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7/23/2019 texto mate 2012.pdf

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EDICIN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACINPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIN AO 2012

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Natacha Astromujoff

Eleamar Barrios

Marcelo Casis

Paula Olivares

Natacha Astromujoff

Eleamar Barrios

Marcelo Casis

Paula Olivares


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TEXTO DEL ESTUDIANTE

Autores:

Natacha AstromujoffLicenciada en Ciencias con mencin en Matemtica, Universidad de Chile

Eleamar Barrios DurnProfesor de Estado en Educacin Matemtica y Computacin, Universidad de Santiago de Chile

Licenciado en Educacin Matemtica y Computacin, Universidad de Santiago de Chile

Marcelo Casis RaposoProfesor de Educacin General Bsica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin

Magister (c) en Educacin, Universidad de Santiago de Chile

Paula Olivares MuozProfesora de Educacin General Bsica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin

Licenciada en Educacin, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin


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La presentacin y disposicin de la obra, son propiedad del editor. Reservados todos los derechos para todos los pases. Ninguna partede esta publicacin puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna orma, ni por ningn medio, sea este electrnico,otocopia o cualquier otro, sin la previa autorizacin escrita por parte de los titulares de los derechos.

Es una marca registrada de MN Editorial Ltda.

MN Editorial Ltda.Avda. Eliodoro Yez 2416, Providencia, Santiago, Chile

Telono: 233 5101Fax: 234 4869

E-mail: [email protected]

Direccin editorial: Gloria Pez HerreraEdicin: Daniel Cataln Navarrete

Asistencia editorial: Deysma Coll HerreraDiseo: Equipo editorial

Diagramacin: Marcela Ojeda Ampuero,Williams Glvez Baettig y

Francisca Urza Provoste Ilustracin: Margarita Valds Ruiz Correccin de estilo: Norma Guerra Gonzlez

Archivos grfcos: MN Editorial Ltda.

N de registro: 198.288ISBN: 978-956-294-291-1

Impreso en Chile por

Se termin de imprimir esta x Edicin de xxxxxx ejemplares en el mes de xxxxx de 20xx.

Matemtica 6 BsicoTexto del Estudiante

AutoresNatacha Astromujo

Eleamar Barrios Durn

Marcelo Casis RaposoPaula Olivares Muoz


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El mundo actual te enrenta diariamente a si-

tuaciones de diversa ndole en las que, muchas veces,

debes resolver problemas numricos. Repartir equitativa-

mente un paquete de galletas con tus hermanos y hermanas,

revisar el vuelto tras una compra, calcular tus promedios de notas,

en fn, desaos que normalmente enrentas echando mano a tu intuicin

y a los conocimientos matemticos elementales que ya se han instalado en tu ra-

zonamiento. Sin embargo, estas herramientas no siempre sern sufcientes; por el

contrario, puede ocurrir que rente a problemas ms complejos, en vez de ayudar,

la intuicin te lleve por un camino enredado y, fnalmente, errneo.

A medida que creces, tu realidad se ampla y te pone rente a situaciones cada

vez ms complejas que, a su vez, debes resolver con creciente autonoma. El texto

que ahora empiezas a descubrir es un instrumento til en ese camino, pues te

proporcionar nuevas y valiosas herramientas para conocer, analizar e interpretar

el mundo del que ormas parte.

Te invitamos a trabajar con l, aprovechando todos los recursos que te orece

para ampliar tu conocimiento matemtico y usarlo para arontar los muchos

desaos que se te presentarn en los tiempos por los que transitas.

Bienvenida

3Bienvenida


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4 Estructura didctica

Estructura didctica

Cuadro de denicin de loscontenidos undamentales.

Ejercicios individuales paraque apliques lo que acabas deaprender en orma individual.

Ejercicios grupales de anlisis

y refexin o de carcterldico para que resuelvascon uno o ms compaeros ycompaeras.

Problemas que planteansituaciones matemticascontextualizadas en dierentestemas y que puedes resolveren orma individual o grupal.

Ejemplo explicativo quecontiene una situacin

problemtica, que esresuelta paso a paso a modo

de ejemplicacin.

El Texto del Estudiante de 6 Bsico de Matemtica contiene 6 unidades didcticas. El cuerpo de cada unidad

est conormado por pginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualizalos objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen pginas que contienenactividades introductorias y como cierre se plantea el uso de recursos tecnolgicos, un resumen de la unidady una evaluacin sumativa fnal. Adems, se incorpora cuando corresponde, el cono que enlaza los conte-nidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad deeste texto es la siguiente:

Pginas de contenido

Aprendizajes que se esperaadquieras tras la revisin dela unidad.

Red conceptual con loscontenidos de la unidad.

Imagen alusiva al tematransversal de la unidad.

Actividad motivadora parainiciar el estudio de la unidad.

Entrada de unidad

Historieta que te propone unasituacin que debes observar

y analizar con detencin.

Actividades que podrn serutilizadas como evaluacindiagnstica de materiasvistas en cursos anteriores yque servirn para la revisinde los temas de la unidad.

Actividad inicial


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5

Adems, en las pginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el cono de Hipertexto:

cono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Actividades ldicas que

requieren del ingenio

matemtico para surealizacin.

Desafoal ingenioIndicacin prctica o

nota recordatoria parauna mejor comprensin

del tema tratado.

Estructura didctica

MatemticaHIPERTEXTO

Problema modelo que tepropone un mtodo de

cinco pasos para que lo

apliques en la resolucin deproblemas de diversa ndole.

Problemas propuestos quedebes resolver aplicando elmtodo.

Resolucin de problemas

Tecnologa activaEjemplicacin del uso deherramientas tecnolgicas

para resolver actividadesrelacionadas con los temas

vistos en la unidad. Actividades propuestas paraque apliques la herramientatecnolgica descrita.

Sntesis de la unidad Evaluacin

Cuadros con las denicionesque resumen los contenidos

tratados en la unidad.

Tres pginas en las que seevalan los temas vistos

en la unidad. Dos de ellaste proponen ejercicios dedesarrollo y una ejercicioscon alternativas.

Breve vinculacin deltema tratado en la pgi-na con otras ramas delconocimiento.

Enlace con

Defniciones y conceptosdirectamente ligados conlos temas de la pgina.

Archvalo


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6 ndice de contenidos

ndice de contenidos

Nmeros decimales1

Unidad

Entrada de unidad ........................................... 8 y 9Actividad inicial ............................................ 10 y 11

Expresin raccionaria de un nmerodecimal nito ..............................................12 y 13Expresin raccionaria de nmerosdecimales peridicos y semiperidicos .....14 y 15Multiplicacin de nmeros decimales ........16 y 17Divisin de nmeros decimales .................18 y 19

Anlisis de actores y productos ............... 20 y 21

Nmeros decimales:unidades de longitud ................................. 22 y 23

Nmeros decimales:unidades de masa ..................................... 24 y 25

Resolucin de problemas .......................... 26 y 27

Tecnologa activa ........................................ 28 y 29

Sntesis de la unidad .......................................... 30

Evaluacin.................................................... 31 a 33

Nmeros fraccionarios,razones y porcentajes2

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 34 y 35Actividad inicial ........................................... 36 y 37

Multiplicacin de racciones ...................... 38 y 39Divisin de racciones ................................40 y 41

Razones y equivalencias

.......................... 42 y 43Las proporciones y su propiedadundamental............................................... 44 y 45Porcentajes ............................................... 46 y 47

Formas de expresar un porcentaje ........... 48 y 49

Operaciones con porcentajes ....................50 y 51

Interpretacin de inormacin porcentual .. 52 y 53


Tecnologa activa ........................................ 56 y 57Sntesis de la unidad .......................................... 58

Evaluacin.................................................... 59 a 61

Potencias3Unidad

Entrada de unidad ....................................... 62 y 63

Actividad inicial ........................................... 64 y 65Denicin de potencia ............................... 66 y 67Potencias de 10 ......................................... 68 y 69Multiplicacin de potencias de 10 ..............70 y 71Multiplicacin de un nmero naturalpor una potencia de 10 .............................. 72 y 73Multiplicacin de un nmero decimalpor una potencia de 10 ...............................74 y 75Descomposicin cannicade un nmero natural ................................ 76 y 77

Divisin de potencias de 10 ...................... 78 y 79

Divisin de un nmero natural

por una potencia de 10 .............................. 80 y 81Divisin de un nmero decimalpor una potencia de 10 .............................. 82 y 83


Tecnologa activa ........................................ 86 y 87

Sntesis de la unidad .......................................... 88

Evaluacin.................................................... 89 a 91


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ndice de contenidos 7

Ecuaciones deprimer grado4

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 92 y 93Actividad inicial ........................................... 94 y 95 Trminos semejantes ................................ 96 y 97 Reduccin de trminos

semejantes ................................................ 98 y 99 Defnicin de ecuacin

de primer grado ......................................100 y 101 Resolucin de ecuaciones

de primer grado ......................................102 y 103

Aplicaciones de las ecuacionesde primer grado ......................................104 y 105

Validacin de la solucinde una ecuacin de primer grado ..........106 y 107

Resolucin de problemas .......................108 y 109

Tecnologa activa ......................................110 y 111

Sntesis de la unidad .........................................112

Evaluacin................................................. 113 a 115

Inormacin y azar6Unidad

Entrada de unidad ....................................142 y 143Actividad inicial ........................................144 y 145 Media aritmtica .....................................146 y 147 Mediana..................................................148 y 149 Moda ......................................................150 y 151 Lectura de grfcos circulares ................152 y 153 Construccin de grfcos circulares .......154 y 155 Experimentos aleatorios .........................156 y 157

Resultados de un experimentoaleatorio ..................................................158 y 159

Estimacin de la probabilidad deocurrencia de un suceso ........................160 y 161

Resolucin de problemas .......................162 y 163Tecnologa activa .....................................164 y 165Sntesis de la unidad ........................................ 166Evaluacin................................................ 167 a 169

ngulos5

Unidad

Entrada de unidad .................................... 116 y 117Actividad inicial ........................................ 118 y 119 ngulos ..................................................120 y 121 Medicin de ngulos ..............................122 y 123 Clasifcacin de ngulos ........................124 y 125 ngulos opuestos por el vrtice .............126 y 127 ngulos entre paralelas .........................128 y 129

ngulos en un tringulo .........................130 y 131

ngulos en un cuadriltero ....................132 y 133

Resolucin de problemas .......................134 y 135

Tecnologa activa .....................................136 y 137

Sntesis de la unidad ........................................ 138

Evaluacin.................................................139 a 141

Solucionario.......................................................................................................................................170 a 173

ndice temtico ............................................................................................................................................174

Bibliograa y pginas web .........................................................................................................................175

Evaluacin modelo......................................................................................................................................176


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1Unidad

8

Nmerosdecimales

Red conceptual

Nmerosdecimales

Procedimientos numricos

Mtodos similares a los usadospara multiplicar y dividir en

determinadas usando

Unidades de medida: longitud,masa, etc.

relacionadas con

Multiplicaciones

Equivalencias conlas racciones

Divisiones

Contextualizaciones

resueltas usando

resueltas usando

Entrada de unidad


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9

Qu debemos comer para alimentarnos sanamente?

Para llevar una dieta equilibrada y sana debemos consumir alimentos de los cinco grupos queconorman la pirmide nutricional. Estos grupos son:Nivel 1: grupo de pan, cereales, arroz y pastas.

Nivel 2: grupo de verduras y rutas.Nivel 3: grupo de lcteos y grupo de carnes rojas, aves, pescados, frutos secos, huevos y nueces.

Nivel 4: grupo de grasas, aceites y dulces.Cada grupo ocupa un compartimento que por su ubicacin y tamao sugiere la proporcin en

que deben ser ingeridos los alimentos que contiene. En particular, el segundo nivel correspondeal de rutas y verduras, valiosas por su contenido de fbra y por su aporte en vitaminas y antioxi-dantes. La Organizacin Mundial de la Salud (OMS) recomienda consumir diariamente 0,4 kgde vegetales para prevenir la aparicin de una serie de enermedades crnicas que deterioranla calidad de vida de las personas.

Consumes rutas y verduras diariamente? Qu proporcin de tu alimentacin diariacorresponde a ellas?

Qu verduras son parte de tu dieta diaria?

Puedes resolver?Un hombre ha decidido comenzar a controlar su alimentacin. Las

cantidades diarias de alimentos que ha seleccionado son: 0,8 kg de

verduras, 0,5 kg de rutas, 0,25 kg de pan, 0,2 kg de carnes y 0,22 kgde pastas; adems de 5 L de agua y 0,5 L de leche. Los alimentos slidos los distribuye

en partes iguales en dos comidas diarias, una a medio da y la otra al caer la noche.

Cuntos kilogramos de alimentos slidos consume el hombre en cada una de sus

comidas diarias?

Tras 7 das de mantener esta dieta, cules son las cantidades de alimentos slidos

consumidos por el hombre?

Si aumentara al doble las cantidades de alimento que consume diariamente, cunta

carne y cunta pasta consumira en 5 das?

Enestaunidadaprendersa:

Multiplicarydividirnmerosdecimales.

Interpretaryexpresarinormacinconnm

erosdecimales.

Convertirnmerosdecimalesfnitosynofn

itosaracciones.

Resolverproblemascotidianosenlasqueap

arecennmerosdecimales.

Motivacin

HIPERTEXTO

Motivacin

HIPERTEXTO


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Unidad 110

Actividad inicialNo siempre despus del 2 viene el 3, pues hay muchas cosas que no pueden me-

dirse solo con los nmeros naturales. Si hay dos personas y llega otra, pasamos deun salto del 2 al 3, pero qu pasa si le preparas un ca a tu mam y ella te dice

que le pongas una cucharada y un poquito ms, pero no dos cucharadas?, a qu

nmero se reiere?

Para estudiar los nmeros decimales, te invitamos a realizar las siguientes

actividades.

Formen grupos de tres personas, lean la historieta y respondan las preguntas de1.la pgina siguiente:


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Nmeros decimales 11

Unidad

Qu volcn es ms alto, el Lonquimay o el Villarrica? Cmo lo saben?a)

Qu dierencia hay entre los nmeros 6 y 7 y el nmero 6,9?b)

Saben cules son las partes que componen un nmero decimal? Indquenlasc)a continuacin:

En la recta numrica se ha ubicado la parte entera de 6,9. Ubiquen en el lugard)asignado, el nmero entero que viene a continuacin:

Ordenen las ciudades de la tabla de menor a mayor pluviosidad, considerandoa)los datos de un ao normal.

Calculen la diferencia de pluviosidad que se produjo en cada una de lasb)ciudades entre un ao normal y el 2004.

En qu otras situaciones de la vida cotidiana encuentran nmeros decimales?3.Mencionen al menos tres.

Ciudad Precipitacin anual (en mm) Llovi ms omenos?Ao normal Ao 2004

Arica 1,1 0,0

Isla de Pascua 1 222,9 1 132,4

La Serena 104,1 99,3

Juan Fernndez 912,6 852,4

Curic 718,9 546,3

Chilln 1 022,5 958,0

Puerto Montt 1 844,7 1 557,5

Balmaceda 723,2 555,7

6Entre el 6 y el 7 existen ininitos nmeros. Por ejemplo, justo entre el 6 ye)el 7 est el 6,5, que es un nmero decimal. Ubquenlo en la recta numrica

anterior. Podran ubicar tambin el 6,9?

A continuacin, se presenta una tabla con las ciras de precipitacin en distintas2.ciudades de Chile, indicando cuntos milmetros de agua caen en un ao normal

y cuntos cayeron el ao 2004. Identiiquen si en cada una de ellas ese ao llovi

ms o menos que en un ao normal.

6 , 9

Diagnstico

HIPERTEXTO


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Unidad 112

Expresin raccionaria de un nmerodecimal fnito

Una raccin se puede convertir en un nmero decimal y un nmerodecimal se puede convertir en una raccin. Por ejemplo, si calcula-

mos el cociente entre el numerador y el denominador de las siguientes

racciones obtendremos:

23

10= 2,3

4

5= 0,8

433

40= 10,825

Como ves, en los tres casos anteriores los resultados son nmeros

que tienen una cantidad de ciras decimales fnitas. A estos nmeros

se les llama decimales exactos o fnitos.

Las fracciones se caracterizan por tener un desarrollo decimal.Cuando dividimos el numerador de una raccin por el denominador

obtenemos un nmero decimal, pero, cmo expresamos fracciona-

riamente un nmero decimal fnito?

Cul es la expresin raccionaria de 52,262?f

Como puedes ver, 52,262 es un decimal fnito. Para transormarlo

en raccin anotamos el nmero sin la coma en el numerador y en el

denominador, un 1 seguido de tantos ceros como ciras decimales tiene

el nmero decimal.

En este caso:

52,262 =52 262

1000

Como el nmero decimal posee tres dgitos decimales, el denomi-

nador de la raccin corresponde a un 1 seguido de tres ceros.

Una vez obtenida la raccin podemos simplifcarla a su mnima expre-

sin. En este caso, podemos simplifcarla por 2, obteniendo26131

500.

Para transormar una raccin en un nmero decimal simplemen-te debes dividir su numerador por su denominador.

Es posible transormar un nmero decimal fnito en una raccina

btal que:

a: nmero decimal sin la coma.

b: un 1 seguido de tantos 0 como dgitos decimales tiene el nme-ro decimal.

Cuando debas expresar unnmero decimal en ormaraccionaria es importante

que elimines de la partedecimal todos los 0 quehaya a la derecha. Por

ejemplo, si el nmerodecimal a transormares el 2,603200; debespreviamente, convertirlo

en 2,6032.

Las racciones se clasifcanen propias e impropias:

Fraccin propia:2

5

Su valor es < 1.

El numerador es menor queel denominador.

Fraccin impropia:7

2

Su valor es > 1.

El numerador es mayor queel denominador.

Se pueden expresar comonmero mixto, en estecaso:

7

2= 3 1

2

Archvalo


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Nmeros decimales 13

Unidad

Ejercicios individuales

Transorma las siguientes racciones en nmeros decimales e indica cules de ellos son fnitosa.y cules infnitos:

Fraccin Expresin decimal Finito o infnito?

2

3

3

10

17

4

24

9

8

12

19100

Expresa los siguientes nmeros decimales mediante racciones. No olvides simplifcar cadab.raccin hasta su expresin mnima:

Expresin decimal Fraccin

1,25

0,503

0,077

13,652

9,3710

148,0875

Ejercicios grupales

En grupos de tres personas consideren las siguientes situaciones:a.

Un pan de pascua se dividi entre cuatro nios. El primero toca) 28

, el segundo 14

, el tercero

0,25 y el cuarto 624

del total. Cul de ellos recibi el trozo mayor? Y el menor?

Los nios acompaan el pan de pascua con una bebida. Si el primero tomab) 18

, el segundo1

10, el tercero 0,15 y el cuarto 0,32 del total de la bebida; qu nmero decimal representa la

cantidad de bebida que queda en la botella respecto al total que haba al principio?


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Unidad 114

Expresin raccionaria de nmerosdecimales peridicos y semiperidicos

Muchas veces debes haber escuchado expresiones como: "un terciode la torta es para tus tos" o "para preparar el jugo tienes que poner

un tercio de agua". En ambas situaciones un tercio representa la tercera

parte de algo. En el caso de la torta, la dividiramos en tres partes co-

rrespondiendo una de ellas a los tos y en el caso del jugo, dividiramos

el recipiente en tres partes y una de ellas sera de agua.

Los nmeros decimales peridicos son aquellos en los que en suparte decimal se repite una cira o un grupo de ciras infnita-mente. Los nmeros decimales peridicos tienen una parte ente-ra y una parte decimal como cualquier nmero decimal, pero ensu parte decimal, se designa como perodo a la cira o conjuntode ciras que se repite indefnidamente. A veces, antes del pero-do puede haber otra cira o conjunto de ciras que no se repite yque se denomina anteperodo. En este caso, hablamos de nme-ros decimales semiperidicos.

7 : 4 2 = 0 , 1 6 6 6 6 6 6 = 0,16

7 0

2 8 0

2 8 0

6444447444448

parte entera coma anteperodo perodo

7

42=

La coma se pone una vez que el resto de la divisines menor que el divisor. Para seguir dividiendo,multiplicamos el resto por 10.

Qu nmero decimal representa la tercera parte de algo?f

Basta dividir 1 por 3. Observa:

1

3= 0,333333333

Qu sucede con el valor de esta raccin? Podramos seguir divi-

diendo indefnidamente, ya que el nmero decimal que se obtiene es

infnito.

Cul es la expresin de-

cimal de la raccin7

23?

Desafoal ingenio

Otro tipo de decimal esaquel que tiene una cantidad

infnita de ciras despusde la coma, pero en el queestas ciras no siguen unpatrn de repeticin. A

estos nmeros decimalesse les llama infnitos noperidicos.

Archvalo

Tos


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Nmeros decimales 15

Unidad

Cmo transormar un decimal peridico en raccin?f

En el numerador de la raccin debes colocar la resta entre el n-

mero ormado por la parte entera seguida del perodo sin la coma, y el

nmero de la parte entera. Para obtener el denominador debes escribir

tantos nueves como dgitos componen el perodo.Ejemplos:

1,98 =1981

99=

197

99 5,3 =

53 5

9=

48

9

Cmo transormar un decimal semiperidico en raccin?f

En el numerador de la raccin debes colocar la resta entre el nmero

ormado por la parte entera seguida del anteperodo y del perodo sin

la coma, y el nmero ormado por la parte entera y el anteperodo sin

la coma. Para obtener el denominador debes escribir un nmero contantos nueves como cifras tenga el perodo seguido de tantos ceros

como ciras tenga el anteperodo.

Ejemplo:

24,65235 =2465 235 24652

99000=

2440583

99000

Los nmeros decimalesperidicos se escriben conuna lnea recta sobre el

perodo. En algunos libroslo hacen tambin con unalnea curva, como un pa-rntesis hacia abajo.


Transorma en racciones los siguientes nmeros decimales describiendo explcitamente el pro-a.cedimiento utilizado, como se muestra en el ejemplo:

Nmerodecimal

Operatoria Fraccin

1,431

1431 14

990

1417

990

52,2

3,23

0,01

2,314

71,32

Nmerodecimal

Operatoria Fraccin

5,57

12,2

6,392

0,42

9,9935

23,451


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Unidad 116

Multiplicacin de nmeros decimales

Don Pedro necesita comprar lentes pticos para su hijo. Su Isapre le cu-

bre 5,5 UF. El valor de la UF el da de la compra es de $ 18 532,04.

Qu debe hacer don Pedro para saber exactamente cunto es lofmximo que la Isapre le cubre?

Para averiguar la cobertura de su Isapre don Pedro debe multiplicar

18 532,04 por 5,5.

A continuacin mostraremos dos mtodos para resolver esta

operacin:

Mtodo 1

1 Convertimos los actores en nmeros enteros, multiplicndolos por

un nmero compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como ci-ras decimales tiene cada uno de ellos. Si uno de los actores es un

nmero entero no se amplifca. En el caso del ejercicio que estamos

resolviendo, las multiplicaciones son:

18 532,04 100 = 1 853 204 y 5,5 10 = 55

2 Multiplicamos los nmeros naturales:

1 8 5 3 2 0 4 5 5

9 2 6 6 0 2 0

+ 9 2 6 6 0 2 0

1 0 1 9 2 6 2 2 0

3 En el producto, corremos la coma de derecha a izquierda tantos

lugares como dgitos decimales tengan los actores en conjunto. En

el ejemplo: 18 532,04 tiene 2 decimales y 5,5 tiene 1 decimal, por lo

tanto, contamos 3 posiciones de derecha a izquierda en el resultado

y all colocamos la coma: 101 926,220.

Por lo tanto, la Isapre cubre un mximo de $ 101 926,22 para la

compra de los lentes pticos.

Mtodo 2

Una orma de resolucin equivalente a la anterior consiste en trans-

ormar la multiplicacin de nmeros decimales a una multiplicacin

de racciones decimales. Observa:

d

18 532,04 100

100n d

5,5 10

10n = 1853 204

10055

10=

1853 204 55

100 10=

Recuerda que los trminosde una multiplicacinse llaman actores y elresultado, producto.

4 3

Factores

= 12

Producto

El resultado de multiplicardos racciones es una

raccin cuyo numeradores el producto de losnumeradores y cuyo de-nominador es el productode los denominadores.

Cuando un adulto contrataun plan de salud es muy

importante que pida lainormacin detallada de loque este incluye. Las Isaprescuentan con un inormativoespecfco para cada plandonde fguran los distintosservicios ambulatoriosy hospitalarios. Muchas

veces en los planes el topese expresa en UF.

La SaludEnlace con


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Nmeros decimales 17

Unidad


Resuelve las siguientes operaciones multiplicando por medio de los dos mtodos. Compruebaa.con una calculadora:

a) 348,69 6,7

b) 7 298,42 92,72

c) 1 628,33 55,55

d) 72,4 0,6

101926 220

1000= 101926,22

En la unidad siguiente vers detalladamente la multiplicacin de

racciones.

Desarrollo

HIPERTEXTO


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Unidad 118

Divisin de nmeros decimales

Segn la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU., un nio o

nia de 9 a 13 aos debera consumir diariamente como mnimo 1,7 L

de agua potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos espaciadosequitativamente a lo largo del da.

Cul es la cantidad de agua que debe contener cada vaso?f

Para saber la cantidad de agua que debe contener cada vaso, dividi-

mos 1,7 L en 7,5 vasos y para esto utilizaremos el siguiente mtodo:

1. Identifcamos cul de los dos trminos de la divisin tiene ms ciras

en la parte decimal. En este caso, ambos nmeros son decimales y

los dos tienen la misma cantidad de dgitos en la parte decimal.

2. Amplifcamos el dividendo y el divisor por un nmero compuesto

por un 1 seguido de tantos ceros como dgitos decimales tenga el

nmero que identifcamos en el paso anterior.

1,7 10 = 17 7,5 10 = 75

3. Dividimos estos nmeros naturales:

1 7 : 7 5 = 0 , 2 2 6

1 7 0

2 0 0

5 0 0

5 0 05 0

Hay casos en que el dividendo y el divisor no tienen la misma

cantidad de dgitos en la parte decimal. En estos casos multiplicamos

ambos trminos de la divisin por un 1 seguido de tantos ceros como

dgitos despus de la coma tenga el nmero con ms ciras decimales.

As habrs convertido tanto dividendo como divisor en nmeros enteros

y podrs resolverla sin problemas. Observa el ejemplo:

8,4 : 2,25

En este caso el dividendo tiene 1 dgito decimal y el divisor 2, por

lo tanto multiplicaremos ambos por 100. Al hacerlo transormamos

la divisin de nmeros decimales en una divisin de dos nmeros

naturales:

840 : 225

Esta divisin puedes resolverla como ya sabes.

Recuerda que los trminosde una divisin se llamandividendo y divisor y elresultado, cociente.

Divisor

8 : 2

Dividendo

= 4

Cociente

Para multiplicar y dividir

nmeros decimales enuna calculadora cientfcadebes ocupar la tecla/para la divisin y*parala multiplicacin. La comadecimal la encuentrasgeneralmente como unpunto, en la tecla..

Si 6 gatos cazan 6 ratonesen 3 minutos, cunto

tardan 100 gatos en cazar100 ratones?

Desafoal ingenio


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Nmeros decimales 19

Unidad


Resuelve las siguientes divisiones:a.

1 255 : 2,5 =a)

4 587 : 5,4 =b)

2 840 : 2,4 =c)

78,9 : 3 =d)

49,49 : 7 =e)

761,25 : 9 =)

25,69 : 2,3 =g)

345,82 : 46,3 =h)

105,3 : 3,9 =i)

248,33 : 2,5 =j)

Descubre la relacin que existe entre los nmeros de cada pirmide y completa los casillerosb.vacos:

a) c)

0,1 0,2 0,8 0,16

2 0,2

1,1 7 3

7,7 2,8 1,2

21,56

4,95 3,3 11

1,5 0,3

0,26

1,3

4 8

3 0,5 4

48

b) d)


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Unidad 120

Anlisis de actores y productos

Los alimentos que consumes a diario contienen en mayor o menor

cantidad determinados compuestos qumicos que el organismo necesita.

La carne es una uente habitual de protenas, grasas y sales mineralesen la dieta humana. Entre los minerales que aporta al organismo se

encuentran algunos como el hierro, el potasio y el soro.

En la siguiente tabla presentamos la cantidad de miligramos (mg)

de soro presentes en un gramo (g) de algunos tipos de carnes de

consumo habitual:

CarnesFsoro (mg por g de

parte comestible)

Seso de vacuno 2,11Chuleta de cerdo 0,87

Lomo vetado 0,95

Posta negra 1,05

Si una persona come 150 g de cada una de las carnes mencionadasf

en la tabla, qu cantidad de soro est ingiriendo con cada una

de ellas?, y si comiera solo 0,7 g de cada una?

Carnesmg de soro

por g de carne

mg de soro en

150 g de carne

mg de soro en

0,7 g de carneSeso de vacuno 2,11 2,11 150 = 316,5 2,11 0,7 = 1,477

Chuleta de cerdo 0,87 0,87 150 = 130,5 0,87 0,7 = 0,609

Lomo vetado 0,95 0,95 150 = 142,5 0,95 0,7 = 0,665

Posta negra 1,05 1,05 150 = 157,5 1,05 0,7 = 0,735

Despus de obtener el resultado solicitado en el problema anterior

pongamos atencin en los nmeros y analicemos los datos obtenidos

en la tabla:

Enverde

tenemos la multiplicacin de dos nmeros mayores que 1;en azul la multiplicacin de un nmero mayor que 1 y otro menor que

1 y en rojo se multiplican dos nmeros menores que 1. Qu ocurre

con los productos?

2,11 150 = 316,5

1,05 0,7 = 0,735

0,95 0,7 = 0,665

Elije un nmero decimal.Rstale 0,3 y el resultadomultiplcalo por 4. Suma5,2 y el resultado multipl-calo por 0,25. Finalmenteresta 1. Qu nmero ob-tienes? Prueba con otrosnmeros decimales.

Desafoal ingenio

Muchas personas se abs-tienen de comer carney pescado, basando sualimentacin en el consumode cereales, legumbres,

rutas y vegetales. Estadieta es conocida comovegetariana.

La Salud

Enlace con


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Nmeros decimales 21

Unidad

En la multiplicacin de nmeros decimales se obtienen productosque dependen de la naturaleza de los actores:

Cuando los actores son mayores que 1 tanto si se trata de n-meros naturales como decimales el producto siempre es mayorque cualquiera de los actores.

Cuando uno de los actores es mayor que 1 tanto si se trata deun nmero natural o decimal y el otro es menor que 1, el pro-ducto es mayor que el actor menor que 1 y menor que el actormayor que 1.

Cuando los actores son menores que 1, el producto siempre esmenor que cualquiera de sus actores.


Completa las siguientes tablas usando calculadora y responde las preguntas:a.

Por qu crees que el valor de los productos en todas las columnas va disminuyendo?a)

Pinta de un color los casilleros en los que ambos actores son mayores que 1; de un segundob) color, los casilleros en los que un actor es mayor que 1 y el otro es menor; y de un tercer co-lor, los casilleros en los que ambos actores son menores que 1. Se cumplen las tres reglasexpuestas en el cuadro de defnicin que est ms arriba?

2.Responde las preguntas ocupando la inormacin de la siguiente tabla:

Alimento Queso AlmendraYema de

huevoBrcoli Nuez

Calcio (mg por gde alimento)

7,3 2,5 1,3 0,6 0,9

Cuntos miligramos de calcio hay en 0,8 g de queso?a)

Cuntos miligramos de calcio hay en 0,5 g de almendras?b)

Cuntos miligramos de calcio hay en 4,1 g de yema de huevo?c)

Cuntos miligramos de calcio hay en 0,4 g de brcoli?d)

Cuntos miligramos de calcio hay en 70 g de nueces?e)

Cuntos miligramos de calcio hay en una racin de 0,9 g de queso y 10 g de nueces?)

Factores Producto

18 2

18 1,5

18 1

18 0,5

18 0,25

Factores Producto

1,7 100

1,7 10

1,7 1

1,7 0,1

1,7 0,01

Factores Producto

0,3 12

0,3 4

0,3 1

0,3 0,4

0,3 0,1


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Unidad 122

Hoy, excepto en unos pocos pases, la unidad de longitud que seutiliza es el metro. Algunas de sus equivalencias son:

Nmeros decimales: unidades delongitud

Qu signifca la afrmacin Carla camin 1,8 metros?f

Es lo mismo que decir: Carla camin 1,8 centmetros?f

De orma grfca

1 metro equivale a 100 centmetros. Dividimos 1 metro en 100

partes iguales y cada una de esas partes corresponde a 1 centmetro.

Considerando lo anterior, 1,8 metros se podra representar as:

En conclusin, 1,8 metros equivalen a 180 centmetros.

De orma aritmtica

Tambin se puede determinar la equivalencia de la siguiente orma:

Unidades de longitud y sus equivalencias

Kilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetro

1 kilmetro (km) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

1 hectmetro (hm) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 000

1 decmetro (dam) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 000

1 metro (m) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

1 decmetro (dm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100

1 centmetro (cm) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

1 milmetro (mm) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

8 dcimas

de 1 metro8 dcimas de 1

metro son 80 cm8 dcimas de 100 cmporque 1 m = 100 cm

8

101 m =

8

10100 cm =

800

10cm = 80 cm

Por lo tanto; 1,8 m es lo mismo que 1 m +8

10m = 100 cm + 80 cm

= 180 cm.

Antiguamente se utilizabandiversas unidades de lon-gitud. Incluso en algunospases siguen utilizndosealgunas de ellas:

Sistemafrancs

antiguo yanglosajn

Sistemamtricodecimalactual

Braza 1,8228 m

Cable 185,19 mLegua francesa 4,44 km

Legua de posta 4 km

Legua marina 5,5555 km

Lnea 2,1167 mm

Milla marina(inglesa)

1,8532 km

Milla terrestre(EE.UU.)

1,8522 km

Milla terrestre 1,6903 km

Pie 32,48 cm

Pie francs 32,40 cm

Pulgada 2,5401 cm

Toesa 1,949 m

Yarda 0,9144 m

Archvalo


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Nmeros decimales 23

Unidad


El hombre ms alto que se conoce fue Robert Pershing Wadlow, un estadounidense que naci ena.1918 y muri en 1940. Meda 2,72 m de altura. Posea las manos ms grandes, con una longitudde 32,3 cm desde la mueca hasta la punta del dedo medio, y los piesms grandes, que cubra con zapatos de 47 cm de longitud.

Cuntos centmetros meda Robert Pershing?a)

Cuntos metros medan los zapatos de Robert Pershing?b)

Cuntos milmetros meda la mano de Robert Pershing?c)

En Santiago, las cuadras antiguas medan 120 m. Actualmente lasb.cuadras son de 100 m cada una. Adems, salvo algunas excepciones,la numeracin de las casas avanza 100 unidades por cuadra.

Cuntos kilmetros representan 120 m?a)

Cuntos kilmetros tiene una calle actual cuya numeracin va delb)

0 al 8 400?Marca >, < o = segn corresponda. Fjate en la unidad de medida:c.

Problemas

La directiva del centro deportivo de una municipalidad ha decidido1.embellecer la piscina municipal colocando por la orilla de los cua-tro lados una ranja de listeles con motivos mexicanos. La piscinatiene orma rectangular de 51 m de largo por 21 m de ancho. Silos listeles miden 30 centmetros de largo, cuntos listeles se

necesitan para cubrir toda la piscina?

La misma municipalidad cuenta con un terreno vaco de 100 m de2.rente por 45 m de ondo y el alcalde ha decidido construir all ungimnasio para la comunidad. Piensen en posibles distribucionesy fnalmente escojan una de ellas, teniendo en cuenta que en elgimnasio quieren construir una piscina de 35 m por 15 m, una

multicancha techada de 40 m por 40 m y una zona de juegos yparque en el resto del terreno.

Dibujen el plano en sus cuadernos utilizando la escala 1:1 000,esto quiere decir que 1 cm del dibujo representa 1 000 cm reales(10 metros), por lo que cada metro de gimnasio est representadopor 0,1 cm en el papel.

8,24 ma) 5,43 mm

13,6 kmb) 13,6 cm

c) 0,5 m 0,8 mm

d) 24,15 dm 30,9 cm

e) 3,1 km 3 300 m

) 23,2 cm 0,0232 dm


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Unidad 124

Nmeros decimales: unidades de masa

Supn que van a preparar un asado en tu casa. Tu mam te pide que

vayas a comprar el carbn y te dice que compres una bolsa de 2 500

gramos. Al llegar al supermercado, encuentras dos tipos de bolsas:unas de 2,5 kilogramos y otras de 4,2 kilogramos.

De cul de las bolsas tienes que comprar?f

De orma grfca:

Un kilogramo equivale a 1 000 gramos. Para saber, por ejemplo, a

cunto equivalen 0,5 kilogramos, dividimos 1 kilogramo en 10 par-

tes. Cada una de esas partes tiene una masa de 100 gramos.5

10de

kilogramo, entonces, son 500 gramos. Observa el siguiente dibujo que

muestra grfcamente la equivalencia en gramos de cada bolsa:

Como ves, 2,5 kilogramos equivalen a 2 500 gramos, mientras que4,2 kilogramos equivalen a 4 200 gramos. Tendras que comprar la

bolsa de 2,5 kilogramos, ya que 2,5 kg = 2 500 g.

De orma aritmtica:

Tambin podemos determinar lo que signifca la parte decimal de

cada nmero. Por ejemplo, para el 2,5:

5 dcimas

de 1 kg5 dcimas de 1 kgson 500 g

5 dcimas de 1 000 gporque 1 kg = 1 000 g

5

101 kg =

5

101000 g =

5000

10g = 500 g

Por lo tanto, 2,5 kg son 2,0 kg + 0,5 kg = 2 000 g + 500 g = 2 500 g.

La masa es una propiedadque indica la cantidad demateria que posee un cuer-po. Es independiente dellugar que ocupa el cuerpoen el espacio.

El peso es la uerza conque la Tierra o cualquierotro cuerpo celeste atraea los cuerpos que estn

en sus cercanas. El pesode un objeto material esdierente dependiendo delcuerpo celeste en el que seencuentra, as por ejemplo,el peso de un objeto esmayor en la Tierra que enla Luna.

Archvalo

La combustin del carbnproduce benzopireno, unproducto cancergeno. Enun kilogramo de carne ala parrilla hay tanto ben-zopireno proveniente del

carbn como el que seencuentra en el humo de600 cigarrillos.

La Salud

Enlace con

200 g

2 500 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

200 g200 g

200 g

200 g

200 g200 g

4 200 g


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Nmeros decimales 25

Unidad

La unidad de masa bsica establecida en el Sistema Internacionalde Unidades es el kilogramo y algunas de sus equivalencias son:

Unidades de masa y sus equivalencias

Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

1 kilogramo (kg) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 0001 hectogramo (hg) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 000

1 decagramo (dag) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 000

1 gramo (g) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

1 decigramo (dg) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100

1 centigramo (cg) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

1 miligramo (mg) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1


Completa con >, < o = segn corresponda:a.

1,2 kga) 0,12 hg

360 gb) 0,36 kg

250 gc) 0,25 kg

78,9 cgd) 7,89 dg

45 dage) 4,5 kg

3,4 dg) 34 g

ProblemasEn un supermercado es posible1.encontrar los siguientes precios por

kilogramo de cada producto:

Si Anastasia compra 3,6 kg dea)manzanas, 500 g de tomates, 250g de jamn pierna y 1 kg de du-raznos, cunto dinero le costarla compra?

Si Ana compra 2 kg de manzanas,b)

1,5 kg de zanahorias, 1,3 kg depapas, 300 g de queso, 1,8 kg detomates y 150 g de jamn, cuntogastar en su compra?

Cuntos kg de queso y cuntosc)de pan puede comprar Natalia con$ 1 800 si quiere comprar la mismacantidad de cada uno?

Duraznos

$ 640

Zanahorias

$ 230

Manzanas

$ 450

Tomates

$ 730

Queso

$ 3 900

Jamn

pierna$ 3 500

Papas

$ 300

Pan

$ 600


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Unidad 126

Resolucin de problemasProblema modelo

Una pequea industria del sector qumico dedicado al rubro de fertilizantesagrcolas fabrica diariamente 5 420,3 kg de amoniaco y 4 653,7 kg de urea.El precio de venta por tonelada de producto en mercados internacionaleses US$ 250,5 para el amoniaco y US$ 225,2 para la urea.

A cunto asciende el dinero recaudado por las ventas de la produc-a)cin diaria de amoniaco?Cunto es lo recaudado por las ventas diarias de urea?b)A cunto asciende el dinero recaudado por las ventas de la produc-c)cin semanal de ambos productos?

a) Entiende: Qu sabes del problema?

Se conoce la cantidad de amoniaco y de urea producidos diariamente.

Se conocen los precios del amoniaco y de la urea expresados en dlares.

b) Planifca tu estrategia: Cmo puedes resolver el problema?

El producto de la produccin diaria de amoniaco y su precio nos permitir conocer los

ingresos de dinero por ventas de amoniaco.

El producto de la produccin diaria de urea y su precio nos permitir conocer los ingresos

de dinero por ventas de urea.

El producto entre la produccin semanal (7 das) de amoniaco y su precio, sumado con el

producto entre la produccin semanal (7 das) de urea y su precio, nos permitir conocerlos ingresos semanales.

d) Responde: Contesta las preguntas del problema

Las ventas de la produccin diaria de amoniaco corresponden a US$ 1 357,78515.

Las ventas de la produccin diaria de urea corresponden a US$ 1 048,01324.

Las ventas de la produccin semanal de ambos productos corresponden aUS$ 16 840,58873.

e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Para comprobar que los resultados ueron calculados correctamente es recomendable uti-

lizar una calculadora.

c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Como los precios estn expresados por tonelada de productos, debemos dividirlos por mil:250,5 : 1 000 = 0,2505 US$ por kg 225,2 : 1 000 = 0,2252 US$ por kg

5 420,3 0,2505 = US$ 1 357,78515 4 653,7 0,2252 = US$ 1 048,01324

(5 420,3 7) 0,2505 + (4 653,7 7) 0,2252 = US$ 16 840,58873


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Unidad

Nmeros decimales 27

Problema 1A Miguel le gustan mucho las frutas. En la feria compr 0,5 kg de moras;0,75 kg de frutillas y 1,2 kg de frambuesas. Si las moras y las frutillas lascomparti en cantidades iguales con su hermana, y las frambuesas lascomparti con su hermana y su madre en partes iguales, responde:

Qu cantidad de rutillas le corresponden a Miguel?a) Qu cantidad de moras le corresponden a Miguel?b)Qu cantidad de rambuesas le corresponden a Miguel?c)

Problema 2Una carretera se ha ido entregando en tramos iguales de 18,275 km.Si se entregaron un total de 7 tramos, responde:

Cul era el largo de la carretera tras la entrega del cuarto tramo?a)Cul es el largo de la carretera construida completa?b)

Problema 3En la Plaza de Armas de un pueblo hay muchos rboles. Uno de ellos

crece 20,75 cm al ao.Cuntos metros medir al cabo de 8 aos si inicialmente mediaa)2,6 m?A cunto corresponde esta altura si la aproximas a la centsima?b)Y a la dcima?

Problema 4

Un vehculo de transporte de turistas tiene una tara (masa sin carga) de1 030,25 kg. La masa mxima autorizada para este tipo de vehculo esde 1 695 kg. Una maana suben a l cinco pasajeros. La masa corporalde dos de ellos es de 71,3 kg y la de los otros tres de 78,5 kg. La masacorporal del choer es de 67,5 kg.

Una vez que los pasajeros estn sobre el vehculo, cul es la masaa)mxima que puede cargar como equipaje?Si la masa del equipaje del grupo de turistas es de 309,5 kg, cuntosb)kilogramos no podrn ser cargados en el vehculo?

Desarrollo

HIPERTEXTO


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Unidad 128

Tecnologa activaTransformando unidades

Construiremos una tabla en Excel que permitir expresar automticamente las unidades me-

tro (longitud), litro (volumen) y gramo (masa) en algunos de sus dierentes mltiplos (unidades

mayores que la unidad bsica) y submltiplos (unidades menores que la unidad bsica).

Creacin de la hoja de clculo.1.

Crea un nuevo libro o proyecto en Excel. Llmalo Tabla de transormacin de unidades.

Copia los ttulos: Longitud en la celda B1, Volumen en la C1 y Masa en la D1.

Copia las unidades de reerencia: Metro en la celda B2, Litro en la C2 y Gramo

en la D2.

En las celdas B3, C3 y D3 anota 1.

En la columna A escribe los mltiplos y submltiplos: Kilo, Hecto, Deca, Deci, Centi y

Mili en las celdas A4, A5, A6, A7, A8 y A9.

A continuacin escribiremos las equivalencias

correspondientes para cada una de las unidades

de reerencia:

A continuacin selecciona con el mouse las

celdas desde la B4 hasta la B9.

Dirige el cursor al extremo inerior derecho de

las celdas seleccionadas y cuando aparezca una

cruz negra + arrstralo hasta la celda D9.

Tu hoja de clculo debe verse como se muestra a continuacin:

En la celda Escribe

B4 =B3/1000

B5 =B3/100

B6 =B3/10

B7 =B3*10

B8 =B3*100

B9 =B3*1000


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Nmeros decimales 29

Unidad

Ejempliicaremos el uso de la planilla que acabas de construir completando la siguiente

tabla de equivalencias:

Valor Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili

3,5 m

0,3 L1,2 g

Incorporando los valores 3,5; 0,3 y 1,2 a la planilla en las celdas B3, C3 y D3 obtendre-

mos lo siguiente:

Aplicando lo aprendido.2.

Incorpora los valores de la planilla a la tabla de arriba y responde las siguientes pre-a)

guntas:

A cuntos centmetros equivalen 3,5 metros?

A cuntos hectolitros equivalen 30 centilitros?

A cuntos kilogramos equivalen 1 200 miligramos?

Utiliza la planilla recin creada para obtener los mltiplos y submltiplos de los si-b)

guientes valores:- 0,1 m; 9,6 L y 1 245,75 g

- 128,758 m; 0,045 L y 65 g

Responde:

A cuntos decmetros equivalen 12 875,8 centmetros?

A cuntos mililitros equivalen 0,045 litros?

A cuntos decagramos equivalen 12 457,5 decigramos?


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Unidad 130

Ficha 1Un nmero decimal fnito se puede expresar

mediante la siguiente raccin: ab

Donde:a: nmero decimal sin la coma.b: un 1 seguido de tantos ceros como dgitosdecimales posee el nmero decimal.

Ficha 2

Un nmero decimal infnito peridico se puede

expresar mediante la siguiente raccin:c

dDonde:c: resultado de la sustraccin entre el nmeroformado por la parte entera seguida del perodosin la coma, y el nmero de la parte entera.

d: nmero constituido por tantos 9 como dgitostiene el perodo.

Ficha 3

Un nmero decimal infnito semiperidico se

puede expresar mediante la siguiente raccin: ef

Donde:e: resultado de la sustraccin entre el nmero or-mado por la parte entera seguida del anteperodoy del perodo sin la coma, y el nmero ormado por

la parte entera y el anteperodo sin la coma.: nmero constituido por tantos 9 como ciras ten-ga el perodo seguido de tantos ceros como cirastenga el anteperodo.

Ficha 4

Para multiplicar nmeros decimales

se deben multiplicar los nmeros sin suscomas y al resultado incorporar la comade orma que determine tantos dgitosdecimales en l como dgitos decimalestenan en su conjunto los actores.

Ficha 5

Para dividir dos nmeros decimales se debe iden-tifcar cul de ellos posee ms dgitos decimales yluego multiplicar ambos dividendo y divisor por unmltiplo de 10 con tantos ceros como dgitos decimalesposee el nmero identifcado. Finalmente, se realizala divisin de los dos nmeros naturales obtenidostras la multiplicacin.

Ficha 6

Los nmeros decimales se utilizan pararealizar la conversin de unidades.As permiten obtener mltiplos y sub-mltiplos de las unidades de longitudy masa, entre otras.

Sntesis de la unidad

Sntesis

HIPERTEXTO


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Nmeros decimales 31

Unidad

EvaluacinExpresa los nmeros decimales como racciones. Comprueba usando calculadora:a.

I Ejercicios de desarrollo

0,a) 5 =

0,0b) 5 =

0,65c) =

0,12d) 3 =

3,e) 45 =

8,3) 54 =

12,4435g) =

121,09h) 87 =

3,2 0,9a) =

0,09 0,1b) =

0,34 54,3c) =

2,34 7,86d) =

0,876 32,4673e) =

1,46 9,354) =

13,68 0,7g) =

0,0006 0,00054 =h)

3,6578 + 7,9985a) =

0,0546 + 2,59932b) =

7,5347 + 18,6509c) =

99,6547 + 0,7178d) =

23,0811 18,6188e) =

14,654 13,775) =

0,8765 0,65399g) =

101,765 37,8064 =h)

Resuelve las siguientes multiplicaciones de nmeros decimales:c.

Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de nmeros decimales:b.


34/180

Unidad 132

Resuelve las siguientes divisiones de nmeros decimales:d.

Anota el producto de los siguientes pares de nmeros redondendolos previamente a la posicine.indicada:

Une mediante una lnea las expresiones de la columna izquierda con sus equivalentes de laf.columna derecha:

4,9 : 0,5 =a)

10,5 : 0,1 =b)

3,25 : 4,3 =c)

0,34 : 0,81 =d)

0,6 : 3,2 =e)

6,4 : 0,2 =)

23,09 : 0,2 =g)

0,008 : 0,4 =h)

Factores Producto previo redondeo de los actores a la

Nmero 1 Nmero 2 Milsima Centsima Dcima

0,3546 2,465348

3,6657 2,9982

1,2511 9,8467

0,25563 13,8552

3,2 kg 0,2 h

2 005 ml 1 050 m

12 min 2,005 L

0,75 km 0,145 dag

75 hg 120 000 ml

1 200 dl 8 280 s

10,5 hm 320 000 cg

1 450 mg 750 m

2,3 h 75 000 dg

Juan compr 13 bolsas y media de harina. Si cada bolsa contiene 0,75 kilogramos; cuntag.harina compr?

Loreto ha dado 8 vueltas a una plaza trotando. Cuando llevaba la cuarta parte de la novenah.vuelta se detuvo a tomar agua. Si en cada vuelta recorri 123,25 metros; qu distancia llevabatrotando cuando se detuvo?


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Nmeros decimales 33

a A un supermercado llegan cajas de conser-vas con 24 latas cada caja. Si la masa deuna caja es de 12,734 kg, cul es la masaaproximado de cada lata?

a) 0,53 g

b) 5 530 g

c) 0,56 kg

d) 0,53 kg

e De una bolsa de arroz de 2,5 kg sacamos1,06 kg. Calcula cunto queda en la bolsa.Si lo que queda en la bolsa lo repartimos entres bolsas, qu masa tendr cada una?

a) Quedan 0,9 kg y cada bolsa ten-dr 0,3 kg.

b) Quedan 1,44 kg y cada bolsa ten-dr 0,48 kg.

c) Quedan 0,9 kg y cada bolsa ten-dr 0,03 kg.

d) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendr0,048 kg.

b Cuntas botellas de leche de 0,75 L sepueden llenar con un bidn de 24,75 L?

a) 24

b) 33

c) 36

d) 28

f Si se aproxima por redondeo a la milsimael nmero 0,56365 queda:

a) 0,56

b) 0,563

c) 0,564

d) 0,5637

c Para realizar la instalacin elctrica de unacasa se necesitan 98,7 m de cable. Si cada

rollo de cuatro metros y medio cuesta $ 360y no se venden trozos de menor longitud,cul ser el costo de la compra de cablepara la instalacin?

a) $ 7 560

b) $ 7 920

c) $ 8 280

d) $ 7 200

g El automvil de Marcos consume 6,7 L debencina cada da laboral, mientras que en

todo el n de semana consume 17,4 L. Siel litro de bencina cuesta $ 685,5, cuntodinero aproximadamente gasta Marcos engasolina en una semana?

a) $ 34 892

b) $ 32 654

c) $ 39 051

d) $ 33 980

d Un edicio de 8 pisos tiene una altura de

29,52 m. Calcula la altura aproximada delcuarto piso si el primero tiene 3,96 m dealtura y los otros 7 tienen cada uno la mismaaltura.

a) 3,45 m

b) 3,85 m

c) 3,65 m

d) 3,75 m

h Un recipiente contiene 0,75 L de jugo de

naranja. Si el jugo se reparte en ormaequitativa a tres nios, cuntos mililitroscorresponden a cada uno?

a) 0,25 ml

b) 2,5 ml

c) 25 ml

d) 250 ml

II Ejercicios con alternativas

Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dar el docente y completa latabla que all aparece.

Unidad

Evaluacin

HIPERTEXTO


36/180

34

Red conceptual

Nmeros

fraccionarios,razones y

porcentajes

2Unidad

Fracciones,razones y

porcentajes

Multiplicaciones

Divisiones

Proporciones

Propiedad undamental

Grcamente

Como racciones o decimales

Como razones

para resolver

usadas en

expresadas

Razones

Porcentajes

Fracciones

Entrada de unidad


37/180

35

Qu es el IPC?

Durante la primera semana de cada mes el Instituto Nacional de Estadsticas (INE) llama ala prensa para dar a conocer el valor que ha alcanzado el IPC (ndice de Precios al Consu-midor). Esta se encarga de diundirlo a la poblacin, ya que es un nmero que a todos les

interesa conocer. De su valor dependen cosas tan importantes como el aumento que tenga laUF (en la que se expresan, por ejemplo, las deudas de vivienda) o los aumentos que tenganlos sueldos que hayan sido pactados teniendo en cuenta este valor.El IPC representa el valor del costo de la vida, ya que es un ndice que recoge la variacin

que han tenido cada mes los precios de los bienes y servicios consumidos por los hogareschilenos.De esta orma, si un conjunto de productos o servicios aumenta de precio, la misma cantidad

de dinero no alcanzar para comprarlos. A travs del IPC se refeja el cambio normalmente ladisminucin en el poder adquisitivo del dinero.

Has escuchado hablar del IPC?

Cunto vari el IPC este mes?Cmo se expresa la variacin del IPC?

Puedes resolver?

Entre los meses de enero y ebrero los precios de algunos productosaumentaron como se muestra en la tabla:

Producto[1 kg]

Precio en enero[$]

Precio en ebrero[$]

Azcar 570 580Porotos 990 1 090

Pan 660 700

Tomates 640 690

En qu porcentaje aument aproximadamente cada uno de los precios de los productosde la tabla entre enero y ebrero?

Si el aumento porcentual uera el mismo en el perodo ebrero-marzo, cual sera

aproximadamente el precio de cada producto en el mes de marzo?

Enestaunidadaprendersa:

Resolvermultiplicacionesydivisionesdefrac

ciones.

Interpretarunarazncomolacomparacine

ntredosmagnitudesutilizandosucociente.

Utilizarlapropiedadfundamentaldelaspropo

rcionespararesolverdiversosproblemas.

Expresarunporcentajemedianteunafracci

nounnmerodecimal.

Emplearporcentajesparacomunicarinforma

cin.

Motivacin

HIPERTEXTO


38/180

Unidad 236

Actividad inicialEn muchas oportunidades es necesario que dividamos o raccionemos cantidades,

ya sea para repartirlas entre varias personas, para distribuir nuestro tiempo conve-nientemente entre todas las labores que deseamos realizar, etc. Por ejemplo, si hace-mos una tarea dada en un determinado tiempo, podemos estimar que realizaremosla mitad de la tarea en la mitad del tiempo, la cuarta parte de la tarea en la cuartaparte del tiempo y que seremos capaces de realizar dos tareas similares en el dobledel tiempo que demoramos en cada una.

Lean la historieta y respondan las preguntas de la pgina siguiente:1.

Fernanda, Camila, Gustavo y Felipe decidieron ayudar a

mam preparando galletas para su negocio.


39/180

37Nmeros raccionarios, razones y porcentajes

Unidad

Cul de los cuatro nios y nias hizo ms docenas de galletas por hora?a)

Calculen los minutos promedio que cada uno emple en hacer una docenab)de galletas. Guense por el ejemplo:

Cules de estas racciones son equivalentes? Cul de las cuatro es mayor?3.

Qu otras racciones son equivalentes a4.

13

y a14

?

En qu relojes pintaron las mismas porciones? Qu pueden concluir?5.

Identiiquen los minutos correspondientes a las siguientes racciones de hora:2.

16

de hora = 13

de hora = 14

de hora =18

de hora =

Cuntos tercios de hora se demoraron por docena Fernanda y Gustavo?a)

Cuntos sextos de hora se demoraron Fernanda y Gustavo?b)

Cuntos cuartos de hora se demor Camila?c)

Cuntos octavos de hora se demor Felipe?d)

Graiquen sus respuestas, achurando las racciones correspondientes:

Fernanda Gustavo Camila Felipe

Escribe cuntas docenas degalletas hizo:

3

Transorma en minutos las horasempleadas:

1 60 = 60

Divide la cantidad de minutospor el nmero de docenas:

60 : 3 = 20

El tiempo promedio utilizado enhacer una docena de galletas es:

20 minutos

Fernanda y Gustavo Camila Felipe

39

1

2

4

57

8

10

1112

6

39

1

57

1112

6

2

48

10

1

2

4

57

8

10

1112

3

6

9

1

2

4

57

8

10

1112

3

6

9

Tercios de hora pordocena Sextos de hora pordocena Cuartos de hora pordocena Octavos de hora pordocena

Diagnstico

HIPERTEXTO


40/180

Unidad 238

Multiplicacin de fracciones

La seora Mara tiene en su casa una microempresa de preparacin

de dulces. Cada semana, de los 30

3

4kg de azcar que compra, destina

23

a la coneccin de tortas, reservando el resto para los berlines.

Qu cantidad de azcar utiliza cada semana la seora Mara en lafpreparacin de tortas?

Antes que nada transormemos el nmero mixto a raccin:

30 34

= 30 4 + 34

= 1234

Para averiguar cul es la cantidad de azcar destinada a las tortasdebemos realizar una multiplicacin de racciones, observa:

1234

23=

123 24 3

=24612

El resultado de la multiplicacin de dos racciones es una nuevafraccin cuyo numerador es el producto de los numeradores de losfactores y el denominador es el producto de sus denominadores:

a

b

c

d=

a c

b d

La seora Mara emplea 24612

kg de azcar en las tortas. Transor-

mando esta raccin impropia a nmero mixto podremos hacernos unaidea ms concreta de la cantidad de kilogramos que esto representa.

Primero simplifcamos la raccin por 6 y luego convertimos en

nmero mixto:

246

12

: 6

: 6=

41

2

=20 1

2La seora Mara emplea 201

2kg, es decir, 20 kilogramos y medio

de azcar a la semana en la preparacin de tortas.

Otra microempresaria del rubro es la seora Raquel, a quien le

encargaron una docena de pasteles para una casa particular. Para 6

pasteles la seora Raquel emplea 18

kg de mantequilla.

Para calcular la raccinde una cantidad debe-mos realizar el productode esa cantidad por laraccin.

Para escribir raccionesy nmeros mixtos en unacalculadora debes ocuparla tecla[. Por ejemplo,

para escribir2

3debes es-

cribir 2, presionar la tecla

[ y luego escribir 3; y

para escribir 435

debes

escribir 4, presionar[,escribir 3, presionar nue-vamente[y, fnalmente,escribir 5.

El arte y ofcio de elaborarpasteles y dulces recibe elnombre de repostera.

Archvalo


41/180


Unidad

Qu cantidad de mantequilla necesitar para preparar una docenafde pasteles?

Para responder, primero debemos determinar en cunto aument lareceta. Si la receta inicial era para 6 pasteles y ahora es para 12 pasteles,

entonces, aument al doble y debemos multiplicar los ingredientes por2. Para la mantequilla tenemos:182 =

1821=

28=

14

Para preparar 12 pasteles la seora Raquel necesitar14

kg de

mantequilla.

Para multiplicar una raccin por un nmero natural debes con-vertir el nmero natural en fraccin. Esta fraccin queda consti-

tuida por el nmero natural como numerador y un 1 como deno-minador. Luego se multiplican ambas fracciones.


Encuentra los productos y exprsalos como raccin irreductible:a.

a) 45

37

= e) 59

12

=

b)

2

3

4

5 = )3

4

7

10 =

c) 34

47

= g) 19

713

=

d) 65

152

= h) 103

610

=

Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplica en orma cruzada antes de resolver:b.

a) 38

521

= c) 1518

45

= e) 58

210

=

b) 49

316

= d) 34

23

= ) 25

52

=

Calcula el producto, luego exprsalo como raccin irreductible:c.

a) 5 520

= c) 5 610

= e) 944

4 =

b) 4 520

= d) 4 74

= ) 342

6 =

Recuerda que la simpli-fcacin se hace siempreentre un numerador y undenominador, entonces

puedes simpliicar enorma cruzada:

1

3

5

7

12=

1 7

5 4=

7

204

Desarrollo

HIPERTEXTO


42/180

Unidad 240

Divisin de fracciones

El estanque principal de una empresade bebidas debe distribuir su contenido en

botellas de 2

12

L. El nivel del estanque

indica que quedan 3803

4L.

Cuntas botellas es posible llenar?f

La cantidad de botellas que se pueden llenar se calcula dividiendo lacantidad de litros de bebida que contiene el estanque por la capacidadde cada botella:

380

34

: 2

12

Para resolver esta divisin primero transormamos los nmeros

mixtos en racciones:

380

3

4=

380 4 + 3

4=

1523

4

2

1

2=

2 2+1

2=

5

2

Por lo tanto la divisin queda:

1

1523

4:

5

2=

1532

4

2

5=

1523

4

2

5=

1523 1

2 5=

1523

102

Esta raccin expresada como nmero mixto es 152

3

10, es decir,

es posible llenar 152 botellas de 2

1

2L y sobran

3

10de litro.

Una forma prctica de dividir dos racciones consiste en multipli-car la primera fraccin (dividendo) por la segunda fraccin (divi-sor) invertida:

a

b:c

d=

a

b

d

c=

a d

b c

El mtodo ocupado para

dividir racciones se basaen la relacin inversaexistente entre las opera-ciones de multiplicacin

y divisin.

Para multiplicar y dividirracciones y nmeros

mixtos en una calculadoracientfca debes ocupar la

tecla/para la divisin y

*para la multiplicacin.La lnea de raccin est

en la tecla[

Se dice que la raccin a

b

es recproca de la rac-

cin b

a.

Por ejemplo, la raccin

recproca de 7

11es 11

7. El

producto de una racciny su recproca es siempre

1.

Archvalo


43/180


Unidad


Resuelve las siguientes divisiones:a.

Problemas

Doa Ester riega sus plantas vertiendo sobre ellas1. 123

4

L de

agua al da. Si cada riego consiste en un recipiente de 21

8L

lleno, cuntas veces al da riega sus plantas doa Ester?

Javier corta una vara de2. 71

5m de largo en trozos iguales de

2

5m. Cuntos trozos obtiene tras los cortes?

7

2:2

3a) =

5

6:1

2b) =

4

2:1

4c) =

12

5:3

3d) =

8

3:5

6e) =

9

3:1

3) =

18

21:6

7g) =

450

10:90

120h) =

1000

100:

100

10000i) =

13

12:17

19j) =

23

5:13

5k) =

127

8:3

2

5l) =

Indica si la raccin de la primera columna aumenta, mantiene igual o disminuye su valor tras lab.realizacin de cada una de las divisiones sealadas:

Dividendo

Divisor Divisor Divisor Divisor

1

2

3

4

2

2

3

2

1

2

4

5

237


44/180

Unidad 242

A partir del enunciado podemos eectuar diversas comparacionesentre las cantidades que all se mencionan. Algunas de ellas son:

De un total de 12 huevos, 3 llegaron rotos.

De un total de 12 huevos, 9 llegaron enteros.

Por cada 1 huevo que lleg roto, 3 llegaron enteros.

El cociente entre la cantidad de huevos rotos y enteros es 0, 3.

Razones y equivalencias

Camila compr una docena de huevos para preparar una tortilla deacelgas. Cuando lleg a casa 3 de los huevos estaban rotos.

Cmo se puede describir matemticamente esta situacin ocupandofcomparaciones entre los nmeros involucrados?

Una razn es una comparacin entre dos o ms cantidades. Puedeexpresarse mediante una fraccin. Si las cantidades a comparar

son a y b, la razn entre ellas se escribe como a : b, a/b a

by se

lee a es a b.

El trmino a es el antecedente de la razn y el b, el consecuente.

El resultado de la divisin o cociente entre el antecedente y elconsecuente se denomina valor de la razn.

En el caso de Camila, la razn entre huevos rotos y huevos totales es:

3

12

Simplifcando esta raccin:3

12

: 3

: 3

=1

4Esto quiere decir que de cada 4 huevos comprados 1 lleg roto.

Cul es el valor de esta razn?f

Simplemente dividimos el numerador y el denominador:

1 : 4 = 0,25

El valor de la razn1

4es 0,25.

Una razn puede contenerms de dos trminos.Por ejemplo, podemosdecir que la razn entrelas alturas de cuatro r-boles es:

2 : 3 : 5 : 8


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Unidad

Dos o ms razones son equivalentes cuando tienen igualvalor.


Escribe cmo se leen las siguientes razones e idea una situacin que se pueda representara.matemticamente por cada una de ellas:

Razn Se lee Situacin

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

Escribe una razn que se pueda extraer de cada una se las siguientes situaciones:b.

Situacin Razn

En la sala de clases hay 15 mujeres y 20 hombres.

Cada 2 litros de agua tienes que poner 3 cucharadas de sal.

El automvil recorri 200 km en 2 horas.

Una semana despus, Camila compra dos docenas de huevos, al

llegar a casa encontr que nuevamente haba quebrado algunos en elcamino. Los huevos rotos eran 6 esta vez.

Cul es la razn de la cantidad de huevos que llegaron rotos respectofal total de huevos comprados?La razn es 6 : 24, o sea,6 es a 24.

Qu relacin podemos establecer entre las razonesf

1

4y

6

24?

Simplifquemos la raccin que representa a la segunda razn:

6

24

: 6

: 6=

1

4Como hemos comprobado, ambas razones son iguales o equivalentes,

ya que las racciones que las representan tienen el mismo valor.

Los huevos de ave son partehabitual de la alimentacinhumana y animal debido asu importante contenido enprotenas y lpidos. Los degallinas son los ms con-sumidos, aunque tambinson comestibles los de pato,codorniz y avestruz.

La SaludEnlace con


46/180

Unidad 244

Las proporciones y su propiedad

fundamental

En su botillera recin inaugurada don Mauricio vende paquetes de6 botellas de bebidas a $ 9 600 cada uno.

Cul es el precio de 2 de estas botellas de bebida?f

Una orma de encontrar la solucin a este problema es plantear lasrazones correspondientes y establecer un vnculo entre ellas:

6 botellas

9600 pesos=

2 botellas

xpesos

Esta igualdad nos indica que el valor de la razn existente entre

el nmero de botellas vendidas y su costo es siempre la misma. Larelacin se lee: 6 botellas son a $ 9 600 como 2 botellas son a $ xy corresponde a una proporcin. En ella, laxrepresenta el costo de 2botellas y es el valor desconocido que debemos encontrar.

Una proporcin es una igualdad entre dos razones. Si las razonesa : b y c : d forman una proporcin, entonces esta se escribe comosigue:

a : b = c : d (a es a b como c es a d)

Si expresamos esta proporcin en forma fraccionaria queda:

a

b

=

c

d

A a y d se les llama extremos y a b y c, medios.

Dos razones forman una proporcin, solamente si el producto desus extremos es igual al producto de sus medios:

a

b=

c

dsi y solo si a d = b c (con b y d diferentes de 0)

La igualdad anterior puede ser expresada de cuatro formas an-logas:

a =b c

db =

a d

cc =

a d

bd =

b c

a

Esta relacin matemtica es conocida como la propiedad unda-

mental de las proporciones.

Para encontrar el valor dex, aplicamos la propiedad undamental:

Razn 1 Razn 2

Botellas 6 2

$9 600 (costo de

6 botellas)x(no sabemos el

costo de 2 botellas)

Las razones y proporcio-nes tienen aplicaciones endiversas disciplinas; por

ejemplo, en ingeniera seemplean en las escalaspara realizar planos; en elrea contable, para realizarmovimientos fnancieros;y en la vida diaria, para

eectuar operaciones arit-mticas.

Archvalo


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Unidad

En amarillo se indican los extremos de la proporcin y en celeste susmedios. Como el trmino desconocido (incgnita) est en la posicinde la ddel cuadro de defnicin, aplicamos la cuarta orma de expresarla propiedad undamental:

x= 9600

26 = 192006 = 3200

En consecuencia 2 bebidas cuestan $ 3 200.

Para comprobar que nuestro ejercicio est correcto, podemos sustituirel valor dexpor 3 200 y calcular el valor de cada una de las razonesque orman la proporcin. Estos valores deben ser iguales.

6

9600=

2

3200= 0,000625


Aplica la propiedad undamental para encontrar el valor dea. xen las siguientes proporciones:

Problemas

Un pintor ha sido contratado para pintar una pandereta de 3 m1. 2.Ha comprado 2 galones de pintura y le ha alcanzado justo. Alver su trabajo, los vecinos de ambos lados le han pedido quetrabaje para ellos. El vecino de la izquierda le ha encargado unmuro de 9 m2 y el vecino de la derecha le ha pedido que pintela entrada de la casa, que tiene una supercie de 4 m2, y elmuro del patio, que mide 8 m2:

Cuntos galones de pintura debe comprar para realizar ela)trabajo que le encarg el vecino de la izquierda?

Cuntos galones necesita para hacer el trabajo al vecinob)de la derecha?

Para cul de los dos trabajos necesita ms galones dec)pintura?

x

10=

7

70a)

5

x=

25

10b)

2

5000=

5

xc)

20

4=

x

20d)


48/180

Unidad 246

Porcentajes

Al fnal del semestre, el Departamento de Matemtica de un colegiopone en su diario mural la siguiente inormacin:

Qu inormacin entrega el valor 80%?f

La expresin 80% quiere decir que 80 de cada 100 estudiantes ob-tuvo nota sobre 5 en la prueba.

80 de cada 10080

100 80%

El 80% de los estudiantes de 6ao bsico obtuvo nota sobre5 en la ltima prueba de nivel.

Un porcentaje es una fraccin decimal que expresa el nmero departes que se consideran de un total de 100. Al expresarse comoporcentaje es posible comparar diferentes cantidades en relacina un todo, que es 100.

Cul es el porcentaje si 60 de cada 100 estudiantes obtuvieronf

nota sobre 6?

60 de cada 10060

100 60%

Si una cantidad se divide en 100 partes, es cil describirla medianteporcentajes. Observa:

Un porcentaje puede serun nmero mayor que100, es decir, 150%, 200%o ms.

Este tipo de porcentaje sepresenta principalmentecuando se quiere des-

cribir el incremento dealgo. Por ejemplo, si una

semana un museo recibi80 visitas y a la semanasiguiente recibi 160 vi-sitas, puede decirse querecibi el 200% de visitasen relacin a la semanaanterior. Si se quieredescribir solo el aumento,se indica la dierencia, esdecir: esta semana lasvisitas al museo se incre-mentaron en un 100%.

Claro! Porque 80 es el100% de 80 y las visitasaumentaron justamenteen 80 personas.

110

= 10100

14

= 25100

12

= 50100

34

= 75100

10% 25% 50% 75%


49/180


Unidad

23 de cada 100 personas prefere los helados dea)rutilla que de otros sabores.

50 de cada 100 personas encuestadas considerab)el ingls como un idioma muy importante.

84 de cada 100 nios prefere el tbol sobrec)

otros deportes.3 de cada 100 personas encuestadas conoced)Europa.


Seala el porcentaje que representa la zona sombreada de cada gura:a.

a) b) c) d)

Encierra cada raccin decimal que sea mayor que 50%:b.

56

100

23

100

5

100

80

100

45

100

98

100

Escribe el porcentaje y el nmero decimal que representa cada armacin:c.

Problemas

Dos teatros que quedan en la misma cuadra estrenaron una obra1.

esta semana. Al de la esquina norte asistieron 30 personas y alde la esquina sur asistieron 112 personas. Ambos se llenaron enun 50%. Cul es la capacidad de cada teatro?

Dos amigas que estudian en distintos colegios compararon los2.resultados obtenidos en una prueba. Juana tena una pruebade 60 puntos y Dominga, una prueba de 40 puntos. En ambaspruebas, las nias obtuvieron un 100% de rendimiento. Qupuntaje obtuvo cada una?


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Unidad 248

Formas de expresar un porcentaje

Martn en su trabajo gana $ 450 000 al mes. El 30% lo destina alpago del arriendo de su vivienda.

Cunto paga de arriendo?f

Existen varias maneras de resolver este problema ya que un porcentajepuede interpretarse de muchas ormas. Veamos algunas de ellas:

Forma grfca:

En esta representacin, de las 100 partes en que est dividida la fgurasombreamos 30. Si cada una de estas partes vale $ 4 500 (resultado dedividir $ 450 000 en 100 partes iguales) y 30 de ellas estn sombreadas,entonces el 30% equivale a 30 4 500 = $ 135 000.

Como raccin o decimal:

El porcentaje se puede expresar como una raccin y como un de-cimal. Si analizamos que el 30% se puede interpretar como 30 partesde 100, entonces podemos decir que:

30% 30100Si calculamos el valor de la raccin decimal tendremos una orma

decimal de expresar el porcentaje.

30% 0,3

Ocupando cualquiera de estas ormas podemos calcular medianteuna multiplicacin que el 30% de 450 000 es:

30

100 450 000 = 0,3 450 000 = 135 000

Como razn:

Anteriormente estudiamos que una razn es la comparacin entredos cantidades y si pensamos que el porcentaje representa una deter-minada cantidad de partes de un total que es 100, entonces vemos

que el porcentaje se puede representar como la razn: xes a 100, es

decir,x: 100 x

100.

Para calcular el porcen-taje de un nmero debesmultiplicar el porcentajeexpresado en ormadecimal o raccionariapor el nmero.

Arrendar consiste en cedero adquirir el uso o apro-vechamiento temporal decosas, obras o servicios,a cambio de un monto dedinero y de su devolucinen perecto estado tras laextincin del contrato de

arrendamiento.

Archvalo


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Unidad

Una proporcin es la igualdad entre dos razones, por lo que un pro-blema de porcentajes puede siempre resolverse ocupando la propiedadundamental de las proporciones. En este caso la proporcin es 30 esa 100 comoxes a 450 000 o, matemticamente:

30100

= x450000

Resolviendo:

x=30 450000

100=

13500000

100= 135000

Martn paga de arriendo $ 135 000.

El porcentaje se puede expresar de diferentes formas:

Forma grfca: como una determinada parte de un conjunto de

100 elementos.Fraccin: como una fraccin cuyo denominador es 100.

Nmero decimal: como el valor de la fraccin que representa alporcentaje.

Razn: como una razn utilizando siempre 100 como consecuente.


Expresa los siguientes porcentajes en las tres ormas indicadas. Bsate en el ejemplo:a.

Porcentaje 15% 20% 38% 42% 67% 100% 110%

Fraccin15

100=

3

20

Decimal 0,15

Razn 15 : 100

Representa grcamente los porcentajes que se sealan:b.

a) b) c)

4%25%33,3%


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Unidad 250

Operaciones con porcentajes

lvaro y sus paps ueron de compras. Como era poca de liquida-cin encontraron oertas con dierentes porcentajes de descuento.

lvaro compr unos guantes de arquero que costaban $ 9 000, ahoracon un 8% de descuento.

El pap compr una raqueta de tenis que costaba $ 18 000, ahoracon un 25% de descuento.

La mam pag $ 12 000 por un buzo que costaba $ 15 000 antesdel descuento.

A cunto dinero corresponden los descuentos aplicados a los pro-fductos de lvaro y su pap?

Cul es el porcentaje de descuento aplicado al buzo?f

Para responder la primera pregunta tenemos que calcular la cantidadde dinero que representa, en cada caso, el porcentaje de descuento.

En el caso de los guantes, el 8% de 9 000 es:

8%8

100= 0,08

8% de 9 000 = 0,08 9 000 = 720

Al precio de los guantes se deben descontar $ 720.

En el caso de la raqueta de tenis, el 25% de 18 000 es:

25%25

100=

1

4= 0,25

25% de 18 000 0,25 18 000 = 4 500

Al precio de la raqueta de tenis se deben descontar $ 4 500.

En el caso del buzo, elx% de 15 000 debe equivaler a 3 000, ya quees el monto descontado (15 000 12 000 = 3 000).

x%x

100Resolveremos utilizando una proporcin:

x

100=

3000

15000Aplicando la propiedad undamental:

x=100 3000

15000=

300000

15000= 20

Al precio del buzo se le aplic un 20% de descuento.

Un producto de impor-tacin pasa por cincointermediarios, cada uno

de ellos lo vende aadiendoun 10% al precio que pagapor l. En qu porcentajese ver incrementado elprecio fnal cuando llegueal consumidor?

Desafoal ingenio


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Unidad

Problemas

En una ciudad de 98 000 habitantes, el 27% anda en bicicleta.1.

Que raccin representa a los habitantes que usan bicicleta?a)

Cuntos habitantes no andan en bicicleta?b)

Una amilia tiene un presupuesto de $ 200 000 mensuales2.para el supermercado. El 10% lo destina a golosinas, el 27%a artculos de aseo y el 52% a alimentos.

Cunto dinero destina la amilia para artculos de aseo?a)

Cunto dinero destina la amilia para golosinas y alimentos?b)

Cunto pagaron por los tres productos?f

Para saber cunto pagaron por los tres productos, solo habra querestar al precio de los guantes y de la raqueta de tenis los descuentos yal resultado sumarle los $ 12 000 que cost el buzo. Observa la siguiente

tabla en la que se han destacado con rojo las cantidades calculadas:Producto Precio [$] % descuento Cantidad pagada [$]Guantes 9 000 8 9 000 720 = 9 280

Raqueta de tenis 18 000 25 18 000 4 500 = 13 500

Buzo 15 000 20 15 000 3 000 = 12 000

TOTAL A PAGAR 34 780


Calcula el valor de los siguientes porcentajes:a.

a) 10% de 5 000 = d) 15% de 10 000 =

b) 50% de 40 000 = e) 20% de 57 860 =

c) 25% de 98 260 = ) 63% de 150 000 =

Ejercicios grupales

Formen un grupo de 4 personas y pnganse en esta situacin: se les asigna un presupuestoa.de $ 100 000 para ir de compras. Seleccionen dentro de los siguientes productos lo que van acomprar, considerando el descuento aplicado a cada uno y el presupuesto del que disponen

(pueden comprar varias unidades de un mismo producto). Armen su canasta de compras ypresntenla al curso:

- MP3: $ 38 500 (50%) - Pelotas de tenis: $ 5 000 (18%)

- DVD El hombre araa3: $ 12 000 (30%) - Zapatillas: $ 25 000 (15%)

Un porcentaje de des-cuento se puede indicaranteponindole un signonegativo. Por ejemplo, un18% de descuento lo pode-mos representar por -18%.Anlogamente, un interslo podemos representaranteponiendo un signopositivo al porcentaje.

Desarrollo

HIPERTEXTO


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Unidad 252

Interpretacin de informacin

porcentual

Una cadena de tiendas realiza rebajas en algunas de sus reas deproductos: en perumera un 20% de descuento, en juguetera un 30%y en electrnica un 15%.

Qu signifca para nosotros esta inormacin?f

Cuando hablamos de porcentaje de descuento o porcentaje de au-mento, debemos tener en cuenta que este porcentaje se calcula respectoal precio del producto. Por ejemplo, el aplicar un 30% de descuentoa juguetera no signifca que del precio de cada uno se descuente lamisma cantidad de dinero. Esta cantidad es variable y depende del

precio de cada juguete.Si un juego de azar cuesta $ 10 000 y un autito cuesta $ 5 000, cuntofdebemos pagar por estos productos?

Calculamos el 30% del precio de cada uno de ellos y esta cantidadde dinero es la que debemos descontar del precio original de cada

producto. Observa:

Juguete Precio 30% del precio Lo que pagaremos

Juego de azar $ 10 000 0,3 10 000 = 3 000 10 000 3 000 = 7 000

Autito $ 5 000 0,3 5 000 = 1 500 5 000 1 500 = 3 500

A menudo encontramos en diarios o revistas inormaciones en

trminos porcentuales y es importante saber interpretarlas de maneracorrecta. En un diario encontramos una noticia que dice:

Sernatur celebr el rumbo que ha mostrado el turismo en el 2008

Las proyecciones sobre el nmero de turistas que llegaran al pas indica-ban aproximadamente 700 000 visitantes para los dos primeros meses del2008. Sin embargo se registr el ingreso de ms de 750 000 personas, loque signica un 13,6% ms de visitas que en el 2007.

Se inorm tambin que Santiago y sus alrededores ue el lugar ms visitado

con un 46,8% del total de turistas.

Aproximadamente, cuntos turistas vinieron al pas los dos pri-fmeros meses del 2007?

Cmo interpretas el porcentaje de visitantes que tuvo Santiago?f

Identifquemos los datos contenidos en la inormacin:

Debes comprar una cal-

culadora cientica quecuesta $ 18 000. La t iendaque la orece le aplica undescuento del 15%. Sinembargo, tambin debeincorporarle el IVA queincrementa su valor enun 5%. Qu opcin espreerible para adquirirlaa un valor menor, que se

le aplique el IVA antesdel descuento o despusde l?

Desafoal ingenio

El Servicio Nacional deTurismo SERNATUR

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