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2  

TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 4.- La demanda diaria de hogazas de pan en una tienda de abarrotes esta dado por la siguiente distribución de Probabilidad:

X 100 150 200 250 300

P(X) 0.2 0.25 0.30 0.15 0.10 Si una hogaza de pan no se vende el mismo día, al final de este se puede vender a 15 centavos. De otra manera, el precio del pan fresco es de 49 centavos. El costo por hogaza es de 25 centavos para la tienda. Suponiendo que el nivel de almacenamiento se restringe a uno de los niveles de demanda. ¿Cuántas piezas deberán almacenarse diariamente? 5.- Claudia Sánchez es la gerente de un mini supermercado. Ella necesita reabastecer su inventario de fresas. Su proveedor normal puede surtir todas las cajas que desee. Sin embargo, como ya están muy maduras, deberá venderlas mañana y después descartar las que queden. Claudia estima que podrá vender 10, 11, 12 o 13 cajas mañana. Puede comprar las fresas en $3 por caja y venderlas en $8 por caja. Claudia verifica los registros de ventas diarias de fresas de la tienda. Con base en ellos, estima que las probabilidades a priori de poder vender 10, 11, 12, 13 cajas de fresas mañana son 0.2, 0.4, 0.3, y 0.1.

a) Desarrolle la formulación para el análisis de decisión de este problema identificando las acciones alternativas, los estados de la naturaleza y la tabla de pagos.

b) Cuantas cajas debe comprar según la regla de Bayes. c) Claudia piensa que tiene bien las probabilidades a priori para la venta de 10 y 13 cajas, pero no está

segura de cómo dividir esas probabilidades para 11 y 12 cajas aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando las probabilidades a priori de vender 11 y 12 cajas son: 1) 0.2, 0.5; 2) 0.3, 0.7; 3) 0.5; 0.2.

6.- Suponga que Pizza King y Noble Greek dejan de anunciarse pero deben determinar el precio que deben cargar para cada pizza vendida. Pizza King considera que el precio de Noble Greek es una variable aleatoria D que tiene la siguiente función de masa. P(D=$6)=0.25. P(D=$8)=0.50. P(D=$10)=0.25. Si Pizza King carga un precio p1 y Noble Greek carga un precio p2. Pizza King venderá 100 + 25(p2 – p1) pizzas. A Pizza King le cuesta 4 dólares hacer una pizza. Pizza King está considerando cargar 5. 6. 7. 8 ó 9 dólares por pizza. ¿Cuál es la decisión optima? 7.- Se ha desarrollado un nuevo tipo de película fotográfica. Se empaca en juegos de cinco placas, en donde cada placa proporciona fotografía instantánea. En la promoción de esta película el fabricante ofrece el reembolso del precio total de la compra si una de las cinco placas esta defectuosa. Este reembolso debe pagarlo la tienda y el precio de venta se ha fijado en $2 si esta garantía tiene que hacerse válida. La misma tienda puede vender la película por $1 sí la garantía anterior se sustituye por una que paga $0.20 por cada placa defectuosa. La tienda paga $ 0.40 por la película y no la puede regresar. Las probabilidades de encontrar placas defectuosas se muestran a continuación:

Defectuosos en el paquete 0 1 2 3 4 5 Probabilidad 0.33 0.27 0.2 0.13 0.06 0.01

a) ¿Qué decisión debería tomar la tienda? b) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta?

8.- Dentro del stock de medicinas que tiene la veterinaria "EL ARCA DE NOE". Se encuentran las vacunas de inmunización contra la rabia. Debido a las características de la vacuna, estas se compran en cajas (10 vacunas por caja) el lunes de cada semana y las vacunas que no son usadas se desechan el domingo. La vacuna cuesta $7.00 por dosis y el veterinario cobra $ 10.00 por la misma dosis. Si en la veterinaria se tiene la siguiente información estadística para las últimas 40 semanas:

Cantidad de cajas usadas por semana 0 1 2 3 4 5 6 Cantidad redondeada de vacunas usadas 0 10 20 30 40 50 60Número de semanas que esto ocurrió 0 6 12 10 9 3 0

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¿Cuántas cajas se debe comprar usando el valor esperado? 9- Un cliente acudió a su banco por un préstamo anual de 50000 dólares a una tasa de Interés de 12%. Si el banco no aprueba el préstamo, los $50000 se invertirán en bonos que obtienen un rendimiento anual de 6%. Sin más información, el banco considera que hay 4% de probabilidad de que el cliente incumpla por completo el pago del préstamo. Si el cliente no paga, el banco pierde $50000. A un costo de $500. El banco puede investigar el registro de crédito del cliente y suministrar una recomendación favorable o desfavorable. Por experiencia se sabe que: P (recomendación favorable/el cliente no incumple) = 77/96 P (recomendable favorable/el cliente incumple) = ¼ ¿Cómo puede maximizar el banco sus ganancias esperadas? También encuentre el costo de información perfecta. 10.- Una compañía ha diseñado un nuevo circuito integrado que le permitirá entrar en el mercado de las microcomputadoras si así lo desea. En otro caso, puede vender sus derechos por 80 millones. Si elige construir ordenadores, la rentabilidad de este proyecto depende de la habilidad de la compañía para comercializarlas durante el primer año. Tiene suficiente acceso a los distribuidores para asegurar la venta de 1000 ordenadores. Por otro lado, si tiene éxito puede llegar a vender hasta 10 000 maquinas. La compañía piensa que ambas alternativas de venta son igualmente probables y que cualquier otra puede ignorarse. El costo de instalar la línea de producción es de 60 millones. La diferencia entre el precio de venta y el costo de cada ordenador es de 60 000$. Determinar según los diferentes criterios cual es la decisión optima. Suponga ahora que se puede realizar un estudio de mercado a un costo de 40 millones para predecir cuál de los dos niveles de demanda es más probable que se dé. La experiencia indica que esta investigación de mercado es correcta dos tercios de las veces. Determinar la política optima a seguir 11.- El departamento de ciencias de decisión intenta determinar cuál de dos maquinas copiadoras comprar. Ambas maquinas cumplirán las necesidades del departamento durante los diez años siguientes. La maquina 1 cuesta 2000$ y tiene un acuerdo de mantenimiento que por una cuota anual de 150$, cubre todas las reparaciones. La maquina 2 cuesta 3000$ y su costo de mantenimiento anual es una variable aleatoria. En el presente, el departamento de ciencias de la decisión cree que hay 40% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual de la máquina 2 sea de 0$, 40% de probabilidad de que sea 100$ y 20% de probabilidades de que sea 200$. Antes de que se tome la decisión de comprar, el departamento puede pedir a un técnico capacitado que evalué la calidad de la maquina 2. Si el técnico cree que la maquina 2 es satisfactoria, hay 60% de probabilidad de que su costo de mantenimiento anual sea 0$ y 40% de probabilidad de que sea 100$. Si el técnico cree que la maquina 2 es insatisfactoria, hay 20% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual sea 0$, 40% de que sea 100$ y 40% de que sea 200$. Si hay 50% de probabilidades de que el técnico de un informe satisfactorio. Si el técnico cobre 40$ ¿Que debe hacer el departamento de ciencias de la decisión? ARBOLES DE DECISION 12.- Un popular concurso de televisión funciona de la siguiente manera: en primer lugar se pregunta al concursante una cuestión acerca de literatura, si contesta bien ganara 1000€ y podrá seguir jugando, pero si falla deberá abandonar el concurso, sin premio alguno. El concursante estima que tiene una probabilidad del 80% de acertar la pregunta. En caso de acertar podrá decidir entre responder a una segunda cuestión, esta vez sobre ciencia y tecnología, o retirarse con el premio acumulado hasta ese momento, si decide jugar y acierta obtendrá un premio adicional de 3000€ pero si falla perderá todo lo ganado hasta ese momento. El concursante cree que sus probabilidades de acertar esta cuestión son de un 60%. Finalmente en caso de acertar esta segunda pregunta, el concursante podrá optar entre seguir jugando y contestar a una tercera pregunta sobre deportes o plantarse o quedarse con el dinero acumulado. Si decide jugar y acierta obtendría un premio adicional de 5000€, pero si falla perderá todo lo acumulado hasta entonces. El jugador estima que su probabilidad de acertar esta tercera pregunta es de un 40% Determine la estrategia optima para el jugador, de manera que maximice el valor esperado de este juego y determine cuál será dicha cantidad.

4  

13.- Una compañía está considerando el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Este, en caso de realizarse, se haría en dos etapas: "Santiago" y "Regiones". Aun no se ha decidido en donde se lanzara primero el producto, y dependiendo del resultado de la primera etapa se decidirá si se realiza la segunda o no. Se cree que si el producto es lanzado primero en "Santiago", la primera etapa tendrá éxito con probabilidad 0,6. En cambio si se lanza primero en "Regiones" la probabilidad de éxito de esta será solo 0,4. De acuerdo a los antecedentes que se tienen, un producto que es lanzado primero en "Santiago", y tiene éxito, es exitoso en "Regiones" el 80% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Santiago" solo el 20% de las veces resulta ser exitoso en "Regiones". Por otro lado, un producto que es lanzado primero en "Regiones", y tiene éxito, es exitoso en "Santiago" el 40% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Regiones" solo el 5% de las veces resulta ser exitoso en "Santiago". Si el producto resulta exitoso en "Santiago" la compañía obtendrá un beneficio neto de 40 millones de pesos. Si por el contrario resulta un fracaso, tendrá perdidas por $ 15 millones. Además, si el producto resulta exitoso en "Regiones" se obtendrá un beneficio neto de $ 25 millones, mientras que si resulta un fracaso, la compañía experimentara perdidas por $ 20 millones. Todo lo anterior independiente de la etapa del lanzamiento. Con los datos entregados construya y resuelva un árbol de decisión que ayude a la compañía a encontrar la política de lanzamiento óptima para el nuevo producto. FUNCIÓN DE UTILIDAD 14.- Colaco, tiene en la actualidad activos de 15 millones de $ y desea decidir si vende o no un refresco con sabor a chocolate, la Chocola. Colaco tiene tres opciones: 1) probar en forma local el mercado de Chocola y a continuación, usar los resultados del estudio de mercado para decidir si vende la Chocola a nivel nacional o no. 2) Directamente vender la Chocola a nivel nacional. 3) Decidir directamente no vender la Chocola. A falta de un estudio de mercado, colaco cree que Chocola tiene 55% de posibilidades de éxito nacional y 45% de fracaso absoluto. Si es un éxito nacional, el beneficio será de 30 millones y si es un fracaso se perderán 10. Si Colaco decide hacer el estudio previo a un costo de 3 millones, hay 60% de posibilidades de que sea un éxito local y un 40% de fracaso local. Si obtiene éxito local hay un 85% de posibilidades de que Chocola sea éxito nacional. Si se obtiene un fracaso local hay solo un 10% de que Chocola sea éxito nacional. Si Chocola es neutral respecto a riesgos ¿Qué estrategia debe seguir? ¿Y si Colaco valora sus ganancias de forma no lineal asignando las utilidades: u(45 millones) = 1, u(42 miliones)= 0.99, u(15 millones = 0.48, u(12 millones)=0.40, u(5 millones)= 0.19 y u(2 millones) = 0 ? 15.- Edwina, una intermediaria, tiene la opción de comprar 1000 oz de oro a $50 la onza. Si toma la opción y si el congreso disminuye las cuotas de importación, ella puede vender el oro en $80 la onza. Si toma la opción y el congreso no disminuye las cuotas de importación, la compañía perderá $10 por onza. Eduwina cree que hay 50% de probabilidades de que el gobierno disminuya la cuota. Ella también tiene la opción de esperar hasta que el congreso decida si disminuye la cuota de importación. Si ella adopta esta estrategia, hay 70% de probabilidades de que algún otro intermediario haya tomado la opción.

a) Si Edwina es neutral al riesgo que ¿debe hacer? b) Si Edwina es propensa al riesgo que ¿debe hacer? c) Si Edwina es adversa al riesgo que ¿debe hacer?

TEORÍA DE JUEGOS 16.- Sea la matriz de pagos:

Jugador B

Jugador A

-6 8 3 -4 -1 5 -1 -10 4 -3 -2 7

Determine las estrategias óptimas de cada jugador

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17.- Sea la matriz de pagos: Las estrategias del jugador A son (A1, A2, A3) Las estrategias del jugador B son (B1, B2, B3, B4, B5, B6)

B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1 -4 -1 -2 4 -6 10 A2 -6 8 -7 2 -3 -1 A3 -8 -3 -8 0 -9 -2

Determine las estrategias óptimas de cada jugador 18.- Considere un juego de mesa para dos jugadores. Cada uno comienza con tres fichas: una roja, una blanca y una azul. Cada ficha se puede usar una sola vez. Al iniciar, cada jugador elige una de sus fichas y la coloca tapada, sobre la mesa, después ambos la destapan y determinan el pago para el ganador. En particular, si ambos tiene el mismo color, es un empate; de otra manera, la tabla que sigue indica el ganador y el pago que recibe del otro jugador. En seguida, cada jugador elige una de sus dos fichas restantes y se repite el proceso con un nuevo pago de acuerdo con la tabla. Por último, cada jugador juega la ficha que le queda y se determina el tercer pago.

Ficha ganadora Pago $ Rojo mata blanco 50 Blanco mata azul 40 Azul mata rojo 30 Fichas iguales 0

Formule este problema como un juego de dos personas y suma cero, identifique la forma de las estrategias y pagos. 19.- Dos compañías comparten el grueso del mercado para cierto tipo de producto. Cada una hace nuevos planes de comercialización para el próximo año con la intención de arrebatar parte de las ventas a la otra compañía (Las ventas totales del producto son más o menos fijas por lo que una compañía puede incrementar sus ventas solo si disminuyen las de la otra.) cada una está considerando tres posibilidades 1) un mejor empaque del producto, 2) un aumento en la publicidad y 3) una pequeña reducción en el precio. Los costos de las tres opciones son comparables y lo suficientemente grandes como para que cada compañía elija solo una. El efecto estima de cada combinación de alternativas sobre el aumento en el porcentaje de las ventas de la compañía 1 es:

Compañía 2

Compañía 1

1 2 3 1 2 3 1 2 1 4 0 3 3 -2 -1

Cada compañía debe hacer su elección antes de conocer la decisión de la otra compañía. a) Sin eliminar las estrategias dominantes, utilice el criterio minimax (o maiximin) para determinar la mejor estrategia para cada compañía. b) Ahora identifique y elimine las estrategias dominadas hasta donde sea posible. Haga una lista de las estrategias dominadas que muestre el orden en el que se pudieron eliminar. Después elabore la matriz de pagos reducida que resulta cuando ya no quedan estrategias dominantes

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20.- Juan ha pasado la tarde en un salón de juegos observando como uno de los empleados juega al mentiroso y como juegan en otra mesa a una variación de las tres en raya. En el juego del mentiroso, la "casa" tiene tres posibles alternativas: pasar, decir la verdad o mentir, mientras que Pablo solo tiene dos posibilidades: decir la verdad o mentir. Según se combinen estas opciones las posibles ganancias para el jugador quedan recogidas en la siguiente tabla:

B1 B2 B3 A1 8 3 1 A2 0 1 2

El otro juego observa que, tanto el jugador como la "casa" tiene tres posibles estrategias: intentar conseguir las tres en raya en fila, columna o diagonal. Dependiendo de las estrategias adoptadas por los contrincantes, los posibles resultados son:

C1 C2 C3 A1 1 -1 3 A2 7 4 6 A3 3 -2 5

a) ¿Cómo debe jugar Juan al mentiroso o a las tres en raya de forma óptima si su comportamiento racional es prudente? b) En vista del resultado anterior, si Juan solo va a jugar en uno de los dos juegos, ¿En cuál le recomendaría usted que participe? Justifique la respuesta. NOTA: No pierda su tiempo en copiar los enunciados para la resolución de la práctica solo coloque el número del ejercicio y los incisos correspondientes. Ing. Carlos Balderrama Vasquez Egr. Gustavo Álvaro Challapa Llusco