Tesis Omar Rodriguez Tzompantzi

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

Estudio de cambio de sabor leptonico en el modelo con el

boson de Higgs mas ligero

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Omar Rodrguez Tzompantzi

asesorado por

Dr. Gilberto Tavares Velasco

Puebla Pue.Agosto de 2011

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

Estudio de cambio de sabor leptonico en el modelo con el

boson de Higgs mas ligero

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Omar Rodrguez Tzompantzi

asesorado por

Dr. Gilberto Tavares Velasco

Puebla Pue.Agosto de 2011

i

Ttulo: Estudio de cambio de sabor leptonico en el modelo con elboson de Higgs mas ligeroEstudiante:Omar Rodrguez Tzompantzi

COMITE

Dr. J. Jesus ToscanoChavez

Presidente

Dr. Alfonso RosadoSanchezSecretario

Dr. Javier MiguelHernandez Lopez

Vocal

Dr.Vocal

VocalDr. Gilberto Tavares

VelascoAsesor

Indice general

Resumen IX

Introduccion XI

1. El Modelo Estandar 11.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La ruptura espontanea de la simetra de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. El Lagrangiano del Modelo Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. El sector de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2. El sector de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3. Identicacion de campos en el sector escalar y de norma . . . . . . . . . . . 61.3.4. El sector fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Mas alla del Modelo Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. El problema de la jerarqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Modelos con un Boson de Higgs ligero 112.1. El Modelo con el Boson de Higgs mas Ligero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. El sector escalar y de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2. El sector fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3. Potencial escalar y rompimiento de la simetra electrodebil . . . . . . . . . 15

2.2. MHML con paridad T (MHMLT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1. Sector fermionico del MHMLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2. Acoplamientos extra de los bosones de norma neutros en el MHMLT . . . . 182.2.3. Violacion del sabor leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Decaimiento con cambio de sabor leptonico en el MHMLT 21

4. Discusion de los resultados y conclusiones 274.1. Matriz de cambio de sabor leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Cotas experimentales para procesos con cambio de sabor leptonico . . . . . . . . . 274.3. Estimacion de la anchura de decaimiento (Z ! ) . . . . . . . . . . . . . . . 28

iii

Indice de guras

3.1. Diagramas de Feynman que contribuyen a nivel de un loop al decaimiento con cambiode sabor leptonico Z ! lilj en el MHMLT. Unicamente consideramos los diagramasinducidos por el foton pesado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1. Diagramas de Feynman adicionales que contribuyen a nivel de un loop al decaimientocon cambio de sabor leptonico Z ! lilj en el MHMLT. . . . . . . . . . . . . . . . 29

v

Indice de tablas

1.1. Familias de los leptones en el ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Familias de los quarks en el ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Interacciones fundamentales en el ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Acoplamiento de un boson de norma neutro pesado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Acoplamientos del boson de norma Z a los fermiones impares ante T. . . . . . . . 19

vii

Resumen

En esta tesis se presenta un estudio con cambio de sabor leptonico en el contexto del modelocon el boson de Higgs mas ligero. En este modelo es posible tener violacion de sabor leptonicomediada por los bosones de norma pesados AH , ZH y WH . Analizamos la transicion Z ! lilj concambio de sabor leptonico en el marco de este modelo, en donde el cambio de sabor leptonico selleva a cabo mediante el foton pesado AH .

ix

Introduccion

En el Modelo Estandar (ME) el cambio de sabor leptonico esta prohibido a cualquier orden deteora de perturbaciones debido a que el neutrino se considera una partcula no masiva. Reciente-mente han surgido evidencias de que el neutrino tiene masa y que existen las oscilaciones de losneutrinos. Esto ha motivado al estudio de procesos con cambio de sabor leptonico como los decai-mientos ! e, ! 3e, Z ! e, etc. Este tipo de decaimientos se predicen en algunas teorascon una fraccion de decaimiento que estara al alcance de la observacion experimental. Entre estasteoras podemos mencionar a los modelos supersimetricos, el modelo con dos dobletes de Higgs,los modelos con neutrinos de Majorana masivos, etc. En este trabajo estudiaremos el decaimientocon cambio de sabor leptonico Z ! lilj en el modelo con el boson de Higgs mas ligero.

Uno de los ingredientes fundamentales del ME es el llamado mecanismo espontaneo de rompi-miento de la simetra, mediante el cual se dota de masa a los campos de norma y a los fermiones.Este mecanismo se implementa mediante la introduccion de un doblete de Higgs complejo. Losgrados de polarizacion de este doblete dan masa a los bosones de norma del ME y ademas danlugar a un boson de Higgs neutro fsico. Los experimentos realizados en el gran colisionador deelectrones y positrones (LEP por sus siglas en ingles) lograron imponer una cota de alrededor de114 GeV para la masa de esta partcula en el 2002. Por otra parte, un ajuste global realizado condatos experimentales sugiere que el boson de Higgs del ME tendra una masa menor a los 200GeV. Sin embargo existe un serio problema en el ME puesto que la masa del boson de Higgs recibecorrecciones radiativas a nivel de un loop inducidas por el quark top, los bosones de norma W y Zy el boson de Higgs mismo. Este tipo de correcciones estan afectadas por divergencias cuadraticas.Si se asume que el ME es valido hasta una cierta escala de energa , las divergencias cuadrati-cas seran del orden de 2. Para tener un boson de Higgs con una masa menor de 200 GeV, serequerira que al sumar la masa desnuda del boson de Higgs y las correcciones a orden de un loopse diera lugar a cancelaciones extraordinarias, lo que se conoce como ajuste no (ne tuning eningles). De otra manera, la masa del boson de Higgs estara en el rango de los TeV. Aunque no haynada erroneo con el ajuste no, esto es algo poco natural y es indeseable en una teora. Existendiversas alternativas para resolver este problema, que se conoce como el problema de la jerarqua.Entre estas propuestas se encuentra la solucion que se obtiene en los modelos supersimetricos, endonde las partculas del ME cuentan con un super compa~nero que obedece estadstica opuesta (losfermiones tienen un compa~nero bosonico y visceversa). Las divergencias cuadraticas debidas losloops mediados por cada partcula del ME se cancelaran con la contribucion de su super com-pa~nero, dando lugar a un boson de Higgs ligero. Otra alternativa para resolver el problema de lajerarqua se ha propuesto recientemente basandose en una vieja idea que propone que el bosonde Higgs es un boson de Goldstone que se genera por el rompimiento de una simetra global auna escala de energa f . Posteriormente, a esta misma escala de energa, este boson de Goldstoneadquiere masa y ocurre un rompimiento de simetra adicional para dar lugar al grupo de normadel ME. El rompimiento de la simetra electrodebil se lleva a cabo de la manera usual. Todo esteproceso se conoce como rompimiento colectivo de la simetra. En este marco teorico, el ME es unateora efectiva valida hasta la escala f . Este tipo de modelos, que se conocen como modelos con unboson de Higgs ligero (little Higgs models en ingles), predicen la existencia de nuevos bosones denorma, nuevos bosones escalares y nuevos fermiones. Estas partculas inducen nuevas correcciones

xi

xii Introduccion

a la masa del boson de Higgs y cancelan las divergencias cuadraticas inducidas por los loops queincluyen partculas del ME. Existen varias alternativas para implementar las ideas basicas de losmodelos con un Higgs ligero que se basan en varios grupos de norma. Una caracterstica genericade este tipo de modelos es la prediccion de nuevos bosones pesados que son la contraparte de losbosones del ME y de un nuevo quark de tipo up que se denomina compa~nero del quark top. Enel sector escalar tambien se predicen nuevas partculas, pero este sector es mas dependiente dela implementacion del rompimiento colectivo de la simetra. Un aspecto muy interesante de losmodelos con un boson de Higgs ligero es que las nuevas partculas tienen una masa del orden delos TeV, por lo que su fenomenologa podra ser estudiada en un futuro cercano en el LHC o en elfuturo colisionador lineal electron-positron.

La version mas economica de los modelos con un boson de Higgs ligero se conoce como el modelocon el boson de Higgs mas ligero, que de aqu en adelante abreviaremos como MHML por sus siglasen ingles. El MHML consiste de un modelo no lineal con un grupo de simetra global SU(5) yun grupo de norma [SU(5) U(1)]2. La simetra global SU(5) es rota a un subgrupo SO(5) vaun valor de expectacion del vaco (VEC) 0 a la escala f TeV, lo que genera 14 bosones deGoldstone. Cuatro de esos bosones de Goldstone son absorbidos por los bosones de norma asociadosal grupo de norma extra SU(2) U(1), (WH ; ZH ; AH), que de esta manera adquieren masa. Elboson de Higgs permanece ligero como un pseudo boson de Goldstone mientras que los bosones deGoldstone restantes dan masa a las bosones de norma del ME y otros pemanecen fsicos y formanun triplete escalar complejo . Este triplete ofrece una oportunidad de introducir interacciones conviolacion de sabor leptonico y generacion de masa para los neutrinos.

El MHML predice las siguientes nuevas partculas:

Tres nuevos bosones de norma pesados, WH , ZH y AH , que son la contraparte de los tresbosones de norma del ME.

Un nuevo quark top T denominado super compa~nero del quark top usual.

4 nuevos bosones escalares con carga electrica simple, doble y neutra.

La masa de estas partculas podra ser del orden de 1 TeV y por lo tanto estaran al alcance de serproducidas en el LHC o en un futuro colisionador lineal electron-positron. Estas partculas puedenmediar la violacion de sabor leptonico a nivel arbol. En esta tesis se estudiara esta posibilidady se calcularan transiciones a nivel de un loop con cambio de sabor leptonico, en concreto nosenfocaremos en el decaimiento Z ! lilj .

Esta tesis esta organizada de la siguiente manera. El primer captulo consta de una descripciongeneral del ME y sus limitaciones como teora fundamental enfatizando el problema de la jerarqua.En el segundo captulo se hace un breve resumen del MHML y de su version con paridad T. Tambiense discute la relevancia de la violacion del sabor leptonico. En el tercer captulo se presenta el calculodel proceso Z ! lilj . Finalmente se presentan las conclusiones y perspectivas del trabajo

Captulo 1

El Modelo Estandar

1.1. Antecedentes

La mecanica cuantica establece como se comportan la partculas elementales y que las fuerzasse transmiten por partculas portadoras. Es decir, existen dos tipos de partculas: las que forman lametera, llamadas fermiones (por el fsico Enrico Fermi) y la que transmiten las fuerzas, llamadasbosones (por el fsico Santyendra Nath Bose). Sin embargo, la mecanica cuantica no nos dice nadasobre que partculas y que fuerzas son las que existen en la naturaleza, por lo que los fsicos seavocaron a inventariarlas. Las unicas fuerzas conocidas eran la fuerza gravitacional y la fuerzaelectromagnetica, pero para poder explicar como los neutrones y los positrones estan unidos entres, fue necesario postular una nueva fuerza llamada fuerza nuclear fuerte. Con el descubrimientode los quarks fue posible establecer una teora coherente de la fuerza nuclear fuerte, que tiene unaextra~na caracterstica llamada \ libertad asintotica" que impide que los quarks puedan existir demanera aislada. Ademas de estas tres fuerzas, existe una cuarta interaccion: la fuerza nuclear debil.Hoy en da contamos con una teora que establece que las fuerzas electromagnetica y nuclear debilson diferentes manifestaciones de una sola fuerza denominada electrodebil.

Todos estos descubrimientos llevaron, en los a~nos 70, a la formulacion de una teora, el MEde la fsica de partculas, que establece que partculas y que fuerzas existen en la naturaleza ycuales son sus propiedades. El ME incorpora lo que se supone es el conjunto total de partculasque forman nuestro universo y todas sus propiedades. A partir de esto y con ayuda de la teoracuantica de campos se podra calcular cas todo lo que desearamos. Los parametros del ME, comoson la masa de la partculas y sus cargas, son datos que se han obtenido experimentalmente. Unade las propiedades que caracterizan a las partculas es su espn. Si las partculas fueran peque~nasesferas, el espn de una partcula se asociara a una rotacion de la partcula alrededor de su eje. Porsupuesto que las partculas no son peque~nas esferas, por lo que nadie puede dar una descripcionexacta de lo que realmente es el espn, como pasa con muchos conceptos de la mecanica cuantica.Lo interesante del espn es que distingue a las partculas que forman la materia (fermiones) de lasque transmiten las fuerzas (bosones). Los fermiones tienen espn \semientero " (1=2 o 3=2), y losbosones espn \entero" (0; 1 o 2). El que el espn sea entero o no marca una importante diferenciaen el comportamiento entre bosones y fermiones. Las ecuaciones de la mecanica cuantica nos dicenque dos fermiones \no pueden existir en el mismo estado", mientras que dos bosones s.

El ME nos dice que los fermiones se descomponen en tres familias, que son una replica de laprimera familia, la cual consta de un electron, un neutrino, y dos quarks de carga electrica 1e=3y 2e=3 (vease los cuadros 1.1 y 1.2). Al electron y al neutrino se les llama genericamente leptones,mientras que los quarks constituyen partculas compuestas que se conocen como hadrones. Losprotones y neutrones no son partculas elementales, son hadrones que estan compuestos por tresquarks. En cuanto a los leptones cargados de la segunda y tercera familias, se les llama \muon"

1

CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR1.2. LA RUPTURA ESPONTANEA DE LA SIMETRIA DE NORMA

y \tau" ('estas partculas tienen propiedades identicas al electron salvo que tienen mayor masa).Realmente toda la materia que conocemos esta formada por las partculas de la primera familia:las partculas de las otras dos familias solo aparecen en procesos que ocurren a altas energas, comoen los aceleradores de partculas.

Lepton Masa (MeV) Tiempo de vida (s) Carga electricaElectron e 0:5110 1 e

Neutrino del electron e < 3 106 0Muon 105:658 2:197 106 e

Neutrino del muon 0 0Tau 1777 (291:0 1:5) 1015 e

Neutrino del tau 0

Tabla 1.1: Familias de los leptones en el ME.

Quark Carga electrica Masa (MeV)Up u 2=3 1:5-4

Down d 1=3 4 8Charmed c 2=3 1:5 103Strange s 1=3 80 130Top t 2=3 175 103

Bottom b 1=3 4:5 103

Tabla 1.2: Familias de los quarks en el ME.

El ME nos dice tambien que existen tres fuerzas fundamentales en la naturaleza (vease cuadro1.3 ): la fuerza electrodebil, que se transmite por el foton (boson de norma de la fuerza electro-magnetica) y los bosones debiles W+; W y Z; la fuerza nuclear fuerte, que se transmite por 8tipos de partculas llamadas gluones; y la fuerza gravitoria que no encaja en el ME.

Fuerza Mediador (Boson) Masa(GeV) EspnElectromagnetica Foton 0 1Gravitacional Graviton 0 2Nuclear debil W+; W y Z 80.280, 80.280 y 91.188 1Nuclear fuerte Gluones 0 1

Tabla 1.3: Interacciones fundamentales en el ME.

1.2. La ruptura espontanea de la simetra de norma

La simetra de norma, que determina como son las interacciones en el ME, prohibe terminos demasa para los bosones de norma. Tampoco son posibles los terminos de masa para los fermiones.

La ruptura espontanea de la simetra aparece cuando el vaco del sistema (estado de mnimaenerga) esta degenerado. El vaco fsico es solo uno entre los posibles estados de mnima energaconectados por las simetras del lagrangiano. Cuando la naturaleza lo elige se rompe la simetra delos estados fsicos, aunque se preserva la del lagrangiano.

El resultado de la ruptura espontanea de la simetra depende del tipo de simetra. Si el lagran-giano es invariante bajo un grupo continuo de simetra G, pero el vaco es invariante solo bajo unsubgrupo H G, entonces aparecen tantos estados sin masa y espn 0 (bosones de Goldstone)como generadores de G que no lo son de H, es decir, el numero de simetras que se han roto(teorema de Goldstone). Si las simetras del lagrangiano son locales (de norma) estos bosones de

2

CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR1.3. EL LAGRANGIANO DEL MODELO ESTANDAR

Goldstone son absorbidos por los bosones de norma asociados a las simetras rotas dotandolos demasa.

Ilustremos la ruptura espontanea de la simetra con un sencillo ejemplo: un campo escalarcomplejo (x) con lagrangiano

L = @y@ V (); V () = 2y+ (y)2: (1.1)Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase ante el grupo U(1)

(x) ! exp fig(x): (1.2)Para que el potencial V (x) este acotado interiormente (existe un estado de mnima energa) sedebe tener que el parametro > 0. Respecto a 2, existen dos posibilidades: si 2 > 0, el potencialtiene solo un mnimo trivial en (x) = 0. Se trata entonces de un campo escalar de masa yacoplamiento . Si 2 < 0, el mnimo correspondiente a la conguracion del campo satisface

j h0 j (x) j 0i jj 0(x) j=r22

vp2> 0; V (0) =

4v4: (1.3)

Debido a la invarianza de fase del lagrangiano, existe por lo tanto un numero innito de estadosde mnima energa, todos ellos conectados por las transformaciones de fase

0(x) =vp2exp fig : (1.4)

Eligiendo uno de estos estados como el estado fundamental del sistema (el vaco fsico), por ejemplo = 0, la simetra se rompe espontaneamente. Si parametrizamos las excitaciones del campo sobreel vaco fsico como

(x) =1p2[v + '1(x) + i'2(x)] (1.5)

donde '1(x) y '2(x) son campos reales, el potencial toma la forma

V () = V (0) 2'21 + v'1('21 + '22) +

2('21 + '

22)2 (1.6)

Vemos que '1 tiene masa m'1 =p22, mientras que '2 no tiene masa. La aparicion de esta

partcula sin masa (boson de Goldstone) es facil de entender: '2 describe las excitaciones a lolargo de una direccion plana del potencial, es decir sobre estados que tienen la misma energa queel estado fundamental. Estas excitaciones no consumen energa y corresponden por lo tanto a unestado sin masa. En este caso hay un solo boson de Goldstone porque al elegir un vaco hemos rotola unica simetra (bajo transformaciones de fase) del vaco.

1.3. El Lagrangiano del Modelo Estandar

El lagrangiano LME del ME se encuentra formado por tres partes: el lagrangiano de Yang-Mills,el lagrangiano del sector de Higgs y el lagrangiano fermionico:

LME = LYM + LH + LF : (1.7)Cada termino es invariante de norma individualmente, y su forma explcita se se especicara acontinuacion.

3


1.3.1. El sector de Higgs

El sector de Higgs consiste de un campo escalar complejo , que es un doblete bajo SU(2)L,con hipercarga debil Yw = 1

(x) =

+(x)0(x)

: (1.8)

Este doblete esta acoplado a los campos de norma va la derivada covariante

D = @ ig2IawW aw + ig11

2YwB: (1.9)

Y tiene auto-interacciones, resultando con ello el lagrangiano

LH = (Dy)(D) V (): (1.10)El potencial de Higgs es

V () =

4(y)2 2y: (1.11)

el cual esta construido de tal manera que da origen a la ruptura espontanea de la simetra. Estosignica que los parametros y se eligen adecuadamente para que el potencial V () tenga unmnimo para un campo de Higgs no nulo. Es decir, el valor de expectacion del vaco (VEV) hidel campo de Higgs no es cero.

La teora se construira de tal manera que el estado fundamental de los campos escalares satisfagala relacion

jh0 jj 0ij2 = v2

6= 0 (1.12)

donde v es el mnimo del potencial de Higgs, es decir

v2 =42

(1.13)

a bajos ordenes.

En teora de perturbaciones tenemos que hacer una expansion alrededor del estado fundamental.La fase es elegida de tal manera que la invariancia de norma del campo electromagnetico U(1)emsea preservada y el campo de Higgs se escribira como

(x) =

+(x)

1p2(0 + h(x) + i(x))

(1.14)

En donde las componentes h,, + toman un VEV cero, mientras que los campos + y son grados de libertad no fsicos, los cuales pueden ser eliminados mediante una transformacion denorma \conveniente". La norma en que dichos campos estan ausentes es la llamada norma unitaria.El campo h es el campo de Higgs fsico.

Introduciendo (1.14) y (1.11) en LH obtenemos

LH = 12@h@

+g222W W

+(0 + h=p2)2 (1.15)

+1

4(g21 + g

22)ZZ

(0 + h=p2)2 V (h):

4


1.3.2. El sector de Yang-Mills

El lagrangiano de Yang-Mills es tambien conocido como el lagrangiano de norma. Los campos denorma son cuatro campos vectoriales que se transforman de acuerdo con la representacion adjuntade norma de SU(2)LU(1)Y . El isotriplete de los campos de normaW a , (a = 1, 2,3) esta asociadocon los generadores del grupo de isoespn SU(2)L, y el isosinglete B con la hipercarga debil Ywdel grupo U(1)Y ; cuya algebra de Lie se expresa como

Iaw; Ibw

= iabcIcw (1.16)

[Iaw; Yw] = 0: (1.17)

donde abc es la constante de estructura totalmente antisimetrca del grupo SU(2)L. El lagrangianode los campos de norma es

LYM = 14BB

14Tr(WW

) (1.18)

= 14BB

14W iW

i :

donde los tensores de campo asociados a los grupos SU(2)L U(1)Y son

W = @W @W + ig2 [W;W ] (1.19)

B = @B @B (1.20)donde W = T

aW a , siendo Ta los generadores del grupo, los cuales seran normalizados como

Tr(T aT b) = 12ab. Al remover los generadores de la primera ecuacion, se obtiene el tensor de campo

de Yang-Mills en su forma usual

W a = @Wa @W a + g2abcW aW b : (1.21)

Bajo una transformacion de SU(2), los campos de norma deben transformarse como sigue

B ! B' = B (1.22)

W !W 0 = UWUy: (1.23)Lo anterior nos permite reconstruir el sector de norma en la forma

LYM = 14BB

3i=11

4W iW

i : (1.24)

Ahora introduciremos los siguientes tensores

W =1p2(W 1 iW 2): (1.25)

Es posible demostrar que

WW+ =

1

2(W 1W

1 +W 2W2): (1.26)

Entonces el lagrangiano del sector de norma toma la forma

LYM = 14BB

14W 3W

3 14WW

+ : (1.27)

5


Los campos eigenestados de masa son W+, W, Zy A. Debemos escribir el lagrangiano delsector de norma en terminos de estos campos. Para ello introducimos

ZA

=

cos W sin Wsin W cos W

W 3B

(1.28)

entonces la transformacion inversa esW 3B

=

cos W sin W sin W cos W

ZA

; (1.29)

con cos W =g2pg22+g

21

y sin W =g2pg22+g

21

. Aqu W se conoce como angulo de Weinberg. Estas

deniciones nos permiten escribir

B = A cos W Z sin W : (1.30)

W 3 = A cos W +B sin W ig2(W W+ W W+ ): (1.31)con A = @A @Ay Z = @Z @Z.

1.3.3. Identicacion de campos en el sector escalar y de norma

Ahora podemos reordenar los terminos del lagrangiano bosonico, Lboson = LH + LYM , pararevelar el contenido fsico. Podemos escribir Lboson = L1 + L2, donde

L1 = 12@h@

hm2h2 14ZZ

+1

420(g

21 + g

22)ZZ

14AA

(1.32)

12

(DW

+ )> (DW+ )>

(DW+ DW+)+ 1

2g22

20W

W

+:

Aqu hemos denido D = @ + ig1 sin WA.

Ahora podemos identicar en el lagrangiano L1 los siguientes campos: un campo escalar masivoneutro, h(x), un boson vectorial masivo neutro, Z(x), y un par de bosones vectoriales masivoscargados W+ y W

. Estos ultimos campos interaccionan con el campo electromagnetico A, que

carece de masa puesto que corresponde al foton. Por otra parte, el lagrangiano L2, que es la sumade los terminos de interaccion, se puede escribir como

L2 = (14h2 +

1p2h0)(g

22W

W

+ +1

2(g21 + g

22)ZZ

) +m2h3p20

m2h4

820(1.33)

+g224(W W

+ W W+ )(WW+ WW+)

+ig222(A sin W + Z cos W )(W

W+ WW+) g22 cos2 W (ZZW W+ ZZW W+)

+ig222

cos W (ZW ZW )(DW+ DW+)

+ig222

cos W (ZW+ ZW+ )(DW+)> (DW+)>

6


1.3.4. El sector fermionico

En esta parte construiremos un lagrangiano para los campos leptonicos que sea invariante antetransformaciones de SU(2) y U(1). Los leptones izquierdos de cada generacion estan agrupados endobletes de SU(2)L:

L =

veLeL

(1.34)

mientras que los leptones derechos se transforman como singletes de SU(2) de la siguiente manera

eR ! e0R = eR (1.35)El lagrangiano que dene la dinamica del electron y del neutrino del electron esta dado de la

siguiente forma

Ledin = Ly~iDL+ eyR~iDeR (1.36)donde la derivada covariante para los leptones izquierdos toma la forma

DL = (@ ig2W + ig0

2B)L (1.37)

donde g0 es la constante de acoplamiento que debe ser elegida de manera que sea consistente conel hecho de que el neutrino es neutro y que el electron tienen carga electrica e. Esto implica queg0 cos W = g2 sin W = e:

Por otra parte, la derivada cavariante de los leptones derechos debe tomar la forma

DeR = (@ +ig00

2B)eR (1.38)

Ya que el Electron tiene carga e, debemos tomar g00 = 2e= cos W = 2g1. Finalmente debemosdotar de masa a los leptones cargados. Las masas de los fermiones son generadas a traves de losacoplamientos de Yukawa va la ruptura espontanea de la simetra. El lagrangiano que permitegenerar masa para el electron, mientras que deja al neutrino sin masa, esta dado por

Lemasa = ceh(Ly)eR + e

yR(

yL)i

(1.39)

= ceh(yLA + e

yLB)eR + e

yR(AL +

yBeL)

i:

donde es el doblete de Higgs y ce es una constante de acoplamiento sin dimensiones.Despues del rompimiento espontaneo de la simetra se tiene

Lemasa = ce0(eyLeR + eyReL)cehp2(eyLeR + e

yReL) (1.40)

Podemos identicar a ce0 con la masa del electron me. La introduccion de masa, siguiendo elprincipio de invarianza de norma no ha dejado otra opcion que introducir una interaccion entre elelectron y el campo de Higgs. La constante de acoplamiento del electron al campo de Higgs es

cep2=

mep20

= 2:01 106:

El lagrangiano completo para el electron y su neutrino viene dado por

Le = Ledin + Lemasa (1.41)

7

CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR1.4. MAS ALLA DEL MODELO ESTANDAR

Los lagrangianos L y L para los leptones muon y tau, junto con sus neutrinos, dieren de laexpresion anterior unicamente en sus parametros de masa y por lo tanto en sus acoplamientos alcampo de Higgs. Estos acoplamientos estan dados por

cp2=

mp20

= 4:15 104; cp2=

mp20

= 6:98 103

Es importante mencionar que la constante de acoplamiento g2, correspondiente al grupo SU(2)que determina los acoplamientos de los leptones a los campos W y Z, debe ser la misma paratodos los leptones. Esta caracteristica se conoce como universalidad leptonica.

Finalmente, podemos escribir el lagrangiano completo para los leptones. Esta es simplementela suma de las contribuciones leptonicas, es decir

LF = Le + L + L (1.42)Cabe se~nalar que en este trabajo hemos excluido la discusion concerniente a el lagrangiano de

los quarks debido a que no es de relevante para este trabajo. Para cubrir este aspecto se recomiendarevisar [1, 12].

1.4. Mas alla del Modelo Estandar

Anteriormente mencionamos que el ME goza de la aceptacion de la gran mayora de los fsicos.Sin embargo, dentro de este mismo ambito, casi todos estan convencidos que esta teora es insa-tisfactoria y que no puede ser considerada como una teora nal. Se cree entonces que se debe irmas alla del marco del ME para poder comprender mas a fondo las propiedades de las partculaselementales. La razon principal de esta insatisfaccion es que el ME deja en el aire una serie de cues-tiones fundamentales como: >por que hay tres familias de leptones?, >a que se debe la jerarqua enlas masas de los fermiones?, >como se origina la violacion CP?, >como se incorpora la gravedad enel ME?. Por ende, el ME es una teora incompleta porque todava no puede explicar la naturalezadel mundo real en forma completa. Aparte de que el ME no incluye la gravedad ni a los principiosde la teora general de la relatividad, los campos debil y electromagnetico estan unicados, como lomostramos en la teora electrodebil, pero el campo fuerte no esta unicado con ninguno de estos.

Dado este panorama, se cree que existe fsica mas alla del ME. Actualmente hay varias pro-puestas teoricas para extender y perfeccionar al ME. Dentro de una lnea de investigacion, seencuentran varios modelos propuestos por el paradigma actuante de la fsica: las teoras de tecni-color, la supersimetra, la teora de supercuerdas o dimensiones extra, y las teoras con un bosonde Higgs ligero.

1.5. El problema de la jerarqua

Si bien no hay razon experimental para dudar de la integridad del ME, hay una razon masabstracta para hacerlo. En el ME, existe una escala dada por las masas de los bosones de normaelectrodebiles. Esta escala se llama la escala debil y es aproximadamente mW t 100 GeV. Estaescala se determina cuando se minimiza la energa potencial del campo escalar Higgs. Esquemati-camente esto se hace minimizando un potencial de la forma

V = m2HH2 +H4; (1.43)que tiene un mnimo en H = mH=

p2, que por razones de ndole experimental debe estar cerca

de la escala debil mW . Esto obliga a que mH t 100 GeV. El problema de la jerarqua puede sersimplemente enunciado como el hecho de que este escenario requiere un ajuste no de los parametrosde la teora. Por ejemplo, las interacciones generan correcciones a los parametros de masa delpotencial (llamadas correcciones radiativas). Para la masa del boson de Higgs, las correcciones

8

CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR1.5. EL PROBLEMA DE LA JERARQUIA

radiativas tienden a la escala mas alta hasta donde el ME es valido. En el peor de los casos, laescala mas alta hasta donde el ME podra ser valido como teora consistente es la escala de PlankmP t 1019 GeV, donde se espera que los efectos de la gravitacion cuantica se hagan mas fuertes (loque requiere de una teora cuantica de la gravedad). As pues, la principal preocupacion sera porque existe esta jerarqua de 17 ordenes de magnitud entre mW y mP .

Esquematicamente, lo que ocurre es que el parametro de masa en el potencial de Higgs tienela siguiente forma

m2H = m20 +m

2rad (1.44)

donde m20 es el parametro de masa a nivel arbol (masa desnuda) y m2rad es la correccion radiativa

inducida por la interacciones. Si el ME es completo hasta la escala de Plank, se espera que m2rad tm2P . Por lo tanto, para obtener el resultado experimental m

2H t m2W se requiere que m20 +m2P .

m2W . Esto signica que no solo m0 debe tener un valor del orden de la escala de Plank, sino quesu valor tiene que ser extremadamente cercano a esta, como se puede observar dividiendo por m2Pambos lados de la ecuacion anterior:

m2Hm2P

=m20m2P

+m2radm2P

tm20m2P

+ 1 (1.45)

El lado izquierdo de esta expresion es del orden de (100=1019)2 = 1034, por lo que se debe tenerque

m20m2P

= 1 + 1034. Por lo tanto, los dos terminos del lado izquierdo tienen que cancelarse conuna precision excepcional. Si variamos solo m20, es necesario tener un parametro que ajuste conprecision los 30 primeros dgitos. Es importante se~nalar que, en principio, no hay nada erroneocon este ajuste en terminos de la consistencia de la teora. No obstante, el hecho de que exista lanecesidad de hacer un ajuste tan grande sugiere que una teora que no requiera de tal ajuste sepuede considerar mas mas natural y, por ende, mas atractiva.

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Captulo 2

Modelos con un Boson de Higgsligero

Una de las mayores motivaciones para la fsica mas alla del ME es resolver el problema de lajerarqua y el ajuste no entre la escala electrodebil y la escala de Plank. Recientemente se hahecho una formulacion para la fsica del rompimiento de la simetra electrodebil, denominada elmodelo con el boson de Higgs mas ligero [5] (que de aqu en adelante denominaremos como MHL).Para consultar una revision reciente sobre el tema ver [11]. Las principales ideas de este modelo seresumen en los siguientes puntos:

El campo Higgs es uno de los bosones de Goldstone asociados con el rompimiento espontaneode una simetra global a una escala de energa s 4f ;

El campo de Higgs adquiere una masa y se convierte en pseudo-boson de Goldstone va laruptura de la simetra a la escala electrodebil;

El boson de Higgs permanece ligero, siendo protegido por una simetra global aproximada ysu masa esta libre de divergencias cuadraticas a un loop a la escala de corte s.

Todos los modelos con un boson de Higgs ligero contienen nuevas partculas con masa alrededorde la escala de 1 TeV. Las interacciones de estas partculas pueden ser descritas mediante teora deperturbaciones. La masa escalar en una teora cuantica de campos generica recibira correccionesradiativas cuadraticamente divergentes del orden de la escala de corte. El MHL resuelve esteproblema mediante la eliminacion de las contribuciones de orden mas bajo a traves de la presenciade una simetra global rota parcialmente. La transformacion no lineal del campo de Higgs bajoesta simetra global prohibe la existencia de terminos de masa para el boson de Higgs de la formam2hhy.

2.1. El Modelo con el Boson de Higgs mas Ligero

El modelo con el boson de Higgs mas ligero (MHML), propuesto por Arkani-Hamed, Cohen,Katz y Nelson en [5, 6], es una de las implementaciones mas economicas y atractivas de los MHL.La mayora de los estudios fenomenologicos hasta la fecha se han realizado en el contexto de estemodelo o alguna de sus versiones. El lagrangiano efectivo no lineal invariante bajo el grupo denorma local [SU(2) U(1)]2 para este modelo puede ser escrito como

Lefec = LG + LF + L + LY VCW (); (2.1)

11

CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO

donde LG es el lagrangiano de norma, LF es el lagrangiano cinetico del sector fermionico, L esel lagrangiano del modelo no lineal [12], LY es el lagrangiano de los acoplamientos de Yukawa,y VCW () es el potencial de Coleman-Weinberg [12], que se genera radiativamente a partir de lasinteracciones derivadas de L y LY .

2.1.1. El sector escalar y de norma

El MHML incorpora el sector electrodebil del ME en un modelo sigma no lineal, considerandouna teora con una simetra global SU(5) rota espontaneamente al subgrupo SO(5) va un VEVdel orden de la escala f 1 TeV. Es conveniente parametrizar el VEV por la matriz de dimensionde 5 5 siguiente:

0 =

0@ 0 0 1220 1 0122 0 0

1A (2.2)La dnamica de la teora a bajas energas puede ser completamente descrita en terminos de

los grados de libertad de los bosones de Goldstone, que no tienen masa. Como es usual, hay unboson de Goldstone para cada generador roto Xa. En el rompimiento SU(5) ! SO(5) se tienen24-10=14 generadores rotos, y por lo tanto hay 14 campos asociados con los bosones de Goldstone,que denotaremos por a(x). Las interacciones de los bosones de Goldstone a escalas de energa pordebajo de 4f son descritas por un modelo sigma no lineal, cuyo lagrangiano contiene todoslos posibles invariantes de Lorentz. Los campos escalares estan parametrizados por

= ei=f0eiT =f = e2i=f0; (2.3)

que se transforma bajo el grupo de norma como

! 0 = UUT ; (2.4)Aqu hemos denido la matriz pionica de la siguiente manera

(x) =14Xa=1

a(x)Xa: (2.5)

y mediante el empleo de la igualdad Xa0 = 0XaT , que obedecen los generadores rotos, la

relacion y = 1 reduce en gran medida el numero de operadores independientes que se puedenescribir a cada orden en la expansion del modelo sigma no lineal.

El campo de Higgs del ME es identicado con un subconjunto de los bosones de Goldstonede la teora. Para describir las interacciones de norma del boson de Higgs, la simetra global esrota explicitamente por el grupo de norma [SU(2) U(1)]2, que es un subgrupo de SU(5). Losgeneradores normalizados tienen la forma

Qa1 =

0@ a=2 0 00 0 00 0 0

1A ; Y1 = diag(3; 3;2;2;2)=10; (2.6)Qa2 =

0@ 0 0 00 0 00 0 a=2

1A ; Y2 = diag(2; 2; 2;3;3)=10; (2.7)El lagrangiano de la teora de norma es obtenido del modelo sigma no lineal por el siguiente

remplazo

@ ! D = @ i2X

j=1

gjW

aj(Q

aj+ Q

aTj ) + g

0jBj(Yj+ Yj)

: (2.8)

12


Aqu, Bj y Waj son los campos de norma de Uj(1) y SUj(2) respectivamente, mientras que

g0j y gj son las correspondientes constantes de acoplamiento. Los terminos cineticos del campo relevantes son de orden cuadratico en f y por lo tanto el lagrangiano que domina la dnamica, abajas energas, tiene la forma

L = f2

8Tr(D)(D)

y: (2.9)

En esta expresion, la normalizacion ha sido escogida para garantizar que los campos a tenganterminos cineticos canonicamente normalizados (los generadores normalizados seran Tr(XaXb) =ab). De los 14 bosones de Goldstone que se generan del rompimiento de la simetria global, 4seran absorbidos por los bosones de norma asociados al nuevo grupo de norma SU(2) U(1),mientras que los 10 bosones de Goldstone restantes seran acomodados en un triplete complejo y undoblete complejo de SU(2). El potencial de Coleman-Weinberg dotara de masa a los componentesdel triplete escalar, de manera radiativa, y generara un VEV v para el doblete escalar, que seasocia al doblete del ME. En otras palabras, la ruptura a nivel arbol de las simetra global porlas interacciones de norma dara lugar a la adquisicion de terminos de masa para los bosones deGoldstone a traves de efectos cuanticos.

El rompimiento de la simetra de norma en el MHML ocurre en dos etapas: primero, el valorde expectacion del vaco de 0 induce el rompimiento del grupo de norma [SU(2) U(1)]2 a susubgrupo diagonal, que es identicado con el grupo de norma electrodebil del ME SUL(2)UY (1);posteriormente, el rompimiento espontaneo de la simetra electrodebil ocurrira como es usual a laescala de Fermi: SUL(2) UY (1) ! Uem(1) a traves del VEV v = 246 GeV. Consideremos laprimera atapa del rompimiento de la simetra [SU(2) U(1)]2 ! SUL(2) UY (1). Los acopla-mientos de norma del subgrupo diagonal vienen dados por

g =g1g2pg21 + g

22

; g0 =g01g

02p

g021 + g022

: (2.10)

Estos son iguales a los acoplamientos en el ME. Esta identicacion deja dos parametros adimen-sionales libres en este sector de la teora. Es conveniente utilizar los dos angulos de mezcla, y 0,denidos por

tan =g1g2; tan 0 =

g01g02: (2.11)

La combinaciones lineales de los campos de norma W aj y Bj , que adquieren masa a la escala de losTeV, estan dadas por

W aH = cos W a1 + sin W a2 ; BH = cos 0B1 + sin 0B2 (2.12)y sus masas son

m(WH) =g

sin 2 f; M(BH) =

g0p2 sin 2 0

f: (2.13)

Por otra parte, las combinaciones lineales ortogonales

W aL = sin Wa1 + cos W

a2 ; BH = sin

0B1 + cos 0B2; (2.14)

permanecen sin masa en esta etapa del rompimiento espontaneo de la simetra.Como ya se se~nalo anteriomente, los 14 bosones de Goldstone del rompimiento SU(5) ! SO(5)

se descomponen en las representaciones del grupo de norma electrodebil de la siguiente manera:

10 30 21=2 31; (2.15)

13


donde los subindices indican la hipercarga. Denotemos los campos de estas cuatro representacionespor , !, h y , respectivamente. El campo h tiene los numeros cuanticos adecuados para seridenticado con el Higgs del ME. Explicitamente, la matriz pionica en terminos de estos campostiene la forma

=

0BBBBBBB@

!02 p20 !+=p2 h+=

p2 ++ i+p

2

!=p2 !02 p20 h0=p2 i+p

2

i0+0Pp2

h=p2 h0=

p2

p4=5 h+=

p2 h0=

p2

ip2

h=p2 !02 p20 !=

p2

ip2

i0+0Pp2

h0=p2 !+=p2 !02 p20

1CCCCCCCA; (2.16)

donde el superndice indica la carga electrica (las normalizaciones se eligen de modo que todoslos campos son canonicamente normalizados). Los campos y ! son absorbidos por los bosonesde norma pesados BH y W

aH , respectivamente, mientras que h y permanecen sin masa en esta

etapa.En cuanto al lagrangiano que describe la dinamica de los campos de norma, este esta dado por

LG = 14

2Xj=1

(Wja Waj +B

ja B

aj): (2.17)

La presencia de acoplamientos de norma y Yukawa que rompen la simetria global SO(5) indu-cira radiativamente un potencial de tipo Coleman-Weinberg para los pseudo-bosones de Goldstone.En partcular este potencial dara al triplete complejo una masa del orden f , mientras que el dobletecomplejo desarrollara un VEV,v, el cual inducira el rompimiento de la simetra electrodebil comoya se describio. En esta etapa, los bosones de norma pesados adquieren terminos adicionales demasa.

2.1.2. El sector fermionico

Los fermiones del ME adquieren masa a traves del mecanismo de Higgs va el lagrangiano deYukawa. Sin embargo, el quark top introduce una correccion cuadraticamente divergente a la masadel boson de Higgs del orden de f2, estropeando el caracter natural de un boson de Higgs ligero.Este problema se resuelve mediante la introduccion de un nuevo conjunto de fermiones pesadoscuyo acoplamiento con el campo de Higgs es tal que anula la divergencia cuadratica debida al quarktop. Los fermiones nuevos vienen como un par de fermiones con acomplamientos vectoriales et yet0c. El acoplamiento del top quark del ME a los pseudo-bosones de Goldstone y al par de vectorespesados en el MHML esta dado por

LY = 12fyLiijkmnjmknu3R 2fUyLUR + h:c (2.18)

donde

i =

2q3LUL

(2.19)

es el triplete real y jm denota el bloque superior derecho 3 2 del campo sigma (los ndicesi; j; k corren entre 1 y 3, y m;n entre 4 y 5). El espectro y las interacciones del top quark y sucompa~nero pueden ser obtenidos por expansion del campo en el lagrangiano anterior. Ignorandolos efectos del rompimiento espontaneo de la simetra electrodebil, los eigenestados de masa estandados por

tL = uL; tR =2u3R 1URp

21 + 22

;

14


TL = UL; TR =1u3R + 2URp

21 + 22

; (2.20)

donde t permanece sin masa en esta etapa y

mT =q21 +

22f: (2.21)

Los acoplamientos entre estos estados y el boson de Higgs tienen la forma

1(p2qyL~h

1

fhyhUyL)u3R+H:c: = tq

yL~htR+T q

yL~hTR 1p

2f(hyh)T yL(TTR+ttR)+H:c: (2.22)

donde ~h = i2h y denimos

t =

p221p21 +

22

; T =

p221p

21 + 22

: (2.23)

El primer termino de la segunda lnea es el acoplamiento de Yukawa usual del ME; despues delrompimiento espontaneo de la simetra electrodebil, el quark t adquiere masa,mt tv=f . Tambiense generan correcciones del orden v=f a (2.20) y (2.21).

Las interacciones entre los bosones de norma y los fermiones toman la siguiente forma

LF =Xi

iD i: (2.24)

donde i denota el sabor y la quiralidad, mientras que la derivada covariante se puede escribr como

D = @ i2X

j=1

(gjWjg0jBj); (2.25)

donde Wj =Waj Q

a y Bj = BjYj .

2.1.3. Potencial escalar y rompimiento de la simetra electrodebil

A nivel arbol, el campo de Higgs h y el triplete escalar no tienen interacciones. Sin embargo,debido a la ruptura explcita de la simetra global SU(5) por las interacciones de norma y deYukawa, se induce un potencial de Coleman-Weinberg (VCW ) de manera radiativa, tanto para hcomo .

Los principales terminos del potencial VCW pueden ser parametrizados como

V = 2f2Tr(y) + ihhf(hyhT hhy) 2hhy + H4(hhy)2; (2.26)

donde los coecientes 2 , hh y h4 son funciones de los parametros fundamentales del modelo.Ademas el parametro de masa del boson de Higgs 2 debe ser tratado como un parametro libredel orden de f2=162. Para 2 > 0, el potencial escalar genera el rompimiento de la simetraelectrodebil, resultando en los siguientes valores de expectacion del vaco para h y :

h0= v=

p2 y

i0= v0 (2.27)

con

v2 =2

h4 2hh=2; v0 =

hh22

v2

f: (2.28)

15

CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO2.2. MHML CON PARIDAD T (MHMLT)

Los eigenestados de masa de los campos de Higgs h y pueden ser escritos en la siguientemanera

h0 = (c0H s00 + v)=p2 + i(cPG

0 sPP )=p2; (2.29)

0 = (sPG0 + cP

0)=p2 i(s0H + c00 +

p2v0)=

p2; (2.30)

h+ = c+G+ s++; (2.31)

+ = (s+G+ + c+

+)=i; (2.32)

++ = ++=i: (2.33)

donde hemos introducido la siguiente notacion para los eigenestados de masa: H y 0 son escalaresneutros, P es un pseudo escalar neutro, + y ++ son los escalares cargados y doblementecargados, respectivamente. En cuanto a G+y G0, estos son los bosones de Goldstone que seranabsorbidos por los bosones ligeros W y Z. Si diagonalizamos los terminos de masa del escalarneutro obtenemos los angulos de mezcla escalares s0 y c0 a primer orden en v=f :

s0 ' 2p2v0

v; c0 ' 1 4v

02

v2: (2.34)

A este orden, todos los estados del triplete son degenerados en masa. Las masas de y H son

m2 ' 2f2 =2m2Hf

2

v2(1 16v02f2v4 ); (2.35)

m2H ' 2(h4 2hh=2)v2 = 22: (2.36)Para tener un valor denido positivo de m2 se requiere que

v02

v2

Tesis Omar Rodriguez Tzompantzi

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