Topografia Triangulacion Caminos
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 1
CONTENIDO GENERALIDADES
PROLOGO
CAPITULO I
1. TRIANGULACION REDES DE TRIANGULACION.
RED DE TRIANGULOS. RED DE CUADRILATEROS. RED DE POLGONOS.
CONDICION DE TRIANGULO. MEDICION DE ANGULOS Y BASE. CLASES DE TRIANGULOS.
2. PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION INFORMACIN BASICA. RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. MONUMENTACION DE HITOS. MEDICON DE LA BASE.
CORRECCION POR LONGITUD VERDADERA. CORRECCION POR TEMPERATURA. CORRECCION POR HORIZONTALIDAD. CORRECCION POR CATENARIA. CORRECCION POR TENSIN.
MEDICON DE ANGULOS. COMPENSACION DE BASE. COMPENSACIN DE ANGULOS.
RED TRIANGULOS ASIMPLES. RED DE CUADRILATEROS. COMPENSACIN CON PUNTO CENTRAL.
RESISTENCIA DE FIGURA. CALCULO DE LADOS. CALCULO DE AZIMUTS.
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CALCULO DE COORDENADAS. CALCULO DE AREAS. CALCULO DE COTAS. DIBUJO DE LA RED. CONFIGURACIN. LIBRETA DE CAMPO.
CAPITULO II
CAMINOS
GENERALIDADES
1. ETAPAS DEL TRAZO. 2. CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.
ELEMENTOS DE UNA CURVA. DETERMINACIN DE LOS ELEMENTOS. REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES.
3. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON VISIBILIDAD DESDE EL PC.
4. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON PUNTOS DE CAMBIO. 5. SECCIONES LONGITUDINALES. 6. SECCIONES TRANSVERSALES. 7. RASANTES. 8. AREAS Y VOLMENES.
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GENERALIDADES
Triangulacin es un sistema de redes de apoyo que sirven para
dar mejor coherencia a los levantamientos.I
Las triangulaciones son usadas para terrenos relativamente
extensos, siendo estos los que tienen menor error con respecto a las
poligonales, Para iniciar una red, para ambos casos es necesario hacer
un reconocimiento del terreno y disear el sistema adecuado teniendo
en consideracin la naturaleza del levantamiento, despus de la
inspeccin se procede a la monumentacin de hitos en cada vrtice
los cuales deben cumplir las caractersticas adecuadas; la medida de
los hitos son relativos, dependiendo del grado de precisin.
25 Cm
25 cm 25 cm
60 cm 60cm
TIPOS DE ESTACAS
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PROLOGO
Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez ms
a la era de la informtica, para el cual debemos estar preparados de
acuerdo al avance de la tecnologa para desarrollar nuevos modelos
matemticos, esto nos permitir realizar algoritmos, para el caso
especifico del curso desarrollaremos paso a paso como llegar al
resultado final del problema. En el presente texto nos ocuparemos
exclusivamente al desarrollo prctico de los contenidos, como,
TRIANGULACION Y CAMINOS, sabiendo que para hacer un
levantamiento topogrfico es de vital importancia conocer las
principales redes de apoyo para tener el xito esperado, como es de
esperar el estudiante debe estar en la capacidad de desarrollar
algoritmos para una Triangulacin el cual ser un gran aporte dando
consistencia al levantamiento topogrfico.
Dentro de una poligonacin veremos desde el reconocimiento
del terreno, monumentacin de hitos en los vrtices, clculos de
ngulos, distancias y llegar al objetivo final de obtener las
coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que
ser mediante un programa CAD y realizar la impresin respectiva,
de la misma manera estaremos procediendo con la triangulacin
desarrollando secuencialmente todos los pasos hasta llegar al
resultado final, de esta manera contribuyendo con todo los que lleven
el curso y los que estn relacionados directa o indirectamente a la
especialidad.
El Autor
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 5
CAPITULO I
1.-TRIANGULACION
La red de tringulos es un sistema de apoyo para
levantamientos topogrficos de terrenos relativamente extensos,
la triangulacin comprende una serie de procesos, entre ello
tenemos el reconocimiento del terreno, monumentacin de
hitos, medicin de base, ngulos, compensacin, clculo de
coordenadas y cotas; la disposicin de los tringulos son
generalmente figuras geomtricas que se determinan por
principio geomtrico con la suma de sus ngulos internos.
As en un tringulo la suma de sus ngulos internos debe ser
180 y los ngulos alrededor de un punto 360, al realizar una
triangulacin la longitud de sus lados esta en funcin al seno de
su ngulo opuesto, para calcular los lados de una red de
triangulacin solamente se mide la base, o sea un solo lado y
los siguientes se calcula mediante frmulas trigonomtricas,
con el avance tecnolgico y los equipos electrnicos
(Distancimetro y Estacin total) se miden directamente sus
lados y a este mtodo se denomina trilateracin.
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1.1- REDES DE TRIANGULACION.- El tipo de red a
emplearse est en funcin al levantamiento topogrfico
y la extensin o zonas donde se monumentarn puntos
de 1er, 2do. orden u otras de menor precisin, entre
ellos tenemos:
1.1.1.- Red de tringulos.- Se determina ese tipo de red
cuando no se requiere mucha precisin y es
diseado generalmente para trazos de
carreteras, canales y ferrocarriles.
6
A 2 4
Carreteras
B 1 3 ` 5 7
1.1.2.- Red de Cuadrilteros, sistema que se decide
para alcanzar una precisin mayor, y es
utilizado para comunicacin de tneles,
direccin de labores subterrneas.
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A
C
B E
D
F
1.1.3.- Red de polgonos con punto central.- Cuando no
es preciso hacer un cuadriltero se puede
realizar polgonos con punto central, con la
misma precisin que la red de cuadrilteros.
B G
A
C H
O1
F O2
E D
I
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1.2- Condicin de tringulos.- Para que un programa de
triangulacin resulte satisfactorio debe tenerse en cuenta
que los ngulos deben estar dentro del rango o sea no <
de 30 ni > de 150 porque los lados estn en funcin al
seno, los ngulos cerca a 0 y 180 tienden a error, y la
suma de ngulos internos de un polgono debe cumplir
la condicin geomtrica, 180*(n-2) y sus lados deben
estar en funcin de 1 a 3, en redes de cuadrilteros o
polgonos con punto central debe cumplir la condicin
geomtrica y trigonomtrica.
Dentro de la condicin trigonomtrica tenemos que:
(Lg Senimpares) = (Lg Senpares)
1.3- Medicin de ngulos y base.-La medicin de ngulos
puede realizarse por los mtodos ya conocidos, por
reiteracin o repeticin dependiendo de la precisin que
se quiere alcanzar, la diferencia vertical se puede medir
geomtrica trigonomtricamente dependiendo de la
distancia, la medicin de base se puede realizar por el
mtodo convencional o medicin electrnica, dentro de
lo tradicional se har las correcciones respectivas en
cada fase de la medicin para obtener la distancia ms
probable,
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1.4.- Clases de triangulaciones.- Las triangulaciones pueden
clasificarse por el orden de su precisin de acuerdo a:
a).- El error de cierre angular en los tringulos.
b).- La discrepancia que resulta de medir la base de
cierre y calculada.
c).- Precisin de la medicin de la base.
d).- Longitud mxima de sus lados.
De acuerdo a lo mencionado podemos clasificar en
triangulaciones de 1er, 2do y 3er. Orden.
DESCRIPCIN 1er
ORDEN
2do.
ORDEN
3er.
ORDEN
Error de cierre de base 1/25000 1/10000 1/5000
Error de cierre angular en
triangulacion.
8
15
30
Longitud mx. de lados
(Km)
50-200Km. 15-40 Km. 1.5-10 Km.
Los trabajos topogrficos estn dentro del 3er. orden,
1er y 2do orden para trabajos Geodsicos.
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2.- PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION
1. Informacin bsica....(gabinete)
2. Reconocimiento del terreno (campo)
3. Monumentacin de hitos (campo)
4. Medicin de base (campo)
5. Medicin de ngulos (campo)
6. Compensacin de base.(gabinete)
7. Compensacin de ngulos.(gabinete)
8. Clculo resistencia de figura.(gabinete)
9. Clculos de lados.(gabinete)
10. Clculo de azimut (magntico, verdadero, U.T.M.)
11. Clculo de coordenadas (magnticos, verdadero y U.T.M.)
12. Clculo de cotas.
13. Dibujo de red.
14. Configuracin a partir de la red.
15. Puntos auxiliares.
16. Informe.
2.1- INFORMACION BASICA. Para iniciar una red de
tringulos, tenemos que documentarnos, buscando
referencias de la zona sobre planos existentes,
aerofotografas, datos de triangulaciones anteriores,
croquis, en general toda informacin que nos pueda
servir para proyectar la Red.
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2.2.- RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. Consiste en
hacer una evaluacin insit de la zona donde se
proyectar la Red ubicando adecuadamente los puntos o
vrtices para monumentar los hitos, de tal manera que
los puntos deben ser visibles de un vrtice a otro.
2.3.- MONUMENTACION DE HITOS. La sealizacin es
una etapa de importancia dependiendo de ella el
resultado final de la Red de tringulos, la
monumentacin de hitos se har con buen criterio,
pudiendo ser desde hitos de concreto con placas de
metal grabados o con un hierro de acero al centro.
2.4.- MEDICION DE BASE. Dentro del reconocimiento insit
se ubicar la zona adecuada para medir la base, esta
distancia puede medirse con mtodos convencionales o
electrnicos, la medicin electrnica se realiza con un
distancimetro o Estacin Total, donde nos da
directamente la distancia horizontal y la diferencia
vertical, con el mtodo tradicional se tiene una serie de
etapas, iniciando con un alineamiento entre los dos
puntos y el estacado respectivo, luego se mide
cuidadosamente tramo por tramo ida y vuelta
controlando, tensin, temperatura, catenaria y
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horizontalidad, para hacer las correcciones respectivas
en gabinete.
2.4.1- Correccin por Longitud Verdadera.- La cinta
por el constante uso, temperatura, tensin sufre
una cierta dilatacin aumentando en milmetros
su longitud verdadera, al realizar una medicin
por tramos se est cometiendo un error
acumulativo en todo el circuito, la correccin se
realiza aplicando la frmula
Ln
Lr*LmLc
Donde: Lc = Longitud corregida
Lr = Longitud real de la cinta graduada
Ln = longitud nominal de la cinta.
Lm = Longitud total medida.
Ejemplo.No 1
Con una cinta de 30 mts. Se mide una distancia de
189.80 mts, deseamos saber la longitud corregida,
despus de contrastar la wincha en un laboratorio con la
medida patrn resulta que tena 29.996 m.
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SOLUCIN: Ln= 30 m.
Lm= 189.80
Lc=
Lr= 29.996
.mts775.18930
996.29*80.189
Ln
Lr*LmLc
2.4.2- Correccin por Temperatura.- La temperatura
de ambiente puede afectar mucho a la cinta, la
medicin de base debe hacerse a una temperatura
aproximada de calibracin, generalmente las
winchas vienen calibradas a 20 C.
Ct = LK*( t to )
Donde:
Ct = Correccin por temperatura.
L = Longitud verdadera del tramo.
K = coeficiente de dilatacin del acero
(0.000012).
t. = temperatura de campo.
to = temperatura graduada de la wincha
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Ejemplo No 2.
Con una cinta de 50m graduada a 20C se mide dos
tramos, AB 50 mts a 23C y BC = 38.25 a 18c, cual es
la correccin por temperatura?
SOLUCIN:
Si. Ct = ?
L = 50 y 38.25 m. = 88.25 m.
K = 0.000012
T = 23 C y 18 C
to = 20o C
Ct = LK (t-to)
Remplazando valores.
Ct (AB) = 50 (0.000012) (23-20) = 0.00180
Ct (BC) = 38.25 (0.000012) (18-20) = -0.00092
Correccin total AC = 0.00088
La longitud corregida por temperatura es:
88.25 + 0.00088 = 88.251 m.
2.4.3.- Correccin por Horizontalidad.- Se realiza
debido a la pendiente del terreno, no siempre una
distancia se mide horizontalmente, para corregir
este desnivel se aplica la frmula.
L2
hCh
2
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Donde: Ch = Correccin por horizontalidad.
h= Diferencia vertical del tramo
L = longitud del tramo
Ejemplo No 3.
Encontrar la correccin de una base de 85.48 m. medido
con wincha de 30 mts. Teniendo el desnivel entre AB,
0.08m, BC, 0.25m y CD, 0.15m.
SOLUCIN:
Ch = ?
h = 0.18, 0.25, 0.15m respectivamente.
L = 30, 30, 25.48 respectivamente.
L2
hCh:Si
2
TRAMO LONGITUD h 2L Ch.
AB 30 0.08 60 -0.00011
BC 30 0.25 60 -0.00104
CD 25.48 0.15 50.96 -0.00044
Correccin total -0.00159
Distancia corregida : 85.48 - 0.00159 = 85.478m.
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2.4.4- Correccin por catenaria.- La cinta al ser
suspendida de sus extremos forma una catenaria,
la correccin ser la diferencia que existe entre la
cuerda y el arco formado por los extremos, para
corregir aplicamos la frmula:
2
P
WL
24
LCc
Donde:
Cc = Correccin por catenaria.
L = Longitud de catenaria.
W = Peso de la cinta en kg/m.l.
P = Tensin aplicada en kg.
Ejemplo No 4
Con una wincha de 30 mts se mide una distancia de
80.45m. en tres tamos sabiendo que la cinta pesa 0.750 kg
y la tensin aplicada es: AB=10 kg, BC=5 kg, y CD=10
kg.
SOLUCIN:
Cc= Correccin por catenaria.
L= 30, 30, 20.45 m. respectivamente
W= 0.75 kg/30 m.= 0.025 kg/m.l.
P= 10, 5, 10 kg. Respectivamente.
Aplicando la frmula para cada tramo tenemos:
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TRAMO LONGITUD W= Kg/m.l. p Cc
AB 30 0.025 10 -0.00703
BC 30 0.025 5 -0.02812
CD 20.45 0.025 10 -0.00223
Correccin total -0.03738
Distancia corregida. 80.45 0.03738 = 80.413m.
2.4.5- Correccin por Tensin.- Cuando en la cinta se
ejerce una fuerza en el momento de la medicin
esto sufre una variacin en su longitud, la
correccin que se aplica est en funcin a la
fuerza y las caractersticas de la wincha.
AE
)PP(LCp
O
Donde:
Cp = Correccin por tensin
L = Longitud del tramo
P = Tensin de campo
Po = Tensin Calibrada (Kg)
A = Seccin transversal de la cinta.
E = Mdulo de la elasticidad del acero
Kg/mm2
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Ejemplo No 5.
Del ejemplo anterior encontrar la correccin por tensin
si para el tramo AB 8Kg, BC 10Kg, CD 15Kg.
SOLUCIN:
Cp = Correccin por tensin.
L = 30, 30, 20.45m
P = 8Kg, 10Kg y 15kg.
Po = 10Kg
A = 6mm2
E = 24000 Kg/mm2
Aplicando la frmula por tramo tenemos:
TRAMO LONG. P Po A E Cp
AB 30 8 10 6 24000 -0.0004167
BC 30 10 10 6 24000 0.0000000
CD 20.45 15 10 6 24000 +0.00071
Correccin por Tensin +0.0002933
Distancia corregida 80.45 +0.00029 = 80.4503m cuando
se aplica una tensin igual a la calibrada la correccin se
hace cero.
La base final corregida ser el promedio de la correccin
de ida y vuelta.
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2
vuelta+Ida=CorregidaBase
Base = LC + CT - CH - CC + CP
2.5-Medicin de ngulos.- En el desarrollo de una triangulacin
es importante determinar el grado de precisin que se
requiere y el objetivo de la red, en funcin a estos
parmetros se puede fijar el mtodo de medicin de ngulos,
pudiendo ser por repeticin para poca precisin y por
reiteracin para mayor precisin.
2.6.-.Compensacin de Base.- Despus de finalizado la medicin
de una base de triangulacin se procede a realizar las
correcciones necesarias para luego compensar la base final.
2.7.-Compensacin de ngulos.- Es una tcnica que consiste en
distribuir equitativamente los errores de cierre angular de
tal manera que cumpla los principios geomtricos de la
suma interna de los ngulos, existen diferentes redes para
compensar ngulos, los mismos que requieren tratamientos
especiales entre ellos tenemos:
a) Compensacin para redes de tringulos simples.
b) Compensacin para redes de cuadrilteros
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c) Compensacin para redes de polgonos con punto
central.
2.7.1-.Red de Tringulos simples.- Para compensar una
red de tringulos podemos realizar de dos formas:
a) Compensacin de estacin, cuando la suma de
los ngulos alrededor del punto sea 360.
b) Compensacin del tringulo, comparar que la
suma de los ngulos internos del sea 180.
En el primer caso, se suma los ngulos alrededor
del punto, el resultado se resta 360o y la diferencia
se divide entre el nmero de ngulos, luego se suma
algebraicamente con el signo cambiado a cada
ngulo, quedando compensado.
En el segundo caso, se suman los ngulos internos
del tringulo, del resultado se resta 180 esta
diferencia se divide entre 3 y se suma
algebraicamente con el signo cambiado a cada
ngulo.
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Ejemplo 06.
Compensar las siguientes redes de tringulos, los ngulos
son promedios de una lectura por repeticin.
1) 38o 20 6) 58o 07 11) 255o 29
2) 72o 40 7) 46o 25 12) 238o 43
3) 69o 02 8) 93o 14 13) 321o 39
4) 52o 14 9) 40o 23 14) 124o 29
5) 69o 38 10) 319o 36
11
E 6 D
12 4 7
3
5
2 8
1 B 14 9 10
A 13 C
SOLUCIN:
Para compensar una cadena de tringulos, tenemos que
iniciar compensando los vrtices y luego por tringulos.
a) Vrtice A
1 + 13 = 360
38o20+321o 39 = 360o
-
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359o 59 = 360
Er.C = 359o 59-360 = -1
fc C = +1/2 =30
sumando +30 a los ngulos 1 y 13
38o 2030 + 321o 3930 =360o
360 =360o
Con el mismo procedimiento compensar los dems
vrtices.
Vert Angulos Lect. Campo Compensado
A
1
13
suma
38 20 32139 35959
382030 3213930 3600000
B
2
5
8
14
suma
7240 6938 9314 12429 36001
723945 693745 931345 1242845 3600000
C
9
10
suma
4023 31936 35959
402330 3193630 3600000
D
6
7
11
suma
5807 4625 25529 36001
580640 462440 2552840 3600000
E
3
4
12
suma
6902 5214 23843 35959
690220 521420 2384320 3600000
-
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b) Compensando por i=180, Se suma los ngulos
internos, la diferencia que existe al restar 180 se divide
entre 3, el resultado se suma o resta a cada ngulo.
Comp. de Vert. Vert. Compensado
ABE
1
2
3
suma
382030 723945 690220 1800235
381938.333 723853.333 690128.333
1800000
BDE
4
5
6
suma
521420 693745 580640 1795845
521445 693810 580705
1800000
BCD
7
8
9
suma
462440 931345 402330 1800155
462401.666 931306.666 402251.666
180
2.7.2- COMPENSACION DE UNA RED DE
CUADRILATEROS. Dentro de la lectura de
ngulos de una red de cuadrilteros se tiene los
ngulos internos que sumado debe ser 360, para
ello se tiene en cuenta las siguientes
propiedades:
a) Propiedad geomtrica o de figura.
b) Propiedad trigonomtrica o de lado.
- Condicin Geomtrica.- Un cuadriltero
puede descomponerse en varios tringulos,
-
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los mismos que se encuentran superpuestos
entre s.
En la figura se tiene los siguientes
tringulos:
B
4 5
6 C
7
3
A 2
1 8
D
B
B C 5 6 C
4 5 6 4
7 7
3 2 8 3
A 1 2 1 8
D A D
-
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ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de
los ngulos debe ser 180.
ABC = 3+4+5+6 = 180
ACD = 2+7+8+1 = 180
ABD = 1+2+3+4 = 180
BCD = 5+6+7+8 = 180
Otras de las condiciones geomtricas que debe cumplir,
que la suma de sus ngulos del cuadrilteros debe ser 360.
ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360
Adems geomtricamente se dice que los ngulos
opuestos por el vrtice y en la interseccin de las
diagonales deben ser iguales.
1+2 = 5+6
3+4 = 7+8
La secuencia para compensar un cuadriltero es:
1) Las lecturas de los ngulos del cuadriltero deben
ser el promedio de mediciones por reiteracin o
repeticin.
2) La suma de los ngulos debe ser 360, si existe
discrepancia, esta se divide entre 8 y se suma
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algebraicamente con signo cambiado a cada
ngulo.
3) Se compara los ngulos opuestos por el vrtice en
la interseccin de las diagonales, estas deben ser
iguales, la discrepancia se divide entre 4, el
cociente se compensa a cada ngulo, aumentando
a los dos cuya suma es menor, y disminuyendo a
cuya suma es mayor.
- Condicin Trigonomtrica.- Para el clculo de lados de
un tringulo, los lados estn en funcin al seno opuesto,
por lo tanto la condicin trigonomtrica es, la suma de los
Logaritmos Seno de los ngulos impares debe ser igual a
la suma de los Logaritmos Seno de los ngulos pares.
(Lg Sen ngulos imp). = (Lg Sen ngulos par).
El procedimiento a seguir despus de la compensacin
Geomtrica es como a continuacin se indica:
1) Anotamos los ngulos pares e impares en su columna
respectiva.
2) Calculamos el Logaritmo Seno para cada ngulo.
3) Hallamos la diferencia tabular para un segundo en el
sexto lugar decimal.
-
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Ejempo 07
La diferencia tabular de 382018 es:
Log Sen 382018 = 9.792604541,
la diferencia tabular para un segundo ser restando del ngulo
inmediato superior el inferior.
Log Sen 382019 = 9.792607204.
9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar
decimal ser 2.66.
4) Restamos la (Lg Sen ngulo impares) menos (Lg sen ngulo
pares) ()
5) Se suma las Diferencias Tabulares para 1 en el sexto lugar
decimal ()
6) Dividimos / que viene a ser el Factor de correccin
expresados en segundos.
7) El resultado de /, adicionamos a cuya suma de los Log.
Senos es menor y disminuimos a cuya suma de los Log. Sen. es
mayor.
-
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Ejemplo 08
Los datos que a continuacin se enuncian son de lectura
promedios por mtodo reiterativo, calcular y compensar los
ngulos del cuadriltero.
1 494330 A 2 470124 1 8 3 390510 4 440951 7 D 5 592451 6 6 372001 7 341634
8 485831 2 3 B 4 5
C
SOLUCIN:
Para compensar un cuadriltero se toma en cuenta la condicin
geomtrica y trigonomtrica.
A) De acuerdo a la condicin geomtrica se tiene que:
1) i = 360
i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 3595952
Er.C = 3595952 360= -8
El error es por defecto, por lo tanto la correccin es aditiva.
Fc = 8/8 = 1
-
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Los nuevos valores angulares son:
1 494331 5 592452
2 470125 6 372002
3 390511 7 341635
4 440952 8 485832
i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360
2) La segunda propiedad geomtrica.
1+2 = 5+6
7+8 = 3+4
Del ltimo resultado tenemos:
1 + 2 = 5 + 6
494331 + 470125 = 592452 + 372002
964456 = 964454
Er.C = 964456 - 964454
Er.C = 2
Fc = 2/4 = 0.5 cantidad que se aumenta a los ngulos
5 y 6 porque la suma es menor y se disminuye a los
ngulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo los nuevos
valores:
1 494330.50
2 470124.50
5 592452.50
6 372002.50
-
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continuando con:
7+8 = 3+4
341635+485832=390511 + 440952
831507=831503
Er.C = 831507 - 831503 = 4
Fc = 4/4 = 1 con el mismo principio anterior los
nuevos valores de los ngulos sern:
3 390512
4 440953
7 341634
8 485831
En resumen los nuevos valores de los ngulos de la
compensacin geomtrica son:
1 494330.50
2 470124.50
3 390512
4 440953
5 592452.50
6 372002.50
7 341634
8 485831
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 31
B) Compensacin trigonomtrica.
Con los resultados de los valores anteriores se tiene:
Log sen impar Log Sen Par D.Tx1
1 494330.50 9.882497238 1.78
2 470124.50 9.864293305 1.96
3 390512.00 9.799681782 2.59
4 440953.00 9.843060496 2.17
5 592452.50 9.934938363 1.24
6 372002.50 9.782802679 2.76
7 341634.00 9.750648432 3.09
8 485831.00 9.877616895 1.83
39.36776582 39.36777338 17.42
1) Calculamos el Log Sen Para cada ngulo y luego la
diferencia tabular para 1, como muestra la tabla.
2) Restamos (Log Sen impar) - (Log Sen Par) = 0.00000756
en el sexto lugar decimal 7.56, ().
3) (DTx1) = 17.42 ()
4) La correccin fc = 7.56/17.42 = 0.43 el resultado se
aumenta a los ngulos 1, 3, 5 y 7 porque la (Log Sen) es
menor y se disminuye a los ngulos 2,4,6 y 8 porque la
(Log Sen) es mayor, el resultado final de los ngulos ser:
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 32
1 494330.93 5 592452.93
2 470124.07 6 372002.07
3 390512.43 7 341634.43
4 440952.57 8 485830.57
Respuesta 3600000.00
2.7.3- Compensacin de polgono con punto central.
Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad
amplia, con un punto central se puede visar los vrtices
del polgono, y posteriormente se visa desde cada vrtice,
el mtodo puede ser por reiteracin o repeticin, la
secuencia es la siguiente:
a) La suma de ngulos del punto central debe ser 360 si
existe discrepancia se suma algebraicamente a cada
ngulo si es por exceso o defecto.
b) debe ser 180 la discrepancia o diferencia se
distribuye entre 2 ngulos sin considerar el ngulo
central.
c) (Log sen impar) = (Log Sen par), se procede
con el mismo criterio del cuadriltero.
-
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Ejemplo 09
Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vrtices los mismos
que son tomados por mtodo reiterativo siendo sus promedios
B
A
3
1 2 II 4
I 12 III
11
13
10
15
14 5
E 9 V IV 6 C
8
7
D
1) 594345 9) 515822
2) 425155 10) 414840
3) 770930 11) 782725
4) 770045 12) 595835
5) 422820 13) 603056
6) 752225 14) 694705
7) 345025 15) 911614
8) 364520
-
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SOLUCIN:
aplicando el principio geomtrico y trigonomtrico.
A)Compensacin Geomtrica.
11+12+13+14+15= 360
3600015 = 360
Er.C = 3600015 - 360 = 0015, el error es por exceso, la
compensacin ser sustractiva fc = -15/5 =-3 los nuevos
valores de los ngulos del punto central ser:
11 782722
12 595832
13 603053
14 694702
15 911611
360000
Compensando los tringulos independientes.
Tringulo I
1+10+11 = 1795947
Er.C = 1795947 180 = -13
La compensacin ser aditiva, dividiendo entre 2 el Error
de Cierre, se suma a los ngulos 1 y 10, el ngulo 11 no
es afecto por que se compens en el proceso anterior.
fc = 13/2 = 6.5, la compensacin ser aditiva porque
el error es por defecto.
-
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Los nuevos valores sern:
1) 594345 + 6.5= 594351.5
10) 414840 + 6.5= 414846.5
Tringulo II
2+3+12=1795957
Er.C. = 1795957 180 = -3
Fc. = 03/2 = 1.5
Compensacin aditiva se suma a los ngulos 2 y 3, los
nuevos valores sern:
2)425155 +1.5= 425156.5
3)770930 +1.5= 770931.5
Tringulo III
4+5+13 = 1795958
Er.C = 1795958 180 = -02
Fc = 2/2=1
Compensacin aditiva, sumando a 4 y 5.
Los nuevos valores sern:
4)770045 +1= 770046
5)422820 +1= 422821
Tringulo IV
6+7+14=1795952
Er.C =1795952-180=-8
Fc = 8/2=4
-
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Compensacin es aditiva, sumando a 6 y 7.
Los nuevos valores sern:
6)752225+ 4 = 752229 7)345025+ 4 = 345029
Tringulo V.
8+9+15 = 1795953
Er.C = 1795953-180= -07
Fc=7/2-=3.5
Compensacin aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos
valores sern:
8) 364520+ 3.5=364523.5 9) 515822+ 3.5=515825.5 Resumen de los nuevos valores:
1.- 594351.5 2.- 425156.5 3.- 770931.5 11.- 782722 4.- 770046.0 12.- 595832 5.- 422821.0 13.- 603053 6.- 752229.0 14.- 694702 7.- 345029.0 15.- 911611 8.- 364523.5 36000 9.- 515825.5 10.- 414846.5 5400000
B) Compensacin trigonomtrica
Si (Log.sen impar)= (Log sen par)
-
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La discrepancia se procede a compensar como un
cuadriltero.
Vert. Angulo Sen Log impar Sen Log Par DTx1
1 594351.5 9.936346907 1.23
2 425156.5 9.832689070 2.27
3 770931.5 9.9889999998 0.48
4 770046.0 9.988746282 0.49
5 422821.0 9.829455757 2.3
6 752229.0 9.985694903 0.55
7 345029.0 9.756869237 3.02
8 364523.5 9.777003113 2.82
9 515825.5 9.896376617 1.65
10 414846.5 9.823930789 2.35
49.4080485 49.408064156 17.16
luego:49.4080485-49.408064156 = -0.000015655 en el sexto
lugar decimal 15.65 (se considera el valor absoluto)
(DTx1)= 17.16
Fc = 15.65/17.16 = 0.912
Segn la tcnica de compensacin por aproximaciones
sucesivas, 0.912 se aumenta a cuya suma de los Log Seno
sea menor, y se disminuye cuya suma sea mayor, entonces
sumamos a los ngulos impares y restamos a los pares.
Se teniendo como resultado final.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 38
Vert. Angulo
1 594352.41
2 425155.58
3 770932.41
4 770045.09
5 422821.91
6 752228.09
7 345029.91
8 364522.58
9 515826.41
10 414845.58
5400000
2.8- RESISTENCIA DE FIGURA.
Es una tcnica que nos permite encontrar el camino ms
favorable para llegar al extremo opuesto, en el clculo de lados
de un cuadriltero tambin podemos decir que es la ruta con
menos error probable, para determinar el recorrido aplicamos la
frmula:
)dBdBxdBdA(Nd
NcNdR 22
. . . . . . (1)
donde:
R = Resistencia de figura.
dA,dB = Dif. Tabular para 1 en la cadena de tringulos.
-
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Nd = No de direcciones observadas sin considerar
el lado conocido.
Nc = No de ecuaciones de condicin.
Para calcular el N de ecuaciones de condicin se puede aplicar
las siguientes frmulas:
Nc = 2Z +Z1 3S + Su +4. . . . . . . (2)
Nc = na 2(S-2). . . . . . . . . . . . . . . (3)
Nc = (Z-S+1) + (Z 2S +3). . . . . . (4)
Si:
Z = No total de lneas.
Z1= No total de lneas visadas en una sola direccin.
S = No total de estaciones.
Su = No de estaciones no ocupadas.
na = No de ngulos medidos
Anlisis de las variables.
A D
C
B
-
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Nd= 10 (direccin de las flechas).
Z= 6 (lados y diagonales).
Z1= 0 (todas son visadas)
S= 4 (vrtices)
Su= 0 (todo los vrtices son ocupados)
na= 8 (ngulos, 1,2,3,...8)
Remplazando sus valores en cada una de las ecuaciones de
condicin:
Nc = 2Z + Z1 3S + SU + 4 = 2(6)+0-3(4)+0+4= 4
Nc = na-2(S-2) = 8-2(4-2) = 4
Nc = (Z-S+1)+(Z-2S+3) = (6-4+1)+[6-2(4)+3]= 4
Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse
cualquiera de ellas.
Para encontrar el camino ms favorable, el cuadriltero se
descompone en todo los caminos o cadenas existentes.
Ejemplo 10
Descomponer el cuadriltero.
A
1 8 D
7
6
2
3 5
B 4
C
-
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CADENA I CADENA II
A D A D
8 7
6 1 8
6
1 T2 7
T1 T3
2 T4
3 5 2
B 4 3 4 5
C B C
CADENA III CADENA IV
D A D
A 7 8 D A 6
1 8
7 6 1
T5 T6
T8
T7 4 5
2
5 2 4 3
B C 5 B 3 C B C
Para calcular los lados aplicamos la Ley de senos, el lado de un
tringulo est en funcin directa al seno del ngulo opuesto, por
lo que es necesario considerar los siguientes ngulos:
CADENA TRIANGULOS ANGULOS
I T1 4, B(2+3)
T2 D(7+6), 8
II T3 7, A(1+8)
T4 C(4+5), 3
III T5 7, 2
T6 5, 8
IV T7 4, 1
78 6, 3
-
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Ejemplo 11
Calcular la cadena que conduce menor error para llegar al extremo
opuesto de la base, con los siguientes datos compensados.
Ang. 1. 494331 A 2. 470124 1 8
3. 390512 7 D 4. 440953 6 5. 592453 6. 372002 7. 341634 2 3 4 5 8. 485831 B C
SOLUCION.
Partiendo de la frmula,
)( 22 dBdBxdAdANd
NcNdR
Nd = 10
Nc = na 2(S-2), Si: na = 8 (No de ngulos ledos). S = 4 (N de estaciones)
Nc = 8 2(4-2) = 4
6.010
410
Nd
NcNd
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 43
Para calcular las diferencias tabulares, descomponemos el
cuadriltero en las cadenas posibles.
CADENA I CADENA II
D D
A 8 7 A 8 7
1
6 1
6
T2 T3
T1 T4
2
3 5 2
B 4 3 4 5
C B C
CADENA IV CADENA III
D A D A D A
1 8 7 8 7
6
1
T7 T8 6 1
T6 5
2 5 T5 4 3 4 C B C B 2 3 C B
En la siguiente tabla se muestra los clculos de las diferencias
tabulares para un segundo.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 44
CADE
NA
VALOR
ANGULAR dA x dB dA2 + dB2 (dA
2+dAdB+dB2)
(Nd-Nc)
Nd
= 0.6
I
T
1
4
B
440953
860636
2.16
0.14
4.699
0.020 5.03
10.2 6.10 T
2
D
8
713636
485831
0.70
1.83
0.496
3.390 5.17
II
T
3
7
A
341634
984202
3.09
-0.32
9.54
0.10 8.65
14.3 8.6 T
4
C
3
1033446
390512
-0.51
2.59
0.26
6.72 5.66
III
T
5
4
1
440953
494343
2.17
1.78
4.70
3.18 11.7
33.2 19.9 T
6
6
3
372002
390512
2.76
2.59
7.62
6.72 21.5
IV
T
7
7
2
341634
470124
3.09
1.96
9.54
3.85 19.5
26.6 15.1 T
8
5
8
592443
485831
1.24
1.83
1.55
3.36 7.18
En resumen, La resistencia de figura viene a ser:
Cadena I = 6.10 Cadena II = 8.60
Cadena III = 19.90 Cadena IV = 15.10
El camino ms favorable para llegar al lado opuesto del
cuadriltero es el que tiene menor valor, por que dentro de su
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 45
configuracin de sus ngulos guardan mejor relacin entre s,
Cadena I, (T1 y T2), es la ms recomendable, las cadenas II, III y
IV, sus ngulos son muy discrepantes porque sus valores se
encuentran en los extremos, de acuerdo a la condicin Geomtrica
para la formacin de tringulos que dice: Los ngulos de un
tringulo no deben ser > de 150 ni < de 30.
2.9.-CALCULO DE LADOS.
En un trabajo de triangulacin todo se reduce al clculo de
lados de un tringulo aplicando la Ley de Senos.
Ejemplo 12
En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus
lados, si su base mide 543.25 mts.y sus ngulos compensados son:
Ang. 1= 494331 2= 470124
3= 390512 4= 440953 5= 592453 6= 372002 7= 341634 8= 485831
CADENA I
D
A 8 7
1
6
T2
T1
2 3 5
B 4
C
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 46
SOLUCION.
Segn la Ley de Senos.
.mts472.618="36'3671Sen
"31'5848Sen*925.777=
DSen
8SenAC=CD2En
.mts925.777="53'0944Sen
"36'0686Sen*25.543=
4Sen
BSenAB=AC,1En
)2(8Sen
CD=
DSen
AC...TEn
)1(BSen
AC=
4Sen
AB...TEn
2
1
El lado opuesto de la base es CD = 618.472 mts.
2.10- CALCULO DE AZIMUTES.
Para el clculo de azimut de un cuadriltero se procede con
el principio mecnico la frmula nemnica a partir de los
datos de la base, el mismo que debe tener una orientacin
conocida.
Zf = Zi + D180
Donde:
Zf = Azimut a calcular.
Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido.
D = Angulo a la derecha.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 47
180; (+)180 si la suma de Zi+D es menor de 180 y (-)
cuando la suma es mayor de 180, para el clculo es
recomendable seguir en sentido antihorario.
Ejemplo 13
En la cadena I calcular los azimutes de los lados del cuadriltero,
si la base (BA) tiene un rumbo de S5528E
SOLUCION.
RBA = S 5528E
A
D
B
Convertimos Rumbos a Z. C
ZBA = 180 - 5528
ZBA = 12432
En el ABC para
calcular el azimut de sus lados
es recomendable seguir en sentido antihorario; por lo tanto el
azimut de la base BA invertimos:
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 48
S ZBA = 12432.(directo),
ZAB= 12432+180= 30432.
Aplicando la frmula: Zf = Zi + D 180, en el tringulo
ABC.
Zf = ZBC =?
Zi = ZAB = 30432
B = 2+3= 860636
Zf=ZBC = 30432+860636-180=2103836.
Se resta 180 por que la suma de los dos primeros ngulos es
mayor de 180.
ZCA= 2103836 + 4 - 180.
= 2103836 + 440953 180= 744829
ZAB= 744829+494331+180 = 30432;
Al cerrar el circuito, se comprueba que el azimut es igual al
inicial.
En el tringulo ACD se conoce el ZCA=744829, Para
calcular sus azimuts en sentido antihorario invertimos el ZCA.
ZCA=744829,
ZAC=744829+180=2544829
ZCD=2544829+592453-180=1341322
ZDA=1341322+713636-180=254958
ZAC=254958+485831+180=2544829.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 49
Con el mismo procedimiento se calcula para cualquier red de
tringulos.
2.11- CALCULO DE COORDENADAS.
Para reducir los puntos topogrficos en su proyeccin
horizontal dentro de un sistema de coordenadas, eje Norte y
eje Sur es necesario conocer fundamentalmente su
orientacin expresado en rumbo azimut y su distancia
horizontal proyectada en planta.
EJEMPLO.14
En el grfico se tiene las rectas AB y BC; Para iniciar el clculo de
coordenadas se parte de un punto conocido tal como A, cuyas
coordenadas totales son (200N y 500E) si los datos de campo de la
recta son:
C NM
290.30
B
385.25
A
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 50
LADO AZIMUT D.H
AB 432810 385.25
BC 2921422 290.30
Para obtener las coordenadas del punto B y C aplicamos las
frmulas:
N = DH *Cos Z.
E = DH *Sen Z.
Entonces calculamos las coordenadas parciales de los puntos B
y C.
Coordenada parcial de B.
NPB = DH*Cos Z = 385.25 * Cos 432810 = +279.552
EPB = DH*Sen Z = 385.25 * Sen 432810 = +265.040
Coordenada parcial de C.
NPC = DH*Cos Z = 290.30 * Cos 2921422 = +109.872
EPC = DH*Sen Z = 290.30 * Sen 2921422 = -268.705
Los resultados obtenidos son coordenadas parciales de N y E de
los punto B y C.
Para obtener las coordenadas totales de B y C sumamos
algebraicamente a las coordenadas de A las coordenadas de B y
C en forma secuencial.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 51
Coordenada total de B.
NTB = NTA + NPB = 200 + 279.552 = 479.552
ETB = ETA + EPB = 500 + 265.040 = 765.040
Coordenada total de C.
NTC = NTB + NPC = 479.552 + 109.872 = 589.424
ETC = ETB + EPC = 765.04 - 268.705 = 496.335.
El resumen de las coordenadas finales sern:
PTO N E
A 200.000 500.000
B 479.552 765.040
C 589.424 496.335.
Con stos valores representamos en un sistema de coordenadas
en su proyeccin horizontal.
N
C
B
A
E
300N
400N
500N
600N
200N
500E
600E
800E
900E
700E
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 52
Ejemplo 15
Calcular las coordenadas finales de una recta AB y graficar, Si el
punto A tiene como coordenada 3500N y 5000E, el alineamiento
esta orientado a 2751436 azimutales, se mide una distancia
taquimtrica de 1615 mts, con un ngulo cenital de 960945.
SOLUCION.
Los datos de la recta son:
ZAB = 2751436
D incl. = 1615 mts.
cenit. = 960945
Segn la frmula
NB=DH*CosZ y EB=DH*SenZ
es necesario calcular la distancia horizontal.
DH = D*Cos2
S: D = Distancia inclinada.(1615 mts)
= Angulo vertical.(90-960945= - 60945)
Remplazando en la frmula:
DH = 1615*Cos2(-60945) = 1596.39 mts.
Teniendo como informacin la Distancia Horizontal y Azimut
podemos calcular las coordenadas parciales del punto B.
NPB = DH*Cos Z
EPB = DH*Sen Z
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 53
Remplazando valores tenemos:
NPB=1596.39*Cos 2751436 = 145.887
EPB=1596.39*Sen 2751436 = -1589.710
Las coordenadas totales de B ser:
NTB = NTA + NPB = 3500+145.887 = 3645.887
ETB = ETA + EPA = 5000-1589.71 = 3410.29
Resumen: PUNTO N E
A 3500.000 5000.00
B 3645.887 3410.29
GRAFICANDO.
B
A
3000N
3500N
4000N
4500N
3000E
3500E
4000E
4500E
5000E
E
N
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 54
2.12.- CALCULO DE AREAS.
La superficie de un terreno se puede calcular por diferentes
mtodos, como:
a) En el plano se desarrolla mide a escala todo el
permetro y luego con el planmetro se obtiene el rea.
b) Dividiendo el terreno en tringulos y rectngulos para
aplicar las frmulas geomtricas y luego sumar toda las
figuras descompuestas para obtener la superficie del
terreno.
c) Superficie a partir de coordenadas (abscisas y ordenadas)
d) Las superficies de permetro irregular curvo como los
causes de Ros se aplican la frmula de Simpson
Poncelet.
2.13.-CALCULO DE COTAS.
Para representar un punto tridimensionalmente en el espacio
se requiere conocer las coordenadas X, Y y Z, s: X= E, Y=
N y Z= Cota elevacin sobre el nivel del mar.
Las cotas en un levantamiento taquimtrico se calcula a
partir de la siguiente relacin.
Cot B = Cot A + AI DV AS.
Donde:
Cot B = Cota a calcular
Cot A = Cota inicial conocida.
AI = Altura de instrumento.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 55
AS = Altura de seal.
DV = Diferencia vertical.
AS DV
B
h A.I.
A
Ejemplo 16
Con un levantamiento taquimtrico se desea saber la diferencia de
altura que existe entre A y B, si los datos de campo son: Distancia
322.50 mts, Angulo cenital 832215, AI= 1.48, AS= 1.95,
adems se conoce la altura absoluta del punto A, 3248.50 m.s.n.m.
SOLUCION.
Segn la relacin se tiene:
Cot B = Cot A + AI DV AS.
Cot B = ?
Cot A = 3248.50
AI = 1.48
AS = 1.95
DV = ?
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 56
Calculamos DV = D*Cos2.
= Ang. Vertical.(90-832215= 63745)
DV = 322.50*Cos2(63745) = 36.981 m.
Cot B = 3248.5+1.48+36.981-1.95= 3285.011 m.
La diferencia de altura entre A y B ser:
Respuesta:
h = Cot B Cot A = 3285.011 3248.500 = 36.511 m.
2.14.- DIBUJO DE LA RED.
Despus de todo el proceso de clculo de la Red se tiene
que plasmar en un plano, una vez obtenido los resultados
finales de coordenadas representamos de la siguiente
manera: (en el grfico se explica los pasos a seguir.)
3500 E 3600 E 3700 E C(4710, 3505) 4700 N
B (4670, 3655)
4600N
A(4580 3485)
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 57
1. Elegimos la escala adecuada
2. Calculamos el rango en el eje Norte y eje Este entre los valores mximos y mnimos.
3. Reticular las coordenadas de acuerdo a la escala elegida. 4. Graficar las coordenadas de los puntos del tringulo, A, B y C. 5. Unimos los puntos mediante rectas, y queda representado el
polgono red.
2.15- CONFIGURACION.
Despus de elaborar la red de una zona, es necesario tomar
detalles como casas, ros, caminos, promontorios, quebradas y
toda la informacin de campo a partir de los vrtices de la Red,
en caso de que un punto no es visible de ninguno de los
vrtices, es recomendable jalar un punto auxiliar para levantar
los puntos ocultos.
Por ejemplo, en el grfico el Block A no es posible tomar
detalles de los vrtices, para ello es necesario poner un punto
auxiliar de cualquiera de los vrtices, tal como Aux-1 jalado del
punto B, desde ste lugar se toma los detalles del Block A.
A
B
D
A C
C
B Aux-1
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 58
Desde uno varios vrtice del tringulo se puede tomar todo
los detalles necesarios del levantamiento topogrfico, los
mismos que deben ser anotados en una libreta de campo.
2.16.- LIBRETA DE CAMPO
En una libreta de campo van los siguientes datos:
1 9
2 3 4 5 6 7 8
C A
B
D
Detallamos la descripcin de los recuadros.
1. Informacin general.- se anota: Marca del equipo,
operadores, fecha, tiempo, y otra informacin que pueda ser
til.
2. Punto.- En la primera columna se anota los puntos
topogrficos de acuerdo al avance.
3. Distancia taquimtrica tomada con el Teodolito.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 59
4. Angulo horizontal con respecto a la vista atrs.
5. Angulo cenital, lectura del limbo vertical.
6. Altura del instrumento.
7. Altura de seal, se lee en la mira estdia desde el piso
hasta el hilo estadimtrico central.
8. En la ltima columna se anota las observaciones de cada
punto para identificar con rapidez.
9. Al lado derecho de la libreta se lleva la secuencia del
levantamiento mediante un croquis.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 60
CAPITULO II
CAMINOS
GENERALIDADES
Para estudio de vas en general es importante realizar ciertos
levantamientos Topogrficos, el proyectista encargado debe reunir
todo los datos necesarios para la formulacin del proyecto, dentro de
lo primordial es el conocimiento del terreno, Levantamiento
Topogrfico para determinar todo los detalles y caractersticas
planimtricas.
Antes de iniciar un proyecto de vas se debe fijar y describir el punto
inicial y final, estos puntos deben tener la suficiente elasticidad para
adaptarse a las modificaciones o variaciones del trazo existente.
1.- ETAPAS DEL TRAZO.-La realizacin del proyecto obedece a
una serie de etapas que comienza con el reconocimiento del
terreno en los puntos extremos del proyecto estudiando todo los
posibles emplazamientos de la futura va, seguidamente se realiza
un levantamiento detallado del trazo ubicando las estacas que
sealan el eje, en algunos casos el levantamiento puede ser
bastante completo definiendo el eje del camino sin riesgo a
variacin posterior, en otros casos es preciso realizar algunas
variaciones en el eje, posterior al levantamiento se procesa en
gabinete ubicando las estacas para el replanteo que consiste en
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 61
sealar los puntos por donde seguir el itinerario para el cual el
proyectista tendr los clculos de perfiles, secciones y
movimientos de tierra.
2.- CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.
Dentro del diseo de alineamiento o ejes en caminos, ferrocarriles,
canales, tuberas, se enlazan con curvas circulares horizontales, las
curvas circulares por su naturaleza pueden ser simples o
compuestas alternado con ciertas variantes de acuerdo al relieve
del terreno.
2.1.-ELEMENTOS DE UNA CURVA
I
G/2
G
PT
O
R
N
PC
T
ME
AA,BB= Alineamiento Direccin.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 62
O = Punto medio.
PC. = Principio de curva.
PT. = Principio de tangente.
T = Tangente.
R = Radio.
E = External (M-V)
I = Angulo de interseccin.
V = Punto de interseccin.
G = Grado de curva.
LC = Longitud de curva (PC-M-PT)
C = Cuerda (PC-N-PT)
Por principio Geomtrico G = I
2.2.-DETERMINACIN DE LOS ELEMENTOS.
- TANGENTE.- Dentro del alineamiento AA entre el
tramo PC y V es la tangente, el mismo que se calcula con
2
*G
TgRT
- CUERDA.- Tramo comprendido entre PC y PT.
2*2
GSenRC
- LONGITUD DE CURVA.- Tramo comprendido entre
(PC-M-PT) =
180.
GRLC
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 63
- EXTERNA.- Distancia del punto mximo de la curva al
vrtice (M-V)
4*
GTgTE
Las frmulas expuestas de los cuatro elementos de curva
circular horizontal es fundamentalmente para hacer clculos y
ubicar los puntos sobre la curva para un posible replanteo.
EJEMPLO 1:
Calcular los elementos de curva de un radio de 95 m, conociendo
los alineamientos AA=34320 Y BB=29535, El PC. se
encuentra en el alineamiento AA
SOLUCION.
1) Croquis
Por principio geomtrico A 34320 Se tiene que G=I. PC
calculamos I en fun- cin de los Azimuts R=95m B de AA Y BB V I=180-(34320-29535) O I A
I=13215 G=I=13215 PT
29535 2) clculo de elementos B
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 64
.m717.139=4
'15132Tg*632.214=
4
GTg*T=E
.m279.219=180
95'*15132*=
180
GR=LC
.m742.173=2
'15132Sen*95*2=
2
GSen*R2=C
.m632.214=2
'15132Tg*95=
2
GTg*R=T
EJEMPLO 2.
En el problema anterior ubicar las estacas sobre la curva cada 30
mts. replanteando desde el PC.
SOLUCION.
1) La longitud de curva en el problema anterior es 219.279 mts, se
pide replantear cada 30 mts.
N de estacas = 219.279 / 30 = 7.3093.
se tiene 7 tramos cada 30 mts y un tramo de 9.279 mts.
2) Calculamos el grado de curva (G) para 30, 60, 90, 120, 150,
180, 210 y 219,279mts, Si para 219.279mts es 13215,
entonces para 30mts ser 180536.2; (se obtiene por regla de
tres simple), con igual procedimiento se calcula para las dems
distancias.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 65
O
PC
4
6
7
5
PT
32
1
G1/2
G2/2
G3/2
G4/2
G5/2
G6/2
G7/2
G/2
GG7
G6
G5
G4
G3
G2
G1 R
=95 m.
3) Clculo de cuerdas para cada punto.
Por la frmula C = 2R * Sen G/2
PUNTO LONGITUD
DE CURVA
CUERDA
(m).
GRADO DE
CURVA
PC-1 30 29.875 180536.2
PC-2 60 59.008 361112.4
PC-3 90 86.672 541640.6
PC-4 120 112.180 722224.8
PC-5 150 134.897 902801
PC-6 180 154.257 1083337.2
PC-7 210 169.781 1263913.4
PC-PT 219.279 173.742 1321500
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 66
2.3.-REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES
HORIZONTALES.
Conociendo los elementos de curva circular horizontal
podemos calcular el estacado del tramo sobre la longitud de la
curva, existen diferentes mtodos para replantear las curvas
circulares, por condicin del terreno enunciaremos los dos
mtodos ms usuales por ngulo de deflexin; el primero es
cuando la visibilidad es total de la curva desde el PC. y el
segundo mtodo es cuando no es visible la curva desde el
PC.(con puntos de cambio).
3.-REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIN CON
VISIBILIDAD DESDE EL PRINCIPIO DE CURVA (PC.)
G/2G3/2
G2/2
G1/2
G1
G2G
3
G
O
PC
1
RADIO
PT
TANGENTE
2
3
I
Por principio bsico para replantear una curva circular debemos
tener como informacin el grado de curva para una determinada
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 67
longitud de arco y cuerda, por geometra tenemos que G = I para
ubicar el punto 1 se debe calcular la cuerda PC-1 en funcin al
grado de curva G1, de igual manera para ubicar el punto 2 calcular
la cuerda PC-2 en funcin del grado de curva G2, as
sucesivamente hasta la cuerda mayor PC-PT. Para replantear se
estaciona el teodolito en PC con el limbo horizontal en el
alineamiento o Tangente con 000, desde el cual giramos al
punto 1 con un ngulo de G1/2 (mitad del grado de curva para la
longitud del arco.) y con una distancia de PC-1 (cuerda). Para el
punto 2 medimos un ngulo de G2/2 y una cuerda de PC-2, de sta
manera procedemos para los dems puntos.
EJEMPLO 3.
Se tiene una curva circular de 90 m. de radio y un ngulo de
interseccin de 130, se quiere replantear cada 60 m.
SOLUCION
1) Graficamos y calculamos los elementos de curva.
Si G=I
G = 130
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 68
.m958.122=4
130Tg*006.193=
4
GTg*T=E
.m204.204=180
90*130*=
180
GR=LC
.m135.163=2
130Sen*90*2=
2
GSen*R*2=C
.m006.193=2
130Tg*90=
2
GTg*R=T
163.135
204.204
6500'00"
5717'44.3"
3811'49.5"
1905'54.8"
G1=3811'49.5"
G2=7623'39"
G3=11435'28.5"
G=130
T= 193.006 m. 11
1.306 m.58
.8995 m.
151.465 m.
2) Se pide replantear cada 60 mts.
No de estacas = LC/60m.= 204.204/60 = 3.4034
Se ubicar 3 puntos cada 60 mts y un tramo de 24.204m.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 69
3) Calcular el grado de curva (G) y cuerda para una longitud de
arco de 60, 120, 180 y 204.204m.de acuerdo al clculo de
estacas.
Si para una longitud de arco de 204.204m. corresponde un
ngulo de 130 y para 60m de arco corresponder
381149.5(regla de tres simple), con el mismo procedimiento
se calcula para 120, 180m.
Para calcular la cuerda aplicamos su frmula: C=2RSenG/2.
Del punto PC-1= 2*90*Sen381149.5/2 = 58.895m.
PC-2= 2*90*Sen762339/2 = 111.306m. de esta manera
calculamos las cuerdas.
RESUMEN.
PTOS LONG.
DE
CURVA.
GRADO
DE
CURVA.
CUERDA
(m)
NG.
DEFLEX.
G/2
PC-1 60 381149.5 58.895 190554.8
PC-2 120 762339 111.306 381149.5
PC-3 180 1143528.5 151.465 571744.3
PC-PT 204.204 1300000 163.135 650000
Para replantear, seguir el siguiente procedimiento: Estacionar
el teodolito en el Principio de Curva (PC) con 00000 en el
alineamiento (V), giramos al punto 1 con un ngulo de
190554.8 y una distancia (cuerda) de 58.895m. Para el
punto 2 medimos un ngulo de 381149.5 y una cuerda de
111.306m, para el punto 3 se mide un ngulo de 571744.3
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 70
y una distancia (cuerda) de 151.45m. y al PT tenemos la mitad
del grado de curva (G) 65 y una cuerda principal de
163.135m. de esta manera queda demostrado.
4.- REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIN CON
PUNTOS DE CAMBIO.
Por principio geomtrico tenemos que el ngulo de PC al punto 1
es igual a G/2, o sea la mitad del grado de curva G. En el grfico
para la longitud de arco PC-1 el ngulo de deflexin ser G1/2,
mitad del grado de curva G1, El ngulo de deflexin en el punto
1 ser (G1+G2)/2, La deflexin para el punto 2 ser (G2+G3)/2,
as sucesivamente hasta el ltimo punto.
G1/2
(G1+G2)/
2
(G2+G
3)/2
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 71
EJEMPLO.4.
En el problema anterior, replantear con puntos de cambio
suponiendo no existe visibilidad al extremo opuesto desde PC.
SOLUCION.
1) En el problema anterior tenemos ubicado tres puntos cada 60
mts. y un tramo de 24.204 mts.
2) El grado de curva calculado para 60 mts. es 381149.5
3) El grado de curva para 24.204 mts. es 152431.4
4) Las cuerdas calculadas para 60 mts. de arco es 58.895 mts. y
para 24.204 mts. es 24.131 mts.
5) Calculamos la deflexin para cada punto de acuerdo al
principio geomtrico.
Angulo de deflexin en PC = G1/2
Angulo de deflexin en 1 = (G1+G2)/2
Angulo de deflexin en 2 = (G2+G3)/2
Angulo de deflexin en 3 = (G3+G4)/2
RESUMEN.
PTOS
LONG.
DE
CURVA
GADO DE
CURVA
CUERDA
(m)
NG. DE
DEFLEXION
PC-1 60 381149.5 58.895 191554.8
1-2 60 381149.5 58.895 381149.5
2-3 60 381149.5 58.895 381149.5
3-PT 24.204 152431.4 24.131 264810.45
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 72
PC
12
PT
O
IV
T
R=90m.
T
R.
. .
.
G1/2
(G1+G2)/2
(G2+G3)/2
(G3+G
4)/2
58.895
58.895 58.895
24.13
3
G2G3 G
4G1
G
Para replantear se procede de la siguiente manera: Estacionar el
teodolito en el PC. Con el limbo horizontal en 00000 en el
alineamiento o vista al vrtice V , luego se gira hacia el punto 1
con un ngulo G1/2 = 191554.8 y una distancia de 58.895 mts
(cuerda), Se traslada el teodolito al punto 1 y se visa al PC con
00000 basculando el anteojo 180 quedando en su alineamiento
o proyeccin, luego se gira hacia el punto 2 con un ngulo de
(G1+G2)/2 = 381149.5 con una distancia igual al anterior de
58.895 mts. trasladamos el equipo al punto 2 con vista atrs a 1 y
00000 en el limbo horizontal, basculamos 180 y giramos al
punto 3 con un ngulo de (G2+G3)/2=381149.5 y una distancia
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 73
de 58.895 mts. y finalmente ubicamos el equipo en el ltimo
punto 3, con el mismo procedimiento medimos un ngulo
(G3+G4)/2=264810.45 y una distancia de 24.131 mts, de esta
manera queda replanteado los tres puntos sobre la curva.
EJEMPLO 5.
En el levantamiento del eje de una carretera se tiene el rumbo del
PC al punto de interseccin V N6832E y del punto de interseccin al PT S1644W, de acuerdo a las caractersticas del terreno pide disear una carretera de 120 mts de radio y replantear
cada 35 mts. desde el PC.
SOLUCION.
S164
4'w
I
G
120 m.
O
N6832'E
12812'
Realizamos su croquis y calculamos G a partir de sus orientaciones.
1) I=12812 (calculado en funcin a sus rumbos.)
2) Clculo de sus elementos de curva.
-
FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 74
.mts724.154=4
'12128Tg*13.247=
4
GTg*T=E
.mts501.268=180
'12128*120*=
180
RG=LC
.mts894.215=2
'12128Sen*120*2=
2
GSen*R*2=C
.mts130.247=2
'12128Tg*120=
2
GTg*R=T
3) Clculo del nmero de estacas.
Conociendo la longitud de curva calculamos el nmero de
estacas No de estac.= 268.501/35 = 7.671, entonces tenemos 7
tramos de 35 mts y uno de 23.501 m.
4) Clculo del grado de curva para 35 m. y 23.501 m. Si para
268.501 (LC) corresponde un grado de 12812 y para 35 m.
ser 164240.67, de igual manera el grado para 23.501 m ser
111316.31.(por regla de tres simple)
5) Clculo de cuerda para cada tramo desde PC a 1, 2, 3...y PT.
con la frmula C=2R*SenG/2.
Luego, de PC-1= 2*120*Sen164240.67/2=34.876 m.
De PC-2= 2*120*Sen332521.34/2=69.012 m.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
de PC-PT= 2*120*Sen12812/2=215.894 m.
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 75
RESUMEN DE LOS CALCULOS.
PTO
LONG.
CURVA
(m)
GRADO DE
CURVA
( )
CUERDA
(m)
(G/2) NG.
DE
DEFLEXIN
PC-1 35 164240.67 34.876 82120.4
PC-2 70 332521.34 69.012 164240.7
PC-3 105 500802.01 101.682 250401
PC-4 140 665042.68 132.194 332521.3
PC-5 175 833323.35 164.530 414641.7
PC-6 210 1001604.02 184.211 500802.0
PC-7 245 1165844.69 204.611 582922.3
PC-PT 268.501 1281200 215.894 640600
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 76
6) Clculo del ngulo de deflexin. Este ngulo viene a ser la
mitad G/2 del grado de curva G. como muestra en la ltima
columna del cuadro.
Si, del PC-1, G es 164240.7 y G/2 es 82120.4,
PC-2, G es 332521.2 y G/2 es 164240.7, as
sucesivamente hasta el ltimo punto.
CONCLUSIN. Para replantear ubicamos el teodolito en PC.
Visamos el alineamiento el vrtice V con 00000 en el limbo
horizontal luego giramos al punto 1 con un ngulo G1/2
(82120.4) y una distancia de 34.876 m. (cuerda), para el punto
2 medimos con un ngulo de G2/2 (164240.7) y una cuerda de
69.012 m. as sucesivamente hasta visar el PT con un ngulo G/2
(6406) y una cuerda de 215.894 m.
EJEMPLO 6.
En el problema anterior calcular los ngulos de deflexin con
puntos de cambio y sus respectivas cuerdas.
SOLUCION.
1) Segn el problema anterior se tiene 7 tramos de 35 mts y un
tramo de 23.501 mts.
2) El grado de curva para 35 y 23.501 mts calculado es
164240.7 y 111315.31 respectivamente.
3) Las cuerdas para los arcos de 35 y 23.501 mts son: 34.876 y
23.464 mts respectivamente.
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 77
4) Para calcular el ngulo de deflexin para cada punto se aplica
de acuerdo al principio Geomtrico de la siguiente manera:
12812'
G1/2
S1644'w
(G4+G5)/2
(G3+G4)/2
(G5+G6)/2
(G6+G7)/2
(G7+G8)/2
PT
(G1+G2)/21
G1
G8
G2 G3
G4G5G6
G7
120M.
O
PC
(G2+G3)/2
7
6
5
N6832'E
2
3
4
V
Angulo de deflexin. en PC es G1/2= 82120.35
Angulo de deflexin. en 1 es (G1+G2)/2=164240.7
Angulo de deflexin. en 2 es (G2+G3)/2=164240.7
Hasta el punto 6 el valor es el mismo por tener los valores
angulares iguales, variando en el ltimo tramo, en el punto 7 de
(G7+G8)/2=135758
5) Para replantear se inicia en el PC, desde el cual se visa al
vrtice o alineamiento con 00000, luego se gira al punto 1
con un ngulo de G1/2 de 82120.35 y una cuerda de 34.874
mts. queda fijado el punto, luego se traslada el teodolito al
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 78
punto 1 visando al PC con el limbo Horizontal en 1800000,
en sta basculamos el anteojo 180 quedando en su proyeccin
en 0000, girar al punto 2 midiendo un ngulo (G1+G2)/2 =
164240.7 y una cuerda de 34.876 mts. as sucesivamente
hasta llegar hasta el penltimo punto con los mismos valores
por tener distancias y grados de curvas iguales, en el ltimo
tramo, punto 7 vara el ngulo y la cuerda en
(G7+G8)/2=135758 y una distancia de 23.464 mts. de esta
manera queda establecido todo los puntos de la curva.
6) RESUMEN.
PUNTO
LONG.
DE
CURVA
CUERDA
(m).
GRADO DE
CURVA
NG.
DE
DEFLEXIN.
PC-1 35 34.876 164240.7 82120.35
1-2 35 34.876 164240.7 164240.7
2-3 35 34.876 164240.7 164240.7
3-4 35 34.876 164240.7 164240.7
4-5 35 34.876 164240.7 164240.7
5-6 35 34.876 164240.7 164240.7
6-7 35 34.876 164240.7 164240.7
7-PT 23.501 23.464 111315.31 135758
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EJEMPLO 7.
La ubicacin de estacas en un alineamiento que tiene un rumbo de
S6220E, Llegando al punto de interseccin con una longitud del
proyecto de 3460 m. o correspondiente a la progresiva Km
3+460m. a partir de sta, cambia de direccin a S4251W, se
quiere replantear cada 25 mts. en cantidades enteras con un radio
de 80 mts, calcular las progresivas, ngulo de deflexin y cuerdas
para cada punto.
SOLUCION.
10511'O
S4251' W
PT
PCS6220'E
V146.864 m.
80 m
G
104.60 m.
127.042
I
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 80
1) La distancia del proyecto hasta el punto de interseccin V es
3460 mts correspondiente a la progresiva Km 3+460
2) El grado de curva G es igual a I=6220+4251=10511,
entonces G=I= 10511
3) clculo de los elementos de curva
.m687.51=4
'11105Tg*60.104=
4
GTg*T=E
.m092.127=2
'11105Sen*80*2=
2
GRSen2=C
.m864.146=180
'11105*80*=
180
RG=LC
m.60.104=2
'11105Tg80=
2
GRTg=T
4) Al punto de interseccin del proyecto se llega con 3460 m.
igual a la progresiva Km 3+460, para llegar al PC. restamos la
longitud de la tangente (104.60m.)
3460m.-104.60m.= 3355.40m. = Km3+355.4 (progresiva)
el PC tendr como progresiva Km 3+355.4
5) De acuerdo al planteamiento del problema pide ubicar las
estacas cada 25 mts. enteros, el siguiente punto sobre la curva
estacada cada 25 mts. ser 3375= Km3+375, para llegar a ste
punto sumamos 19.6 m. que resulta de restar 3375-
3355.40=19.60 m.(la cantidad entera se refiere al mltiplo de
25 en el kilometraje, por lo tanto el inmediato superior de
3355.40 es 3375 m.)
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6) Los siguientes puntos sobre la curva ser: (en el cuadro se
muestra desde el punto 1).
PUNTO DISTANCIA PROGRESIVA.
PC 3355.4 3+355.4
1 3375 3+375
2 3400 3+400
3 3425 3+425
4 3450 3+450
5 3475 3+475
6 3500 3+500
PT 3502.264 3+502.3
PC
80 m.
N6220'E
G
G4
G6
G1G2
G3
G5
O
PT
6
5
1
3
4
2
S4251'W
3
5
PT
6
4
10511'
PROGRESIVAPC1
2
PTOS
V
3+355.4
3+375
3+400
3+425
3+450
3+475
3+500
3+502.3
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 82
7) Para llegar al PT se suma la Longitud de curva al PC, entonces,
3355.4+146.864=3502.264 (Km 3+502.3), Hasta el momento
se ha calculado las distancias sobre la curva y sus progresivas
de los seis puntos, del PC al PT.
8) Para replantear es necesario calcular el grado de curva y sus
respectivas cuerdas de cada punto, para ello aplicaremos las
frmulas conocidas, para llegar al punto 1 (Km 3+375 m.) se
tiene una distancia de 19.6 m. desde el PC(Km 3+355.4); es
importante hacer notar que en la longitud de curva existe 3
tramos diferentes el primer tramo (19.6m.), tramos intermedios
(25 m.) y el tramo final (2.264m.), por lo tanto calcular el grado
de curva y cuerda para cada arco desde PC.
9) Clculo de G para un arco de 19.6m. (PC-1)
Si para 146.864 m. se tiene un ngulo G de 10511 y para
19.6 m. ser 140214.75; y para el punto 2 (19.6 + 25 m =
44.60), distancia del arco (PC-2) (44.60m.), su grado de curva
ser 315632.35, as sucesivamente hasta llegar al ltimo
tramo. Para calcular las cuerdas para cada grado de curva
aplicamos la frmula conocida, C=2RSenG/2, para el primer
tramo: CPC-1= 2*80*Sen140214.75/2 = 19.551 m. Para el
punto 2 CPC-2 = 2*80*Sen315632.35/2 = 44.025 m. de esta
manera para los dems puntos.
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 83
RESUMEN.
PTO
LONG.
DE
CURVA
GRADO DE
CURVA (G)
CUERDA
(m)
NG. DE
DEFLEX.(G/2)
PC-1 19.60 140214.75 19.551 70107.38
PC-2 44.60 315632.35 44.025 155816.18
PC-3 69.60 495049.94 67.426 245524.97
PC-4 94.60 674507.53 89.184 335233.77
PC-5 119.60 853925.13 108.769 424942.57
PC-6 144.60 1033342.72 125.704 514651.36
PC-PT 146.864 1051100 127.092 523530.00
10) CONCLUSION.
Despus de calcular la cuerda y G/2 para cada longitud de
curva se procede a replantear de la siguiente manera:
Estacionado el teodolito en PC que corresponde a la progresiva
Km 3+355.4 se visa al alineamiento o punto de interseccin
con el limbo horizontal en 00000, giramos al punto 1 que
corresponde a la progresiva Km 3+375 con un ngulo G/2 de
70107.38 con una distancia de 19.551 equivalente a su
cuerda, luego visamos al punto 2 que corresponde a la
progresiva Km 3+400. con un ngulo de G/2(para una longitud
de curva de 44.60m.) de 155816.18 y una cuerda de 44.025
m. as sucesivamente hasta llegar al PT que corresponde a la
progresiva Km 3+502.3 con un ngulo G/2 de 523530 y una
cuerda de 127.092m.
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 84
EJEMPLO 8.
En el problema anterior con los elementos de curva calculados
replantear cada 30 mts. en cantidades enteras con puntos de
cambio.
SOLUCION:
1) Graficando el croquis, se tiene calculado los elementos de curva:
T = 104.60 mts.
LC = 146.864 mts.
C = 127.092 mts.
E = 51.687 mts.
PC G1/2
G1
4.599
PROGRESIVAPTOS
G3
G4
(G2+G3)/2
(G3+G4)/2
(G4+G5)/2
29.824
G2
(G5+G6)/2
G6
80 m.
22.192
PT
G5
O
29.824
5
4
3+502.3
3+480
3+450
3+420
3+390
3+360
3+355.4
4
PT
5
S4251'W
2
3
PC1
N6220'E
(G1+G2)/2
29.824
29.8242
1
3
10511'
V
La progresiva de PC es Km 3+355.4
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 85
2) La progresiva de PT es Km 3+502.3, sta se obtiene sumando
la Longitud de Curva al PC.
3) El primer punto sobre la curva es Km 3+360 por ser un
cantidad inmediata entera que se obtiene sumando 4.60 mts
(3355.4 + 4.6 = 3360 = Km 3+360, en la siguiente tabla
representamos las distancia y su respectiva progresiva.
PUNTOS DISTANCIA PROGRESIVA
PC 3355.4 3+355.4
1 3360 3+360
2 3390 3+390
3 3420 3+420
4 3450 3+450
5 3480 3+480
PT 3502.264 3+502.3
4) Calculamos G y cuerda para cada Longitud de curva aplicando las frmulas conocidas
PTO
LOG. DE
CURVA
(m)
GRADO DE
CURVA (G)
CUERDA
(m)
NG. DE
DEFLEX.
PC-1 4.60 31740.20 4.599 13850.1
1-2 30 212909.11 29.824 122324.66
2-3 30 212909.11 29.824 212909.11
3-4 30 212909.11 29.824 212909.11
4-5 30 212909.11 29.824 212909.11
5-PT 22.264 155643.35 22.192 184256.23
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 86
5) CONCLUSION. Calculado los ngulos de deflexin para cada
punto y sus respectivas cuerdas iniciamos el replanteo
estacionar el teodolito en PC, cuya progresiva es Km 3+355.4
desde el cual hacemos la vista atrs al punto de interseccin con
el limbo horizontal en 00000 luego giramos al punto 1
(Km3+360) con un ngulo G1/2 de (13850.1) y una distancia
de 4.599 equivalente a su cuerda, seguidamente trasladamos el
equipo al punto 1 desde el cual hacemos vista atrs al PC con
1800000 basculando el anteojo 180 queda en su proyeccin
en 000, desde sta posicin medimos un ngulo de
122324.66(G1+G2)/2 y su cuerda de 29.824 mts.
seguidamente nos ubicamos en el punto 2, con el mismo
procedimiento medimos un ngulo de 212909.11 (G2+G3)/2
y su respectiva cuerda de 29.824 mts, as sucesivamente hasta
llegar al ltimo punto, quedando fijado las estacas sobre la
curva cada 30 m. con progresivas enteras.
EJEMPLO 9.
Tomando como datos del ltimo ejemplo es importante conocer
sus coordenadas de los puntos estacados sobre la curva cada 25
mts enteros (PC,1,2,3,4,5,6 y PT), para ello se conocen las
coordenadas del vrtice (2345N, 3425E).
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 87
SOLUCION.
1) Croquis, Conociendo la orientacin del alineamiento o
Tangente PC-V de S6220E y su distancio T de 104.60 m. se
calcula las coordenadas de PC.
PTOS
PC
2
4
PT
2345.000 3425.000
2393.569 3332.360
2382.443 3348.437
2363.187 3364.222
2340.012 3373.322
2315.161 3374.8562291.042 3368.671
2269.991 3355.351
2268.310 3353.865
IPC
80 m.
S6220'E
G
O
PT
6
5
1
3
4
2
S4251'W
V-PC 29740"00.00"
12441'07.38"
13338'16.18"
14235'24.97"
15132'33.77"
16029'42.57"
16926'51.36"
17015'30.00"
PC-6
PC-PT
PC-3
PC-4
PC-5
PC-1
PC-2
10511'
PUNTOSV
AZIMUT
V(2345, 3425)V1
6
COORDENADAS
N E
3
5
PROGRESIVA3+355.4
3+375
3+400
3+425
3+450
3+475
3+500
3+502.3
Calculamos el azimut de V-PC.
S Rumbo de PC-V = S6220E
V-PC = N6220W
Azimut V-PC = 29740
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FACULTAD DE MINAS U.N..P ING.CARLOS CALLE G. 88
2) Coordenadas parciales de PC,
N = DH*Cos Z; E = DH*SenZ. Si DH = T
Remplazando valores.
N = 104.60*Cos29740 = 48.569
E = 104.60*Sen29740 = -92.64
3) Coordenadas totales de PC.
N = 2345+48.569 = 2393.569
E = 3425-92.640 = 3332.360
4) Desde PC es posible lanzar las coordenadas a los puntos 1,2,...y
PT. Calcula