¿Qué simbología se utiliza?3. Indica cuales son los vértices, los ángulos interiores y los ángulos exteriores del siguiente

triángulo.

4. Determina si los triángulos ABC y MNO de cada inciso son congruentes. Indica el criterio correspondiente.

5. Realiza la siguiente demostración. (Construye la figura). Si BD¿ AC , ADB≅

CDB; demostrar que ΔABD ≅ΔCBD

ANEXO B

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL ESTHER DE PELAEZ

ENCUESTA A ESTUDIANTES

NOMBRE: GRADO:

Objetivo: Proponer situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en los aspectos espaciales, métricos y geométricos, apoyado en el uso de gráficas.

Orientación: Responder en forma clara y honesta, esta encuesta como instrumento que permitirá recolectar información sobre el estado académico en que se encuentran los educandos, como fundamento del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia: razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”.

1. ¿Te gusta la geometría?

SI NO

¿Por qué?

2. ¿Dentro del horario de clases se encuentra la asignatura de geometría?

SI NO

¿Por qué?

3. ¿Cómo es tu nivel académico en la asignatura de geometría

EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE

¿Por qué?

4. ¿Cómo se desarrolla la clase de geometría?

DIVERTIDA MONÓTONA

¿De qué manera te gustaría se desarrollará la clase de geometría?

5. ¿Tienes conocimiento acerca de los triángulos congruentes?

SI NO

¿Por qué?

6. ¿Hay espacios en la clase para mostrar tus razonamientos y argumentos en la solución de situaciones matemáticas?

SI NO

¿Por qué?

ANEXO C

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL ESTHER DE PELAEZ

ENTREVISTA A DOCENTES

Objetivo: Propiciar ambientes interesantes y creativos en la enseñanza de la geometría que reflejen el afecto y comprensión hacia los estudiantes durante el desarrollo de los eventos pedagógicos.

Orientación: Responder en forma clara y honesta, la entrevista que permitirá recolectar información sobre las estrategias utilizadas por el docente, para el desarrollo de la competencia razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes, fundamento del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia: razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”.

1- ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de la geometría en estudiantes de octavo grado?

2- ¿Qué competencias matemáticas desarrolla el educando al aprender geometría?

3- ¿Qué metodología utiliza para facilitar el aprendizaje de la geometría en un grupo de estudiantes con diferentes niveles de dominio geométrico?

4- ¿Qué estrategias utiliza para potenciar en los estudiantes la competencia de razonamiento y argumentación matemática?

5- ¿Cómo calificaría el nivel académico de los estudiantes en la asignatura de geometría? ¿por qué?

ANEXO D

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL ESTHER DE PELAEZ

ENTREVISTA A ESTUDIANTES

Objetivo: Determinar las causas y efectos generados en los estudiantes a la hora de realizar demostraciones de triángulos congruentes en geometría.

Orientación: Responder en forma clara y honesta, esta entrevista por ser un instrumento más que permitirá recolectar información sobre el estado académico en que se encuentran los educandos, como fundamento del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia: razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”.

1- ¿Qué dificultades tienes en el manejo del concepto de triángulo?

2- ¿Por qué motivo obtuviste ese desempeño en la prueba diagnóstica?

3- ¿De qué manera consideras podrías superar las dificultades que tienes en el aprendizaje de la geometría?

4- ¿En qué forma te gustaría se desarrollará la enseñanza y aprendizaje de los triángulos congruentes?

ANEXO E

EVIDENCIAS DE REDACCIÓN DE INFORMACIÓN

ANEXO F

EVIDENCIAS APLICACIÓN DE LA PROPUESTA

ANEXO G

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL ESTHER DE PELAEZ

EVALUACIÓN FINAL

NOMBRE: FECHA:

1) ¿Cuáles son los elementos de un triángulo?

2) ¿Cómo se clasifican los triángulos y los ángulos?

3) ¿Qué es criterios de congruencia de triángulos? ¿Cuáles son?

4) Realiza parejas de triángulos donde relaciones cada uno de los criterios de congruencias.

5) Describe la siguiente figura. Justifica tu respuesta. Datos conocidos: ΔABC isósceles,

AB≅ AC AM es la mediana.

ANEXO H

EVIDENCIAS FOTOGRÁFICAS

Imagen nº 1 Dibujando los elementos del triángulo.

Imagen nº 2 Jurado Deliberando. Imagen nº 3 Esperando el Ganador(a).

Imagen nº 4 Momento de Pregunta. Imagen nº 5 Construyendo el Ángulo.

Imagen nº 6 Jugando con el Tablero. Imagen nº 7 Construyendo los Triángulos de Fomi.

Imagen nº 8 Realizando la v de Gowin. Imagen nº 9 Buscando Parejas de Triángulos.

Imagen nº 10 Construyendo el Triángulo. Imagen nº 11 Análisis de la Demostración.