TESIS: METODOLOGÍA RISKMETRICS VS. ANÁLISIS FACTORIAL …

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DEMÉXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

METODOLOGÍA RISKMETRICS VS. ANÁLISIS FACTORIAL

PARA LA ESTIMACIÓN DEL VALOR EN RIESGO

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

A C T U A R I A

P R E S E N T A:

ANALY ESPINOZA ÁVILA

DIRECTOR DE TESIS

LIC. SAÚL MÉNDEZ MONTAÑO

MÉXICO, D.F. SEPTIEMBRE 2006

UNAM – Dirección General de Bibliotecas

Tesis Digitales

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Agradecimientos

A la UNAM por darme la oportunidad de formarme como profesionista y portar el

nombre de Universitario con orgullo.

A Dios por permitirme lograr este gran sueño y por nunca dejarme en los momentos

más difíciles.

A Saúl Méndez Montaño por sus sugerencias, enseñanzas, tiempo y por ayudarme a

iniciar este proyecto.

Al Dr. Pedro E. Miramontes Vidal por sus consejos y su gran apoyo incondicional

A la Dra. Guillermina Eslava Gómez por sus sugerencias y por el tiempo dedicado.

A Anselmo Moctezuma Martínez por ayudarme a comprender una parte

fundamental de este trabajo.

A Dr. Francisco López Herrera por su ayuda y tiempo dedicado para la realización

de este trabajo.

Dedicatorias

Con todo mi cariño para mi hermano Jaime A. Espinoza, esperando que éste sea un

ejemplo a seguir, y mejor aún, a superar, y para que sepa que todo con voluntad y fe

se puede lograr.

A mi papi y a mi mami porque siempre confiaron en mí, por todo su apoyo, su amor

y por ayudarme a ser como soy y a ser lo que soy, por ser los mejores padres y por

preocuparse a cada momento de mí.

A Israel Mata R. por siempre estar conmigo, ayudarme, darle alegría y tranquilidad

a mi vida, por todos esos momentos de felicidad y por tu cariño sincero, el cual

siempre será correspondido.

A Dios por darme su bendición en todo este tiempo.

METODOLOGÍA RISKMETRICS VS. ANÁLISIS FACTORIAL

PARA LA ESTIMACIÓN DEL VALOR EN RIESGO

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN i

OBJETIVOS iii

CAPÍTULO I EL RIESGO Y LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS 1

I.1 ANTECEDENTES DE LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS 1 I.2 EL PROCESO DE LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS 4 I.3 TIPOS DE RIESGO 6

I.3.1 El riesgo de crédito 6 I.3.2 El riesgo de tasa de interés y liquidez 7 I.3.3 El riesgo legal 7 1.3.4 El riesgo operativo 8 I.3.5 El riesgo de mercado 8

CAPÍTULO II HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS UTILIZADAS EN EL ESTUDIO DEL VAR (Value at Risk) 11

II.1 DEFINICIÓN DE RENDIMIENTO Y RIESGO 11 II.2 ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LA INFORMACIÓN 13

II.2.1 Medida de tendencia central 13 II.2.2 Medidas de Dispersión 13

II.3 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 15 II.4 REGRESIÓN 17 II.5 COVARIANZA Y CORRELACIÓN 20 II.6 EL PROBLEMA DE MULTICOLINEARIDAD 21 II.7 SERIES TEMPORALES, CONCEPTOS BÁSICOS 22

II.7.1 Proceso estocástico estacionario y Pruebas de estacionariedad 23

II.7.1.1 Prueba de raíz unitaria 23 II.7.1.2 Prueba de Dickey Fuller 24

II.7.1.2.1 Prueba de Dickey Fuller Aumentada 24 II.7.1.3 Prueba de raíz unitaria Phillips Perron 25

II.7.2 No estacionariedad 25 II.8 ALGUNOS MODELOS DE SERIES DE TIEMPO 26

II.8.1 Proceso estocástico puramente aleatorio 26 II.8.2 Caminata aleatoria 26

II.9 EL FENÓMENO DE REGRESIÓN ESPURIA 27 II.10 CONCEPTOS DE ANÁLISIS MULTIVARIADO 29

II.10.1 Antecedentes Históricos 29 II.10.2 Análisis factorial y análisis de componentes principales 30

II.11 METODOLOGÍA ESTADÍSTICA PARA LLEVAR A CABO UN ANÁLISIS FACTORIAL 31

II.11.1 Pasos en el Análisis factorial 35 II.11.1.1 Pruebas previas al análisis factorial y matriz factorial 36 II.11.1.2 Comunalidades 37 II.11.1.3 Número de factores a conservar e interpretación de

los factores 37 II.11.1.4 Puntuaciones factoriales 38

CAPÍTULO III VALUE AT RISK (VaR) 42

III.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL MODELO DE VALOR EN RIESGO (VaR) 42 III.1.1 Definición de Valor en Riesgo 42

III.2 EL VaR COMO UNA DISTRIBUCIÓN GENERAL 43 III.2.1 El VaR para distribuciones paramétricas 44

III.3 ENFOQUES PARA LA MEDICIÓN DEL VaR 46 III.4 ENFOQUE DE VARIANZA - COVARIANZA O DELTA - NORMAL 48 III.4.1 El Valor en Riesgo de un activo individual 48

III.4.2 El VaR de la cartera 49 III.5 FACTORES DE RIESGO 52 III.6 EL VaR INCREMENTAL 52

CAPÍTULO IV METODOLOGÍA RISKMETRICS Y ANÁLISIS FACTORIAL 54

IV.1 ANTECEDENTES Y EL ORIGEN DEL VaR CON RISKMETRICS 54 IV.2 RIESGO Y RENDIMIENTO UTILIZADO EN RISKMETRICS 55 IV.3 USO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA EL CÁLCULO DEL VaR 55 IV.4 PREDICCIÓN DE VOLATILIDAD USANDO INFORMACIÓN HISTÓRICA 56 IV.5 TEORÍA DE CARTERA DE HARRY MARKOWITZ 59

IV.5.1 Efectos de la diversificación: Reducción del riesgo de una cartera. 60 IV.6 MODELO CAMP, CAPITAL ASSET PRICING MODEL (VALORACIÓN DE ACTIVOS DE CAPITAL) 61

IV.6.1 Coeficiente Beta 62 IV.6.2 Ecuación del CAPM 63

IV.7 EL MODELO APT, ARBITRAGE PRICING THEORY (FIJACIÓN DE PRECIOS DE ARBITRAJE) 65

IV.7.1 Ecuación propuesta por el modelo APT 65 IV.7.2 Relación con el "Capital Asset Pricing Model" (CAPM) 66 IV.7.3 Cálculo del VaR de una cartera de inversión basado en la teoría APT 67

IV.7.4 Estimación de la Esperanza y Varianza de los rendimientos 67 IV.7.4.1 Esperanza 67 IV.7.4.2 Varianza 69 IV.7.5. Cálculo del VaR con análisis factorial 70

CAPÍTULO V CÁLCULO DEL VAR: CASO PRÁCTICO 71

V.1 CONSTRUCCIÓN DE LA CARTERA DE INVERSIÓN 71 V.1.1 Mercado de Valores 71 V.1.2 Acciones 72 V.1.3 Índices de precios accionarios 72 V.2 CRITERIOS DE SELECCIÓN DE LA CARTERA 73 V.2.1 Características y periodo de la muestra 73 V.2.2 Definición de las variables 75 V.2.3 Selección de las acciones y periodo de estimación 75

V.3 CÁLCULO Y ANÁLISIS DEL VaR DE LA CARTERA DE INVERSIÓN MEDIANTE LA METODOLOGÍA DE RISKMETRICS Y EL ANÁLISIS FACTORIAL. 76

V.3.1 Cálculo del VaR con la Metodología Riskmetrics 76 V.3.2 Resultados de la estimación del VaR 81 V.3.3 Cálculo del VaR mediante el análisis factorial 83

V.3.3.1 Obtención de los factores de riesgo mediante el método de componentes principales 83

V.3.3.2 Análisis de cargas y puntajes factoriales 87 V.3.3.3 Estimación de esperanza y varianza de los rendimientos 91 V.3.3.3.1 Esperanza 91 V.3.3.3.2 Varianza 93 V.3.3.3.3 Cálculo del VaR en % 93 V.4 VERIFICACIÓN DE LOS MODELOS UTILIZANDO COEFICIENTE DE FALLAS Y DE IMPRECISIÓN. 97 V.4.1 Comparación de la Metodología Riskmetrics y el análisis factorial 97

CAPÍTULO VI CONCLUSIONES 100

VI.1 OBSERVACIONES DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LAS ESTIMACIONES 100

VI.1.1 Predicción utilizando la metodología Riskmetrics 101 VI.1.2 Predicción utilizando el modelo con análisis factorial 102

VI.2 Comparativo del VaR estimado con la metodología de Riskmetrics y el VaR con el modelo de análisis factorial 103

VI.3 CONCLUSIONES FINALES 103

ANEXOS 105

BIBLIOGRAFÍA 108

REFERENCIAS 110

i

INTRODUCCIÓN Los mercados de valores son una parte importante del sistema financiero ya que ofrecen intermediación financiera para instrumentos de deuda (bonos) y acciones, asegurando la mayor competencia entre las fuentes de financiamiento y por lo tanto mayor eficiencia. Son un medio para hacer inversiones a largo plazo tanto para empresas como para inversionistas individuales. Debe existir confianza en la información financiera para que los inversionistas acudan a los mercados de valores. Debido a tal importancia del mercado de valores en la economía nacional se requiere de la aplicación de modelos financieros que ayuden a su desarrollo y al análisis de estrategias de administración de riesgos para el manejo o cobertura de riesgos, ya que este constituye un factor primordial en el sistema competitivo actual. Con el proceso de medición del riesgo de mercado se pretende encontrar el valor mínimo que podría alcanzar una cartera de valores (en otras palabras las máximas pérdidas en las que se puede incurrir), en circunstancias normales, por un movimiento adverso de los precios de los activos que forman parte de la cartera con un determinado nivel de confianza. Este valor guiará las acciones que se realicen. Para definir el perfil de riesgo de una cartera de valores es necesaria la determinación de una medida indicadora del nivel de riesgo. Los sistemas de medición de riesgos de mercado se han popularizado en los últimos años, un ejemplo de análisis de riesgo es Riskmetrics1, y han sido a su vez fomentados por la enmienda al tratado de Basilea de 1988 sobre requerimientos de capital, que ha avalado el uso de modelos internos para la evaluación de riesgos de instituciones financieras. El Valor en Riesgo (VaR) es un método para cuantificar la exposición al riesgo de mercado mediante técnicas estadísticas, basado en la teoría de probabilidad. Es una medida estadística de riesgo de mercado que estima la pérdida máxima que podría registrar una cartera de inversión en un intervalo de

1 En 1994, el banco estadounidense JP Morgan propuso en el documento técnico denominado Riskmetrics, el concepto de valor

en riesgo (VaR, por sus siglas en ingles) como modelo para medir cuantitativamente los riesgos de mercado en instrumentos

financieros o carteras con varios tipos de instrumentos. La casa Morgan tuvo un rotundo éxito con esta iniciativa, por lo que en

1995 J. Longerstaey y l. More publicaron el libro Introduction to Riskmetrics.

ii

tiempo y con cierto nivel de confianza. La aplicación del VaR juega un papel importante para conocer la exposición de riesgo, en términos de valor, para tomar decisiones de inversión y financieras dependiendo los instrumentos que conforman dicha cartera de inversión. El VaR suministra a sus usuarios una medida resumen del riesgo de mercado, esto es, en un sólo número resume la exposición total ya sea de la cartera de inversión o de la institución a este tipo de riesgo. Su aplicación requiere la descomposición previa de los distintos instrumentos financieros en sus factores de riesgo para adquirir conocimiento de cada uno de ellos y su repercusión en el riesgo total o parcial de la cartera o institución. En la actualidad existen y se utilizan en la práctica numerosos modelos basados en la metodología VaR, esto ha dado lugar al desarrollo de una gran cantidad de métodos distintos para su estimación que se utilizan de acuerdo a las necesidades del inversionista o de la institución y de acuerdo a la cantidad de información de la cual se disponga. Aunque todos ellos están basados en el mismo concepto, la mayoría difieren en cómo se formaliza la función del valor de los instrumentos financieros en función de las variables de mercado y en la forma de estimar la evolución futura de las mismas. Con la teoría Capital Asset Pricing Model (Valoración de Activos de Capital), que surgió a raíz de la teoría de cartera de H. Markowitz, conocida por sus siglas como CAPM y la teoría de Fijación de Precios de Arbitraje, APT, surgen modelos para la estimación del riesgo. Por un lado, el CAPM que afirma que la medida de riesgo sistemático relativa a la cartera de mercado, β, es el único determinante del rendimiento y, por otro lado, el APT que permite determinar que factores utilizar para la explicación de los precios o rendimientos de una cartera de inversión. Con estas dos teorías se pueden dar propuestas de modelos para la estimación del riesgo. Uno de estos modelos propuestos sustentado en la teoría del APT es utilizar el análisis factorial2. Esta tesis se organiza de la siguiente manera: en el Capítulo I se da una definición y antecedentes del riesgo, los pasos para la administración del riesgo y los tipos de riesgo a los que se enfrentan tanto los 2 El Análisis Factorial se puede utilizar cuando, por ejemplo, no se cuente con información del índice del mercado, o cuando se

quiere conocer factores subyacentes que pudieran estar afectando el comportamiento de la cartera, además de otros factores

macroeconómicos.

iii

inversionistas como las instituciones. El Capítulo II expone conceptos matemáticos y estadísticos que son importantes para el estudio del VaR. En el Capítulo III se maneja el concepto de Valor en Riesgo además de introducir los principales enfoques para su estimación. El Capítulo IV da a conocer las dos metodologías básicas de estudio de esta tesis: Metodología Riskmetrics y Análisis factorial, para la estimación del VaR. En el Capítulo V se muestran los resultados así como cada uno de los pasos seguidos de la estimación del VaR de una cartera de inversión formada por instrumentos del mercado accionario mexicano para las dos metodologías anteriormente descritas además de aplicar una serie de medidas descriptivas que permiten comparar diferentes aspectos de los modelos analizados y el Capítulo VI resume las conclusiones más relevantes de acuerdo a los objetivos planteados.

iv

OBJETIVOS El objetivo de esta tesis es mostrar cómo se puede modelar el VaR con diferentes metodologías para una misma cartera. Como objetivos generales se tienen:

• Calcular el valor en riesgo de una cartera de inversión mediante el modelo de Riskmetrics de JP. Morgan.

• Calcular el valor en riesgo utilizando Análisis factorial1.

• Comparar los resultados de ambas metodologías y concluir cuál es la mejor y por qué.

Como objetivos particulares están:

• Verificar que, como lo indica el trabajo de Anselmo Moctezuma Martínez y David Patlán Ruiz, con el análisis factorial se puede determinar de una manera más precisa que con la metodología Riskmetrics el movimiento de los rendimientos observados de la cartera de inversión.

• Mostrar que no existe una metodología que pueda ser aceptada como la correcta, sino que dependiendo del conjunto de datos y parámetros que se tengan para la estimación es como se vera cual metodología de valor en riesgo es la que realiza mejores estimaciones.

1 Modelo propuesto por Anselmo Moctezuma y David Patlán Ruiz (primer lugar en la categoría de investigación del XV premio

nacional de investigación financiera IMEF 1999.

11

CAPÍTULO I EL RIESGO Y LA ADMINISTRACIÓN DEL RIESGO Las empresas participan en el negocio de la administración de riesgos, las más competentes lo consiguen, otras fallan. Los riesgos financieros deben ser vigilados cuidadosamente ya que significan un alto potencial de pérdidas financieras importantes. Así, la necesidad de administrar el riesgo radica en proporcionar alternativas para proteger las inversiones de las empresas de los riesgos financieros. La causa más importante que ha generado esta necesidad de administrar los riesgos y por tanto, el crecimiento de esta industria, es la gran volatilidad de las variables financieras. I.1 ANTECEDENTES DE LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS. El riesgo es parte inevitable en los procesos de toma de decisiones en general y en los procesos de inversión en particular1. Desde el punto de vista de las finanzas, el significado de riesgo está relacionado con el grado de incertidumbre de rendimientos esperados en el futuro. La medición cuantitativa del riesgo está dada por la probabilidad asociada a una pérdida potencial. La esencia de la administración de riesgos consiste en medir esas probabilidades en contextos de incertidumbre. A través de los años la teoría de probabilidad se ha transformado de ser un instrumento aplicado al pronóstico de ganar o perder en juegos de azar, en una herramienta que involucra información de posiciones en riesgo en grandes corporaciones, para su medición y monitoreo. Una breve cronología del desarrollo del riesgo en términos de probabilidad y de la administración del riesgo es la siguiente:

11 EEll oorriiggeenn ddee llaa ppaallaabbrraa rriieessggoo vviieennee ddeell llaattíínn ““rriissiiccaarree”” eell ccuuááll qquuiieerree ddeecciirr aattrreevveerrssee.. [[11]] DDee LLaarraa HHaarroo..

22

Italia (1500 – 1571) Girolamo Cardano refirió el riesgo mediante la probabilidad como la medida de frecuencia relativa de eventos aleatorios, esto a través del análisis de los juegos de azar, en particular, con el juego con dados realizó múltiples análisis de probabilidad. Galileo realizó también estudios de la frecuencia de diferentes combinaciones y posibles resultados al tirar los dados. Blas Pascal, Pierre de Fermat y Chevalier de Mére (siglo XVII) propusieron un método sistemático para medir la probabilidad. Fermat utilizó conceptos algebraicos y Pascal aplicó conceptos geométricos a la teoría de probabilidad (mediante el triángulo de Pascal es posible analizar las probabilidades de un evento). Los avances en álgebra y en cálculo diferencial e integral en los siglos XVII y XVIII propiciaron múltiples aplicaciones a la teoría de probabilidad, desde la medición de riesgos en seguros e inversiones, hasta temas relacionados con medicina, física y pronóstico de las condiciones del tiempo. En 1730, Abraham de Moivre propuso la estructura de la distribución de probabilidad normal (conocida como distribución de campana) y el concepto de desviación estándar. Daniel Bernoulli definió un proceso sistemático para la toma de decisiones, basado en probabilidades, que hoy se conoce como teoría de juegos e investigación de operaciones. Thomas Bayes aportó una nueva teoría de probabilidad, demostrando cómo tomar mejores decisiones incorporando nueva información a información anterior. En 1875, Francis Galton descubrió el concepto de “regresión a la media” el cuál se refiere a que, a pesar de las fluctuaciones en los precios que se pueden observar en los mercados organizados y que los activos que cotizan en dichos mercados pueden estar sobrevaluados o subvaluados, siempre habrá una fuerza natural que presione los precios a su justo valor o a la “restauración de la normalidad”. Transformó el concepto de probabilidad estático en un concepto dinámico. En 1952, Harry Markowitz, premio Nobel de economía, desarrolló la teoría de cartera y el concepto de que en la medida en que se añaden activos a una cartera de inversión, el riesgo disminuye como consecuencia de la diversificación. Introdujo el concepto de covarianza y correlación, es decir, en la

33

medida en que se tienen activos negativamente correlacionados entre sí, el riesgo de mercado de una cartera de activos disminuye. De 1970 al 2000, la proliferación de nuevos instrumentos financieros fue notable, así como el incremento en la volatilidad de las variables que afectan el precio de esos instrumentos, tales como tipos de cambio, tasas de interés, etc. En particular, destaca el desarrollo de productos derivados (futuros, opciones y swaps) en este período. El desarrollo más importante probablemente se dio en 1973 con la contribución que hicieron Fisher Black y Myron Scholes al proponer la fórmula para valuar el precio de las opciones financieras. En 1994, el banco estadounidense JP Morgan propuso en su documento técnico denominado Riskmetrics el concepto de “valor en riesgo” como modelo para medir cuantitativamente los riesgos de mercado en instrumentos financieros o carteras con varios tipos de instrumentos. La estadística es una de las herramientas más ampliamente utilizada en la investigación científica. Es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos. Se divide en estadística descriptiva e inferencial. Con la propuesta de JP Morgan, que incorpora los conceptos de estadística desarrollados desde el siglo XVII, la administración de riesgos moderna en los inicios del siglo XXI se concibe como la adopción de un enfoque más proactivo, que transforma la manera de medir y monitorear los riesgos. En la actualidad existe una mejor definición de riesgos, nuevos estándares (paradigmas) en la medición cuantitativa de los mismos y se han diseñado nuevas estructuras organizacionales con vocación de investigación aplicada en modelos matemáticos y técnicas especializadas. Los avances en la tecnología han facilitado el proceso de identificación, evaluación y control de riesgos. La evolución tanto de los mercados financieros en México y en el ámbito internacional es sorprendente, por ello la organización en las instituciones para realizar una efectiva administración de riesgos es cada vez más especializada con énfasis en lograr una medición de riesgos más completa, objetiva y cuantitativa.

44

I.2 EL PROCESO DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS. El proceso de administración de riesgos se puede dividir como sigue:

Identificación de riesgos Es necesario considerar las diferentes naturalezas de los riesgos que se presentan en una sola transacción. La Figura I.2.1 muestra algunos de los diferentes tipos de riesgos en el proceso de identificación de los mismos:

Figura I.2.1 Tipos de Riesgos

MERCADO

RIESGOS CREDITO

OPERATIVO

Fuente: Alfonso de Lara Haro, Medición y Control de Riesgos Financieros

Cuantificación del riesgo y control mediante el establecimiento de límites de tolerancia al riesgo. Existen una serie de conceptos que cuantifican el riesgo de mercado: valor en riesgo, duración, convexidad, peor escenario, análisis de sensibilidad, beta, delta, etc. Se pone especial atención al concepto de valor en riesgo (VaR) que se popularizó gracias a JP Morgan. En la siguiente figura (Figura I.2.2) se muestran los pasos a seguir en la cuantificación del riesgo de mercado:

55

Figura I.2.2 Pasos para cuantificar el riesgo de mercado


La Figura I.2.3 muestra la función primordial de la administración de riesgos:

Figura I.2.3 Función de la Administración de riesgos


La modificación o nulificación de dichos riesgos a través de disminuir la exposición a éstos o de

instrumentar una cobertura. Podemos ver los pasos a seguir en el proceso de administración del riesgo en el siguiente esquema (Esquema I.2.4):

66

¿Ratificación? ¿Modificación? ¿Nulificación?

Cuantificación

Identificación

Esquema I.2.4 Proceso de la administración de riesgos


Las Instituciones Financieras son tomadoras de riesgo por naturaleza. Aquellas que tienen una cultura de administración de riesgos crean una ventaja competitiva frente a las demás, asumen riesgos más conscientemente, se anticipan a los cambios adversos, se protegen o cubren sus posiciones de eventos inesperados y logran experiencia en el manejo de riesgos. Por el contrario, las instituciones que no tienen cultura de administración de riesgos posiblemente obtengan mayores beneficios en corto plazo, pero en el largo plazo convertirán sus riesgos en pérdidas importantes que pueden significar inclusive, la bancarrota. La posibilidad de contar hoy con más instrumentos financieros y el acceso a los mercados financieros internacionales ha incrementado el gusto por el riesgo de los inversionistas en general. Pero la ausencia de técnicas que midan el riesgo ha propiciado grandes desastres financieros. I.3 TIPOS DE RIESGOS Hay una gran variedad de riesgos a los que se enfrentan las instituciones; estos pueden ser clasificados en las siguientes categorías: I.3.1 El riesgo de crédito Es el más antiguo y más importante riesgo que enfrentan los bancos. Se podría definir como la pérdida potencial que es consecuencia de un incumplimiento de la contraparte en una operación que incluye un compromiso de pago.

77

Este riesgo se presenta cuando las contrapartes están poco dispuestas o imposibilitadas para cumplir con sus obligaciones contractuales. En términos generales, el riesgo de crédito también puede conducir a pérdidas cuando los deudores son clasificados duramente por las agencias crediticias, generando con ello una caída en el valor de mercado de sus obligaciones. Una entidad financiera asume el riesgo de crédito en los diferentes negocios en los que opera. En la actividad de la banca comercial (corporativa, de empresas, de personas, etc) las entidades asumen el riesgo de crédito por los préstamos, líneas de crédito, garantías, avales, etc, que conceden. En la actividad de tesorería las entidades asumen el riesgo de crédito por las posiciones (bonos, depósitos, acciones, adquisiciones temporales de activos, etc.) que mantiene el activo de sus alcances y por las posiciones en instrumentos derivados negociados en mercados OTC (Ovel the Counter). Aunque el método del Valor en Riesgo (VaR) cuantifica de mejor manera el riesgo de mercado, utilizando simulaciones también puede ser utilizado para medir de forma estandarizada el riesgo de crédito. I.3.2 El riesgo de tasa de interés y liquidez El riesgo de tasa de interés se refiere a las pérdidas que puede sufrir una institución por movimientos adversos en tasas de interés. Los bancos son muy sensibles a estas variaciones. El riesgo de liquidez se refiere a la imposibilidad de transformar en efectivo un activo o cartera de inversión (imposibilidad de vender un activo en el mercado). Este riesgo está presente en situaciones de crisis cuando en los mercados únicamente hay vendedores pero no compradores. La liquidez esta también relacionada con el horizonte temporal de las inversiones. Las condiciones de mercado pueden impedir la liquidación inmediata de una inversión. I.3.3 El riesgo legal Se refiere a la pérdida que se podría sufrir en caso de que exista incumplimiento de una contraparte y en esa transacción no se pudiera exigir por la vía jurídica cumplir con los compromisos de pago. Asimismo,

88

se refiere a operaciones que tengan algún error de interpretación jurídica o alguna omisión en la documentación. También se presenta cuando una contraparte no tiene la autoridad legal o regulatoria para realizar una transacción. Puede generar conflictos entre los accionistas contra las empresas que sufren grandes pérdidas. I.3.4 El riesgo operativo Es un concepto que está asociado a fallas en los sistemas, procedimientos, en los modelos o en las personas que manejan dichos sistemas. También está asociado a pérdidas por fraudes o por falta de capacitación de algún empleado en la organización. Asimismo se atribuye este tipo de riesgo a las pérdidas en que puede incurrir una empresa o institución por la eventual renuncia de algún empleado o funcionario de la misma, que durante el período en que laboró en dicha empresa concentró todo el conocimiento especializado en algún proceso clave. I.3.5 El riesgo de mercado Se entiende como la pérdida que puede sufrir un inversionista debido a la diferencia en los precios que se registran en el mercado o en movimientos de los llamados factores de riesgo (tasas de interés, tipos de cambio, etc.). También podríamos definirlo más formalmente como la posibilidad de que el valor presente neto de una cartera de inversión se mueva adversamente ante cambios en las variables macroeconómicas que determinan el precio de los instrumentos que componen dicha cartera de valores. El riesgo de mercado puede asumir dos formas: el riesgo absoluto, medido por la pérdida potencial en términos monetarios, y el riesgo relativo, relacionado con un índice base. Mientras que el primero se concentra en la volatilidad de las ganancias totales, el segundo mide el riesgo en términos de la desviación respecto a un índice.

99

El propósito fundamental del Valor en Riesgo (VaR) es cuantificar el riesgo de mercado. Este sistema está estructurado para permitir tomar medidas correctivas en caso de pérdidas o de exposiciones inusuales. Los tipos de riesgos que existen en el mercado son los siguientes:

Tipo de Interés Una entidad o negocio se encuentra expuesta a riesgo de tipo de interés cuando su valor dependa del nivel que tengan ciertos tipos de interés en los mercados financieros. Además estará expuesta a riesgo de interés cuando el margen futuro, debido a operaciones pendientes, dependa de los tipos de interés.

Riesgo cambiario El riesgo cambiario se presenta cuando el valor de una entidad o negocio depende del nivel que tengan ciertos tipos de cambio entre divisas en los mercados financieros. También se presenta cuando una entidad:

1. Esté expuesta a riesgo de interés, de acciones o de mercancías en divisas distintas de su divisa de referencia, que puedan alterar la igualdad entre el valor del activo y el pasivo en dicha divisa y que generen pérdidas y ganancias.

2. Su margen dependa directamente de los tipos de cambio, por ejemplo, al tener que importar

materias primas.

3. Se vea afectada por competidores cuyos costos dependen de otras divisas (importadores / exportadores)

Riesgo en Acciones

Una entidad o negocio se encuentra expuesta a riesgo de acciones cuando su valor depende de la cotización de determinadas acciones o índices de acciones en los mercados financieros.

1100

También lo estará cuando posea inversiones en otras compañías, independientemente de que éstas se hayan realizado con fines especulativos o para intervenir en su gestión, o cuando posea instrumentos derivados cuyo subyacente esté expuesto a riesgo de acciones.

Precio de las commodities Una entidad o negocio se encuentra expuesto a riesgo de mercancías (commodity) cuando su valor depende de la cotización de determinadas mercancías en los mercados internacionales. Existe riesgo de mercancías cuando la entidad también:

♦ Tiene inversiones en mercancías, ya sea con fines especulativos o por su propia actividad.

♦ Una mercancía determinada interviene de manera significativa en su proceso productivo.

♦ La mercancía considerada es sustitutiva de uno de sus productos.

1111

CAPÍTULO II HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS UTILIZADAS EN EL ESTUDIO DEL VaR (Value at Risk) Se ha hablado de la historia, significado del riesgo, proceso de administración del riesgo y tipos de riesgo, con la finalidad de dar a conocer el tema del Valor en Riesgo de una manera teórica. Ahora se describen los fundamentos probabilísticos del VaR. El VaR es una medida que tiene bases matemáticas y estadísticas, por ello se presentan herramientas matemáticas y estadísticas importantes para su estimación. II.1 DEFINICIÓN DE RENDIMIENTO Y RIESGO En la teoría financiera existen dos variables básicas que es preciso entender y saber calcular apropiadamente para tomar decisiones de inversión: el rendimiento y el riesgo. En la medida que una inversión es más riesgosa, debe exigirse un mayor rendimiento.

Rendimiento El rendimiento de una inversión se mide como la ganancia o pérdida total experimentada por su propietario durante un periodo específico1. El rendimiento Ri de un activo o cartera de inversión es el que registra el cambio de valor en un periodo con respecto a su valor inicial:

Ri = ∆ Valor/ Valor inicial = (Valor final – Valor inicial ) / Valor inicial.

Se puede definir Ri en función del logaritmo de la razón de precios de los activos: Ri = Ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1t

t

PP

11 La definición de rendimiento resulta muy importante ya que sobre ellos se realizan todas las estimaciones.

1122

Donde: Pt Precio del activo al tiempo t Pt-1 Precio del activo al tiempo t-1 Algunas razones para definir los cambios logarítmicos en los precios son:

• Su interpretación es equivalente al rendimiento en tiempo continuo.

• Las series de los rendimientos son estacionarias, es decir, con media y varianza constantes a través del tiempo, lo que permite pronosticarlos.

• Se tiene mayor facilidad para extender el plazo de los rendimientos.

Riesgo El riesgo es definido en su sentido más básico como la posibilidad financiera de pérdida, y desde un punto de vista estrictamente financiero es la variación del valor de la cartera de inversión con respecto de su valor actual, debido a movimientos en los factores de riesgo financieros. Tanto las desviaciones positivas y negativas del valor de la cartera se consideran riesgo. Puede ser también definido en términos generales como la incertidumbre sobre los flujos futuros o resultados futuros. El riesgo es considerado no sólo con respecto al periodo actual, sino también como una función creciente de tiempo, esto hace que exista variabilidad en el riesgo, y por consecuencia en los rendimientos, con el paso del tiempo. Por lo general, cuanto mayor sea la vida de una inversión en un activo, mayor será el riesgo, en virtud de la variabilidad creciente de los rendimientos que resultan del aumento en los errores de predicción para los años distantes. La Gráfica II.1.1 muestra que para un cierto nivel de riesgo se obtiene cierto rendimiento. La recta que se encuentra en la gráfica es la llamada recta del mercado de capitales RMC, la ordenada de dicha recta es el activo libre de riesgo, la pendiente de la RMC representa la relación entre la rentabilidad esperada (rendimiento exigido) y el riesgo asociado.

1133

Gráfica II.1.1 Riesgo y Rendimiento

Fuente: Elaboración propia

Los activos que poseen una posibilidad mayor de pérdida son considerados más riesgosos que aquellos cuya posibilidad de pérdida es menor. II.2 ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LA INFORMACIÓN Cuando se aplican las técnicas estadísticas al análisis e interpretación de datos, la teoría de probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Las probabilidades permiten evaluar, por ejemplo, el riesgo que implica un activo. II.2.1 Medida de tendencia central

• Esperanza matemática

El valor esperado de una variable aleatoria discreta x con función de densidad )(xf x es:

∑==x

xx xxfXE )()(µ .

1144

Si x es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad )(xf x , - ∞<X<∞, la

esperanza se define como: ∫∞

∞−

== dxxxfXE xX )()( µ .

Este valor esperado se puede medir, para una cartera de inversión, en términos de precios o de rendimientos2. II.2.2 Medidas de Dispersión Se llama medida de dispersión a cuantificar la separación de los valores de la distribución )(xf x

respecto a su media o esperanza y son:

• Varianza

Si la esperanza de la variable aleatoria x es µx y su función de densidad de probabilidad es )(xf x , la

varianza de dicha variable aleatoria x se denota como: σ2 = E(x - µx)2 = ∑x

(x – µx) 2 )(xf x .

Si x es una variable aleatoria continua la varianza es: σ2 = ∫∞

∞−

− dxxfx xx )()( 2µ

σ2 mide la mayor o menor dispersión de los valores respecto a un valor medio. Si la dispersión es muy grande, la media no será representativa. En general, cuanto más dispersas sean las observaciones, mayores serán las desviaciones respecto a la media, y mayor, por tanto, el valor numérico de la varianza.

22 En el presente trabajo se utilizan los rendimientos.

1155

• Desviación estándar Así como las desviaciones medias vienen expresadas en las mismas unidades de medida de la distribución, la varianza no, ya que vendrá en unidades correspondientes pero al cuadrado. Esto dificulta su interpretación y hace necesario definir la desviación típica o estándar, que es la raíz cuadrada con

signo positivo de la varianza, esto es: σ = 2σ . Esta puede ser interpretada como una medida de

incertidumbre. Específicamente, es el promedio de la distancia de cada punto respecto de la media. El indicador estadístico más común del riesgo es precisamente la desviación estándar, también llamada volatilidad. En general, cuanto mayor sea la desviación estándar, más alto será el riesgo. II.3 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Existen algunos modelos de probabilidad para estimar el VaR principalmente de mercado que suponen que la distribución de probabilidad de los cambios en los factores de riesgo es una normal, esto permite realizar el análisis con sólo dos parámetros (media µ y desviación estándar σ) que pueden explicar las características de la distribución de los cambios en los factores de riesgo. La justificación de utilizar el supuesto de normalidad se basa en el principio de que conforme se incrementa el número de observaciones las diferentes distribuciones de probabilidad convergen a una normal3. La distribución Normal se parece siempre a la de una curva con forma de campana. Es simétrica, esto significa que la mitad del área de ésta se haya a la izquierda de la punta, y la otra mitad a la derecha de la misma. En consecuencia, la mitad de probabilidades se encuentra asociada con los valores a la izquierda de la punta, y la otra mitad con los valores a la derecha de ésta. Para las distribuciones normales de probabilidad, 68% de los posibles resultados se hallarían entre una desviación estándar de

± 1 del valor esperado, 95% de los resultados esperados se localizan entre una desviación estándar de

± 2 del valor esperado y 99% de todos los resultados se encontrará entre una desviación estándar de

± 3 del valor esperado.

33 El teorema del límite central establece que cuando la muestra de tamaño n es suficientemente grande, la distribución de la muestra es aproximadamente normal, sin importar la distribución de la población.

1166

Su función de densidad es: πσ

σµ

2)(

2

2)( −−

≡

x

exf σ > 0, -∞ < µ < ∞ , -∞ < x < ∞

En una cartera de inversión, la media es el rendimiento promedio de sus activos, y la desviación estándar es la volatilidad de dichos activos. Está representada en la Gráfica II.3.1:

Gráfica II.3.1 Función de densidad de una v.a. de distribución Normal.


Los instrumentos financieros suponen por lo general una distribución de probabilidad normal, además juega un papel importante en la medición y procedimientos para la administración de riesgos en finanzas. En estadística es posible demostrar que si consideramos una muestra de tamaño n perteneciente a una población que se distribuye normalmente (con media µ y desviación estándar σ) dicha muestra tendrá

una distribución normal de media x y desviación estándar nσ .

Si la variable aleatoria x es el rendimiento de algún factor de riesgo (precio de acciones, tasas de interés o tipos de cambio) es posible transformar dicha variable aleatoria normal a la expresión:

Z = x

xxσ−

)(xf x

1177

A Z se le conoce como variable aleatoria normal estándar N(0,1) o estandarizada, esto es, con media cero y varianza uno. II.4 REGRESIÓN En muchos problemas existe una relación inherente entre dos o más variables y resulta necesario explorar la naturaleza de esta relación. El análisis de regresión es una técnica estadística para el modelado y la investigación de la relación entre dos o más variables. Se supone que la media de la variable aleatoria Y está relacionada con x por la relación lineal siguiente: E(Y|x) = µx|y = β0 + β1 x , donde la pendiente y la ordenada al origen de la recta reciben el nombre de coeficientes de regresión. Un modelo probabilístico lineal supone que el valor esperado de Y es una función lineal de x, pero para un valor fijo de x el valor real de Y está determinado por el valor medio de la función más un termino de error aleatorio, esto es: Y = β0 + β1 x + є. Utilizando las estimaciones de mínimos cuadrados para la ordenada al origen y la pendiente del modelo de regresión lineal se tienen los estimadores para β0 y β1:

0β) = y - 1β

)x 1β

) = )(),(xVaryxCov

Entonces la línea de regresión estimada o ajustada será: y) = 0β) + 1β

) x

Hablando de instrumentos financieros del mercado de valores, se supone que las relaciones entre los cambios en los factores de riesgo y los cambios en el valor de una cartera de inversión son lineales, supuesto que es válido en el caso de carteras conformadas por acciones y divisas; sin embargo, en el caso de instrumentos con convexidad como los bonos, o no lineales como las opciones, la estimación puede ser muy ineficiente. Lo habitual es que una variable venga explicada por la acción simultánea de otras variables. Un modelo de regresión múltiple que puede describir esta relación es:

1188

Y = β0 + β1X1j + β2X2j + ... + βpXpj + εi εi ~ N ( 0, 2σ )

Con E(Y | x1, ...xj )= β0 + β1X1j + β2X2j + ... + βpXpj ……………………………(1)

La recta de regresión ajustada es: y) = X ... X X pjp2j21j10 ββββ))))

++++

Ahora los parámetros a estimar en forma matricial son: β = [X’ X]-1 X’Y. Los βp de (1) son los coeficientes de regresión parciales. Por ejemplo, β2 mide la variación de Y inducida por una variación de X2j, suponiendo que las demás variables permanecen constantes. En general, βp indica la variación de la variable Y ante un incremento unitario de Xpj. Para probar la significancia de una regresión puede utilizarse un método conocido como análisis de

varianza, cuya identidad es: ∑=

−n

ii yy

1

2)( = ∑=

−n

ii yy

1

2)( ) +∑=

−n

iii yy

1

2)( )

Cuadro II.4.1

Tabla de Análisis de Varianza

Fuente de variación Suma de cuadrados

Grados de

libertad Varianza Correlación

Debida a la regresión RSC 1 2RS =

1RSC R2 =

T

R

SCSC

Debida al error ESC n-2 2ES =

2−nSCE 1 - R2 =

T

E

SCSC

Total TSC n-2 2TS =

1−nSCT

La cantidad R2 = T

R

SCSC

ó R2 = 1 - T

E

SCSC

1199

Donde:

SCE ∑=

−n

iii yy

1

2)( ) Suma de los cuadrados de los errores.

SCR ∑=

−n

ii yy

1

2)( ) Suma de los cuadrados de la regresión.

Recibe el nombre de coeficiente de determinación y se utiliza con mucha frecuencia para juzgar la adecuación de un modelo de regresión. A menudo se hace referencia de R2 como la cantidad de variabilidad en los datos que es explicada o tomada en cuenta por el modelo de regresión.

De la ecuación ∑=

−n

ii yy

1

2)( = ∑=

−n

ii yy

1

2)( ) + ∑=

−n

iii yy

1

2)( ) se tiene que 0 ≤ R2 ≤ 1, por tanto: -1 ≤

R ≤ 1. El signo positivo en el coeficiente de correlación significa que las dos variables se mueven en la misma dirección, mientras más cercano a la unidad, mayor será el grado de dependencia mutua. El signo negativo indica que las dos variables se mueven en sentidos opuestos. Asimismo, mientras más cercano a cero sea el coeficiente de correlación, mayor será el grado de independencia de las variables. De una serie de variables, el coeficiente general de correlación múltiple trata de estudiar el grado de dependencia simultánea entre todas o entre grupos de ellas; se define como:

R1.23...p = 21

2...23.11

S

S pr−=

totalianzaresidualianza

varvar1−

Mide el grado de interdependencia o dependencia simultánea entre las p variables consideradas, según la función de regresión que se disponga.

El coeficiente de determinación múltiple es: R21.23...p = 21

2r1.23...p

S S -1

, y varía también entre 0 y 1 (con lo

que R1.23...p estará comprendido entre –1 y 1).

2200

Para determinar el VaR de una cartera de inversión es necesario considerar los efectos de la diversificación con las correlaciones entre los rendimientos de los activos que la conforman. II.5 COVARIANZA Y CORRELACIÓN

Covarianza La covarianza es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias describiendo el movimiento conjunto entre éstas. Dichas variables pueden ser los rendimientos de los activos de una cartera de inversión. La covarianza entre las variables aleatorias x y y, denotada por COV(x,y) o σxy es:

σxy = E[(x – µx)(y – µy)] = E (xy) – µx µy

Correlación Una medida de relación entre dos variables aleatorias que a menudo es más fácil de interpretar que la covarianza es la correlación, se utiliza para medir el grado de movimiento conjunto o dependencia mutua entre variables o la relación lineal entre ambas. La correlación entre variables aleatorias x y y, denotada ρxy es:

ρxy = YX

YXσσ

),cov(

Donde: ρXY Correlación entre la variables x y y COV (x, y) Covarianza entre la variables x y y σx Desviación estándar de la variable x σy Desviación estándar de la variable y Las correlaciones se pueden agrupar en una matriz C llamada de correlaciones, cuya diagonal está compuesta por unos y los elementos fuera de la diagonal son los llamados coeficientes de correlación que se obtienen mediante la expresión anterior:

2211

C =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

321

33231

22321

11312

L

M

L

L

L

ppp

p

p

p

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

Una matriz muy importante en la medición de riesgos de instrumentos financieros es la llamada matriz de varianza-covarianza. Sea una matriz cuadrada en la cual la diagonal esta compuesta por las volatilidades (desviaciones estándar) de cada uno de los activos de una cartera de inversión y los elementos fuera de la diagonal sean ceros, a saber:

[σ] = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nσ

σσ

00

0000

2

1

L

M

L

L

La matriz de varianza – covarianza Σ, será aquella que se obtiene de multiplicar las matrices [σ] [C] [σ], donde C es la matriz de correlación, por ejemplo, de una cartera de inversión. Con este producto se tiene:

[ ]∑ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2321

3232313

2322212

1312121

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

pppp

p

p

p

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

σ

σ

σ

σ

L

M

L

L

L

II.6 EL PROBLEMA DE MULTICOLINEALIDAD Este problema surge cuando existe una correlación lineal simple fuerte entre dos (o más) variables explicativas ya que implica que una (o más) columna(s) de la matriz X de observaciones son combinaciones lineales de otra(s), con lo que el rango de la matriz de reduce. En principio el rango de [X’X] es p, es decir, igual al número de variables. Si la correlación entre las variables predeterminadas es

2222

1, esto es, extrema correlación, el rango de [X’X] es menor que p, con lo que el determinante |X’X| = 0, lo que impide calcular la matriz inversa de [X’X], y por lo tanto el vector de coeficientes β; si el determinante de la matriz X es cercano a cero, el grado de multicolinealidad es considerable; si es cercano a uno, la correlación entre las variables no será de consideración. II.7 SERIES TEMPORALES, CONCEPTOS BÁSICOS

Una serie temporal también llamada cronológica puede definirse como una sucesión de observaciones de una variable en distintos momentos del tiempo. Algunos ejemplos son: el índice de desempleo, los índices diarios de precios en la bolsa, los agregados monetarios, etc. Un análisis de diferentes conjuntos de datos se conoce como análisis multivariado de series de tiempo. El propósito del análisis de series de tiempo es estudiar la dinámica o estructura temporal de la información. Como ejemplo de serie de tiempo se considera el modelo de regresión: Yt = β1 + β2 Xt +ut …………… (1) La ecuación anterior es válida para cada periodo, y también es válida para el periodo anterior, (t-1). Así, ésta se puede expresar como: Yt-1 = β1 + β2 Xt-1 +ut-1 …………(2) Yt-1 , Xt-1 , y ut-1 se conocen como los valores rezagados de Y, X y u, respectivamente, en este caso están rezagados un periodo. Si se resta (2) de (1) se obtiene: ∆Yt = β2 ∆Xt + ∆ ut …………………….. (3) Donde ∆ llamado primer operador de diferencia, indica que se toman las diferencias sucesivas de las variables en cuestión. Por tanto, ∆Yt = (Yt – Yt-1), ∆Xt = (Xt –Xt-1) y ∆ut = (ut – ut-1). La ecuación (2) se conoce como la forma de nivel y la ecuación (3) como la forma en primera diferencia. Ambas formas se utilizan con frecuencia en el análisis empírico. Una característica común de las series de tiempo financieras es lo que se conoce como fenómeno de caminata aleatoria. Lo anterior significa que la mejor predicción para el precio de un activo es igual a su precio actual, mas un choque puramente aleatorio (o término de error).

2233

II.7.1 Proceso estocástico estacionario y Pruebas de estacionariedad Al trabajar con datos de series de tiempo se tiene que averiguar si una determinada serie de tiempo es estacionaria. Una serie de tiempo es estacionaria de segundo orden si sus características (media y varianza) son invariantes respecto al tiempo; es decir, no cambian en relación con el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende solamente de la distancia o rezago entre estos dos periodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza. Esto se puede ver de la siguiente forma: Media: E (Yt) = µ Varianza: Var (Yt) = E (Yt - µ)2 = σ2 Covarianza: γk = E [(Yt - µ) (Yt+k - µ)] Si una serie de tiempo es estacionaria tenderá a regresar a su media (llamada reversión media) y las fluctuaciones alrededor de esta media (medida por su varianza) tendrán una amplitud constante. Las series de tiempo estacionarias tienen una gran importancia, ya que si una serie de tiempo no es estacionaria, se puede estudiar su comportamiento sólo durante el periodo bajo consideración. Por tanto, cada conjunto de datos perteneciente a la serie de tiempo corresponderá a un episodio particular, como consecuencia, no puede generalizarse para otros periodos. ¿Cómo se sabe si una serie de tiempo es estacionaria? Aunque hay varias pruebas de estacionariedad, se analizan sólo aquellas que se estudian de manera prominente en la literatura. II.7.1.1 Prueba de raíz unitaria La prueba de las raíces unitarias se usa para verificar si una serie es estacionaria. El modelo auto

regresivo de orden uno AR(1) para la serie de tiempo ty es: ttt vyy += −1ρ .................. (1)

Se supone que tv es una variable aleatoria con media 0 y varianza, 2vσ , constante. Si 1=ρ entonces

ty es la caminata aleatoria no estacionaria ttt vyy += −1 y se dice que contiene una raíz unitaria. Esta

2244

es una serie no estacionaria ya que su varianza cambia con el tiempo, esto es que la ( ) 2vt tyVar σ= . El

proceso AR(1) es estacionario si 1<ρ , de modo que se contrasta la hipótesis de no estacionariedad

probando la hipótesis nula 1=ρ contra la alternativa 1<ρ o simplemente 1<ρ .

Esta prueba es puesta de una forma más conveniente sustrayendo 1−ty de ambos lados de la ecuación

(1).

( ) tttt vyyy +−=− −− 11 1ρ

ttt vyy +=∆ −1γ .

Entonces

0:1: 00 =↔= γρ HH

0:1: 11 <↔< γρ HH .

II.7.1.2 La Prueba de Dickey Fuller

Dickey y Fuller probaron que bajo la hipótesis nula de que 0=γ , el valor estimado t del coeficiente Yt-1

en ∆Yt sigue el estadístico tau (τ). El estadístico tau se conoce como la prueba de Dickey Fuller (DF). La hipótesis alternativa es que 0<γ , es decir, la serie de tiempo es estacionaria. Si se rechaza la

hipótesis nula significa que Yt es una serie de tipo estacionaria. II.7.1.2.1 Prueba Dickey Fuller Aumentada

Para controlar la posibilidad que el término de error en la ecuación ttt vyy +=∆ −1γ posea

autocorrelación, se incluyen términos adicionales.

t

m

iititt vyayy +∆++=∆ ∑

=−−

110 γα (2)

2255

Probando la hipótesis nula que 0=γ dentro del contexto de este modelo es llamada la Prueba Dickey-

Fuller Aumentada (DFA). Al llevar a cabo la prueba DF en ∆Yt se supone que el término de error no está correlacionado. Pero Dickey y Fuller desarrollaron una prueba cuando dicho término si está correlacionado, la cual se conoce con este último nombre. II.7.1.3 Prueba de raíz unitaria Phillips Perron Una prueba alternativa de raíz unitaria fue desarrollada por Phillips y Perron (PP). Al igual que la prueba

DFA, la prueba PP es una prueba de hipótesis sobre p=1 en la ecuación: ∆Yt = ∆β + pYt-1 + ∆ t; pero a

diferencia de la prueba DFA, no existen términos de diferencias retardados. Más bien, la ecuación es estimada por MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) y luego el estadístico "t" del coeficiente p es corregido. La hipótesis nula H0 del test de Phillips-Perron es la trayectoria de raíz unitaria con tendencia y la alternativa Ha es la estacionariedad con tendencia, si el valor t-Student asociado al coeficiente de Yt-

1 es mayor en valor absoluto al valor crítico de MacKinnon, se rechaza la hipótesis de existencia de raíz unitaria. II.7.2 No estacionariedad Aunque el interés se centra en las series de tiempo estacionarias a veces se encuentran series de tiempo no estacionarias, como el modelo de caminata aleatoria. A menudo se dice que los precios de valores, como las acciones o las tasas de cambio, siguen una caminata aleatoria; es decir, no son estacionarias. Un objetivo importante en el estudio de las series temporales es la realización de predicciones. Predecir consiste en determinar, mediante la aplicación de un modelo, qué valor toma la variable objeto de estudio en uno o más periodos de tiempo situados en el futuro.

2266

II.8 ALGUNOS MODELOS DE SERIES DE TIEMPO II.8.1 Proceso estocástico puramente aleatorio Es un proceso estocástico discreto {Xt} que consiste en una secuencia de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica y mutuamente independientes. Tiene media y varianza constantes y la función de autocovarianza es: γ(k) = COV (Xt , Xt+h) = 0, para k ≠ 0. La función de autocorrelación esta dada por: ρ(k) = 1, para k=0 y ρ(k) = 0 para k ≠ 0. Un proceso puramente aleatorio también se conoce como ruido blanco (proceso estocástico con media igual a cero y varianza constante). II.8.2 Caminata Aleatoria Es un proceso que se utiliza con frecuencia para describir el comportamiento de los precios en la bolsa de valores. Supongamos que et es una serie puramente aleatoria con media µ y varianza σ2. Se dice que un proceso {Xt} es una caminata aleatoria sí Xt = X t-1 + et. Supongamos que X0 es igual a cero. Entonces el proceso evoluciona en forma siguiente:

X1 = e1 X2 = X1 + e2 = e1 + e2 etc..

Por sustitución sucesiva tenemos que Xt = ∑=

t

i |1

ei. Por lo tanto, E (Xt) = tµ y VAR (Xt) = tσ2. Dado que la

media y la varianza cambian con t, el proceso no es estacionario, pero su primera diferencia si lo es. En referencia a los precios de las acciones, esto dice que los cambios en el precio de las acciones serán un proceso puramente aleatorio. En la gráfica II.8.2.1 se ejemplifica un proceso no estacionario (caminata aleatoria).

2277

Gráfica II.8.2.1

Caminata aleatoria sin desplazamiento ( ) ( ) ( )1,05.01 Ntxtx +−=

-5

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

t

x(t)


II.9 EL FENÓMENO DE REGRESIÓN ESPURIA. Cuando se usan series no estacionarias se corre el riesgo de obtener regresiones que son significantes en apariencia. Se dice que tales regresiones son espurias. Como ejemplo, se considera el modelo de regresión de la serie no estacionaria mostrado en la Gráfica II.8.2.1 sobre la serie generada por el

proceso no estacionario ( ) ( ) ( )1,01 Ntyty +−= (caminata aleatoria) de la Gráfica II.9.1.

Gráfica II.9.1

Proceso No Estacionario, caminata aleatoria ( ) ( ) ( )1,01 Ntyty +−=

-30 -25 -20 -15 -10

-5 0 5

10 15 20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 t

yt


2288

Estas dos series fueron generadas independientemente y no hay ninguna relación entre ellas. Sin embargo, se pueden graficar como se muestra en la Figura II.9.2 donde al parecer existe una relación inversa.

Figura II.9.2 Diagrama de Dispersión para los Datos Usados en la Regresión Espuria

20

30

40

50

60

70

-100 -80 -60 -40 -20 y(t) = y(t-1) + N(0,1)


Si se estima la regresión se obtienen los resultados de la Tabla II.9.3. Estos resultados indican que el

modelo se ajusta a los datos bastante bien ( 75.02 =R ) y que el estimador de la pendiente es

estadísticamente distinto de 0 ( 67.54−=t ). Pero estos resultados carecen de sentido y son espurios.

Resultados de naturaleza más dramática aparecen cuando se usan modelos con variables no estacionarias con desplazamiento. Note que el valor del estadístico de Durban-Watson es pequeño. Granger y Newbold (C.W.J. Granger y P. Niewbold, “Spurious Regressions in Econometrics”, Journal of Econometrics, 2, 1974, p. 111 – 120) sugieren que cuando se modelan regresiones con series de

tiempo, si el valor de 2R es mayor que el del estadístico Durban-Watson, entonces uno debe

sospechar la existencia de una relación espuria.

2299

Tabla II.9.3 Resultados de una Regresión Espuria

Dependent Variable: yt (Gráfica II.8.2.1)

Method: Least Squares Sample: 1 1001

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 14.20404 0.542931 26.16175 0.0000

y(t) -0.526263 0.009627 -54.66698 0.0000

R-squared 0.749466 Adjusted R-squared 0.749215

S.E. of regression 4.173168 F-statistic 2988.479

Durbin-Watson stat 0.030498 Prob(F-statistic) 0.000000


Para resumir, cuando un modelo de regresión es basado en series de tiempo no estacionarias los resultados pueden indicar la existencia de una relación significante cuando en realidad no existe ninguna. En este caso, tanto el estimador de mínimos cuadrados ordinarios como el predictor de mínimos cuadrados no poseen sus propiedades usuales, y los estadísticos t no son confiables. II.10 CONCEPTOS DE ANÁLISIS MULTIVARIADO II.10.1 Antecedentes históricos Los antecedentes del análisis factorial se encuentran en las técnicas de regresión lineal, iniciadas por Galton. Un continuador suyo fue K. Pearson (1901), que presentó la primera propuesta del "método de componentes principales", primer paso para el cálculo del análisis factorial. El origen del análisis factorial suele atribuirse a Spearman (1904), en su clásico trabajo sobre inteligencia, donde distingue un factor general (factor G) y cierto número de factores específicos. Hotelling (1933), desarrolló un método de extracción de factores sobre la técnica de "componentes principales". Thurstone (1947), expresó la relación entre las correlaciones y las saturaciones de las variables en los factores. Introdujo el concepto de estructura simple. También desarrolló la teoría y método de las rotaciones factoriales para obtener la estructura factorial más sencilla. En un principio las rotaciones

3300

eran gráficas. Kaiser (1958) desarrolló el método Varimax para realizar rotaciones ortogonales mediante procedimientos matemáticos. II.10.2 Análisis factorial y análisis de componentes principales El análisis factorial es una técnica que consiste en resumir la información contenida en una matriz de datos con p variables y se emplea frecuentemente para crear nuevas variables que resuman toda la información de la que podría disponerse en las variables originales. El análisis factorial también se usa para estudiar las relaciones que podrían existir entre las variables medidas en un conjunto de datos. El análisis de componentes principales es un procedimiento matemático que transforma un conjunto de variables respuesta correlacionadas en un nuevo conjunto de variables no correlacionadas conocidas como componentes principales. El análisis de componentes principales se puede hacer sobre una matriz de varianza-covarianza de las muestras o una matriz de correlación. El análisis factorial tiene un propósito similar al del análisis de componentes principales. La idea básica está en la posibilidad de describir un conjunto de p variables X1, X2, … , Xp, en términos de un número más pequeño de índices o factores evitando la relación entre estas variables. Hay, sin embargo, una importante diferencia: el análisis de componentes principales no esta basado en algún modelo estadístico particular, pero el análisis factorial sí. Los datos para un análisis factorial tienen la misma forma que para un análisis de componentes principales. Un análisis factorial comienza por determinar ciertos factores, un camino para encontrarlos es utilizar un análisis de componentes principales y eliminado todos los componentes principales después de los primeros m, los cuales van a ser los m factores. Los m factores están incorrelacionados uno con otro. Ya que se usó un análisis de componentes principales para encontrar una solución provisional, se escogen factores que tengan el eigenvalor mayor que 1. Frecuentemente para el análisis factorial primero se usa un análisis de componentes principales y después se prueba con otras aproximaciones.

3311

Muchos programas computacionales que realizan análisis factorial tienen la opción de usar un análisis de componentes para obtener factores iniciales. También es posible usar programas que sólo hacen análisis de componentes principales, todo lo que se tiene que hacer es extraer el mismo número de factores como de variables y no hacer ninguna rotación.

II.11 METODOLOGÍA ESTADISTICA PARA LLEVAR A CABO UN ANÁLISIS FACTORIAL El objetivo del análisis factorial es resumir la información obtenida de las variables iniciales expresando las mismas como combinación lineal de otras variables no observables (subyacentes) denominadas factores. Se busca una estructura de interrelación en nuestras variables. Existen varios métodos de extracción de factores. El aquí empleado es el método de las componentes principales. El modelo estadístico de análisis factorial se basa en la regresión múltiple. Cada variable se expresa como una combinación lineal de factores no directamente observables.

Xij = Fi1 ai1 + Fi2 ai2+....+Fik aik + Vi Siendo: Xij Puntuación del individuo i en la variable j. Fij Coeficientes factoriales. aij Cargas factoriales. Vi Factor único de cada variable. Se asume que los factores únicos no están correlacionados entre sí ni con los factores comunes. Para que el análisis factorial tenga sentido deberían cumplirse dos condiciones básicas: Parsimonia e Interpretabilidad. Según el principio de parsimonia los fenómenos deben explicarse con el menor número de elementos posibles. Por lo tanto, respecto al análisis factorial, el número de factores debe ser lo más reducido posible y estos deben ser susceptibles de interpretación sustantiva. Una buena solución factorial es aquella que es sencilla e interpretable.

3322

Se explica el procedimiento para encontrar cada una de las componentes con el análisis de componentes principales y con ello, los factores.

Sea: Σ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

pppp

p

p

σσσ

σσσ

σσσ

.....

...

...

21

22221

11211

Una matriz cuadrada de p x p. La traza de esta matriz se representa como Tr(Σ) = ∑=

p

iii

1

σ

Los eigenvalores4 (también llamados raíces características o raíces latentes) de Σ son las raíces del polinomio característico definido por | Σ – λ I | = 0. Si p=2 la ecuación será una ecuación cuadrática y tendrá dos raíces. En general, una ecuación de p-ésimo grado tendrá p raíces. Si Σ es una matriz simétrica, lo cual ocurrirá siempre que sea una matriz de varianzas–covarianzas o de correlaciones, sus eigenvalores son números reales y se pueden ordenar del más grande hasta el más pequeño: λ1 > λ2 >… > λp. Cada eigenvalor de Σ tiene un vector no cero correspondiente a (una columna de números) llamada eigenvector (también conocido como vector característico o vector latente) que satisface la ecuación matricial: Σ a = λ a Debido a que Σ tiene p eigenvalores, tendrá p eigenvectores. Se denotan por a1, a2, …, ap los eigenvectores de Σ correspondientes a los eigenvalores λ1, λ2, …, λp , respectivamente. Para lo siguiente, x representa una observación seleccionada aleatoriamente de una población que tiene media µ, y matriz de varianzas – covarianzas Σ. 44 LLaa ssuummaa ddee llooss ccuuaaddrraaddooss ddee llooss ppeessooss ddee ccuuaallqquuiieerr ccoolluummnnaa ddee uunnaa mmaattrriizz ffaaccttoorriiaall eess lloo qquuee ddeennoommiinnaammooss eeiiggeennvvaalloorr,, iinnddiiccaa llaa ccaannttiiddaadd ttoottaall ddee vvaarriiaannzzaa qquuee eexxpplliiccaa eessee ffaaccttoorr ppaarraa llaass vvaarriiaabblleess ccoonnssiiddeerraaddaass ccoommoo ggrruuppoo.. LLaass ccaarrggaass ffaaccttoorriiaalleess ppuueeddeenn tteenneerr ccoommoo vvaalloorr mmááxxiimmoo 11,, ppoorr ttaannttoo eell vvaalloorr mmááxxiimmoo qquuee ppuueeddee aallccaannzzaarr eell vvaalloorr pprrooppiioo eess iigguuaall aall nnúúmmeerroo ddee vvaarriiaabblleess..

3333

La primera variable componente principal se define por y1 = a’1 (x-µ) en donde a1 se elige de modo que la varianza de a’1(x- µ) se maximice sobre todos los vectores a1 que satisfagan a1’a1 = 1. Se puede demostrar que el valor máximo de la varianza de a’1(x- µ) entre todos los vectores a1 que satisfacen a1’a1 = 1 es igual a λ1 el eingenvalor más grande de Σ, y que este máximo ocurre cuando a1 es un eigenvector de Σ correspondiente al eigenvalor λ1 y que satisface a1’a1 = 1. La segunda componente principal se define por y2 = a’2 (x-µ) en donde a2 se elige de modo que la varianza de a’2(x- µ) sea un máximo entre todas esa combinaciones lineales de x que no están correlacionadas con la primera variable componente principal y tenga a2’a2 = 1. De manera semejante se pueden definir componentes principales adicionales. La j-ésima (j=3,4,…, p) componente principal se expresa por yj = a’j (x-µ) en donde aj se elige de modo que aj’aj = 1 y en tal forma que la varianza a’j(x- µ) sea un máximo entre todas esa combinaciones lineales de x que no están correlacionadas con las j-1 componentes principales es igual a λj, el j-ésimo eigenvalor más grande de Σ, y este máximo ocurre cuando aj es un eigenvector de Σ correspondiente al eigenvalor λj y que satisface aj’aj = 1. De este modo λ1> λ2> λ3 ….> λp denotan los eigenvalores ordenados de Σ y a1, a2, …, ap denotan los eigenvectores normalizados correspondientes de Σ. La varianza de la j-ésima componente yj es λj con j=1,2,…,p. Sabemos que tr(Σ)=σ11 + σ22 + … + σpp . Por tanto, tr(Σ) en cierto sentido mide la variación total de las variables originales. Asimismo tr(Σ) = λ1 + λ1 + …

+ λp y de donde la variación total explicada por todas las variables componentes principales es igual a la cantidad total de la variación medida por las variables originales. Debido a ello, para medir la importancia

de la j-ésima componente principal se acostumbra considerar la relación )(

1

∑trλ , para j=1,2, …, p. Esta

relación mide la proporción de la variabilidad total en las variables originales que es explicada por la j-ésima componente principal.

3344

Para usar las variables componentes principales en los análisis estadísticos consecuentes es necesario calcular las calificaciones de esas componentes (valores de las variables componentes principales) para cada unidad experimental en el conjunto de datos. Estas calificaciones proporcionan las ubicaciones de las observaciones en un conjunto de datos con respecto a sus ejes componentes principales. Sea xr el vector de variables medidas para la r-ésima unidad experimental. Entonces el valor (calificación) de la j-ésima variable componente principal para la r-ésima unidad experimental es: yrj = a’j (xr-µ), para j=1, 2,…, p y r=1, 2,…, N. Para hacer comparaciones entre eigenvectores muchos investigadores cambian la escala de éstos al multiplicar los elementos de cada vector por la raíz cuadrada de su eigenvector correspondiente. Sea cj = λj ½ aj, para j=1, 2, …, p. Estos nuevos vectores de carga se llaman vectores de carga de componentes. Los elementos del vector cj reciben el nombre de cargas de componentes y se les ha cambiado la escala de modo que, en general, sean mayores que los componentes menos importantes. Los cj todavía son eigenvectores de Σ pero tienen longitudes iguales a √ λj en lugar de longitud 1. Todos los elementos en todos los cj son comparables entre sí. El i-ésimo elemento en cj da la covarianza entre la i-ésima variable original y la j-ésima componente principal. Cuando se lleva acabo un análisis de componentes principales se necesita determinar la dimensionalidad real del espacio en el que caen los datos, es decir, el número de componentes principales que tienen varianzas mayores que cero. Si varios de los eigenvalores de Σ son cero o están suficientemente cercanos a cero, entonces la dimensionalidad real de los datos es la del número de eigenvalores diferentes de cero. En el modelo general del análisis factorial se supone que se tienen m factores subyacentes (m < p) denotados por f1, f2, …, fm tales que:

Xj = µj + λ1 f1 + λ2 f2 + … + λm fm + ηj para j=1, 2, …, p Que son obtenidos con el análisis de componentes principales y que tienen eigenvalor mayor a 1.En el modelo precedente se supone que:

3355

1.- Los factores son independientes e idénticamente distribuidos con media 0 y varianza 1, para k=1, 2, …, m; 2.- Los ηj están independientemente distribuidos con media 0 y varianza ψj para j=1, 2, …, p; 3.- fk y ηj tienen distribuciones independientes para todas las combinaciones de k y j.

De donde el modelo factorial queda: Xj = λj1 f1 + λj2 f2 + … + λjm fm + ηj para j=1, 2, …, p, y donde las x se han centrado en torno a sus medias. En forma matricial, el modelo es: X= Λf + η, en donde x se ha centrado y

x = [x1, x2, …, xp] ‘ f = [ f1, f2, …, fm] ‘ Λ = η = [η1, η2, …, ηp] ‘

Las nuevas variables f1, f2, …, fm se llaman factores comunes, y η1, η2, … ηp se llaman factores específicos. La cantidad ηj describe la variación residual específica a la j-ésima variable respuesta y ψj se llama varianza específica de esa j-ésima variable. Los λj se llaman cargas de los factores. Cada λj mide la contribución del k-ésimo factor común a la j-ésima variable respuesta. Se dice que λj es la carga de la j-ésima variable respuesta sobre el k-ésimo factor. II.11.1 Pasos en el análisis factorial Los pasos que se suelen seguir en el análisis factorial utilizando el método de componentes principales son:

1- Calcular la matriz de correlaciones entre todas las variables. 2- Extracción de los factores necesarios para representar los datos. 3- Calcular las puntuaciones factoriales de cada individuo.

Se han propuesto múltiples métodos para la extracción de factores, comprobándose que había distintas soluciones a un mismo problema, según el método que se adoptase. El método de componentes principales suele ser el más utilizado.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

pmpp

m

m

λλλ

λλλλλλ

.....

......

21

22221

11211

3366

II.11.1.1 Pruebas previas al análisis factorial y matriz factorial Una vez que se dispone de la matriz de correlaciones concierne examinarla utilizando algunos estadísticos como el de Bartlett y la medida de adecuación muestral Kaiser – Meyer Olkin para comprobar si sus características son adecuadas para realizar un análisis factorial. Para saber si las variables están conjuntamente relacionadas o no se realiza el contraste de significancia global, el estadístico de Barlett permite realizar este contraste bajo el supuesto de normalidad de la muestra se

distribuye como una 2χ . La medida de adecuación de la muestra para poder realizar un análisis

factorial y de componentes principales se obtiene a través de la medida de Kaiser – Meyer –Olkin.

KMO = ∑∑∑∑

+

+

+ji

ijij

jiij

ar

r

22

2

Donde: rij Coeficientes de correlación observados aij Coeficientes de correlación parcial La muestra será mas adecuada cuanto mas próxima este a 1 esta medida, ya que supondría que los coeficientes de correlación parcial entre la variables originales seria pequeño. Se considera aceptable la muestra cuando esta medida es superior a 0.6 Una vez que se comprueba el adecuado uso de análisis factorial a partir de matriz de correlaciones, el análisis de componentes principales extrae otra matriz que reproduce la primera de forma más sencilla. Esta nueva matriz se denomina matriz factorial y adopta la siguiente forma: 1 2 1 P11 P21 2 P12 P22 3 P13 P23 4 P14 P24 5 P15 P25 6 P16 P26

3377

Cada columna es un factor y hay tantas filas como variables originales. Los elementos Pij pueden interpretarse como índices de correlación entre el factor i y la variable j, aunque estrictamente sólo son correlaciones cuando los factores no están correlacionados entre sí, es decir, son ortogonales. Estos coeficientes reciben el nombre de pesos, cargas, ponderaciones o saturaciones factoriales que indican el peso de cada variable en cada factor. Lo ideal es que cada variable cargue alto en un factor y bajo en los demás. II.11.1.2 Comunalidades Se denomina "comunalidad" a la proporción de la varianza explicada por los factores comunes en una variable. La comunalidad (h2) es la suma de los pesos factoriales al cuadrado en cada una de las filas. En el análisis de componentes principales como no suponemos la existencia de ningún factor común la comunalidad toma como valor inicial 1. Calculando a partir de los dos coeficientes de correlación mayores de esa variable la siguiente operación es:

La comunalidad final de cada variable viene dada por: h2 = 21 jP + 2

2 jP +... + 2kjP

II.11.1.3 Número de factores a conservar e interpretación de los factores La matriz factorial puede presentar un número de factores superior al necesario para explicar la estructura de los datos originales. Generalmente hay un conjunto reducido de factores, los primeros, que son los que explican la mayor parte de la variabilidad total. Los otros factores suelen contribuir relativamente poco. Se han dado diversos criterios para determinar el número de factores a conservar. Uno de los más conocidos y utilizados es el criterio o regla de Kaiser (1960) que indica lo siguiente: "conservar solamente aquellos factores cuyos valores propios (eigenvalores) son mayores a la unidad". Este criterio es el que suelen utilizar los programas estadísticos por defecto.

3388

Para la fase de interpretación juega un papel preponderante la teoría y el conocimiento sustantivo. A efectos prácticos se sugieren dos pasos en el proceso de interpretación:

1- Estudiar la composición de las saturaciones factoriales significativas de cada factor. 2- Intentar dar nombre a los factores. Nombre que se debe dar de acuerdo con la estructura de sus saturaciones, es decir, conociendo su contenido.

Se le llama variable compleja a aquella que satura altamente en más de un factor y que no debe ser utilizada para dar nombre a los factores. Factores bipolares son aquellos factores en los que unas variables cargan positivamente y otras tienen carga negativa. II.11.1.4 Puntuaciones factoriales Una vez que se tienen los factores puede interesar conocer que puntuación obtendrían los sujetos en estos factores. Para contestar a esto hay que calcular lo que se conoce como puntuaciones factoriales de cada individuo. El cálculo de las puntuaciones factoriales se basa en el modelo de la regresión múltiple, de acuerdo con la fórmula:

Fij = Pi1 Z1 + Pi2 Z2 + … +Pir Zr = ∑=

r

l 1

Fil Zl

Donde: Fij Puntuación factorial del individuo j en el factor i. Pil Ponderación factorial de la variable l en el factor i. Zl Puntuaciones típicas del sujeto con cada variable. Las puntuaciones factoriales exactas sólo pueden calcularse estrictamente cuando el método de extracción ha sido el de componentes principales. Para ilustrar el procedimiento del análisis factorial se expone un ejemplo con 10 datos de rendimientos de 5 acciones del IPyC (Índice de Precios y Cotizaciones) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). Como primer paso se tiene que calcular la matriz de correlaciones entre todas las variables. Los datos de las variables, que son los rendimientos de las acciones se muestran en el Cuadro II.11.1.4.1:

3399

Cuadro II.11.1.4.1 Matriz de datos

TELMEXL ELEKTRAST AMXL COMERCIUBC TVAZTECPO 0.0113 0.0015 0.0545 0.0282 -0.0112 -0.0124 0.0216 -0.0164 0.0283 -0.0080 0.0065 0.0485 0.0055 -0.0099 -0.0016 0.0075 -0.0775 0.0181 0.0017 -0.1129 -0.0140 -0.0965 0.0207 -0.0025 -0.0388 0.0097 -0.0270 0.0035 -0.0033 -0.0209 -0.0022 0.0345 0.0041 0.0132 0.0433 0.0005 0.0088 -0.0129 -0.0008 0.0128


La matriz de correlaciones proveniente de la matriz de datos anterior es (Cuadro II.11.1.4.2):

Cuadro II.11.1.4.2 Matriz de Correlaciones

TELMEXL ELEKTRAST AMXL COMERCIUBC TVAZTECPO TELMEXL 1.000 0.160 0.428 -0.157 -0.165 ELEKTRAST 0.160 1.000 -0.323 0.262 0.772 AMXL 0.428 -0.323 1.000 0.227 -0.291 COMERCIUBC -0.157 0.262 0.227 1.000 0.203 TVAZTECPO -0.165 0.772 -0.291 0.203 1.000


A partir de ésta matriz de correlaciones se extrae la matriz factorial por medio del análisis de componentes principales, (se utilizo el paquete estadístico SPSS 12.0 como herramienta para obtener todos los cálculos referentes al análisis factorial) y es la siguiente (Cuadro II.11.1.4.3):

Cuadro II.11.1.4.3 Matriz Factorial

Componentes 1 2 3 TELMEXL -.283 .707 -.605 ELEKTRAST .867 .357 -.253 AMXL -.563 .696 .230 COMERCIUBC .310 .476 .774 TVAZTECPO .897 .150 -.069


4400

Las comunalidades obtenidas se muestran en el Cuadro II.11.1.4.4:

Cuadro II.11.1.4.4 Comunalidades

Inicial Extraída TELMEXL 1.000 .946 ELEKTRAST 1.000 .944 AMXL 1.000 .855 COMERCIUBC 1.000 .922 TVAZTECPO 1.000 .833


Para extraer de los factores necesarios para representar los datos se hace uso de la Tabla de Varianza Explicada obtenida con el paquete estadístico SPSS (Cuadro II.11.1.4.5). En la parte de Eigenvalores Iniciales en la columna de Total tenemos el valor de dichos eigenvalores; siguiendo la regla de Kaiser solo se toman los que son mayores a 1, por ello se toman solo 3 componentes que logran explicar un 89.9% (en la columna de % acumulado) de la variabilidad de los datos.

Cuadro II.11.1.4.5 Total de Varianza Explicada

Eigenvalores Iniciales Suma de Cuadrados Extraídos Componentes Total % de Varianza % Acumulado Total % de Varianza % Acumulado

1 2.051 41.025 41.025 2.051 41.025 41.025 2 1.361 27.228 68.253 1.361 27.228 68.253 3 1.086 21.719 89.972 1.086 21.719 89.972 4 .409 8.186 98.158 5 .092 1.842 100.000


Con la matriz de factores obtenida anteriormente y haciendo uso de la matriz de datos de los rendimientos de las acciones se pueden obtener las puntuaciones factoriales de cada acción siguiendo la fórmula:

Fij = Pi1 Z1 + Pi2 Z2 + … +Pir Zr = ∑=

r

l 1

Fil Zl

4411

Las puntuaciones estimadas para el primer día serán: Puntuación Factorial 1 = -.283*0.0113 + .867*0.0015 -.563*0.0545 + .310*0.0282 + .897*-0.0112 Puntuación Factorial 2 = .707*0.0113 + .357*0.0015 +.696 *0.0545 +. 476*0.0282 + .150*-0.0112 Puntuación Factorial 3 =- .605 *0.0113 -.253 *0.0015 + .230*0.0545+.774*0.0282 -.069 *-0.0112 Siguiendo éstas fórmulas para los días siguientes se obtiene la matriz de puntuaciones factoriales del Cuadro II.11.1.4.6:

Cuadro II.11.1.4.6 Matriz de Puntuaciones Factoriales (PF)

PF1 PF2 PF3 -0.0339 0.0582 0.0279 0.0331 -0.0002 0.0207 0.0326 0.0208 -0.0225 -0.1802 -0.0259 0.0283 -0.1269 -0.0370 0.0384 -0.0479 -0.0051 0.0007 0.0712 0.0264 0.0008 0.0260 -0.0039 -0.0070


4422

CAPÍTULO III VALUE AT RISK (VaR) III.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL MODELO DE VALOR EN RIESGO (VaR) El Valor en Riesgo, conocido como VaR, es un modelo para la medición de los riesgos de mercado. Este concepto se propuso en la segunda mitad de la década de los noventa y actualmente lo aplican una gran cantidad de Instituciones en México y en el ámbito internacional. La metodología de Valor en Riesgo se considera como un nivel de referencia (Benchmark) y un estándar en los mercados financieros que permite comparar la exposición al riesgo de mercado entre diversas instituciones. III.1.1 Definición de Valor en Riesgo El Valor en Riesgo (VaR) es un método para cuantificar la exposición al riesgo de mercado en instrumentos financieros o carteras por medio de técnicas estadísticas tradicionales. El VaR es una medida estadística de riesgo de mercado que estima la pérdida máxima que podría registrar una cartera de inversión en un intervalo de tiempo y con un cierto nivel de confianza. También se define como la pérdida máxima que una institución financiera podría tener – por una determinada posición o cartera de inversión la cuál se supone no cambia durante el periodo de inversión - en el caso de presentarse un cambio en los factores de riesgo, durante un horizonte de inversión definido y con un nivel de confianza determinado. Esta definición de Valor en Riesgo sólo es válida en condiciones normales del mercado, ya que en momentos de crisis y turbulencia financiera la pérdida esperada se define por pruebas de stress o valores extremos.

4433

El VaR no otorga una completa certidumbre con respecto a las pérdidas que se puedan sufrir en una inversión, sino una expectativa de resultados basada en estadística (series de datos en el tiempo) y en algunos de los supuestos en los modelos o parámetros que se utilizan para su cálculo. Tal vez la mayor ventaja del VaR es que resume en un sólo número, fácil de entender, la exposición total de una institución al riesgo de mercado. Para la medición del VaR existen dos factores muy importantes a considerar: el horizonte de tiempo y el nivel de confianza. Como ejemplo, el comité de Basilea1 define un intervalo de confianza del 99% sobre 10 días hábiles (dos semanas). Para inversionistas, el horizonte de tiempo puede ser determinado por la naturaleza de la cartera de inversión. Si el VaR es utilizado para la selección de un requerimiento de capital entonces será crucial la elección del nivel de confianza, la cual deberá reflejar el grado de aversión al riesgo de la empresa y el costo de una pérdida por exceder el VaR. Por el contrario, si el VaR se utiliza sólo para proporcionar un criterio interno aplicable a una empresa para comparar los riesgos entre diferentes mercados, entonces la elección del nivel de confianza no es tan importante. La metodología de Valor en Riesgo se puede aplicar a todas las posiciones de riesgos o carteras de inversión y a todos los niveles de una institución financiera. Recientemente, los modelos de VaR también se están aplicando a aseguradoras, fondos de pensiones, bancos al menudeo, etc. III.2 EL VaR COMO UNA DISTRIBUCIÓN GENERAL En términos algebraicos, si se supone que x es una variable aleatoria que representa las pérdidas o ganancias en alguna fecha futura “T”’ y “Z” es la probabilidad porcentual, el VaR se define como:

Prob (xT < VaR) = Z

11 EEssttee CCoommiittéé ffuuee ccrreeaaddoo eenn 11997744 ppoorr eell BBaannkk ffoorr IInntteerrnnaacciioonnaall SSeettttlleemmeennttss.. SSuu ffuunncciióónn eess ddeetteerrmmiinnaarr llooss nniivveelleess mmíínniimmooss ddee ccaappiittaall ddee llaass iinnssttiittuucciioonneess ffiinnaanncciieerraass.. SSee eennccaarrggaa ddee llaa ssuuppeerrvviissiióónn ddee llooss bbaannccooss ccoommeerrcciiaalleess..

4444

De forma más general, el VaR puede derivarse de la distribución de probabilidad del valor futuro del cartera f(w). Para un nivel de confianza dado c, se desea encontrar la peor realización posible W* tal que la probabilidad de exceder dicho valor sea c:

C = ∫∞

*W

f(w) dw

O tal que la probabilidad de un valor inferior a W*, p= P (w≤ W*), sea 1-c. El número W* es denominado el cuantil muestral de la distribución. De acuerdo con lo anterior, la estimación del VaR involucra elementos que deben definirse de manera precisa si se desean realizar estimaciones confiables como el grado de sensibilidad del valor de la cartera de inversión ante cambios en los factores de riesgo. Para estimar el VaR se requiere determinar un conjunto de factores de riesgos alternativos que, comparados con los factores de riesgos vigentes permitan estimar pérdidas o ganancias de una cartera de inversión. III.2.1 El VaR para distribuciones paramétricas La cuantificación del VaR puede simplificarse considerablemente si se puede suponer que la distribución de los rendimientos de la cartera es normal. El VaR puede derivarse directamente de la desviación estándar de la cartera, utilizando un factor multiplicativo que depende del nivel confianza. Primero se requiere traducir la distribución general f(w) en una distribución normal estándar Φ(e), donde e tiene como media cero y como desviación estándar la unidad. Asociamos W* con el rendimiento crítico R* tal que W* = w0 (1+R*). Generalmente, R* es negativo y puede también escribirse como – |R*|. También podemos asociar R* con una desviación normal estándar α > 0 estableciendo:

- α = σ

µ - |R*| - ……….. (1)

Que es equivalente a establecer: 1-c = ∫∞−

*W

f(w) dw = ∫−

∞−

|*|R

f(r) dr = ∫−

∞−

α

Φ( e) de

4455

El problema de encontrar un Valor en Riesgo es equivalente a encontrar la desviación tal que a su izquierda sea igual a 1-c. Para encontrar el VaR de una variable con distribución normal estándar, se selecciona el nivel de confianza deseado, digamos 95%. Esto corresponde a un valor de α= 1.65 debajo de 0. De la ecuación (1), el rendimiento crítico es:

R* = - α σ + µ

Los parámetros µ y σ están expresados en una base anual. Con lo anterior, el VaR en términos de rendimientos porcentuales esta dado como:

Valor en riesgo = - α σ + µ En otras palabras, considerando que media de la distribución es cero, el VaR es simplemente un múltiplo de la desviación estándar de la distribución, multiplicado por un factor de ajuste α que está directamente relacionado con el nivel de confianza. Gráficamente se puede ver de la siguiente forma (Gráfica III.2.1.1):

Gráfica III.2.1.1 VaR en %


La distribución normal ocupa un lugar preeminente en el campo de la probabilidad, ya que además de retratar las distribuciones de muchos tipos de fenómenos también sirve como una aproximación

4466

conveniente de muchas otras distribuciones que sean poco manejables. El hecho de que los rendimientos tengan una distribución normal estándar se aplica especialmente para carteras de inversión grandes y bien diversificadas, pero no es válido para carteras con pesados componentes de opciones y exposición a un pequeño número de riesgos financieros. III.3 ENFOQUES PARA LA MEDICIÓN DEL VaR Para calcular el Valor en Riesgo se toman en consideración dos enfoques:

1) Enfoque no paramétrico

• Simulación histórica Consiste en utilizar una serie histórica de precios de la posición de riesgo (cartera) para construir una serie de tiempo de precios y/o rendimientos simulados o hipotéticos, con el supuesto de que se ha conservado la cartera durante el periodo de tiempo de la serie histórica. Para aplicar esta metodología se deben identificar primero los componentes de los activos de la cartera y reunir los datos de los precios diarios históricos considerando un periodo que oscila entre 250 y 500 datos. A partir del histograma de frecuencias de los rendimientos simulados se calcula el cuantil correspondiente de dicho histograma (primer percentil si el nivel de confianza es de 99%). Existen tres tipos de simulación histórica: crecimientos absolutos, crecimientos logarítmicos y crecimientos relativos.

2) Enfoque paramétrico Tienen como característica el supuesto de que los rendimientos del activo en cuestión se distribuyen de acuerdo con una curva de densidad de probabilidad normal.

4477

Sin embargo, en la práctica se ha observado que la mayoría de los activos no siguen un comportamiento estrictamente normal, sino que son aproximados, por tanto, los resultados que se obtienen al medir el riesgo son una aproximación.

• Enfoque paramétrico denominado Simulación Monte Carlo Este método fue propuesto por Boyle y consiste en la generación de números aleatorios (random) para calcular el valor de la cartera generando escenarios. Un nuevo número aleatorio sirve para generar un nuevo valor de la cartera con igual probabilidad de ocurrencias que los demás y determinar la pérdida o ganancia en el mismo. Este proceso se repite un gran número de veces (10,000 escenarios) y los resultados se ordenan de forma que puedan determinarse un nivel de confianza específico. El análisis Monte Carlo es, por mucho, el método más poderoso para cuantificar el valor en riesgo. Puede considerar un amplio rango de riesgos, incluyendo el riesgo precio no-lineal, el riesgo de volatilidad e incluso el riesgo de modelo. Puede incorporar variaciones en el tiempo en la volatilidad, colas amplias y escenarios extremos. El defecto más grande de este método es su costo computacional. La mayor ventaja de utilizar este método es la posibilidad de valuar instrumentos no lineales, como las opciones. Este efecto no se puede obtener utilizando la simulación histórica.

• Enfoque varianza-covarianza o delta-normal Este asume que los rendimientos de todos los activos están distribuidos normalmente. Como el rendimiento de una cartera es una combinación lineal de las variables normales, también éste está distribuido de una manera normal. Utilizando notación matricial, la varianza de la cartera está dada por:

V(Rc,t+1) = w’t Σt+1 wi

Donde: V(Rc,t+1) Es la varianza de la cartera del tiempo t al tiempo t+1 Σt+1 Es la matriz de covarianza en el momento t+1 wi Es el vector de pesos de las posiciones de la cartera y suman la unidad.

4488

Por lo tanto, el riesgo es generado por una combinación de exposiciones lineales a múltiples factores que se asume están distribuidos normalmente y por el pronóstico de la matriz de covarianza Σt+1. Este método implica una aproximación local a los movimientos del precio. Con esto se puede manejar un gran número de activos y es fácil de implementar. El enfoque de varianza-covarianza puede estar sujeto a una serie de críticas. Primero, cuantifica pobremente el riesgo evento, el cuál se refiere a la posibilidad de que se presenten circunstancias inusuales o extremas, tales como desplomes de los mercados accionarios o colapsos en el tipo de cambio. Un segundo problema relacionado es la existencia de “colas anchas” en la distribución de los rendimientos en la mayoría de los activos financieros. Estas colas anchas son en particular preocupantes ya que el VaR pretende capturar precisamente el comportamiento del rendimiento de la cartera en la cola izquierda. Con colas anchas, un modelo basado en la aproximación normal subestima la proporción de los datos atípicos y por lo tanto, el verdadero Valor en Riesgo. El modelo de varianza-covarianza es computacionalmente fácil de implementar. Sólo requiere los valores de mercado y la exposición de las posiciones actuales, combinados con los datos de riesgo. En múltiples situaciones, este método proporciona una adecuada medición del riesgo de mercado. III.4 ENFOQUE DE VARIANZA-COVARIANZA O DELTA – NORMAL III.4.1 El Valor en Riesgo de un activo individual El enfoque de varianza-covarianza o delta-normal asume que todos los rendimientos de los activos individuales están normalmente distribuidos. Bajo este supuesto el modelo paramétrico que determina el valor en riesgo de una posición es:

VaR = α * S * σ * t

4499

Donde: α Factor que determina el nivel de confianza del cálculo. Para un nivel de confianza del

95%, α =1.65 y para un nivel de confianza de 99%, α =2.33. S Monto total de la inversión o la exposición total en riesgo σ Desviación estándar del rendimiento del activo t Horizonte de tiempo en que se desea calcular el VaR (holding period) III.4.2 El VaR de la cartera La metodología que se sigue es igual a la utilizada para activos individuales:

VaRc = α * S * σc * t

Con σc = [ ] [ ][ ]wwT∑ y [ ]∑ = [ ][ ][ ]σσ C

Donde: α Factor que define el nivel de confianza t Horizonte de tiempo en que se desea ajustar el VaR.

[ ]w Vector de pesos de las posiciones de la cartera (N*1)

[ ]w T Vector transpuesto de los pesos de las posiciones de la cartera (1*N)

[ ]∑ Matriz de varianza-covarianza que incluye las correlaciones entre los valores de la

cartera (N*N)

[ ]C Matriz de correlaciones de los rendimientos de los activos de la cartera.

S Valor de la cartera. σc Volatilidad de la cartera (1*1) σ Vector de desviaciones estándar de los rendimientos de los activos. El rendimiento de la cartera es una combinación lineal de los rendimientos de los activos de la misma, donde las ponderaciones se determinan por los montos relativos invertidos al inicio del periodo. Por lo

5500

tanto, el VaR de una cartera puede construirse a partir de una combinación de los riesgos de los valores de los activos de la misma. Las ponderaciones wi fueron establecidas al inicio del periodo y suman la unidad. El rendimiento de la cartera puede escribirse utilizando la notación matricial como:

Rc = [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

N

N

R

RR

www

.

.

....

2

1

21 = w ’R

Donde w‘ representa el vector transpuesto (es decir, horizontal) de las ponderaciones y R es el vector vertical que contiene los rendimientos individuales de los N activos.

El rendimiento esperado de la cartera es: E(Rc) = µc =∑=

N

i 1wi µi

Y la varianza es V(Rc) = 2cσ = ∑

=

N

i 1

2iw

2iσ + ∑

=

N

i 1∑

≠=

N

ji 1,1

wi wj σij = ∑=

N

i 1

2iw

2iσ + 2∑

=

N

i 1∑

<=

N

ji 1,1

wi wj σij

Esta suma no sólo contiene el riesgo de los valores individuales 2iσ , sino también todos los distintos

productos cruzados, los cuales suman un total de N(N-1) / 2 covarianzas distintas. A medida que el número de activos N se incrementa, resulta más fácil utilizar la notación matricial. La

varianza 2cσ de la cartera es:

5511

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2321

1131221

......

.......

NNNN

N

σσσσ

σσσσ

2cσ = [ ]Nww .....1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2321

1131221

......

.......

NNNN

N

σσσσ

σσσσ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Nw

w

.

.

.1

Definiendo Σ = como la matriz de covarianzas, dicha varianza puede escribirse de manera más

compacta como: 2cσ = w’ Σ w.

Como ejemplo, si tenemos una cartera con dos activos riesgosos con un peso específico w1 del activo 1 de la cartera y un peso específico w2 del activo 2 de la cartera, (w1 + w2 = 1), de acuerdo con la teoría desarrollada por Markowitz2, la varianza total de la cartera es:

2cσ =

21w

21σ + 2

2w22σ +2 w1 w2 ρ12 σ1 σ2

Donde ρ es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los dos activos. El VaR de la cartera es:

VaRc = α *σ c* S * t = α [ 21w

21σ + 2

2w22σ + 2 w1 w2 ρ12 σ1 σ2 ] ½ *S* t

VaRc = [ 21VAR + 2

2VAR + 2 ρ12 1VAR 2VAR ]1/2

A este VaRc se le conoce también como el VaR diversificado porque toma en cuenta las correlaciones de los rendimientos entre instrumentos. Para el caso general en el que se tienen más de dos activos en la cartera, se llega a lo siguiente:

VaRc = α *σc* S* t = α [w σ C σ wT ]1/2 S t = [ VaR * C * VaRT ]1/2

22 TTeeoorrííaa ddee CCaarrtteerraa ddee HHaarrrryy MMaarrkkoowwiittzz.. VVeerr CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV..55

5522

Donde VaR es un vector de VaR individuales de dimensiones (1 * N), C es la matriz de correlaciones de dimensiones (N * N) y VaRT es el vector transpuesto de VaR individuales de dimensiones (N * 1). Cuando se trata del cálculo del valor en riesgo de una cartera con N activos, es más fácil utilizar matrices y manipular este tipo de instrumentos. III.5 FACTORES DE RIESGO Cuando se tiene una cartera con instrumentos de diferente naturaleza es preciso identificar los factores de riesgo, a fin de construir una matriz de varianza-covarianza que refleje los riesgos de la misma. Factores de riesgo son las variables financieras que determinan el precio de un activo financiero; son un parámetro cuyos cambios en los mercados financieros causarán un cambio en el valor presente neto de la cartera. En algunos casos, como en el de las acciones, el precio y el factor de riesgo (precios de las acciones) coinciden; sin embargo, por ejemplo, en los Cetes su precio depende de la tasa de interés (factor de riesgo). Los factores de riesgo más comunes son: los precios de las acciones, las tasas de interés, las sobretasas en instrumentos del mercado de dinero, los tipos de cambio, los precios de materias primas (commodities) etc. La elección del modelo de VaR apropiado dependerá del tipo de relación que hay entre los cambios en los factores de riesgo de los instrumentos que conforman la cartera y el cambio en el valor de la cartera. III.6 EL VaR INCREMENTAL. Un aspecto importante de calcular el VaR es entender cuál activo o combinación de los mismos contribuye más al riesgo. Para este propósito, los VaR individuales no son suficientes. La volatilidad mide la incertidumbre en el rendimiento de un activo, tomado aisladamente. No obstante, cuando dicho activo pertenece a una cartera, lo que importa es la contribución al riesgo de la misma.

5533

La sensibilidad del cambio relativo en la volatilidad de la cartera a un cambio en la ponderación es:

i

p

w∂∂σ

= 2, )(

p

pi RRCovσ

= βi

Por lo tanto, βi mide la contribución de un valor al riesgo total de la cartera. Este es llamado el riesgo sistemático 3 del valor i con respecto a la cartera. Utilizando notación matricial se tiene:

β = )'( ww

w∑∑

El riesgo beta es la base del modelo de valuación de activos de capital4, desarrollado por Shape (1964). La medida beta es particularmente útil para la descomposición del VaR de una cartera en sus fuentes de riesgo. Se puede expandir la varianza de la cartera como:

2cσ = w1 Cov (R1, Rc) + w2 Cov (R2, Rc) + …= w1 (β1, 2

cσ ) + w2 (β2, 2cσ ) + … = 2

cσ (∑=

N

i 1

wi βi)

Lo cuál demuestra que la varianza de la cartera puede descomponerse en una suma de componentes, cada uno de los cuales se debe al activo i. Utilizando una descomposición similar:

VaRc = VaR (∑=

N

i 1

wi βi) = VaR 1 + VaR 2 + …

33 TTaammbbiiéénn llllaammaaddoo rriieessggoo nnoo ddiivveerrssiiffiiccaabbllee.. VVeerr CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV..66 44 TTeeoorrííaa ddee CCAAPPMM.. VVeerr CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV..66

5544

CAPÍTULO IV METODOLOGÍA RISKMETRICS Y ANÁLISIS FACTORIAL IV.1 ANTECEDENTES Y EL ORIGEN DEL VaR CON RISKMETRICS ¿Qué es Riskmetrics? RiskMetrics es un sistema de las herramientas que permiten a participantes en los mercados financieros estimar su exposición al riesgo de mercado bajo lo que se ha llamado el "marco del Valor-en-Riesgo"1. Existe un documento, el Documento Técnico de Riskmetrics de J.P. Morgan el cuál contiene un conjunto de metodologías para la medición del riesgo. Probablemente es el sistema de medición de riesgo más famoso y que más llamó la atención de los que se desarrollaron en la década de los 70’s y 80’s, cuando numerosas instituciones financieras empezaron a preocuparse por desarrollar este tipo de mediciones. El documento Técnico de Riskmetrics tiene tres componentes básicos:

• Un sistema de metodologías de la medida de riesgo de mercado,

• Conjunto de los datos de la volatilidad y de la correlación usados en el cómputo del riesgo de mercado,

• Sistemas de software desarrollados por J.P.Morgan, con apoyo de Reuters y terceros que proponen las metodologías descritas.

11 SSee ccuueennttaa qquuee eessttee ssiisstteemmaa ssee oorriiggiinnóó ppoorr llaa ddeemmaannddaa ddeell pprreessiiddeennttee ddee llaa ccoommppaaññííaa eenn aaqquueellllaa ééppooccaa,, WWeeaatthheerrssttoonnee,, ddeemmaannddaannddoo uunn iinnffoorrmmee ddiiaarriioo qquuee eenn uunnaa ssoollaa ppáággiinnaa rreessuummiieessee eell rriieessggoo ddee ppéérrddiiddaa ddee llaa ccaarrtteerraa ddee ttrraaddiinngg eenn llaass ssiigguuiieenntteess 2244 hhoorraass.. EEll ""IInnffoorrmmee 44::1155"" rreessppoonnddiióó aa eessttaa ddeemmaannddaa,, iinntteeggrraannddoo eell mmééttooddoo ddeell VVaaRR ddeessaarrrroollllaaddoo aa eessttee eeffeeccttoo..

5555

El VaR responde a la pregunta: ¿Cuánto puedo yo perder con un x% de probabilidad sobre un horizonte de tiempo dado?. Para calcular el VaR, Riskmetrics se basa en el enfoque de varianza-covarianza, esto es, usa la desviación estándar y la correlación de rendimientos de instrumentos financieros bajo el supuesto de

que éstos tienen el comportamiento de una distribución normal, sugiriendo el uso de %95Z =1.65.

IV.2 RIESGO Y RENDIMIENTO UTILIZADO EN RISKMETRICS El riesgo es medido frecuentemente en términos del cambio de precios. Estos cambios pueden tomar una variedad de formas tales como un cambio absoluto de precios, cambio relativo de precios y cambio logarítmico de precios. Riskmetrics mide los cambios en el valor de la cartera en términos de cambios de precios logarítmicos, también conocido como cálculo de rendimientos continuo. Esto es:

Rt = ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1t

t

PP =ln (Pt) – ln (Pt-1)

Para rendimientos calculados continuamente de múltiples días, Rt(k) se define como: Rt(k)=ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−kt

t

PP

IV.3 USO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA EL CALCULO DEL VaR Utilizando la distribución Normal, el VaR de un activo simple (al tiempo t) puede ser escrito como:

VaRt = [1 – e (-1.65σt-1)] Vt-1

Donde Vt-1 es marcar a mercado2 el valor del instrumento y σt-1 es la desviación estándar de los rendimientos calculados continuamente al tiempo t-1.

22 ““MMaarrkk ttoo MMaarrkkeett””,, vvaalluuaacciióónn aa mmeerrccaaddoo ddee llaass ppoossiicciioonneess ddee rriieessggoo,, qquuee eess mmeeddiirr eell vvaalloorr jjuussttoo oo ddee mmeerrccaaddoo ddee uunnaa ccaarrtteerraa ddee iinnvveerrssiióónn..

5566

De acuerdo a que la probabilidad P(Rt < -1.65σt + µt) = 5%, los rendimientos observados al tiempo t son menores a 1.65 veces la desviación estándar. Cuando µt = 0 se tiene el resultado base para Riskmetrics a corto plazo para el cálculo del VaR, esto es: P (Rt < -1.65 σt) = 5%. El modelo de Riskmetricks basado en el enfoque de varianza-covarianza asume que los rendimientos se distribuyen de manera normal, el quinto percentil es -1.65σt donde σt es la desviación estándar de la cartera al tiempo t. Esto es útil porque:

1. Sólo se requiere la media y la varianza para describir la forma de la distribución. 2. La suma de los rendimientos multivariados se distribuye normal.

Para una cartera de inversión que está formada por más de dos instrumentos financieros la expresión

para el cálculo del VaR de manera matricial se genera con la fórmula: VaRc = TVCVvv

Donde:

Vv Vector de VaR por instrumento, V) = 1.65 * (w1 , w2 , ... , wN ) *

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Nσ

σσ

0000

0000

2

1

K

OM

M

K

C Matriz de correlación de la cartera de activos y Vv T Vector de VaR transpuesto.

IV.4 PREDICCIÓN DE VOLATILIDAD USANDO INFORMACIÓN HISTÓRICA Para calcular el VaR necesitamos una estimación de las volatilidades de los rendimientos de los activos. Un esquema simple es suponer que la volatilidad diaria se puede estimar como una media móvil simple

de rendimientos cuadráticos pasados, con todas las ponderaciones iguales a N1 , de forma que el

estimador de Promedios Iguales del Cuadro IV.4.1 se refiere a la estimación en t+1 basada en la

información disponible en t, y tr hace referencia a los rendimientos en el momento t.

5577

Una alternativa a este método es suponer que el valor de las ponderaciones disminuyen con el uso de los datos del pasado, esto se logra utilizando estimaciones de la volatilidad con la fórmula de promedios exponenciales del Cuadro IV.4.1, que se conoce como Promedios Móviles exponenciales porque los valores para (1-λ) disminuyen exponencialmente. Las predicciones de acuerdo a Riskmetrics están basadas en datos de precios históricos, se propone el uso de los promedios móviles exponenciales para predecir varianzas y covarianzas (volatilidades y correlaciones) de una distribución normal multivariada, en el cuál las últimas observaciones tienen un peso más alto en la estimación de la volatilidad (Cuadro IV.4.1).

Cuadro IV.4.1 Estimadores de volatilidad

Promedios iguales Promedios exponenciales

σ = ∑=

−N

tt rr

N 1

2)ˆ(1 σ = ∑=

− −−N

t

t rrt1

21 )ˆ()1( λλ

Fuente: RiskMetrics Technical Document

Comparando los dos estimadores de la volatilidad, notamos que el de promedios móviles exponenciales depende de un parámetro λ (0<λ<1) el cual es frecuentemente llamado factor de decaimiento. Este parámetro determina los pesos relativos que son aplicados a las observaciones de los datos usados en la volatilidad. Una característica del estimador de los promedios móviles exponenciales es que pueden ser escritos en forma recursiva. Un día de predicción de volatilidad según Riskmetrics esta dado por la expresión:

σ1,t+1|t = 2,1

21|,1 )1( ttt rλλσ −+−

σt+1|t se lee “predicción de la volatilidad del momento t+1 dada la información e incluyendo el tiempo t”.Además se asume que el valor medio de los rendimientos en un día es cero. Con esto la desviación estándar estimada está centrada alrededor del cero.

5588

La predicción de la volatilidad basada en el modelo de promedios móviles exponenciales requiere de un apropiado factor de decaimiento. En la práctica es importante determinar él número efectivo de observaciones históricas que son usadas para la predicción de la volatilidad y correlación. El Cuadro IV.4.2 muestra, por ejemplo, que para un nivel de tolerancia del 0.10% y un factor de decaimiento del 0.95 se necesitan aproximadamente 135 días de datos históricos para predecir volatilidades y correlaciones.

Cuadro IV.4.2 Número de observaciones históricas usadas por el modelo de promedios móviles exponenciales.

Días de datos históricos con un nivel de tolerancia. Factor de

decaimiento 0.00% 0.01% 0.10% 1%

0.85 71 57 43 28 0.86 76 61 46 31

0.87 83 66 50 33 0.88 90 72 54 36

0.89 99 79 59 40 0.9 109 87 66 44

0.91 122 98 73 49 0.92 138 110 83 55

0.93 159 127 95 63 0.94 186 149 112 74

0.95 224 180 135 90 0.96 282 226 169 113

0.97 378 302 227 151 0.98 570 456 342 228

0.99 1146 916 687 458 Fuente: RiskMetrics Technical Document

El Cuadro IV.4.3 muestra un resumen de los resultados más importantes acerca de la preedición de volatilidad y correlación para la metodología Riskmetrics, usando un factor de decaimiento para la volatilidad y correlación diaria y uno para la volatilidad y correlación mensual.

5599

Cuadro IV.4.3

Predicción de volatilidad y correlación de la metodología Riskmetrics

Predicción Expresión Factor de

Decaimiento

# de días de retornos usados

en la predicción

Efectivos # de días de Retorno usados

en la predicción

1 día de volatilidad 2,1

21|,1|1,1 )1( ttttt rλλσσ −+= −+

0.94 550 75

1 día de correlación tttt

tttt

|1,2|1,1

2|1,12

|1,12++

++ =

σσσ

ρ 0.94 550 75

1 mes de volatilidad tttt |1,1|25,1 *5 ++ = σσ 0.97 550 150

1 mes de correlación tttt |1,12|25,12 ++ = ρρ 0.97 550 150

Fuente: RiskMetrics Technical Document

IV.5 TEORÍA DE CARTERA DE HARRY MARKOWITZ Harry Markowitz3, buscó recoger en su modelo los rasgos fundamentales de lo que podríamos considerar como conducta racional del inversor, consistente en buscar aquella composición de la cartera que haga máxima la rentabilidad para un determinado nivel de riesgo, o bien, el mínimo riesgo para una rentabilidad dada. El modelo de Markowitz parte de las siguientes hipótesis: 1- La rentabilidad de cualquier título o cartera de inversión es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad para el periodo de referencia es conocida por el inversor. Se acepta como medida de rentabilidad de la inversión “la media o esperanza matemática” de dicha variable aleatoria. 2- Se acepta como medida del riesgo la desviación estándar de la variable aleatoria que describe la rentabilidad, ya sea de un valor individual o de una cartera. 3- El inversor elegirá aquellas carteras con una mayor rentabilidad y menor riesgo.

33 PPrrooffeessoorr ddee ffiinnaannzzaass,, rreecciibbiióó eell PPrreemmiioo NNoobbeell ddee EEccoonnoommííaa eenn 11999900 ccoommppaarrttiiddoo ccoonn MMeerrttoonn MM.. MMiilllleerr yy WWiilllliiaamm FF.. SShhaarrppee ppoorr ssuu ttrraabbaajjoo ppiioonneerroo eenn llaa tteeoorrííaa ddee llaa eeccoonnoommííaa ffiinnaanncciieerraa..

6600

El inversor se encuentra presionado por dos fuerzas de sentido opuesto:

a- Deseo de obtener ganancias b- Aversión al riesgo

La selección de una determinada combinación de "Ganancia - Riesgo" dependerá de la mayor o menor aversión al riesgo del inversionista. IV.5.1 Efectos de la diversificación: Reducción del riesgo de una cartera. Markowitz centró su atención en la diversificación de carteras y mostró cómo un inversionista puede reducir el riesgo de una cartera eligiendo valores cuyas oscilaciones no sean paralelas, es decir, valores que tengan poca relación, de manera que unos aumenten su valor mientras otros experimenten bajas en sus precios. Esto puede deberse a sensibilidades opuestas ante determinados factores macroeconómicos. El riesgo de una cartera no es la suma de los riesgos de los valores que lo componen, sino que existe otra variable vinculada al riesgo total y es la covarianza de los rendimientos. Esta es una medida del grado al que se espera van a variar juntas, en lugar de independientes una de la otra.

Entonces la desviación estándar de un cartera es igual a: σc = ∑∑==

N

j

N

i 11wi wj σ(Ri, Rj)

Donde: N Total de valores en la cartera; wi y wj Proporciones del total de fondos invertidos en los valores i y j respectivamente; σ(Ri,Rj) Covarianza de los rendimientos posibles para los valores i y j. Las dos sumatorias significan que podemos considerar las covarianzas para todas las combinaciones posibles en pares de valores en la cartera. Por lo tanto podemos expresar la varianza, por ejemplo, de tres activos como:

6611

Vc = V1W1 + V2 W2 +V3 W3 + 2 W1W2 Cov1.2 + 2 W1 W3 Cov1.3 + 2 W2 W3 Cov2.3 Donde: Cov1.2 = ρ1.2.σ1. σ2 ; Cov1.3 = ρ1.3.σ1. σ3 ; Cov2.3 = ρ2.3.σ2. σ3 ρjk Correlación entre los valores, es decir, el grado en el que los rendimientos de los valores van

juntos. El valor de los coeficientes de correlación siempre se encuentra entre los límites de -1 y +1. Un coeficiente de correlación de +1 indica que un aumento en el rendimiento de un valor siempre está acompañado por un aumento proporcional en el rendimiento de otro valor y, en forma similar para las reducciones. Un coeficiente de correlación de -1 indica que un incremento en el rendimiento de un valor siempre esta asociado con una reducción proporcional en el rendimiento del otro valor y viceversa. Un coeficiente de correlación cero indica ausencia de correlación, de manera que los rendimientos de cada valor varían en forma independiente uno del otro. IV.6 MODELO CAPM, CAPITAL ASSET PRICING MODEL (VALORACIÓN DE ACTIVOS DE CAPITAL) La teoría de cartera de Harry Markowitz es una pauta para el desarrollo de la teoría moderna de modelos con riesgo; esta teoría busca disminuir el riesgo considerando la diversificación, pero no explica cuales son las causas del riesgo sistemático al que se enfrenta. La teoría básica que vincula el riesgo y el rendimiento de todos los activos se conoce como Valoración de Activos de Capital (CAPM) y toma como base la teoría de Markowitz, donde el riesgo de una cartera se mide por la desviación estándar del rendimiento de la misma. Se utiliza el CAPM para comprender las funciones básicas de riesgo-rendimiento involucradas en todos los tipos de decisiones financieras.

6622

Este modelo propuesto por Shape (1964) establece que el rendimiento de un activo o cartera es igual a la tasa libre de riesgo más un premio por el riesgo que tiene este instrumento o cartera medido por el coeficiente Beta. Puede considerarse que el riesgo total de un valor consta de dos partes:

Riesgo Total de un Activo = riesgo no diversificable + riesgo diversificable El riesgo diversificable, que en ocasiones es llamado riesgo no sistemático, representa la parte del riesgo asociada a eventos que pueden ser eliminados mediante la diversificación. Es atribuible a eventos específicos de la empresa tales como huelgas, procesos legales, pérdida de una cuenta clave, etc. y puede eliminarse sin ningún costo. El riesgo no diversificable, que puede ser llamado también riesgo sistemático, resulta atribuible a factores del mercado que afectan a todas las empresas y no puede ser eliminado mediante la diversificación. Factores como la guerra, los acontecimientos internacionales y los sucesos políticos influyen en el riesgo no diversificable. La medición del riesgo no diversificable es de primordial importancia para elegir aquellos activos que poseen las características de riesgo-rendimiento más deseables. IV.6.1 Coeficiente Beta De acuerdo al modelo para la valuación de activos de capitales el único atributo relevante es la beta. El coeficiente beta, β, se emplea para medir el riesgo no diversificable. Se trata de un índice del grado de movimiento del rendimiento de un activo en respuesta a un cambio en el movimiento del mercado. El coeficiente beta para un activo se puede obtener examinando los rendimientos históricos en relación con los rendimientos para el mercado. El rendimiento de mercado es, por su parte, el rendimiento sobre la cartera de mercado de todos los valores negociados. El rendimiento sobre algún índice accionario suele ser usado para medir el rendimiento de mercado. La medición empírica de beta se realiza mediante el análisis de regresión de mínimos cuadrados para obtener el coeficiente de regresión (βj) en la ecuación de la “recta característica”:

Rj = aj + βj Rm + ej

6633

Donde: Rj Rendimiento sobre el activo j aj Intercepto

βj Coeficiente beta, que es igual a: 2

),(

m

mj RRCOVσ

El coeficiente beta para el mercado es considerado igual a 1; todos los demás coeficientes beta son considerados según su relación con este valor. Los coeficientes beta de los activos podrían tomar valores negativos o positivos. IV.6.2 Ecuación del CAPM Al emplear el coeficiente beta, β, para medir el riesgo no diversificable, el modelo de valoración de activos de capital (CAPM) está determinado por la ecuación:

Rj = RF + [βj * (Rm - RF)] Donde: Rj Rendimiento requerido sobre el activo j RF Tasa libre de riesgo, generalmente medida por el rendimiento de un bono del Tesoro

(Cetes) βj Coeficiente o índice beta para el riesgo no diversificable del activo j: Rm Rendimiento del mercado, esto es, rendimiento sobre la cartera de mercado de los

activos. El rendimiento requerido sobre un activo Rj es una función creciente de beta, βj, la cuál mide el riesgo no diversificable. En otras palabras, cuanto más alto sea el riesgo, tanto mayor será el rendimiento requerido, y viceversa. El modelo puede ser seleccionado en dos partes: (1) la tasa libre de riesgo RF y (2) la prima de riesgo, βj * (Rm – RF). La parte (Rm – RF) es conocida como prima de riesgo de mercado, puesto que representa la proporción de riesgo que el inversionista debe recibir por aceptar el riesgo promedio relacionado con la posesión de la cartera de mercado de activos.

6644

Coeficiente Beta de la Cartera. El coeficiente beta de una cartera puede ser estimado con facilidad mediante los coeficientes beta de los activos individuales que la constituyen. Al expresar wj como la proporción del valor total en unidades monetarias de la cartera presentada por el activo j, y con el coeficiente beta del activo j, βj, se puede, mediante la ecuación siguiente, encontrar el coeficiente beta de la cartera, βc:

βc = (w1 * β1) + (w2 * β2) + ... + (wn * βn) = ∑=

n

j 1

wj * βj

∑=

n

j 1

wj=1, lo cual significa que 100% de los activos de la cartera deben ser incluidos en el cálculo.

El coeficiente beta de la cartera se interpreta de la misma manera que los coeficientes beta de los activos individuales. Este indica el grado de sensibilidad del rendimiento de la cartera a los cambios en el rendimiento del mercado. Por ejemplo, cuando el rendimiento del mercado aumenta el 10%, una cartera que tenga un coeficiente beta de 0.75 experimentará un incremento de 7.5% en su rendimiento (0.75 * 10%), en tanto que una cartera con una beta de 1.25 observará una aumento de 12.5% (1.25 * 10%). Las carteras con un coeficiente beta bajo son menos sensibles, y en consecuencia, menos riesgosas que las carteras con uno alto. Resulta claro que una cartera con un beta bajo se debe a que la mayoría de sus activos tiene un coeficiente beta bajo y en el caso de una cartera con un coeficiente beta alto también lo tienen sus activos.

De la fórmula: βj = 2

),(

m

mj RRCOVσ

Tenemos que 2222emi σσβσ +=

Ya que el riesgo del rendimiento esperado del título i es: 2222 ),(2 emmmi eRCOV σσβσ ++=

Esto nos dice que el riesgo de un determinado título depende única y exclusivamente del mercado, ya

que βi es constante y sólo 2mσ es variable por lo que al primer término de la ecuación se le llama Riesgo

no diversificable o Sistemático.

6655

IV.7 EL MODELO APT, ARBITRAGE PRICING THEORY (FIJACIÓN DE PRECIOS DE ARBITRAJE) La historia de los modelos multifactoriales tiene ya algunos años. Estos modelos intentan superar la problemática empírica del CAPM de que la beta no explica totalmente el rendimiento esperado de un activo y de que se considera al riesgo de mercado como causa única de la explicación del riesgo sistemático. Los modelos multifactores consideran que los rendimientos no obedecen sólo a un factor de mercado sino que responden a la influencia de diversos factores económicos o de tipo estructural. Trabajos pioneros sobre este tema son la Teoría de Ross (1976) y el trabajo de Merton (1973) que dio lugar al ampliamente conocido Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Actualmente existe una diversidad de modelos que incluyen un conjunto de factores para explicar el riesgo sistemático como efecto de la influencia simultánea de dichos factores. La mayor parte de estos modelos son de carácter empírico y no siempre con un fuerte fundamento teórico. Uno de los modelos que se considera importante teóricamente hablando es el de Fijación de Precios de Arbitraje (APT) desarrollado por Ross (1976) que está basado en la teoría de arbitraje4. El APT fue introducido como una alternativa al Modelo de Fijación de Precios de Capital (CAPM). Puede ser más general que el CAPM y permite múltiples factores de riesgo. También, a diferencia del CAPM, el APT no requiere la identificación de la cartera del mercado, además, provee una relación aproximada entre el rendimiento esperado de un activo con un número desconocido de factores no identificados.

IV.7.1 Ecuación propuesta por el modelo APT

Si el APT se cumple, entonces un activo de riesgo debe satisfacer la siguiente relación:

E(Rj) = Rf + bj1 F1 + bj2 F2 + … + bjn Fn + εj Donde 44 EEll aarrbbiittrraajjee eess llaa pprrááccttiiccaa ddee ttoommaarr vveennttaajjaa ddee uunn ddeessbbaallaannccee eennttrree ddooss oo mmááss mmeerrccaaddooss yy oobbtteenneerr uunnaa ggaannaanncciiaa lliibbrree ddee rriieessggoo..

6666

E(Rj) Tasa de rendimiento esperada del activo de riesgo, Rf Tasa libre de riesgo, Fn Factor de riesgo bjn Sensibilidad del activo al factor n, y εj Término de error de media cero del activo de riesgo. Lo anterior significa que la tasa de rendimiento incierta de un activo j es una relación lineal entre n factores. Adicionalmente, se considera que cada factor es una variable aleatoria con media cero, además, pueden ser varios los factores de riesgo que expliquen el diferencial de los rendimientos entre activos. Se clasifican a los modelos APT en tres: Modelos Fundamentales, macroeconómicos y estadísticos. El modelo estadístico utiliza a los rendimientos de los activos como insumos, como método de estimación se usan las regresiones y como resultados se obtienen factores estadísticos y Beta. Este modelo determina de manera estadística que factores, así como su importancia, explican el premio al riesgo de los activos financieros con métodos multivariados, es por ello que se menciona con mayor detalle. IV.7.2 Relación con el "Capital Asset Pricing Model" (CAPM) El modelo APT junto con el Capital Asset Pricing Model (CAPM) es una de las dos teorías más influyentes en el estudio de la fijación del precio de los activos. El modelo APT difiere del CAPM en que sus supuestos son menos restrictivos, esto permite que sea un modelo explicativo del rendimiento de los activos. Asume que cada inversor tendrá una cartera única con un vector único de betas, contrario a la cartera idéntica del mercado que sugiere el modelo CAPM. En algunos casos se puede considerar que el modelo CAPM es un caso especial del modelo APT. En el modelo CAPM, los betas se hallan vía una regresión lineal de los rendimientos históricos del activo con respecto al factor en cuestión. Sin embargo, el modelo APT no revela por si mismo la identidad de estos factores.

6677

IV.7.3 Cálculo del VaR de una cartera de inversión basado en la teoría APT Con base en la teoría del APT, para explicar el riesgo sistemático se buscan variables que afecten el comportamiento de los precios de los activos. Estas variables no son observables a simple vista, sino que se encuentran implícitas en el conjunto de activos y son los factores de riesgo (subyacentes) a los que se encuentra expuesta la cartera de activos. Para encontrar estos factores de riesgo se utiliza el análisis factorial con el método de componentes principales, y en base a ellos, se puede estimar el VaR. Este método reduce el número de variables que están siendo estudiadas sin perder mucha información contenida en la matriz de correlación. Con base en la estimación de los factores de riesgo por medio de los componentes principales es posible modelar los cambios en el rendimiento de los activos, como lo sugiere [2] Moctezuma. Este modelo principalmente se ha utilizado para calcular el VaR de carteras de inversión formadas por bonos. IV.7.4 Estimación de Esperanza y Varianza de los rendimientos IV.7.4.1 Esperanza Para determinar el VaR de la cartera de Inversión en % es necesario conocer el valor de la esperanza de los rendimientos de los activos que la conforman. Para ello se utilizan los factores de riesgo encontrados con el análisis factorial usando el método de componentes principales. Una representación general sugerida por [2] Moctezuma para calcular la esperanza de los rendimientos se puede presentar de la siguiente manera:

E(Rc) = α + ∑ ∑= =

−− +k

i

k

iitiiti FacFac

0 021 γβ + … + ∑

=−

k

iiti FacP

0δ

6688

Donde P es el número de factores encontrados en el análisis factorial con el método de componentes principales. Lo anterior nos permite utilizar la información histórica de los factores de riesgo y a partir de ella poder representar el comportamiento de los rendimientos de la cartera. Se sugiere ([2] Moctezuma) que el comportamiento de los rendimientos puede explicarse con el comportamiento de los factores un periodo atrás, esto es:

E(Rc) = 11 21 −− ++ tt FacFac γβα ))) + … + 1−tFacPδ)

Para encontrar βα)), ,γ) , ..., δ) que son los coeficientes que es necesario estimar, se hace una

regresión utilizando cada factor y el rendimiento esperado de la cartera. La estimación de los coeficientes de regresión representa el precio (en términos de rendimiento esperado) por unidad de riesgo adicional en cada uno de los factores de riesgo, como lo plantea el modelo APT. Esta interpretación puede ser posible, pues el modelo tiene varias características que son necesarias que se cumplan para que la estimación sea eficiente y son: 1.- Con el método de componentes principales los factores de riesgo se encuentran incorrelacionados, esto hace que no existan problemas de multicolinealidad en la regresión estimada. Los coeficientes estimados indican efectivamente la sensibilidad de los rendimientos de la cartera ante cambios unitarios en algún factor de riesgo, manteniendo constantes los demás. 2.- Con la pruebas de Dickey Fuller Aumentada y Phillips Perron se comprueba si las variables son estacionarias. También se verifica si existen problemas de relaciones espurias al estimar regresiones por mínimos cuadrados ordinarios entre series no estacionarias. 3.- Como todos los factores de riesgo están expresados en las mismas unidades los coeficientes estimados son directamente comparables.

6699

IV.7.4.2 Varianza Obtenida la esperanza de los rendimientos de los activos de la cartera a partir de los factores de riesgo 1, 2, …, p se estima la varianza de dichos rendimientos. Estos dos elementos son los necesarios para el cálculo del VaR. Para predecir la respuesta promedio cuando k variables de predicción toman los valores específicos x1, x2, … , xk, respectivamente, con representación matricial X’c = [ 1 x1 x2 . . . xk], un vector renglón el cual identifica las coordenadas para las cuales se va a formular la predicción. Con esto, la respuesta promedio estimada será:

BXY cc '=) = B0 + B1 x1 + B2 x2 + … + Bk xk.

Una estimación de la varianza Var ( )cY) es: V ( )cY

) = σ2 X’c (X’ X)-1 Xc

Como se desea estimar una respuesta particular para x1, x2, …, xk la varianza será 5:

Var ( )particY) = σ2 [1 + X’c (X’ X)-1 Xc ]

Que es la fórmula con la que se lleva a cabo el cálculo de la varianza de los rendimientos de los activos. El coeficiente σ2 es el cuadrado del error estándar de la regresión y el vector X’c es el que contiene los factores de riesgo encontrados con el análisis factorial utilizados para el pronóstico y (X’ X) es la matriz de regresores con la que se estima el modelo. La varianza depende de los valores calculados para los factores de riesgo empleados en el pronóstico. Esto hace que cambie al igual que la esperanza, dependiendo de los factores de riesgo.

55 PPrroobbaabbiilliiddaadd yy EEssttaaddííssttiiccaa,, aapplliiccaacciioonneess yy mmééttooddooss,, GGeeoorrggee CC.. CCaannaavvooss,, MMcc GGrraaww HHiillll,, PPáágg.. 550099

7700

IV.7.5 Cálculo del VaR con análisis factorial El VaR de la cartera de inversión en términos de % se puede estimar con la siguiente fórmula:

%95cVaR = [ 11 21 −− ++ tt FacFac γβα ))) + … + 1−tFacPδ

) ] – 1.65 √ V(Rc | Fac1t-1, Fac2 t-1, …, FacP t-1)

Esto es, la pérdida máxima esperada que puede sufrir una cartera de inversión en el momento t una vez obtenidos los valores de los factores de riesgo con el análisis factorial en el momento t-1 al nivel de confianza del 95% es igual al pronóstico del valor esperado de los rendimientos menos 1.65 veces su desviación estándar.

7711

CAPÍTULO V CÁLCULO DEL VaR: CASO PRÁCTICO V.1 CONSTRUCCIÓN DE LA CARTERA DE INVERSIÓN. Para ejemplificar el cálculo del Valor en Riesgo se seleccionó una cartera de Inversión formada por instrumentos del mercado accionario. A continuación se explican algunos conceptos que ayudan a entender mejor tanto la teoría descrita en capítulos anteriores como la selección de los activos de la cartera. En particular, utilizando el Valor en Riesgo estimado por medio del modelo con análisis factorial se hará el estudio de factores comunes entre los instrumentos del mercado accionario para así comparar la capacidad explicativa de este modelo con el propuesto por Riskmetrics basado en el enfoque de varianza–covarianza, y confirmar si el riesgo medido mediante el análisis factorial es útil para instrumentos del mercado accionario. V.1.1 Mercado de valores Se considera al Mercado de Valores como un componente del mercado financiero que abarca el mercado de dinero y el mercado de capitales y en el cuál se negocian valores. Existen varias formas o instrumentos a través de los cuales se puede invertir en bolsa. En nuestro país existen dos mercados de valores: El mercado que se conoce como Bolsa Mexicana de Valores (BMV) y el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer).

Mercado de Dinero Los instrumentos líderes en este mercado son los Certificados de la tesorería de la Federación (Cetes) con emisiones a 28, 91, 182 y 364 días, colocados en subasta pública por el Banco de México.

7722

Mercado de Capitales Los valores típicos del Mercado de Capitales son las acciones y los títulos representativos de la valoración del fondo acumulado por sociedades de inversión. V.1.2 Acciones Son títulos de crédito nominativo que representan una de las partes iguales en que se divide el capital social de una empresa. Las acciones permiten al inversionista la posibilidad de participar como socio de una empresa. El plazo en este valor no existe, pues la decisión de venderlo o retenerlo reside exclusivamente en la persona que tiene la acción. El precio está en función del desempeño pasado y presente de la empresa emisora y de las expectativas futuras que haya sobre su desarrollo. En el mercado accionario siempre se debe invertir con miras a obtener ganancias en el largo plazo, ya que -junto con una buena diversificación- es el mejor camino para diluir las bajas coyunturales del mercado o de la propia acción. Como la inversión en acciones no tiene una fecha de vencimiento, se puede tomar un periodo largo de tiempo para poder estimar sus rendimientos, por ello se eligieron acciones para formar la cartera de inversión, además de que son los instrumentos que tiene mayor facilidad para ser valuados. Cuando se tienen acciones bursátiles, para estimar el Valor en Riesgo de la cartera se toman los precios de cada accion como si cada uno de ellos fuera un factor de riesgo. V.1.3 Índices de precios accionarios Los índices de precios accionarios calculados y difundidos por la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) representan el valor de un conjunto de títulos accionarios en un momento específico. Uno de ellos es el IPyC (Índice de Precios y Cotizaciones) que se considera el indicador del desarrollo del mercado accionario en su conjunto, en función de las variaciones de precios de una selección de acciones (o muestra) balanceada, ponderada y representativa del conjunto de acciones cotizadas en la BMV.

7733

La fecha base de cálculo del principal índice bursátil es el 30 de octubre de 1978 = 100. Se consideran en él 35 series accionarias clasificadas como de alta y media bursatilidad, es decir, las más negociadas del mercado tanto por volumen como por importe. V.2 CRITERIOS DE SELECCIÓN DE LA CARTERA La cartera de inversión se seleccionó de acuerdo a los criterios de la teoría de Cartera de Markowitz. Esta teoría puso especial atención a la diversificación de la cartera, por ello que se selecciona una combinación de acciones de tal forma que en su matriz de correlaciones se puedan encontrar valores que tengan alguna relación entre si, pero cuidando que existan correlaciones que indiquen que algunas acciones aumentan su valor y que otras disminuyan. Para encontrar una combinación óptima de las acciones, la cartera de inversión está compuesta por acciones de distintos sectores de la economía, con la finalidad de asegurar que sus precios no evolucionarán de igual manera. La teoría de Selección de Cartera de Markowitz indica que la introducción de títulos sin riesgo ayuda obtener una mayor rentabilidad, por ello es que se utiliza a los Cetes a 28 días como activo libre de riesgo, el cuál es un activo que pertenece al gobierno y, al invertir en éstos, siempre se tiene una ganancia, es decir, no hay riesgo de pérdida. Como indicador del mercado accionario se considera al IPyC (Índice de Precios y Cotizaciones). V.2.1 Características y periodo de la muestra De una población de 35 acciones se seleccionó una muestra de 12 acciones del mercado accionario mexicano para formar la cartera de inversión, todas ellas componentes del Índice de Precios y Cotizaciones. Esta muestra contiene empresas de diferentes tamaños y sectores económicos. Los datos utilizados son los precios diarios (de cierre) de las acciones, y mediante logaritmos se obtienen los rendimientos de cada una de ellas, que son con los que finalmente se realizan todos los cálculos.

7744

Los rendimientos de las acciones que se utilizan para formar la cartera de inversión comprenden el periodo del 02 de Enero del 2004 al 02 de Enero del 2005, el cual es suficiente para poder establecer los modelos y su posterior análisis. En este periodo tanto la estabilidad como inestabilidad económica del país ha provocado variaciones en el rendimiento de las acciones. La Gráfica V.2.1.1 muestra el rendimiento de la cartera formada con las 12 acciones.

Gráfica V.2.1.1 Movimientos del Rendimiento Observado de la Cartera del 02/Enero/2004 al 02/Enero/2005

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Dias

Rend Observ


Cuadro V.2.1.2 Resumen de los datos de la Cartera de Inversión

Origen Bolsa Mexicana de Valores

Periodo de la muestra 02 de Enero del 2004 al 02 de Enero del 2005 Criterio de Selección 12 Acciones que forman parte del Índice de Precios y Cotizaciones

Intervalo de Tiempo Rendimientos provenientes del cierre de precios diario Fuente: Elaboración propia

La muestra esta compuesta de 258 datos (días hábiles). Las series históricas se obtuvieron de Economática, además se consideró que las condiciones del mercado son normales. En el Cuadro V.2.1.2 se tiene de manera resumida la información anterior.

7755

V.2.2 Definición de las Variables La variable dependiente es el rendimiento observado de la cartera de inversión y las variables independientes son cada una de las acciones que conforman dicha cartera. El grupo de acciones analizadas en esta sección es el mismo que ese utilizará en todo el desarrollo de este Capítulo. V.2.3 Selección de las acciones y periodo de estimación Se eligieron 12 acciones de los diferentes sectores que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores y que son de alta bursatilidad (Cuadro V.2.3.1). Se consideró que 12 acciones son un número reducido pero que tienen la capacidad explicativa para mostrar el objetivo de este trabajo que es el cálculo del VaR por dos metodologías diferentes. Las acciones analizadas son: GModelo C, Amtel A1, Telmex A, Telmex L, Elektra A, Amx L, Comerci UBC, Vitro A, TVAztca CPO, Telecom A1, Imsa Ubc, GFInbur O.

Cuadro V.2.3.1 Acciones Seleccionadas del Mercado Accionario

Muestra Sectorial Acción Serie Industria de la Transformación GModelo C

Vitro A Comercio Comerci UBC

Elektra * Comunicaciones y Transportes Amtel A1

Amx L TVAztca CPO Telecom A1 Telmex A Telmex M

Servicios GFInbur O Varios Imsa UBC

Fuente: BMV

7766

El periodo de estimación serán 50 días hábiles a partir del 02 de Enero del 2005, esto es, serán estimaciones fuera de muestra, considerando que 50 días de estimación son un número suficiente para obtener resultados y conclusiones aceptables. V.3 CÁLCULO Y ANÁLISIS DEL VaR DE LA CARTERA DE INVERSIÓN MEDIANTE LA METODOLOGÍA DE RISKMETRICS Y EL ANÁLISIS FACTORIAL. V.3.1 Cálculo del VaR con la Metodología Riskmetrics Considerando los rendimientos históricos de la cartera de inversión a utilizar es posible visualizar la distribución de densidad de éstos a través de un histograma (Gráfica V.3.1.1). Es común encontrar fluctuaciones de los rendimientos en torno a un valor medio levemente diferente de cero y cuya distribución se aproxima a una normal. Leves asimetrías son percibidas en el Histograma mostrado en la Gráfica V.3.1.1 con lo cuál se puede asumir que los rendimientos observados de la cartera tienen el comportamiento de una distribución normal.

Gráfica V.3.1.1 Histograma de los Rendimientos de la Cartera


--00..00440000 --00..00330000 --00..00220000

--00..00110000 00 00..00110000..00220000

00..003300

RReennddiimmiieennttooss OObbsseerrvvaaddooss

00

1100

2200

3300

4400

5500

FFrreeqquueennccy

MMeeddiiaa == 00..000011227755 DDeessvv.. EEsstt.. == 00..001100117766 NN == 225588 SSeessggoo == --00..663388 CCuurrttoossiiss == 11..882233

7777

Con el fin de verificar si realmente los rendimientos observados se distribuyen de manera Normal se llevó a cabo la prueba de Normalidad de Kolmogorov – Smirnoff, la cual propone para el contraste de hipótesis como Hipótesis nula H0: Los rendimientos se distribuyen Normal y como hipótesis alternativa Ha: Los rendimientos no se distribuyen de manera Normal. Este contraste, que es válido únicamente para variables continuas, compara la función de distribución (probabilidad acumulada) teórica con la observada, y calcula un valor de discrepancia representado habitualmente como D que corresponde a la discrepancia máxima en valor absoluto entre la distribución observada y la distribución teórica, proporcionando asimismo un valor de probabilidad P que corresponde, si estamos verificando un ajuste a la distribución normal, a la probabilidad de obtener una distribución que discrepe tanto como la observada si verdaderamente se hubiera obtenido una muestra aleatoria de tamaño N de una distribución normal. Si esa probabilidad es grande no habrá por tanto razones estadísticas para suponer que nuestros datos no proceden de una distribución normal, mientras que si es muy pequeña, no será aceptable suponer ese modelo probabilístico para los datos. Los resultados de la prueba se aprecian en el Cuadro V.3.1.2.

Cuadro V.3.1.2 Prueba de distribución Normal Kolmogorov – Smirnoff de una muestra

RENDOBS N 259 Parámetros Normales Media 0.0012 Deviación Std. 0.0097

Kolmogorov-Smirnov Z 1.0889 Asymp. Sig. (2-tailed) 0.1865

(Calculado de los datos)


El resultado no es estadísticamente significativo (0.1865), y no se puede rechazar la hipótesis nula, por tanto, la conclusión de la prueba es que la distribución poblacional se ajusta a una normal. El grafico Normal Q-Q mide el ajuste de la muestra a una recta, al dibujarla en papel probabilístico normal. Este tipo de representación lo proporcionan algunos programas de estadística y permite apreciar el ajuste o desajuste de forma visual.

7788

En escala probabilística normal se representa en el eje horizontal, para cada valor observado en nuestros datos, la función de distribución o probabilidad acumulada observada, y en el eje vertical la prevista por el modelo de distribución normal. Si el ajuste es bueno, los puntos se deben distribuir aproximadamente según una recta a 45º. En la gráfica V.3.1.3 se ve que existe una discrepancia mínima. En cualquier caso siempre es adecuado efectuar una representación gráfica de tipo histograma de los datos y comparar el valor de la media, así como evaluar el coeficiente de asimetría y apuntamiento, como se mostró el la Gráfica V.3.1.1.

Gráfica V.3.1.3 Gráfica de ajuste a una Normal de la variable Rendimiento Observado

Gráfico Normal Q-Q de RENDOBS

Valor Observado

.04.03.02.010.00-.01-.02-.03-.04

Nor

mal

Esp

erad

o

.03

.02

.01

0.00

-.01

-.02

-.03


Para obtener la estimación del VaR con la metodología Riskmetrics se utiliza la teoría descrita en los Capítulos III y IV. Para empezar la estimación primero se obtiene el promedio, varianza y desviación estándar del mercado, en este caso se toma al IPyC para medir el riesgo de mercado, después se calcula el promedio del activo libre de riesgo que son los Cetes a 28 días. Para estos últimos no se calcula ni la varianza ni la desviación estándar ya que es un activo libre de riesgo. Estos cálculos se muestran en el Cuadro V.3.1.4:

7799

Cuadro V.3.1.4 Estadísticas descriptivas del IPyC y Cetes 28 días

MEDIA VARIANZA DESV. EST. IPC 0.00098867 0.00010216 0.01010721

CETES 28 D 0.0016445 Fuente: Elaboración propia

Se utilizan los rendimientos de las acciones de la cartera para obtener las covarianzas entre cada una de estas y el IPyC, y con ello calcular la βi como lo indica la teoría del CAPM. Se obtuvieron los siguientes resultados (Cuadro V.3.1.5):

Cuadro V.3.1.5 Coeficiente beta de las acciones de la cartera

GMOELO AMTEL A1

TELMX A

TELMX L

ELEKR AST

AMX L

COMECI UBC

IMSA UBC

VITRO A

TVAZTCA CPO

TELECOM A1

GBINBURO

βi 0.0624 0.1689 0.0405 0.1655 0.0668 0.1962 0.1394 0.0230 0.2371 0.0122 0.1894 0.1372 Fuente: Elaboración propia

Los coeficientes βi de las acciones del Cuadro V.3.1.5 se pueden interpretar como el grado de respuesta de la variabilidad de los rendimientos de la acción a la variabilidad de los rendimientos del mercado; los βi resultantes son menores que 1, esto significa que son acciones con menor riesgo que el riesgo del mercado. Cada una de las βi se utiliza para determinar el porcentaje de inversión en la cartera, es decir, βTVAZTCA CPO = 0.012 tiene el mayor porcentaje de inversión en la cartera debido a que es la menos riesgosa con respecto al mercado, βVITROA = 0.237 tiene el menor porcentaje de inversión en la cartera por ser la de mayor riesgo con respecto al mercado. Como segundo paso se calcula la matriz de correlaciones de la cartera (Cuadro V.3.1.6).

8800

Cuadro V.3.1.6 Matriz de Correlaciones

GMOD

ELO

AMTE

L A1

TELM

EX

A

TELM

EX

L

ELEK

TRA

ST

AMX L

COME

RCI

UBC

IMSA

UB

C

VITR

O A

TVAZ

TCA

CPO

TELE

COM

A1

GBIN

BUR

O

GMODELO 1 0.3257 0.2822 0.3567 0.2051 0.358 0.2998 0.08898 0.2602 0.1917 0.2535 0.1137 AMTELA1 0.3257 1 0.4213 0.4626 0.33704 0.7901 0.4596 0.20593 0.2805 0.3392 0.5035 0.3648 TELMEXA 0.2822 0.4213 1 0.7629 0.3159 0.4225 0.3561 0.11868 0.2314 0.2365 0.602 0.261 TELMEXL 0.3567 0.4626 0.7629 1 0.31038 0.5243 0.3632 0.17576 0.2401 0.33 0.7072 0.2595 ELEKTRAST 0.2051 0.337 0.3159 0.3104 1 0.2769 0.2879 0.19493 0.3801 0.4971 0.3523 0.1473 AMXL 0.358 0.7901 0.4225 0.5243 0.27688 1 0.3857 0.24072 0.231 0.3706 0.4817 0.3109 COMERCIUBC 0.2998 0.4596 0.3561 0.3632 0.28788 0.3857 1 0.07802 0.3919 0.2832 0.3768 0.2292 IMSAUBC 0.089 0.2059 0.1187 0.1758 0.19493 0.2407 0.078 1 0.0074 0.24 0.1936 0.1242 VITROA 0.2602 0.2805 0.2314 0.2401 0.38012 0.231 0.3919 0.00743 1 0.239 0.2858 0.1943 TVAZTECPO 0.1917 0.3392 0.2365 0.33 0.49711 0.3706 0.2832 0.23995 0.239 1 0.3249 0.0606 TELECOMA1 0.2535 0.5035 0.602 0.7072 0.35229 0.4817 0.3768 0.19364 0.2858 0.3249 1 0.2744 GBINBURO 0.1137 0.3648 0.261 0.2595 0.14734 0.3109 0.2292 0.12422 0.1943 0.0606 0.2744 1

Fuente: Elaboración propia Para la estimación de la volatilidad y predicción se usaron los promedios móviles exponenciales y el concepto de factor de decaimiento (Cuadro V.3.1.7). Los resultados de estos cálculos fueron los siguientes:

Cuadro V.3.1.7

Volatilidades con factor de decaimiento (1 día de estimación) Volatilidades con λ = 0.94

σ2 t-1 X2t σi GMODELO 0.0000712 0.000050 0.0083639 AMTELA1 0.0003175 0.000547 0.0182009 TELMEXA 0.0000985 0.000000 0.0096246 TELMEXL 0.0001166 0.000362 0.0114581 ELEKTRAST 0.0002562 0.000259 0.0160104 AMXL 0.0003101 0.000395 0.0177529 COMERCIUBC 0.0002451 0.000153 0.0154798 IMSAUBC 0.0002122 0.001596 0.0171835 VITROA 0.0004064 0.000013 0.0195655 TVAZTECPO 0.0005032 0.001235 0.0233897 TELECOMA1 0.0002155 0.000645 0.0155333 GBINBURO 0.0054908 0.000256 0.0719495


8811

El siguiente paso fue el cálculo del riesgo de la cartera cσ . En el Cuadro V.3.1.7 se ejemplifica el cálculo

del vector de volatilidades σi con i=1,2,…, 12 el cual contienen la volatilidad de cada acción que conforma la cartera para 1 día de estimación. Para obtener el vector de VaR por instrumento para un día se siguió la fórmula:

V) = 1.65 * (0.08 , ... , 0.06) *

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

12

2

1

0000

0000

σ

σσ

K

OM

M

K

Donde V) es el resultado de la multiplicación de α−1Z =1.65 para un nivel de significancia del 5%, el

porcentaje de inversión correspondiente de cada acción obtenido de acuerdo a la teoría del CAPM y la matriz de volatilidades de cada acción de la cartera. Este mismo procedimiento se sigue para estimar los 50 días. V.3.2 Resultados de la estimación del VaR Con la fórmula del Capítulo IV para calcular el VaR siguiendo la metodología de Riskmetrick, multiplicamos el vector de VaR individual por la matriz de correlaciones y por el vector transpuesto de

VaR individual, es decir V) * ρ* V) T para cada día de estimación. Después se extrae la raíz cuadrada de

esta multiplicación de matrices. Con lo anterior se llega a los resultados del Cuadro V.3.2.1, que son los resultados de las estimaciones por un periodo de 50 días. La raíz cuadrada indica dos valores, uno positivo y otro negativo, obteniendo un intervalo de confianza para el rendimiento observado. Como el VaR es la máxima pérdida esperada, se toma el límite inferior como el valor estimado.

8822

Cuadro V.3.2.1 Estimación del VaR diario por 50 días

Fecha Limite Inferior VaR = √ V* ρ * V T

Fecha Limite Inferior VaR = √ V* ρ * V T

05/01/2005 -0.01673171 11/02/2005 -0.01698617 06/01/2005 -0.01679315 14/02/2005 -0.0167875 07/01/2005 -0.02183346 15/02/2005 -0.01684904 10/01/2005 -0.01842444 16/02/2005 -0.01698853 11/01/2005 -0.01723978 17/02/2005 -0.01676604 12/01/2005 -0.01842498 18/02/2005 -0.01672274 13/01/2005 -0.01743588 21/02/2005 -0.01674097 14/01/2005 -0.01760653 22/02/2005 -0.01664962 17/01/2005 -0.01756018 23/02/2005 -0.01661776 18/01/2005 -0.01730231 24/02/2005 -0.01809365 21/01/2005 -0.01741896 25/02/2005 -0.01810911 24/01/2005 -0.0172621 28/02/2005 -0.01809309 25/01/2005 -0.01730058 01/03/2005 -0.01810635 26/01/2005 -0.01751285 02/03/2005 -0.01809171 27/01/2005 -0.01726036 03/03/2005 -0.01681101 28/01/2005 -0.0172676 04/03/2005 -0.01686001 31/01/2005 -0.01709825 07/03/2005 -0.01676902 01/02/2005 -0.01715547 08/03/2005 -0.01680833 02/02/2005 -0.01705608 09/03/2005 -0.01689882 03/02/2005 -0.01698146 10/03/2005 -0.01655415 04/02/2005 -0.01700647 11/03/2005 -0.01658976 07/02/2005 -0.01734272 14/03/2005 -0.01648636 08/02/2005 -0.01706927 15/03/2005 -0.01668173 09/02/2005 -0.0168926 16/03/2005 -0.01646208 10/02/2005 -0.01690059 17/03/2005 -0.01669491

Fuente: Elaboración propia En la Gráfica V.3.2.2 se pueden apreciar los movimientos del rendimiento observado de la cartera de Inversión con los datos estimados del VaR del Cuadro V.3.2.1 que es el límite inferior del intervalo de confianza que se crea cuando se obtiene la raíz cuadrada de la multiplicación de matrices anteriormente descrita:

8833

Gráfica V.3.2.2 Rendimiento Observado vs Estimación del VaR con Riskmetrics

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Dias

R obs VaR Riskmetrics


V.3.3 Cálculo del VaR mediante el análisis factorial V.3.3.1 Obtención de los factores de riesgo mediante el método de componentes principales El análisis factorial es una técnica de reducción de datos que sirve para encontrar grupos homogéneos de variables a partir de un grupo numeroso de variables. Estos grupos homogéneos se forman con las variables que correlacionan fuertemente entre sí y procurando, inicialmente, que unos grupos sean estadísticamente independientes de otros. Con el paquete estadístico SPSS en su versión 12.0 se llevó a cabo el análisis factorial con las 12 acciones de la cartera como las variables y utilizando como método para obtener los factores el de componentes principales1. Los resultados se muestran en los Cuadros V.3.3.1.1, V.3.3.1.2 y V.3.3.1.3:

11 EEnn eell AAnneexxoo 11 ssee mmuueessttrraa llaa ssiinnttaaxxiiss ddeell aannáálliissiiss ffaaccttoorriiaall ccoonn eell mmééttooddoo ddee eessttiimmaacciióónn ddee ffaaccttoorreess eell ddee ccoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess eenn eell pprrooggrraammaa eessttaaddííssttiiccoo SSPPSSSS..

8844

Cuadro V.3.3.1.1 Comunalidades (salida de SPSS)

Iniciales Extraídas GMODELO 1 0.56905081 AMTELA1 1 0.62565805 TELMEXA 1 0.60172067 TELMEXL 1 0.72525711 ELEKTRAST 1 0.60648661 AMXL 1 0.63744255 COMERCIUBC 1 0.51095432 IMSAUBC 1 0.64841714 VITROA 1 0.68157854 TVAZTECPO 1 0.67065706 TELECOMA1 1 0.64737678 GBINBURO 1 0.32158613 Método de Extracción: Análisis de Componentes Principales.


En el Cuadro V.3.3.1.1 se puede observar que las comunalidades iniciales y las extraídas de cada una de las acciones no son muy bajas. Las comunalidades extraídas muestran la proporción de varianza que puede ser explicada por el modelo factorial. El total de Varianza explicada (Cuadro V.3.3.1.2) nos los marcan los eigeinvalores iniciales y el % de varianza explicada por ellos. Los eigenvalores expresan la cantidad de varianza total que está explicada por cada factor, se extraen tantos factores como eigenvalores mayores a 1. Para la cartera existen 3 eigenvalores mayores a 1 por lo que se extraen 3 factores que consiguen explicar un 60.38% de la varianza de los datos originales. Esta tabla proporciona información para saber el número idóneo de factores que se deben extraer, por ejemplo, si se quiere explicar el 80% de la variabilidad contenida en los datos se tendrían que tomar 6 factores.

8855

Cuadro V.3.3.1.2 Total de Varianza Explicada (salida de SPSS)

Eigenvalores Iniciales Suma de Cuadrados extraídos

Componente Total % de Varianza % Acumulado Total % de Varianza % Acumulado

1 4.982936 41.52446 41.52446 4.982936 41.52446 41.52446 2 1.186400 9.886667 51.41113 1.186400 9.886667 51.41113 3 1.076849 8.973744 60.38488 1.076849 8.973744 60.38488 4 0.980063 8.167193 68.55207 5 0.786673 6.555612 75.10768 6 0.679938 5.666154 80.77384 7 0.578284 4.819039 85.59288 8 0.542305 4.519208 90.11209 9 0.431019 3.591827 93.70391 10 0.376232 3.135271 96.83918 11 0.211447 1.762059 98.60124 12 0.167850 1.398750 100

Método de Extracción: Análisis de Componentes Principales. Fuente: Elaboración propia

La solución factorial esta dada en el Cuadro V.3.3.1.3, que contiene las correlaciones entre cada una de las variables originales y cada componente. Como se muestra, el primer componente esta compuesto por las variables GModelo , Amtel A1, Telmex A, Telecom A1, Telmex L, Electra Ast, Amx L, Comerci UBC, Vitro A y GBInbur O, el segundo componente esta constituido por la variable TVAztca CPO y el tercer componente esta formado por Imsa UBC . Las acciones que saturen en cada componente constituyen un grupo diferenciado de variables en la matriz de correlaciones.

8866

Cuadro V.3.3.1.3 Matriz de Componentes (salida de SPSS)

Componente (a) 1 2 3 GMODELO 0.48836934 0.06530589 -0.26597017 AMTELA1 0.77603097 -0.10455768 0.07455936 TELMEXA 0.71903076 -0.31900819 -0.0877546 TELMEXL 0.79023839 -0.30552958 2.0872E-05 ELEKTRAST 0.56742587 0.55632523 0.09618681 AMXL 0.76433271 -0.145591 0.15016734 COMERCIUBC 0.61879643 0.14284831 -0.31781658 IMSAUBC 0.31135971 0.07586733 0.75518692 VITROA 0.48287214 0.43696933 -0.47589095 TVAZTCACPO 0.52967955 0.54288602 0.28490934 TELECOMA1 0.76667173 -0.21139431 0.03400432 GBINBURO 0.43299979 -0.30676875 -0.04596068 Método de Extracción: Análisis de Componentes Principales. a 3 componentes extraídos


Para el primer componente existe un riesgo el cual esta asociado con las acciones GModelo, Amtel A1, Telmex A, Telecom A1, Telmex L, Electra Ast, Amx L, Comerci UBC, Vitro A, Telecom A1 y GBInbur O. Con el segundo componente tenemos otro riesgo subyacente con la acción TVAztca CPO y con el tercero tenemos otro riesgo subyacente pero ahora con la acción Imsa UBC. Existen criterios que indican si es factible hacer uso del método de análisis factorial. Para comprobar el adecuado uso del análisis factorial se utilizan las pruebas de KMO y de esfericidad de Bartlett. Los resultados de estas pruebas se muestran en el Cuadro V.3.3.1.4:

Cuadro V.3.3.1.4 Prueba de adecuación de muestra KMO y de Bartlett

Kaiser-Meyer-Olkin: Medida de adecuación de muestra .830

Prueba de Esfericidad de Bartlett

Aprox. Chi-Square 1183.621

df 66 Sig. .000


8877

La medida de adecuación muestral KMO (Kaiser–Meyer-Olkin) contrasta si las correlaciones parciales entre las variables son suficientemente pequeñas. Permite comparar la magnitud de los coeficientes de correlación observados con la magnitud de los coeficientes de correlación parcial. El estadístico KMO varía entre 0 y 1. Los valores pequeños indican que el análisis factorial puede no ser una buena idea, dado que las correlaciones entre los pares de variables no pueden ser explicadas por otras variables. Los menores que 0.5 indican que no debe utilizarse el análisis factorial con los datos muestrales que se están analizando. En los resultados mostrados en el Cuadro V.3.3.1.4 la medida de KMO es 0.830. La prueba de esfericidad de Bartlett contrasta la hipótesis nula de que la matriz de correlaciones es una matriz identidad, en cuyo caso no existirían correlaciones significativas entre las variables y el modelo factorial no seria pertinente. En el Cuadro V.3.3.1.4 se muestra que el resultado es significativo al 0.000. V.3.3.2 Análisis de las cargas y puntajes factoriales Las cargas factoriales representan los coeficientes de la función con la cuál se obtienen los factores y miden el grado de asociación lineal entre éstos y cada una de las variables, en este caso, cada acción. La fórmula sugerida ([2] Moctezuma) para estimar el primer factor de riesgo es:

Fac1 = 0.4883*RGMODELO + 0.7760* RAMTELA1 + … + 0.4329* RGINBURO Es decir, cada carga factorial por el rendimiento de cada una de las acciones. De la misma manera se estima el segundo y tercer factor (Fac2 y Fac3). Al valor del factor obtenido después de incorporar los valores de los rendimientos de los instrumentos financieros en cada una de las fórmulas se llama puntaje factorial (Gráficas V.3.3.2.1., a, b y c). En las Gráficas (a), (b) y (c) se muestran los movimientos de los factores de riesgo subyacente obtenidos con las acciones que correlacionan en cada uno de ellos con la finalidad de observar que éstos factores estén representando el movimiento de las acciones.

8888

Gráficas V.3.3.2.1 (a,b,c) Factores de Riesgo (Fac1, Fac2 y Fac3) (a)Fac1 y las acciones que los conforman

Fac1 y AmtelA1 Fac1 y TelemexA

Fac1 y G modelo Fac1 y Telmex L

Fac1 y ElektraST Fac1 y AMXL

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

Días

- 0 . 0 8

- 0 . 0 6

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

F1 AM TELA1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Días

Ren

dim

ient

os

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F1 GMODELO -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

D ía s

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

F1 TELMEXL

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

D ía s

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

F1 ELEKTRAST -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Días

Ren

dim

ient

os

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

F1 AMXL

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Días

Ren

dim

ient

os

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F1 TELMEXA

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

8899

Fac1 y ComerciUBC Fac1 y VitroA

Fac1 y Telecoma 1 Fac1 y GBinburo


(b) Fac2 y TVAztcaCPO

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

D ía s

- 0 . 2 5

- 0 . 2

- 0 . 15

- 0 . 1

- 0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1

F2 TVAZTECPO


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

D ía s

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

F1 COMERCIUBC -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Días

Ren

dim

ient

os

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

F1 VITROA

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Días

Ren

dim

ient

os

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

F1 TELECOMA1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

D ía s

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

F1 GBINBURO

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

Ren

dim

ient

os

9900

(c) Fac3 e Imsa UBC

-6

-4

-2

0

2

4

6

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

F3 IMSAUBC


Debido a que los componentes que se utilizaron para obtener Fac1, Fac2, y Fac3 fueron encontrados con el método de componentes principales podemos decir que son estadísticamente independientes, esto es, no se encuentran correlacionados. La matriz de correlaciones del Cuadro V.3.3.2.2 lo muestra:

Cuadro V.3.3.2.2 Matriz de Correlaciones entre los factores de riesgo

Fac1 Fac2 Fac3 Fac 1 1 .000 .000 Fac 2 .000 1 .000 Fac 3 .000 .000 1


Para verificar que tanto la variable dependiente como las independientes sean estacionarias se aplicaron las pruebas de Dickey – Fuller Aumentada (DFA) y Phillips – Perron. Con ello se asegura que no existan problemas de relaciones espurias.

9911

Cuadro V.3.3.2.3 Prueba de Raíces Unitarias

Phillips-Perron Valor t-Student Dickey-Fuller Aumentada Valor t-Student Rend -14.47434 Rend -14.54745 Fac1 -14.38754 Fac1 -14.46617 Fac2 -14.04733 Fac2 -14.14873 Fac3 -17.9829 Fac3 -16.15087

Valores críticos de Mackinnon: 1%= -3.994, 5%= -3.427, 10%= -3.137 Fuente: Elaboración propia

Estas pruebas de raíces unitarias se llevan a cabo sobre los puntajes factoriales. Los contrastes de Dickey – Fuller y Phillips – Perron ofrecen la evidencia en contra de la hipótesis de raíz unitaria y a favor de la hipótesis de estacionariedad de los factores de riesgo subyacente Fac1, Fac2 y Fac3. Podemos observar con los resultados del Cuadro V.3.3.2.3 que los rendimientos de la cartera en niveles también pasan las pruebas de estacionariedad ya que el valor absoluto del estadístico t-Student es mayor que los valores críticos de Mackinnon. V.3.3.3 Estimación de esperanza y varianza de los rendimientos V.3.3.3.1 Esperanza Para calcular el Valor en Riesgo en términos de rendimientos promedio porcentual es necesario conocer el valor de la esperanza de la cartera de Inversión utilizando los factores de riesgo Fa1, Fac2 y Fac3. Con la fórmula para el cálculo de la esperanza descrita en el CAPÍTULO IV sugerida por [2] Moctezuma, el valor esperado del rendimiento de la cartera haciendo uso de los tres factores obtenidos con el modelo factorial se obtiene como sigue:

E(Rc) = α + ∑ ∑= =

−− +k

i

k

iitiiti FacFac

0 0

21 γβ + ∑=

−

k

iiti Fac

0

3δ = 11 21 −− ++ tt FacFac γβα ))) + 13 −tFacδ)

9922

Se realizó una regresión utilizando cada factor y el rendimiento esperado de la cartera para encontrar el

valor de los coeficientes βα)), ,γ) y δ con el programa econométrico E- Views2 (Cuadro V.3.3.3.1.1). Se

tomó como variable dependiente a los rendimientos observados de la cartera y como variables independientes a los tres factores de riesgo Fac1, Fac2 y Fac3.

Cuadro V.3.3.3.1.1 Regresión de los factores de riesgo y el rendimiento de la cartera

Variable Coeficiente Error Estd. Estadístico-t Prob. C 0.001109 0.000599 1.8528 0.065076

Fac1(-1) 0.001324 0.000616 2.149276 0.032561 Fac2(-1) 0.000097 0.000604 0.159858 0.87312 Fac3(-1) -0.000114 0.000594 -0.192049 0.847858

R2 0.018169 estadístico F 1.560616 R2 Ajustada 0.006527 Prob(estadístico - F) 0.199446 E.E regresión 0.009596 Durbin-Watson 1.917542

Fuente: Elaboración propia El R2 de la regresión, que es el coeficiente de determinación e indica si es útil el uso de la regresión para la predicción de valores de la variable dependiente, para la teoría APT es el nivel en que logra describir el comportamiento de los rendimientos en el mercado de valores. Obtener un R2 elevado no es el objetivo, sino obtener los coeficientes de regresión estimados para poder efectuar inferencia estadística sobre ellos. El Cuadro V.3.3.3.1.1 muestra que los valores de los coeficientes son, para α) =0.001109,

β)

= 0.001324, γ) =0.000097 y δ) =-0.000114.

Los coeficientes de cada factor se pueden interpretar de la siguiente manera: un aumento de una desviación estándar en el factor de riesgo 1 (Fac1) hace que el rendimiento esperado para la cartera el día siguiente también aumente 0.132%, para el factor de riesgo 2 (Fac2) tenemos que sólo aumentaría el 0.0097% y para el factor de riesgo 3 (Fac3) disminuiría un -0.011%.

22 EEnn eell AAnneexxoo 11 ssee mmuueessttrraa llaa ssiinnttaaxxiiss ppaarraa rreeaalliizzaarr llaa rreeggrreessiióónn eenn eell pprrooggrraammaa eeccoonnoommééttrriiccoo EEVViieewwss..

9933

V.3.3.3.2 Varianza Una vez obtenida la esperanza de los rendimientos de las acciones de la cartera a partir de los factores de riesgo 1, 2 y 3 se estima la varianza de una respuesta particular de dichos rendimientos con la fórmula descrita en el Capítulo IV. La varianza (σ2) que se utilizó es el cuadrado del error estándar de la regresión obtenido de la salida del programa EViews del Cuadro V.3.3.3.1 (E.E. regresión) que en este caso es 0.009596, X’p es el vector que contiene los factores de riesgo utilizados para el pronóstico un periodo atrás, es decir, en t-1 y (X’X) es la matriz de los factores de riesgo. V.3.3.3.3 Cálculo del VaR en % El VaR de la cartera de inversión se puede estimar con la fórmula sugerida por [2] Moctezuma:

%95cVaR = [ 11 21 −− ++ tt FacFac γβα ))) + 13 −tFacδ

) ] – 1.65 √ V(Rc | Fac1t-1, Fac2 t-1, Fac3 t-1)

Con ésta se calculó la máxima pérdida esperada que puede sufrir la cartera de inversión al 05/01/2005, además de hacer un pronóstico de 50 días. Los resultados se muestran en la Gráfica y Cuadro V.3.3.3.3.1. En la Gráfica V.3.3.3.3.1 se observa el comportamiento del VaR estimado utilizando análisis factorial comparado con el Rendimiento Observado en estas fechas. El Cuadro V.3.3.3.3.1, muestra la estimación del VaR al 95% y al 99% de confianza para el periodo de 50 días.

9944

Gráfica y Cuadro V.3.3.3.3.1 Rendimiento Observado vs. Estimación del VaR diario con Análisis factorial (50 días)

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Dias

R obs VaR 95% VaR 99%

Observ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Rend obs -0.011 0.011 -0.019 0.000 -0.018 0.008 0.008 0.015 0.007 0.013 0.003 -0.012 -0.002 0.005 0.014 0.010 -0.010 0.004 -0.003 0.010 0.000 0.007 -0.001 -0.005 0.002 VaR 95% -0.019 -0.017 -0.014 -0.018 -0.015 -0.018 -0.014 -0.014 -0.013 -0.014 -0.013 -0.015 -0.017 -0.016 -0.014 -0.013 -0.014 -0.016 -0.014 -0.015 -0.013 -0.015 -0.014 -0.015 -0.015 VaR 99% -0.025 -0.023 -0.020 -0.025 -0.021 -0.024 -0.021 -0.021 -0.020 -0.021 -0.020 -0.021 -0.023 -0.022 -0.021 -0.020 -0.020 -0.023 -0.021 -0.022 -0.020 -0.022 -0.020 -0.021 -0.022 Observ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Rend obs 0.010 0.004 0.002 -0.008 0.006 -0.006 -0.009 0.000 0.001 -0.013 -0.001 0.011 0.008 -0.008 0.005 0.004 0.000 0.000 -0.001 -0.009 -0.007 -0.012 0.007 -0.015 -0.005 VaR 95% -0.014 -0.013 -0.014 -0.014 -0.016 -0.014 -0.016 -0.016 -0.015 -0.014 -0.016 -0.015 -0.013 -0.014 -0.016 -0.014 -0.014 -0.014 -0.014 -0.015 -0.016 -0.015 -0.016 -0.014 -0.017 VaR 99% -0.021 -0.019 -0.021 -0.021 -0.022 -0.021 -0.022 -0.022 -0.021 -0.021 -0.023 -0.021 -0.019 -0.020 -0.023 -0.020 -0.021 -0.021 -0.021 -0.021 -0.022 -0.022 -0.023 -0.020 -0.023


9955

Gráfica V.3.3.3.3.2 Rend Observado vs. Rend Estimado e intervalo de Confianza (VaR con análisis factorial)

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51

R obs R est VaR 95% VaR 95%


En la Gráfica V.3.3.3.3.2 se muestra el movimiento del rendimiento observado comparado con el movimiento del rendimiento estimado dentro del intervalo de confianza también estimado. La parte mas importante es el límite inferior, que es el VaR. Si se requiere explicar mayor variabilidad de los datos se toman más factores, esto con la finalidad de obtener estimaciones más parecidas a los rendimientos observados. Tomando 5 factores se explica el 73.5% de la varianza, con 8 factores se explica el 90% de la varianza y con los 12 factores se explica el 100% de la varianza. Estas estimaciones se muestran en la siguiente Gráfica y Cuadro V.3.3.3.3.3:

9966

Gráfica y Cuadro V.3.3.3.3.3 Rend Observado vs. Rend Estimado considerando 5, 8 y 12 factores de riesgo (análisis factorial)

-0.025

-0.020

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Dias

Ren

dim

ient

os

Rend 5 Fac Rend Obs Rend 12 Fac Rend 8 Fac

Fecha 05-Ene 06-Ene 07-Ene 10-Ene 11-Ene 12-Ene 13-Ene 14-Ene 17-Ene 18-Ene 19-Ene 20-Ene 21-Ene 24-Ene 25-Ene 26-Ene 27-Ene 28-Ene 31-Ene 01-Feb 02-Feb 03-Feb 04-Feb 07-Feb 08-Feb

Rend Obs -0.011 0.011 -0.019 0 -0.018 0.008 0.008 0.015 0.007 0.013 0.003 -0.012 -0.002 0.005 0.014 0.01 -0.01 0.004 -0.003 0.01 0 0.007 -0.001 -0.005 0.002 5 Fac -0.005 -0.001 0.003 0.000 0.000 -0.001 0.001 0.002 0.003 0.002 0.003 0.001 0.000 0.001 0.003 0.001 0.002 0.000 0.000 0.001 0.002 0.001 0.001 0.000 0.000 8 Fac -0.003 -0.003 0.004 0.002 0.001 0.000 0.001 0.002 0.004 0.002 0.003 -0.003 0.004 0.002 0.001 0.000 0.001 0.002 0.004 0.002 0.003 0.003 0.000 0.001 0.003 12 Fac -0.002 -0.006 0.003 0.001 0.002 -0.002 0.005 0.004 0.004 0.002 0.002 -0.006 0.003 0.001 0.002 -0.002 0.005 0.004 0.004 0.002 0.002 0.000 0.003 -0.001 0.004 Fecha 09-Feb 10-Feb 11-Feb 14-Feb 15-Feb 16-Feb 17-Feb 18-Feb 21-Feb 22-Feb 23-Feb 24-Feb 25-Feb 28-Feb 01-Mar 02-Mar 03-Mar 04-Mar 07-Mar 08-Mar 09-Mar 10-Mar 11-Mar 14-Mar 15-Mar

Rend Obs 0.01 0.004 0.002 -0.008 0.006 -0.006 -0.009 0 0.001 -0.013 -0.001 0.011 0.008 -0.008 0.005 0.004 0 0 -0.001 -0.009 -0.007 -0.012 0.007 -0.015 -0.005 5 Fac 0.000 0.002 0.001 0.000 -0.001 0.001 0.000 -0.001 0.001 0.001 -0.001 0.001 0.001 -0.002 0.000 0.001 0.002 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 -0.001 0.002 -0.001 8 Fac 0.002 0.003 -0.001 -0.001 0.002 0.002 0.002 0.001 -0.001 0.001 0.000 0.002 0.003 -0.001 -0.003 0.002 -0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.001 -0.004 0.002 12 Fac 0.003 0.003 0.000 -0.002 0.002 0.002 0.001 0.004 -0.003 0.004 -0.003 0.005 0.002 -0.001 -0.004 0.003 -0.001 0.000 0.002 -0.001 -0.001 0.001 -0.001 -0.006 -0.001

Fuente: Elaboración propia.

9977

V.4 Verificación de los modelos utilizando Coeficiente de Fallas y de Imprecisión. V.4.1 Comparación de la Metodología Riskmetrics y el análisis factorial Para hacer una comparación de los modelos con el fin de determinar cuál de ellos es el que mejor funciona para estimar el VaR de una cartera con instrumentos financieros del mercado accionario es conveniente utilizar alguna medida que muestre la imprecisión de las estimaciones. Una de las medidas sugeridas por Moctezuma (2000) que determina el nivel de imprecisión de un modelo como un promedio simple de las desviaciones del VaR respecto a la trayectoria realmente observada por los rendimientos es:

Imprecisión: n

vadoientoObsernVaRn

ttt∑

=

−1

2)dimRe(

Utilizando las estimaciones del VaR de la cartera de inversión de acuerdo a la metodología de Riskmetrics y al análisis factorial, se muestra el comparativo de las imprecisiones de estos resultados con respecto al rendimiento observado en el Cuadro V.4.1.1. Los cálculos de la imprecisión de la estimación del VaR de cada metodología se muestran en el Anexo 2.

Cuadro V.4.1.1 Comparativo del VaR obtenido con Riskmetricsk y análisis factorial de la cartera de Inversión

Riskmetrics Análisis Factorial Imprecisión

95% Imprecisión 95% Imprecisión

99%

0.0192 0.0172 0.0231 Fuente: Elaboración propia

El método más sencillo y utilizado para calibrar la imprecisión de un modelo es el coeficiente de fallas. Éste muestra la proporción de casos en los que el VaR es excedido durante un periodo de pronóstico determinado.

Coeficiente de Fallas = dopronosticaperiodoVaRaleriorespérdidasde sup#

9988

Para periodos de prueba pequeños, el número de veces en que el pronóstico falla no debe exceder el valor crítico especificado por:

Valor Crítico = α * periodo de pronóstico Donde α es el nivel de significancia utilizado en las estimaciones. Para el periodo de tiempo pronosticado de 50 días y el nivel de significancia del 5% y del 1% para el análisis factorial, el resultado del Valor Crítico es (Cuadro V.4.1.2):

Cuadro V.4.1.2 Numero de días que el VaR no debe exceder el valor crítico

Periodo Valor Critico (días) 5% 1%

50 2.5 0.5 Fuente: Elaboración propia

Con lo expuesto en el Cuadro V.4.1.2 se tiene que para los 50 días estimados, al nivel de significancia del 5% se permiten de 2 a 3 fallas en la estimación del VaR y para un nivel del 1% no debe haber ninguna falla. Se utiliza el Cuadro del anexo 2 para verificar el número de veces que el VaR fue excedido para las dos metodologías utilizadas. El coeficiente de fallas que se obtuvo se muestra en el Cuadro V.4.1.3. Usando la metodología de Riskmetrics se obtuvo una falla al igual que con el uso del análisis factorial al 1% de significancia y al 5% de significancia se obtuvieron 3 fallas.

Cuadro V.4.1.3 Numero de días en que el VaR estimado fue excedido

Coeficiente de Fallas 5%( 50 días) 1% (50 días)

Metod. Riskmetrics 1 - Metod. Analisis Fact. 3 1


9999

En la Gráfica V.4.1.1 vemos comparadas ambas metodologías con el Rendimiento Observado para 50 días de estimación.

Gráfica V.4.1.1 Rendimientos Observados vs. VaR con análisis factorial y VaR con Riskmetrics

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Dias

R obs VaR 95% VaR 99% VaR Riskmetrics


Se observa en la Gráfica como el VaR estimado con la Metodología de Riskmetrics se encuentra entre el VaR al 95% y al 99% de confianza estimado con el uso del análisis factorial, además, éste representa más a una estimación lineal. Con las estimaciones del VaR usando el análisis factorial se observa una tendencia a representar los movimientos de los rendimientos de la cartera de inversión.

110000

CAPÍTULO VI CONCLUSIONES VI. 1 OBSERVACIONES DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LAS ESTIMACIONES Los objetivos generales son calcular el Valor en Riesgo utilizando la metodología Riskmetrics y el análisis factorial, encontrar diferencias, explicar cuál es el que arroja mejores estimaciones y dar a conocer el mas útil y aplicable para carteras de inversión formadas por instrumentos del mercado accionario. El VaR proviene de la necesidad de cuantificar la máxima pérdida esperada que tiene una cartera de inversión en un horizonte de tiempo y con un nivel de confianza. Se utiliza en mayor medida para administrar el riesgo de mercado. De acuerdo a la regulación prudencial del Comité de Basilea que emitió la Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV) para determinar la cantidad de capital mínimo con que debe contar una institución financiera para cubrir el riesgo de mercado de sus carteras de inversión, se menciona a grandes rasgos que la estimación del VaR de mercado debe cumplir con los requisitos siguientes:

• Horizonte de Riesgo: 10 días

• Intervalo de Confianza: 99%

• Observaciones históricas de por lo menos un año

• Las estimaciones del VaR tienen que ser diarias

Comparando la imprecisión del VaR obtenido con la metodología Riskmetrics y el VaR con el método de análisis factorial se concluye que el obtenido usando análisis factorial al 95% de confianza es levemente menor que el obtenido con la metodología Riskmetrics, por lo que con el análisis factorial se tiene una imprecisión de la estimación del VaR más aceptable que con la estimación usando metodología de Riskmetrics. En general ambos modelos permitirían pronosticar con una imprecisión similar el rendimiento observado de la cartera.

110011

El coeficiente de fallas indica que el VaR obtenido con la metodología de Riskmetrics tiene 1 falla en el periodo de estimación, el VaR usando análisis factorial al 95% de confianza tiene 3 fallas y al 99% tiene sólo 1 falla. Estos resultados no exceden los límites propuestos por el coeficiente de fallas, por tanto, resultan estimaciones confiables. VI.1.1 Predicción utilizando la metodología Riskmetrics El analizando los resultados obtenidos en el Capítulo anterior se muestra que para el periodo seleccionado: El rendimiento observado de la cartera se distribuye de manera Normal, con lo cual el uso de ésta metodología es apto, ya que éste supone normalidad en la distribución de los rendimientos. Los coeficientes β de los rendimientos de las acciones resultaron bajos, esto implica que ante variaciones en el rendimiento de mercado, las acciones son poco riesgosas. El VaR resultante de la metodología Riskmetrics se encuentra muy por debajo del rendimiento observado, esto hace que sobreestime el verdadero valor del rendimiento observado. El modelo de VaR con la metodología Riskmetrics está dentro de los márgenes o límites de riesgo permitidos, es decir, no sobrepasa al rendimiento observado con un 95% de confianza. Con esto se asegura que no se tienen pronósticos de pérdidas mayores a las esperadas.

El VaR con esta metodología siempre se puede estimar, ya que sólo es necesario tener el vector V) de

VaR por instrumento y la matriz de correlaciones de la cartera de inversión. Este modelo no es sensible a las posibles ganancias que se pudieran observar en los movimientos de la cartera a lo largo del tiempo, esto por el comportamiento con tendencia lineal que se observa en los resultados de la Gráfica V.4.1.1.

110022

VI.1.2 Predicción utilizando el modelo con análisis factorial Este modelo muestra que tres factores pueden explican el comportamiento de los rendimientos observados en un 60.3%. Las variables más significativas son GModelo, Amtel A1, Telmex A, Telecom A1, Telmex L, Electra Ast, Amx L, Comerci UBC, Vitro A y GBInbur O, que se encuentran en el factor de riesgo Fac1 y que logran explicar el 51.4% de la variabilidad de los datos. Los factores de riesgo encontrados son factores de riesgo subyacentes de la cartera, por ello estos carecen de una interpretación económica. La matriz de correlaciones con la cuál se obtuvieron los factores de riesgo subyacentes pasó las pruebas de adecuación de muestra KMO y Esfericidad de Bartlett sobre la matriz de correlaciones de los rendimientos de las acciones de la cartera. Con esto se comprueba que es adecuado el uso del análisis factorial. Por medio de las betas de la regresión utilizando los factores de riesgo 1, 2 y 3 obtenidos con el análisis factorial se puede saber cuál combinación de acciones de esta cartera afectan más o influyen en mayor medida a los movimientos de la misma, es decir, en que porcentaje contribuyen a aumentar o disminuir el riesgo de la cartera tomando en cuenta los movimientos de cada una de las acciones; esto permite tomar decisión de cuanto porcentaje invertir en cada factor para mejorar el rendimiento esperado de la cartera y no considerar las acciones no relevantes para los movimientos de la misma. Resulta de gran importancia el que las variables a estudiar estén fuertemente correlacionadas. Entre mayor sea la correlación entre las variables se podrán obtener mejores estimaciones ya que para el análisis factorial, contrario al análisis de regresión, es muy importante que exista una correlación fuerte, esto es , mayor a 0.8.

110033

VI.2 Comparativo del VaR estimado con la metodología de Riskmetrics y el VaR con el modelo de análisis factorial El VaR estimado con metodología Riskmetrics muestra un límite o tolerancia de riesgo mayor que el VaR obtenido con el análisis factorial al 95% de confianza, esto hace necesario un mayor requerimiento de capital para solventar los riesgos que realmente se presentan. De acuerdo a lo establecido por la CNBV, el VaR estimado con análisis factorial con el nivel de confianza del 99% cumple con las características de un VaR adecuado, esto es, tiene baja imprecisión y además esta dentro del margen que marca el coeficiente de fallas. Esto es importante ya que ésta seria la estimación que estarían usando en la práctica las instituciones que requieran calcular el VaR y utilicen el análisis factorial. Cabe señalar que el VaR estimado con el análisis factorial puede explicar mejor el comportamiento de los rendimientos de la cartera que el VaR utilizando la metodología Riskmetrics. VI.3 CONCLUSIONES FINALES El Valor en Riesgo es un concepto poderoso que ha sido implementado a través de diversas metodologías. Instituciones extranjeras han desarrollado diferentes modelos estadísticos que pueden estimar el riesgo de mercado, una de las que ha tenido mayor difusión es Riskmetrics de J.P. Morgan. Otros modelos se han desarrollado también para estimar el riesgo de mercado. El los últimos años se ha hecho frecuente el uso de técnicas estadísticas diferentes a las utilizadas en la actualidad para calcular dicho riesgo con la finalidad de encontrar métodos alternativos con los cuales se obtengan estimaciones más precisas, en menor tiempo y computacionalmente más fáciles de obtener. El cálculo del VaR basado en la metodología con análisis factorial se ha propuesto para carteras de inversión formadas por instrumentos de renta fija, como los bonos, ya que con esta técnica se puede modelar mejor el concepto de duración ([3] Sánchez). También se han hecho trabajos con esta técnica usando variables macroeconómicas como factores de riesgo, encontrándose resultados muy positivos.

110044

El uso de la técnica de análisis factorial para encontrar factores subyacentes dentro de una cartera de inversión es un concepto propuesto por [2] Moctezuma, y no sólo para instrumentos de renta fija, sino también para instrumentos de renta variable. Para los inversionistas e instituciones que utilizan el VaR para obtener límites de tolerancia al riesgo es difícil encontrar un modelo que pronostique el movimiento de las acciones de manera muy similar al movimiento real que se da en el mercado, esto debido a la complejidad que presenta el mercado accionario mexicano. La dificultad que hay para formar una cartera de acciones que esté perfectamente diversificada se debe a la alta concentración, baja bursatilidad y el rechazo de la hipótesis nula de eficiencia del mercado, esto hace que el precio de las acciones permanezca sin cambios durante periodos de tiempo prolongados, lo que provoca que no se puedan estimar volatilidades y correlaciones confiables. Los resultados de las estimaciones del VaR pueden variar dependiendo el tipo de cartera de inversión para la cuál se este calculando. En ésta tesis el uso del análisis factorial para calcular el VaR fue adecuado, comparándolo con la metodología Riskmetrics que es la que se utiliza con mayor frecuencia y que tiene más difusión, ya que con al análisis factorial se obtuvo una impresión menor en estimación del VaR, además de obtener movimientos con tendencia a representar los movimientos de los rendimientos observados. Para ésta cartera de inversión se puede concluir, en general, que el valor en riesgo estimado utilizando la metodología con análisis factorial es mejor que el estimado siguiendo la metodología de Riskmetrics, aunque tanto el VaR estimado con metodología Riskmetrics como el obtenido con el análisis factorial pueden ser usados para dar un margen de requerimiento de capital y un limite de tolerancia el riesgo, que es, finalmente, el objetivo del VaR. Para obtener un modelo adecuado para el cálculo del VaR se tienen que tomar en cuenta los datos de los cuales se dispone.

110055

ANEXOS Anexo 1 Sintaxis de SPSS versión 12.0 para obtener los resultados del análisis factorial De la base de datos c:\Archivos de Programa\SPSS\CarteradeInversion.sav →Analyze→ Data Reduction→ Factor

Para obtener las salidas de Comunalidades, Total de Varianza explicada, Matriz de Componentes se uso la siguiente sintaxis: FACTOR

/VARIABLES GMODELO AMTELA1 TELMEXA TELMEXL ELEKTRAST AMXL COMERCIUBC

IMSAUBC VITROA TVAZTECPO TELECOMA1 GBINBURO /MISSING

LISTWISE /ANALYSIS GMODELO AMTELA1 TELMEXA TELMEXL ELEKTRAST AMXL

COMERCIUBC IMSAUBC VITROA TVAZTECPO TELECOMA1 GBINBURO

/PRINT INITIAL EXTRACTION

/CRITERIA MINEIGEN (1) ITERATE (25)

/EXTRACTION PC

/ROTATION NOROTATE

/SAVE REG (ALL)

/METHOD=CORRELATION.

Sintaxis de EViews 4.1 para la regresión: →File→ Open Workfile→ c:\Mis documentos\CarteradeInversion.wf1

En Workfile c:\Mis documentos\CarteradeInversion.wf1 Se muestran las acciones de la cartera: GMODELO AMTELA1 TELMEXA TELMEXL ELEKTRAST

AMXL COMERCIUBC IMSAUBC VITROA TVAZTECPO TELECOMA1 GBINBURO

Y el rendimiento observado como Rend

110066

Se eligen todas las acciones y se guardan como grupo con el nombre de Cartera

Dentro de Cartera→View →Principal Components

Para obtener la regresión con un periodo rezagado se utilizo la siguiente sintaxis:

ls rend c c1(-1) c2(-1) c3(-1)

Dentro de Equation→ Forecast

110077

Anexo 2 Cuadro 1

Comparativo del VaR obtenido con Riskmetricsk y Análisis Factorial de la cartera de Inversión Riskmetrics Análisis Factorial

Fecha Rend Obsv. VaR 95% Imprecisión VaR 95% VaR 99% Imprecisión 95% Imprecisión 99% 05/01/2005 -0.0111 -0.0167 0.0000 -0.0187 -0.0253 0.0001 0.0002 06/01/2005 0.0113 -0.0168 0.0008 -0.0167 -0.0232 0.0008 0.0012 07/01/2005 -0.0191 -0.0218 0.0000 -0.0136 -0.0201 0.0000 0.0000 10/01/2005 0.0001 -0.0184 0.0003 -0.0179 -0.0245 0.0003 0.0006 11/01/2005 -0.0179 -0.0172 0.0000 -0.0149 -0.0215 0.0000 0.0000 12/01/2005 0.0075 -0.0184 0.0007 -0.0177 -0.0244 0.0006 0.0010 13/01/2005 0.0077 -0.0174 0.0006 -0.0144 -0.0210 0.0005 0.0008 14/01/2005 0.0153 -0.0176 0.0011 -0.0142 -0.0208 0.0009 0.0013 17/01/2005 0.0070 -0.0176 0.0006 -0.0133 -0.0199 0.0004 0.0007 18/01/2005 0.0130 -0.0173 0.0009 -0.0141 -0.0207 0.0007 0.0011 19/01/2005 0.0027 -0.0174 0.0004 -0.0132 -0.0198 0.0003 0.0005 20/01/2005 -0.0123 -0.0173 0.0000 -0.0147 -0.0213 0.0000 0.0001 21/01/2005 -0.0024 -0.0173 0.0002 -0.0169 -0.0235 0.0002 0.0004 24/01/2005 0.0048 -0.0175 0.0005 -0.0156 -0.0222 0.0004 0.0007 25/01/2005 0.0138 -0.0173 0.0010 -0.0142 -0.0208 0.0008 0.0012 26/01/2005 0.0101 -0.0173 0.0007 -0.0133 -0.0199 0.0005 0.0009 27/01/2005 -0.0103 -0.0171 0.0000 -0.0137 -0.0203 0.0000 0.0001 28/01/2005 0.0045 -0.0172 0.0005 -0.0160 -0.0226 0.0004 0.0007 31/01/2005 -0.0031 -0.0171 0.0002 -0.0144 -0.0209 0.0001 0.0003 01/02/2005 0.0095 -0.0170 0.0007 -0.0153 -0.0219 0.0006 0.0010 02/02/2005 0.0003 -0.0170 0.0003 -0.0134 -0.0200 0.0002 0.0004 03/02/2005 0.0073 -0.0173 0.0006 -0.0150 -0.0216 0.0005 0.0008 04/02/2005 -0.0006 -0.0171 0.0003 -0.0138 -0.0203 0.0002 0.0004 07/02/2005 -0.0046 -0.0169 0.0002 -0.0146 -0.0211 0.0001 0.0003 08/02/2005 0.0017 -0.0169 0.0003 -0.0153 -0.0219 0.0003 0.0006 09/02/2005 0.0100 -0.0170 0.0007 -0.0144 -0.0209 0.0006 0.0010 10/02/2005 0.0041 -0.0168 0.0004 -0.0128 -0.0194 0.0003 0.0005 11/02/2005 0.0024 -0.0168 0.0004 -0.0142 -0.0207 0.0003 0.0005 14/02/2005 -0.0077 -0.0170 0.0001 -0.0143 -0.0208 0.0000 0.0002 15/02/2005 0.0055 -0.0168 0.0005 -0.0156 -0.0221 0.0004 0.0008 16/02/2005 -0.0063 -0.0167 0.0001 -0.0140 -0.0205 0.0001 0.0002 17/02/2005 -0.0086 -0.0167 0.0001 -0.0157 -0.0221 0.0000 0.0002 18/02/2005 0.0003 -0.0166 0.0003 -0.0158 -0.0223 0.0003 0.0005 21/02/2005 0.0014 -0.0166 0.0003 -0.0149 -0.0214 0.0003 0.0005 22/02/2005 -0.0128 -0.0181 0.0000 -0.0145 -0.0209 0.0000 0.0001 23/02/2005 -0.0013 -0.0181 0.0003 -0.0164 -0.0228 0.0002 0.0005 24/02/2005 0.0111 -0.0181 0.0009 -0.0145 -0.0209 0.0007 0.0010 25/02/2005 0.0079 -0.0181 0.0007 -0.0130 -0.0195 0.0004 0.0007 28/02/2005 -0.0076 -0.0181 0.0001 -0.0135 -0.0200 0.0000 0.0002 01/03/2005 0.0046 -0.0168 0.0005 -0.0161 -0.0226 0.0004 0.0007 02/03/2005 0.0038 -0.0169 0.0004 -0.0140 -0.0204 0.0003 0.0006 03/03/2005 0.0000 -0.0168 0.0003 -0.0144 -0.0208 0.0002 0.0004 04/03/2005 0.0003 -0.0168 0.0003 -0.0144 -0.0208 0.0002 0.0004 07/03/2005 -0.0014 -0.0169 0.0002 -0.0143 -0.0207 0.0002 0.0004 08/03/2005 -0.0090 -0.0166 0.0001 -0.0147 -0.0211 0.0000 0.0001 09/03/2005 -0.0068 -0.0166 0.0001 -0.0157 -0.0221 0.0001 0.0002 10/03/2005 -0.0118 -0.0165 0.0000 -0.0154 -0.0217 0.0000 0.0001 11/03/2005 0.0070 -0.0167 0.0006 -0.0163 -0.0227 0.0005 0.0009 14/03/2005 -0.0151 -0.0165 0.0000 -0.0139 -0.0203 0.0000 0.0000 15/03/2005 -0.0052 -0.0167 0.0001 -0.0169 -0.0233 0.0001 0.0003

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