Titulo: EJERCICIOS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Ao escolar: 4to. ao de bachillerato Autor: Jos Luis Albornoz Salazar Ocupacin: Ing Civil. Docente Universitario Pas de residencia: Venezuela Correo electrnico: martilloatomico@gmail.com

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboracin en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendacin a la siguiente direccin :

martilloatomico@gmail.com Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o prctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envelo a la anterior direccin y se le enviar resuelto a la suya.

mailto:martilloatomico@gmail.com

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solucin de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una aficin para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carcter. Por ello, un profesor de matemticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matar en ellos el inters, impedir su desarrollo intelectual y acabar desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos plantendoles problemas adecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podr despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemticas tiene tambin una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro est, si ve las matemticas como una materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volver a ocuparse una vez pasado ste. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemticas puede ser tanto o ms divertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemticas, ya no las olvidar fcilmente, presentndose entonces una buena oportunidad para que las matemticas adquieran un sentido para l, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesin, o su profesin misma o la ambicin de su vida.

G. POLYA

INTRODUCCIN

LGEBRA es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible. El concepto de la cantidad en lgebra es mucho ms amplio que en Aritmtica. En Aritmtica las cantidades se representan por nmeros y stos expresan valores determinados. As, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nmero distinto de 20. En lgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. As, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestra eleccin, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Los smbolos usados en lgebra para representar las cantidades son los nmeros y las letras. Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar distintos valores diferencindolos por medio de comillas ( a, a,a) o tambin por medio de subndices ( X1, X2, X3 ). Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacer las mismas operaciones que con los nmeros aritmticos.

Ejemplos:

ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -1-

1) Escribir la suma de A y B.

A + B

2) Compro X libros por Bs m. Cunto me cost cada libro?.

Bs (m / X )

3) Tena Bs 9 y gast Bs X. Cunto me queda?

Bs ( 9 X )

4) Escriba la diferencia entre m y n.

m n

5) Deba X bolvares y pagu 6. Cunto debo?

Bs ( X 6 )

6) De una jornada de X kilmetros se han recorrido m kilmetros. Cunto falta por recorrer?

( X m ) km.

7) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enteros consecutivos posteriores.

X + 1, X + 2

8) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enteros consecutivos anteriores.

X - 1, X 2

9) Siendo Y un nmero entero par, escriba los tres nmeros pares consecutivos posteriores.

Y + 2, Y + 4, Y + 6

10) Jaimito tena Bs A, cobr Bs X y le regalaron Bs m. Cunto tiene Jaimito?

Bs ( A + X + m )

11) Arturo tena Bs X, gan Bs 9 y pag Bs Y Cunto tiene Artturo?

Bs ( X + 9 Y )

12) Al vender un carro en Bs X gan Bs 300.000 Cunto me cost el carro?

Bs ( X 300.000)

13) Si han transcurrido X das de un ao. Cuntos das faltan por transcurrir?

( 365 X ) das.

14) Si un pantaln cuesta $ b Cunto costarn 8 pantalones; 15 pantalones; X pantalones.?

$ 8b; $ 15b; $ Xb

ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -2-

Para que el alumno tenga una visin mas profunda del lgebra me permito recomendar la lectura y anlisis del captulo PRELIMINARES ( pgina 5 hasta pgina 39 ) del reconocido libro LGEBRA DE AURELIO BALDOR, de donde han sido extrados los enunciados de los problemas que se resuelven en esta gua para estudiantes.

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

El idioma del lgebra es la ecuacin. Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma algebraico, escribi el gran Newton en su manual de lgebra titulado: Aritmtica Universal.. Isaac Newton

mostr con ejemplos cmo deba efectuarse la traduccin. He aqu uno de ellos:

En la lengua Verncula

En el idioma del lgebra

Un comerciante tena una determinada suma de dinero

X

El primer ao se gast 100 libras

X 100

Aument el resto con un tercio de ste

(X-100) + X-100 = 4X 400

3 3

Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras

4X 400 - 100 = 4X - 700

3 3

Y aument la suma restante en un tercio de ella

4X 700 + 4X 700 = 16X - 2.800

3 3 9

3 Llegando as su capital a tres medios del inicial

16X - 2.800 = 3X

9 2

ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -3-

Para determinar cul es el capital inicial del comerciante no queda ms que resolver la ltima ecuacin. ( Capital inicial X = 1.120 ,oo)

LA VIDA DE DIOFANTO

La vida ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto, notable matemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico. Reproducimos esta inscripcin:

En la lengua verncula: En el idioma del lgebra: CAMINANTE! AQU FUERON SEPULTADOS LOS RESTOS DE DIOFANTO. Y LOS NMEROS PUEDEN MOSTRAR, OH, MILAGRO!, CUN LARGA FUE SU VIDA.

X

CUYA SEXTA PARTE CONSTITUY SU HERMOSA INFANCIA.

X

6

HABA TRANSCURRIDO ADEMS UNA DUODCIMA PARTE DE SU VIDA, CUANDO DE VELLO CUBRISE SU BARBILLA

X

12

Y LA SPTIMA PARTE DE SU EXISTENCIA TRANSCURRI EN UN MATRIMONIO ESTRIL.

X

7

PAS UN QUINQUENIO MS Y LE HIZO DICHOSO EL NACIMIENTO DE SU PRECIOSO PRIMOGNITO.

5

QUE ENTREG SU CUERPO, SU HERMOSA EXISTENCIA, A LA TIERRA, QUE DUR TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU PADRE

X

2

Y EN PROFUNDA PENA DESCENDI A LA SEPULTURA, HABIENDO SOBREVIVIDO CUATRO AOS AL DECESO DE SU HIJO.

X = X + X + X + 5 + X + 4

6 12 7 2

Dime cuntos aos haba vivido Diofanto cuando le lleg la muerte.

ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -4-

Al resolver la ecuacin y hallar el valor de la incgnita, X = 84, conocemos los siguientes datos biogrficos de Diofanto: se cas a los 21 aos, fue padre a los 38, perdi a su hijo a los 80 y muri a los 84.

Para resolver cualquier problema con las herramientas del lgebra se recomienda seguir los siguientes pasos:

1.- Identificar el problema ( Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver ).

2.- Identificar las incgnitas ( Asignar letras a las cantidades desconocidas ).

3.- Expresar el problema en lenguaje algebraico ( Construir ecuaciones utilizando nmeros para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras sern las indicadas en el paso anterior ).

4.- Resolver el problema ( Resolver la ecuacin o sistema de ecuaciones ).

5.- Comprobar los resultados ( introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen).

Partiendo de la premisa que el inters primordial de este trabajo es el de ayudar metodolgicamente a los estudiantes, se har nfasis especial en el segundo y tercer paso (Identificar las incgnitas y Expresar el problema en lenguaje algebraico) y se indicarn los resultados, dejando la posibilidad de que el usuario practique la secuencia de resolucin en algunos ejercicios. De la misma forma, algunas veces, se dejarn en blanco los pasos 1 y 5 para que el estudiante