Tipos de LenguajeLenguaje OralConjunto de sonidos articulados con que el hombre manifiesta lo que piensa o siente, se expresa mediante signos y palabras habladas. Hay mltiples formas de comunicacin oral. Los gritos, silbidos, llantos y risas pueden expresar diferentes situaciones anmicas y son una de las formas ms primarias de la comunicacin. La forma ms evolucionada de comunicacin oral es el lenguaje articulado, los sonidos estructurados que dan lugar a las slabas, palabras y oraciones con las que nos comunicamos con los dems Lenguaje escritoEs la representacin de una lengua por medio del Sistema de escritura. El lenguaje escrito es una invencin con la que los nios han de aprender, que se aprende instintivamente o crea un lenguaje hablado o lenguajes gestuales.El lenguaje escrito existe solamente como complemento para especificar el lenguaje hablado, y no es un Lenguaje natural puramente escrito. Sin embargo, las lenguas extintas pueden ser en efecto escritas puramente cuando slo sobreviven sus escrituras.Lenguaje Grafico o VisualLas imgenes visuales pueden estar constituidas, en su nivel ms elemental, por color, forma y movimiento. Mientras que en la imagen fija (esttica) el movimiento es considerado nulo, en la imagen en movimiento (dinmica) el movimiento est presente en mayor o menor grado. En cualquier caso, unas y otras presentan otros elementos comunes como la textura visual y los rasgos asociados a los atributos propios del color y de la forma (como, por ejemplo, sugerencia de luz y de viveza) en diversas medidas. Caractersticas perceptuales como el color, la forma, la textura visual o el grado de dinmica son identificables en cualquier imagen o configuracin visual. Lenguaje TextualLenguaje explcito que utiliza la gente para comunicarse con los dems, es decir, las palabras textuales y exactas que dice la gente.Lenguaje gestual y corporalEn nuestra vida cotidiana, constantemente estamos enviando mensajes no verbales a otras personas (muecas, seales con brazos, manos, dedo, direcciones de pies, miradas), que pueden ser mucho ms importantes de lo que nosotros creemos. Lenguaje ArtsticoEs un lenguaje con sistema especfico de comunicacin entre individuos, que emplea signos propios y ordenados de modo espaciotemporal y jerrquico, de un manera particular.Lenguaje VirtualEs el que establece lazos de unin entre los hechos cientficos y el pblico en general, creando espacios y medios de vinculacin social, econmico y de tecnologa; que posibilitan la circulacin de datos e informacin de forma simultnea hacia cualquier lugar del planeta.Proceso de comunicacinAnlisis del cdigo lingsticoTeniendo en cuenta el cdigo lingstico, el idioma del texto es el castellano, y aparece una frase en italiano. EN CUANTO AL CDIGO SOCIOCULTURAL, el destinador tiene saberes conceptuales en la disciplina entomologa,cito, A pesar de que en algunas pelculas nos muestran que hay hormigas obreras de sexo masculino, todas las obreras son hembras.Refirindonos al cdigo ideolgico, este texto se presenta feminista,cito,Despus del acrobtico apareamiento en el aire entre las hembras y los machos alados, los ltimos mueren, ya han cumplido su misin en la vida (cualquier semejanza con el gnero humano es coincidencia). En cuanto al cdigo retrico, presenta un tipo de texto explicativo porque desarrolla el tema de las hormigas, y con respecto al gnero discursivo es de divulgacin cientfica, porque es escrito por un destinador especializado para un destinatario no especializado.PROCESO DE COMUNICACINELEMENTOS DEL PROCESO DE COMUNICACIN.Antes de iniciar las diferentes etapas que conforman el proceso de comunicacin, se debe comprender como funciona la comunicacin en si, para lo cual se debe analizar los elementos que interactan en ella. Dos de estos constituyen las partes importantes de la comunicacin: el transmisor o emisor y el receptor. Otros dos son las herramientas ms importantes de la comunicacin: el mensaje y los medios. Cuatro ms de estos constituyen importantes funciones de comunicacin: la codificacin, la decodificacin, la respuesta y la retroalimentacin. Por ltimo se encuentra el ruido como elemento. A continuacin se definirn tales elementos aplicndolo a un anuncio de televisin del Hotel Decamern Salinitas.

EL EMISOR O TRANSMISOR.Es la parte que enva el mensaje a otra parte, en este caso es el Hotel Decamern Salinitas.

CODIFICACIN.Es el proceso por el que una idea adquiere una forma simblica, la agencia de publicidad de Hotel Decamern Salinitas, incluye palabras e ilustraciones en un anuncio que transmite el mensaje deseado.MENSAJE.Es la serie de smbolos que el transmisor comunica, esto es, el anuncio del Hotel Decamern Salinitas.MEDIOS.Son los canales de comunicacin a travs de los cuales el mensaje se mueve del transmisor al receptor, en este caso la televisin Nacional e internacional cuando se promueve como destino internacional.DECODIFICADOR.Es el proceso por medio del cual el receptor asigna un significado a los smbolos codificados por el transmisor, un consumidor observa el anuncio e interpreta las palabras y las ilustraciones que este contiene.RECEPTOR.Es la parte que recibe el mensaje enviado por el emisor, es decir el consumidor de Decamern.

RESPUESTA.Son las reacciones del receptor despus de recibir el mensaje. Existen cientos de posibles respuestas tales como que al consumidor le guste aun ms el Decamern, es posible que visite prximamente el hotel.RETROALIMENTACIN.Es la parte de la respuesta del receptor, que se enva de regreso al transmisor, investigacin de Decamern muestra que a los consumidores les gusta el anuncio y lo recuerdan.RUIDO.Es la disposicin, inesperada durante el proceso de comunicacin que da como resultado que el receptor capte un mensaje distinto.Funciones del lenguajeSe refiere al uso de lalenguaque hace un hablante. Son los diferentes objetivos, propsitos y servicios que se le dan al lenguaje al comunicarse, dndose una funcin del lenguaje por cada factor que tiene ste, en donde la funcin que prevalece es el factor en donde ms se pone nfasis al comunicarse.Funcin referencialLa Representativa o referencial, por la cual se trasmite una informacin objetivamente. Es la funcin principal del lenguaje, ya que es la que transmite informacin ms amplia.Funcin emotivaSe encuentra en primera persona y su efecto de sentido es de identificacin. Tambin llamada funcin expresiva o sintomtica. Esta funcin le permite al emisor la exteriorizacin de sus actitudes, de sus sentimientos y estados de nimo, as como la de sus deseos, voluntades, nivel socioeconmico y el grado de inters o de apasionamiento con que realiza determinada comunicacin. Funcin apelativa o conativaSe centra en el receptor. Es la funcin de mandato y pregunta. Sus recursos lingsticos son los vocativos, modo imperativo, oraciones interrogativas, utilizacin deliberada de elementos afectivos, adjetivos valorativos, trminos connotativos y toda la serie de recursos retricos. Funcin poticaEs la orientada al mensaje. Aparece siempre que la expresin atrae la atencin sobre su forma. Constante en lenguaje publicitario. Cualquier manifestacin en la que se utilice a propsito el lenguaje con propsito esttico o chocante. Sus recursos son variados, todas las figuras estilsticas y juegos de palabras.Funcin fticaEsta funcin est principalmente orientada al canal de comunicacin entre el emisor y el receptor. Su finalidad es iniciar, prolongar, interrumpir o finalizar una conversacin o bien sencillamente comprobar si existe algn tipo de contacto. Su contenido informativo es nulo o escaso y se utiliza como forma o manera de saludo.Funcin metalingsticaSe centra en el cdigo de la lengua. Se utiliza para hablar del propio lenguaje que tienen todos los seres vivos.Aclara el mensaje. Se manifiesta en declaraciones y definiciones.Refiere al lenguaje. Ejemplo: "Pedro tiene 5 letras".Niveles de la lenguaRelacin entre lengua y lenguaje 1. Lenguaje es un componente inseparable de la cultura, su gnesis y su desarrollo solo pueden ser estudiados en relacin con la evolucin histrica social. Por lo tanto el lenguaje es la herramienta material del pensamiento, sin las palabras el hombre no puede pensar racionalmente.2. LENGUA= CONVENCIN SOCIAL DE SISTEMA, SUPEDITADA A LA GEOGRAFA. UN La lengua sirve para poner en escena el pensamiento, mediante el conocimiento y la formacin intelectual y colectiva del ser humano. Lengua o idioma, sistema de signos lingsticos o vocales que usa una comunidad determinada para expresar sus ideas, pensamientos etc. Lengua espaola, inglesa, latina.Relacin entre lengua e idiomaIdioma: Es la lengua de un pueblo o nacin, que la mayora de sus habitantes la utiliza para comunicarse y les caracteriza. Es el sistema de comunicacin propio de la comunidad humana. Existen ms de seis mil idiomas en el mundo entero.Lengua: Se le denomina al sistema de asociaciones entre las ideas y los sonidos y tambin los gestos. Tambin es el sistema de comunicacin verbal y tambin escrito que es propio y general de una nacin. Tenemos lengua materna que se refiere a la primera lengua, a la lengua nativa que es lo primero que aprende el ser humano en su infancia.Diferentes tipos de lenguaLENGUA DISCURSIVA:Es el tipo de lengua que se emplea con la intencin de informar sobre ideas, datos, conocimientos, en fin es el tipo de lengua de la ciencia. La encontramos en los libros de textos, en los ensayos, investigaciones cientficas, tesis y monografas. Se caracteriza por ser objetiva, esto significa, que las informaciones que se transmiten, pueden ser demostradas, a travs del mtodo de investigacin cientfica.

LENGUA ACTIVA:A diferencia de la lengua discursiva, la lengua activa se emplea con la intencin de persuadir, incitar o convencer. Es la lengua que se emplea en los discursos, sermones o predica, anuncios publicitarios, propaganda.La lengua activa se caracteriza, por ser la lengua de las conversaciones cotidiana. Predomina el uso de los verbos en imperativos, las ordenes, los mandatos, sugerencias, etc. Mezclas rasgos objetivos con rasgos subjetivos.LENGUA EXPRESIVA:Siempre que usamos la lengua con la intencin de crear deleite, recrearnos, crear gozos o placer esttico, est presente la lengua expresiva. Esta es de carcter ldico subjetiva. Es la lengua de la literatura, por tanto la encontramos en novela, cuentos, poesas, dramas, fabulas, leyendas, etc.Diferentes niveles de lenguaHay factores como la cultura, el nivel social, la edad, la profesin, etc., que determinan que los hablantes no utilicen la lengua de una manera uniforme. Esto genera diferentes niveles de uso: nivel estndar o comn, nivel culto y nivel vulgar. El nivel cultoes utilizado por personas muy instruidas. El lenguaje es claro, preciso y riguroso. El nivel estndar o comnadopta las exigencias normativas del idioma aunque es menos meticuloso y rgido que el culto. El nivel vulgares utilizado por hablantes poco instruidos. Se alteran las normas por desconocimiento y por un uso sistemtico incorrecto.

Organizadores GrficosDIAGRAMA CAUSA-EFECTOElDiagramaCausa-Efecto est compuesto por un recuadro (cabeza), una lnea principal (columna vertebral) y cuatro o ms lneas que apuntan a la lnea principal. Estas ltimas poseen a su vez dos o tres lneas inclinadas, y as sucesivamente, segn sea necesario de acuerdo a la complejidad de la informacin que se va a tratar. El uso de este Organizador Grfico resulta apropiado cuando elobjetivode aprendizaje busca que los estudiantes piensen tanto en las causas reales o potenciales de un suceso o problema, como en las relaciones causales entre dos o ms fenmenos. Mediante la elaboracin deDiagramasCausa-Efecto es posible generar dinmicas declaseque favorezcan el anlisis, la discusin grupal y la aplicacin de conocimientos a diferentes situaciones o problemas, de manera que cada equipo detrabajopueda ampliar su comprensin del problema, visualizar razones, motivos o factores principales y secundarios de este, identificar posiblessoluciones, tomar decisiones y, organizar planes deaccin.Cuadro sinpticoUna forma de expresin visual de ideas o textos ampliamente utilizados como recursos instruccionales que comunican la estructura lgica de la informacin. Son estrategias para organizar el contenido de conocimientos de manera sencilla y condensada.Los cuadros sinpticos proporcionan una estructura global coherente de una temtica y sus mltiples relaciones. Sirven para estudiar un tema, una teora o una variable que tratan diversos autores, porque su principal funcin es contrastar, o sea, encontrar semejanzas y diferencias, entre una o varias variables de un mismo tema. Pueden utilizarse como estrategias de enseanza tanto en la clase o como una forma de organizar las ideas.ORGANIGRAMASSon la representacin grfica de la estructura de unaorganizacin, es donde se pone de manifiesto la relacin formal existente entre las diversas unidades que la integran, sus principalesfunciones, los canales desupervisiny laautoridadrelativa de cada cargo. Son considerados instrumentos auxiliares deladministrador, a travs de los cuales se fija la posicin, la accin y laresponsabilidadde cadaservicio.MAPA CONCEPTUALLosmapasconceptuales, son una tcnica que cada da se utiliza ms en los diferentes niveles educativos, desdepreescolarhasta launiversidad, en informeshasta entesisde investigacin, utilizados como tcnica de estudio hasta herramienta para el aprendizaje, ya que permite al docente ir construyendo con sus alumnos y explorar en estos los conocimientos previos y al alumno organizar, interrelacionar y fijar el conocimiento del contenido estudiado. El ejercicio de elaboracin de mapas conceptuales fomenta la reflexin, elanlisisy la creatividad.MAPA DE IDEASEs una forma de organizar visualmente las ideas que permite establecer relaciones no jerrquicas entre diferentes ideas. Son tiles para clarificar el pensamiento mediante ejercicios breves de asociacin de palabras, ideas o conceptos. Se diferencian de los mapas conceptuales por que no incluyen palabras de enlace entre conceptos que permitan armar proposiciones. Utilizan palabras clave, smbolos, colores ygrficaspara formarredesno lineales de ideas. Generalmente, se utilizan para generar lluvias de ideas, elaborar planes y analizar problemas.TELARAASLas telaraas son mapas visuales que muestran cmo ciertas categoras de informacin se relacionan con otras. Proporcionan una estructura para las ideas y para los hechos de tal manera que ayudan a los estudiantes a aprender cmo organizar y priorizar informacin. Los temas principales o conceptos centrales se ubican en el centro de la telaraa y los enlaces hacia afuera vinculan otros conceptos soportando los detalles.LNEA DE TIEMPOEsta herramienta del conjunto de Organizadores Grficos permite ordenar una secuencia deeventoso de hitos sobre un tema, de tal forma que se visualice con claridad la relacin temporal entre ellos. Para elaborar una Lnea deTiemposobre un tema particular, se deben identificar los eventos y las fechas (iniciales y finales) en que estos ocurrieron; ubicar los eventos en orden cronolgico; seleccionar los hitos ms relevantes del tema estudiado para poder establecer los intervalos de tiempo ms adecuados; agrupar los eventos similares; determinar laescalade visualizacin que se va a usar y por ltimo, organizar los eventos en forma de diagrama.

DIAGRAMA DE FLUJOSe conocen con este nombre las tcnicas utilizadas para representar esquemticamente bien sea la secuencia de instrucciones de unalgoritmoo los pasos de un proceso. Esta ltima se refiere a la posibilidad de facilitar la representacin de cantidades considerables de informacin en un formato grfico sencillo. Son Diagramas de Flujo porque los smbolos utilizados se conectan en una secuencia de instrucciones o pasos indicada por medio de flechas.Estrategias de lecturaPalabras claves de contextoLas claves de contexto ayudan a encontrar el significado de una palabra, fijndose en las palabras que rodean la palabra desconocida. Estas son las pistas o seales del texto que ayudan al lector ainferirel significado de palabras o conceptos que estas denotanPrediccionesEl Juego del favoritoCul es el sabor de helado que prefiere nuestra familia? Cul es nuestra pelcula favorita para ver juntos? Cul es nuestra historia favorita para leer a antes de irnos a dormir? Elija una pregunta, o invente la suya propia, sobre algo que a su hijo le entusiasme.En primer lugar, pdale a su hijo que prediga o adivine la respuesta a la pregunta. Aydele a escribir su prediccin. "Creo que el helado de chocolate es el sabor favorito de nuestra familia". Luego, pdale a su hijo que solicite una respuesta a cada miembro de la familia. Pdale a su hijo que lleve un rcord de las respuestas anotndolas en un cuaderno especial de ciencias o simplemente llevando la cuenta en papel. Por ltimo, pdale a su hijo que compare su prediccin con las respuestas reales.Buena adivinacin!A menudo la estimacin es muy similar a una prediccin. En ambos casos, su hijo trabajar en hacer una buena suposicin acerca de una respuesta. Al igual que sugerimos con nuestra idea del Juego del favorito, anime a su hijo a escribir (o escriban juntos) las preguntas y respuestas en un cuaderno especial de ciencias. Cada vez que sea posible, fomente el uso de las palabras cientficas como estimacin, prediccin, recopilacin de datos, analizar y demostrar.stas son algunas preguntas de estimacin que requieren que su hijo haga una prediccin: Cmo cuantos fideos crees que se usarn para llenar este frasco? Anime a su hijo a usar el lenguaje y el pensamiento cientfico al contestar. "Predigo que usaremos 300 fideos para llenar el frasco." Cuntos pasos hay de nuestra puerta al buzn? Cunto pesa nuestro perro? Cuntos libros de la biblioteca caben en un estante? Cunto tiempo crees que tomar para que un cubo de hielo se congele (o derrita)?Identificar detallesCapacidad de poder distinguir las partes o los aspectos especficos de un todo.Identificar secuenciasEs una forma de representar y comparar dos o ms secuencias o cadenas deADN,ARN, oestructuras primariasproteicaspara resaltar sus zonas de similitud, que podran indicar relaciones funcionales oevolutivasentre los genes o protenas consultados. Las secuencias alineadas se escriben con las letras (representandoaminocidosonucletidos) en filas de unamatrizen las que, si es necesario, se insertan espacios para que las zonas con idntica o similar estructura se alineen.Establecer diferencias y similitudesComparar y contrastar es unadestrezaque consiste en fijar la atencin en dos o ms objetos para descubrir cmo se relacionan o identificar diferencias o similitudes.1. Primero se observa lo que se quiere comparar y contrastar. Observar es el proceso mental en donde se fija la atencin en una persona, animal, objeto o situacin, para identificar sus caractersticas.2. Despus se buscan las caractersticas o cualidades que hacen que las personas, animales, objetos o situaciones se parezcan entre s. Esto es encontrar similitudes.3. Luego se identifican las caractersticas o cualidades que hacen a las personas, animales, objetos o situaciones diferentes. Esto es identificar diferencias.

Encontrar la idea principal de un textoLa comprensin de un texto acadmico depende, por un lado, de la forma en la que este est estructurado, y por otro, de la manera en la que el lector interpreta e identifica las ideas principales y las estructuras argumentativas de dicho texto.En cuanto a laformaoestructuraque tiene untexto, es importante reconocer que esta proviene de la historia de produccin de los tipos de texto a los que pertenece. Ejemplo de lo anterior son los artculos empricos de produccin cientfica que provienen de lasconvencionesde las publicaciones mediante las que se socializa el conocimiento.Hechos y opinionesMuchas veces las personas confundimos Hechos y Opiniones. Tratamos a las segundas como si fueran las primeras con los problemas que ello conlleva. Nos cierra la mente y no nos deja ver la realidad y sobre todo nos lleva a enfrentamientos completamente intiles.No vamos a entrar en profundidad ni a discutir temas pertenecientes a la epistemologa. Se trata de un anlisis muy simple, de andar por casa, con unas pautas que nos sirvan para tener claro estos conceptos.Qu es un hecho? Es una accin ejecutada, es un acontecimiento ocurrido, presentado objetivamente sin creencias o juicios del autorcuya principal caracterstica es que es DEMOSTRABLE,pertenece alpresente o al pasadoy es expresado de forma unvoca. (Si se demuestra que no es cierto, es un Hecho falso, pero no vamos a entrar en ello, pero s en que se puede DEMOSTRAR)Qu es una opinin? Se manifiesta la creencia o juicio personal del autor, resultado de una emocin o de una interpretacin propia de un Hecho.Propsito y punto de vistaEs un proceso que se propone analizar, entender o evaluar la manera en la que se organizan los conocimientos que pretenden interpretar y representar el mundo, en particular las opiniones o afirmaciones que en la vida cotidiana suelen aceptarse como verdaderas.Se define, desde un punto de vista prctico, como unprocesomediante el cual se usa elconocimientoy lainteligenciapara llegar de forma efectiva, a la postura ms razonable y justificada sobre un tema.Formular hiptesisLa formulacin de una hiptesis es la manera o los requisitos que debern cumplirse para proceder a redactarla y entonces tener el enunciado conocido como hiptesis; lo cual es diferente al concepto de hiptesis. Es decir, hablaremos de la hiptesis como un enunciado y posteriormente como un concepto en base a las preguntas cmo se formula y para qu sirve.Elaborar una generalizacines la base esencial de todainferencia deductivavlida. El concepto de generalizacin tiene aplicacin en muchas disciplinas, a veces teniendo un significado especializado segn el contexto. El texto debe estar bien formulado para que este tenga a su vez ms relacin a lo que es la generalizacin.Dados con conceptos relacionados,AyB, el concepto A es unageneralizacindel concepto Bsi y slo si: Cada instancia del concepto B es tambin una instancia del concepto A. Existen instancias del concepto A que no son instancias del concepto B.

Sacar una conclusinCualesquiera sean losprocesos de razonamientoy losmtodos de investigacinutilizados, la conclusin final es fundamental para determinar el xito o el fracaso. Si el experimento es excelente pero es resumido en una conclusin dbil, los resultados no sern tomados en serio.El xito o el fracaso no se mide sobre si unahiptesises aceptada o refutada, ya que ambosresultadospromovern el conocimiento cientfico.El fracaso es un diseo experimental malo o fallas en los procesos de razonamiento, lo que invalida los resultados. Mientras que el proceso de investigacin sea fuerte y est bien diseado, los resultados sern buenos y as comenzar el proceso de sacar conclusiones.Resumir un textoEl resumen ha de ser, en primer lugar, breve; unas 8 10 lneas o una tercera/cuarta parte de lo que ocupe el texto original. Evitar, al comienzo, apoyaturas: En este texto se dice...; el autor seala.... El mejor inicio es una oracin simple, con una estructura sencilla, a ser posible, de predicado nominal. Hay que expresar con nuestras palabraslo que dice el texto: Se trata de resumir las ideas que antes hemos sealado en la estructura. Es aconsejable no citar el texto, ni tratar de repetir sus palabras o, incluso, el estilo. No se debe hacer comentario sobre esas ideas, ni mucho menos sobre la postura del autor. Se debe presentar de unaforma objetiva, neutra,incluso en los texto que manifiesten una clara subjetividad.

Nmeros RacionalesFraccinDecimalUna Fraccin decimal es una fraccin en la cual el denominador (el nmero de abajo) es una potencia de diez (como 10, 100, 1000, etc.).

Podemos escribir fracciones decimales con un punto decimal (y sin denominador).Esto puede facilitar mucho los clculos de operaciones como suma, y multiplicacin en fracciones.

Ejemplos:

43/100 es una fraccin decimal y por lo tanto puede ser escrita como 0.43.51/1000 es una fraccin decimal y por lo tanto puede ser escrita como 0.051.

Fraccina DecimalPara transformar una fraccin a nmero decimal bastadividir el numerador por el denominador.Ejemplos:

Decimal aFraccinLos nmeros decimales pueden clasificarse en:a)decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un nmero que se repita.Ejemplos: 4.56 ; 0.0003 ; 2.9876 : 0.1 ; 3.42 , etc.Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la divisin termine y se obtengaresto cero, la divisin es exacta y su resultado ser un decimal finito.

Un decimal finito representa unafraccin decimal.b)decimales infinitos:son aquellos nmeros que no se acaban, es decir, hay uno o varios nmeros que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0.333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente.Estos nmeros son divisiones inexactas.Norepresentan una fraccin decimal.

Los decimales infinitos pueden ser:infinitos puros, infinitos peridicoseinfinitos semiperidicos.

c)Decimales infinitos peridicos: son aquellos que tiene una o ms cifras que serepiten sucesivaeinfinitamente, formando elperodo. Se escribe en forma abreviada coronando al perodo con un pequeo trazo.d)Decimales infinitos semiperidicos: En estos decimales aparecen una o ms cifrasantesdel perodo. El nmero formado por dichas cifras se llamaanteperodo(es un nmero que est entre el punto y la rayita).

Transformacin de un decimal finito a fraccinSe convierte el nmero a fraccin decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el nmero decimal a fraccin decimal se utilizanpotencias de diez(10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el nmero.Ejemplo 1:

Se anota el nmero, en este caso 45. Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5Fracciones EquivalentesLasFracciones Equivalentestienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.Estas fracciones son en realidad lo mismo:1=2=4

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Por qu son lo mismo?Porque cuando multiplicas o dividea la vezarriba y abajo por el mismo nmero, la fraccin mantiene su valor. La regla a recordar es:Lo que haces a la parte de arriba de la fraccintambin lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Las operaciones de Nmeros RacionalesAqu vamos a discutir las operaciones de nmeros racionales como la suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y sacar su factor comn:Suma de nmeros racionalesPara sumar y restar nmeros racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.Cuando resolvemos la adicin de nmeros racionales y la sustraccin de nmeros racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fraccin) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fraccin) segn sea el caso:65+35=6+35=95Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fraccin equivalente, y encontrar el mnimo comn mltiplo de los denominadores a travs de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operacin realizada debe tambin realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mnimo comn mltiplo tambin debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:14+65=520+2420=5+2420=2920Notamos que el mnimo comn mltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operacin anterior.Multiplicacin de nmeros racionalesLa multiplicacin entre fracciones es sencilla si se sabe cmo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuacin el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:435612=451362=2036=1018=59En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo nmero hasta obtener el mnimo nmero entero en los dos cocientes.En la multiplicacin tambin existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los nmeros enteros tambin son nmeros racionales si se los expresa como fraccin, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos:133=1331=33=1Aunque entre fraccionarios no enteros, tambin sucede el mismo fenmeno:5775=3535=1Divisin de nmeros racionalesPara dividir los nmeros racionales, tomamos el numerador de la primera fraccin y se lo multiplica por el denominador de la segunda fraccin y este resultado ser utilizado como numerador; a continuacin se toma el denominador de la primera fraccin y se lo multiplica por el numerador de la segunda fraccin, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la divisin, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo:5423=5342=158Como se puede notar, para dividir los nmeros racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fraccin no cambia de orden, pero los de la segunda fraccin si lo hacen para lograr el resultado final.Potenciacin de nmeros racionalesPara la potenciacin de un nmero racional, se deben seguir estas simples reglas:Si el nmero racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:anbm2332=89Cuando se tiene el mismo valor en el numerador y el denominador, pero distinta potencia para cada uno, podemos sustraer la potencia del denominador de la del numerador y simplificar la fraccin a un entero, de esta manera:aman=amn3436=326=32Aunque tambin se puede proceder de esta manera, tomando el mismo ejemplo:3436=3333333333=133=132=32Para elevar los nmeros racionales a una potencia natural, elevamos el numerador y el denominador a dicha potencia:(ab)n=anbn(32)3=3323=278Regla de tres simple1. Si 2 litros de gasolina cuestan $18.20, Cunto litros se pueden comprar con $50.00?2 18.20X 50X = (50 x 2) / 18.20 = 5.49 lts.2. Un automvil recorre 30 km en un cuarto de hora, Cuntos kilmetros recorrer en una hora y media?30 .25X 1.5X = (30 x 1.5)/.25 = 180 Km3. Una taza de agua eleva su temperatura en .5 C al estar 45 minutos al sol, Cuntos grados se elevar despus de 2 horas?.5 45X 120X = (120 x .5) / 45 = 1.33C4. Si el 25% de una cantidad es 68, Cunto es el 43% de esa misma cantidad?68 25X 43X = (68 x 43) / 25 = 116.965. Cul es la cantidad del ejemplo anterior?68 25X 100X = (68 x 100) / 25 = 272Inters simpleEs el inters o beneficio que se obtiene de una inversin financiera o de capital cuando losinteresesproducidos durante cada periodo de tiempo que dura lainversinse deben nicamente alcapitalinicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos. Los periodos de tiempo pueden ser aos, trimestres, meses, semanas, das, o cualquier duracin.O sea el inters se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capitalSu frmula est dada por:

Donde: es el inters simple obtenido del capital. es el capital invertido. es la tasa de inters asociada a cada periodo temporal expresada en tanto por uno (v.g., 0,04 = 4%). es el nmero de periodos temporales.

Jerarqua de las operaciones Operaciones combinadas1.Efectuar las operaciones entreparntesis, corchetes y llaves.2.Calcular laspotencias y races.3.Efectuar losproductosycocientes.4.Realizar lassumasyrestas.Tipos de operaciones combinadas1.Operaciones combinadas sin parntesis1.1Combinacin de sumas y diferencias.9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen.= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =71.2Combinacin de sumas, restas y productos.3 2 - 5 + 4 3 - 8 + 5 2 =Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =Efectuamos las sumas y restas.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =151.3Combinacin de sumas, restas, productos y divisiones.10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 2 - 16 : 4 =Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =101.4Combinacin de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.23+ 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 22- 16 : 4 =Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 4 - 16 : 4 =Seguimos con los productos y cocientes.= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.=262.Operaciones combinadas con parntesis(15 - 4) + 3 - (12 - 5 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=Quitamos parntesis realizando las operaciones.= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 =183.Operaciones combinadas con parntesis y corchetes[15 - (23- 10 : 2 )] [5 + (3 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 3 ) =Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis.= [15 - (8 - 5 )] [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =Realizamos las sumas y restas de los parntesis.= [15 -3 ] [5 + 2 ] - 3 + 2=Operamos en los parntesis.= 12 7 - 3 + 2Multiplicamos.= 84 - 3 + 2=Restamos y sumamos.= 83

4.Con fracciones

Primero operamos con lasproductosynmeros mixtosde losparntesis.

Operamos en el primerparntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el ltimo.

Realizamos elproductoy losimplificamos.

Realizamos lasoperaciones del parntesis.

Hacemos lasoperacionesdelnumerador,dividimosysimplificamosel resultado.

Valor absoluto y relativoEl valor absoluto de -5= 5, ya que hay 5 espacios hasta llegar a al cero.El valor absoluto puede ser identificado con dos lineas verticales.

El valor relativo de un nmero o de una expresin hace referencia no solamente a su valor como tal sino tambin atiende a otros aspectos, como puede ser su posicin o su orientacin.Valor Posicional

El valor de dnde se encuentra el dgito en el nmero, como unidades, decenas, centenas, etc.

En 352, el valor Posicional del 5 es "decenas".

Mnimo comn mltiploEs el menor nmero natural que esmltiplocomn de todos ellos. Este concepto ha estado ligado histricamente con nmeros naturales, pero se puede usar paraenteros negativosoenteros gaussianos.

Clculo del mnimo comn mltiplo (m.c.m)Partiendo de 2 o ms nmeros y pordescomposicin en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mnimo comn mltiplo ser el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 ser:

Nmeros primosCriterios de Divisibilidad, que son unasreglasque permiten saber si un nmero es divisible por otro sin necesidad de realizar la divisin.

Criterios de Divisibilidad por los primeros nmeros primosNmeroRegla

2Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.20, 72, 134, 216, 3218, 58616

3Un nmero es divisible por 3 si lasumade sus cifras es 3 o mltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras).12(1+2=3),132(1+3+2=6),261(2+6+1=9),753(7+5+3=15, 1+5=6)

5Un nmero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.10, 25, 40, 65, 125, 3215

7Un nmero es divisible por 7 cuando ladiferenciaentre el nmero, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 mltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso,848 - (2x4) = 8 - 8 = 0 23823 - (2x8) = 23 - 16 = 72807280 - (2x7) = 280 - 14 = 26626 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7

11Un nmero es divisible por 11 si ladiferenciaentre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 mltiplo de 11.132(2+1 = 3; 3-3 = 0)2816(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11)71929 (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)

Tambin es importante, para la bsqueda de losdivisoresde un nmero, conocer las reglas de divisibilidad de los primeros nmeros compuestos.

Criterios de Divisibilidad por los primeros nmeros compuestosNmeroRegla

4Un nmero es divisible por 4 si el nmero formado por sus dos ltimas cifras es mltiplo de 4. (La mitad termina en cifra par).104, 208, 312, 716, 920, 1148, 2172, 35796

6Un nmero es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. (Termina en cifra par y la suma de sus cifras es mltiplo de 3).72(7+2=9),114(1+1+4=6),4368(4+3+6+8=21, 2+1=3)

8Un nmero es divisible por 8 si el nmero formado por sus tres ltimas cifras es mltiplo de 8. (La mitad, de la mitad termina en cifra par).1008, 2016, 3024, 4032, 13040.

9Un nmero es divisible por 9 si lasumade sus cifras es 9 o mltiplo de 9. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras).72(7+2=9),261(2+6+1=9),684(6+8+4=18, 1+8=9)

10Un nmero es divisible por 10 cuando termina en 0.30,120, 3320,12460

Calcular tanto por ciento Para calcular este tanto por ciento, deberemos realizar la siguiente operacin matemtica:multiplicar el nmero del porcentaje por la cantidad:Ejemplo: 30 x 1200 = 36.000 Una vez obtenido ese resultado, ser necesariodividir la cifra obtenida entre 100:Ejemplo: 36.000 / 100 = 360De esta forma, ya hemos calculado el tanto por ciento y podremos decir queel 30% de 1200 es 360.Problemas porcentajesEn una clase hay un total de 25 alumnos. Han aprobado matemticas el 64%. Cuntos alumnos han suspendido?Respuesta:9 alumnosSolucin:Hallamos el nmero de alumnos que han aprobado:

Habrn suspendido: 25 16 = 9 alumnos.6.8Un par de zapatos costaron hasta ayer 36 . A partir de hoy van a descontar un 10%. Cunto pagar por ellos?Respuesta:32,40 Solucin:Debo calcular el 10% de 36:Si me descuentan 3,60 debo pagar: 36 3,60 = 32,40 Sistema de numeracin mayaLosmayasutilizaban unsistema de numeracinvigesimal(debase20) deraz mixta, similar al de otrascivilizaciones mesoamericanas.Los mayas preclsicos desarrollaron independientemente el concepto deceroalrededor del ao 36a.C.1Este es el primer uso documentado delceroenAmrica, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2Las inscripciones los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias lneas el poder representarlas.Conversin decimal a maya y viceversaSi tenemos un numero decimal, por ejemplo: 3427, sus digitos, de izquierda a derecha son: 7, 2, 4 y 7, entonces, estos digitos se convierten a un decimal as:

7 + 2 x(10^1) + 4 x(10^2) + 3 x(10^3) = 7 +20 +400 +3000 = 3427

En general, para el sistema decimal se tiene, que un numero se representa asi:

a + b x(10^1) + c x(10^2) + d x(10^3) + .

Siendo a el digito menos significativo (unidades)

Igual procedimiento se sigue para cualquier base. Asi que para la numeracin Maya, base 20, se tiene:

a + b x(20^1) + c x(20^2) + d x(20^3) + .

Ejemplo. Si en numeracin Maya tenemos el numero 17349, entonces, en numeracin decimal sera:

9 + 4 x(20^1) + 3 x(20^2) + 7 x(20^3) + 1 x(20^4) =

= 9 + 80 + 1200 + 56000 + 160000 = 217209

Entonces el Maya 17349 equivale a 217209 en decimal.

Operaciones nmeros mayasAdicin Con Numeracin Maya.Para sumar dos o ms nmeros hay que reunir, en una sola columna, las barras y los puntos de un mismo nivel del tablero y, posteriormente, convertir los grupos de cinco puntos en barras y las veintenas completas (conjuntos de cuatro barras) en unidades del nivel superior inmediato. Para mayor claridad enunciaremos las siguientes reglas: Se colocan las cantidades en sus respectivas posiciones, en columnas de izquierda a derecha sobre una superficie plana, (se puede emplear granos de maz para representar los puntos, palillos para las barras y si es posible una concha para el cero, si no se cuenta con estos elementos se puede emplear entonces lpiz y papel). Se disponen las cantidades una a la par de la otra. Se agrupan los granos o cifras de la misma posicin conservando sus valores relativos en la primera columna (es decir la de la izquierda). Por cada cinco puntos que se juntan forman una barra, cada cuatro barras forman un punto en la posicin inmediata superior.La adicin y posiblemente las otras operaciones de la aritmtica, las trabajaron sobre una tabla o en el suelo, en ella se colocan puntos y barras (frijoles y palitos). Len-Portilla propone que en el Codigo De Dresde, se encuentra la representacin de una multiplicacin. Tambin Caldern (1966) describe en forma muy didctica, las cuatro operaciones de la aritmtica, adems de la raz cuadrada y la raz cbica, el nico inconveniente es que no indica las fuentes que utiliz.Veamos algunos ejemplos de adicin.Sumar 43 con 67.Escribimos los dos nmeros en notacin Maya, como sigue:Con el siguiente ejemplo confirmaremos el algoritmo. Sumaremos 8351 con 1280 primero se convierten estos nmeros al sistema de numeracin Maya.Escribamos 8351 en base 20:Con un procedimiento similar tenemos que 1280 en maya es como sigue:

Expresamos la suma de 8351 y 1280Trasladamos los puntos del 1280 a la primera columna y obtenemos

Sustraccin En El Sistema VigesimalEs fcil para el lector extrapolar del concepto de adicin al de sustraccin y tambin determinar si el resultado es un nmero negativo o un positivo. Iniciemos con un:Ejemplo:Restar los siguientes nmerosSe nota que el primero es mayor que el segundo, ya que tiene ms elementos en la tercera fila. Ahora todo lo que se necesita hacer, es quitar de la primera columna, tantos elementos como hay en la segunda columna, este proceso se repite en cada fila, comenzando con la fila ms alta. Quitando entonces la primera fila se tiene:Veamos otro ejemploUn ltimo ejemplo: En este presentamos el caso cuando tenemos que restar de una fila, y el minuendo es menor que el substraendo, veamos:

Se restar de la columna uno, los elementos de la columna dos, fila por fila, comenzando con la fila de la potencia mayor, en este caso, se inicia la resta en la tercera fila: En la segunda fila, el minuendo es menor que el substraendo, en este caso, se baja una unidad de la fila superior, que se convierte en 20 unidades en esa fila, y de esta manera s se puede restar, vea el ejemplo:

Con este proceso se obtiene el resultado final.

Como acabamos de ver en los ejemplos anteriores si la operacin que se quiere realizar es una resta o sustraccin, hay que acomodar en el tablero el minuendo en la primera columna y el sustraendo en la segunda. Quiz la primera cifra d la apariencia de no poder restarse por no contar con los puntos y barras suficientes para realizar la operacin; en este paso, hay que recordar que los puntos de los niveles segundo y superiores equivalen a veintenas de cada nivel anterior; as, si es necesario, podemos bajar las veintenas a las casillas inferiores inmediatas, convertidas en conjuntos de cuatro barras (4 barras por 5 unidades) o en grupos de veinte unidades. Es de advertir que cuando el resultado ha quedado en la segunda columna dicho nmero es negativo.Multiplicacin En El Sistema De Numeracin MayaLen-Portilla (1988), seala que en una hoja del cdigo de Dresdre, aparecen diferentes cantidades que son mltiplos de otra. Algunos autores indican que el proceso de multiplicacin, probablemente se haca con sumas repetidas, por ejemplo, Seidenberg (pag. 380). ...a Maya Priest could have multiplied 23457 by 432, say, by repeated additions of 23457, estas conclusiones las hacen, probablemente, por la forma en que se construye la multiplicacin en los nmeros enteros. En los inicios de su desarrollo matemtico, probablemente, esta fue la forma de efectuar multiplicaciones, pero, considerando las grandes cantidades que ellos manejaban en sus clculos astronmicos y la exactitud de los mismos, es muy lgico pensar, que debieron de haber desarrollado un algoritmo para efectuar la multiplicacin. Hasta el momento, no ha sido posible deducir histricamente dicho algoritmo.En lo que respecta a este trabajo presentaremos una simulacin de este proceso para llegar a una propuesta, de lo que pudo haber sido el algoritmo de la multiplicacin en el sistema Maya.Iniciaremos con la multiplicacin de un nmero por 2.Por ejemplo:46 por 2. Colocamos en el reticulado el 46 en dos columnas y luego sumamos. Obtenemos:

El resultado final se escribe de la forma siguiente, destacando los factores de la multiplicacin:Ahora se multiplicar el 46 por 3, como se hizo la multiplicacin por dos, ahora se sumar otra vez 46 a este producto y el resultado ser 46 por 3.

De nuevo se coloca el resultado final de la siguiente forma:

Qu haremos para multiplicar 46 por 5?, Sumando el producto de 46 por dos con el producto de 46 por 3 se obtiene 46 por 5:

Ahora fcilmente se haremos la multiplicacin de 46 por 10.

Ordenando obtenemos:Es importante que recordemos que estamos tratando de construir un algoritmo para la multiplicacin.Como ya se efectu la multiplicacin de 46 por 10 y de 46 por 2, ahora se har la multiplicacin de 46 por 12.Esto es:

Siguiendo el mismo camino de los ejemplos anteriores, tenemos que:

El resultado ms interesante, lo veremos en la multiplicacin de 46 por 20, que no es ms que sumar dos veces la multiplicacin de 46 por 10 obtenindose:

Encontramos que el producto tiene los mismos algarismos (guarismos) del 46 ely el solamente que en una posicin ms alta, es lo mismo que agregar un cero debajo de la posicin inferior. Es semejante al proceso que se efecta cuando se multiplica por una potencia de 10 (en el sistema decimal), solamente se agregan ceros.Se confirmar este proceso, multiplicando 46 por 40, que ser la suma del producto de 46 por 20 dos veces.Siguiendo las reglas de la suma vamos a obtener el resultado correspondiente:

Al multiplicar 46 por 40, hemos multiplicado el 46 por 2 y agregado un cero debajo de la cifra inferior.Ahora se haremos la multiplicacin de 46 por 22. En la primera columna multiplicamos 46 por 2 y en la segunda columna multiplicamos por 20, para obtener:

Ahora, calcularemos el cuadrado de 46, es decir multiplicaremos 46 por 46. Esto es multiplicaremos el 46 por en la primera columna y el 46 por en la segunda columna, luego sumaremos las dos columnas.Finalmente obtenemos:Presentaremos un ejemplo un poco mayor, para afirmar el algoritmo, que indica que debemos multiplicar el multiplicando por cada cifra del multiplicador y los resultados parciales, se colocan en la fila segn la posicin de la cifra del multiplicador. Adems ya no haremos la identificacin con el sistema decimal.Multipliquemos

Se multiplica el multiplicando por y se coloca el resultado en la primera columna a la derecha, luego se multiplica el multiplicando por y se coloca en la segunda columna, iniciando en la segunda fila.

Para llegar al resultado final, se procede a la sumatoria de las columnas, las cuales se presentan de la siguiente forma:

Un ejemplo ms, multiplicar:

El multiplicando lo multiplicamos pory se coloca en la tercera columna (contando de izquierda a derecha), en la segunda columna tendramos que poner la multiplicacin por cero, entonces dejamos el espacio.En la primera columna colocamos el resultado del multiplicando pory lo colocamos a partir de la tercera fila.

Seguidamente se realiza el proceso de sumar las columnas, para obtener el resultado final.Quiere formarse una idea de la cantidad multiplicada? pues se ha multiplicado 2445 por 806, y el producto es 1,970,670. (Verificarlo)Hasta aqu hemos logrado proponer un algoritmo para multiplicar nmeros en el sistema de base 20, el cual consideramos que tiene las siguientes ventajas: No necesita memorizar las tablas de multiplicar. Es eficiente en los clculos hechos en el sistema de base 10, facilitando la emigracin del sistema de base 20 al de base 10 o cualquier otra base.Enunciemos tal algoritmo de manera ms sencilla:0. Escribimos el multiplicando a la derecha de la cuadrcula en forma vertical y el multiplicador, debajo del retculo de manera horizontal.0. Multiplicamos las cifras de cada posicin del multiplicando (iniciando de abajo hacia arriba) por la primera cifra (de la derecha) del multiplicador y escribimos los resultados (parciales) en la primera columna si empezamos a contar de derecha a izquierda.0. Nuevamente multiplicamos las cifras de cada posicin del multiplicando por la segunda, tercera, etc. cifra del multiplicador hasta concluir con todas las posiciones del multiplicador.0. Cada vez que iniciamos un nuevo ciclo (de multiplicar las cifras del multiplicando por una cifra del multiplicador) colocamos los resultados parciales en una fila superior. Si en una de las posiciones del multiplicador tenemos cero, nos saltamos una columna y corremos una fila.0. Por ltimo sumamos todos los numerales de las columnas aplicando el algoritmo de la suma.Aparentemente el algoritmo es muy tedioso, pero con un poco de prctica del mismo, resultar muy fcil y dinmico. Prubelo y ver.Divisin En El Sistema MayaLa construccin del algoritmo de la divisin es menos elaborada, se considerar como el proceso inverso de la multiplicacin, esto es, dando un dividendo y un divisor, buscamos un cociente, tal que al multiplicarlo por el divisor, ms el residuo (que puede ser cero), sea igual al dividendo.

Colocamos las cantidades en el reticulado, quedando de la siguiente forma:

Luego, dividamos la primera cifra del dividendo entre la primera cifra del divisor, esto es, dividirentre el cociente es igual a quiere decir que la primera cifra del cociente es , como sucede en el algoritmo de la divisin de base 10, ahora se necesita restar del dividendo, una cantidad igual al divisor multiplicado por el cociente parcial, esto es:

Se inicia esto retirando dos barras de la posicin ms alta

Ahora se necesita restarde la segunda fila, pero slo hayDe la posicin ms alta se baja una unidad con valor de

en la posicin inferior, vase el reticulado:

Luego, cuando se retirade la segunda posicin, se queda el reticulado como:

Se continua dividiendo, ahora la primea cifra del dividendo entre la primera cifra del divisor, esto es: entreesto da retiramos una barra de la segunda fila y unde la primera fila, quedando:

Trasladando a base 10, lo que se calcul fue la divisin de 4437 entre 107, el resultado es 41 de cociente con un residuo de 50.Se colocan los nmeros en el reticulado, una columna por cada nmero y una fila por cada posicin. Luego simplemente trasladamos los puntos y barras del 67 a la columna del 43, conservando las filas.El paso siguiente es acomodar todos los elementos a las reglas de: mximo cuatro puntos por posicin, tres barras por posicin y 19 unidades por posicin, esto se ejecuta de la fila de las unidades, hacia arriba.Dividimoscon residuo 1111 ocupa la posicin de las unidadesLuego dividimoscon residuo 1717 ocupa la posicin de las veintenasAhora dividiendoy residuo 0El cero ocupa la posicin de lasVeintenas de veintenas y el ltimocociente, es decir el 1 ocupa laposicin de las veintenas de las veintenas de las veintenasSeguidamente se colocan los sumandos en el reticulado, situando el 8351 en la primera columna y el 1280 en la segunda columna, conservando las posiciones que se nos presentan:Ahora aplicando la regla de mximo cuatro puntos se tiene el resultado siguiente.Aplicando la regla: 20 unidades en una celda, sube una unidad a la celda superior, logrando as el resultado siguiente:Aplicando reiteradamente estos pasos hasta llegar a la ltima fila, el resultado est en la primera columna.En este caso, la segunda columna tiene ms elementos que la primera en la posicin ms alta, por lo que se retiran de la segunda columna, tantos elementos como hay en la primera. Como el resultado queda en la segunda columna, entonces convenimos que el resultado es un nmero negativo cuando queda en la segunda columna, vase el resultado.Conversin de Decimal a RomanoDesarrolle un algoritmo que convierta un nmero entero en base decimal a romano.Estrategia de solucinEn los sistemas de numeracin como el romano, que tienen una naturaleza aditiva, el proceso de conversin de un entero a dicho sistema consiste en generar los smbolos de mayor magnitud, restando el valor respectivo tantas veces como se pueda. Los smbolos a considerar y sus valores corresponden a:

Teora de ConjuntosEs una divisin de las matemticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemtico alemn Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y ms tarde reformulada por Zermelo.El concepto de conjunto es intuitivo y se podra definir como una "agrupacin bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; as, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto est bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolgrafos azules est bien definido, porque a la vista de un bolgrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no est bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podr decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, segn Frege, los elementos de un conjunto se definan slo por tal o cual propiedad. Actualmente la teora de conjuntos est bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo clebre la definicin que public Cantor.Tipos de Conjuntos Por extensin: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto. Por comprensin: escribiendo dentro de una llave una propiedad caracterstica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.Ejemplo: El conjunto de los meses del ao se nombra: Por extensin: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} Por comprensin: {meses del ao}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del ao}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del ao. Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombraPor extensin: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meique} Por comprensin: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano Conjunto Finito: Se denomina as al conjunto al cual podemos nombrar su ltimo elementoEjemplo: M={x/x es mes del ao}Por que sabemos que el ltimo mes es DiciembreConjunto Infinito: Se denomina as al conjunto al cual no podemos nombrar su ltimo elementoEjemplo: M={x/x es nmero natural}Por que no sabemos que cual es el ltimo mes es el ltimo nmeroConjunto Universo: Se denomina as al conjunto formado por todos los elementos del tema de referenciaEjemplo: U={x/x es un animal}A={x/x es un mamfero}B={x/x es un reptil}Conjunto vaco: Se denomina as al conjunto que no tiene ningn elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto. Operaciones de ConjuntosIgualdad de conjuntosDos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A est tambin contenido en B y todo elemento de B est contenido en A. En smbolos:

Subconjuntos y Superconjuntos

Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es tambin elemento de B, y se denota . Es decir:

Unin Diagrama de Venn que ilustra Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unin de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B.

Interseccin Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado interseccin de A y B, representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo estn en B:

ParticinDado un conjunto A, una familia de subconjuntos X={Ai} (con cada Ai A) se denomina una particin de A si la unin de todos ellos es A y son disjuntos dos a dos:

DiferenciaLos elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por . Es decir:

ComplementoEl complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.

Diferencia simtricaLa diferencia simtrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y slo uno de los dos:

Plano cartesianoPlano cartesianoest formado por dos rectas numricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamadaeje de las abscisaso de las equis (x), y la vertical,eje de las ordenadaso de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre deorigen.Elplano cartesianotiene como finalidad describir la posicin de puntos, los cuales se representan por suscoordenadas o pares ordenados.Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que unpunto (P)se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:P (x, y)Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.2.Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.El eje XX se llamaeje de abscisas; o tambineje X. Suele tomarse horizontal, y el sentido positivo hacia la derecha.El eje YY se llamaeje de ordenadas; o tambineje Y. Suele tomarse vertical, y el sentido positivo hacia la arriba.El punto donde se cortan los ejes se llamaorigen de coordenadasy se representa por la letraO.Calendario gregorianoEs uncalendariooriginario deEuropa, actualmente utilizado de manera oficial en casi todo el mundo. As denominado por ser su promotor elpapaGregorio XIII, vino a sustituir en1582alcalendario juliano, utilizado desde queJulio Csarlo instaurara en el ao46a.C.1El papa promulg el uso de este calendario por medio de la bulaInter Gravissimas.El germen del calendario gregoriano fueron dos estudios realizados en1515y1578por cientficos de laUniversidad de Salamanca, que fueron remitidos a la iglesia. Del primero se hizo caso omiso y del segundo finalmente fructific el actual calendario mundial.OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPOSUMAR DATOS DE TIEMPO:Para sumar datos de tiempo, colocamos los sumandos haciendo coincidir horas, minutos y segundos. Si los segundos superan los 60, los transformamos en minutos; si los minutos superan los 60, los transformamos en horas.

Vamos a verlo con un ejemplo:

RESTAR DATOS DE TIEMPO:Para restar datos de tiempo, colocamos minuendo y sustraendo haciendo coincidir horas, minutos y segundos. Si algn minuendo es menor que el sustraendo, hacemos transformaciones para que el minuendo sea mayor y poder restar.

Vamos a verlo con otro ejemplo:

Calendario mayacoexisten varias cuentas de tiempo: el calendario sagrado (tzolkinobucxok, de 260das) el civil (haab, de 365das) la rueda calendrica de 52 aos. lacuenta largade 5200 aos. la cuenta lunar de 18 meses lunares la cuenta venusiana de 584 das la cuenta de los seores de la noche de 9 dasCuenta largaEs la denominacin de uncalendariovigesimalmesoamericanono repetitivo, empleado por varias culturas deMesoamricaa partir del perodoPreclsico Tardo.Es especialmente conocido por losregistros mayasque emplearon este sistema, aunque las inscripciones ms antiguas proceden deChiapa de Corzoy son anteriores a la era cristiana. Su amplia difusin en la regin maya ha ocasionado que sea conocido errneamente comocalendario de cuenta larga maya. Empleando una cuenta vigesimal modificada, este sistema de registro calendrico identifica los das ocurridos desde la fecha correspondiente al11 de agostode3114a.C.en elcalendario gregoriano. En tanto que la cuenta larga no repite nunca ninguno de los das a diferencia del calendario de 365 das de uso comn en toda Mesoamrica, que se repeta cada 52 aos, fue empleado para registrar sucesos importantes en la vida poltica de varias ciudades, especialmente en el sureste de Mesoamrica.EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADESLongitudSuperficieVolumenMasaDensidadPresinPotenciaEnergaEnerga especficaCapacidad calorfica

1. LONGITUDUnidadcmm (SI)kmpulg.pieyardamilla

1 cm10,010,000010,3937010,03280830,01093616,21371 E-6

1 m (SI)10010,00139,37013,280841,093616,21371 E-4

1 km1,0 E+5100013,93701 E+43280,41093,60,621371

1 pulg.2,540,02542,54 E-510,083330,0277781,57828 E-5

1 pie30,480,30483,048 E-41210,3333331,8939 E-4

1 yarda91,440,91449,144 E-436315,6818 E-4

1 milla1,60934 E+51609,341,609346,336 E+4528017601

2. SUPERFICIEUnidadcm2m2(SI)km2pulg.2pie2yarda2milla2

1 cm211,0 E-41,0 E-100,15501,0764 E-31,1960 E-43,8611 E-11

1 m2(SI)1,0 E+411,0 E-61550,010,76391,195983,8611 E-7

1 km21,0 E+101,0 E+611,5500 E+091,07610 E+71,1960 E+60,38611

1 pulg.26,45166,4516 E-46,4616 E-1016,9444 E-37,7161 E-42,4910 E-10

1 pie2929,030,0929039,2903 E-814410,111113,5868 E-8

1 yarda28,3613 E+30,836138,3613 E-71296913,2283 E-7

1 milla22,5900 E+102,5900 E+62,589984,0145 E+92,7878 E+73,0976 E+61

3. VOLUMENUnidadcm3litrom3(SI)pulg.3pie3galn

1 cm310,0011,0 E-66,1024 E-23,5315 E-52,6417 E-4

1 litro100010,00161,0243,5315 E-20,26417

1 m3(SI)1,0 E+6100016102,435,315264,17

1 pulg.316,38711,6387 E-21,6387 E-515,7870 E-44,3290 E-3

1 pie32,8317 E+428,31682,8317 E-2172817,4805

1 galn3785,43,78543,7854 E-3231,000,133681

4. MASAUnidadgkg (SI)ton. mtr.onzalbton. corta

1 gramo10,0011,0 E-63,5274 E-22,2046 E-31,1023 E-6

1 kilogramo100010,00135,2742,20461,1023 E-3

1 ton. mtr.1,0 E+6100013,5274 E+42204,61,1023

1 onza28,3492,8349 E-22,8349 E-510,062503,1250 E-5

1 libra453,590,453594,5359 E-41615,0000 E-4

1 ton corta9,0718 E+5907,180,907183,2000 E+420001

5. DENSIDADUnidadg/cm3g/lkg/m3(SI)lb/pie3lb/galn

1 g/cm311000100062,42808,34540

1 g/l0,00111,0006,2428 E-28,3454 E-3

1 kg/m3(SI)0,0011,00016,2428 E-28,3454 E-3

1 lb/pie31,6018 E-216,018516,018510,13368

1 lb/galn0,119826119,826119,8267,480521

6. PRESINUnidadatm.barkgf/cm2lbf/pulg.2mmHgpascal (SI)pulg. H2O

1 atmsfera11,013251,0332314,6967601,01325 E+5406,782

1 bar0,98692311,0197214,5038750,0641,0 E+5401,463

1 kgf/cm20,9678410.980665114,2233735,5619,80665 E+4393,701

1 lbf/pulg.26,8046 E-26,8948 E-27,0307E-2151,71516894,7627,6799

1 mmHg1,3158 E-31,3332 E-31,3595 E-31,9337 E-21133,3220,535239

1 pascal (SI)9,8692 E-61,0 E-51,0197 E-51,4504 E-47,5006 E-314,0146 E-3

1 pulg.H2O2,4583 E-32,4909 E-32,5400 E-33,6127 E-21,86833249,0891

8. POTENCIAUnidadBTU/hrhpkcal/hrkWpie-lbf/sW (SI)

1 BTU/hr13,93015 E-40,2521642,93071 E-40,2161580,293071

1 hp2544,431641,6160,745700550,0745,700

1 kcal/hr3,965671,55857 E-311,16222 E-30,8572111,16222

1 kilowatt3412,141,34102860,4211737,5621000

1 pie-lbf/s4,626241,81818 E-31,166571,3558 E-311,35582

1 watt (SI)3,412141,34102 E-30,8604210,0010,7375621

UnidadBTUcalhp-hrJ (SI)kW-hrl-atm.pie-lbf

1 BTU1252,1643,93015 E-41055,0562,9307 E-410,4126778,169

1 calora3,96567 E-311,55856 E-64,18401,16222 E-64,1293 E-23,08596

1 hp-hr2544,436,4162 E+512,68452 E+60,745702,6494 E+41,9800 E+6

1 joule (SI)9,47817 E-40,2390063,72506 E-712,77778 E-79,8692 E-30,737562

1 kW-hr3412,148,60421 E+51,341023,6 E+613,5529 E+42,6552 E+6

1 litro-atm.9,6038 E-224,21733,7744 E-5101,3252,8146 E-5174,7335

1 pie-lbf1,2851 E-30,3240485,0505 E-71,355823,7662 E-71,3381 E -21

7. ENERGA9. ENERGA ESPECIFICAUnidadBTU/lbcal/gJ/gJ/kg (SI)

1 BTU/lb10,5559272,326002326,00

1 cal/g1,7988014,1844184

1 J/g0,4299230,23900611000

1 J/kg (SI)4,29923 E-42,39006 E-40,0011

10. CAPACIDAD CALORFICA Y ENTROPIA ESPECIFICAUnidadBTU/lb Fcal/g CJ/g KJ/kg K (SI)

1 BTU/lbF11,000674,186804186,80

1 cal/g C0,99933014,1844184

1 J/g K0,2388460,23900611000

1 J/kg K (SI)

Qu es el presupuesto de gastos?Elpresupuesto de gastosde una Entidad local es la autorizacin que hace el Pleno para que el gobierno de la Entidad pueda gastar. Esta autorizacin se refiere a un periodo de tiempo determinado, un ao, y establece el importe que, como mximo, se puede gastar y en qu se debe realizar el gasto.Para modificar la cantidad o la finalidad de los gastos presupuestados es necesario tramitar unas modificaciones de crdito reguladas en la normativa.Las cantidades que figuran en el presupuesto de gastos se denominan crditos presupuestarios y forman parte del presupuesto de la entidad.La autorizacin para que el gobierno de la Entidad local pueda gastar se concreta en el denominado estado de gastos, en el que se incluir con la debida especificacin, los crditos necesarios para atender al cumplimiento de las obligaciones.Se considera que se ha realizado el gasto cuando surge una obligacin de pago, no cuando se paga.Por tanto, el presupuesto de gastos incluir el importe de los crditos necesarios para atender las obligaciones de pago que surjan en ese ejercicio. Como el presupuesto, indica las cantidades mximas que puede gastar la Entidad local en un ao, las obligaciones de pago que hayan tenido lugar en ese ao no pueden ser superiores a los crditos presupuestados.PermetroPermetro del triangulo equiltero

Permetro del triangulo issceles

Permetro del triangulo escaleno

Elpermetro del rectnguloes igual a lasumade laslongitudesde suscuatro lados.

Elpermetro del cuadradoes igual a lasumade laslongitudesde suscuatro lados iguales.

reasElrea de un tringuloes igual abase por altura partido por 2.La alturaes larecta perpendiculartrazada desde unvrtice al lado opuesto(o su prolongacin).

Elreadelrectnguloes igual abase por altura.

Elreadelcuadradoes igual alado por lado.

figuras planasExisten muchas formas geomtricas, aqu tenemos las ms simples:

El cuadrado, el tringulo y el rectngulo son figuras geomtricas planas, formadas por lneas rectas cerradas. El crculo tambin es una figura plana pero a diferencia de las anteriores est formado por una lnea curva cerrada. A estas figuras se les llaman planas porque parecieran que estuvieran acostadas sobre el papel.Vamos a ver cada una de estas figuras.

El cuadrado:Tiene cuatro lados iguales. Para dibujar el cuadrado siempre es bueno utilizar una regla milimetrada (con medidas), ya que los cuatro lados tienen que ser de igual longitud. Por consiguiente si sus cuatro lados son iguales sus cuatro ngulos deben ser del mismo tamao, el cuadrado tiene los ngulos de 90.

El ngulo se forma a partir de la unin de dos lneas. Al espacio comprendido entre esas dos lneas le llamamos ngulo y el punto de unin de las lneas le llamamos vrtice.

El tringulo:El tringulo, como lo dice la palabra "tri", est formado por tres lados y tres ngulos. A toda figura geomtrica formada por tres lados sea grande, pequea, alta, achatada... se le da el nombre de tringulo.

Clasificacin de los tringulos segn sus ngulosEntonces para dibujar un tringulo, necesitamos recordar que tiene tres lados, y tres ngulos que varan segn el tamao de las lneas y segn el tipo de ngulos, y que todos los tringulos tienen tres vrtices.

El rectngulo:Tiene cuatro lados, y si observas bien, iguales entre s de dos en dos. Observa la imagen del rectngulo arriba, dos de sus lados son largos (estos estn paralelos) comparados con los otros dos que son ms cortos (tambin son paralelos).

Para dibujar el rectngulo siempre es bueno utilizar una regla, debido a las diferencias de longitud. Igualmente, los cuatro ngulos son de 90.Para dibujar el rectngulo, necesitamos recordar que tiene dos lados iguales, largos y dos cortos tambin iguales entre s, cuatro ngulos iguales, y cuatro vrtices.

EL crculo:El crculo tiene varios elementos que se deben tomar en cuenta, el centro, el radio, y la circunferencia de la lnea que limita al crculo.

Cono (geometra)En geometra, un cono recto es un slido de revolucin generado por el giro de un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos. Al crculo conformado por el otro cateto se denomina Base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vrtice.Superficie cnica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto comn (el vrtice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.ClasificacinSe denominan: Cono recto, si el vrtice equidista de la base circular Cono oblicuo, si el vrtice no equidista de su base Cono elptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.CilindroEs unasuperficiede las denominadascudricasformada por el desplazamiento paralelo de unarectallamadageneratriza lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominadadirectrizdel cilindro.pirmide es un poliedro limitado por una base, que es un polgono con una cara; y por caras, que son tringulos coincidentes en un punto denominado pice.El pice o cspide tambin es llamado vrtice de la pirmide, aunque una pirmide tiene ms vrtices, tantos como el nmero de polgonos que lo limitan.Esfera es un cuerpo geomtrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro esfrico.Cubo o hexaedro regularEs un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados slidos platnicos.Un cubo, adems de ser un hexaedro, puede ser clasificado tambin como paraleleppedo, recto y rectngulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.Grficos estadsticosDIAGRAMAS DE BARRASEs un grfico sobre ejes cartesianos en el que distribuimos en el eje X o eje de abscisa: Las modalidades si el carcter es cualitativo Los valores si la variable es no agrupadaSobre ellos se levantan barras o rectngulos de igual base (que no se solapen) cuya altura sea proporcional a sus frecuencias. Tambin se suelen utilizar para series cronolgicas y pueden, asimismo, representarse horizontalmente, intercambiando los ejes.Realicemos los diagramas de barras asociados a los ejemplos n 1 y n 4:

HISTOGRAMASSe utiliza con variables agrupadas en intervalos, representando en el eje X los intervalos de clase y levantando rectngulos contiguos de base la longitud de los distintos intervalos y de altura tal que el rea sea proporcional a las frecuencias representadas. Si son frecuencias acumuladas, sern proporcionales a las alturas aunque los intervalos sean de distinta amplitud.En el ejemplo 3 hemos agrupado los datos en intervalos. Por tanto, podemos realizar los histogramas utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas.

POLGONOS DE FRECUENCIASSon grficos lineales que se utilizan en el caso de una variable cuantitativa. Para realizar estos polgonos unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma segn la variable sea agrupada o no agrupada.Vamos a realizar los polgonos de frecuencia asociados a los ejemplos 2 y 3.DIAGRAMA DE SECTORESSon grficos en los que a cada valor o modalidad se reasigna un sector circular de rea proporcional a la frecuencia que representan. Se utilizan si el carcter es cualitativo o cuantitativo discreto no agrupado.Realicemos el diagrama de sectores del ejemplo 1.

Medidas de tendencia centralAl describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la informacin con un solo nmero. Este nmero que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribucin de datos se denominamedidaoparmetro de tendencia centralode centralizacin. Cuando se hace referencia nicamente a la posicin de estos parmetros dentro de la distribucin, independientemente de que sta est ms o menos centrada, se habla de estas medidas comomedidas de posicin.1En este caso se incluyen tambin loscuantilesentre estas medidas.Entre las medidas de tendencia central tenemos: Media Media ponderada Media geomtrica Media armnica Mediana ModaSe debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que lasmedidas de posicinomedidas de tendenciase usan de acuerdo al tipo de variable que se est observando, en este caso se observanvariables cuantitativas.La media aritmticaLamedia aritmticaes el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumadores.Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:nio nota 1 6,0 Primero, se suman las notas: 2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6 3 3,1 Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos: 4 7,0 27,6/5=5,52 5 6,1 La media aritmtica en este ejemplo es 5,52Lamedia aritmticaes, probablemente, uno de los parmetros estadsticos ms extendidos.2Se le llama tambinpromedioo, simplemente,media.Definicin formalDado un conjunto numrico de datos,x1,x2, ...,xn, se define su media aritmtica como

Esta definicin vara, aunque no sustancialmente, cuando se trata devariables continuas, esto es, tambin puede calcularse para variables agrupadas enintervalos.PropiedadesLas principales propiedades de la media aritmtica son:3 Su clculo es muy sencillo y en l intervienen todos los datos. Su valor es nico para una serie de datos dada. Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es ms apropiado acompaarla de una medida de dispersin. Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

Minimiza las desviaciones cuadrticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor dees mnimo cuando. Este resultado se conoce comoTeorema de Knig. Esta propiedad permite interpretar uno de los parmetros de dispersin ms importantes: lavarianza. Se ve afectada portransformaciones afines(cambios de origen y escala), esto es, sientonces, dondees la media aritmtica de los, parai= 1, ...,nyaybnmeros reales. Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parmetro muy til eninferencia estadstica.

Media muestralModaLa moda es el dato ms repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayorfrecuencia absoluta.5En cierto sentido la definicin matemtica corresponde con la locucin "estar de moda", esto es, ser lo que ms se lleva.Su clculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a lainterpolacin.Por ejemplo, el nmero de personas en distintos vehculos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El nmero que ms se repite es 5, entonces la moda es 5.Hablaremos de una distribucin bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta mxima. Cuando en una distribucin de datos se encuentran tres o ms modas, entonces es multimodal. Por ltimo, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.