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Torneo de aspirantes

Un club de tenis de la ciudad, el más prestigioso, organiza cada

año un torneo para elegir a los aspirantes que quieren ser

aceptados en el club.

Las reglas del torneo son que aspirante debe jugar tres partidos

contra tres miembros antiguos. Para ser aceptado como socio, el

aspirante debe ganar al menos dos partidos consecutivos.

El club nos ofrece dos opciones; podemos jugar contra dos

jugadores expertos (E) y contra uno medio (M), en el orden E M

E, o bien jugar contra dos medios y uno experto, en orden M E M.

Naturalmente, es más fácil ganar a un jugador medio que a un

jugador experto. Digamos que nuestra probabilidad de ganar

contra un medio es p y la de ganarle a un experto es q, con p > q.

¿Cuál de las dos opciones debemos elegir para tener mayor

probabilidad de ser admitidos como socios?

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Torneo de aspirantes

La respuesta es chocante. En efecto, será más probable que

superemos el reto si elegimos jugar contra dos expertos y uno

medio, a pesar de que ello implica jugar dos veces contra

contrincantes más difíciles de vencer.

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Comencemos comprobándolo aritméticamente y, cuando

estemos convencidos, entenderemos cómo se explica este

resultado que ahora puede parecernos extraño.

Para empezar, debemos identificar los todos los resultados posibles

del torneo, según ganemos o perdamos cada partido. Designemos

con las letras G y P los partidos ganados y perdidos. Entonces, el

conjunto de todos los resultados posibles (el espacio muestral) es

el siguiente:

4

G G G

G G P

P G G

G P G

G P P

P G P

P P G

P P P

Ganamos

el reto

Perdemos

el reto

Sólo los tres primeros

resultados nos

permiten ingresar en el

club; son los únicos en

los que ganamos dos

partidos seguidos.

Para simplificar los cálculos, podemos agrupar los resultados para

los que los dos primeros partidos tienen el mismo ganador, siempre

que pertenezcan al mismo grupo (el que nos da acceso al club o el

que nos deja fuera).

5

G G G

G G P

P G G

G P G

G P P

P G P

P P G

P P P

Ganamos

el reto

Perdemos

el reto

6

G G G

G G P

P G G

G P G

G P P

P G P

P P G

P P P

Ganamos

el reto

Perdemos

el reto

Ahora debemos calcular la probabilidad con que se da cada grupo

de resultados, en cada uno de las opciones que nos ofrecen.

Total

E M E M E M

q p p q

(1-q) p q (1-p) q p

q (1-p) p (1-q)

(1-q) p (1-q) (1-p) q (1-p)

(1-q) (1-p) (1-p)(1-q)

1 1

7

G G G

G G P

P G G

Ganamos

el reto

Pero las probabilidades que nos interesan son las de los resultados

que nos permiten ser aceptados en el club

Total

E M E M E M

q p p q

(1-q) p q (1-p) q p

p q (2-q) p q (2-p)

y, como p > q, p q (2-q) > p q (2-p)

¡Es más probable ganar el torneo si

jugamos contra dos contrincantes

expertos!

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¿Cómo es posible? La explicación es más sencilla de lo que parece

a primera vista.

En cualquiera de las dos opciones de torneo debemos ganar dos

partidos seguidos. Como el orden de los rivales es alterno en los

dos casos, en ambos debemos ganar a un jugador experto y a uno

medio. En este sentido las dos opciones parecen equivalentes.

Pero, además, para ganar dos partidos seguidos es indispensable

ganar el segundo. Cuando nos enfrentamos a dos rivales expertos,

el segundo es un jugador medio. Sin embargo, si elegimos la

segunda opción, ¡debemos ganar el segundo partido contra un

jugador experto!

En otras palabras, en la primera opción debemos ganar a un

experto, pero puede ser a cualquiera de los dos contra los que

jugamos, el primero o el tercer partido. Las probabilidades de éxito

en el segundo caso son menores porque estamos obligados a

ganar el único partido contra un experto al que nos enfrentamos.

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Referencias

Admittance to a tennis club, por A. Bogomolny, en http://www.cut-

the-knot.org/Probability/TennisClub.shtml