Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Santa Fe

Análisis numérico y cálculo avanzado

Trabajo práctico: Series de Fourier

Docentes a cargo:Pastorelli, SoniaFrausin, Adriana

Alumno: Giancarelli, Federico

Carrera: Ingeniería Industrial

N° de libreta universitaria: 21292

D.N.I.: 37.570.118

Correo electrónico: fgiancarelli@gmail.com

Fecha de entrega: 16-10-2014

Año de cursado: 2014

Grilla de evaluación:

1. a) 1. b) 1. c) 1. d) 2. a) 2. b) 2. c) 2. d) Total

20 5 15 10 20 5 15 10 100(*)

Para el desarrollo “analítico” del trabajo práctico se utilizó el programa “Maxima 5.30”. En cuanto alas gráficas, estas fueron realizadas con el graficador “gnuplot 4.6”, a través de la interfaz delprograma anterior, y luego editadas -por estética- en “Inkscape 0.48”, un programa de dibujovectorial.

Enunciado Trabajo Práctico:

Siendo n=n1+n2+n3+n4+n5

5,

Ejercicio N° 1:

Dada: f (x)=n1( x−n2)(x−n3) ; −n≤x<2n ; siendo f (x)=f (x+3n)∀ x∈ℝ

a) Obtenga el desarrollo en Serie de Fourier de f(x), al que llamará g(x) . Analice laconvergencia de g(x).

Se asignan los valores de las variables correspondientes al número de libreta universitaria delestudiante. En este caso, el número es 21292.

> n1():= 2$> n2():= 1$> n3():= 2$> n4():= 9$> n5():= 2$> n():= (n1()+n2()+n3()+n4()+n5())/5$

Acorde a la consigna, se define la función f(x).

> f(x):= n1()*(x-n2())*(x-n3())$

La función que resulta de los números asignados es: f(x) = 2*(x-2)*(x-1) -una parábola-. Estadefinición de la función será válida para el intervalo -n ≤ x < 2n, mientras que para conocer lafunción en el resto del dominio real, habrá que utilizar la identidad f(x)=f(x+3n).

En primer lugar, se grafica f(x), para tener una idea del lugar en el que estamos parados.

Para ello, definimos una función auxiliar F(x), que se valdrá de la función y = floor(x) (Definición:floor (x )=⌊x ⌋=n ⇔ x=n+k ; n ∈ ℤ ∧ 0≤k<1 ) para llegar a una definición de f(x) que

sea válida a lo largo de toda la recta real. De esta manera será más sencillo graficarla, ya que de locontrario deberíamos graficar una función diferente por cada intervalo de longitud “3n”.

> F(x):= f(x-(floor((1/3)*(x/n()+1)))*3*n());

Esto se podría entender como una función que se auto-corrige, ya que cuando la variable “x” estádentro de un cierto intervalo, la función “floor” (piso) indica cuántos intervalos hacia la izquierda ohacia la derecha se deberá correr la función f(x) -a lo largo del eje x- de tal manera que la funciónF(x) cumpla con la relación F(x)=F(x+3n), que le corresponde a f(x).

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Con la siguiente función, se carga la librería encargada de realizar los gráficos a través delgraficador “gnuplot”.

> load(draw);

Se grafica, entonces, F(x) (Que es una función que verifica la definición por intervalos de f(x)).

> draw2d(> file_name = "Grafico 1 – f(x)",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=2,> color=magenta,> key="F(x)=f(x)",> explicit(F(x),x,-5*n(),5*n())> );

El resultado obtenido es el siguiente:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

x

F(x)=f(x)

Gráfico N° 1

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Con el gráfico podemos ver que cada ciertas unidades (“3n” unidades, el período), la funciónpresenta una discontinuidad de salto finito, es decir que la función es continua por intervalos -delongitud igual a un período, o “3n”-.

Estas discontinuidades traen consigo un problema al calcular los coeficientes que emplea la Seriede Fourier, ya que para hallarlos hay que integrar determinadas funciones entre “- Medio período”y “+ Medio período” (Intervalo simétrico), funciones que son productos entre la f(x) -continua atrozos- y otras que son continuas en todo su dominio (y=Sen(x), y=Cos(x), y=1), lo que convierte alas funciones resultantes en continuas a trozos. Por esta razón -y porque el intervalo decontinuidad no es simétrico con respecto al origen de coordenadas ni coincide con el intervalo deintegración- al querer integrar estas funciones, se deberán separar las integrales en diferentestramos en los cuales -individualmente- las funciones sean continuas.

Esto no es algo que no se pueda hacer, sino que es un trabajo adicional que a veces resultamolesto.

Para evitarlo, se definirá otra función auxiliar F2(x) que sea igual a F(x) (Graficada arriba) perodesplazada alunas unidades sobre el eje x, de modo de cumplir con la condición de continuidad enun intervalo simétrico (F2(x) continua en -L ≤ x < L). Así, se trabajará sobre la expansión de F2(x)como Serie de Fourier y, luego, la expansión de F(x) como tal será igual a la de F2(x) desplazada lamisma cantidad de unidades en el sentido opuesto.

Si F(x) es continua en -n ≤ x < 2n,

Entonces F2(x)=F(x+u) continua en -n ≤ x+u < 2n

-n ≤ x+u < 2n-n-u ≤ x < 2n-u

A la vez se impone la condición de que:

-L ≤ x < L

Por lo que:

-n-u = -L ˄ 2n-u = L+n+u = +L ˄ 2n-u = L

=> n+u = L = 2n-u=> n+u = 2n-u=> 2u = n=> u = n/2

Es decir que la función F2(x) = F(x+n/2) cumple con el requisito de intervalo de continuidadsimétrico. A su vez, como se dijo en el primer párrafo -después del Gráfico N° 1-, este intervalo decontinuidad posee una longitud igual a un período, o “3n”. Gracias a esto se podrán integrar las

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funciones resultantes del producto de F2(x) con otras sin necesidad de dividir el intervalo deintegración.

Se define F2(x) en el programa, teniendo en cuenta que para los cálculos de coeficientes sólo hayque integrar en -n ≤ x+u < 2n, en donde f(x+u) representa correctamente a la función descripta enel enunciado, y a su vez es más fácil de integrar que F(x+u) -por la ausencia de la función floor(x)-.

> u():= n()/2$> F2(x):= f(x+u())$

Y como último paso, previo a encontrar la Serie de Fourier correspondiente a la función, secalculará el valor de “L”, que servirá para definir los extremos de integración.

Si T = 3n, y T = 2L, entonces 3n = 2L. Despejando “L”, resulta L = 3n/2.

> L():= 3*n()/2$

Se calculan, entonces, los coeficientes y la Serie de Fourier para F2(x).

> a0():= (1/L())*integrate(F2(t), t, -L(), L());> ak(k):= (1/L())*integrate(F2(t)*cos((k*(%pi)/L())*t), t, -L(), L());> bk(k):= (1/L())*integrate(F2(t)*sin((k*(%pi)/L())*t), t, -L(), L());> gfalsa(x,q):= (1/2)*a0()+sum(ak(k)*cos((k*(%pi)/L())*x), k, 1, q)+sum(bk(k)*sin((k*(%pi)/L())*x), k, 1, q);

Por la gran cantidad de paréntesis y signos diversos en las últimas expresiones, se pierde un pocode vista lo que se está haciendo, por eso se reescribe lo anterior en notación normal con el fin deentenderlo mejor.

ao() :=1L( )

∫−L()

L()

F2( t)dt

ak (k ):=1L()

∫−L()

L()

F 2(t )cos( k π

L()t)dt

bk (k ):=1L()

∫−L()

L()

F 2(t )sen( k πL( ) t)dt

gfalsa(x ,q):=12ao()+∑

k=1

q

ak (k , t )cos( k πL() x)+∑k=1

q

bk (k ,t) sen( k πL( ) x)En lo anterior, la letra “q” representa la cantidad de términos a calcular en la sumatoria. Acontinuación se presenta la función gfalsa(x,q) que se obtiene (“gfalsa” en lugar de “g” porque“gfalsa” es la Serie de Fourier para F2(x), y la “g” que pide el enunciado es para F(x)).

> ratsimp(gfalsa(x,q));

Este comando devuelve el siguiente resultado.

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gfalsa(x ,q)=−

96π(∑k=1

q (−1)ksin(5 π k24

x)k )−4608(∑

k=1

q (−1)kcos(5π k

24x)

k2 )−372π2

25π2

Luego de esto, se define la función g(x,q) como la gfalsa(x,q) desplazada “u” unidades en el sentidoopuesto al que se desplazó F2(x).

Si F2(x) = f(x+u) => f(x) = F2(x-u)

Y si se expresan las funciones como las Series de Fourier que las representan, se llega a losiguiente.

g(x) = gfalsa(x-u)

Finalmente, se define g(x) como indica esta relación.

> g(x,q):= gfalsa(x-u(),q)$> g(x,q);

g(x ,q)=

−96 π(∑k=1

q (−1)ksin(5π k24 (x−8

5))k )+4608(∑

k=1

q (−1)kcos(5π k24 (x−8

5))k 2 )+372π2

25π2

Donde “q” es la cantidad de términos a calcular en la sumatoria.

Se presenta un gráfico con el fin de corroborar que la Serie de Fourier calculada se asemeje a lafunción F(x).

> draw2d(> file_name = "Grafico 2 – f(x) y g(x)",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=4,> line_type=dots,> color=magenta,> key="F(x)=f(x)",

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> explicit(F(x),x,-5*n(),5*n()),> line_width=2,> line_type=solid,> color=blue,> key="g(x,10)",> explicit(g(x,10),x,-5*n(),5*n())> );

El código anterior genera el siguiente gráfico.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

x

F(x)=f(x)g(x,10)

Gráfico N° 2

Allí se pueden ver superpuestas las funciones F(x) -en rosado- y su Serie de Fouriercorrespondiente g(x) -en azul transparente-. Se observa que para un número razonable detérminos de g(x) (10, en el caso de la gráfica) las funciones son semejantes.

El teorema de la convergencia de las Series de Fourier establece que si una función “f(x)” es suavea pedazos en un intervalo [-L,L], entonces para todo -L < x < L la expansión en Serie de Fourier de lamisma converge en todo punto a la semisuma de los límites laterales de la función original en esepunto.

Teniendo en cuenta que la función función que se analiza en este ejercicio está definida para todovalor de “x”, y que la misma es la composición de diferentes polinomios de grado dos (Parábolas alo largo del eje x, unidas), sabemos que al separarla en tramos coincidentes con las porciones delos polinomios tomados, obtendremos funciones suaves en cada una de las divisiones, con lo quese cumple la hipótesis del teorema de convergencia.

Como dentro de cada una de esas divisiones realizadas tendremos meramente un polinomio-distinto en cada división-, los límites laterales izquierdo y derecho en puntos interiores a cada uno

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resultarán iguales entre sí, por lo que la Serie de Fourier converge al valor real de la función f(x)original siempre y cuando esté dentro de los intervalos armados ( -n + w*3n < x ˂ 2n + w*3n ; conw entero).

Sólo resta estudiar la convergencia de la Serie en los puntos frontera de los intervalos anteriores(Donde existen discontinuidades). Ellos son todos los valores de x de la forma x = 2n + w*3n,donde “w” toma valores enteros.

Se calcularán, entonces, los límites laterales de la función F(x) original en cada uno de esos puntos.

Ya que todos los puntos a analizar (x = 2n + w*3n) difieren entre sí por distancias que son múltiplosenteros del período de la función original, bastará con conocer los límites laterales en al menosuno de ellos para conocer los límites laterales correspondientes a los demás (Porque lim f(x) = límf(x+w*T), siendo “w” un número entero, “x” un real y “T” el período de la función).

Recordemos la función.

> draw2d(> file_name = "Grafico 3 - f(x) en otro intervalo",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=2,> color=magenta,> key="F(x)=f(x)",> explicit(F(x),x,-2.3*n(),2.3*n())> );

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0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

F(x)=f(x)

Gráfico N° 3

Se elige el punto x = -n para calcular los límites laterales de la función.

> print("Límite lateral por izquierda:",float(limit(F(x), x, -n(), minus)))$> print("Límite lateral por derecha:",float(limit(F(x), x, -n(), plus)))$

Lo que arroja los siguientes resultados.

> Límite lateral por izquierda: 47.52> Límite lateral por derecha: 43.68

Como se cumple la hipótesis del teorema de la convergencia, la serie converge en cada punto a lasemisuma de los límites laterales de la función original en el punto.

En el caso particular de los puntos de discontinuidad (x = 2n + w*3n, con “w” entero), la Serieconvergerá al valor: 45.6 (Que es la semisuma de los límites laterales en esos puntos), mientrasque en el resto de los casos será convergente al valor real de la función original en el punto.

b) De la suma parcial de orden 4 de g(x).

Especificamos la cantidad de términos de sumatoria que queremos calcular (Variable “q”) en lafunción g(x,q) y se llega al resultado.

> ratsimp(g(x,4));

Se obtiene la siguiente función.

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g(x ,q)=−

24 π sin(5π x−8π

6 )−288cos(5π x−8 π

6 )−32π sin(5π x−8 π

8 )+512cos(5π x−8π

8 )25 π

2

−

48π sin(5π x−8π

12 )−1152cos(5π x−8π

12 )−96 π sin(5 π x−8π

24 )+4608cos(5π x−8π

24 )−372π2

25π2

c) Calcule f(x) y g(x) para los x = { -20 ; 60 ; -7n ; 9n }. Comente. Justifique.

Para poder comparar los valores más cómodamente, se crea una función “Comparar(x,q)”, quepara un valor de “x” y otro de “q”, arroja el resultado de f(x), g(x,q) y a su vez muestra el error realde g(x,q) para el “q” elegido.

> Comparar(x,q):= block(print("f(",float(x),")=",float(F(x))),print("g(",float(x),",",q,")=",float(g(x,q))),print("Error real=",float(F(x)-g(x,q))))$

Con esta nueva función, se calcula el valor de f(x) y de g(x,q) en los puntos señalados por laconsigna utilizando 25 términos en la sumatoria de g(x,q).

> Comparar2(-20,25)$> print("")$> Comparar2(60,25)$> print("")$> Comparar2(-7*n(),25)$> print("")$> Comparar2(9*n(),25)$

Lo que arroja lo siguiente.

> f(-20.0) = 10.08> g(-20.0,25) = 10.07139819226209> Error real = 0.0086018077379126> > f(60.0) = 1.12> g(60.0,25) = 1.127240628093908> Error real = -0.0072406280939075> > f(-22.4) = 43.68> g(-22.4,25) = 44.86772045181729> Error real = -1.187720451817292> > f(28.8) = 4.0> g(28.8,25) = 3.972716548796801> Error real = 0.027283451203199

En los primeros dos casos y en el último (x = { -20, 60, 9n }), el error cometido es aceptable,mientras que el error en el calculo de la función con g(x,25) cuando x = -7n es mucho mayor alresto (De dos a tres órdenes mayor que en los otros tres casos). Esto se debe a que x = -7n es elúnico de los cuatro puntos que verifica la ecuación x = 2n + w*3n con un valor de “w” entero (w =

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-3), y en el inciso “b” de este punto mostramos que, en esos puntos, la función g(x,q) no eraconvergente al valor real de f(x) sino que convergía a 45.6, por lo que el error en ese punto estaríamal calculado, ya que lo que hace la función “Comparar(x,q)” es restar a f(x), g(x,q); mientras quelo correcto para el caso de los puntos que verifican x = 2n + w*3n con un “w” entero sería calcularel error como la resta entre 45.6 (Que no es el valor de la función en el punto) y g(x,q).

Para verificar esto, se calcula el error real corregido para el punto x = -7n.

> ErrorDiscontinuidades(x,q):= print("Error real para los puntos de discontinuidad calculando ",q," términos: ",float(45.6-g(x,q)))$> ErrorDiscontinuidades(-7*n(),25)$

> Error real para los puntos de discontinuidad calculando 25 términos: 0.73227954818271

Aunque sigue siendo elevado en comparación a lo errores en los otros tres puntos, este sí es elerror real de g(x,q) en el punto x = -7n, para los primeros 25 términos de la sumatoria.

d) Grafique la suma parcial de orden 8 de g(x) en [-5n; 5n] y f(x) en un mismo gráfico.Comente los resultados obtenidos y/o visualizados.

> draw2d(> file_name = "Grafico 4 - f(x) y g(x,8)",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=4,> line_type=dots,> color=magenta,> key="F(x)=f(x)",> explicit(F(x),x,-5*n(),5*n()),> line_width=2,> line_type=solid,> color=blue,> key="g(x,8)",> explicit(g(x,8),x,-5*n(),5*n())> );

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0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

x

F(x)=f(x)g(x,8)

Gráfico N° 4

Se observa que en los puntos alejados de los extremos de los intervalos de continuidad, la funcióng(x,8) es una muy buena aproximación de f(x) (“Aproximación” porque no se calculan infinitostérminos en la sumatoria, sino solamente 8). Mientras que en los puntos más cercanos a lasdiscontinuidades, para una misma cantidad de términos en la sumatoria de la serie, el error deg(x,q) aumenta considerablemente, convirtiéndose g(x,8) en una -no muy buena- aproximación def(x) en esos pequeños entornos de los puntos de discontinuidad de f(x). Esto no es otra cosa másque el fenómeno de Gibbs, que se manifiesta por la existencia de una discontinuidad en la funciónque se busca representar por medio de una Serie de Fourier.

Ejercicio N° 2:

Dada la función j(x )=|n4−n5|+1

2x , definida en [0; 2)

a) Obtenga la Serie de Fourier de seno de la función j(x) (Desarrollo de medio rango) a laque llamará h(x).

Se comienza por definir la función j(x).

> j(x):= (abs(n4()-n5())+1)*x/2$

Definimos, luego, una función auxiliar J(x), que se valdrá de la función y=piso(x) ( y=floor(x) ) parallegar a una definición de j(x) que sea válida a lo largo de toda la recta real (Debido a que ladefinición anterior es válida únicamente para 0 ≤ x ˂ 2). De esta manera será más sencillograficarla, ya que de lo contrario deberíamos graficar una función diferente por cada intervalo de

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longitud “2”.

> J(x,T):= j(x-floor(x/T)*T);

Esto se podría entender como una función que se auto-corrige, ya que cuando la variable “x” estádentro de un cierto intervalo, la función “floor” (piso) indica cuántos intervalos hacia la izquierda ohacia la derecha se deberá correr la función j(x) -a lo largo del eje x- de tal manera que la funciónJ(x) cumpla con la relación J(x) = J(x+T) -con T = 2-, que le corresponde a j(x).

J (x ,T )=4(x−floor( xT )T);T=2

Se grafica, entonces, J(x,2) (Que es una función que verifica la definición por intervalos de j(x)).

> draw2d(> file_name = "Grafico 5 – j(x)",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=2,> color=orange,> key="J(x,2)=j(x)",> explicit(J(x,2),x,-5,5)> );

El gráfico que arroja el código anterior es el siguiente.

Página 13 de 26

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -2 0 2 4

y

x

J(x)=j(x)

Gráfico 5

La función graficada es similar a una función impar, ya que se nota que si se lograra desplazarlaalgunas unidades hacia abajo, se conseguiría una función de tal característica, con la cual se puedellegar a la expansión en Serie de Fourier mediante un desarrollo senoidal de medio rango.

Para facilitar los cálculos, se buscará un valor “s” -real- que cumpla con la condición J2(x) = - J2(-x)(Definición de función impar), donde J2(x)=J(x) + s. Luego, se calculará la Serie de Fourier para lafunción J2(x) y, finalmente, la Serie de Fourier correspondiente a J(x) será, por la ecuación quedefine a J2(x), J(x) = J2(x) - s (Con J2(x) expresada como Serie de Fourier).

Sea J 2(x)=−J 2(−x ) , Con J 2(x)=J (x )+s .

(J (x)+s)=−(J (−x)+s)

J (x)+s=−J (−x)−s

2 s=−(J (−x)+J (x ))

s=−(J (x)+J (−x))

2

Si J (x)=4(x−floor( xT )T)

Página 14 de 26

s=−[4(x−floor( xT )T)]+[4(−x−floor(− xT )T)]

2

Aspectos a tener en cuenta para trabajar con la función floor(x):• Definición: floor (x )=⌊x ⌋=n ⇔ x=n+k ; n ∈ ℤ ∧ 0≤k<1• Propiedad: ⌊x+n⌋=⌊x ⌋+n ; n ∈ ℤ• Propiedad: x=n+k ∀ x ∈ ℝ ; n ∈ ℤ ∧ 0≤k<1 . Además, “n” y “k” son únicos

para cada x.

s=−[4(x−⌊ xT ⌋T)]+[4(−x−⌊− xT ⌋T)]

2

s=−

4(x−⌊ xT ⌋T−x−⌊− xT ⌋T)2

s=−2(−⌊ xT ⌋T−⌊− xT ⌋T)

s=2T(⌊ xT ⌋+⌊− xT ⌋)Sea

xT

=n+k ; n ∈ ℤ ∧ 0≤k<1 .

s=2T ( ⌊n+k ⌋+⌊−(n+k )⌋ )

s=2T ( ⌊n+k ⌋+⌊−n−k ⌋ )

s=2T [ (n+⌊0+k ⌋)+(−n+⌊0−k ⌋) ] ; por definición, ⌊0+k ⌋=0

s=2T [ (n+0)+(−n+⌊0−k+(1−1)⌋) ]

s=2T ⌊−1+(1−k )⌋

Si 0<k<1 ⇒ 0<1−k<1 ⇒ ⌊−1+(1−k )⌋=−1 ⇒ s=−2T .

Si k=0 ⇒ ⌊−1+(1−k )⌋=⌊−1+(1−0)⌋=⌊0⌋=0 ⇒ s=0 .

Recordando la relación que se estableció entre “x” y “T”, se nota que si k = 0 se obtiene losiguiente.

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xT

=n+k ; n ∈ ℤ ∧ 0≤k<1

xT

=n ; n ∈ ℤ ∧ k=0

x=nT ; n ∈ ℤ ∧ k=0

Esto nos está diciendo que “k” va a ser igual a cero en todos los puntos en los que “x” sea múltiplo entero del período, es decir, “k” es cero -y por lo tanto s = 0- en todos los puntos de discontinuidadde la función J(x).

La meta al comienzo de este tratamiento de la función, era hallar un valor “s” tal queJ 2(x)=J (x )+s sea una función simétrica.

Si x=nT ; n ∈ ℤ ⇒ J 2(x)=J (x )+0=J (nT )=0 .

Si x≠nT ; n ∈ ℤ ⇒ J 2(x)=J (x )−2T .

En puntos particulares del dominio de la función, “s” toma el valor cero, mientras que en el restode los puntos es igual al doble negativo del período ( -2T ).

¿Por qué el valor de “s” que convierte a la función en otra impar varía según el punto analizado?

Para entender esto, hay que pensar qué pasaría si “s” fuera el mismo para todos los puntos. Aquí,un gráfico en calidad de borrador será de ayuda (Tener en cuenta que las cruces representanpuntos de la gráfica que no pertenecen a la función, y los círculos representan puntos que sípertenecen a la función).

Se asume que “s” es el mismo en todos los puntos y se grafica J 2(x)=J (x )+s .

Página 16 de 26

Gráfico N° 6

Se continúa con J 2(−x ) .

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

J2*(-x)=J(-x)-4

Gráfico N° 7

Y se finaliza con −J 2(−x) .

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-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

J2*(x)=J(x)-4

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

-J2*(-x)=-J(-x)+4

Gráfico N° 8

Si J2(x) fuera una función impar, los gráficos 6 y 8 serían iguales. Sin embargo, se ve que entre estasdos imágenes los puntos y las cruces intercambiaron sus lugares. Es decir que al espejar la gráficade la función J2(x) respecto de ambos ejes coordenados, la definición de la función cambia ( J2(x) ≠-J2(-x) ) en los puntos de discontinuidad.

Por lo tanto, “s” no puede ser el mismo para todos los puntos, porque si lo fuera, pasaría loanterior y la función no sería impar.

La matemática resuelve esto definiendo J2(x) = 0 en los puntos problemáticos (Todos los puntos dediscontinuidad). El problema que esto trae consigo es que ya no estaríamos calculando la Serie deFourier para J2(x) = J(x) + k, sino que la estaríamos calculando para otra función parecida.

A pesar de esto, lo que se calculó hasta el momento servirá igual, ya que a la Serie de Fourier no leimporta el valor real que toma en cada punto la función que intenta representar, sino que lo que leinteresa es el valor de la semisuma de los límites laterales en cada punto de la función (La Serie deFourier no quiere parecerse a la función, quiere parecerse a la semisuma de los límites laterales dela función en cada punto). Por esto, si queremos que J2(x) funcione con la definición que se obtuvomatemáticamente, debemos verificar que la semisuma de los límites laterales de la J(x) desplazadaverticalmente hacia abajo (“s” constante en todos los puntos) sea igual a la semisuma de loslímites laterales de la función J2(x) hallada matemáticamente (“s” varía según el punto).

Y esto se verifica, debido a que el límite de una función en un determinado punto, no depende dela definición de la función en ese punto, sino que depende de la definición de la función a laizquierda y a la derecha del mismo, y en los puntos de discontinuidad esas definiciones “laterales”son iguales en los dos casos. Para el resto de los puntos también se cumple, porque dentro de losinvervalos de continuidad, las funciones J(x) desplazada verticalmente hacia abajo (“s” constante

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en todos los puntos) y J2(x) hallada matemáticamente (“s” varía según el punto) son directamenteiguales.

Finalmente, y por lo que se dijo en los últimos párrafos, para calcular la Serie de Fourier de J(x)podremos usar tranquilamente J2(x)=J(x)+s (Con “s” constante), sin preocuparnos por los valoresde la función en los puntos de discontinuidad, ya que estos no afectarán al resultado final.

Se define J2(x), teniendo en cuenta que para los cálculos de coeficientes hay que integrar entre x =0 y x = L, y que J(x) en ese intervalo es igual a j(x), que es más fácil de integrar que J(x) -por laausencia de la función floor(x)-.

> s(T):= -2*T;> J2(x,T):= j(x)+s(T);

A continuación, se determinan los coeficientes de la función sen(x) para la Serie de Fourier, y laSerie en sí.

> LJ2(T):= T/2;> bkJ2(k,T):= (2/LJ2(T))*integrate(J2(t,T)*sin(k*%pi*t/LJ2(T)), t, 0, LJ2(T));> hfalsa(x,q,T):= sum(bkJ2(k,T)*sin((k*%pi*x)/LJ2(T)), k, 1, q);

bk J 2(k ,T ):=2

LJ 2(T )∫0

LJ 2(T )

J 2(t ,T )sen( k π

LJ 2(T )t)dt

hfalsa(x ,q ,T ) :=∑k=1

q

bk J 2(k ,T ) sen( k πLJ 2(T )

x)Luego de esto, se define la función h(x,q) como la hfalsa(x,q) desplazada “s” unidades en el sentidoopuesto al que se desplazó j(x).

Si J 2(x)= j(x)+s ⇒ j(x )=J 2(x)−s

Y si se expresan las funciones como las Series de Fourier que las representan, se llega a losiguiente.

h(x ,q)=hfalsa (x ,q)−s

Finalmente, se define h(x,q) como indica esta relación.

> h(x,q,T):= hfalsa(x,q,T)-s(T)$> h(x,q,2);

h(x ,q ,2)=2∑k=1

q

[(4 sen(π k)π

2 k2 −4

π k)sen(π k x )]+4

Donde “q” es la cantidad de términos a calcular en la sumatoria.

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Se presenta un gráfico con el fin de corroborar que la Serie de Fourier calculada se asemeje a lafunción J(x).

> draw2d(> file_name = "Grafico 9 – h(x)",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=2,> color=orange,> key="J(x,2)",> explicit(J(x,2),x,-5,5),> color=blue,> key="h(x,10,2)",> explicit(h(x,10,2),x,-5,5)> );

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -2 0 2 4

y

x

J(x)h(x,10,2)

Gráfico N° 9

Allí se pueden ver superpuestas las funciones J(x) -en naranja- y su Serie de Fouriercorrespondiente h(x) -en azul transparente-. Se observa que para un número razonable detérminos de h(x) (10, en el caso de la gráfica) las funciones son semejantes.

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b) De los primeros 10 sumandos de h(x).

Especificamos la cantidad de términos de sumatoria que queremos calcular (Variable “q”) en lafunción h(x,q,T) y se llega al resultado.

> h(x,10,2);

Se obtiene la siguiente función.

h(x ,q)=4−8π ( sen(1π x)

1+sen(2π x )

2+sen(3π x)

3+sen(4 π x )

4+sen (5π x)

5+sen(6 π x)

6+sen(7 π x )

7 )−

8π ( sen(8 π x)

8+sen(9π x )

9+sen (10π x)

10 )c) Analice la convergencia de h(x). Justifique.

El teorema de la convergencia de las Series de Fourier establece que si una función “f(x)” es suavea pedazos en un intervalo [-L,L], entonces para todo -L < x < L la expansión en Serie de Fourier de lamisma converge en todo punto a la semisuma de los límites laterales de la función original en esepunto.

Teniendo en cuenta que la función que se analiza en este ejercicio está definida para todo valor de“x”, y que la misma es la composición de diferentes polinomios de grado uno (Muchas rectas a lolargo del eje x, unidas), sabemos que al separarla en tramos coincidentes con las porciones de lospolinomios tomados, obtendremos funciones suaves en cada una de las divisiones, con lo que secumple la hipótesis del teorema de convergencia.

Como dentro de cada una de esas divisiones realizadas tendremos meramente un polinomio-distinto en cada división-, los límites laterales izquierdo y derecho en puntos interiores a cada unoresultarán iguales entre sí, por lo que la Serie de Fourier converge al valor real de la función f(x)original siempre y cuando esté dentro de los intervalos armados ( 0 + w*2 < x ˂ 2 + w*2 ; con wentero).

Sólo resta estudiar la convergencia de la Serie en los puntos frontera de los intervalos anteriores(Donde existen discontinuidades). Ellos son todos los valores de x de la forma x = w*2, donde “w”toma valores enteros.

Se calcularán, entonces, los límites laterales de la función J(x) original en cada uno de esos puntos.

Ya que todos los puntos a analizar (x = w*2) difieren entre sí por distancias que son múltiplosenteros del período de la función original, bastará con conocer los límites laterales en al menosuno de ellos para conocer los límites laterales correspondientes a los demás (Porque lim f(x) = límf(x+w*T), siendo “w” un número entero, “x” un real y “T” el período de la función).

Recordemos la función.

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> draw2d(> file_name = "Grafico 10 - j(x) en otro intervalo",> dimensions = [1000,600],> terminal = 'svg,> xaxis=true,> xlabel="x",> xaxis_width=2,> xaxis_type=solid,> xaxis_color=black,> yaxis=true,> ylabel="y",> yaxis_width=2,> yaxis_type=solid,> yaxis_color=black,> grid=true,> line_width=2,> color=orange,> key="J(x)=j(x)",> explicit(J(x),x,-3,3)> );

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

J(x)=j(x)

Gráfico N° 10

Se elige el punto x = 0 para calcular los límites laterales de la función.

> print("Límite lateral por izquierda:",float(limit(J(x,2), x, 0, minus)))$> print("Límite lateral por derecha:",float(limit(J(x,2), x, 0, plus)))$

Lo que arroja los siguientes resultados.

> Límite lateral por izquierda: 8.0> Límite lateral por derecha: 0.0

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Como se cumple la hipótesis del teorema de la convergencia, la serie converge en cada punto a lasemisuma de los límites laterales de la función original en el punto.

En el caso particular de los puntos de discontinuidad (x = w*2, con “w” entero), la serie convergeráal valor: 4 (Que es la semisuma de los límites laterales en esos puntos), mientras que en el resto delos casos será convergente al valor real de la función original en el punto.

d) Usando dicha serie, ¿Puede asegurar que ∑k=1

∞ (−1)k+1

2k−1=π

4? Justifique.

Sí. Se conoce la definición -en términos de una suma infinita- de h(x), y a la vez se conoce laexpresión analítica regular de la función que ésta representa ( J(x) ), por lo que se puede construirla ecuación J(x) = h(x) ; q -> ∞.

Si x = 1/2, se obtienen las siguientes expresiones.

J (x ,T )=4(x− floor( xT )T);T=2

J(12,2)=4(1

2−floor(1

212)2)

J(12,2)=4(1

2−floor( 1

4)2)J( 1

2,2)=4(1

2−0∗2)

J( 12,2)=2

Y por el lado de la Serie de Fourier.

h(x ,q ,2)=2∑k=1

q

[(4 sen(π k)π

2 k2 −4

π k)sen(π k x )]+ 4

h(12,∞ ,2)=2∑

k=1

∞

[(4 sen(π k )π

2 k2 −4π k )sen(π k 1

2)]+ 4

h(12,∞ ,2)=2∑

k=1

∞

[( 4∗0

π2 k2 −

4π k )sen(π k 1

2)]+ 4

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h(12,∞ ,2)=2∑

k=1

∞

[(− 4π k )sen(π k

12)]+ 4

h(12,∞ ,2)=−

8π∑k=1

∞

[ 1ksen(π k 1

2)]+ 4

h(12,∞ ,2)=−

8π∑k=1

∞

[ 1ksen( π

2k )]+ 4

k sen(π2 k)1 1

2 0

3 -1

4 0

5 1

6 0

... ...

Vemos que en la sumatoria sólo sobreviven los términos con “k” impar. Como todos los “k” que aparecerán en los infinitos términos de la serie son impares, a cada uno de ellos lo podemos expresar como k = 2m - 1, siendo “m” un número natural. Se realiza, entonces, el cambio de variable k = 2m - 1 .

Antes de reemplazar “k” por su nueva definición, hay que hallar los nuevos extremos de la sumatoria. Si k = 1, entonces m = (k + 1) / 2 = 1, y si “k” tiende a infinito, entonces “m” también tiende a infinito.

Además, es conveniente analizar cómo se simplifica la función sen(x) cuando se utiliza la variable “m”.

sen(π k 12)=sen(π(2m−1)

12)

sen(π2 k)=sen(mπ−π2 )

sen(π2 k )=sen (mπ)cos( π2 )−sen( π2 )cos (mπ) (Por identidad trigonométrica)

sen(π2 k )=0∗0−1∗cos (mπ)

sen(π2 k)=−cos(mπ)

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sen(π2 k )=−[(−1)m]

sen(π2 k)=−[(−1)m]

sen(π2 k )=(−1) [(−1)m]

sen(π2 k )=(−1) [(−1)m]

sen(π2 k)=(−1)m+1

Habíamos quedado en lo siguiente.

h(12,∞ ,2)=−

8π∑k=1

∞

[ 1ksen( π

2k)]+ 4

Que luego del cambio de variable ( k = 2m - 1 ) y las simplificaciones correspondientes, se convierteen la expresión que se muestra a continuación.

h(12,∞ ,2)=−

8π ∑m=1

∞

[ 12m−1

((−1)m+1)]+ 4

h(12,∞ ,2)=−

8π ∑m=1

∞

[ (−1)m+1

2m−1 ]+ 4

Finalmente, las expresiones de J(x = 1/2) y de h(x = 1/2 , q -> ∞) deberán ser iguales.

J( 12,2)=2

h(12,∞ ,2)=−

8π ∑m=1

∞

[ (−1)m+1

2m−1 ]+ 4

J( 12,2)=h(1

2,∞ ,2)

2=−8π ∑m=1

∞

[ (−1)m+1

2m−1 ]+ 4

−2=−8π ∑m=1

∞

[(−1)m+1

2m−1 ]

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π4=∑m=1

∞

[(−1)m+1

2m−1 ]Como el resultado de una serie numérica (suma infinita) no depende del nombre de la variable, se llega a la igualdad del enunciado.

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