Tópicos de teoría de conjuntos y Análisis Combinatorio

MATEMÁTICA – ENFERMERÍA UNPRG

MSc. José A. Chiroque Baldera

ESPECIALIDAD: ENFERMERÍA

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

UNIDAD I: TÓPICOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS, ANALISIS COMBINATORIO Y

NÚMEROS REALES

1.- INTRODUCCIÓN:

Explorando los saberes previos:

Una agencia de turismo realiza una encuesta entre 5 000 personas para ver las

preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos, y Trujillo; 2 400 personas desean viajar

por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos a Trujillo, 2 100 por lo menos a Iquitos, 1 000

a Trujillo e Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, 1 500 a Trujillo y el Cuzco y 500 están

dispuestos a realizar tres excursiones, se pregunta:

a) ¿Cuántos indicaron que no realizan ningún viaje?

b) ¿Cuántos no mostraron interés por el viaje a Iquitos?

c) ¿Cuántos desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea el Cuzco?

d) ¿Cuántos están dispuestos a realizar dos viajes diferentes?

e) ¿Cuántos viajarán al Cuzco si y sólo si no lo harían a Iquitos ni a Trujillo?

Solución:

En esta sección haremos una revisión breve sobre la teoría de conjuntos y análisis

combinatorio, para luego estudiar los conjunto numéricos, en particular estudiar los

números reales. La noción del objeto matemático conjunto es fundamental en

matemática, sin embargo es una noción que no está definida. Es una noción básica o

primitiva desarrollada recién a finales del siglo XIX por el matemático George Cantor.

La teoría desarrollada por este matemático ha tenido una enorme influencia en el avance

de las matemáticas durante el siglo XX , pues ha dado origen al estudio sistemático de



otros objetos matemáticos como por ejemplo: par ordenado, producto cartesiano,

números reales, relación, función, etc. El estudio de las matemáticas es de trascendental

importancia en la vida profesional de cada estudiante, pues resultan ser las ideas más

útiles para modelar e interpretar el mundo real.

2.- TEORÍA DE CONJUNTOS:

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, y estos objetos se denominan

elementos del conjunto.

Si A es un conjunto, la notación a A significa que a es un elemento que pertenece a

A , y b A quiere decir que b no es un elemento de A . Por ejemplo, “ A es el conjunto

de todos los enteros positivos menores que 7”, se puede escribir de una manera más

técnica o matemática, como: / 0 7A x x es un entero y x o también nombrando a

cada uno de sus elementos, así: 1,2,3,4,5,6A . De esta manera se puede afirmar

que: 6 A , pero 7 A . El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es

irrelevante, y los elementos se consideran una sola vez.

Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambigüedades, cuales son

los elementos de dicho conjunto, es decir, diremos que un conjunto está bien definido, si

podemos conocer todos los elementos del conjunto. Existen dos maneras de determinar

un conjunto dado: por extensión y comprensión.

Por extensión: Cuando se nombran uno a uno, a cada uno de sus elementos.

Por comprensión: Cuando existe una propiedad que caracteriza a cada uno de sus

elementos.

Conjuntos Finitos e Infinitos: Un conjunto es finito cuando es vacío o cuando consta

de un determinado número de elementos distintos. En caso contrario, el conjunto es

infinito.

Conjunto Enumerable: Diremos que un conjunto A es ENUMERABLE cuando es finito

o cuando existe una BIYECCIÓN entre los números naturales y el conjunto A . Por

ejemplo, los naturales, los enteros, los racionales, etc., son enumerables.

Si no existe una BIYECCIÓN entre los números naturales y los elementos del conjunto

A , entonces diremos que A es NO ENUMERABLE. Por ejemplo, los números

irracionales, los números reales y todo intervalo no degenerado I (intervalos que

no se reducen a un punto) son no enumerables.

Nota: En lugar de usar , también podemos usar los números enteros positivos .

El conjunto Universal (U ) es un conjunto de referencia del cual se toman otros

conjuntos. Si A y B son conjuntos, entonces la unión A B es el conjunto que consta

de todos los elementos que están en A o en B o en ambos. La intersección de A y



de B es el conjunto A B que consiste en todos los elementos que están tanto en A como en B . En otras palabras, A B es la parte que es común a A y a B . El

conjunto vacío, denotado por es el conjunto que no tiene elementos.

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a A , pero no a B . Simbólicamente:

/A B x U x A x B

Si A y B son conjuntos de U , tales que A B , se define el complemento de A con

respecto a B , a la diferencia B A .

Simbólicamente:

/BC A B A x U x B x A

En particular, si B U , el complemento de A con respecto a U , se define como el

conjunto de elementos que no pertenecen a A .

Simbólicamente:

' /CA A x U x A

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se define por los elementos que

pertenecen a A o, a B , pero no a ambos.

Simbólicamente:

( ) ( )A B A B B A o ( ) ( )A B A B A B

Las relaciones entre conjuntos más importantes son:

Inclusión: Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B , cuando todos

los elementos de A pertenecen también a B . Se denota por A B .

Simbólicamente:

A B x A x B

Un conjunto A es propio de B sí A B y A B .



Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Equivalentemente:

A B A B B A

Conjuntos Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y sólo si:

A B o B A .

Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en

común, es decir; A B .

Cardinalidad: Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, diremos que es

un conjunto finito y llamaremos cardinal de A al número de elementos de A . El cardinal

del conjunto vacío es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita de elementos diremos

que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito.

Nota: Si A es finito entonces ( ) ( )Card A n A .

El conjunto de Partes o conjunto Potencia: Dado un conjunto A , definimos el

Conjunto Potencia de A , al conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Lo

denotamos ( )P A .

Simbólicamente:

( ) /P A X X A

Por ejemplo:

Si 1,2,3A entonces ( ) , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3P A . Se observa

que: ( ) 3n A y 3 3 3 3 3

0 1 2 3( ) 8 2n P A C C C C .

En general, si ( )n A k , entonces: 0 1 2( ) 2 ... ...k k k k k k

r kn P A C C C C C ,

donde: k

rC representa el número de subconjuntos de A , con r elementos. Además:

!

!( )!

k

r

kC

r k r

TAREA: Elabore una lista de todas las propiedades de los conjuntos, es decir; enunciar

las propiedades de la igualdad, de la inclusión, unión, intersección, diferencia,

complemento, potencia y cardinalidad.



Conjunto Numéricos:

Los distintos tipos de números se inventaron para cumplir con necesidades específicas:

Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos

para describir deudas temperaturas por abajo de cero grados, los números racionales

para conceptos como “medio litro de leche”, y los números irracionales para medir

ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado.

El Conjunto de los Números Naturales: 0,1,2,3,4,5,6,...

El Conjunto de los Números Enteros: ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

El Conjunto de los Números Racionales: / , 0m

m n nn

El Conjunto de los Números Irracionales: Está formado por los números decimales infinitos no periódicos.

3 3..., , ..., - 5, ..., - 2, ..., ,..., 3, ..., e, ..., , ... '

2I

Donde: = 3,14159....... e = 2,718281.........

El conjunto de los Números Reales: I , I

1 , ..., - , ..., - 5,..., -e,..., -1,..., 0, ..., ,...,1,..., , ..., 7, ..., 4e, ...,

2

El conjunto de los Números Complejos: / , , 1a bi a b i



3.- ANÁLISIS COMBINATORIO:

Experimento: Es cualquier proceso que produce un resultado o una observación.

Experimento Aleatorio:

En estadística la palabra experimento se utiliza para describir un proceso que genera un

conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. En la mayoría de los casos, los resultados

del experimento dependen del azar, por lo tanto no pueden pronosticarse con exactitud.

Definición (EA):

Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto (o prueba) una o más veces,

cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir

con certeza.

Es decir, Un Experimento es aleatorio cuando se conocen todos sus posibles resultados

pero no se puede saber cual resultado ocurrirá, hasta que se lleve a cabo el experimento.

Ejemplo: El lanzamiento de un dado.

Espacio Muestral: Es el conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio.

Simbólicamente:

/w w es un punto muestral

Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral.

A cada elemento del espacio muestral se denomina también punto muestral o evento

simple, y cualquier subconjunto del espacio muestral con más de un elemento se le

denomina Evento compuesto.

Clasificación de los Espacios Muestrales:

Por el número de elementos los espacios muestrales se clasifican en:

1. Espacio muestral Discretos Finitos: Consisten de un número finito de elementos.

2. Espacio muestral Discretos Infinitos: Consisten de un número infinito numerable de

elementos.

3. Espacio muestral Continuos: Consisten de un número infinito no numerable de

elementos.

Definiciones:

1.- Un evento A ocurre si y sólo si existe w A

2.- Un evento A no ocurre si y sólo si w A



3.- El evento A B , si toda vez que ocurra A ocurre también B

4.- El evento A B si y sólo si A B y B A

5.- El evento /cA w w A describe el evento de que no ocurre A .

Operaciones con Eventos

1.- El evento A B describe el evento de que ocurra por lo menos uno de ellos.

/A B w w A w B

2.- El evento A B describe el evento de que ocurran ambos A y B .

/A B w w A w B

3.- Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si A B

En general, diremos que los eventos: 1 2, , ..., nA A A son mutuamente excluyentes si:

, , , 1,...,i jA A i j y i j n

4.- El evento cA B A B describe el evento de que ocurra A y no ocurra B

5.- El evento A B describe el evento de que ocurra primero A y segundo B .

( , ) /A B u v u A v B

ALGEBRA DE EVENTOS:

1.- A A , A A

2.- A B B A, A B B A

3.- cA A ,

cA A

4.- A A , A

5.- A , A A

6.- c

, c

, ( )c cA A

7.- ( ) ( ) ( )A B C A B A C y ( ) ( ) ( )A B C A B A C

8.- ( )c c cA B A B , ( )c c cA B A B

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES:



Cuando es grande el número de resultados posibles de un experimento aleatorio, no

suele ser fácil el recuento de tales resultados, por eso, es necesario dar ciertas reglas que

nos faciliten el conteo de puntos muestrales.

Número de Puntos muestrales:

El número de elementos de un evento arbitrario A se denota por ( )n A , así:

( ) 0n , y ( ) 0n A , A .

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Si una operación puede realizarse de m formas y por cada una de estas una segunda

puede realizarse de n formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse de m n

formas. Es decir, si A y B son dos eventos finitos y si el procedimiento se puede realizar

simultáneamente, entonces el número de maneras distintas que se pueden realizar las

dos operaciones es:

( ) ( ) ( )n A B n A n B m n

En general, Si 1 2, , ..., kA A A son k eventos finitos, entonces:

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )k kn A A A n A n A n A

Ejemplos:

1.- Cuando Karen va a la universidad lleva siempre dos libros (de cursos diferentes) pero

el cuenta en el ciclo con tres libros de Enfermería Básica (A, B, C) y dos libros de

Anatomía Humana (D, E). ¿De cuántas maneras distintas podrá llevar sus libros?

Solución: Elaboramos un diagrama de árbol

Enfermería Básica (EB) Anatomía Humana (AH) N° de maneras

A D 2

E

B D 2

E

C D 2

E

Total de maneras distintas: 6



En términos matemáticos tenemos que: ( ) 3n EB y ( ) 2n AH , entonces el número

de maneras distintas de llevar dos libros es: ( ) ( ) 3 2 6n EB n AH .

2.- ¿Cuántos números pares de tres dígitos distintos se pueden formar con los dígitos: 1,

4, 7, 8 y 9?

Solución: Número abc

Eventos 1A 2A

3A

Número a b c

Posibilidad 1 8 1 4

Posibilidad 2 7 4 o 8 8

Posibilidad 3 9 7

Posibilidad 4 9

Total de posibilidades

3 4 2

Notación 1( ) 3n A 2( ) 4n A 3( ) 2n A

Luego como el procedimiento puede realizarse simultáneamente, entonces la cantidad de

números pares de tres dígitos distintos que se pueden formar es:

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )

3 4 2 24

n A A A n A n A n A

3.- Suponga que una urna contiene n objetos numeradas de 1 hasta n : 1 2, , ..., na a a . ¿De

cuántas maneras puede elegir k de ellas una a una?

Solución:

Tenemos dos posibilidades.

Primera posibilidad: Supongamos que extraemos uno a uno cada objeto sin reponerla, y

además suponga que iA es el evento que denota los posibles resultados de la extracción

i , donde 1,2,...,i k , entonces el número de formas de extracción es igual número de

elementos del evento: 1 2, , ..., kA A A , es decir:

1 2( ) ( ) ... ( ) ( 1) ( 2) ... ( 1)kn A n A n A n n n n k .

Cada elemento 1 2, , ..., ka a a del evento 1 2, , ..., kA A A se denomina variación sin

reposición.



Segunda posibilidad: Supongamos extraemos uno a uno cada objeto pero luego la

reponemos, entonces el número de formas de extracción es igual número de elementos

del evento:1 2, , ..., kA A A , es decir:

1 2( ) ( ) ... ( ) ... k

kn A n A n A n n n n

Cada elemento 1 2, , ..., ka a a del evento 1 2, , ..., kA A A se denomina variación con

reposición.

REGLA DE LA ADICIÓN

Si un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B puede

realizarse de n maneras diferentes ( A y B no simultáneamente), entonces las dos

operaciones pueden realizarse de m n maneras diferentes. Es decir, si A y B son dos

eventos finitos mutuamente excluyentes, entonces el número de maneras distintas que se

pueden realizar las dos operaciones es:

( ) ( )n A n B m n

En general, Si 1 2, , ..., kA A A son k eventos finitos que no ocurren simultáneamente,

entonces:

1 2

1

( ) ( ) ... ( ) ( )k

k i

i

n A n A n A n A , donde ,i jA A i j

Observación:

1.- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

( ) ( ) ( )n A B n A n B , donde A B

2.- Si los n eventos no ocurren mutuamente juntos, entonces.

1 2 1 2

1

( ... ) ( ) ( ) ... ( )n

k n i

i

n A A A n A n A n A A , donde ,i jA A i j

3.- Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B

4.- Si A , B y C son tres eventos cualesquiera, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C



ORDENACIONES O VARIACIONES

Definición: Dados los elementos 1 2, , ..., na a a se define a una ordenación (de orden)

como aquel subconjunto capaz de ser formado ya sea tomando parte o el total de estos n

elementos, los mismos que lograrán distinguirse ya sea por la composición de sus

elementos o por el orden de seguimiento.

Es decir, Se denomina variación de k objetos tomados de n objetos distintos, a cada uno

de los arreglos u órdenes que se hagan con los k objetos, de manera, que estos arreglos

difieran en algún elemento o en el orden de colocación.

Teorema: El número de variaciones diferentes de k objetos tomados de n objetos

distintos, será denotado por n

kV , y está dado por:

!( 1)( 2)...( 1)

( )!

n

k

nV n n n n k

n k, donde 0n k .

Variación con Repetición: Se denomina variación con repetición de k objetos tomados

de n objetos distintos, a cada una de los arreglos de k de tales objetos de manera que

dos, tres,…, k de ellos, puede ser uno mismo de los n objetos.

El número de variaciones con repetición de k objetos a partir de n objetos distintos, será

denotado por n

kVR , y está dado por:

...n k

kVR n n n n

Observación:

1.- En la relación 0n k , si 0k la ordenación de estos n elementos dispuestos de

cero a cero se tendrá como único subconjunto al vacío, puesto que no contendría

elementos.

PERMUTACIONES

Definición: Se denomina permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de

los n objetos distintos.

Teorema: El número de permutaciones de n objetos distintos es igual al número de

variaciones de n objetos tomados de n objetos distintos, será denotado por nP , y está

dado por:

( 1) ( 2) ... 2 1 !nP n n n n

Permutación Circular: Se denominan permutaciones circulares a las diferentes

permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni



último objeto, ya que todos forman un “círculo” (o cualquier otra figura geométrica plana

cerrada). El total de permutaciones “circulares” diferentes que pueden formarse con n

objetos distintos, está dado por:

( 1)!nPC n

Permutaciones con Objetos Repetidos:

El número de permutaciones de n objetos de los cuales 1n son iguales entre sí,

2n son

iguales entre sí, …, kn son iguales entre sí, está dado por:

1 2, ,...,

1 2

!

! !... !k

n

n n n

k

nP

n n n, donde 1 2 ... kn n n n

COMBINACIONES:

Definición: Se denominan combinaciones de k objetos tomados de n objetos distintos a

cada selección que podamos hacer de k objetos de los n dados, sin tener en cuenta el

orden de los mismos y de manera que no pueden haber dos combinaciones con los

mismos elementos.

Teorema: El número de combinaciones de orden k que se pueden formar a partir de n

objetos distintos, será denotado por n

kC , y está dado por:

!

!( )!

n

k

nC

k n k, donde 0n k .

Equivalentemente: ! n n

k kk C V

Propiedades:

1.- 0 1n n

nC C

2.- n n

k n kC C

3.- 1

1

n n n

k k kC C C

4.- 1

1n n

k k

n kC C

k

5.- 0 1 ... 2n n n n

nC C C

6.- 0

lm n m n

k l k l

k

C C C



Combinaciones con Repetición:

El número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, de manera que dos,

tres, … , k objetos pueden ser uno mismo, está dado por:

( 1)!

!( 1)!

n

k

n kCR

k n



PROBLEMAS APLICATIVOS

1. Indique cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos

a) El conjunto de las letras de nuestro alfabeto. b) El conjunto de todas las personas que habitan en la tierra. c) El conjunto de todos los números enteros positivos. d) El conjunto de los múltiplos de 3.

2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) 1;2 5;1 4;2 11;1 7;...X

b) 11 3;9 2;27 5;19 3;51 7Y

c) 0;3;10;21;36;...A

d) 1,1, 3, 5, 7B

e) 3, 8,15, 24, 35, 48,...C

3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a) 2 2/ 0 20X x x x

b) 2/10 13 3 0Y x x x

c) /A x x es un dia de la semana

d) / " "B x x es una letra de la palabra Matematica

e) / 785432C x x es una cifra del numero

f) 2/ 6 0D x x x

4. Analizar si los siguientes conjuntos son iguales:

4 3 2/ 10 18 0A x x x x x y / 1106360B x x es una cifra del numero

5. Si 1,2,3,4X , determine por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

I. / 2A A X y A tiene elementos

II. / 1A A X y A tiene elemento

III. /A A es un subconjunto propio de X

IV. / 1A A X y A

6. Sea el conjunto 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A . Hallar el número de subconjuntos de

A con 1, 3, 5, 7 y 9 elementos.

7. Decir cuál de los siguientes conjuntos son finitos, infinitos, Enumerables, no

Enumerables, vacío o iguales. Justifique su respuesta. (Sugerencia. Exprese los

conjuntos, por comprensión o por extensión).

/ ( 1)( 1) 0A x x x . / , 0p

V x p q q q pq



/ ( 1)(2 1)B x x x

/ , 0 2p

W x p q q p qmúltiplodeq

2/ 4 0A x x

5 2/

5

kX x x k

2/ 4 0B x x

5/

5 2Y x x k

k

2/ 4 0C x x

/ , 5p

Z x p q pqes múltiplodeq

/ 5D x x

/ 5E x x

2/ 16F x x

1/1 5,G x n

n

1,5,25,125,...H

1,3,6,10,15,21,...I

1 1 1 1 1 1, , , , ,

3 9 27 81 243 729J

/ 0 5K x x

3 3 3 3, , , ,...

2 5 10 17L

/1 cos 0L x x

/ 0M x senx

/1 0N x senx

2/1 cos 0N x x

11, 9, 7, 5, 3, 1O

1 2 3 4, , , ,...

2 5 8 11Q

2 4 6 8 10 12, , , , ,

6 11 16 21 26 31R

1 1 1 1, , , ,...

2 8 26 80S

2,5, 8,11,...T

/ , 5p

U x p q uno por lomenosesq



8. Pruebe que si A tiene n elementos, entonces ( )P A tiene 2n elementos.

9. En un concesionario de una empresa, 68 obreros se sirven desayuno, 40 se sirven

el almuerzo y 16 obreros se servirán desayuno y almuerzo. ¿Cuántos obreros sólo

se servirán desayuno?

10. De 50 alumnos del Programa Ciencias de la Comunicación se sabe que: 33

estudian el curso Matemática, y 13 estudian Matemática y Comunicación

simultáneamente. Determinar:

a) ¿Cuántos estudian el curso Comunicación?

b) ¿Cuántos estudian solo Matemática?

c) ¿Cuántos estudian solo uno de los cursos?

11. De un grupo de empleados de una sección que van de paseo, 23 llevan comida,

37 bebidas y 22 golosinas. De ellos 11 llevan comida y bebidas, 10 bebidas y

golosinas, 9 comida y golosinas, 5 las tres cosas. ¿Cuántos llevaron solamente

comida, bebidas y golosinas?

12. En una encuesta realizada, sobre las Editoriales más solicitadas en la Biblioteca.

Arrojaron los siguientes resultados:

48 utilizan Pearson, 40 utilizan MC Graw Hill, 34 utilizan Limusa, 25 utilizan Pearson y Mc Graw Hill, 14 utilizan Mc Graw Hill y Limusa, 23 utilizan Pearson y Limusa, y 3 utilizan las tres Editoriales. ¿Cuál es el número de personas entrevistadas por este tema? y ¿Cuántos utilizan sólo textos de una Editorial? Respectivamente.

13. Análisis de Consumo. En un estudio de 120 consumidores realizado en un centro

comercial, 80 consumidores indicaron que compran la marca A de cierto producto, 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas. Determine la cantidad de consumidores participantes en el estudio, quienes compran:

a) al menos una de estas marcas. b) exactamente una de estas marcas. c) Sólo la marca A. d) Ninguna de estas marcas.

14. Inversiones. En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se halló que 120 utilizan corredores por comisión, 126 usan corredores de tiempo completo y 64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el número de inversionistas tales que:

e) utilizan al menos un tipo de corredor. f) utilizan exactamente un tipo de corredor. g) utilizan sólo corredores por comisión. h) No utilizan corredores.

15. Análisis Económicos. Un estudio de las opiniones de los 10 economistas líderes

en cierto país mostró que, debido a que se espera una baja en los precios del

petróleo, siete redujeron su estimación de la tasa de inflación, ocho aumentaron su

estimación de la tasa de crecimiento del producto interno bruto, dos redujeron su

estimación de la tasa de inflación pero no aumentaron su estimación de la tasa de

crecimiento del producto interno bruto. En ese país durante los próximos 12

meses. ¿Cuántos economistas redujeron su estimación de la tasa de inflación a la

vez que aumentaron su estimación de la tasa de crecimiento del producto interno

bruto para ese período?



16. Hallar el número de maneras diferentes en que se pueden formar números de 5

cifras con los dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de manera que empiecen con 6 o terminen

en 8, si los dígitos:

a) No se repiten

b) Se repiten

17. Encontrar todas las permutaciones de las letras a, b, y c.

18. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar todos los elementos del

conjunto 1,2,3,4,5,6,7,8,9A de manera que los elementos 1 y 9 no

aparezcan juntos?

19. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 9 personas alrededor de una

mesa elipsoidal, si dos personas determinadas deben estar uno al lado del otro?

20. Determinar el número de formas diferentes de permutar 12 objetos iguales en

todo, salvo el color, de los cuales 3 son negros, 4 son blancos y 5 son rojos.

21. Determinar el número de combinaciones de 3 dígitos tomados de: 1, 2, 3, 4 y 5

22. Una caja contiene 20 tornillos similares, de los cuales 10 son buenos, 8 tienen

defectos del tipo A, 5 defectos del tipo B, y 3 los dos tipos de defectos. ¿Cuántos

elementos tiene el espacio muestral que resulta de escoger al azar 11 tornillos de

manera que 2 tengan defectos A y B, 3 defectos sólo A, 2 con defectos sólo B y 4

sin defectos?

23. Dados los eventos A de 4 elementos, y B de 8 elementos ¿cuántos eventos de 6

elementos pueden formarse si cada uno debe contener:

a) Un solo elemento de A?

b) Cuando menos un elemento de A?

24. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres, se divide al azar en 5 grupos de 3 personas

cada una. Calcular el número de maneras en que cada grupo contenga un

hombre.

25. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos objetos, describe el evento

“la duración del primero más la duración del segundo es al menos 4 años”.

Tópicos de teoría de conjuntos y Análisis Combinatorio

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