Tipos de Errores

5/17/2018 Tipos de Errores - slidepdf.com

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍAMECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD ZACATENCO

INGENIERÍA EN COMUNICAIONES YELECTRÓNICA

ACADEMIS DE COMPUTACIONANALISIS NUMERICO

PROF. CALZADA SERAFIN FELIPE

4CV1

DE JESUS ALVAREZ GUSTAVO

2011301726

ERRORES EN LA INGENIERIA

FEHCHA DE ENTREGA2/02/11



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ÍndiceObjetivo…………………………………………………………… 3 1.1 Introducción ………………………………………………... 31.2 Definición de error …………………………………………. 5

1.3 Clasificación de errores…………………………………….. 61.3.1 Errores introducidos por instrumento ………………………. 61.3.1.1 Error de apreciación, σap…………………………………. 61.3.1.2 Error de exactitud, σ exac …………………………………. 61.3.1.3 Error de interacción, σ int ………………………………… 61.3.2 Falta De Definición En El Objeto Sujeto A Medición……… 6 1.3.3 Errores Sistemáticos……………………………………….... 71.3.4 Errores Ilegítimos o Espurios……………………………….. 7

1.4 Cifras Significativas………………………………………….. 8 1.5 Error de una magnitud que se mide una única vez………….... 9 1.6 Error de una magnitud que se mide directamente n veces….... 9 1.7 Error por truncamiento……………………………………….. 111.8 Error numérico total………………………………………….. 11 1.9 Errores por equivocación……………………………………. 121.10 Errores de formulación…………………………………….. 121.11 Error por redondeo…………………………………………. 12Conclusiones……………………………………………………... 13Bibliografía………………………………………………………. 13



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OBJETIVOEntender los distintos tipos de errores que se pueden cometer en la ingeniería ya sea porparte del instrumento por medición y por el ingeniero mismo.

1.1 INTRODUCCIÓN

Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que puededeterminarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido.Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A lamagnitud de un objeto específico que estamos interesado en medir, la llamamos mesurando.Por ejemplo, si estamos interesado en medir la longitud de una barra, esa longitudespecífica será el mesurando

Para establecer el valor de un mesurando tenemos que usar instrumentos de medición y unmétodo de medición. Asimismo es necesario definir unidades de medición. Por ejemplo, sideseamos medir el largo de una mesa, el instrumento de medición será una regla.

Si hemos elegido el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y laregla a usar deberá estar calibrada en esa unidad (o submúltiplos). El método de mediciónconsistirá en determinar cuantas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitudbuscada.

En ciencias e ingeniería, el concepto de error tiene un significado diferente del uso habitualde este término. Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo oequivalente a equivocación. En ciencia e ingeniería, el error, como veremos en lo que sigue,está más bien asociado al concepto de incerteza en la determinación del resultado de unamedición.

Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas (o límitesprobabilísticos) de estas incertezas. Gráficamente, buscamos establecer un intervalox - Dx £ x £ x + Dx como el de la Figura 1.1, donde con cierta probabilidad, podamos decirque se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el másrepresentativo de nuestra medición y al semiancho Dx lo denominamo la incerteza o errorabsoluto de la medición.

Figura 1.1. Intervalo asociado al resultado de una medición. Notamos que, en lugar de darun único número, definimos un intervalo. Al valor representativo del centro del intervalo ( x) lo llamamos el mejor valor deEl semi ancho del imntaegrvnaitluod ( D x ) se denominen la incertidumbre o error absoluto

de la medición.



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Otra fuente de error que se origina en los instrumentos además de la precisión es laexactitud de los mismos. Como vimos, la precisión de un instrumento o un método demedición está asociada a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se puedadetectar con dicho instrumento o método

MARCO TEÓRICOLa exactitud de un instrumento o método de medición está asociada a la calidad de lacalibración del mismo. Imaginemos que el cronómetro que usamos es capaz de determinarla centésima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj depulsera común no lo hace. En este caso decimos que el cronómetro es todavía más precisoque el reloj común, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de lacalibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptadosinternacionalmente. En general los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertoslímites. Es deseable que la calibración de un instrumento sea tan buena como la apreciacióndel mismo. La Figura 1.2 ilustra de modo esquemático estos dos conceptos.

Figura 1.2 Esta figura ilustra de modo esquemático los conceptos de precisión yexactitud.Los centros de los círculos indican la posición del “verdadero valor” del mesurando y lascruces los valores de varias determinaciones del centro. La dispersión de los puntos da unaidea de la precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud.

a) es una determinación precisa pero inexacta, mientras d) es más exacta pero imprecisa; b)es una determinación más exacta y más precisa; c) es menos precisa que a).

Decimos que conocemos el valor de una magnitud dada, en la medida en que conocemossus errores. En ciencia consideramos que la medición de una magnitud con un cierto errorno significa que se haya cometido una equivocación o que se haya realizado una malamedición. Con la indicación del error de medición expresamos, en forma cuantitativa y lomás precisamente posible, las limitaciones que nuestro proceso de medición introduce en la



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determinación de la magnitud medida.

1.2 DEFINICIÓN DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar lasoperaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan derepresentar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores deredondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos deerrores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dado por :

Valor verdadero = valor aproximado + error (Ec.1 )

Reordenando la ecuación Ec.1, se encuentra que el error numérico es igual a la diferenciaentre el valor verdadero y el valor aproximado esto es:

Ev = valor verdadero – valor aproximado

Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v par dara entender que se trata del “verdadero” error. Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de magnitud delvalor que se esta probando . Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho massignificativo si se esta midiendo un remache que un puente. Una manera de medir lasmagnitudes de las cantidades que se están evaluendo es normalizar el error respecto al valorverdadero, como en:

Error relativo fraccional = error / valor verdadero

Donde:Error = valor verdadero – valor aproximado.El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Ev =(error verdadero/ valor verdadero ) 100; Donde Ev denota el error relativo porcentual. Elsubíndice v significa la normalización del error al valor verdadero .

Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla defunciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no seconoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usandola mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado)100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado .Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimacionesdel error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como ladiferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentualestá dado por



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Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100)Si se cumple la relación anterior , entonces se considera que el resultado obtenido estadentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado(Es):Abs(Ea) <>

1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORESExisten varias formas de clasificar y expresar los errores de medición. Según su origen loserrores pueden clasificarse del siguiente modo:

1.3.1 Errores introducidos por el instrumento:

1.3.1.1 ERROR DE APRECIACIÓN, σ ap Si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizaruna medición estará asociada a la mínima división de su escala o a la mínima división quepodemos resolver con algún método de medición. Nótese que no decimos que el error de

apreciación es la mínima división del instrumento, sino la mínima división que esdiscernible por el observador. La mínima cantidad que puede medirse con un dadoinstrumento la denominamos apreciación nominal. El error de apreciación puede ser mayoro menor que la apreciación nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) delobservador. Así, es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una reglacomún fracciones del milímetro mientras que otro observador, con la misma regla pero condificultades de visión sólo pueda apreciar 2 mm.

1.3.1.2 ERROR DE EXACTITUD, σ exac Representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestión ha sido calibrado.

1.3.1.3 ERROR DE INTERACCIÓN, σintEsta incerteza proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su

determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisiscuidadoso del método usado.

1.3.2 FALTA DE DEFINICIÓN EN EL OBJETO SUJETO A MEDICIÓNComo se dijo antes, las magnitudes a medir n están definidas con infinita precisión. Conσdef designamos lao incertidumbre asociada con la falta de definición del objeto a medir yrepresenta su incertidumbre intrínseca.

En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estaránpresentes, de modo que resulta útil definir el error nominal de una medición σ

nom, como:

σ nom + σ ap + σ def +σ int =σ exac

Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadística, yproviene de suponer que todas las distintas fuentes de error son independientes una deotras.Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e ilegítimos oespurios.



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1.3.3 ERRORES SISTEMÁTICOS Se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Por ejemplo, pensemos enun reloj que atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los erroresintroducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultadossiempre en un mismo sentido. El valor de σexac sería un ejem plo de error sistemático pero

no son lo mismo, ni los errores de exactitudson los únicos responsables de los erroressistemáticos. Imaginemos por ejemplo el caso de una balanza bien calibrada que se usa paraconocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios, como es usualque las personas (en público) se pesen vestidas, los valores registrados con estas balanzastendrán un error sistemático por el peso de la vestimenta. La única manera de detectarlos ycorregirlos es comparar nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizar unaanálisis crítico y cuidadoso del procedimiento empleado. También es aconsejable intercalaren el proceso de medición patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durantela medición.

Errores estadísticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas

múltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el númerode divisiones de una regla, o si estamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estoserrores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tanto,midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente.Es a este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría estadística deerrores de medición que formularemos sucintamente en lo que sigue. A estos errores lodesignaremos con σest.

1.3.4 ERRORES ILEGÍTIMOS O ESPURIOSSupongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ellodeterminamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nosequivocamos en el número introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bienusamos una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error.Esta vez este error está más asociado al concepto convencional de equivocación. A este tipode errores los designamos como ilegítimos o espurios. A este tipo de errores no se aplica lateoría estadística de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa delos procedimientos realizados en la medición Un ejemplo de este tipo de error es el que secometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasar de pulgadas a cm se cometióun error que costo el fracaso de dicha misión a Marte.

Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los estadísticos, la prescripciónusual es sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar la raíz cuadradade este resultado, como lo indica la Ec. (1.2). Si estamos midiendo una magnitud Z,el error final o combinado o efectivo de Z, ∆ Z, vendrá dado por:

Z =√ σ σ = σ σ σ σ σ

Los errores pueden asimismo expresarse de distintos modos, a saber:



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ERROR ABSOLUTO Es el valor de la incertidumbre combinada (Ec. 1.2). Tiene las mismas dimensiones que lamagnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si Z es lamagnitud en estudio, Z es el mejor valor obtenido y D Z su incertidumbre absoluta. Elresultado se expresa adecuadamente como:

Z = Z ± D Z (1.3)El significado de esta notación es equivalente a decir que, según nuestra medición, con unacierta probabilidad razonable p0 (usualmente p0 = 0.68, 68%) el valor de Z está contenidoen el intervalo ( Z -DZ, Z +DZ), o sea:

Z - D Z < Z < Z + D Z (1.4)lo que es equivalente a:

P( Z - D Z < Z < Z + D Z ) = p0 , (1.5)que significa que la probabilidad que el mejor estimador de Z esté comprendidoentre Z -DZ y Z +DZ es igual a p0. El valor de p0 se conoce con el nombre decoeficiente de confianza y los valores ( Z - D Z , Z + D Z ) determinan un intervalo

de confianza para Z.

ERROR RELATIVOeZ = D Z / Z , el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud.

ERROR RELATIVO PORCENTUAL Z Z e =100×e ,% , es la incertidumbrerelativa multiplicada por 100.

1.4 CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que, sisomos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o,en el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más. De este modonuestro resultado podría ser L = (95.2 ± 0.5) mm, o bien L = (95 ± 1) mm. En el primercaso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el segundo caso sólodos. El número de cifras significativas es igual al número de dígitos contenidos en elresultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error,incluyendo este dígito.El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en nuestrocaso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos“menos seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L máscifras que aquellas en donde tenemos incertidumbres (donde “cae” el error). No es correcto expresar el resultado como L =

incertidumbre del orden de 1 mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas,centésimas y milésimas del milímetro. Si el valor de L proviene de un promedio y el errores del orden del milímetro, se debe redondear el dígito donde primero cae el error.Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casosexcepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más. También es usualconsiderar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la última cifra si esque no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo disponemos de la información queuna longitud es L = 95 mm, podemos suponer que la incertidumbre es del orden delmilímetro y, como dijimos antes, el resultado de L tiene dos cifras significativas.



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Una posible fuente de ambigüedad se presenta con el número de cifras significativascuando se hace un cambio de unidades. Si en el último ejemplo deseamos expresar L en m,el resultado sería L = (95000±1000) m. ¿Cuántas cifras significativas tenemos en esteresultado?Claramente dos, igual que antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo 5. Sin

embargo, si no indicamos explícitamente la incertidumbre de L, es difícil saber cuántastiene sólo dos cifras significativas mientras el segundo tiene 5 (a propósito compare loscostos de los instrumentos para realizar estas dos clases de determinaciones). Para evitarestas ambigüedades se emplea la notación científica. Podemos escribir la siguienteigualla igualdad tienen igual número de cifras significativas, siendo la única diferencia lasunidades usadas.

1.5 ERROR DE UNA MAGNITUD QUE SE MIDE UNA ÚNICA VEZ En este caso el mejor valor será simplemente el valor medido y el error vendrá dado por

el error nominal (σnom) del instrumento. Según se deduce de (1.2), ∆Z=σnom.1.6 ERROR DE UNA MAGNITUD QUE SE MIDE DIRECTAMENTE N VECES Un modo de minimizar la incidencia de los errores estadísticos, es realizar variasmediciones del mesurando. Dado el carácter al azar de los este tipo de errores es claro que,al promediar los resultados, el promedio estará menos afectado de las desviacionesestadísticas que los valores individuales. El procedimiento que se describe a continuaciónes un método para determinar el número óptimo de mediciones a realizar en cada caso y elmodo de determinar las incertidumbres asociadas al promedio. Esta teoría no es aplicablepara reducir los errores de carácter sistemático o espurio.Supongamos que se han hecho N mediciones de una misma magnitud con resultados x1, x2 ,..., x j ,... xN . Estas N determinaciones pueden ser consideradas una muestra de todaslas posibles mediciones que se podrían realizar ( población). Bajo condiciones muygenerales puede demostrarse que el mejor estimador de la magnitud x viene dado por elpromedio, x x

Este resultado es llamado también el mejor valor o estimador de x o valor más probable

del mesurando. Llamaremos a x1, x2 ,..., x j ,... xN la desviación de cada medición respecto

de x . También definimos la desviación estándar o error cuadrático medio de cadamedición, Sx . Esta cantidad es equivalente al concepto de desviación estándar de lapoblación, más específicamente Sx es un estimador de la misma. Sx da una idea globalacerca de la dispersión de los x j alrededor del promedio x . Si la distribución es ancha Sx

será grande y si es afilada su valor será pequeño (ver figura 1.3. Este estimador muestral(Sx) de la desviación estándar poblacional viene dado por:



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(1.13)

Sx tiene las mismas dimensiones físicas que x , pudiéndose comparar directamente con ésta.La calidad del proceso de medición será mayor cuanto menor sea el cociente Sx / x , que engeneral es una constante del proceso de medición y no disminuye al aumentar N .Como acabamos de discutir, Sx representa el error “promedio” de cada medición. Otramanera de explicar el significado de Sx es pensar que, cuando realizamos una serie demediciones, los resultados obtenidos presentarán una distribución estadística, cuyadesviación estándar viene dada por Sx. Si suponemos ahora que realizamos varias series de mediciones de x, y para cada una de

estas series calculamos el valor medio x

, es de esperar que estos valores tendrán unadistribución (puesto que variarán entre sí) pero con una menor dispersión que lasmediciones individuales. Se puede probar[1,3] que a medida que el número N demediciones aumenta, la distribución de x será normal con una desviación estándar dada por:

(1.14)σx se llama el error estándar del promedio y es el estimador del error asociado a x .

Recordemos que S x es la dispersión de cada medición y que no depende de N sino de lacalidad de las mediciones, mientras que σx sí depende de N y es menor cuanto más grandees N. Si, por ejemplo, estamos midiendo una longitud con una regla graduada enmilímetros, resulta claro que si aumentamos el número de mediciones podremos disminuirel error estadístico, pero nunca con este instrumento podremos dar con certeza cifras delorden de los micrones, por más que realicemos muchas mediciones. A aumentar N, σx ciertamente disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x solo puededisminuir hasta hacerse igual o del orden de σnom. La Ec. (1.2) indica que no es razonableesforzarse en disminuir σx mucho más que σnom. El balance óptimo se logra cuando σx ≈

σnom. Esto nos da un criterio para decidir cual es el número óptimo de mediciones a realizarde un mesurando. Como suponemos que S x es constante con N, la idea es hacer un númeropequeño de mediciones Nprel , digamos unas 5 a 10, luego calcular Sx , de donde seobtiene:



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(1.15)

que resulta de imponer la condición: σest ≈ σnom. Si Nop > Nprel , se completan lasmedicio-nes para lograr Nop valores. Si Nop < Nprel , no se realizan más mediciones que laspreliminaresy se usan todas ellas. En todos los casos, según la Ec. (1.2), el error combinado o efectivovendrá dado por:

(1.16)1.7 ERROR POR TRUNCAMIENTO

En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado parareducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menossignificativos.

Por ejemplo dados los números reales:3,14159265358979...32,4381912886,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a laderecha de la coma decimal.

El resultado es:3,141532,43816,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo,pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente loscorta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del errormáximo que se puede tener usando redondeo.

1.8 ERROR NUMERICO TOTALEl error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. La únicaforma de minimizar los errores de redondeo es la de incrementar el número de cifrassignificativas de la computadora.



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Representación grafica de las ventajas y desventajas entre errores de redondeo ytruncamiento que en ocasiones influyen en el curso de un método numérico. El puntoóptimo muestra donde el error de redondeo comienza a negar los beneficios dados por lareducción del tamaño de paso.

1.9 ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

En los primeros años de la computación los resultados numéricos erróneos fueronatribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy dia estafuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye aerrores humanos.Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matematica ypueden contribuir con todas las otras componentes del error. Las equivocaciones, por logeneral se pasan por alto en la discución del método numérico. Esto sin duda prueba elhecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto inevitables.

1.10 ERRORES DE FORMULACIÓN

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerarcomo un modelo matemático incompleto, ya que si se está usando un modelo deficiente,ningún método numérico generara los resultados adecuados.

1.11 ERROR POR REDONDEO Los métodos numéricos operan con datos que pueden ser inexactos y con dispositivos pararegistrar o representar a los números reales. El error de redondeo se atribuye a laimposibilidadde almacenar todas las cifras de estos números y a la imprecisión de los instrumentos demedición con los cuales se obtiene los datos para lor problemas.

Definición : Error de redondeo absolutoSean:



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X: Valor exacto(usualmente desconocido)X : Valor aproximado (observado o calculado)EX = X – X= Error de redondeo absoluto

Definición : Error de redondeo relativo

X: Valor exacto(usualmente desconocido)X : Valor aproximado (observado o calculado)E: Error de redondeo absoluto

Error de redondeo relativo. X, X diferentes de cero.

CONCLUSIONESDebemos tomar en consideración los tipos de errores presentes en los cálculos ymediciones para reducir nuestro grado de error en lo mínimo y este no traiga consecuenciasfuturas.

BIBLIOGRAFÍA

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Consultas de internet

http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html




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