Tight-binding y emergencia de la ecuación de Dirac en …kfubuki.github.io/docs/Grafeno.pdf ·...
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
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Tight-binding y emergencia de la ecuación de Diracen el grafeno
Andrea Santamaría GarcíaUniversidad Autónoma de Madrid
Mayo 2013
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Outline
...1 IntroducciónAlótropos del carbonoEstructura electrónica del grafeno
...2 Aproximación tight bindingVectores de redFunciones de onda BlochResoluciónBandas de energía πGrafeno: semiconductor de gap cero
...3 Deducción de la ecuación de Dirac
...4 AnálisisQuiralidadAlgunas consecuencias
...5 Bibliografía
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.
Alótropos del carbono:
Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales
Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.
Grafeno: Una sola capa de grafito
Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.
Alótropos del carbono:
Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales
Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.
Grafeno: Una sola capa de grafito
Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.
Alótropos del carbono:
Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales
Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.
Grafeno: Una sola capa de grafito
Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.
Alótropos del carbono:
Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales
Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.
Grafeno: Una sola capa de grafito
Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.
Alótropos del carbono:
Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales
Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.
Grafeno: Una sola capa de grafito
Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Alótropos del carbono
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Estructura electrónica del grafeno
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Estructura electrónica del grafeno
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Red cristalina
a1 =a2(3,
√3) ; a2 =
a2(3,−
√3)
Primeros vecinos
δ1 =a2(1,
√3) ; δ2 =
a2(1,−
√3)
δ3 =−a(1,0)
Para pasar a red recíproca en 2D:
a1∗= b1 = 2π
a2 × n|a1 × a2|
; a2∗= b2 = 2π
n× a1
|a1 × a2|con ai
∗. aj = 2πδij
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Red cristalina
a1 =a2(3,
√3) ; a2 =
a2(3,−
√3)
Primeros vecinos
δ1 =a2(1,
√3) ; δ2 =
a2(1,−
√3)
δ3 =−a(1,0)
Para pasar a red recíproca en 2D:
a1∗= b1 = 2π
a2 × n|a1 × a2|
; a2∗= b2 = 2π
n× a1
|a1 × a2|con ai
∗. aj = 2πδij
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Red cristalina
a1 =a2(3,
√3) ; a2 =
a2(3,−
√3)
Primeros vecinos
δ1 =a2(1,
√3) ; δ2 =
a2(1,−
√3)
δ3 =−a(1,0)
Para pasar a red recíproca en 2D:
a1∗= b1 = 2π
a2 × n|a1 × a2|
; a2∗= b2 = 2π
n× a1
|a1 × a2|con ai
∗. aj = 2πδij
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Red cristalina
a1 =a2(3,
√3) ; a2 =
a2(3,−
√3)
Primeros vecinos
δ1 =a2(1,
√3) ; δ2 =
a2(1,−
√3)
δ3 =−a(1,0)
Para pasar a red recíproca en 2D:
a1∗= b1 = 2π
a2 × n|a1 × a2|
; a2∗= b2 = 2π
n× a1
|a1 × a2|con ai
∗. aj = 2πδij
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)
Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden
Red recíproca: b1 =2π3a
(1,√
3) ; b2 =2π3a
(1,−√
3)
Puntos K: K =2π3a
(1,
1√3
); K ′ =
2π3a
(1,− 1√
3
)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)
Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden
Red recíproca: b1 =2π3a
(1,√
3) ; b2 =2π3a
(1,−√
3)
Puntos K: K =2π3a
(1,
1√3
); K ′ =
2π3a
(1,− 1√
3
)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)
Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden
Red recíproca: b1 =2π3a
(1,√
3) ; b2 =2π3a
(1,−√
3)
Puntos K: K =2π3a
(1,
1√3
); K ′ =
2π3a
(1,− 1√
3
)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Vectores de red
Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)
Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden
Red recíproca: b1 =2π3a
(1,√
3) ; b2 =2π3a
(1,−√
3)
Puntos K: K =2π3a
(1,
1√3
); K ′ =
2π3a
(1,− 1√
3
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Funciones de onda Bloch
Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz
|ΨA⟩= ∑n
eik RAn
√N
CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩
|ΨB⟩= ∑n
eik RBn
√N
CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩
⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩
N=no de celdas unidad
ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz
Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición
Tomamos Rn = RAn y RB
n = Rn + δ3
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Funciones de onda Bloch
Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz
|ΨA⟩= ∑n
eik RAn
√N
CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩
|ΨB⟩= ∑n
eik RBn
√N
CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩
⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩
N=no de celdas unidad
ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz
Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición
Tomamos Rn = RAn y RB
n = Rn + δ3
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Funciones de onda Bloch
Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz
|ΨA⟩= ∑n
eik RAn
√N
CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩
|ΨB⟩= ∑n
eik RBn
√N
CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩
⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩
N=no de celdas unidad
ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz
Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición
Tomamos Rn = RAn y RB
n = Rn + δ3
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Hamiltoniano de tight binding
Calculemos los elementos del Hamiltoniano de tight binding (sóloprimeros vecinos):
HAA =1N ∑
RA
∑R′
A
eik(RA′−RA)⟨ϕA(r − RA
n )|H|ϕA(r − RAn′)⟩
HAA =1N ∑
RA
∑R′
A
⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕA(r − RA
n )⟩= EA ; HBB = EB
HAB =1N ∑
RA
∑RB
eik(RB−RA)⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕB (r − RB
n )⟩
HAB =−Vppπ(1+e−ik a1 +e−ik a2) = Vppπ f (k) ; HBA =−Vppπ f ∗(k)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Hamiltoniano de tight binding
Calculemos los elementos del Hamiltoniano de tight binding (sóloprimeros vecinos):
HAA =1N ∑
RA
∑R′
A
eik(RA′−RA)⟨ϕA(r − RA
n )|H|ϕA(r − RAn′)⟩
HAA =1N ∑
RA
∑R′
A
⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕA(r − RA
n )⟩= EA ; HBB = EB
HAB =1N ∑
RA
∑RB
eik(RB−RA)⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕB (r − RB
n )⟩
HAB =−Vppπ(1+e−ik a1 +e−ik a2) = Vppπ f (k) ; HBA =−Vppπ f ∗(k)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Resolución
Nos queda:(EA −Vppπ f (k)
−Vppπ f ∗(k) EB
)(CA(k)CB (k)
)= E (k)
(CA(k)CB (k)
)(
EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)
)(CA(k)CB (k)
)= 0
Diagonalizando y resolviendo para E (k):
E (k) =EA +EB
2±
√(EA −EB
2
)2
+Vppπ2|f (k)|2
Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|
Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Resolución
Nos queda:(EA −Vppπ f (k)
−Vppπ f ∗(k) EB
)(CA(k)CB (k)
)= E (k)
(CA(k)CB (k)
)(
EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)
)(CA(k)CB (k)
)= 0
Diagonalizando y resolviendo para E (k):
E (k) =EA +EB
2±
√(EA −EB
2
)2
+Vppπ2|f (k)|2
Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|
Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Resolución
Nos queda:(EA −Vppπ f (k)
−Vppπ f ∗(k) EB
)(CA(k)CB (k)
)= E (k)
(CA(k)CB (k)
)(
EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)
)(CA(k)CB (k)
)= 0
Diagonalizando y resolviendo para E (k):
E (k) =EA +EB
2±
√(EA −EB
2
)2
+Vppπ2|f (k)|2
Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|
Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Bandas de energía π
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Resolución
También puede expresarse como:
E (k)=±Vppπ
√1+4cos2
(√3
2ky a
)+4cos
(√3
2ky a
)cos
(32
kxa
)
Si expandimos esta expresión alrededor de los puntos de Dirack = p+ K (K ′) con ayuda de:
E (p+ K (K ′))≈ E (K (K ′))+E ′(K (K ′)).p+O
[(p
K
)2]
Obtenemos:
E (p)≈±32
aVppπ |p| −→︸︷︷︸vF=
32h aVppπ
E (p)≈±hvF |p|
a = 1.42×10−10m ; Vppπ = 2.8eV → vF ≈ 9×107cm/s
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Resolución
También puede expresarse como:
E (k)=±Vppπ
√1+4cos2
(√3
2ky a
)+4cos
(√3
2ky a
)cos
(32
kxa
)Si expandimos esta expresión alrededor de los puntos de Dirack = p+ K (K ′) con ayuda de:
E (p+ K (K ′))≈ E (K (K ′))+E ′(K (K ′)).p+O
[(p
K
)2]
Obtenemos:
E (p)≈±32
aVppπ |p| −→︸︷︷︸vF=
32h aVppπ
E (p)≈±hvF |p|
a = 1.42×10−10m ; Vppπ = 2.8eV → vF ≈ 9×107cm/s
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Grafeno: semiconductor de gap cero
Se debe a que el cristal tiene simetría de inversiónV (−x ,y) = V (x ,y) (átomos A y B iguales)Si V (−x ,y) = V (x ,y) gap no nulo: Eg = |EA −EB|
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Deducción de la ecuación de Dirac
Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√
p2x +p2
y
Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:
(p2x +p2
y)
(1 00 1
)=
(0 px − ipy
px + ipy 0
)(0 px − ipy
px + ipy 0
)σx =
(0 11 0
); σy =
(0 −ii 0
)→
√(p2
x +p2y)I = pxσx +py σy
Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇
Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Deducción de la ecuación de Dirac
Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√
p2x +p2
y
Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:
(p2x +p2
y)
(1 00 1
)=
(0 px − ipy
px + ipy 0
)(0 px − ipy
px + ipy 0
)σx =
(0 11 0
); σy =
(0 −ii 0
)→
√(p2
x +p2y)I = pxσx +py σy
Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇
Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Deducción de la ecuación de Dirac
Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√
p2x +p2
y
Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:
(p2x +p2
y)
(1 00 1
)=
(0 px − ipy
px + ipy 0
)(0 px − ipy
px + ipy 0
)σx =
(0 11 0
); σy =
(0 −ii 0
)→
√(p2
x +p2y)I = pxσx +py σy
Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇
Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Deducción de la ecuación de Dirac
Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√
p2x +p2
y
Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:
(p2x +p2
y)
(1 00 1
)=
(0 px − ipy
px + ipy 0
)(0 px − ipy
px + ipy 0
)σx =
(0 11 0
); σy =
(0 −ii 0
)→
√(p2
x +p2y)I = pxσx +py σy
Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇
Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Quiralidad
La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(
ΨA
ΨB
)↔
(Ψ↑Ψ↓
); ↑,↓= pseudospin
En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Quiralidad
La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(
ΨA
ΨB
)↔
(Ψ↑Ψ↓
); ↑,↓= pseudospin
En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)
Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)
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. . . .Introducción
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. . .Análisis Bibliografía
Quiralidad
La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(
ΨA
ΨB
)↔
(Ψ↑Ψ↓
); ↑,↓= pseudospin
En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Algunas consecuencias
Supresión del "backscattering": debido a la conservación delpseudo-spin, un potencial de largo alcance no puede dispersarun electrón en sentido contrario al de su movimiento (cambiar laquiralidad)
⇒ Da lugar a una movilidad de portadores muy grande hasta atemperatura ambiente (interesante para sustituir al silicio)
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. . . .Introducción
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. . .Análisis Bibliografía
Algunas consecuencias
Supresión del "backscattering": debido a la conservación delpseudo-spin, un potencial de largo alcance no puede dispersarun electrón en sentido contrario al de su movimiento (cambiar laquiralidad)
⇒ Da lugar a una movilidad de portadores muy grande hasta atemperatura ambiente (interesante para sustituir al silicio)
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Algunas consecuencias
Tuneleo Klein: en el grafeno no hay gap debido a laconservación del pseudo-spin → posible transmisión a través deuna barrera npn
⇒ Da pie a posible diseño de "transistores de carbono"
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Algunas consecuencias
Tuneleo Klein: en el grafeno no hay gap debido a laconservación del pseudo-spin → posible transmisión a través deuna barrera npn
⇒ Da pie a posible diseño de "transistores de carbono"
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. . . .Introducción
. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac
. . .Análisis Bibliografía
Bibliografía
WALLACE, P.R.The band theory of graphitePhysical Review, volume 71, number 9 (1947)
CASTRO NETO, A.H., GUINEA, F., PERES, N.M.R.,NOVOSELOV, K.S., GEIM, A.K.The electronic properties of graphenePreprint arXiv: 0709.1163v2 (2008)
REICH, S., MAULTZSCH, J., THOMSEN, C.Tight binding description of graphenePhysical Review B 66, 035412 (2002)
BENA, C., MONTAMBAUX, G.Remarks on the tight binding model of grapheneNew Journal of Physics 11 (2009) 095003
https://courses.cit.cornell.edu/ece407/Lectures/Lectures.htm