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1 DIDÁCTICA Y SITUACIONES PROBLEMAS PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA HIPÉRBOLA EN LOS ESTUDIANTES DE DECIMO GRADO Autores JOHANA PAOLA ROCHA LUIS TORREGROZA UTRÍA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO Facultad de Ciencias de la Educación Licenciatura en Matemáticas Barranquilla 2015
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1
DIDÁCTICA Y SITUACIONES PROBLEMAS PARA EL APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO DE LA HIPÉRBOLA EN LOS ESTUDIANTES DE DECIMO
GRADO
Autores
JOHANA PAOLA ROCHA
LUIS TORREGROZA UTRÍA
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
Facultad de Ciencias de la Educación
Licenciatura en Matemáticas
Barranquilla
2015
2
DIDÁCTICA Y SITUACIONES PROBLEMAS PARA EL APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO DE LA HIPÉRBOLA EN LOS ESTUDIANTES DE DECIMO
GRADO
Autores
JOHANA PAOLA ROCHA
LUIS TORREGROZA UTRÍA
TRABAJO DE GRADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL TÍTULO DE
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
Trabajo de Grado Dirigido Por:
Mag. Elkin Yessid González Mercado
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2015
3
Nota de Aceptación
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Presidente del Jurado
__________________________________
Jurado
__________________________________
Jurado
Barranquilla, 08-2015
4
Agradecimientos
Como principio damos gracias a Dios por darnos la oportunidad vivir esta gran experiencia y de
compartir este significativo logro para nuestras vidas.
De forma muy especial agradecemos:
A nuestra alma mater la Universidad del Atlántico que nos acogió como sus estudiantes
ofreciéndonos satisfactoriamente una excelente educación y formación profesional.
A nuestro docente asesor de investigación Elkin Gonzales, quien nos orientó con sus excelentes
aportes académicos, su entrega y dedicación a este proyecto.
A la directora del La Institución educativa María Auxiliadora, su coordinador académico y su
cuerpo de docentes, por permitirnos implementar este proyecto este proyecto.
A los estudiantes de décimo grado de la jornada matutina, por su valiosa participación y entrega
a lo largo del desarrollo de la presente investigación.
A nuestros compañeros de estudio, por los momentos vividos, la confianza y el apoyo brindado
durante toda la carrera.
Johana Paola Rocha, Luis Torregroza Utria
5
Dedicatoria
Esta meta es un hecho para mí, le doy gracias a DIOS padre todo poderoso por brindarme
esta gran bendición y por su apoyo incondicional en todo momento.
De manera especial quiero dedicar este logro a mi madre y a mi abuela Juana Rocha Charris y
Pabla Charris de Rocha, los cuales me han formado como una persona íntegra llena de valores
y sobre todo me criaron con amor y dedicación. A mis hermanas Jehimy Benítez Rocha y Dayris
Acosta Rocha quienes me han dado ánimos en los momentos más difíciles del recorrido hasta
llegar a este punto de mi carrera a mis hijas Valentina Flórez Rocha y Kelly Flórez Rocha
quienes han sido el motor que me ha hecho llegar a este punto de mi carrera, y quienes
especialmente han estado conmigo llenándome de su apoyo, su amor y su ternura y a todos los
amigos que aportaron su granito de arena para que este proyecto saliera adelante.
Johana Paola Rocha
6
Dedicatoria
Este proyecto de grado se la dedico a mi Dios quién supo guiarme por el buen camino, darme
fuerzas para seguir adelante y no desmayar en los problemas que se presentaban, enseñándome
a encarar las adversidades sin perder nunca la dignidad ni desfallecer en el intento.
A mi familia quienes por ellos soy lo que soy.
A mi madre Luz Marina Utria y mi tío Adalberto Utria por su apoyo, consejos, comprensión,
amor, ayuda en los momentos difíciles, y por ayudarme con los recursos necesarios para
estudiar. Me han dado todo lo que soy como persona, mis valores, mis principios, mi carácter,
mi empeño, mi perseverancia, mi coraje para conseguir mis objetivos.
A mis hermanos por estar siempre presentes, acompañándome para poderme realizar.
“La dicha de la vida consiste en tener siempre algo que hacer, alguien a quien amar y alguna
cosa que esperar”.
Luis Torregroza Utria.
7
Contenido
Lista de tablas ............................................................................................................................................... 9
Lista de figuras ............................................................................................................................................ 10
RESUMEN ................................................................................................................................................. 12
ABSTRACT ................................................................................................................................................ 14
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 16
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................... 18
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA. .......................................................................................... 18
1.2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. ............................................................................................. 22
1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. ....................................................................................... 23
2. FINES DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................ 24
2.1 JUSTIFICACIÓN. ...................................................................................................................... 24
2.2 OBJETIVOS. .............................................................................................................................. 27
3. MARCO REFERENCIAL .............................................................................................. 28
3.1 ANTECEDENTES ..................................................................................................................... 28
3.2 MARCO TEÓRICO – CONCEPTUAL ..................................................................................... 35
4. DISEÑO METODOLÓGICO ........................................................................................ 52
4.1 PARADIGMA DE INVESTIGACION. ..................................................................................... 53
4.2 TIPO DE INVESTIGACIÓN. .................................................................................................... 54
4.3 POBLACIÓN Y MUESTRA. ..................................................................................................... 58
8
4.4 TECNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN. ................ 62
4.5 ANALISIS E INTERPRETACION DE DATOS ....................................................................... 64
4.6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN RECOLECTADA. ......................................................... 87
5. PROPUESTA PEDAGÓGICA ...................................................................................... 91
5.1 PRESENTACIÓN ....................................................................................................................... 91
5.2 JUSTIFICACIÓN ....................................................................................................................... 94
5.3 OBJETIVOS. .............................................................................................................................. 96
5.4 METODOLOGÍA ....................................................................................................................... 98
5.5 PLAN DE ACCIÓN“HIPÉRBOLACTICA” ........................................................................................ 100
5.7 ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DE LA PROPUESTA. ..................................................... 116
5.8 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA Y FINAL ............... 132
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................... 135
6.1 CONCLUSIONES. ........................................................................................................................ 135
6.2 RECOMENDACIONES. ................................................................................................................ 137
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 139
ANEXOS……………………………………………………………………………………………………………………………………………….140
9
Lista de tablas
Tabla 1 : Plan de acción .......................................................................................................................... 1009
Tabla 2: Comparativo pruebas diagnóstica y final .................................................................................. 1332
10
Lista de figuras
Figura 1: Gráfica construida en Geogebra I ................................................................................................ 19
Figura 2: Gráfica construida en geogebra II ................................................................................................ 20
Figura 3: Pregunta 2 de la primera prueba ................................................................................................ 211
Figura 4: Arista del cubo de doble volumen
(http://sitios.usac.edu.gt/seccionesconicas/imagenes/TriadaMenecmo.gif) ................................................ 30
Figura 5: Asíntotas de la hipérbola ........................................................................................................... 322
Figura 6: Definición de la hipérbola ........................................................................................................... 35
Figura 7: Ubicación de los elementos de la hipérbola .............................................................................. 366
Figura 8: Mapa conceptual Aprendizaje significativo
(http://paradigmaseducativosuft.blogspot.com/2011/05/teoria-del-aprendizaje-significativo-
de.html) ..................................................................................................................................................... 388
Figura 9: Mapa conceptual situación problema (Hugo Cerda Gutiérrez, La investigación formativa
en el aula, 1991) ........................................................................................................................................ 455
Figura 10: Escala de problemáticas (Hugo Cerda Gutiérrez, La investigación formativa en el aula,
1991) ......................................................................................................................................................... 466
Figura 11: Prueba diagnóstica 1 .................................................................................................................. 80
Figura 12: Construcción de una ecuación algebraica ................................................................................ 822
Figura 13: Distancia entre dos puntos ....................................................................................................... 833
Figura 14: Plano cartesiano y gráfica de la hipérbola ............................................................................... 844
Figura 15: Ecuación de la hipérbola ......................................................................................................... 855
Figura 16: Prueba diagnóstica 2 ................................................................................................................ 866
11
Figura 17: Orientación de conocimientos previos .................................................................................. 1166
Figura 18: Definición de la hipérbola ..................................................................................................... 1188
Figura 19: Análisis de los conocimientos previos .................................................................................. 1199
Figura 20: Análisis del cono de Apolonio ............................................................................................ 12020
Figura 21: Estudiantes Construyendo la Gráfica de la Hipérbola ......................................................... 12121
Figura 22: Orientación sobre las ecuaciones de la hipérbola ................................................................ 12222
Figura 23: Análisis de la Hipérbola en la construcción, elementos y ecuaciones ................................... 1233
Figura 24: Estudiantes armando el “ecua-cabeza” .................................................................................. 1244
Figura 25: Análisis del despeje de las variables de ecuaciones de la hipérbola ...................................... 1255
Figura 26: Estudiantes jugando “Contra-hipérbola” ............................................................................... 1266
Figura 27: Análisis de la competencia de contra-hipérbola .................................................................... 1277
Figura 28: Estudiantes trabajando con “GeoGebra” ............................................................................... 1288
Figura 29: Análisis de resolución de problemas en GeoGebra ............................................................... 1299
Figura 30: Estudiantes resolviendo la prueba final ............................................................................... 13030
Figura 31: Definición de la hipérbola ................................................................................................... 13131
Figura 32: Análisis comparativo prueba diagnóstica y final ................................................................. 13232
12
RESUMEN
La hipérbola es un tema de investigación educativa que despertó nuestro interés, porque,
es una de las secciones cónicas que presenta mayor grado de dificultad en su interiorización y
aprendizaje puesto que contiene más elementos que las otras tres cónicas (circunferencia, elipse
y parábola). La enseñanza-aprendizaje de la hipérbola requiere de un esfuerzo considerable de
los profesores ya que el estudiante por lo general no encuentra su utilidad en lo práctico, por esta
razón las aplicaciones que se han encontrado en la vida cotidiana sobre la hipérbola son una
constante motivacional para realizar esta investigación que nació de la necesidad de estudiar esta
cónica a partir de los conceptos básicos y sus elementos, que son fundamentales y necesarios
para su representación gráfica, llevando al educando a construir mediante orientaciones y
manipulación de objetos su propio conocimiento de manera contextualizada e integral. Este es
uno de los propósitos claves de este proyecto investigativo, puesto que sí, solo se centra en su
análisis algebraico se pierde todo un conjunto de experiencias pragmáticas, descubrimientos
imprescindibles y formativos.
Basados en herramientas de investigación tales como: una evaluación diagnóstica y
observaciones, se ha descubierto una dificultad de la comprensión en la definición, resolución de
problemas y representación gráfica de la hipérbola por los estudiantes de 10°E de la Institución
Educativa María Auxiliadora del Municipio de Galapa, cuyas edades oscilan entre los 14 y 17
años; estas deficiencias presentadas se abordaron teniendo en cuenta los estilos de aprendizaje de
cada uno de los estudiantes para lograr un aprendizaje significativo. En el desarrollo de la
13
propuesta se aplican ideas de teóricos como Ausubel David y los niveles de Van Hiele. Además
el paradigma de esta investigación se desarrolla en la teoría crítico social, la cual visualiza los
contenidos pedagógicos, didácticos e interdisciplinarios para obtener calidad en la educación
matemática. El carácter investigativo está fundamentado en la investigación acción, por lo cual se
aplicaron estrategias metodológicas activas, dinámicas y modernas mediadas por momentos; se
usó material concreto, entornos diferentes al salón de clase y la utilización de las TICS para
fortalecer la comprensión de la hipérbola y su representación gráfica. Se Finalizó con una
propuesta educativa llamada Hipérbolactica “Estrategia de aprendizaje y defensa”cuyo objetivo
es darle un uso adecuado a las herramientas que ofrecen los avances tecnológicos y otros
materiales didácticos para lograr un aprendizaje al que se permite acceder en la realización de
eventos pedagógicos para el ámbito motivacional de los estudiantes manteniéndolos interesados
en el aprendizaje de la hipérbola desarrollando situaciones problema.
14
ABSTRACT
The hyperbole is a topic of educational research that piqued our interest because it is one
of the conic sections having greater difficulty in internalizing and learning as it contains more
elements than the other three conic (circle, ellipse and parabola). The teaching and learning of
the hyperbola requires considerable effort of teachers and the student is not generally useful in
the practical, therefore applications found in everyday life on a motivational hyperbole are
constant for this research was born of the need to study this cone from the basic concepts and
elements that are essential and necessary for graphing, leading to educating constructed by
manipulating objects guidelines and their own knowledge so contextualized and comprehensive.
This is one of the key purposes of this research project because yes, only the algebraic analysis
focuses on a set of pragmatic experiences, discoveries and training essential is lost.
Based on research tools such as diagnostic evaluation and observations, it was found a
difficulty in understanding the definition, problem solving and graph of the hyperbola by
students of 10 ° E of School Mary Help of Municipality Galapa, aged between 14 and 17 years;
these shortcomings were addressed submitted taking into account the learning styles of each
student to achieve meaningful learning. In developing the proposed theoretical ideas as David
Ausubel and Van Hiele levels apply. Besides the paradigm of this research takes place in the
critical social theory, this displays the pedagogical, didactic and interdisciplinary quality content
for mathematics education. The investigative nature is grounded in action research, so active,
dynamic and modern methodological strategies were applied mediated moments; concrete
15
material, different environments to the classroom and the use of ICT was used to strengthen
understanding of the hyperbola and graphing. He ended with an educational proposal called
Hipérbolactica "Learning Strategy and defense" aimed at giving proper use of the tools offered
by technological advances and other teaching materials for a learning that is allowed access in
conducting educational events motivational ambit of keeping students interested in learning
situations developing hyperbole problem.
16
INTRODUCCIÓN
La hipérbola es un tema de investigación educativa fundamental en el aprendizaje de la
geometría analítica y en el desarrollo del pensamiento espacial.
Al mediar conocimiento sobre la hipérbola se enfatiza en su aplicación
interdisciplinariamente, el mundo avanza rápidamente y las tecnologías se involucran cada vez
más en el ámbito escolar así como también en el contexto del estudiante. Es conveniente iniciar
el estudio de esta cónica a partir de los conceptos básicos y sus elementos, que son
fundamentales y necesarios para la representación gráfica de la hipérbola llevando al educando a
construir mediante orientaciones y manipulación de objetos su propio conocimiento de manera
contextualizada e integral. El propósito de esta investigación se centra en partir de situaciones
problema del entorno cotidiano del estudiante que puedan solucionarse mediante la ecuación de
la hipérbola despertando así una motivación y familiaridad por la temática para obtener una
buena comprensión en el aprendizaje de la hipérbola.
El nivel que se presenta en la enseñanza dada por los docentes siguen dejando vacíos en
la interiorización del conocimiento pues es muy abstracto y cada detalle exhibido en este
conocimiento es importante, las dificultades encontradas para la asimilación de este tema son
variadas y van desde no manejar el lenguaje matemático apropiado del tema hasta la falta de
interpretación del gráfico.
17
Para encontrar la solución de una problemática que se viene presentando y basados en
herramientas de investigación tales como: una evaluación diagnóstica y observaciones que se
realizaron, en la Institución Educativa María Auxiliadora del Municipio de Galapa, se aportaran
contribuciones para el mejoramiento de la calidad de educación en el área de matemática,
integrando estrategias novedosas que anulen las dificultades encontradas en esta investigación.
Finalmente es necesario que los estilos de aprendizaje de los estudiantes sean tenidos en
cuenta para avanzar en su proceso de interiorización del conocimiento y así lograr un
aprendizaje significativo, a los docentes introducir estas estrategias harán de su acto pedagógico
un aporte propio para afianzar los conocimientos de los estudiantes en lo que respecta al
problema de investigación, esto será tenido en cuenta en el diseño de estrategias que innovan y
hacen aportes a la vida diaria del educando.
18
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.
Identificar las dificultades que presentan los estudiantes con respecto a la hipérbola, es
prioritario en la búsqueda de posibles soluciones al problema, por esto las herramientas como la
observación directa en el aula de clases y la realización de una prueba diagnóstica, vislumbraron
ideas precisas sobre las deficiencias que presentan los educandos en el aprendizaje de la
hipérbola.
La hipérbola ha sido objeto de estudio en otras investigaciones que buscan fortalecer la
comprensión de las secciones cónicas y sus representaciones graficas a través de estrategias
didácticas, específicamente en el colegio María Auxiliadora de Galapa se evidenció una
dificultad educativa en los estudiantes de décimo grado, quienes presentan deficiencias en el
aprendizaje de la hipérbola, sus elementos, sus ecuaciones y su representación gráfica.
En el aula de clases se encontraron otras dificultades para el aprendizaje de la hipérbola
puesto que las nociones necesarias para la adquisición de este conocimiento no son desarrolladas
correctamente o no han sido interiorizadas. Por ejemplo se encontró en los estudiantes
dificultades en los conocimientos previos tales como:
No ubicar correctamente las parejas ordenadas en el plano cartesiano como se
observa a continuación.
19
A través de estas mismas herramientas de investigación se pudo establecer que
mediante una situación problema los estudiantes de décimo grado no saben graficar la hipérbola
u otra sección cónica; no reconocen la ecuaciones que corresponde a la hipérbola y tampoco su
representación gráfica, es decir confunden una parábola con una hipérbola. Por ejemplo el
siguiente grafico muestra que dibujaron una función lineal en vez de una hipérbola.
Figura 1: Gráfica construida en
Geogebra I
20
Otro caso, el concepto previo sobre la distancia entre dos puntos, la mayoría de los
estudiantes no desarrollaron el ejercicio propuesto y en consecuencia, dejaron la hoja en blanco
con respecto a este punto, aunque pocos estudiantes realizaron dicho ejercicio propuesto, su
proceso aritmético para hallar la distancia entre dos puntos fue erróneo como se muestra en el
siguiente ejemplo.
Figura 2: Gráfica construida en geogebra II
21
Los estudiantes tampoco diferencian una ecuación de la hipérbola de una
algebraica o de una razón trigonométrica y no saben que es una variable.
Pregunta 4. Determine una ecuación para una hipérbola con centro en el origen
Estudiante 1:
Respuesta:
Estudiante 2:
Respuesta:
Otro caso que se pudo observar fue que algunos ni siquiera supieron dar respuesta
a ninguna de las preguntas mencionadas anteriormente.
Figura 3: Pregunta 2 de la primera prueba
22
Antes de observar las dificultades relacionadas arriba el docente realizó la explicación de
la sección cónica hipérbola, mostrando la definición proyectada en el tablero electrónico, donde
se explica un ejercicio y se proponen varios, esta metodología es tradicional, el estudiante
aprende mecánicamente sin lograr apropiarse del conocimiento, lo cual se logra constatar en los
resultados de los ejercicios propuestos pues, la mayoría de los estudiantes no los desarrollaron y
manifestaron no entender.
Se puede decir que en el acto pedagógico, el docente busca con sus explicaciones la
comprensión del tema por parte de los estudiantes, sin embargo, a pesar que entienden algunos
conocimientos no los retienen puesto que no se genera los mejores resultados al momento de ser
evaluados.
1.2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.
Se aborda esta investigación con la intención de conocer las dificultades que se presentan
en los estudiantes de décimo grado E de la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa
con referencia a la hipérbola, sus elementos y su representación gráfica mediante la
interpretación de situaciones problema para un aprendizaje significativo.
23
1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.
Con la finalidad de encontrar solución a la problemática descrita anteriormente en los
estudiantes de décimo grado E de la Institución educativa María Auxiliadora de Galapa, se
plantean interrogantes que dan respuesta al proceso de investigación.
¿Qué estrategias didácticas y situaciones problema se deben desarrollar para
el aprendizaje de la hipérbola en los estudiantes de décimo grado?
Con el propósito de estudiar el problema expuesto, los factores incidentes y la posibilidad
de mejorar la situación cognitiva de los estudiantes involucrados, surgen otros interrogantes tales
como:
¿Qué conocimientos previos necesitan los estudiantes para el aprendizaje de la hipérbola?
¿Cómo propiciar la identificación de la hipérbola a través de una situación problema?
¿Qué medios utilizar para fortalecer el desarrollo del aprendizaje de la hipérbola?
24
2. FINES DE LA INVESTIGACIÓN
2.1 JUSTIFICACIÓN.
La enseñanza-aprendizaje de la hipérbola en los estudiantes de 10° E de La Institución
Educativa María Auxiliadora de Galapa, es el tema objeto de estudio de la presente investigación
debido a la dificultad que han manifestado los estudiantes hacia el tema antes mencionado se
considera que el docente requiere de un esfuerzo considerable en lo concerniente a su enseñanza;
el estudiante muestra dificultades para aprender este tema, por lo que se tiene la necesidad de
implementar estrategias tal como lo sería la manipulación de objetos, el análisis de situaciones
problémicas y la didáctica; el uso de herramientas tecnológicas para graficar la hipérbola;
además de encontrar su utilidad en lo práctico. Las aplicaciones que se han encontrado sobre la
hipérbola hacen parte de la solución a situaciones presentadas en la vida como es el caso del
experimento del cono de Apolonio que al cortar la superficie de un cono doble con un plano de
forma vertical se obtiene una forma hiperbólica utilizada por arquitectos e ingenieros en
construcciones que realmente tienen un diseño novedoso los cuales están basados en esta
situación y el estudio de este tema surgió precisamente de un problema llamado la duplicación
del cubo.
Para mejorar la estructura cognitiva de los estudiantes en cuanto a la geometría analítica,
es necesario proponer reestructurar el programa de matemáticas de la Institución Educativa
María Auxiliadora de Galapa, donde exista un periodo de tiempo más amplio dedicado a esta
temática para desarrollar su aprendizaje, de esta manera se estudiaría a profundidad la hipérbola
y los resultados serán óptimos.
25
Esta investigación permite a los docentes hacer uso de nuevas formas de enseñanza y a
los estudiantes fortalecer su creatividad para potenciar su conocimiento, atendiendo la necesidad
de mejorar las dificultades del proceso de enseñanza-aprendizaje, debido al análisis de los
conocimientos previos en los estudiantes buscando obtener un punto de partida para el proceso
de enseñanza e interiorización del tema.
El desarrollo de problemas permite estimular habilidades analíticas en los estudiantes, es
un proceso que se da a lo largo de la escolaridad en la búsqueda de “obtener resultados óptimos
en la formulación, tratamiento y resolución de problemas” (Estándares Básicos De competencias.
MEN, 2003, p. 52) por lo que hace parte de las estrategias a implementar, tomando en cuenta que
la actividad es estimulada por la situación. De ahí surgen estrategias didácticas que pueden ir de
la mano con la situación problema planteada al estudiante; también se tomaran aspectos claves
que hacen parte de este proyecto, pues el sistema geométrico los maneja de tal manera que se
debe procesar como: los elementos de que constan, las operaciones y transformaciones con las
que se combinan, y las relaciones o nexos entre ellos, lo que finalmente conlleva a un
aprendizaje significativo.
Es importante tener en cuenta que el problema mediante el proceso de una situación a
resolverse, se expresa como un indicador de logro en la educación matemática, tal como lo es:
“Investiga y comprende contenidos matemáticos a través del uso de distintos enfoques para el
tratamiento y resolución de problemas; reconoce, formula y resuelve problemas del mundo real
26
aplicando modelos matemáticos e interpreta los resultados a la luz de la situación inicial” (Ley
General De La Educación. MEN, 2013, p. 303).
Esta investigación origina una propuesta con el objetivo de enseñar la hipérbola a través
de ayudas educativas como son: los juegos de tablero, los videos, las diapositivas y el Software
GeoGebra, que medie en un pensamiento y profundice en conocimiento desde una perspectiva
contextualizada donde se ubican situaciones problemas recurrentes.
27
2.2 OBJETIVOS.
2.2.1 . OBJETIVO GENERAL
Desarrollar estrategias didácticas y situaciones problema para lograr el
aprendizaje significativo de la hipérbola en los estudiantes de décimo grado.
2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Indagar los conocimientos previos que tienen los estudiantes para obtener un
aprendizaje significativo sobre la hipérbola.
Presentar situaciones problemas que puedan resolverse usando la ecuación de la
hipérbola.
Utilizar estrategias didácticas para fortalecer el desarrollo del aprendizaje
significativo de la hipérbola.
28
3. MARCO REFERENCIAL
3.1 ANTECEDENTES
Es importante explorar en la historia e ir dando un vistazo clave a ella para entender el
descubrimiento de la solución de un problema donde es aplicada la hipérbola, por lo tanto, se
indagó en diferentes fuentes para adquirir un nivel de conocimiento ideal sobre esta. De igual
manera se encontraron trabajos de investigación muy útiles que son un punto de referencia
importante para este proyecto; además históricamente se han ido descubriendo diferentes
aplicaciones de la hipérbola lo cual hace más interesante este tema, entre las que se pueden
destacar las siguientes:
La hipérbola tiene una propiedad interesante: si se une cualquier punto, P, de la hipérbola
con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales.
Esta propiedad tiene aplicaciones en la construcción de espejos, de luz y de sonido,
puesto que la emisión de estos, desde el foco se refleja en dirección de la recta que une el otro
foco con el punto.
También se destaca su aplicación en astronomía: trayectorias de cometas. Un cuerpo
celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita
hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede
29
con algunos cometas. Cabe destacar que se pueden combinar las propiedades ópticas de la
parábola y la hipérbola para la construcción de telescopios.
3.1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Los antiguos griegos profundizaron en el estudio de las secciones cónicas encontrando
diversas propiedades que los llevaron a conceptualizar en términos de puntos y rectas dichas
secciones, además siglos más tarde el suizo Leonard Euler, “clasificó las curvas según el grado
de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. Y en otros apartados de sus obras trató
las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas
infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden.
También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y
propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas,
curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas” (Introducción al
análisis de los infinitos II tomo, Euler Leonard, 1748).
Uno de los grandes estudiosos de las secciones cónicas fue “Menecmo (350 a. C) quien
descubrió estas curvas y las llamo “La triada de Menecmo” (conocidas con los nombres de
elipse, parábola e hipérbola, dados por Apolonio de Perga posteriormente). Con este
descubrimiento permitió solucionar el problema de los oráculos Delfos”. (Historia de las
matemáticas, Boyer, Carl. B. Alianza Editorial Madrid, 1986, pág. 24)
30
Tradicionalmente las secciones cónicas de las que hace parte la hipérbola descubiertas
por Menecmo (350 a. C) en su estudio del problema de la duplicación del cubo donde demuestra
la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con la hipérbola, confirmado
más tarde por Proclo y Eratóstenes. Menecmo en su propuesta, halla (y = 2/x) al considerar los
miembros primero y tercero de la proporción a: x2 = y: 2a primero y segundo a: x = x: y que
para a = unidad se puede obtener el valor de la arista mediante la intersección de x2=y e y
2=2x,
tal como aparece en la figura, son la parábola e hipérbola de la gráfica
Solución duplicación del cubo.
Menecmo descubrió las propiedades de la parábola y la hipérbola que corresponden en
coordenadas cartesianas a las relaciones que resaltan de la proporción continua x2=ay, y
2=bx,
xy=ab.
Figura 4: Arista del cubo de doble volumen
(http://sitios.usac.edu.gt/seccionesconicas/imagenes/
TriadaMenecmo.gif)
31
Obra de Apolonio
Apolonio de Perga (ciudad al sur de Turquía frente a la costa Egipcia) vivió entre el 262
a.C. y el 190 a.C. las circunstancias de la composición de la obra de Apolonio están explicadas
por él mismo en su primer libro. Donde le escribe a Eudemo; explicándole que había elaborado
esta obra sin poner cuidado en su perfección anotando lo que se le ocurría por lo que no es
extraño encontrar en los libros I y II que fueron publicados sin revisión , cuestiones tratadas de
manera diferente.
A continuación se examinará un punto importante que compete al tema de la presente
investigación como lo es la hipérbola, estudiado por Apolonio y dado a conocer en los libros I y
II de su autoría.
El libro I comienza con la generación del cono circular oblicuo de dos
hojas que, seccionado por un plano, dará lugar a los diferentes tipos de cónicas.
Apolonio ha captado cómo esta consideración de un solo cono permite la
obtención de las tres cónicas según la inclinación diversa del plano y además
identificará la hipérbola como una curva con dos ramas. En estos puntos
importantes se aparta de sus antecesores en el campo, logrando una visión más
unitaria y mejor sistematizada del tema.
32
Estudia las secciones circulares del cono, paralelas y anti-paralelas a la
base, introduce el parámetro (p=2b2/a) que llama lado recto, establece las
propiedades de ordenada y abscisa de las cónicas, considera el centro, ejes,
diámetros conjugados, tangentes... y ataca el problema de construcción de la
cónica dados diversos elementos suyos.
El libro II estudia fundamentalmente las propiedades de las asíntotas de la
hipérbola. Caracteriza la asíntota por la distancia PM en función de OP y el
parámetro correspondiente (ver figura). (Las cónicas de Apolonio, recuperado el
29 de diciembre de 20014 en
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/histor
ia/apolonio/lasconi)
Asíntotas de la hipérbola
Figura 5: Asíntotas de la hipérbola
(http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drup
al/sites/default/files/mguzman/01historias/apolon
io/hiperb.gif
33
3.1.2 ANTECEDENTES EPISTEMOLÓGICOS.
Dentro de estos se encuentran algunas investigaciones que trabajaron en pro de respuestas
a la solución del problema planteado sobre estrategias didácticas para el aprendizaje significativo
de la hipérbola tema objeto de estudio.
En Michoacán - México en el año 2010 el investigador Montaño López Jaime Alberto
realizó un proyecto investigativo llamado: “Diseño y desarrollo de secuencias didácticas para las
cónicas, utilizando el software GeoGebra aplicado en el Colegio Primitivo y Nacional de San
Nicolás de Hidalgo”, tiene como finalidad el uso del software GeoGebra y el desarrollo de las
estrategias didácticas secuenciadas ya que en la actualidad, es considerado que el uso de las
TICS mejora el proceso de enseñanza-aprendizaje y le permite al estudiante hallar y descubrir la
aplicación para llegar a la solución de un problema; además a ser más analítico, reflexivo y
construir su propio aprendizaje significativo, por todo lo anterior se considera un trabajo de gran
relevancia puesto que su finalidad se acopla al de la presente investigación al utilizar el software
GeoGebra incursionando la enseñanza en el mundo de las TICS como estrategia didáctica para
lograr el aprendizaje significativo de los estudiantes tomando en cuenta situaciones problema, y
dando una visión clara para implementar una estrategia similar que haga un aporte al aprendizaje
y compresión del tema.
34
El trabajo del docente Pérez Bernal Reinaldo para título de magíster: “Una propuesta de
enseñanza aprendizaje para la construcción y aplicación de las cónicas”, en el año 2011 en la
universidad Nacional De Colombia implementado en el Colegio Integrado Mesa De Jeridas de
Bogotá aplica las teorías fundamentadas en las estrategias por niveles para el desarrollo del
pensamiento geométrico propuesto por los esposos Van Hiele, es acogida en este trabajo por su
importancia para el aprendizaje de la hipérbola y la implementación de los niveles de Van Hiele
con un punto adicional en el presente trabajo como lo es el análisis de situaciones problema.
El trabajo de investigación de Jefferson Arias Medina, Robinson Peña Almeida y Billy
Romero Villalobos lleva como título “Estrategia didáctica para fortalecer la compresión de las
secciones cónicas en sus representaciones gráficas, en los estudiantes de décimo grado”, en el
año 2012 implementado en el Colegio Distrital De Barranquilla Gabriel García Márquez
desarrolla estrategias didácticas con un proceso sencillo y fácil de entender , fortalece la
comprensión del tema en los estudiantes, además con el uso del software GeoGebra, innova
incursionando en el desarrollo del mundo con la utilización de las TICS y está ligado al interés
de los estudiantes del contexto educativo donde se desarrolla la presente investigación, lo cual es
una de las causas por las que adquiere importancia además aporta ideas concretas para
desarrollar nuevas estrategias didácticas que ayudan en la adquisición del conocimiento dándole
significado al tema.
35
3.2 MARCO TEÓRICO – CONCEPTUAL
Aquí se enmarca cada teoría que abrirá puertas para diseñar una metodología adecuada
en la enseñanza de la hipérbola.
3.2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA HIPÉRBOLA
Hipérbola
Definición
1Se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos, es una constante positiva y menor que la distancia entre los
focos.
1Glifos, procesos matemáticos, 2008,.
Figura 6: Definición de la hipérbola
36
En otras palabras, una hipérbola se define como el lugar geométrico de todos los puntos
P(x,y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia |d1-d2|, es igual a una constante fija
k.
Elementos de una Hipérbola
Figura 7: Ubicación de los elementos de la hipérbola
Focos: son dos puntos fijos.
Eje focal: corresponde a la recta que pasa por los focos.
Eje normal: corresponde a la recta mediatriz del eje focal.
Vértices: puntos que cortan la hipérbola en el eje focal.
Eje transverso: corresponde al segmento delimitado por los vértices de la hipérbola.
Eje conjugado: Corresponde al segmento perpendicular al eje transverso y está contenido en el
eje normal
37
Dos asíntotas: corresponden a dos rectas que se cruzan en el centro de la hipérbola y que
coinciden con las diagonales del rectángulo central.
Centro: punto medio del eje transverso.
Lado recto: Es una cuerda que une dos puntos de la hipérbola, la cual pasa un foco y es
perpendicular al eje focal.
Cuerda focal: Es una cuerda que pasa por un foco
Radio vector: Segmento que une un punto cualquiera de la hipérbola con un foco.
Excentricidad: La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.
Ecuaciones de una hipérbola
General, con ejes paralelos a los ejes coordenados.
Canónica
Ecuación cuando el centro es el origen del plano y el eje focal es el eje x
Ecuación cuando el centro es el origen del plano y el eje focal es el eje y
38
Ecuación cuando el centro es el punto (h,k) y el focal es paralelo al eje x
Ecuación cuando el centro es el punto (h,k) y el eje focal es paralelo al eje y
3.2.2 EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
El aprendizaje significativo tiene lugar en el momento en que el aprendiz orienta la nueva
información a la que ya posee, acomodándola, modificándola o reestructurarla.
Figura 8: Mapa conceptual Aprendizaje significativo
(http://paradigmaseducativosuft.blogspot.com/2011/05/teoria-del-aprendizaje-
significativo-de.html)
39
El aprendizaje significativo es aquel aprendizaje en el que los docentes crean un entorno
de instrucción y en el que los estudiantes entienden lo que están aprendiendo, conduce a la
transferencia y sirve para utilizar lo aprendido en nuevas situaciones, en un contexto diferente,
por lo que más que memorizar hay que comprender. Según Palmero (2003), el aprendizaje
significativo “es una interacción entre profesor, aprendiz y materiales educativos del currículum
en la que se delimitan las responsabilidades correspondientes a cada uno de los protagonistas del
evento educativo. Aprendizaje significativo se opone de este modo a aprendizaje mecanicista.
“Se entiende por la labor que un docente hace para sus estudiantes un acto pedagógico
que implemente estrategias para lograr un aprendizaje significativo” (La teoría del aprendizaje
significativo Luz Rodríguez palmero, centro de educación a distancia (C.E.A.D), santa cruz de
Tenerife, España.2003)
3.2.2.1 Ideas básicas del aprendizaje significativo:
1. Los conocimientos previos son la base para adquirir nuevos conocimientos.
2. Desarrollar el pensamiento para integrar y organizar los nuevos conocimientos.
3. Incorporar nueva información a la estructura mental para alcanzar la comprensión.
4. Aprendizaje significativo y aprendizaje mecanicista se pueden complementar durante
el proceso de enseñanza. Pueden ocurrir simultáneamente en la misma tarea de aprendizaje. Por
40
ejemplo, la memorización de las tablas de multiplicar es necesaria y formaría parte del
aprendizaje mecanicista, sin embargo su uso en la resolución de problemas correspondería al
aprendizaje significativo.
5. El estudiante participa activamente centrando su atención en el cómo se adquiere el
aprendizaje.
6. Potencia la construcción propia del aprendizaje logrando autonomía y dándole al
estudiante la competencia de aprender a aprender.
7. Se produce por exposición de los contenidos por parte del docente o por
descubrimiento del estudiante.
En esta investigación se toma la teoría de aprendizaje significativo de Ausubel con el
propósito que el estudiante genere asimilación teniendo en cuenta su conocimiento previo de tal
manera que estos nuevos conocimientos que se impartirán se acomoden a un significado en un
proceso de articulación e integración para que el aprendizaje sobre la enseñanza de la hipérbola
y se active un concepto claro que se reestructure entrañando la comprensión.
Según Ausubel (1983), el aprendizaje significativo trata de la asimilación y acomodación
de los conceptos, es decir, de un proceso de articulación e integración de significados, en virtud
de la propagación de la activación a otros conceptos de la estructura jerárquica o red conceptual,
ésta puede modificarse en algún grado, generalmente en sentido de expansión, reajuste o
41
reestructuración cognitiva, constituyendo un enriquecimiento de la estructura de conocimiento
del aprendizaje. Las diferentes relaciones que se establecen en el nuevo conocimiento y los ya
existentes en la estructura cognitiva del aprendizaje, entrañan la emergencia del significado y la
comprensión.
En resumen, aprendizaje significativo es aquel que:
Es permanente: El aprendizaje adquirido es a largo plazo.
Produce un cambio cognitivo: Pasa de una situación de no saber a saber.
Está basado sobre la experiencia: Depende de los conocimientos previos.
En relación con el tema de investigación en el aula de la Institución Educativa María
Auxiliadora de Galapa con los estudiantes de décimo grado, el aprendizaje significativo
incursiona como característica principal la interacción con los conocimientos previos más
relevantes para la comprensión de la hipérbola en la estructura cognitiva y la nueva información
adquiriendo con esta enseñanza un significado sustancial que favorece la diferenciación del
conocimiento con otros, la evolución del mismo y además da a toda la estructura cognitiva un
cambio que proporciona un aprendizaje permanente basado en la experiencia.
42
4.1.1 LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA
La enseñanza tradicional forma un pensamiento empírico donde el estudiante es un
receptor pasivo al aprender y el docente es un emisor activo al enseñar; el conocimiento es
ofrecido como la verdad absoluta.
La necesidad de esta investigación de mediar una enseñanza donde los estudiantes sean el
ente activo en el aprendizaje hace imprescindible unificar los esfuerzos de los educandos en
torno a la creación y uso de “métodos más generales, más productivos, que complementan la
forma coherente de acción de las asignaturas que influyen en los estudiantes; en pro de lograr su
mayor participación colectiva y consciente, el desarrollo de su pensamiento, de su imaginación,
de su formación en valores, de su creatividad como lo planteo Silvestre en el año 2000”
(Alexander Ortiz Ocaña, Metodología de la enseñanza problémica en el aula de clase, 2004, Pág.
15).
Majmutov (1983), desarrolló y sistematizó un sistema llamado enseñanza problémica,
donde concibe al estudiante como un ente activo por lo que debe realizar una actividad para
apropiarse del conocimiento y con ello desarrollar su intelecto. De esta manera crítica la
enseñanza tradicional al expresar que esta ofrece al estudiante, los conocimientos ya hechos y
elaborados.
43
4.1.1.1 La situación problémica de aprendizaje
Según Ortiz Ocaña Alexander en su libro metodología de la enseñanza problémica en el
aula de clases (2.004), la situación problémica de aprendizaje constituye el momento inicial del
pensamiento que provoca la necesidad cognoscitiva del estudiante y crea las condiciones
internas de asimilación en forma activa de los nuevos conocimientos y procedimientos de la
actividad.
El momento inicial del pensamiento es generalmente una situación problémica, el
estudiante comienza a pensar cuando aparece en el la necesidad de comprender algo, cuando
descubre una contradicción en sus sistemas de conocimientos y es precisamente esa
contradicción lo que conlleva a la necesidad de investigar con más profundidad el objeto de
estudio.
“La situación-problémica o situación problema, constituye el punto de partida de las
situaciones didácticas. Definida como una situación didáctica fundamental, pone en juego, como
instrumento implícito, los conocimientos que el estudiante debe aprender. La situación problema
es el detonador de la actividad cognitiva; para que esto suceda debe tener las siguientes
características” (Fundamentación intuitiva del currículo de matemática, Luis y Waldegg
Guillermina, 2002, Pág. 20)
a) Debe involucrar implícitamente los conceptos que se van a aprender.
44
b) Debe representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe ser
accesible a él.
c) Debe permitir al estudiante utilizar conocimientos anteriores
d) Debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al estudiante a poner en duda sus
conocimientos y a proponer nuevas soluciones
e) Debe contener su propia validación.
“La resolución de la situación-problema supone una serie de interacciones simétricas
entre estudiantes y de interacciones asimétricas entre los estudiantes y el docente, pero también
supone la superación de un conflicto cognitivo interno del sujeto entre sus conocimientos
anteriores y los que resuelven la situación planteada” (Fundamentación intuitiva del currículo de
matemática, Luis y Waldegg Guillermina, 2002, Pág. 20).
4.1.2 NIVELES Y GRADOS DE UNA SITUACIÓN PROBLEMA
De una situación problemática surge un conjunto de problemas lógicamente
interrelacionados o el contexto donde se ubica específicamente el problema. “La situación
problema se refiere a una circunstancia, lugar o instancia concreta donde se ubica el problema.
Muchas veces contextos extremadamente generales enmarcan o rodean a un problema, le hacen
perder a éste su carácter sustantivo y su propia singularidad, de ahí la necesidad de ubicarlo en
45
un contexto que lo sitúe en un área o sector de actuación más específico”(Hugo Cerda Gutiérrez,
La investigación formativa en el aula,1991).
Niveles y grado de una situación problema
Muchas veces para que un problema deba ser comprendido exige vincularlo con otros
problemas, los cuales les permitirán tener una percepción más amplia sobre sus oposiciones,
contradicciones y relaciones.
La función problemática no se agota al comienzo del proceso investigativo, sino que una
vez culminado y se inicie el proceso de análisis e interpretación, la información y los conceptos
Figura 9: Mapa conceptual situación problema (Hugo Cerda
Gutiérrez, La investigación formativa en el aula, 1991)
46
de la problemática serán muy útiles para llenar algunos vacíos de significación al término del
proceso investigativo.
Problemáticas
En la gráfica se muestra los tres niveles de una problemática o situación problemática,
donde las flechas nos señalan la generalización y concreción creciente y decreciente de los
problemas y las disciplinas. Aunque por razones obvias, el referente principal es el problema,
aquí se toma también como elemento referencial la disciplina, que según sus niveles de
interrelación con otras, pueden tener un mayor grado de generalidad o de especialidad. Estos tres
niveles hacen parte de una unidad y de un desarrollo progresivo.
Figura 10: Escala de problemáticas (Hugo Cerda Gutiérrez,
La investigación formativa en el aula, 1991)
47
4.1.3 TEORÍA DE VAN HIELE
La teoría establecida por los esposos Van Hiele (1.957), estableció un método didáctico
para la enseñanza de la geometría; se basa en cinco niveles de carácter recursivo.
Esta teoría desarrolló una posible solución a la problemática observada por el común de
los docentes de matemáticas de la época, las cuales mencionaban las dificultades de los
estudiantes para hallar soluciones asertivas a problemas de orden geométrico dando importancia
a contextos interactivos en el aula que aporten al razonamiento a dichos problemas.
El modelo de Van Hiele puede enunciarse de la siguiente manera:
1. Los estudiante pueden estar en diferentes niveles de razonamiento
2. Los estudiantes comprenderán la enseñanza que el docente le presente
adecuadamente de acuerdo a su nivel de razonamiento.
3. Para enseñar un tema se debe expresar en el nivel de razonamiento actual del
estudiante.
4. Es posible mediante la enseñanza adecuada de las matemáticas que el estudiante
pueda razonar en los diferentes niveles.
48
“El modelo de Van Hiele propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento
geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje en la geometría” (Lineamientos
Curriculares (MEN 1998)), de los cuales se aplicaran en la propuesta de esta investigación los
siguientes:
Nivel 1: Visualización.
El estudiante percibe las figuras, sin detectar relaciones entre sus partes. Por ejemplo, un
niño de cinco años de edad puede reproducir un rombo, rectángulo y cuadrado; puede recordar
sus nombres de memoria. Pero no tiene la capacidad de ver que el cuadrado es un tipo de rombo
o viceversa. Para él son formas distintas y aisladas.
Nivel 2: Análisis.
El estudiante percibe las cualidades de las figuras, sus propiedades básicas. Estas
propiedades se van comprendiendo a través de observaciones de práctica con trabajos en
mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. El niño ve que un rectángulo tiene cuatro
ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos también
son de la misma longitud. Se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del
paralelogramo general, pero el niño es todavía incapaz de ver el rectángulo como un
paralelogramo particular.
49
Nivel 3: Ordenación.
Las relaciones y definiciones comienzan a quedar analizadas claramente con la ayuda de
guías. Pueden clasificar figuras mediante el ordenamiento de las propiedades con argumentos
para dar validez de sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es presentado como un rombo,
debido a que puede ser considerado como “un rombo de más propiedades”. El cuadrado sería un
caso particular del rectángulo, y este del paralelogramo. Empiezan a presentarse conexiones
lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento.
Van Hiele, menciona otros dos niveles como lo son: la deducción formal y el rigor los
cuales por lo general los estudiantes de la educación media no alcanzan a desarrollar razón por la
que en este trabajo se tomaran solo los niveles definidos anteriormente.
Para desarrollar más efectivamente esta metodología en el desarrollo de los actos
pedagógicos para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la hipérbola, se toma en cuenta que el
modelo de Van Hiele es una teoría que se complementa a través de un método que establece
cinco fases de aprendizaje, es necesario tomarlo en cuenta para que un estudiante pueda pasar de
un nivel de razonamiento a otro por su orientación secuenciada.
50
4.1.3.1 Pautas para la elaboración de un módulo de instrucción con base en las fases
de aprendizaje del modelo de van Hiele
Las fases de aprendizaje buscan que, en el transcurso de su aplicación, el estudiante
reelabore el lenguaje empleado con relación al concepto estudiado para que pueda progresar del
nivel de razonamiento en que se encuentra al inmediatamente superior. Las fases de aprendizaje
del modelo según Bedoya, Esteban y Vasco en su trabajo Fases de aprendizaje del modelo
educativo de van Hiele y su aplicación al concepto de aproximación local pág. 83 expresa que
Van Hiele las define de la siguiente manera:
Fase 1. Información. Se explora mediante test, entrevistas, gráficas o exposiciones
realizadas por los alumnos. Con ello se busca que expliciten la información que tienen en su
estructura cognitiva acerca del concepto objeto de estudio.
Fase 2. Orientación dirigida. El profesor propone actividades en las que el concepto se
relacione con situaciones de la vida diaria y anima a los alumnos para que encuentren sus
propias relaciones, las compartan y discutan con sus compañeros.
Fase 3. Explicitación. Los estudiantes aplican el concepto para resolver problemas que
correspondan a situaciones reales en diferentes contextos.
Fase 4. Orientación libre. Se completa la red de relaciones que se comenzó a formar en
las fases anteriores y se adquiere el lenguaje propio del siguiente nivel de razonamiento.
51
Partiendo del concepto estudiado y de sus propios intereses los estudiantes deben formular y
solucionar sus propios problemas.
Fase 5. Integración. El concepto estudiado se reorganiza y adquiere un nuevo significado.
Se hace explícita la nueva red conceptual y el conjunto de habilidades de razonamiento
adquiridas.
52
4. DISEÑO METODOLÓGICO
La presente investigación se fundamenta en la orientación de los procedimientos en la
búsqueda de elementos claves de la recolección de la información, tomando en cuenta los
objetivos planteados en un enfoque cualitativo que desarrolla una estrategia participativa.
Los investigadores trabajan unos pasos o fases centrales durante el mismo proceso de la
investigación, para proceder a implementar una solución a la problemática donde se parte del
estudio de métodos para recopilar datos de tipo descriptivo y las observaciones del fenómeno en
su entorno natural permitiendo afinar o rediseñar las preguntas de investigación y dar significado
a la misma. A continuación el tipo de investigación, el paradigma de investigación y algunos
otros aspectos del diseño metodológico que enmarcan la presente investigación.
53
4.1 PARADIGMA DE INVESTIGACION.
Esta investigación se ajusta al modo de ver las situaciones del mundo en la teoría crítico-
social que está comprometida en transformar positivamente los contenidos del aprendizaje del
estudiante, las didácticas desarrolladas por los docentes e incluir interdisciplinariedad en la
enseñanza para obtener calidad educativa en la sociedad estudiantil y su desarrollo de las
matemáticas.
El paradigma crítico-social en la presente investigación tiene como finalidad que cada
sujeto social que participa sea capaz de reflexionar en la acción y la praxis logrando la
transformación de su realidad.
Este paradigma permite que los sujetos involucrados en la investigación mantengan una
iniciativa de formarse explícitamente y auto-reflexionar sobre la crítica en el proceso del
conocimiento para alcanzar la emancipación del mismo.
Este trabajo que tiene como tema de estudio el desarrollo de estrategias didácticas y
situaciones problema para el aprendizaje de la hipérbola en los estudiantes de décimo grado E de
la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa, se efectúa basado en investigación de
campo a través de la acción, la práctica y el cambio. Visiona la comprensión eficiente de la
54
teoría y la práctica educativa desarrollando un pensamiento crítico, racional e investigativo en
los estudiantes, sujetos participantes de esta investigación.
4.2 TIPO DE INVESTIGACIÓN.
La investigación acción, es aquella que comienza con la identificación de un problema en
el área para resolverla y encontrar una solución. Ordenar, concentrar, disponer y relacionar los
datos de acuerdo con los objetivos de la investigación nos permite preparar la información con la
finalidad de proceder a su análisis e interpretación, lo cual permitirá conocer la situación y
elaborar un diagnóstico.
Las secciones cónicas y en especial la hipérbola, son temáticas poco investigadas por tal
motivo la investigación acción será fundamental en este trabajo cuyo objetivo es familiarizar al
estudiante con el aprendizaje significativo, una praxis en el conocimiento de la hipérbola y sus
situaciones problemas.
El propósito es dar un diagnóstico preciso identificando las posibles deficiencias y
elementos u agentes que influyen para que se presente una problemática en los estudiantes de
décimo grado de la Institución Educativa María Auxiliadora del Municipio de Galapa en el tema
de la Hipérbola.
55
Para la investigación acción de un tema relativamente desconocido se dispone de un
amplio espectro de medios para recolectar datos en diferentes ciencias: bibliografía
especializada, entrevistas y cuestionarios hacia personas, observación participante (y no
participante) y seguimiento de casos. La investigación acción terminará cuando, a partir de los
datos recolectados, se adquiere el suficiente conocimiento como para saber los factores
relevantes al problema y los no relevantes.
4.2.1 ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN.
Identificación de la problemática de investigación: Es la etapa que pretende dejar
claro el punto de partida de la investigación; se desarrolla tomando en cuenta el contexto
situacional, momento que define la muestra, donde los sujetos que participaran, no
necesariamente debe ser significativa puesto que la investigación acción no lo requiere. En esta
etapa se desarrolla un diagnóstico a través de sondeos y preguntas generales sobre el tema a
desarrollar, permitiendo de esta manera llegar a una descripción previa que puede
complementarse con observaciones no participantes y una prueba escrita.
Documentación: En el proceso de investigación acción se estudia documentación que se
relacione con el fenómeno del cual se está ocupando la investigación, tales como la búsqueda de
antecedentes del área problemática o necesidades básicas que permitan examinar el tema y
elaborar la formulación, justificación, objetivos y cuerpo del trabajo que familiaricen a los
56
investigadores con los conceptos que intervienen en él y encontrar una visión más clara del
objeto de estudio de la manera más aproximada posible.
Observación: En esta etapa de la investigación se busca obtener información medible
sobre la problemática abordada; esta información puede ser confirmada por otras técnicas de
investigación como lo es una prueba escrita validada previamente para que la investigación
adquiera confiabilidad, además de obtener con los datos necesarios para aplicar la solución
adecuada al problema.
Con estos datos se prepara la información para proceder al análisis e interpretación lo
cual permitirá conocer la situación y elaborar una prueba diagnóstica.
Planificación: Desarrollo de un plan de acción se basa en los datos recolectados ya que
estos permiten decidir cómo se va a estudiar y que necesidades se priorizarán ante las posibles
alternativas.
Acción: (Fase en la que reside la novedad). Es el momento de la praxis y observación de
la transformación en el contexto en que tiene lugar. Es importante la formación de grupos de
trabajo que reflexionen continuamente en la realidad para llevar a cabo las actividades diseñadas
y la adquisición de una formación con calidad, con eficacia y con eficiencia.
57
Reflexión: Se exponen los efectos como base para una nueva planificación si se precisa;
con estos se valora la acción desde lo previsto. En esta etapa se desarrolla un análisis crítico
sobre los procesos, problemas y restricciones que se han manifestado.
Definición del diseño metodológico: Este trabajo tiene como objeto de investigación a
los estudiantes de décimo grado de la Institución educativa María Auxiliadora del municipio de
Galapa con una muestra de 40 estudiantes. Se basa en el paradigma socio crítico, fundamentado
en la investigación acción que conlleva a reflexionar sobre el quehacer docente para optimizar
los procesos de enseñanza-aprendizaje.
La intervención del problema: Tiene como finalidad fortalecer la comprensión de la
hipérbola, las situaciones problema que se solucionan a través de la hipérbola y la construcción
de su representación gráfica en los estudiantes, en esta fase se aplican y aprueban los eventos
que integran la propuesta; las cuales se desarrollarán por espacio de 6 horas semanales durante 3
semanas en el horario habitual de clases.
Los resultados de la investigación: Después del desarrollo de los eventos pedagógicos y
la aplicación de actividades complementarias que integran la propuesta educativa se busca la
mejora en los estudiantes en la comprensión de situaciones problema modelados con la hipérbola
y su representación gráfica.
58
4.3 POBLACIÓN Y MUESTRA.
Galapa es un municipio del Departamento del Atlántico descubierta según informaciones
históricas el 23 de Marzo de 1533 por el español Don Pedro De Heredia. Galapa cuenta con una
población total de 38.186 habitantes, de los cuales 34.509 se encuentran asentados en la
cabecera municipal. Se encuentra localizado en la parte Noroccidental del Departamento del
Atlántico a 15 kilómetros de la capital de Barranquilla, comunicado con la Avenida la
Cordialidad. Cuenta con una extensión de 104 kilómetros cuadrados para su área Municipal, lo
que representa el 3.18% del total de la superficie del Departamento. Limita al Norte con
Barranquilla, al Sur con el Municipio de Baranoa, al Este con el Municipio de Soledad y
Malambo y al Oeste con Tubará.
Político – administrativamente el municipio cuenta con un casco urbano que en los
últimos años ha crecido debido a asentamientos humanos que teniendo en cuenta la problemática
de desplazados que vive nuestro territorio nacional han encontrado en Galapa las condiciones
mínimas de vivienda. Es así como en la actualidad el municipio cuenta con 36 barrios
oficialmente incluido la urbanización Mundo Feliz, cuenta además con un corregimiento que es
Paluato y dos veredas: Petronitas, Alpes de Sevilla.
La Institución Educativa María Auxiliadora está localizada en el perímetro urbano del
Municipio de Galapa, lado Sur, Barrio Libertador, Calle 14 Nº12ª-47, cerca de la ribera de
Arroyo Grande, Calle del Moján. A esta Institución asisten estudiantes de todos los sectores de
59
la población, del corregimiento de Paluato y Barranquilla, el cual se transportan en bicicletas,
carros de mula y otros medios de transportes, hay 4 vías de acceso.
Los estudiantes proceden de familias de estratos socioeconómicos 0, 1 y 2 y desplazados
por la violencia y el conflicto armado. Asisten en la actualidad niños, niñas y jóvenes afro
colombianos, con déficit cognitivo, autismo, síndrome de Down, limitaciones físicas y también
talentosas.
La Institución Educativa María Auxiliadora por ser una escuela inclusiva recibe a todos
los estudiantes sin distinción de raza, credo, religión, clase social o política y otros. Es por ello
que en esta Institución asisten niños, niñas y jóvenes, con piel color trigueño, mestizo, negro y
blanco, algunos con limitaciones físicas (silla de rueda). Hay una taza porcentual de desnutrición
muy considerable, provienen de hogares donde hay muchas necesidades, es visible las
condiciones de pobreza que muchas familias viven.
SEDE No. 1:“INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARIA AUXILIADORA”.
CODIGO DANE No. 108296000049
Situada en el barrio Libertador en la Calle 14 N°.12 A-47, ofrece a la comunidad
Galapera educación con calidad de 3° a 11º y PAVA alfabetización digital para adultos. Está
articulada en su educación media con el SENA y el ITSA.Es de calendario A, de carácter mixto
y ofrece dos jornadas: mañana y tarde en los horarios: 6:45 AM a 12:30 PM y 12:45 a 6:00 PM
y dirigida por la rectora Mg. Carmen Salcedo De Manotas.
60
Cuenta con un total de 1.693 estudiantes y seis grupos de Alfabetización Digital para
adultos PAVA con 178 estudiantes.
Esta sede posee aulas adecuadas (varias de estas con aire acondicionado) para que el
proceso educativo se realice de la mejor manera varias de ellas con tableros electrónicos que
tanto docentes como estudiantes como docentes saben utilizar pero lastimosamente este recurso
no es aprovechado en todos los espacios posibles que se les dé para ello, las mesas y sillas no se
encuentran en buen estado, dos salas de informática con aproximadamente 45 computadores y
aire acondicionado, posee un laboratorios con algunas herramientas necesarias para trabajar de
las cuales en su mayoría están en pésimas condiciones, una cancha de futbol para que los
estudiantes puedan realizar sus actividades físicas que necesita mantenimiento, una tienda
escolar, comedor, dos patios salones con tarima, una biblioteca con aire acondicionado
disponible en todo momento para todos los estudiante y docentes, también tiene a disposición
para docentes y estudiantes en la biblioteca de consulta virtual incluida en su página web a la
cual no todos los estudiantes tienen acceso debido a que la señal del internet en el municipio no
es muy buena o no tienen este servicio en casa.
SEDE 2"HERNAN ORELLANO"
CODIGO DANE NO. 108296000197
Está ubicada en el barrio Arriba en la Calle 11 No. 13-54, ofrece a la comunidad
Galapera educación con calidad desde grado 0° hasta 2º de básica primaria. También
funciona ACELERACIÓN DE APRENDIZAJE Y APRENDIZAJES BASICOS.
61
Cuenta con un total de 495 estudiantes.
La Institución cuenta en sus dos sedes con un equipo humano integrado por directivos,
docentes y administrativos altamente cualificados que tiene como propósito propiciar a la
comunidad educativa un ambiente sano, agradable y respetuoso para el desarrollo de las
competencias básicas, afectivas, cognitivas y expresivas en los niños, niñas, y jóvenes desde 0º
hasta 11º, con el apoyo de los padres de familia y el respaldo de la comunidad y de los aliados
municipales, departamentales y nacionales; la población estudiantil se encuentra en un nivel
medio de calidad educativa según el ICFES pero se avanza en la búsqueda de la excelencia.
Lo que se desea es una escuela de CALIDAD. Esta Institución es una excelente opción
para la formación integral de los niños y jóvenes GALAPEROS, en competencias básicas,
ciudadanas y laborales a través del proyecto: EL EFECTO DEL AFECTO EN LA ESCUELA Y
SU INCIDENCIA EN LA FAMILIA.
Para la aplicación de esta propuesta investigativa, se eligió el grupo décimo grado E de la
Institución María Auxiliadora de Galapa, conformada por 40 estudiantes, que oscilan entre 14 y
17 años de edad, esta muestra se escogió basada en el muestreo accidental intencional donde se
seleccionan determinados individuos o grupos de individuos basados en el criteriode trabajar un
grupo del mismo salón debido a que la Institución no permitió que se sacaran varios estudiantes
de los diversos salones. Para realizar un estudio determinado.
62
4.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN.
Para la elaboración de la investigación se tienen en cuenta las siguientes técnicas de
recolección de información, las cuales se consideran las más adecuadas para optimizar
resultados:
Las observaciones: apoyado en la correspondiente guía de trabajo se practicaron
observaciones a los estudiantes y al docente orientadas a la recolección de información valida en
el contexto donde se detecta el problema objeto de investigación teniendo en cuenta los
objetivos específicos formulados, se hizo un registro de esta información en un diario de campo.
Según el grado de participación de los investigadores se trabajó los tipos existentes y se
desarrolló de tal manera que éstos solo observaron sin intervenir en las situaciones presentadas
en el día a día, también se observó un trabajo de campo en observación participante ya que los
investigadores se involucraron en algunas de las situaciones presentadas en el accionar del
docente y del estudiante.
Análisis documental: sirve para tener una mejor comprensión y conocimiento referente
a la temática estudiada, es decir documenta y fortalece conceptos además ofrece pautas para
elaborar alternativas de posibles soluciones, cuando conoces bien de lo que hablas existen más
formas de transmitirlo, dentro de estos documentos se pueden utilizar textos, revistas, los
estándares de matemáticas, los antecedentes sobre la enseñanza de la hipérbola, etc.
Prueba diagnóstica: se realizó con el propósito de observar el nivel de entendimiento de
los conocimientos previos necesarios y concepciones sobre el tema de la hipérbola que tienen los
estudiantes y documentar para justificar la investigación, fundamentar y darle confiabilidad a las
63
observaciones que permiten descubrir el problema de manera que la información recolectada sea
primaria.
La entrevista semi-estructurada: se aplicó en la Institución Educativa María
Auxiliadora del Municipio de Galapa, basándose en un modelo de preguntas dejando abierta la
posibilidad que fluyan nuevos interrogantes durante el desarrollo de la entrevista, con el fin
obtener datos referentes al conocimiento matemático que se transmite a los estudiantes en el área
de la geometría analítica. Dicha entrevista se hizo al docente de décimo grado E, con el
propósito de hallar deficiencias en la metodología de enseñanza-aprendizaje aplicada a los
estudiantes y compartir experiencias.
Evidencia fotográfica: La fotografía como método de recolección o información, se
utiliza en varios momentos del proceso investigativo. Cabe destacar que es de gran utilidad este
instrumento, la cual respalda la información encontrada para la presentación de resultados y
justificación de otros aspectos de la práctica.
Prueba final: Se utilizó con el propósito de analizar y valorar datos referentes a las
destrezas adquiridas por los discentes, luego de tener los conceptos, elementos y representación
gráfica de la hipérbola para trabajar en la solución e interpretación de problemas y observar
como el estudiante se desenvuelve ante las situaciones problemas que se solucionan con la
hipérbola; tema que aborda la propuesta pedagógica de la presente investigación.
64
Estos instrumentos han sido validados por el docente Jorge Enrique Díaz Chávez
especialista en Edumática con experiencia en asesorías y evaluaciones de trabajos de grado y el
docente Pedro Hernández Llanos Mg. En Ciencias matemáticas, a través de instrumentos de
validez anexados.
4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACION DE DATOS
4.5.1 Análisis de resultado relacionado con la información recogida en las
observaciones:
Hechos o situaciones. La observación muestra que existe una dotación
como lo son tableros electrónicos en algunas aulas disponibles para ser utilizados en el
desarrollo de las actividades, una falta de recursos didácticos en algunas clases, unas
responsabilidades por parte de los estudiantes, falta de una comunicación estudiante-
docente, se observa un proceso de aprendizaje, y una forma de participación en el proceso
de enseñanza-aprendizaje y un control del rendimiento del estudiante
Interpretación. El aula utilizada para las clases de matemáticas de décimo
grado E, está dotada de un tablero electrónico, un aire deficiente para la cantidad de
estudiantes al igual que el espacio, tiene un tablero borrable, sillas y mesas algunas en mal
estado; las clases carecen de recursos didácticos ya que a pesar del uso de tablero
electrónico los estudiantes no demuestran motivación ; la falta de compromiso para asumir
65
responsabilidades es evidente, además las actividades extracurriculares roban espacio a las
actividades referentes a las matemáticas puesto que ninguna de estas dan muestra de
involucrarla para fortalecer la comprensión de los temas del aula, la participación es
selectiva y en el proceso de enseñanza aprendizaje se observa tradicionalismo en el acto
pedagógico, el rendimiento de los estudiantes se evalúa a través de exámenes escritos,
trabajos(compromisos) y talleres.
Significación. La falta de buena ambientación y de sillas provoca
incomodidades en los estudiantes durante el acto pedagógico incluyendo quejas que se
discuten impidiendo que el espacio de tiempo indicado para desarrollar el proceso de
enseñanza aprendizaje sea menor al previsto; el uso del tablero electrónico a pesar de ser
poco convencional y novedoso no motiva a la participación de los estudiantes puesto que
se maneja de manera tradicional(clases magistrales), es necesario incursionar en
actividades extracurriculares que desarrollen el pensamiento matemático de los estudiantes
que motiven a los estudiantes a la participación; el proceso de enseñanza aprendizaje no
solo debe ser sistemático sino que también debe inclusiva en todos los aspectos de tal
manera que sea el mismo quien construya su propio conocimiento y el control del
rendimiento de los estudiantes puede cambiar dándole un vuelco en su constancia.
Aporte. Se busca dotar de un ambiente de aprendizaje adecuado trayendo
ambientación tanto para el aula como para mostrar recursos didácticos que se puedan
66
visualizar; desarrollar una didáctica que cree compromiso para el cumplimiento de las
actividades, utilizar la dotación de manera adecuada para que haya motivación permitiendo
la participación constante en la construcción de nuevos conocimientos; que el proceso de
enseñanza aprendizaje ayude a facilitar el aprendizaje significativo de las estudiantes.
4.5.2 Análisis de los resultados de la observación a los estudiantes de décimo
grado E de la institución educativa María Auxiliadora de Galapa
Las observaciones fueron registradas en el diario de campo. Se
fundamentan en las observaciones directas y objetivas en el método de enseñanza que
utiliza el docente en las clases de matemáticas, esencialmente en el desarrollo de la
temática de la hipérbola y la asimilación del estudiante.
Las características generales de la enseñanza de las matemáticas en el aula de clase se
pueden especificar a través del diario de campo, teniendo en cuenta lo siguiente observaciones:
1. Metodología de la clase por parte de docente
2. Recursos
3. Didáctica
67
4. Lenguaje matemático
5. Tipos de actividades
6. Asimilación de la temática por parte de los estudiantes
En las observaciones aplicadas a los estudiantes se pudo detallar lo siguiente:
Los estudiantes, se muestran desmotivados a participar en el desarrollo del acto
pedagógico puesto que se distraen fácilmente, no preguntan nada y no se generan repuestas
a las preguntas del docente, demuestran la falta de compromiso para cumplir con las
actividades propuestas.
El docente aborda las clases de manera magistral o por cualquier circunstancia no
desarrolla su acto pedagógico generando apatía por parte de los estudiantes que en
ocasiones buscan discutir temas ajenos al proceso de aprendizaje generando en ocasiones
indisciplina. Por tal motivo se busca crear ambientes motivadores que favorezcan el
proceso pedagógico para la comprensión e interiorización de los temas del área de las
matemáticas. El lenguaje matemático usado por el docente no se hace entendible para los
estudiantes puesto que en ocasiones no da una significación a este.
68
Las actividades propuestas, no interesaron a los estudiantes en el tema, mostraron
muchas dudas para desarrollarlas y presentaron dificultades para comprenderlas lo que
generó resultados negativos en la evaluación.
4.5.3 Análisis de los resultados de la información recogida en la entrevista al
docente
Hechos o situaciones.
1. El docente le da importancia a la enseñanza del tema de la hipérbola.
2. Muestra dominio por el tema al emitir un concepto preciso sobre la
hipérbola.
3. Desarrolla actividades de repaso sobre los conocimientos necesarios antes
de iniciar nuevas temáticas
4. Considera que los estudiantes no dominan el tema.
69
5. Su acto pedagógico es tradicional aun cuando usa herramientas como el
tablero electrónico.
6. Realiza evaluaciones a través de exámenes escritos y talleres en clase.
7. Explica de diferentes formas.
8. Desarrolla resolución de problemas en sus actos pedagógicos.
Interpretación.
1. El docente pretende interesar a los estudiantes en el tema con la explicación
del mismo.
2. Da muestra de dominio del tema
70
3. Busca con sus esfuerzos que el estudiante maneje las bases necesarias para
la comprensión del tema.
4. Reconoce que los estudiantes deben reforzar conocimientos previos.
5. Le da importancia a la evaluación.
6. Busca la asimilación del tema en sus estudiantes.
7. Desarrolla la temática según el orden que se debe aplicar según la ley.
8. Busca que el estudiante razone y desarrolle habilidades del pensamiento
espacial.
Significación.
1. El docente reconoce la importancia de la enseñanza de la hipérbola.
71
2. La enseñanza del tema es objetiva.
3. Prepara a los estudiantes antes de introducirlos en un nuevo tema.
4. Reconoce que los estudiantes no comprenden el tema.
5. La evaluación se realiza con instrumentos tradicionales.
6. Se esfuerza para que con sus explicaciones los estudiantes comprendan el
tema.
7. Reconoce la necesidad de desarrollar un buen acto pedagógico.
Aportes.
1. Es indispensable buscar el mejoramiento del aprendizaje con alternativas
innovadoras que den solución al problema de investigación.
72
2. Mejorar la manera de transmitir ese conocimiento de manera no solo hábil
sino también innovadora y atractiva para los estudiantes.
3. Es fundamental que los conocimientos previos se desarrollen con
actividades que integren al estudiante con la interdisciplinariedad en el acto pedagógico
motivándolo a la participación.
4. Diseñar una estrategia didáctica que además situé al estudiante en su
contexto para facilitar aportes con significación.
5. Proponer una nueva concepción de la evaluación del aprendizaje para que
ésta sea integral y garantice descubrirlos diversos factores que influyen en la significación
del aprendizaje.
6. Lograr que el estudiante se apropie del conocimiento a la vez que
comprende cómo aplicarlo en su contexto a través de situaciones problémicas.
7. Es necesario potenciar la creatividad para favorecer las estrategias
desarrolladas en el acto pedagógico en la enseñanza tratada por el docente.
73
4.5.4 Análisis de los resultados de la entrevista al docente de décimo grado E
de la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa
En la entrevista aplicada al docente de matemáticas, quien es titulado y realizó una
especialización en educación matemática se puede evidenciar lo siguiente:
Le da importancia al desarrollo del tema de la hipérbola, puesto que gran
aplicabilidad en diversos campos, sin embargo admite que es un tema que por lo general
por diversas causas no se alcanza a desarrollar en el aula de clases.
Muestra capacidad interpretativa sobre el tema de la hipérbola.
Para desarrollar la temática de la hipérbola el docente realizó actividades
pedagógicas sobre conocimientos previos como distancia entre dos puntos en un plano
cartesiano y los conceptos de otras cónicas (parábola y elipse) y sus ecuaciones
consideradas como fundamentales y necesarias para la enseñanza de la hipérbola según sus
apreciaciones.
74
Considera que los estudiantes muestran dificultad en la apropiación de los
conceptos, además de mostrar desinterés hacia el estudio de las matemáticas tomando en
cuenta que le demuestran y le dicen abiertamente que no les gusta, por lo que considera
esta su principal debilidad.
En cuanto a fortalezas, manifiesta que el ritmo de aprendizaje no es el mismo, por
ende toma como apoyo para fortalecer la enseñanza a los estudiantes que demuestran
habilidades avanzadas de aprendizaje para tratar de mejorar el nivel general dándoles a
estos herramientas que ayuden a mejoramiento de las actividades que se desarrollan en
grupo.
El docente dentro de sus estrategias didácticas incluye el uso de herramientas
como guías de talleres y tablero electrónico. Lo cual manifiesta que debe ampliar su concepto de
estrategias didácticas y no quedarse en la didáctica tradicional que muchas veces no es suficiente
para la enseñanza de las temáticas.
Para la evaluación el docente usó talleres en clase y exámenes escritos; la
forma clásica e obtener resultados lo cual resulta conveniente.
75
Los resultados de la evaluación fueron buenos a nivel general, sin embargo
se observó en los exámenes escritos de manera individual hubo mayor porcentaje de
estudiantes que mostraron falta de comprensión.
El docente observó antes, durante y después dificultades referentes a la
aplicación de la ecuación que deben utilizar para cierta situación.
El tema de las dificultades para desarrollar cualquier temática siempre está latente
pero se crean buenas bases de para que el estudiante logre superarlas.
El docente desarrolla las temáticas de la geometría teniendo en cuenta los
estándares en matemáticas y asimilando el pensamiento geométrico como fundamental en la
formación integral del estudiante.
En la enseñanza de la hipérbola el docente planteo problemas que le permitieran a
los estudiantes pensar en cómo darles solución.
76
4.5.5 Análisis de los resultados relacionados con la información recogida de la
prueba diagnóstica.
El objetivo de esta prueba diagnóstica es indagar la información que los estudiantes
poseen a nivel cognitivo y de esta manera recolectar información cumpliendo con la primera
fase del modelo de Van Hiele
Hechos o situaciones.
1. Manejo de conocimientos previos
2. Habilidades y estrategias del pensamiento donde se establece la capacidad de
razonamiento ante situaciones problémicas.
3. Dificultades establecidas.
4. Capacidades cognitivas que desarrollan el pensamiento espacial
5. Desarrollo de operaciones dadas sobre el tema.
77
Interpretación.
1. En la prueba los estudiantes demuestran que no manejan adecuadamente los
conocimientos previos para el aprendizaje de la hipérbola lo cual implica una dificultad para la
comprensión y significación del tema
2. Los estudiantes demuestran dificultades para razonar, comprender y analizar
situaciones relacionadas con el tema.
3. Se observa claramente el desconocimiento de algunos conocimientos básicos e
incluso se evidencia un mal manejo del desarrollo secuenciado cuando este va de lo simple a lo
complejo y de lo concreto a lo abstracto.
4. Existe evidencia del problema en los procesos de acción al no verse reflejados en
el desarrollo de actividades relacionadas con el pensamiento espacial y el manejo del lenguaje
matemático.
5. Se observa que no hay esfuerzos por aplicar los pasos adecuados para resolver la
prueba lo cual refleja apatía y desinterés por cumplir con compromisos y responsabilidades.
78
Significación.
1. Las dificultades en el manejo de conocimientos previos de los estudiantes retrasan
la labor docente en cuanto a desarrollo de actividades para introducir los saberes y dificultan la
apropiación del nuevo tema.
2. No relacionan la teoría con la práctica, lo cual implica que no han adquirido
significación del tema.
3. Demuestran que no han alcanzado los logros de aprendizaje relacionados con el
tema.
4. Confirma el problema en el desarrollo de las capacidades cognitivas del
estudiante al igual que su poco manejo del lenguaje matemático lo cual afecta su
desenvolvimiento al tratar de dar explicaciones sobre el tema.
5. Les falta motivación, porque aun cuando demuestran interés por aprender el tema
no cumplen con los compromisos y las responsabilidades asignadas.
79
Aportes.
1. Recrear una estrategia de aprendizaje que implique refuerzo de conocimientos
previos.
2. Desarrollar una propuesta orientada mejorar el razonamiento, la comprensión y el
análisis de la teoría para relacionarla con el tema demostrando que han adquirido significación al
aplicar el nuevo conocimiento en la solución de situaciones problema.
3. Aplicar una propuesta secuenciada en el desarrollo de las actividades que permita
desarrollar el pensamiento geométrico sin descuidar procedimientos y manejo adecuado del
lenguaje matemático.
4. Exige introducir significado al lenguaje matemático, además de crear unas
actividades basadas en un plan de mejoramiento que invitan a la reflexión de la comunidad
educativa.
5. Concientizar al estudiante y establecer exigencias en los compromisos y
responsabilidades asignadas tanto de estudiantes como docentes a nivel grupal e individual.
80
4.5.6 Análisis de los resultados de la prueba diagnóstica aplicada a los
estudiantes
La prueba diagnóstica aplicada a los
estudiantes de décimo grado E de la Institución
Educativa María Auxiliadora del Municipio de
Galapa, tuvo como objetivo identificar los
conocimientos previos que requieren los estudiantes
para adquirir un aprendizaje significativo de los
conceptos y definiciones referentes a la hipérbola, sus ecuaciones y sus representaciones
gráficas.
Con esta prueba se pretende establecer el nivel de razonamiento en que se encuentran los
estudiantes según el modelo de Van Hiele; cabe destacar que está realizada a través de 4
preguntas que apuntaban a establecer los conocimientos que los estudiantes manejaban sobre
como despejar una variable en una ecuación, la aplicación de la fórmula de la distancia entre dos
puntos, la ubicación de puntos en el plano cartesiano referentes conceptuales sobre la hipérbola,
sus elementos y sus ecuaciones
A nivel general se observa que los estudiantes en los niveles de razonamiento según el
modelo de Van Hiele han mostrado con respecto al tema lo siguiente:
Figura 11 Prueba diagnóstica 1
81
Desconocen los conocimientos básicos necesarios para la comprensión del tema.
No establecen relaciones ni diferencias con los elementos dados.
Reconocen el plano cartesiano.
Muestran ideas inconclusas al ubicar puntos de coordenadas cartesianas.
No reconocen la gráfica de la hipérbola ni sus ecuaciones.
Lo anterior indica que no hicieron uso de la habilidad de reconocimiento de las
relaciones espaciales con respecto al tema objeto de estudio de la presente investigación, para
solucionar la problemática encontrada es necesario implementar una estrategia orientada a
cambiar el estado de incomprensión de los estudiantes creando espacios de aprendizaje que
además incluya como primer acto pedagógico los conocimientos previos, de tal manera que el
estudiante desarrolle las habilidades necesarias de los pensamientos espacial y crítico para
visualizar, percibir, reconocer relaciones espaciales, discriminar, memorizar e identificar
propiedades vistas, además de resolver situaciones problémicas presentadas en su contexto.
82
4.5.7 Análisis descriptivo de la prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes
1. Construye una ecuación algebraica cualquiera usando 2 variables a partir de un valor
arbitrario de la otra variable.
En el anterior gráfico, podemos observar que la gran mayoría de los estudiantes,
presentan dificultades al momento construir una ecuación algebraica, lo cual se evidenció en las
respuestas incorrectas dadas por algunos estudiantes y en la falta de respuestas por parte de otros
estudiantes, por tanto se puede afirmar que este grupo de estudiante se encuentran en un nivel
bajo, fue un pequeño porcentaje que respondieron correctamente.
Figura 12: Construcción de una ecuación algebraica
83
2. Hallar la distancia entre los siguientes puntos
a) P(-3,5) y Q(4,2) b) R(8,-1) y S(0,4)
En el gráfico, se puede observar que la mayoría de estudiantes se encuentra en un nivel
muy bajo, debido a que en este interrogante sobre la distancia entre dos puntos, no respondieron,
y algunos respondieron en forma incorrecta. Fue pequeño el porcentaje de estudiantes que
respondieron correctamente.
Figura 13: Distancia entre dos puntos
84
3. Construye un plano cartesiano y ubica los siguientes puntos (2,0); (-2,0); (3,0); (-3,0).
Tomando como referencia estos puntos dibuja una hipérbola, traza sus asíntotas; señala los
vértices y los focos.
En este gráfico, se observa que la mayor parte de los estudiantes respondieron en forma
incorrectas, y otros no respondieron, por tanto se puede afirmar que los estudiantes se
encuentran en un nivel bajo, un pequeño porcentaje respondieron correctamente sin embargo en
el momento de la prueba se les vio en actitud de duda, es decir, no estaban seguros de que lo que
estuvieran haciendo fuera correcto.
Figura 14: Plano cartesiano y gráfica de la hipérbola
85
4. Determine una ecuación para una hipérbola con centro en el origen.
En el anterior gráfico, se puede observar claramente que los estudiantes en su mayoría no
respondieron la pregunta propuesta, muestran preocupación por su nota lo que demuestra que los
discentes se encuentran en un muy bajo nivel en el desarrollo de este punto de la prueba, en
consecuencia se puede deducir que hay un gran problema en el conocimiento con respecto a la
hipérbola puesto que es necesario tener un concepto claro o comprender claramente sobre
ecuaciones para lograr un aprendizaje significativo.
Figura 15: Ecuación de la hipérbola
86
Del gráfico, podemos concluir que los estudiantes poseen serias dificultades con
respecto a la temática de la hipérbola, se encuentran en un nivel bajo en cuanto a
conocimiento, no tienen idea claras y precisas debido a que dicha temática es muy
compleja, y las dificultades se deben a varios aspectos que actúan directa e indirectamente
en el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Gráfico 5: Prueba diagnóstica
Figura 16: Prueba diagnóstica 2
87
4.6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN RECOLECTADA.
Con la finalidad de confirmar las deficiencias y sus posibles causas, el grupo de
investigación aplicó diversas técnicas e instrumentos de recolección de la información a los
docentes y estudiantes, los cuales se examinaron con base a la sistematización de la información
recolectada.
5.6.1 CONCLUSIONES
Haciendo referencia a los resultados obtenidos este trabajo aporta información de gran
relevancia que permite concluir lo siguiente:
1. Se debe desarrollar una propuesta que permita la solución del problema
2. El proceso del aprendizaje de la hipérbola ayuda al estudiante a desarrollar niveles
de razonamiento fundamental para el ingreso a la educación superior.
3. Se exige que tanto la institución educativa como el docente promuevan un ambiente
que permita un proceso pedagógico con gran significación y agradable para el
estudiante
88
4. El proceso educativo debe concebirse desde la exigencia a escala humana de toda la
comunidad educativa.
5. El acto pedagógico debe orientarse pensando en el estudiante.
6. Como docente debe tener espíritu investigador de tal manera que se aprende algo
sobre los estudiantes que le faciliten el acto de enseñar.
7. Se exige para el docente, orientación en actividades satisfactorias en la formación
integral del estudiante.
5.6.2 RECOMENDACIONES
1. Implementar una propuesta adecuada que solucione el problema de investigación
partiendo de la fundamentación que se requiere para lograr cambiar el estado de dificultad que
demuestran los estudiantes.
2. Preparar el tema de la hipérbola dándole la debida importancia, tomándolo con la
seriedad que garantice excelentes resultados.
89
3. Crear espacios por parte de la institución y el docente que sean propicios para el
proceso de enseñanza-aprendizaje que sean motivadores y permitan desarrollar los temas
matemáticos con más sentido para quien aprende.
4. Es necesario que la comunidad educativa se comprometa y responsabilice ante el
proceso de enseñanza-aprendizaje, debido a que desempeña un papel fundamental en el
desarrollo integral del estudiante.
5. Es necesario que el docente oriente actividades que sean satisfactorias en la
formación integral del estudiante, es decir, debe ser un ente facilitador del aprendizaje y el
desarrollo cognitivo dando espacios ambientados para la reflexión que propicien el desarrollo de
habilidades como la capacidad de aprender.
6. El docente debe involucrarse en el proceso constante de investigación en el aula,
para orientar propuestas de mejoramiento y desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje
donde se propicie que el estudiante accione su capacidad de dar significado a lo aprendido
disminuyendo a un ritmo acelerado las falencias.
7. Establecer una educación integral donde haya compromiso por parte de docentes,
padres de familia, comunidad educativa y estudiante para que este adquiera un aprendizaje
significativo.
90
91
5. PROPUESTA PEDAGÓGICA
HIPÉRBOLACTICA. “ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE Y DEFENSA”.
5.1 PRESENTACIÓN
Cumpliendo con lo establecido en los Estándares Básicos de Competencias, las secciones
cónicas de las que hace parte la hipérbola, deben ser estudiadas en el grado de décimo o
undécimo en el pensamiento espacial y sistemas geométricos, por tal razón y tomando en cuenta
el problema presentado se implementa esta propuesta en los estudiantes de décimo grado E de la
Institución Educativa María Auxiliadora.
La propuesta HIPÉRBOLACTICA “estrategia de aprendizaje y defensa”, pretende
solucionar las falencias detectadas en los estudiantes creando espacios propicios y motivadores
para el proceso de enseñanza-aprendizaje y partiendo de situaciones problemas que se recrean a
través de estrategias didácticas. Este proceso se desarrolla a través de las teorías de Van hiele y la
enseñanza problémica para alcanzar un aprendizaje significativo.
La implementación de esta propuesta procede presentando la enseñanza a través de las
fases de aprendizaje que establece el modelo de Van Hiele como etapas graduales, secuenciales y
bien organizadas que permitan el avance de cada estudiante de un nivel a otro a través de
experiencias significativas, durante la primera fase se le presenta a los estudiantes una situación
92
problema que involucra una interdisciplinariedad con la información necesaria para solucionarlo
la cual es dirigida por los investigadores y pretende que los estudiantes apliquen las bases que
tienen para darle solución tomando en cuenta que el estudiante es un ente activo en la enseñanza;
se le entregan materiales adecuados para desarrollar el acto pedagógico de manera didáctica
además se les presentan diapositivas y un video proyectados en el tablero electrónico sobre la
historia y conocimientos previos necesarios para darle significación al tema de la hipérbola; en
esta primera fase se incluye la implementación de la prueba diagnóstica que arrojó como
resultado el nivel de conocimiento de los estudiantes sobre la hipérbola tema objeto de estudio de
este trabajo, lo cual indicó el punto de partida para lograr un mejor desarrollo en el aprendizaje.
En la segunda fase de aprendizaje se trabaja la orientación dirigida, donde los estudiantes
descubren de manera comprensiva y didáctica los conceptos y definiciones de la hipérbola y sus
elementos, además de construir la gráfica de la misma con actividades didácticas que además se
orientan con problemas que permitan al estudiante pensar, analizar, y sintetizar los elementos
que le ofrece, escogidos especialmente para lograr que el conocimiento adquirido se obtenga con
buenas bases y alcanzar un nivel superior.
La tercera fase de aprendizaje es la explicitación donde los estudiantes a través de una
competencia que propone identificar las ecuaciones de la hipérbola y despejar sus variables,
intercambian sus saberes al mismo tiempo que se divierten con un rompecabezas nombrado por
los investigadores “Ecua-cabezas”.
93
La siguiente fase a desarrollar es la orientación libre con una actividad basada en
problemas que se resuelven en un tablero cuadriculado hecho en icopor donde el estudiante debe
trazar los ejes del plano cartesiano llamado por los investigadores “Contra-Hipérbola “que
permite solucionar el problema graficando la hipérbola en él, los estudiantes amplían
conocimientos sobre la hipérbola ya que se aplican los conceptos aprendidos y da significación al
lenguaje matemático utilizado para la adquisición del conocimiento del tema.
La última fase se destaca la integración de todos los conceptos aprendidos como son los
elementos de la hipérbola: focos, vértices, eje transverso, eje conjugado y las ecuaciones de la
hipérbola se aplican usando las TICS a través del software GeoGebra y la prueba final.
Cabe destacar que hay variedad de problemas a resolver en varios de los actos
pedagógicos y que estos se plantean como parte de las situaciones problémicas que enfrentan los
estudiantes para alcanzar el nivel de razonamiento al que se quiere con el punto a favor que
ofrece los estudiantes motivación para alcanzar los objetivos propuestos de cada acto pedagógico
(ver anexos).
94
5.2 JUSTIFICACIÓN
Con el pasar del tiempo se ha observado una evolución en la sociedad, esto implica que el
estudiante de hoy no sea el mismo que en tiempos pasados, por lo que sus características han
sido adaptadas al nuevo sistema el cual requiere del uso de las TICS y otros medios motivadores,
además los avances científicos y el aumento de material para adquirir nuevos conocimientos han
dejado en claro diferentes estilos de aprendizaje y su adaptación al nuevo contexto que involucra
directamente al sistema educativo; hoy por hoy es más interesante para el estudiante trabajos
relacionados con su medio que escuchar una clase como tal, lo que le da acogida e importancia
actualmente a esta propuesta: “Hipérbolactica: estrategia de enseñanza y defensa”.
Esta propuesta se origina al observar la necesidad de enseñar la cónica de la hipérbola a
través ayudas educativas como son: juegos de tablero, videos y el Software GeoGebra, todas
dadas mediante las fases de aprendizaje del Modelo de Van Hiele orientadas a que el estudiante
pase de un nivel de razonamiento al que le sigue, facilitando un pensamiento que profundice en
el conocimiento nuevo desde una perspectiva contextualizada donde se ubican situaciones
problema recurrentes de la vida y el entorno más interesante del estudiante.
En la búsqueda de solucionar el problema de investigación de esta propuesta procede
dando uso adecuado a los materiales didácticos, las TICS y las situaciones problémicas que
permitan un aprendizaje significativo utilizando el modelo de Van Hiele como el apoyo
metodológico para la realización de los eventos pedagógicos sin dejar a un lado la motivación de
95
los estudiantes para mantenerlos interesados en el aprendizaje de la hipérbola desarrollando
situaciones problema y su representación gráfica.
En la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa donde se concentra la presente
propuesta, existe un contexto educativo que brinda diversos espacios que se pueden aprovechar
tal como lo es el patio salón que no solo sirve para eventos sociales y culturales, sino que
también se puede utilizar para cambiar el entorno de los estudiantes a la hora de desarrollar los
diferentes eventos pedagógicos, es decir utilizar los espacios de forma adecuada y pertinente en
actividades que realmente tienen algún valor cognoscitivo, se tiene en cuenta que mediante
actividades dirigidas y los objetivos que se quieren alcanzar, se puede utilizar este espacio en un
proceso significativo de gran valor. Este entorno brinda al estudiante motivación, que aumenta
en gran proporción, deduce que no solo en el aula se puede llevar un proceso de enseñanza-
aprendizaje con ayudas con los materiales concretos como: cinta de enmascarar y cartulina,
actividad específica permite alimentar a una estrategia significativa y dinámica para que el
proceso de aprendizaje sea excelente.
La necesidad de mantener un ambiente propicio para la enseñanza que permita al
estudiante divertirse y aprender captura la importancia de utilizar juegos didácticos adaptados a
la enseñanza de un tema específico, son juegos de mesa que le permiten al estudiante adaptarse y
resolver de forma analítica comparativa y crítica cada actividad que le permita sintetizar
mediante situaciones problemas la temática de la hipérbola.
96
Cabe destacar que la evolución del hombre que se da simultáneamente con el progreso de
las tecnologías, por esta razón no se olvida que el uso de estas mejora el proceso de enseñanza-
aprendizaje pues con ellas viene un interés particular del estudiante de conocer más sobre éste,
lo cual le da un valor agregado a esta actividad que brinda una guía; el software GeoGebra es el
aporte tecnológico que esta propuesta tiene incluidas dentro de las actividades realizadas como
objeto de apoyo, refuerzo y verificación de los conceptos aprendidos. Este software tiene como
característica diseñar y construir funciones, nos permite mejorar la visión de la representación
gráficas de la hipérbola y sus elementos para afianzar su conocimiento nuevo y lograr una
interiorización del tema.
5.3 OBJETIVOS.
5.3.1 OBJETIVO GENERAL.
Implementar estrategias didácticas para lograr el aprendizaje significativo de la
hipérbola mediante situaciones problema.
5.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Retroalimentar los conocimientos previos que tienen los estudiantes para obtener
un aprendizaje significativo sobre la hipérbola en décimo grado.
Desarrollar actividades con situaciones problema para identificar la hipérbola.
97
Fortalecer con herramientas didácticas el desarrollo del aprendizaje significativo
de la hipérbola, sus elementos, su gráfica y sus ecuaciones.
Implementar el uso de la tecnología para el fortalecimiento en el aprendizaje de la
hipérbola, su gráfica y sus elementos
Visualizar que el estudiante analice, compare, sintetice y critique cada actividad
relacionada con la hipérbola.
98
5.4 METODOLOGÍA
En la búsqueda de mejorar la enseñanza-aprendizaje se hace uso de la metodología
basada en el modelo de Van Hiele con actividades didácticas por eventos pedagógicos que
permite al estudiante interiorizar y fomentar el desarrollo de las aplicaciones de la hipérbola, sus
elementos y su representación gráfica permitiendo la apropiación de este conocimiento. Se
destaca que cada evento pedagógico permite al estudiante interactuar con el entorno y manipular
material de aprendizaje involucrándolo directamente con las aplicaciones y situaciones problema
de la temática durante todo el proceso de enseñanza-aprendizaje. Cada evento tiene un nivel de
complejidad, con la finalidad que el estudiante trabaje de acuerdo en niveles de abstracción, es
decir los eventos pedagógicos van aumentando su dificultad de acuerdo a la didáctica
desarrollada en esta propuesta.
Estas actividades desarrollan paso a paso los niveles que propone Van Hill hasta lograr
alcanzar un tercer nivel en este proyecto las actividades pasan por fases donde el estudiante va
logrando el alcance de concretar un nuevo conocimiento; en la primera fase se indaga los
conocimientos previos que tienen los estudiantes para lograr mejorar su desarrollo del
aprendizaje, la segunda fase trabaja actividades concretas que llevan una secuencia y aumentan
la dificultad paso a paso permitiendo que se dé el aprendizaje de forma ordenada y clara, la
tercera y cuarta fase requiere de una explicación y una orientación libre en el intercambio de
ideas lo cual permite al docente corregir el lenguaje matemático y orientar al estudiante a
resolver sus interrogantes con otros que lo lleven a la verdad y donde se les presentan problemas
99
abiertos para abordar de diferentes formas y por último la integración de todo lo visto con el fin
de sintetizarlo en un nuevo conocimiento adquirido.
100
5.5 PLAN DE ACCIÓN“HIPÉRBOLACTICA”
Tabla 1: plan de acción
OBJETIVOS FUNCIONES ACCIONES HERRAMIENTAS LOGRO EVALUACIÓN
Retroalimentar los
conocimientos previos que
tienen los estudiantes para
obtener un aprendizaje
significativo sobre la
hipérbola en décimo grado
Desarrollar actividades con
situaciones problema para
identificar la hipérbola
Evento pedagógico
Nº1
“Retroalimentación de
conceptos previos para el
aprendizaje de la
hipérbola”
Evento pedagógico
Nº2
“Orientación para el
aprendizaje de la
hipérbola, sus elementos y
ecuaciones”
Exposición del video
explicativo del cono de
Apolonio y una actividad
individual con los
estudiantes.
Explicación y
participación de los
estudiantes con ejercicios
propuestos para realizar
en el piso cuadriculado
del patio salón
Proyector (video beam)
Video explicativo
Plastilinas
Exactos
Cartulinas
Cintas de papel
Marcadores
Tijeras
Recordar
conocimientos
previos
fundamentales para
interiorizar el
aprendizaje de la
hipérbola
Definir la hipérbola
a través de la
enseñanza de sus
elementos y
ecuaciones
Participación en clase
Taller escrito en grupos
de 3 estudiantes
Participación en clase
Taller grupal
101
Implementar
herramientas didácticas
para fortalecer el
desarrollo del
aprendizaje significativo
de la hipérbola
Visualizar que el
estudiante analice,
compare sintetice y
critique cada actividad
relacionada con la
hipérbola
Evento pedagógico
Nº3
“Mostrar didácticamente
cómo se despejan las
variables de las
ecuaciones de la
hipérbola”
Evento pedagógico
Nº4
“Mostrar didácticamente
la representación gráfica
de la hipérbola”
Rompecabezas llamado
ecua-cabezas con
formas de despeje de las
variables de una
ecuación de la hipérbola
como actividad
propuesta
Juego llamado contra-
hipérbola, estandarizado
para el aprendizaje en la
representación gráfica
de la hipérbola
Ecua-cabezas
Hojas
Lápices
Juego contra-hipérbola
Hojas
Lápices
Presentar de
manera didáctica
las ecuaciones de la
hipérbola
Presentar de
manera didáctica el
comportamiento
gráfico de la
hipérbola
Prueba escrita individual
Torneo competitivo de
eliminación
taller informático
individual
102
Implementar el uso de
la tecnología para el
fortalecimiento en el
aprendizaje de la
hipérbola y sus
elementos
Evento pedagógico
Nº5
“Realización de la
hipérbola en geogebra”
Evento pedagógico
Nº6
Prueba final
Explicación sobre el uso
de GeoGebra para la
construcción de la
hipérbola y sus
elementos
.
Realización de una
prueba final
Sala de informática
Actividad
Hojas
Lápices
Reglas
Hojas de examen escrito
Realizar a través de
las TICS la
representación de la
hipérbola
Evaluar el
aprendizaje
significativo de los
estudiantes en
relación con la
hipérbola
Evaluación final escrita e
individual
103
5.6 EVENTOS O ACTIVIDADES PEDAGÓGICAS
Evento Pedagógico
Nº 1
Logro: Recordar conocimientos previos fundamentales para interiorizar el aprendizaje
de la hipérbola.
Desarrollo
Primera fase: Visualización o información
En primera instancia se inicia recordando los conocimientos previos a los
estudiantes necesarios para el aprendizaje de la hipérbola sobre el plano cartesiano,
como ubicar los puntos de coordenadas, la distancia entre dos puntos, como construir
una ecuación y el teorema de Pitágoras.
Segunda fase: Orientación dirigida
Se utilizan situaciones problema como esta: ubicar los puntos donde se
encuentran algunas ciudades en un mapa de Colombia plasmado en un plano cartesiano;
lo que se busca es que el estudiante ubique las coordenadas de un punto en el plano
para luego tome ese conocimiento y lo relacione para determinar los vértices y focos de
la hipérbola. El concepto de distancia entre dos puntos será útil para que el estudiante
tenga una idea del bosquejo grafico de la hipérbola y su definición
Recordar el teorema de Pitágoras es necesario porque su utilización ayuda a determinar
el valor de los focos conocido el valor de los vértices y el eje conjugado o en su defecto
permite hallar los vértices dados los focos y el eje conjugado.
104
Tercera fase: Explicitación
Seguido de la actividad antes mencionada, se muestra a los estudiantes unas
diapositivas que introduce al estudiante en la historia de cómo surgieron las secciones
cónicas, luego se proyecta un video que muestra los cortes de las secciones cónicas de
tal manera que sirva de guía para experimentar como surgen las secciones cónicas a
través del cono doble de Apolonio y apropiarse del lenguaje matemático del tema en un
primer y segundo nivel de razonamiento, tomando como materiales principales
plastilina y exacto, actividad que desarrollan los estudiantes de manera individual que
permita el intercambio de puntos de vista orientados por los agentes educativos
(investigadores).
Cuarta fase: Orientación libre
El estudiante consolida lo aprendido dibujando cada sección cónica en una hoja
basados en los cortes que han realizado en el cono de Apolonio hecho en plastilina por
ellos mismos.
Quinta fase: Integración
La idea de experimentar con las secciones cónicas: la circunferencia, la parábola
y la elipse permite ubicar al estudiante en el tema específico que es la hipérbola por
ende los estudiantes las relacionan.
105
Evaluación
Se toma en cuenta la participación activa y aportes hacia la comprensión del
tema de los estudiantes en el desarrollo de las actividades, luego en grupos de tres se
hace un taller escrito sobre los conocimientos previos como: el plano cartesiano, cómo
ubicar los puntos de coordenadas, la distancia entre dos puntos, cómo construir una
ecuación y el teorema de Pitágoras y se observará la actitud y aptitud para hacer los
cortes indicados por el video en el cono de Apolonio hecho en plastilina. En esta
actividad se establecerá a los estudiantes en el segundo nivel de razonamiento según el
Modelo de Van Hiele (ver anexo V y VI).
106
Evento Pedagógico
Nº 2
Logro: Definir la hipérbola utilizando sus elementos y ecuaciones.
Desarrollo
Este proceso de enseñanza-aprendizaje se desarrolla a través de las cuadriculas
del piso del patio salón grande de la Institución y un plano cartesiano hecho en estas con
cinta de enmascarar en dicho piso, además del uso de materiales concretos como puntos
hechos en cartulina, el objetivo de dichas cuadrículas es ubicar cada elemento de la
hipérbola y a partir de estos conceptualizar su definición específicamente se ubicaran:
los focos, los vértices, el eje focal y el eje transverso para luego formar un triángulo al
cual se le dará a sus lados valores arbitrarios para aplicar la definición y luego dibujar su
gráfica con la que se les mostrará sus elementos de manera simultánea a la vez que se
les mostrará con cinta el rectángulo que muestra como dibujar las asíntotas, en esta
actividad los estudiantes participarán activamente siguiendo las instrucciones dadas de
los agentes educativos, las cuales están enmarcadas en los elementos antes
mencionados.
Primera fase: Visualización
En este evento, los estudiantes participan en el desarrollo del acto pedagógico de
tal manera que sean un receptor activo en el proceso de enseñanza-aprendizaje, los
agentes educativos les indicarán los elementos de la hipérbola y ellos los ubican según
107
indicación para que de esta forma visualicen poco a poco la construcción de su gráfica,
con centro en el origen y con centro en (h, k).
El primer elemento de la hipérbola a ubicar en la cuadrícula (plano en piso de
tablones) son los focos, haciendo referencia a que son 2 y además que son simétricos es
decir están a una misma distancia del centro, la distancia entre estos focos da a conocer
otro elemento de la hipérbola llamado eje focal y se denota como 2c, que es distancia de
los 2 focos, seguidamente ubicarán los vértices que son dos puntos, cada uno debe estar
a una misma distancia de su respectivo foco, por cada uno de estos vértices se construye
cada rama de la hipérbola la distancia de ellos determina el eje transverso que se denota
como 2a.Teniendo la distancia focal, cada foco tendrá coordenadas (-c,0) y (c,0) y cada
vértice tendrá coordenadas (-a,0) y (a,0) ahora si se toma cualquier punto P de
coordenadas (x, y) ubicado en cualquier rama de la hipérbola, entonces utilizando la
distancia entre dos puntos se puede concluir que la distancia de P a uno de los focos
menos la distancia de P al otro foco es igual al eje transverso, luego mostrar a los
estudiantes de donde salen los demás elementos de la hipérbola a través de una
dinámica en las mismas cuadricula del plano.
Segunda fase: Orientación dirigida
En última instancia se dará a conocer las ecuaciones de la hipérbola con la
intención de desarrollar la actividad determinando la ecuación de una hipérbola
interpretada su gráfica través de situaciones problema (ver anexo VI).
108
Evaluación
La evaluación se trabaja en grupos de tres estudiantes y se puede observar por
parte de los agentes educativos los avances en sus aprendizajes y estrategias que utilizan
para graficar la hipérbola y determinar su ecuación a través de la gráfica.
La actividad consiste en graficar la hipérbola, en un modelo más complejo con
problemas a resolver (ver anexo VII).
109
Evento Pedagógico
Nº 3
Logro: Presentar de manera didáctica las ecuaciones de la hipérbola.
Desarrollo
Segunda fase: Orientación dirigida
En este evento pedagógico se les muestra a los estudiantes un rompecabezas
hecho en cartón paja llamado “ecua-cabezas” cuyo objetivo principal es que el
estudiante aprenda a despejar una variable x o y en la ecuación de la hipérbola que luego
utiliza para hallar las coordenadas de algunos puntos por donde pasa la gráfica de la
hipérbola y no solo se quede con saber las coordenadas de los vértices. Este es un juego
que afianza los conocimientos dados en los actos pedagógicos sobre despeje de
variables en una fórmula o ecuación que no es más que interactuar con inversos aditivos
e inversos multiplicativos.
Cabe destacar que son los estudiantes quienes realizan el respectivo despeje de
fórmulas y arman las fichas del ecu-cabezas, un grupo despeja la variable y con respecto
a x, otro grupo la variable x con respecto a y, un tercer grupo despejo las variable x e y,
de las ecuaciones con centro en h, k.
El ecu-cabezas está compuesto de una serie de fichas que poseen cada término de un
procedimiento de despeje de una variable en una ecuación de la hipérbola, el estudiante
debe ubicar cada ficha e ir armando el rompecabezas, este juego es la antesala a otro
110
llamado contra-hipérbola que pretende dejar claro la construcción de la gráfica
hiperbólica.
Las reglas del juego son:
Cada ficha debe encajar en la posición correcta teniendo en cuenta el proceso
aritmético de despejar una ecuación.
Se trabaja por competencia individual.
El ganador será el que termine el proceso aritmético más rápido.
Se realiza una actividad, que se divide en dos momentos los cuales consisten en
despejar las variables de dos ecuaciones una con centro en el origen y otra con centro en
(h,k).
Tercera fase: Explicitación.
Evaluación
Se plantea a los estudiantes una evaluación escrita donde despejan las variables
de ecuaciones dadas y hallan los puntos de la gráfica en función de alguna de sus
variables (ver anexo VII).
111
Evento Pedagógico
Nº 4
Logro: Presentar de manera didáctica el comportamiento gráfico de la hipérbola.
Desarrollo
Cuarta fase: Orientación libre
En esta ocasión los estudiantes aplicaran y discuten entre sí sus nuevos
conocimientos en un juego de estrategia desarrollado en un tablero cuadriculado hecho
de icopor y puntos coordenados, focos y vértices se ubicarán soldados de manera que
su estrategia de defensa formen la gráfica de la hipérbola, el cual se ha nombrado como
“contra-hipérbola”, el objetivo de este juego es que los estudiantes realicen de manera
didáctica (jugando a la defensiva en una guerra entre soldados) la gráfica de la
hipérbola y determinen su comportamiento según una ecuación dada.
Reglas del juego:
Cada tablero admite un grupo de 4 estudiantes y a la vez cada grupo se dividirá
en dos subgrupo iguales los cuales serán los que dirijan a los soldados del
subgrupo.
Se les da una situación problema a través de una ecuación de la hipérbola para
ubicar los focos y los vértices que corresponden a las fortalezas y a los soldados
de mayor rango.
112
El competidor debe despejar una de las variables de la ecuación construida con
los datos dados del problema usando como herramienta lápiz y papel.
Ubicar puntos arbitrarios que corresponden a cada soldado que forman la
trayectoria de la rama de la hipérbola.
Gana el subgrupo que realice el proceso correctamente y en el menor tiempo
posible.
Se realiza una actividad modelo con los estudiantes, con el fin de mostrar el
proceso de aplicación del juego contra-hipérbola, y así los estudiantes tendrán una idea
clara y precisa del juego (ver anexo VIII).
Evaluación
Se realiza un campeonato del juego contra-hipérbola, en la cual los estudiantes
se eliminan en forma directa de acuerdo con las situaciones problemas planteadas por
los agentes educativos. Los estudiantes del subgrupo que llegue al final de la
competencia, se enfrentan entre sí para encontrar el ganador final de esta actividad y así
obtener su respectiva medalla de campeón.
La intención del juego es determinar lo que han interiorizado los estudiantes
sobre el tema y que tanto relacionan y sintetizan los elementos y características de la
hipérbola a través de la resolución de las situaciones problema planteadas (ver anexo
IX).
113
Evento Pedagógico
Nº 5
Logro: Realizar a través de las TICS la representación gráfica de la hipérbola.
Desarrollo y evaluación
Este evento pedagógico, atraviesa por todas las fases de aprendizaje puesto que
proporciona información sobre el conocimiento que tienen los estudiantes sobre el
software GeoGebra, los estudiantes aplican los nuevos conceptos para solucionar
problemas se correge el lenguaje matemático en cuanto a respuestas concretas sobre el
tema si es necesario de tal manera que este corresponda al siguiente nivel en este caso
al nivel tres del Modelo de Van Hiele; durante este proceso los estudiantes reorganizan
la información dada sobre el software y demuestran la interiorización del tema
desarrollado con esta herramienta TICS.
Se traslada a los estudiantes a otro entorno educativo. La sala de informática es
de vital importancia para desarrollar habilidades en los estudiantes, mediante el uso de
un software informático conocido como GeoGebra se confirma lo aprendido de una
manera más rápida y sencilla.
Se le explica como primera medida las funciones básicas del software en
función del tema de investigación tales como ubicar vértices, focos, asíntotas y otros
elementos.
Posteriormente los estudiantes deberán realizar las gráficas correspondientes a
las ecuaciones propuestas por los agentes educativos, en la cual se debe observar la
114
gráfica de la hipérbola con sus respectivos elementos para ello se elaboró una guía que
muestra paso a paso lo que se va hacer (ver anexo IX).
115
Evento Pedagógico
FINAL
Logro: Evaluar el aprendizaje significativo de los estudiantes en relación con la
hipérbola.
Desarrollo
Quinta fase: Integración.
En este evento pedagógico los estudiantes demuestran lo aprendido manejando
un lenguaje apropiado en la comprensión y apropiación del tema, una vez aplicada la
propuesta pedagógica “HIPERBÓLACTICA, ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE Y
DEFENSA”, se hace una prueba final escrita con el objetivo de conocer los avances
del aprendizaje de los estudiantes sobre el tema; para ubicarlos en una realidad
diferente a la observada antes de implementar la propuesta mencionada.
116
5.7 ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DE LA PROPUESTA.
Esta propuesta de mejora, se desarrolló en 12 horas divididas en 4 horas
semanales. Estos actos pedagógicos fueron significativos para los estudiantes y para el
equipo investigativo en la Institución.
Durante este proceso los estudiantes lograron interiorizar la temática
desarrollada, puesto a que a las actividades implementadas les proporcionó un
significado dentro de su contexto que los motivó a alcanzar los logros y objetivos de
esta propuesta.
ANÁLISIS DEL EVENTO PEDAGÓGICO Nº1
El principal objetivo de este evento
pedagógico es recordar a los estudiantes que van a
participar de esta propuesta, los conocimientos
previos necesarios para interiorizar el tema para
esta actividad se dividieron a los estudiantes en
grupos de tres. Además presentarles la historia del
origen de las cónicas, las aplicaciones de la
hipérbola y como se presentan por medio del cono
de Apolonio
En primera instancia, este evento pedagógico fue dirigido por los agentes
educativos que tuvieron la iniciativa de investigar esta problemática presentada, ante el
Figura 17: Orientación de
conocimientos previos
117
hecho de ser un tema que por lo general los estudiantes no alcanzan a desarrollar en el
año escolar por diversas razones.
Se mostrarán los resultados desde tres aspectos significativos: lo didáctico, lo
disciplinar y lo pedagógico.
Desde lo didáctico, se les presentó en el tablero electrónico a los estudiantes un
mapa de Colombia en el plano cartesiano, donde cada estudiante participaba mostrando
los elementos que observaban en la situación problema presentada, desmenuzando la
definición de plano cartesiano y coordenadas trabajadas con números enteros.
Los estudiantes al principio se mostraron tímidos, pero a medida que se llevaba
a cabo el evento, participaban activamente, respondiendo a los interrogantes propuestos
por los agentes educativos. Fue tanta la expectativa que presentó la actividad en los
estudiantes, que algunos dijeron: “está papaya”. Y empezaron a ubicar los puntos donde
estaban algunas ciudades de Colombia en el mencionado mapa; además a continuación
se les expuso por medio de diapositivas la historia de las cónicas y las aplicaciones de
la hipérbola y con la ayuda de un video se les mostró como hacer los cortes de las
cónicas a través del cono de Apolonio lo cual genero interés por manipular el material
previsto para esta actividad donde se generaron expresiones como: “este es un juego de
niños salen fáciles”.
Desde lo pedagógico, el uso del tablero electrónico permitió que los estudiantes
se desinhibieran y recordaran los conocimientos previos necesarios para alcanzar los
logros; las diapositivas junto con el video tuvieron la finalidad de introducirlos al tema.
Durante la enseñanza de los saberes, la participación de los estudiantes demostró que
realizaron conclusiones por sí mismos.
118
Desde lo disciplinar, la
resolución de situaciones
problema en el mapa de
Colombia fue significativo
para los estudiantes en sus
respectivos grupos.
Realizaron los ejercicios
propuestos y discutieron e
intercambiaron ideas en la
búsqueda de la solución de la
actividad de distancia entre ciudades (distancia entre dos puntos), teorema de Pitágoras
y ecuaciones; el video sobre los cortes del cono de Apolonio le dio información visual a
los estudiantes para que distinguieran las gráficas de las secciones cónicas y lo
aplicaran vivencialmente de manera individual con materiales concretos como el cono
hecho en plastilina y un exacto por estudiante con los cuales realizaron los cortes de las
secciones cónicas según la teoría de Apolonio; esto demostró una participación activa
de los estudiantes a razón de sus aportes además interiorizaban la información necesaria
para obtener un punto de partida clave para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
temática y adquisición de significación de la misma poniéndolos en un según el modelo
didáctico planteado por Van Hiele.
A continuación se presenta el análisis descriptivo del evento pedagógico llevado
a cabo.
Figura 18: Definición de la hipérbola
119
Observando la gráfica descriptiva se puede concluir que los resultados arrojaron
un porcentaje satisfactorio en relación con la prueba diagnóstica realizada con
anterioridad, evidenciando que los conceptos desarrollados fueron cien por ciento
asimilados por los estudiantes. Dichos conceptos hacen referencia a plano cartesiano,
distancia entre dos puntos, teorema de Pitágoras y ecuaciones actividad del anexo V.
Figura 19: Análisis de los conocimientos previos
120
Para este actividad se les mostró un video a los estudiantes sobre los cortes que
se realizan a un cono para hallar las cónicas desarrollado por Apolonio con lo cual
concluyeron como se observa la gráfica de la hipérbola.
Al observar los resultados de la gráfica, los estudiantes han desarrollo
habilidades que les permitieron hallar la hipérbola por medio de cortes al cono de
Apolonio y concluyen que deben hacer el corte paralelo a la generatriz del cono para
lograrlo.
Figura 20: Análisis del cono de Apolonio
121
ANÁLISIS DEL EVENTO PEDAGÓGICO Nº2
Este evento pedagógico permitió
hacer uso de los recursos que se
encontraron alrededor debido a que
las cuadriculas del piso del patio
salón más grande de la Institución
permitió ser parte de la estrategia para
construir la definición, la gráfica de la
hipérbola y señalar sus elementos
tomando como referencia un plano
cartesiano hecho en dichas cuadriculas.
Desde la parte didáctica, los estudiantes se mostraron sorprendidos al ver que
salían del aula y al encontrar en el patio salón el plano cartesiano en las cuadriculas se
preguntaban que iban a hacer por lo que fue sencillo concentrar su atención y lograr su
participación en la construcción de la definición del tema a desarrollar “La hipérbola”,
de esta manera se vieron motivados pues estaban a la expectativa y lanzaron
expresiones como: “salir del salón es algo chévere” o “¿qué vamos a hacer hoy? ¿Este
juego para qué es?”.
Desde lo pedagógico, se les mostró a los estudiante como salía la gráfica de la
hipérbola usando la definición, como primera instancia se ubicaron dos puntos a una
misma distancia del centro siendo este el origen en el ejey luego se ubicó un punto
arbitrario que cumpliera con la condición descrita en la definición después de este
Figura 21: Estudiantes
Construyendo la Gráfica de la
Hipérbola
122
primer ejercicio ellos fueron participando,
luego se le explicó a través de una cartelera
cuál era la ecuación correspondiente a esta
gráfica y sus elementos principales al igual
que las otras tres ecuaciones haciendo una
comparación para que ellos dedujeran los
elementos de las otras formas como se muestra
la gráfica de la hipérbola.
Desde los disciplinar, la participación de cada grupo en el piso cuadriculado fue
esencial ubicando otros puntos que cumplían con la condición de la definición y
después ellos mismos determinaron la gráfica, lo cual permitió que los estudiantes
realizaran su actividad complementaria rápidamente llegando a comparar y criticar el
problema descrito además de llegar a conclusiones concretas y correctas.
Figura 22: Orientación sobre las
ecuaciones de la hipérbola
123
En el siguiente análisis descriptivo se presentan los resultados del evento pedagógico
realizado.
Al analizar el gráfico se observa que los estudiantes muestran una interiorización
significativa del tema, debido a que asimilaron la definición al mismo tiempo que
graficaban y la relacionaron con la ecuación y en la actividad complementaria
determinaron la ecuación de una hipérbola dados unos problemas que le dan los
elementos necesarios para graficar.
Figura 23: Análisis de la Hipérbola en la construcción, elementos y
ecuaciones
124
ANÁLISIS DEL EVENTO PEDAGÓGICO Nº3
Este evento pedagógico se llevó a cabo en los respectivos grupos de trabajos, y
con mucha atención por parte de los estudiantes que como siempre se mostraron
intrigados por que iban hacer en ese día, lo cual siempre logró que mantuvieran su
atención centrada en la actividad del día.
En esta ocasión se hizo uso del
tablero electrónico donde se les mostró
como se despejan las variables de las
ecuaciones de la hipérbola luego de lo cual
se procedió a realizar la actividad con
problemas que debían resolver en un rompecabezas llamado por los agentes educativos
“ecua-cabeza”.
Desde lo didáctico, se transformó un despeje de variables en un ecuación de la
hipérbola en un juego cuya finalidad es afianzar conocimientos y alcanzar un
aprendizaje significativo, lo que hizo que este acto pedagógico durara más tiempo de lo
planeado.
Desde lo pedagógico, se les dio las herramientas necesarias que debían usar para
despejar la fórmula de la ecuación con centro en el origen y en h, k, de manera que se
interiorizará correctamente para hacer uso de ella en otros eventos.
Figura 24: Estudiantes armando
el “ecua-cabeza”
125
Desde lo disciplinar, los estudiantes realizaron la actividad complementaria
tanto en el “ecua-cabeza” como en una hoja para resolver las situaciones que se les
presentaron con el fin de interiorizar significativamente lo desarrollado en este evento
pedagógico como un proceso de fortalecimiento de esta temática. Cabe destacar que
para el grupo investigador, el estudio y enseñanza de la hipérbola, llevo más tiempo del
que se había determinado, debido a la necesidad futura de utilizar lo aprendido.
En el siguiente gráfico descriptivo se podrán analizar los resultados del evento
pedagógico antes descrito.
Al analizar el gráfico se observa que los estudiantes han avanzado
progresivamente en la asimilación de los conceptos dados, en primera instancia, aunque
hay que fortalecer en la práctica para agilizar el proceso, sus conclusiones son correctas
en cada ejercicio propuesto de la actividad complementaria del anexo VIII este evento
pedagógico.
Figura 25: Análisis del despeje de las variables de
ecuaciones de la hipérbola
126
ANÁLISIS DEL EVENTO PEDAGÓGICO Nº4
En esta ocasión el evento
pedagógico requiere del uso de todos
los nuevos conocimientos adquiridos,
pues busca fortalecer estos y al mismo
tiempo resolver problemas propuestos
donde se observen algunas aplicaciones
del tema desarrollado. La actividad se
realizó en grupos de cuatro, con el
objetivo que compartan una orientación
libre porque el juego permitirá a los estudiantes alcanzar los logros propuestos con el
ambiente dado para ello.
Didácticamente se aplicaran los conocimientos adquiridos a través de un juego
de mesa el cual los agentes educativos llamaron “Contra-hipérbola”, y requiere de
hallar las coordenadas de los puntos que conforman la gráfica de la hipérbola para
solucionar situaciones problema, lo que hizo que este acto pedagógico más interesante
para ellos a quienes se les escucharon expresiones como: “Que bacano seño ¿cómo es
este juego?” o “profe deme los soldados a mi primero que estoy que me juego”.
La parte pedagógica incluye refuerzo de despeje de fórmula y aplicación de la
construcción de la gráfica a partir de la definición de la hipérbola haciendo uso de
problemas ya resueltos con la finalidad que avancen en el aprendizaje más rápidamente
y realicen la gráfica puesto que en la actividad anterior solo debieron hallar los puntos
coordenados para ubicar los soldados sin graficar.
Figura 26: Estudiantes jugando
“Contra-hipérbola”
127
Desde lo disciplinar se orienta a los estudiantes con el juego que consta de un
plano con cuadriculas y unos soldados que se ubican en las coordenadas que se le pide
en los problemas con la finalidad que apliquen los conocimientos matemáticos recién
adquiridos.
En el siguiente gráfico descriptivo se alcanzara a notar las habilidades
desarrolladas en este evento pedagógico
Analizando el anterior gráfico, es notable que los estudiantes han mejorados
realizando análisis e interpretando problemas además de hacer comparaciones y
mantener una competencia sana entre ellos. También podemos determinar que pueden
realizar correctamente la gráfica de la hipérbola hallando los puntos de las coordenadas.
Figura 27: Análisis de la competencia de contra-hipérbola
128
ANÁLISIS DEL EVENTO PEDAGÓGICO Nº5
Este evento pedagógico fue implementado con el uso de las tics en una de las
aulas de informática con el propósito de enseñar a los estudiantes como obtener
habilidades complementarias para realizar la gráfica de la hipérbola en el plano
cartesiano con un software llamado
geogebra, en busca de seguir fortaleciendo
la interpretación del tema antes mencionado
y su representación gráfica.
Los docentes tutores entregaron una
guía en el anexo IX que explica paso por paso
como deben introducir los datos para graficar la hipérbola desde la presentación de un
problema cuya metodología se ha venido trabajando desde el comienzo de este
proyecto.
En lo didáctico, se trabajó con un software específico que permite graficar
funciones en el plano con el uso del computador y las guías que le dan a conocer al
estudiante un ejemplo realizado por los tutores el cual fue orientado, con el uso del
computador.
Desde lo pedagógico, se mostró a los estudiantes como usar las funciones
principales del programa Geogebra, necesarias para desarrollar la actividad, fue
Figura 28: Estudiantes trabajando
con “Geogebra”
129
enriquecedor para los estudiantes porque muchos de ellos tiene intereses centrados en
las tecnologías y a través de este evento pudieron analizar mejor las diferencias de las
gráficas con centro en el origen y en h, k, también expresaron que es más rápido obtener
las gráficas con el uso de este software ya que requiere de menos tiempo para hacer la
gráfica se hizo énfasis en como insertar la función ya que si omitía algún detalle la
gráfica no saldría correctamente.
Desde lo disciplinar, utilizar la informática como apoyo para desarrollar este
tema adquirió importancia debido al fortalecimiento del mismo y la significación que
representó este evento en el aula.
Obsérvese el análisis descriptivo del evento en mención.
Al analizar el gráfico es notable la asimilaron significativa de las ideas básicas
para elaborar la hipérbola en los estudiantes. Este evento permitió el fortalecimiento en
el aprendizaje de los eventos anteriores y muestra de esto es la interpretación que los
Figura 29: Análisis de resolución de
problemas en Geogebra
130
estudiantes le dieron al tema lo cual permitió que estos se ubicaran en el tercer nivel de
razonamiento del modelo de Van Hiele.
ANÁLISIS DE LA PRUEBA FINAL
PRUEBA FINAL. La prueba final comprobó
los logros en el aprendizaje de los estudiantes con
respecto a la interpretación de la hipérbola, objeto de
estudio de la presente investigación, donde da a
conocer claramente un resultado satisfactorio del
trabajo implementado por el grupo de investigación.
Los estudiantes participantes en el desarrollo de este
proyecto demostraron dominio del tema en los aspectos evaluados tal como fue análisis
de situaciones problemas con solución en el modelo de la hipérbola, realización e
interpretación de la gráfica de la hipérbola y sus elementos logrando comparar y
sintetizar cada problema propuesto en la prueba, donde se alcanza a observar un
progreso en la interiorización de los conocimientos en un nivel superior.
Figura 30: Estudiantes
resolviendo la prueba
final
131
El gráfico muestra a los 40 de estudiantes de decimo E, que conforman el grupo
de la muestra de la propuesta “Hipérbolactica” Estrategia de aprendizaje y defensa,
quienes realizaron una evaluación final orientada en el anexo XI obteniendo óptimos
resultados, todos respondieron correctamente arrojando excelentes niveles de análisis y
aprendizaje significativo de la sección cónica “La hipérbola”.
Gráfico 12. Análisis de la prueba final
Figura 31: Definición de la hipérbola
132
5.8 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA Y
FINAL
Figura 32: Análisis comparativo prueba diagnóstica y final
133
Tabla 2: Comparativo pruebas diagnóstica y final
COMPARATIVO PRUEBA DIAGNÓSTICA Y PRUEBA FINAL
Tipo de prueba
Criterios evaluados
PRUEBA DIAGNÓSTICA PRUEBA FINAL
Definición y elementos de la sección
cónica “la hipérbola”
Los estudiantes que participaron en esta
prueba no poseen los conocimientos previos
requeridos para alcanzar un aprendizaje
significativo con respecto a la hipérbola y
no poseen conocimiento alguno sobre el
tema.
Los conocimientos previos requeridos para el
aprendizaje significativo de la hipérbola
fueron interiorizados y tratado con propiedad
por los estudiantes, al momento de definir
analíticamente la hipérbola, identificando y
determinando sus elementos (centro, focos,
vértices, ejes, etc.).
Identificación de la sección cónica
“hipérbola” según la ecuación canónica
dada
Los estudiantes no identifican ni determinan las
ecuaciones canónicas de la sección cónica “la
hipérbola”, no tenían claro que el valor (h, k)
es el centro, ni el vértice, ni ningún elemento
del tema tratado.
La gran mayoría de los estudiantes es capaz de
determinar la hipérbola a través de sus
ecuaciones y ubican analíticamente los elementos
de ésta y también determinan las ecuaciones a
través de su gráfica de manera eficiente.
134
Representación gráficas de la sección
cónica “la hipérbola”
Gráficamente los estudiantes no recordaban
siquiera como ubicar los puntos en el plano
cartesiano lo que les impedía graficar la
hipérbola en él y no reconocían ningún
elemento de está.
Se evidencia un aprendizaje significativo en
cuanto al análisis de situaciones problémicas
que los llevaron a los estudiantes a concluir
como elaborar la gráfica de la hipérbola
tomando en cuenta la definición analizada y
sintetizada por ellos mismos en una de las
actividades relacionando así los
conocimientos aprendidos y aplicándolos
correctamente en la realización de los
ejercicios de la prueba final.
135
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 CONCLUSIONES.
Gratificante, provechosa y satisfactoria fue la experiencia vivida en el desarrollo
del proyecto investigativo y la implementación de la propuesta “Hipérbolactica”
Estrategia de aprendizaje y defensa, enfatizada en la didáctica y la resolución de
situaciones problemas para el aprendizaje significativo de la hipérbola en los estudiantes
de Décimo grado “E” de la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa,
llevándonos a exponer las siguientes conclusiones:
Partiendo de una estrategia didáctica que además se presenta con
situaciones problema, se accede a la adquisición de un nuevo conocimiento, con el tema
de la hipérbola, sus elementos y su representación gráfica, de manera significativa. Tema
desconocido para los discentes, lo cual permitió un proceso de mucho valor pues se
demuestra en la interiorización de las definiciones analizadas en esta experiencia vivida
en un contexto propicio para lograr el objetivo.
Después de implementada la propuesta pedagógica de esta investigación
fue notable el dominio del tema por los estudiantes lo que determina que esta estrategia
fue claro, eficaz y eficiente pues conllevo a fortalecer conocimientos y a su vez
interiorizar uno nuevo de manera significativa.
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La innovación del ambiente dado, permitió al estudiante obtener un
entorno ideal por ser dinámico, moderno y diferente al aula; para adquirir un nuevo
conocimiento, debido a que se dio un aprendizaje significativo de los contenidos dados
en lo que respecta a la hipérbola, sus elementos, sus ecuaciones y su gráfica además la
utilización de las tics como herramienta para fortalecer el aprendizaje fue favorable para
lograr dicho aprendizaje.
Las situaciones problemas planteadas como actividades complementarias,
facilitaron a los estudiantes procesar la información dada sobre las definiciones de la
temática y permitió una apropiación de la misma logrando que a través del análisis e
interpretación los estudiantes realizaran gráficas y determinaran las ecuaciones de la
hipérbola.
El uso de material concreto en los eventos pedagógicos, permitió al
estudiante manipular en entornos diferentes estos, lo cual los mantuvo a motivados e
interesados en participar en cada actividad propuesta pues se tornó en un ambiente
agradable para el aprendizaje ante los ojos de los estudiantes logrando el aprendizaje de
manera divertida.
En referencia al uso de la tecnología, el software Geogebra fue
fundamental para fortalecer los conocimientos aprendidos y aclarar dudas, de esta
manera aplicaron las definiciones de forma excelente.
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Observando la evaluación constante durante la implementación de la
propuesta se determina que las situaciones problemas y la didáctica son una estrategia
que innova, se apropia de la modernidad y alcanza dinamismo desde un enfoque
interdisciplinario que contribuye al aprendizaje significativo de la hipérbola, sus
elementos y ecuaciones, pues los estudiante analizan, sintetizan y hacen críticas que
determinan el conocimiento integrando las teorías con los conceptos para ser aplicados
cuando sea necesario.
6.2 RECOMENDACIONES.
El grupo investigador a partir de la experiencia vivida en la implementación de
esta propuesta recomienda:
Aplicar estrategias didácticas que den valor al aprendizaje que deben
obtener los estudiantes en las temáticas que están contempladas en los planes de estudio
de cada Institución.
Implementar la estrategia aplicada en esta investigación, pues es de gran
valor tanto para el aprendizaje de la hipérbola como para el desarrollo de otros temas
como lo son las otras cónicas, su objetividad y propósito lo hace valioso y se puede
adaptar a otros temas debido que las situaciones problemas son parte de una solución
dada aplicando la definición conocidos los elementos y la forma de las ecuaciones de la
hipérbola.
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El cambio de espacios en los eventos y actividades pedagógicas
especialmente en el área de las matemáticas, estimulan a los estudiantes brindándoles un
ambiente de motivación para mantener su atención lo cual lo hace propicio para la
enseñanza.
El apoyo en el mejoramiento del desempeño del estudiante por parte del
docente brinda garantías que permiten interactuar fundamentalmente para lograr
alternativas de solución a problemas presentados en el área de matemáticas.
Es importante mantener la vista puesta en el interés del estudiante que usa
herramientas modernas, estas pueden hacer parte de una buena estrategia para motivar al
aprendizaje y hacer de la enseñanza un medio eficaz para alcanzar un aprendizaje
significativo en los discentes.
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