TRABAJAMOS LAS COMPETENCIAS DE 3ºDE LA ESO...Proyecto: Clepsidra Matemáticas de 4º ESO C/ La Paz...

Proyecto: Clepsidra Matemáticas de 4º ESO

C/ La Paz nº4 C.P. 38789 Puntagorda Tel.: 922 493 154 Fax: 922 493 465

1

Email: [email protected] Web: www.iespuntagorda.com

PROYECTO CLEPSIDRA

Idea original: Carlos Socorro Morales [email protected]

Adaptación: Nicolás Hernández Rodríguez [email protected]

Tabla de contenido

1. Ficha Proideac (sin acabar) ................................................................................................................. 2

2. Ficha resumen del proyecto ............................................................................................................... 10

2.1. Contenidos a trabajar por fases .................................................................................................. 11

2.2. Actividades de aplicación de los contenidos .............................................................................. 12

3. Proyecto Clepsidra ............................................................................................................................ 15

4. Evaluación. ........................................................................................................................................ 24

4.1. Informe individual a entregar ..................................................................................................... 24

4.2. Rúbrica de evaluación del proyecto ........................................................................................... 25

4.3. Primer examen de contenidos teóricos ....................................................................................... 26

5. Anexos para el proyecto (si fueran necesarios): ................................................................................ 26

mailto:[email protected]




2


1. Ficha Proideac (sin acabar)

Formulario para la tarea

Datos Técnicos IDENTIFICACIÓN

Autor/a (es): Nicolás Manuel Hernández Rodríguez (Idea Original [email protected])

Centro educativo: IES PUNTAGORDA

Etapa: ESO CURSO: 4º ESO Área/Materia (s): MATEMÁTICAS Tipo de situación de aprendizaje: PROYECTO

Título de la situación de aprendizaje: PROYECTO CLEPSIDRA

Justificación de la propuesta y relación con el PE y otros planes, programas y proyectos del centro: Hacer que el alumnado viva el método científico. Para ello, analizaremos el fenómeno de vaciado de un bote lleno de agua al que se le ha practicado un orificio de 2mm de diámetro

en la parte inferior. Además, usaremos los conocimientos atesorados en dicho análisis para construir un reloj de agua, mostrando así la relación ciencia-ingeniería. En todo momento

se reproducirá el entorno real de trabajo de un estudio de ingeniería o laboratorio en cuanto al uso de las TIC y elaboración de informes técnicos.

Proceso de diseño y evaluación de situaciones de

aprendizaje competenciales




3


FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR

Criterio/os de

evaluación

Criterios de calificación CCBB

Insuficiente (1-4) Suficiente/bien (5-6) Notable (7-8) Sobresaliente (9-10) 1 2 3 4 5 6 7 8

1. Resolver problemas

relacionados con la vida

diaria y otras materias del

ámbito académico utilizando

los distintos tipos de números

y operaciones, junto con sus

propiedades, adecuando los

resultados a la precisión

exigida.

Con este criterio se pretende valorar la capacidad del alumnado para resolver problemas que precisen de distintos tipos de números con sus operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. En este nivel adquiere especial importancia observar la capacidad para adecuar la solución (exacta o aproximada) a la precisión exigida en el problema, particularmente cuando se trabaja con potencias, radicales o fracciones.

Resuelve, con cierta dificultad

y con ayuda de otras personas

algunos problemas sencillos

relacionados con la vida diaria

(recibos domésticos, cuentas bancarias, mapas o compra-

venta, etc.) y con otras materias

del ámbito académico

utilizando, con algunos

errores, distintos tipos de

números y realizando operaciones con poca

consciencia de su significado y de sus propiedades. Adopta, con

imprecisiones, algunas estrategias y razonamientos generales para resolver

problemas sencillos y, en pocas

ocasiones, elige la forma de cálculo adecuada (mental,

escrita o con calculadora) a cada

caso. Revisa la coherencia del

resultado obtenido (exacto o

aproximado), siguiendo pautas

detalladas y sólo cuando se le

indica, mostrando poca

perseverancia en la búsqueda

de soluciones alternativas.

Resuelve, con ayuda de pautas

concretas, problemas sencillos relacionados con la vida diaria

(recibos domésticos, cuentas

bancarias, mapas o compra-venta, etc.) y con otras materias

del ámbito académico utilizando

distintos tipos de números y

operaciones, con cierta

precisión y con consciencia de

su significado y de sus propiedades. Adopta, siguiendo

un guión, algunas estrategias y razonamientos generales para

resolver problemas sencillos y

elige, con frecuencia, la forma de cálculo adecuada (mental,


caso. Revisa la coherencia del resultado obtenido (exacto o

aproximado) a partir de

indicaciones para adecuarlo a la

precisión exigida en la situación

planteada, particularmente

cuando se trabaja con potencias, radicales o fracciones,

mostrando casi siempre

perseverancia en la búsqueda de soluciones alternativas.

Resuelve con frecuencia

problemas de poca

complejidad relacionados con

la vida diaria (recibos

domésticos, cuentas bancarias, mapas o compra-venta, etc.) y

con otras materias del ámbito

académico utilizando distintos

tipos de números y operaciones,

de manera correcta y con

consciencia de su significado y de sus propiedades. Adopta

algunas estrategias y razonamientos, a partir de

criterios dados, para resolver

problemas y elige siempre con

acierto la forma de cálculo

adecuada (mental, escrita o con

calculadora) a cada caso. Analiza con autonomía la

coherencia el resultado obtenido

(exacto o aproximado) para

adecuarlo a la precisión exigida

en la situación planteada,

particularmente cuando se trabaja con potencias, radicales

o fracciones, mostrando interés

y perseverancia en la búsqueda de soluciones alternativas.

Resuelve con mucha facilidad

problemas de diversa


la vida diaria (recibos

domésticos, cuentas bancarias, mapas o compra-venta, etc.) y

con otras materias del ámbito

académico utilizando con total

corrección distintos tipos de

números y operaciones, con el

rigor de la notación propia del

lenguaje matemático, siendo

muy consciente de su significado y de sus

propiedades. Adopta diferentes

estrategias y razonamientos para resolver problemas de manera

planificada, y elige siempre y

con criterio propio la forma de cálculo adecuada (mental,


caso. Analiza con detalle la

coherencia del resultado

obtenido (exacto o aproximado)

para adecuarlo a la precisión exigida en la situación

planteada, de manera

totalmente autónoma, particularmente cuando se

trabaja con potencias, radicales

o fracciones, mostrando perseverancia en la búsqueda

de soluciones alternativas.

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CRITERIO DE

EVALUACIÓN INSUFICIENTE (1-4) SUFICIENTE/BIEN (5-6) NOTABLE (7-8) SOBRESALIENTE (9-10)

COMPETENCIAS

1 2 3 4 5 6 7 8

2. Aplicar porcentajes y tasas

a la resolución de problemas

cotidianos y financieros,

utilizar convenientemente la

calculadora científica en las

operaciones con números

reales, expresados en forma

decimal o en notación

científica y valorar la

oportunidad de utilizar la

hoja de cálculo en función de

la cantidad y complejidad de

los números.

Este criterio va dirigido a verificar la capacidad de los alumnos y alumnas para aplicar porcentajes, tasas, aumentos y disminuciones porcentuales a problemas vinculados a situaciones financieras habituales, comprobar el desarrollo de destrezas en el manejo de la calculadora científica para el cálculo de expresiones numéricas, utilizando adecuadamente las funciones de memoria, paréntesis, etc., y a valorar la capacidad de utilizar las tecnologías de la información para realizar los cálculos, cuando sea preciso.

Resuelve, con cierta dificultad

y con ayuda de otras

personas, algunos problemas

sencillos relacionados con la

vida cotidiana y con el ámbito financiero habitual en los que

intervengan tasas, porcentajes,

aumentos y disminuciones porcentuales. Utiliza de

manera imprecisa la

calculadora científica para realizar, con algunos errores,

operaciones sencillas con

números reales, expresados en forma decimal o en notación

científica, empleando, con poca

consciencia, las funciones de memoria, paréntesis, etc., y usa

la hoja de cálculo en función de

la cantidad y complejidad de los números, sólo cuando se le

indica. Explica, de manera

incompleta, algunas de las

principales conclusiones

obtenidas a través de diversos

soportes (textual, gráfico, digital, etc.), participando con

poca implicación personal en

tareas dirigidas a tal fin (presentaciones, exposiciones,

pequeñas investigaciones, etc.).

Resuelve, con ayuda de pautas

concretas, problemas sencillos relacionados con la vida

cotidiana y con el ámbito

financiero habitual en los que intervengan tasas, porcentajes,

aumentos y disminuciones

porcentuales, adoptando, a

partir de un patrón, algunas estrategias y razonamientos

generales. Utiliza con cierta

destreza la calculadora

científica para realizar, sin

imprecisiones relevantes, operaciones con números reales,

expresados en forma decimal o

en notación científica, empleando casi siempre de

manera adecuada las funciones

de memoria, paréntesis, etc., y decide, en situaciones

evidentes, en qué casos es más

apropiado el uso de la hoja de cálculo en función de la

cantidad y complejidad de los

números. Explica, con

brevedad y apoyándose en

diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), las


obtenidas, participando de

manera responsable en tareas dirigidas a tal fin

(presentaciones, exposiciones,


Resuelve con frecuencia

problemas de poca


la vida cotidiana y con el

ámbito financiero habitual en los que intervengan tasas,

porcentajes, aumentos y

disminuciones porcentuales, adoptando algunas estrategias

y razonamientos a partir de

criterios dados. Utiliza con

soltura la calculadora científica

para realizar, con bastante

acierto, operaciones con números reales, expresados en

forma decimal o en notación

científica, empleando adecuadamente las funciones de

memoria, paréntesis, etc., y

decide, de manera autónoma, en qué casos es más apropiado

el uso de la hoja de cálculo en

función de la cantidad y complejidad de los números.

Explica con claridad y de

manera ordenada, apoyándose en diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), el proceso

seguido y las principales conclusiones obtenidas, a través

de la participación activa en

tareas dirigidas a tal fin (presentaciones, exposiciones,


Resuelve con mucha facilidad

problemas de diversa


la vida cotidiana y con el

ámbito financiero habitual en los que intervengan tasas,

porcentajes, aumentos y

disminuciones porcentuales,

eligiendo con criterio propio

diferentes estrategias y

razonamientos. Utiliza con

mucha destreza y precisión la

calculadora científica para

realizar, con total corrección, operaciones con números reales,

expresados en forma decimal o

en notación científica, empleando adecuadamente las

funciones de memoria,

paréntesis, etc., y decide, de

manera autónoma, en qué

casos es más apropiado el uso

de la hoja de cálculo en función de la cantidad y complejidad de

los números. Explica, con

detalle y de manera creativa, apoyándose en diversos

soportes (textual, gráfico,

digital, etc.), todo el proceso

seguido y las conclusiones

obtenidas, con el rigor de la

notación propia del lenguaje

matemático, a través de la

participación en tareas dirigidas

a tal fin (presentaciones, exposiciones, pequeñas

investigaciones, etc.), en las

que muestra gran implicación

personal.

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CRITERIO DE


COMPETENCIAS

1 2 3 4 5 6 7 8

3. Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando métodos numéricos, gráficos o algebraicos, cuando se basen en la utilización de fórmulas conocidas o en el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer o de segundo grado, o de sistemas sencillos de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Se trata de confirmar si el alumnado ha desarrollado la capacidad de comprender la situación planteada en un problema, descubriendo regularidades, pautas y relaciones, aplicar las técnicas de manipulación de expresiones literales, utilizar algún método para encontrar la solución y contrastar el resultado obtenido con la situación de partida. El método algebraico no se plantea como el único método de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos y mediante el uso adecuado de las tecnologías de la información.

Identifica, con cierta

dificultad, algunas

regularidades, pautas y

relaciones evidentes presentes

en situaciones reales que pueden plantearse y resolverse

con fórmulas conocidas o

mediante ecuaciones de primer y segundo grado o sistemas de

ecuaciones lineales de dos

incógnitas, a partir del análisis dirigido de enunciados de

problemas sencillos

relacionados con la vida cotidiana y con otras materias

del ámbito académico. Aplica,

con cierta imprecisión, a pesar

de contar con un modelo,

algunas de las principales técnicas de manipulación de expresiones algebraicas para

resolver, con algunos fallos,

este tipo de ecuaciones y las combina, a partir de pautas

detalladas, con otros métodos

numéricos y gráficos, haciendo, pocas veces, un uso adecuado

de los recursos tecnológicos

(calculadora, aplicaciones informáticas, etc.) empleados en

la resolución de estos

problemas. Contrasta, a partir

de un modelo y de manera

mecánica, el resultado obtenido

con la situación de partida y expone, de manera incompleta

y con su propio vocabulario,

algunas de las principales conclusiones obtenidas y el

proceso seguido en un breve

informe o trabajo sencillo

elaborado a partir de un

guión, mostrando poco interés en la realización de la tarea.

Descubre, con ayuda de un

patrón, regularidades, pautas y relaciones generales presentes

en situaciones reales que

pueden plantearse y resolverse con fórmulas conocidas o

mediante ecuaciones de primer

y segundo grado o sistemas de ecuaciones lineales de dos

incógnitas, a partir del análisis

detallado de enunciados de problemas sencillos

relacionados con la vida

cotidiana y con otras materias del ámbito académico. Aplica, a

partir de un modelo, las

técnicas de manipulación de expresiones algebraicas para

resolver, sin imprecisiones

importantes, este tipo de ecuaciones y las combina,

siguiendo pautas generales, con otros métodos numéricos y gráficos, haciendo con

frecuencia un uso adecuado de

los recursos tecnológicos (calculadora, aplicaciones

informáticas, etc.) empleados en

la resolución de estos problemas. Contrasta, a partir

de indicaciones generales, el

resultado obtenido con la situación de partida,

argumentando con

razonamientos sencillos su

validez, y expone, con algunos

términos básicos del vocabulario específico, las principales conclusiones

obtenidas y el proceso seguido

en un informe o trabajo sencillo

bien elaborado, mostrando

responsabilidad en la

realización de la tarea.

Descubre, con bastante

facilidad, regularidades, pautas y relaciones presentes en

situaciones reales que pueden

plantearse y resolverse con fórmulas conocidas o mediante

ecuaciones de primer y segundo

grado o sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, a

partir del análisis exhaustivo de

enunciados de problemas, de

poca complejidad, relacionados con la vida

cotidiana y con otras materias del ámbito académico. Aplica,

correctamente y con soltura, las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas para

resolver, con bastante

precisión, este tipo de ecuaciones y las combina,

siguiendo rutinas, con otros

métodos numéricos y gráficos, haciendo siempre un uso

adecuado de los recursos

tecnológicos (calculadora, aplicaciones informáticas, etc.)

empleados en la resolución de

estos problemas. Contrasta,

sistemáticamente y a partir de

indicaciones generales, el

resultado obtenido con la situación de partida,

argumentando con claridad y

con razonamientos coherentes

su validez, y expone, con un

léxico preciso, las conclusiones

obtenidas y el proceso seguido en un informe o trabajo bien

estructurado, mostrando

interés y responsabilidad en la realización de la tarea.

Descubre, de manera

autónoma y con mucha

facilidad, regularidades, pautas

y relaciones presentes en

situaciones reales que pueden plantearse y resolverse con

fórmulas conocidas o mediante

ecuaciones de primer y segundo grado o sistemas de ecuaciones

lineales de dos incógnitas, a

partir del análisis pormenorizado de enunciados

de problemas de diversa

complejidad relacionados con la vida cotidiana y con otras

materias del ámbito académico.

Aplica, con total corrección,

las técnicas de manipulación de

expresiones algebraicas para

resolver este tipo de ecuaciones,

utilizando con rigor la


matemático, y las combina,

por iniciativa propia, con otros

métodos numéricos y gráficos,

haciendo siempre un uso adecuado de los recursos

tecnológicos (calculadora,

aplicaciones informáticas, etc.) empleados en la resolución de

estos problemas. Contrasta,

sistemáticamente y de manera

autónoma, el resultado

obtenido con la situación de

partida, argumentando con

claridad y con razonamientos

coherentes su validez, y

expone, con un vocabulario

rico y variado, todas las

conclusiones obtenidas y el

proceso seguido de forma

completa en un informe o

trabajo bien estructurado,

elaborado de forma creativa y

con pautas propias,

mostrando gran implicación

personal en la realización de la tarea.

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CRITERIO DE


COMPETENCIAS

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4. Utilizar instrumentos,

fórmulas y técnicas

apropiadas para obtener

medidas directas e indirectas

en situaciones reales y

producir razonamientos

sobre relaciones y figuras

geométricas en dos y tres

dimensiones.

Se trata de evaluar la capacidad de visualizar, utilizar la modelización y aplicar conceptos y relaciones geométricas en la resolución de problemas en contexto real. Se trata además de valorar si el alumnado calcula magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas, si utiliza los instrumentos de medida disponibles, aplica las fórmulas apropiadas y desarrolla las técnicas y destrezas adecuadas para realizar la medición propuesta en cada caso.

Aplica, con ayuda de otras

personas, algunos conceptos y relaciones geométricas en la

resolución de problemas reales

del mundo físico en los que calcula, siguiendo un patrón y

en casos sencillos, magnitudes

desconocidas a partir de otras conocidas, de forma directa e

indirecta. Utiliza, con poca

precisión, los instrumentos de medida disponibles, aplica rara

vez las fórmulas apropiadas y

desarrolla, con mucha

dificultad, algunas técnicas y

destrezas para realizar, con

algunos errores, el cálculo o la medición propuesta en cada

caso (longitudes, áreas,

volúmenes, etc.), apoyándose, a partir de indicaciones, en

recursos variados (geoplanos,

tangram, programas de geometría dinámica, etc.) que le

permitan contrastar sus trabajos

e investigaciones. Expone, de

manera incompleta, algunas

de las principales conclusiones

obtenidas, a través de diversos soportes (textual, gráfico,

digital, etc.), mostrando poca

implicación personal, e indica,

de manera confusa, algunos

ejemplos conocidos de aplicaciones de los estudios geométricos a situaciones

problema que se presentan en

diversos ámbitos del conocimiento (cultural,

artístico, natural, etc.).

Aplica, a partir de pautas

concretas, conceptos y relaciones geométricas en la

resolución de problemas reales

del mundo físico sencillos en los que calcula, de forma directa

e indirecta, magnitudes

desconocidas a partir de otras conocidas. Utiliza con cierta

destreza los instrumentos de

medida disponibles, aplica casi

siempre las fórmulas

apropiadas y desarrolla,

siguiendo un patrón, algunas técnicas y destrezas adecuadas

para realizar, sin imprecisiones

relevantes, el cálculo o la medición propuesta en cada

caso (longitudes, áreas,

volúmenes, etc.), apoyándose en recursos variados (geoplanos,

tangram, programas de

geometría dinámica, etc.) que le permitan contrastar sus trabajos

e investigaciones. Expone, con

brevedad, las principales conclusiones obtenidas, a través

de diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), y señala,

a partir de ejemplos cercanos,

algunas aplicaciones de los

estudios geométricos a situaciones problema que se

presentan en diversos ámbitos

del conocimiento (cultural, artístico, natural, etc.).

Aplica, siguiendo un modelo

general, conceptos y relaciones geométricas en la resolución de

problemas reales del mundo

físico de poca complejidad en los que calcula, con bastante

corrección, magnitudes

desconocidas a partir de otras conocidas, de forma directa e

indirecta, adoptando algunas

estrategias y razonamientos

dados. Utiliza, con soltura y

bastante precisión los

instrumentos de medida disponibles, aplica con

frecuencia las fórmulas

apropiadas y desarrolla, a

partir de pautas, técnicas y

destrezas adecuadas para

realizar, con bastante acierto, el cálculo o la medición

propuesta en cada caso

(longitudes, áreas, volúmenes, etc.), apoyándose en recursos

variados (geoplanos, tangram,

programas de geometría dinámica, etc.) que le permitan

contrastar sus trabajos e

investigaciones. Expone, con

orden y claridad, una síntesis

del proceso seguido y las

principales conclusiones obtenidas, a través de diversos


digital, etc.), y describe

algunas aplicaciones evidentes

de los estudios geométricos a

situaciones problema que se presentan en diversos ámbitos

del conocimiento (cultural,


Aplica, con criterio propio,

conceptos y relaciones geométricas en la resolución de

problemas reales del mundo

físico de diversa complejidad en los que calcula, de forma

directa e indirecta, magnitudes

desconocidas a partir de otras conocidas, eligiendo diferentes

estrategias y razonamientos. Utiliza, con mucha destreza y

precisión, los instrumentos de

medida disponibles, aplica

rigurosamente las fórmulas apropiadas y desarrolla diversas

técnicas y destrezas adecuadas

para realizar correctamente el cálculo o la medición propuesta

en cada caso (longitudes, áreas,

volúmenes, etc.), apoyándose, de manera autónoma, en

recursos variados (geoplanos,

tangram, programas de geometría dinámica, etc.) que le

permitan contrastar sus trabajos

e investigaciones con

creatividad. Expone, con

detalle, todo el proceso

seguido y las conclusiones obtenidas a través de diversos


digital, etc.) y explica las aplicaciones generales de los

estudios geométricos a

situaciones problema que se presentan en diversos ámbitos

del conocimiento (cultural,


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CRITERIO DE


COMPETENCIAS

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5. Identificar relaciones funcionales en una situación descrita por una gráfica, una tabla, un enunciado o su expresión analítica, identificar el tipo de modelo funcional que representa y obtener información relevante sobre el comportamiento del fenómeno estudiado. Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para identificar relaciones cuantitativas en distintas situaciones, discernir a qué tipo de modelo, lineal, cuadrático, exponencial o proporcional inverso corresponde el fenómeno estudiado y de extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, la interpretación de las tasas de variación a partir de los datos gráficos o numéricos y las tecnologías de la información.

Identifica con dificultad

algunas relaciones funcionales sencillas en ciertas situaciones

muy cercanas descritas en

algunos formatos (gráfica, tabla, etc.) y señala, de manera

guiada, qué tipo de modelo

(lineal o exponencial) representan con imprecisiones.

Analiza el fenómeno estudiado

con ayuda de otras personas, a partir de los datos gráficos o

numéricos y de datos obtenidos

mediante las tecnologías de la información, y extrae algunas

conclusiones muy generales,

con algunos errores

relevantes, que expresa de

manera confusa en un informe

sencillo elaborado con poca

implicación personal,

empleando diversos soportes

(textual, gráfico, digital, etc.),

Identifica relaciones funcionales

sencillas en situaciones

conocidas sobre diferentes

campos temáticos (del entorno

físico o cultural), descritas en

diversos formatos (gráfica,

tabla, enunciado o expresión

analítica) y deduce, siguiendo

un patrón, qué tipo de modelo

representan (lineal, cuadrático,

exponencial o proporcional inversa). Analiza el fenómeno

estudiado, mediante

indicaciones concretas, interpretando las tasas de

variación, con ayuda de otras

personas, a partir de los datos gráficos o numéricos y de las

tecnologías de la información

para extraer las conclusiones razonables más evidentes, que

expresa de manera sintética en

un informe completo elaborado con diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), mostrando

responsabilidad en la realización de la tarea.

Identifica con facilidad

relaciones funcionales en situaciones reales o simuladas

cercanas descritas en diversos

formatos (gráfica, tabla, enunciado o expresión

analítica), y deduce de manera

general, adoptando algunas

estrategias y razonamientos

dados, qué tipo de modelo

representan (lineal, cuadrático, exponencial o proporcional

inversa). Analiza, siguiendo

indicaciones generales, el fenómeno estudiado

interpretando, con bastante

acierto, las tasas de variación a partir de los datos gráficos o

numéricos y de las tecnologías

de la información para extraer conclusiones razonables

generales, que expresa con

orden y claridad en un informe completo elaborado con

diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), mostrando interés y responsabilidad en la

realización de la tarea.

Identifica con facilidad y

precisión relaciones funcionales en distintas

situaciones reales o simuladas

(salud, demografía, etc.)

descritas en diversos formatos

(gráfica, tabla, enunciado o

expresión analítica) y deduce de

manera autónoma qué tipo de

modelo representan (lineal,

cuadrático, exponencial o proporcional inversa), eligiendo

diferentes estrategias y

razonamientos. Analiza con

rigor el fenómeno estudiado,

interpretando correctamente

las tasas de variación, a partir de los datos gráficos o numéricos y

de las tecnologías de la

información para extraer conclusiones razonables, que

expresa con detalle y de

manera organizada en un informe completo elaborado

con gran implicación

personal, empleando diversos soportes (textual, gráfico,

digital, etc.).

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CRITERIO DE


COMPETENCIAS

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8. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias diversas y útiles para la resolución de problemas, y expresar verbalmente y por escrito razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.

Se trata de evaluar la capacidad del alumnado para planificar el camino hacia la resolución de un problema, comprender las relaciones matemáticas que intervienen y elegir y aplicar estrategias y técnicas de resolución aprendidas en los cursos anteriores, confiando en su propia capacidad e intuición. Asimismo, se trata de valorar la precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.

Aplica, con dificultad y con

ayuda de un modelo, algunas estrategias y razonamientos en

la resolución de problemas

sencillos relacionados con contextos cercanos de la vida

real (personal y escolar),

mostrando poca confianza en su capacidad e intuición.

Describe de manera confusa

apoyándose en algún soporte textual, gráfico, digital, etc.,

parte del proceso seguido y

algunas de las principales conclusiones obtenidas en la

resolución de problemas,

utilizando ocasionalmente símbolos básicos del lenguaje

matemático para expresar con

lagunas, verbalmente y por escrito, algunas informaciones

que contengan elementos

numéricos y espaciales, a través de la participación en tareas

individuales o de grupo

(presentaciones, exposiciones, pequeñas investigaciones, etc.)

que realiza con poca

implicación personal.

Planifica, con ayuda de un

modelo, y aplica sin

imprecisiones relevantes diferentes estrategias y

razonamientos, aprendidas en los cursos anteriores, en la

resolución de problemas

sencillos relacionados con contextos conocidos de la vida

cotidiana (personal y escolar),

mostrando a veces confianza en la propia capacidad e intuición.

Explica, de manera general el

proceso seguido y las


obtenidas en la resolución de

problemas, con el apoyo de diversos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), utilizando

con precisión símbolos básicos

del lenguaje matemático para

expresar con brevedad

verbalmente y por escrito, todo tipo de informaciones que

contenga elementos numéricos

y espaciales, a través de la participación en tareas

individuales o de grupo

(presentaciones, exposiciones, pequeñas investigaciones, etc.)

que realiza con

responsabilidad.

Planifica con autonomía y

aplica con bastante acierto diferentes estrategias y

razonamientos, aprendidas en

los cursos anteriores, en la resolución de problemas reales

o simulados del mundo

laboral y la vida diaria (personal, escolar o público),

mostrando con frecuencia

confianza en la propia capacidad e intuición. Explica

con claridad y de manera

ordenada, el proceso seguido y las principales conclusiones

obtenidas en la resolución de

problemas, con el apoyo de distintos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), y utiliza

con precisión la notación

propia del lenguaje

matemático para expresar

verbalmente y por escrito, con

un vocabulario específico,

todo tipo de informaciones que

contenga elementos numéricos y espaciales, a través de la

participación activa en tareas

individuales o de grupo (presentaciones, exposiciones,

pequeñas investigaciones, etc.)

que realiza con iniciativa e

interés.

Planifica, elige con criterio y

aplica correctamente diferentes estrategias y razonamientos,

aprendidas en los cursos

anteriores, en la resolución de problemas complejos

relacionados con diversos

contextos próximos (personal,

escolar, público o profesional),

perseverando en la búsqueda

de soluciones y mostrando siempre confianza en la propia

capacidad e intuición. Explica

con detalle y de manera

creativa, todo el proceso

seguido y las conclusiones

obtenidas en la resolución de problemas, con el apoyo de

distintos soportes (textual,

gráfico, digital, etc.), utilizando con precisión y rigor la


matemático para expresar verbalmente y por escrito, con

un vocabulario rico y variado, todo tipo de informaciones que contengan elementos numéricos

y espaciales, a través de la

participación en diversas tareas individuales o de grupo

(presentaciones, exposiciones,

pequeñas investigaciones, etc.),

en las que muestra gran

implicación personal.

Co

mun

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Cult

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rtís

tica

Ap

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er a

ap

rend

er

Au

tono

mía

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nic

iati

va

per

son

al



9


CONCRECIÓN

Secuencia de actividades Cod. CE Productos / instrumentos

de evaluación Sesiones Agrupamientos Recursos

Espacios /

Contextos

REFERENCIAS, COMENTARIOS Y OBSERVACIONES

Referencias bibliográficas y bibliografía-web

Observaciones y recomendaciones del autor/a para la puesta en práctica.

Propuesta y comentarios de los usuarios/as

*Añadir filas o combinar celdas, si se requiere



10


2. Ficha resumen del proyecto

Nombre del proyecto: CLEPSIDRA (Agua, matemáticas y tiempo) Tarea base

Área principal: Matemáticas

• Familiarización con el bote. • Observación del fenómeno, toma de datos y formulación de hipótesis. • Representación gráfica manual y en hoja de cálculo. • Búsqueda de modelos matemáticos posibles (hipótesis). Exploración mediante modelos • cuadráticos y racionales. • Determinación de modelos mediante sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3. • Selección del mejor modelo mediante la aplicación de parámetros estadísticos a los errores • absolutos y relativos entre datos reales y datos teóricos de los modelos. • Uso del modelo para determinar escala de clepsidra. • Construcción de clepsidra. • Presentación de resultados en clase y al experto.

Otras áreas implicadas: Física y química

Idea principal:

Hacer que el alumnado viva el método científico. Para ello, analizaremos el fenómeno de vaciado de un bote lleno de agua al que se le ha practicado un orificio de 2mm de diámetro en la parte inferior. Además, usaremos los conocimientos atesorados en dicho análisis para construir un reloj de agua, mostrando así la relación ciencia-ingeniería. En todo momento se reproducirá el entorno real de trabajo de un estudio de ingeniería o laboratorio en cuanto al uso de las TIC y elaboración de informes técnicos.

Propuesta guía: ¿Cuál es el secreto del vaciado del agua? ¿Qué relación tiene con las presas? ¿Cómo puedo construir una clepsidra?

Día 0: ¿Cómo lanzar el proyecto?

Participación y colaboración externa:

Tipo de desarrollo: Proyecto guiado con ampliación.

Temporalización: 2 meses, 32 clases.

Contenidos teóricos implicados Tareas de especialización o ampliación

• Geometría del cilindro • Ecuación de primer grado • Ecuación de segundo grado • Media • Error absoluto y relativo

• Funciones cuadráticas, - Funciones racionales • Sistemas 2x2 y 3x3, - Fórmulas • Desviación típica, Hoja de cálculo y software de cálculo simbólico

• Relación entre diámetro del agujero y parámetros del modelo. • Relación entre número de agujeros y parámetros del modelo. • Estudio de caso con distintos líquidos. • Aplicación del vaciado al estudio del tiro horizontal.

Material a entregar por parte del alumnado Observaciones

Individual: • Libreta donde se haya anotado todos los aspectos o contenidos trabajados durante el desarrollo del proyecto. • Carpeta de genérico con las actividades realizadas en el aula de informática.

Grupo: • Vídeo de presentación del proyecto • Informe técnico del proyecto • Diario de aprendizaje • Encuesta del proyecto

• ¿Qué hago con los botes? Lo ideal sería buscar distintos tipos de recipientes. ¿Y si construimos un prisma rectangular de metacrilato? • ¿Metemos tareas de densidad para reforzar la resolución de problemas? • ¿Lo hacemos el Día Escolar de las Matemáticas como demostración en el centro? • ¿Será necesario reservar 3 horas como actividad complementaria para trabajar con el experto?

Evaluación

Durante el proyecto: • Hoja de CCBB (pruebas escritas individuales y grupales, observación, ...). • Fundamentos teóricos.

Al finalizar el proyecto: • Vídeo según rúbrica • Informe según rúbrica

Criterios de evaluación:

Competencias básicas:



11


2.1. Contenidos a trabajar por fases

Fase I: Érase una vez un cilindro de plástico (nuestra botella)...antes de empezar nuestra labor

científica, nos familiarizaremos con el objeto bajo estudio.

Volumen (o capacidad de un cilindro)

Cambio de unidades de volumen. De m3 a cm

3

Cambio de cm3

a litros.

Longitud de una circunferencia. Número pí y aproximaciones por redondeo.

Desarrollo plano del cilindro y prisma.

Superficie lateral y total del cilindro y del prisma.

Escala numérica de un dibujo.

Cálculo del volumen de un cilindro y trabajo sobre la fórmula del volumen. Despejar diferentes variables

de dicha expresión.

Ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Fórmula de la densidad. Despejar las variables de dicha fórmula.

Cálculo de los errores absoluto y relativo así como la media aritmética de dichos errores.

Porcentajes y reglas de tres varias.

FASE 2: Observando el fenómeno de vaciado de un depósito cilíndrico. Toma de datos

Precisión a la hora de dibujar la tira de papel y poner las marcas de manera adecuada.

Toma de datos correctamente, las veces que consideren oportuno.

Razona las respuestas verificando experimentalmente dichas respuestas.

Calcula la velocidad (h=v·t) y el caudal de salida (Volumen) correctamente.

Realiza de manera adecuada y bien presentada la hoja de cálculo.

Defiende los datos a las preguntas que realiza tanto el profesor como el resto de los grupos.

FASE 3: Representar gráficamente los datos obtenidos. ¿Has escuchado alguna vez la frase ''Una

imagen vale más que mil palabras''? Por algo será. Pasar a una representación gráfica puede

ayudarnos a entender mejor el fenómeno y darnos pistas sobre cómo seguir el estudio.

Representación de nube de puntos con escala adecuada, nombrar ejes,…

Uso de hoja de cálculo para realizar gráfico de dispersión con generación de la recta de regresión.

FASE 4: Ha llegado la hora de elaborar nuestra primera hipótesis. ¿Qué está ocurriendo? ¿Seremos

capaces de encontrar una fórmula matemática que “modele” el fenómeno y que permita estimar la

altura conocido el tiempo o el tiempo conocida la altura? ¡Ahora empieza lo fuerte!

Funciones lineales, afines y constantes. Estudio de la pendiente, ordenada en el origen, ...

Funciones cuadráticas. Ecuaciones de segundo grado.

Funciones racionales. Sistemas de ecuaciones (nº de incógnitas n2 de ecuaciones).

Resolución de sistemas de ecuaciones a mano y con software (Iris,…)

Funciones exponenciales.

Representación de las diferentes funciones, tanto a mano como con software, así como el reconocer los

diferentes elementos de dichas funciones.

Realizar un estudio práctico a través de una hoja de cálculo generando la gráfica adecuada a la tabla.



12


2.2. Actividades de aplicación de los contenidos

1) Integración de geometría: Si Nico quiere calcular, de forma aproximada, los metros cúbicos de agua que

caben en el tanque…. Para ello realiza una croquis del mismo y sabiendo además que la altura es de…

metros.

a) ¿Cómo podemos calcular la capacidad (en metros cúbicos) del tanque?

b) ¿Cuántas pipas lleva el estanque?

c) Realiza los cálculos anteriores para el caso de que un estanque sea rectangular.

2) Integración de geometría: En las siguientes latas cabe la misma cantidad de líquido, 236 centímetros

cúbicos, pero una de ellas precisa menos cantidad de material para su construcción:

Foto lata 1: Foto lata 2:

Radio = ….. cm

Altura = ….cm

Radio = …… cm

Altura = …… cm

a) ¿Cuál de las dos latas es la que se hace con menos material?

b) ¿Por qué no se utiliza una u otra lata sino las dos?

3) Integración de geometría(Idea 2º eso ábaco pág. 224): Fíjate en el dibujo y calcula a qué altura subirá el

nivel del agua de un vaso si se echa un cubito de hielo.

Radio = 3 cm

Altura de agua = 9 cm

Radio = 3 cm

Altura = 8.33 cm

a) Ten en cuenta que, cuando se echa un hielo sobre el volumen de agua, nueve partes quedan por debajo del

nivel y una por encima. Nota: Se deben comprobar los datos con el cálculo real mediante una experiencia

4) Integración de geometría (Idea 2º eso ábaco pág. 224): El motor de un coche tiene un

sistema de refrigeración que incluye un recipiente para almacenar el líquido refrigerador

como el de la figura. Calcula, en centímetros cúbicos, los valores máximo y mínimo del

volumen de líquido que debe contener el recipiente para que el motor no corra peligro. Si el

depósito está vacío y se dispone de una botella de litro y medio de líquido, ¿será suficiente

para alcanzar el nivel adecuado?

Ancho = 10 cm, Alto y largo con unas medidas mínimas y máximas.

Nota: hace falta una imagen de un depósito real para poder medir.

2 cm

2 cm



13


5) Representa, en unos mismos ejes, estas funciones indicando la pendiente (m) y la ordenada en el origen (n)

a) b) c) d)

6) La compañía que suministra agua a una urbanización oferta dos posibles tarifas mensuales:

Tarifa A: 5€ fijos más 0.40€/ Tarifa B: 10€ fijos más 0.10€/

Observa la gráfica siguiente:

a) Asigna a cada recta las diferentes tarifas.

b) Completa la siguiente tabla:

Consumo ( ) 0 1 2 3 5 10 15

Tarifa A

Tarifa B

c) Lleva los datos de la tabla anterior a la gráfica y decide a partir de qué consumo mensual es preferible

contratar la Tarifa B.

d) Si la expresión del coste de la tarifa A es , ¿Cuál es la expresión del coste con la tarifa B?

e) Indica cuál es la pendiente y ordenada en el origen en cada una de las expresiones anteriores. Explica qué

significado tienen dichos valores.

7) Dos operadoras de telefonía móvil ofrecen sus servicios con las siguientes tarifas:

Operadora Tarifa fija mensual Coste por minuto

A 20 € 0.10 €

B 0 € 0.15 €

Los precios son exactos, no se practica el redondeo al minuto superior en ningún caso (por ejemplo, si se

consume medio minuto se paga la mitad del coste por minuto).

a) Realiza una tabla que explique el coste en cada una de las operadoras anteriores en función del tiempo.

b) Realiza la representación gráfica de dicha tabla.



14


c) ¿A partir de cuántos minutos de consumo mensual resulta más económica la oferta de A que la de B?

d) Escribe la función del coste de cada operadora.

e) A partir de esas funciones, intenta calcular cuántos minutos hace falta consumir para que haya que pagar

el doble a B que a A

8) Representa las siguientes funciones cuadráticas:

a) b) c)

9) En las anteriores parábolas, señala sobre la gráfica los siguientes elementos: Vértice, eje de simetría,

puntos de corte con el eje X, punto de corte con el eje Y.

10) Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa (hipérbolas):

a)

b)

c)

d)

11) Representa las siguientes funciones exponenciales:

a) b)

c) d)

12) Analiza en cada nube de puntos a qué tipo de función se refiere (función lineal, cuadrática, exponencial o

hiperbólica).

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3 -100

-50

0

50

100

150

200

-10 -5 0 5 10 15

-1,000

-0,500

0,000

0,500

1,000

1,500

-15 -10 -5 0 5 10

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 5 10 15 20



15


3. Proyecto Clepsidra

Antes de empezar, recuerda los pasos para resolver un problema. (Según las bases científicas)

Paso 1: Lee atentamente el enunciado. Asegúrate de que lo entiendes.

Paso 2: Identifica los datos que te dan. ¿Te falta alguno? ¿Te sobra alguno?

Paso 3: Identifica las variables desconocidas. Puede haber varias.

Paso 4: ¿Existe alguna relación entre los datos y las variables desconocidas? Escríbela. Traza un

plan que te permita llegar a los valores de las variables desconocidas (gráficos, fórmulas,

ecuaciones, operaciones,...).

Paso 5: Realiza los cálculos necesarios y comenta cada uno de los pasos que hayas dado.

Paso 6: Redacta un pequeño informe o comentario sobre la solución del problema. Cuidado porque

un problema puede tener solución matemática y no tener solución real...

Paso 7: Comprueba los cálculos y los resultados. ¿Se te ocurre otra forma de resolverlo?

1) Observa atentamente la botella de agua que tienes en tu mano::

a) Averigua, usando una regla y una cinta métrica, su capacidad en litros. Anota como has realizado el

proceso explicando los pasos seguidos para ello. Expresa el resultado en centímetro cúbicos ( )

b) Toma tu calculadora y averigua el valor de nuestro amigo . Demuestra que es aproximadamente 3.1

utilizando para ello tu botella y que . Imagina que no lo sabes, ¿cómo puedes aproximar

su valor? Aproxima dicho valor hasta las milésimas (con tres cifras decimales).

2) Sabiendo todo lo que sabes y realizando el esbozo o dibujo cuando sea posible:

a) ¿Qué cantidad de agua cabría en la botella si la llenásemos hasta los 15cm de altura?

b) Expresa la cantidad anterior en litros y en cm³.

c) ¿Será más o menos de una botella pequeña de agua de la cafetería?

d) Si vacías un cuarto de litro del envase anterior, ¿a qué altura se situaría el nivel del agua?

e) ¿Qué cantidad de agua cabe en una sección horizontal de 1 cm de alto?

f) Estima la altura de un cilindro de radio 4.5 cm y volumen 3500.37 cm³.

Fase 1: Érase una vez un cilindro de plástico (nuestra botella)...antes de empezar nuestra labor

científica, nos familiarizaremos con el objeto bajo estudio.

“Los relojes de agua o clepsidras datan de la antigüedad egipcia y se usaban especialmente durante la noche, cuando los relojes de sol perdían su utilidad. Los primeros relojes de agua consistieron en una vasija cerámica que contenía agua hasta cierto nivel, con un orificio en la base de un tamaño adecuado para asegurar la salida del líquido a una velocidad determinada y, por lo tanto, en un tiempo prefijado. El recipiente disponía en su interior de varias marcas de tal suerte que el nivel de agua indicaba los diferentes periodos, tanto diarios como nocturnos. Los relojes de agua también se usaron en los tribunales atenienses para señalar el tiempo asignado a los oradores. Cuentan que el filósofo Platón inventó un reloj de agua muy eficiente. Más tarde fueron introducidos en los tribunales de Roma, con el mismo fin. Además, se usaban en las campañas militares para señalar las guardias nocturnas. El reloj de agua egipcio, más o menos modificado, siguió siendo el instrumento más eficiente para medir el tiempo durante muchos siglos. Gracias a su estudio durante esa época se pudieron

hacer nuevos avances en los relojes “ Fuente: Wikipedia



16


g) ¿Te cabría en dos botellas como las que tienes en la mano?

h) ¿Cuántas necesitas?, ¿Cuánto sobra para la última botella si las dos primeras están llenas?

i) ¿A qué altura se queda la última botella?

j) Estima el radio de un cilindro de altura 30 cm y 3,390 litros de capacidad máxima.

Sugerencia: Debes comprobar que los cálculos de los apartados a), b), c), d), e), g) se encuentran bien

realizados de manera experimental.

3) Utilizando una caja de cartón para obtener el desarrollo de un prisma y la cantidad de cartón que necesitamos.

4) Sabiendo que la botella vacía y sin tapa pesa __________:

a) Calcula la superficie lateral de la botella y dibuja el desarrollo plano del cilindro bajo estudio.

b) Una vez tengas el plano del cilindro dibujado, realiza el plano a escala 1:5, poniendo las medidas reales.

c) ¿Cuál es la fórmula del área de la base y área lateral del desarrollo del plano de la botella? Razona

d) ¿Cuánto pesa el plástico utilizado para la base?

e) ¿Y para la superficie lateral?

f) Calcula la cantidad de plástico utilizado en la construcción de dicha botella.

g) Averigua cuánto pesa un cm² del plástico usado en su construcción. Ten en cuenta que la altura total es de

…..... Explica detalladamente los pasos realizados.

h) ¿Cuál es la fórmula que nos da el área Total de un cilindro (o una botella) sin tapa?

i) ¿De qué variables depende el Área total?

j) Despeja la variable “h”. ¿Para qué se puede usar esa fórmula?

k) ¿Cuántas botellas iguales a la que tienes podemos fabricar con un metro cuadrado de plástico?

5) Explicación del concepto de densidad:

La densidad

de un material es una magnitud referida a la cantidad de masa contenida

en un determinado volumen. En la práctica diaria, un objeto pequeño y pesado, como una piedra o un trozo

de plomo, es más denso que un objeto grande y liviano, como un corcho o un poco de espuma. (Fuente:

Wikipedia).

Ejemplo: La densidad de un objeto de 14 cm³ de volumen y 45 gramos de peso se calcula utilizando la

fórmula anterior:

o

aproximadamente

Llena la botella de agua hasta una altura que puedas medir y anota las siguientes mediciones:

a) Altura alcanzada del agua.

b) Peso de la botella más el agua.

c) Aplicando la fórmula de la densidad, calcula la densidad de agua. No te olvides de poner las unidades.

d) Averigua la densidad real del agua (utiliza un buscador de internet), ¿Por qué crees que no nos ha dado lo

que nos debería dar?. Intenta dar las explicaciones para aclarar por qué cometemos dicho error.

e) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido en el apartado anterior. Utiliza para ello las

siguientes fórmulas:

o Error absoluto:

o Error relativo:



17


f) Rellena la siguiente tabla, utilizando para ello los datos de todos los grupos.

Densidad del agua Error absoluto Error relativo

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Media total

g) Explica con tus palabras el significado de los dos errores que podemos cometer en cualquier medición.

h) ¿Qué valor de la densidad es mejor tomar de los que se encuentran en la tabla anterior?

6) Anota los datos que te piden en la siguiente tabla. Después añade cierta cantidad de agua en la botella y

sumerge el vaso de cristal vacío, anotando el resto de medidas:

Antes de sumergir el vaso Después de sumergir el vaso

Nivel del agua

Peso total

a) ¿Cuál es la masa del vaso?

b) ¿Cuál es el volumen del vaso?

c) ¿Cuál es la densidad del cristal del vaso?

d) ¿Qué relación tiene este problema con Arquímedes y la expresión ‘‘¡Eureka!''? Realiza una breve

explicación de dicha expresión expresándolo con tus propias palabras. Si no la conoces, a la red.

e) Elige la respuesta apropiada:

o ''El cristal del vaso usado es (más o menos) denso que el agua''.

o ''El cristal del vaso es un_____% más denso que el agua''.

Pega una tira de papel milimetrado del tamaño que tu botella te lo permita sobre el lateral del depósito,

ajustándola al extremo inferior y al del borde superior. Practica un orificio con la broca que te deja tu

profesor a la altura 0 cm y lima cuidadosamente las imperfecciones generadas. No deben quedar restos de

plástico que dificulten la posterior salida del agua. Posteriormente, tapa dicho orificio con cinta adhesiva.

Ése será el comienzo de nuestro estudio...

Llena el envase hasta la altura máxima en la escala que has pegado. Destapa el orificio y deja que el agua

vaya saliendo. Pon en marcha el cronómetro cuando el nivel del agua llegue a 1 cm menos del que marca la

escala, así tendrás tiempo de prepararte...

7) Junto a tu equipo, realiza la siguiente toma de datos y rellena una tabla como la que sigue. Sería conveniente

dividir el trabajo entre los miembros del grupo (medidor/a de tiempo, medidor/a de altura, anotador/a) antes

de comenzar el experimento.

FASE 2: Observando el fenómeno de vaciado de un depósito cilíndrico. Toma de datos.



18


Toma de datos Cálculo posterior en clase

t = tiempo

( s )

h = altura

(cm)

Velocidad de descenso del nivel de agua

(cm/s)

Caudal de salida

(cm³/s)

t = 0

…. …. …. ….

8) Realiza la toma de datos por lo menos 3 veces (o las veces que consideres oportuno), anotando en cada caso

los datos en una tabla similar a la anterior.

9) Contesta razonadamente a las siguientes preguntas (Para responder correctamente debes realizar el

experimento y comprobar tus respuestas):

a) ¿Sale el agua siempre a la misma velocidad?

b) ¿De qué forma influye la altura del nivel de agua en la velocidad de salida? ¿A qué crees que es debido?

c) Calcula la tercera columna y la cuarta columna de la tabla anterior: ¿Qué relación crees que existe entre

las variables “velocidad de descenso del nivel de agua (cm/s)”, “altura o nivel de agua (cm)” y “caudal de

salida (cm³/s)”? Trata de explicarlo de forma cualitativa (con palabras).

d) ¿A qué velocidad media desciende el nivel de agua de los 21 a los 20 cm? ¿Y de los 7 a los 6 cm?

10) Pasamos a realizar las tablas de valores en una hoja de cálculo para poder visualizar mejor los datos de todos

los grupos. Al realizar la puesta en común de la toma de datos y nos damos cuenta que a todos los grupos nos

dan resultados diferentes.

a) ¿Cuáles crees que han sido las principales fuentes de error en los procesos de toma de datos?

b) ¿Qué otras fuentes de error nos solemos encontrar en cualquier trabajo científico/matemático?

11) Representa los datos recogidos en la tabla anterior en un diagrama cartesiano ''Altura y tiempo''. Usa papel

milimetrado o papel de cuadritos. Antes de empezar a realizar la gráfica, piensa detenidamente qué escala

deberías usar.

a) ¿Qué forma tienen esos puntos?

b) ¿Es una recta o curva?

c) ¿Qué conclusiones extraes?

d) ¿Qué otro tipo de gráficas puedes realizar utilizando la tabla anterior?

12) En el aula de informática, utilizando una hoja de cálculo (Excel, Calc,...)

a) Crea una hoja de cálculo con los datos de la tabla anterior.

b) Genera un gráfico del tipo nube de puntos (XY Dispersión).

c) Genera la llamada recta de regresión que se ajusta a dichos datos.

d) ¿Puede realmente ser una función afín o lineal (recta) la que modele el fenómeno?

FASE 3: Representar gráficamente los datos obtenidos. ¿Has escuchado alguna vez la frase ''Una imagen vale más

que mil palabras''? Por algo será. Pasar a una representación gráfica puede ayudarnos a entender mejor el

fenómeno y darnos pistas sobre cómo seguir el estudio.



19


13) ¿Y si fuéramos capaces de comprender los conceptos físicos que hay detrás del fenómeno? ¿Y si fuéramos

capaces de deducir la fórmula matemática que relaciona las variables en juego? A veces esto puede ser

complicado... En esta temprana etapa de nuestra “vida científica” empezaremos dándole un enfoque

alternativo:

¿Seremos capaces de encontrar una fórmula matemática que se ajuste a los datos obtenidos? Las alternativas

son muchas: rectas (afines, lineales o constantes), cuadráticas, racionales, exponenciales,...

o Investiga los 4 tipos de funciones que se nombran y explícale a tus compañeros un tipo diferente.

o Anotaremos dicha información en la sección de “Teoría de nuestra libreta…..”.

a) ¿Puede realmente ser una función afín o lineal la que modele el fenómeno? Razona tu respuesta.

b) ¿Y una función cuadrática? Razona tu respuesta.

14) Probaremos con una Función Racional. En general, las funciones racionales se definen como el cociente de

dos polinomios P(x)/Q(x), siendo Q(x) no nulo. Tenemos los siguientes ejemplos:

a) Representa las funciones anteriores utilizando algún software de representación.

b) ¿Qué conclusión extraes?

c) ¿Podríamos aprovechar algún trozo para ajustarlo a nuestra curva?

d) Ahora que conoces este tipo de funciones, trata de ajustar el siguiente modelo racional a la nube de

puntos obtenida tras la observación. ¿Qué herramienta matemática crees que hay que usar para averiguar

los valores de los parámetros “a”, “b” y “c”?

Modelo o función base Parámetros a ajustar Función resultante

a,b,c

0

5

10

15

20

25

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Alt

ura

de

l agu

a (c

m)

Tiempo (segundos)

Modelo lineal de Clepsidra de Nico

Altura

Lineal

FASE 4: Ha llegado la hora de elaborar nuestra primera hipótesis. ¿Qué está ocurriendo? ¿Seremos capaces de

encontrar una fórmula matemática que “modele” el fenómeno y que permita estimar la altura conocido el tiempo o

el tiempo conocida la altura? ¡Ahora empieza lo fuerte!



20


e) Resuelve el sistema

utilizando algún software (WIRIS, MAXIMA,…) para

averiguar los parámetros a,b,c. Ya sabes un método rápido para resolver sistemas...

15) Representa gráficamente, en papel milimetrado, dichas funciones sobre la nube de puntos original de forma

que se aprecie con claridad hasta qué punto son buenos modelos. Usa diferentes colores.

16) Apliquemos las nuevas tecnologías. Verás que, además, nos permitirá realizar unos cálculos muy interesantes

de forma rápida... Usa una hoja de cálculo, preferentemente Excel, para realizar la representación gráfica

anterior.

a) Además, añade dos columnas de datos adicionales que muestren el error absoluto y relativo cometido por

los modelos en cada uno de los puntos estudiados

b) Calcula el error medio para cada modelo de estimación. Hazlo también con la hoja de cálculo.

c) ¿Nos vale este modelo?

d) En el caso de Nico la función encontrada fue

y claramente proporcionaba una “burda”

aproximación del fenómeno, A continuación se presenta la hoja de cálculo realizado por uno de los

grupos, con el tiempo (segundos), Altura real (en cm), Altura con la función racional (en cm), el error

absoluto y error relativo así como la media de los errores y su gráfica respectiva.

Ea=|Vreal-Vaprox| Er=Ea/Vreal

Tiempo Altura Racional Error absoluto Error relativo

0 21 21,00 0,00 0,00

11 20 19,98 0,02 0,00

23 19 18,92 0,08 0,00

37 18 17,76 0,24 0,01

50 17 16,74 0,26 0,02

63 16 15,78 0,22 0,01

78 15 14,73 0,27 0,02

93 14 13,75 0,25 0,02

109 13 12,76 0,24 0,02

124 12 11,88 0,12 0,01

140 11 11,00 0,00 0,00

158 10 10,07 0,07 0,01

176 9 9,20 0,20 0,02

197 8 8,24 0,24 0,03

218 7 7,35 0,35 0,05

240 6 6,47 0,47 0,08

267 5 5,48 0,48 0,10

293 4 4,59 0,59 0,15

326 3 3,55 0,55 0,18

366 2 2,41 0,41 0,21

420 1 1,05 0,05 0,05

Media: 0,26 0,05



21


Comentario para el profesorado: Tratar con las funciones racionales nos llevó a contenidos que en un principio

no pensaba abordar... Pero la idea de límite surgió rápidamente y, cómo no, ya que estábamos: ¿y si vemos cómo

calcular los límites con ? Y lo vimos... y les gustó, sobre todo cuando se dieron cuenta de que ya eran

capaces de enfrentarse a pruebas tipo P.A.U. de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (con sistemas

de 3x3 y problemas de funciones racionales con límites incluidos). Toda esta época fue eficazmente reforzada

con un intenso trabajo en los foros donde, entre todos ellos/as, resolvieron y construyeron toda una batería de

problemas resueltos de diferentes niveles de complejidad sobre sistemas de ecuaciones y funciones racionales...

17) Ahora usaremos la Función Cuadrática, . Repite el proceso anterior usando este modelo.

Compara los resultados.

Ea=|Vreal-Vaprox| Er=Ea/Vreal

Tiempo Altura Cuadrático Error absoluto Error

relativo

0 21 21,00 0,00 0,00

11 20 20,09 0,09 0,00

23 19 19,13 0,13 0,01

37 18 18,03 0,03 0,00

50 17 17,05 0,05 0,00

63 16 16,09 0,09 0,01

78 15 15,02 0,02 0,00

93 14 13,99 0,01 0,00

109 13 12,93 0,07 0,01

124 12 11,97 0,03 0,00

140 11 11,00 0,00 0,00

158 10 9,96 0,04 0,00

176 9 8,97 0,03 0,00

0

5

10

15

20

25

-30 20 70 120 170 220 270 320 370 420

Alt

ura

del

agu

a (c

entí

met

ros)

Tiempo (segundos)

Modelo racional de Clepsidra de Nico

Altura

Racional



22


197 8 7,88 0,12 0,01

218 7 6,87 0,13 0,02

240 6 5,90 0,10 0,02

267 5 4,81 0,19 0,04

293 4 3,88 0,12 0,03

326 3 2,87 0,13 0,04

366 2 1,89 0,11 0,06

420 1 0,99 0,01 0,01

Media: 0,08 0,01

Comentario para el profesor: ¡Genial! Los chicos/as descubrieron que se ajustaba a un modelo cuadrático y

que el error cometido era prácticamente despreciable... ¡Qué satisfacción! Era la primera vez que MODELABAN

la realidad. No faltaron las llamadas telefónicas de varias madres y padres. ¡No era para menos, hasta yo estaba

emocionado! En cuanto al modelo cuadrático, nos apoyamos en los pares:

(t,h) (0,21) (140,11) (420,1) obteniendo:

Al igual que en la fase anterior, el alumnado tuvo que recurrir a la “TEORÍA DE NUESTRA LIBRETA”:

“Funciones Cuadráticas”

“Ecuaciones de segundo grado”

Terminábamos así nuestra fase científica y se abría la fase ingenieril... ¡Construyamos un reloj de agua!. A

continuación podemos observar los resultados obtenidos por los chicos/as con el modelo cuadrático y que tanto

dio que hablar en el centro...

COMENTARIOS: La fase ingenieril fue la guinda del pastel. En ella, el alumnado construyó una nueva escala

en la que cada división o marca se correspondía con un intervalo de tiempo de 20 segundos. Para hacerlo,

simplemente recurrieron al modelo

, sustituyendo t=0, 20, 40, ... La puesta en escena fue fantástica...

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500

Alt

ura

de

l agu

a (c

en

tím

etr

os)

Tiempo (segundos)

Modelo cuadrático de Clepsidra

Altura

Cuadrático



23


18) Cada grupo debe repetir el proceso completo utilizando una botella más grande o diferente a la trabajada

anteriormente. Debe realizar el estudio a partir de la Fase II, realizando el modelado que considere oportuno,

apoyándose en software matemático (Excel, wiris, …), construyendo así su propio reloj de agua, acompañado

del correspondiente informe científico-técnico del fenómeno de vaciado.

19) A la vez que se va realizando dicho proceso, se debe realizar un video grabando los elementos que consideres

oportuno para componer posteriormente un video explicando el procedimiento llevado a cabo durante todo el

proceso.

Fórmulas necesarias

Longitud de una

circunferencia: Paso de litros a pipas 1 pipa = 481 litros

Área de un círculo:

Volumen de un cilindro:

Densidad de un objeto

Paso de litros a

Tabla de densidades

Aire 1.29

Dióxido de

carbono 1.98

Agua 1000

Aluminio 2700

Mercurio 13600

Cambio de unidades en Canarias: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/static/almacen_01.pdf

PRODUCTO FINAL: Construimos nuestro propio reloj de agua.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/static/almacen_01.pdf



24


4. Evaluación.

4.1. Informe individual a entregar

Informe final individual a entregar por parte de todo el alumnado debe tener al menos los siguientes apartados:

1) Escribe con tu grupo de trabajo un párrafo describiendo este experimento donde expresarán qué aprendieron sobre el modelaje matemático del evento que tu grupo colaborativo llevó a cabo.

2) ¿Crees que el agua fluirá de forma constante a través del orificio? Explica por qué. 3) ¿Crees que el agua fluirá de forma variable a través del orificio? Explica por qué. 4) Dibuja un esquema general de la gráfica de una posible relación entre la altura del agua y el tiempo, según éste transcurre.

Identifica claramente el eje horizontal y el eje vertical. Escribe la unidad de medida correspondiente en cada uno de los ejes. a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es unidad de medida que le corresponde? b) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la unidad de medida que le corresponde? c) ¿Es función la relación que existe entre la variable dependiente y la independiente? Explica razonadamente.

5) Modelo Lineal (Trabajo Grupal) a) Escriba la ecuación del modelo lineal generado por el excel mediante la regresión lineal. La forma general es y=mx+n. De

acuerdo al experimento realizado: b) ¿qué representa la y de esa ecuación? c) ¿qué representa la x de esa ecuación? d) ¿qué representa la m de esa ecuación? e) ¿qué representa la n de esa ecuación? f) ¿Qué valores puede tomar la variable y? Ese es el dominio. g) ¿Qué valores puede tomar la variable x? Ese es el recorrido (rango, imagen) de este modelo. h) ¿Qué parte de la gráfica generada por el excel al graficar la ecuación (función) lineal no se debe considerar como parte de la

gráfica del modelo lineal? Justifique su contestación.

6) Modelo Cuadrático (Trabajo Grupal) a) Escribe la ecuación del modelo cuadrático generado por el excel mediante la regresión cuadrática. La forma general es

.De acuerdo al experimento realizado: a b) ¿qué representa la y de esa ecuación? c) ¿qué representa la x de esa ecuación? d) ¿qué representa la a de esa ecuación? e) ¿con qué relacionas ala de esa ecuación? f) ¿con qué relacionas la b de esa ecuación? g) ¿Qué parte de la gráfica generada por el excel al graficar la ecuación (función) cuadrática no se debe considerar como parte

de la gráfica del modelo cuadrático? Justifica tu contestación. 7) Toma como base las tres gráficas generadas por la calculadora. En tu opinión, ¿cuál de los dos modelos generados representa

mejor los datos recopilados? Justifica tu contestación.



25


4.2. Rúbrica de evaluación del proyecto

La valoración de los ítems en el proyecto Armagedón sigue la forma siguiente:

Alto Suma un punto Medio Suma medio punto Bajo No suma nada

La nota se calcula aplicando una regla de tres con los puntos obtenidos sobre el total.

La tabla que el profesor va rellenando en el transcurso del trabajo del proyecto es la siguiente:

Preparación del trabajo

Cada miembro del grupo trabaja apoyándose entre ellos.

Traen el material necesario para realizar el trabajo.

Utilizan el tiempo en clase de manera adecuada.

Aspectos globales del trabajo Exactitud en el uso de los aparatos de medida.

Corrección de los resultados ante los posibles errores.

Espíritu investigador.

Toma de decisiones adecuadas.

Organización del grupo.

Trabajo día a día adecuado.

Modelado de la situación.

Presentación del informe final

Limpieza en general.

El formato del trabajo es adecuado y legible.

Cuadros, gráficos,... adecuados.

Portada.

Ortografía.

Signos de puntuación.

Vocabulario.

Bibliografía.

Extensión.

Valoración global

Entrega el trabajo el día señalado.

Originalidad.

Capacidad de síntesis: Resumen final.

Extrae algunas conclusiones finales de ampliación.

Puntuación total:

Nota final del proyecto:



26


4.3. Primer examen de contenidos teóricos

1)

2)

3)

4)

5. Anexos para el proyecto (si fueran necesarios):

TRABAJAMOS LAS COMPETENCIAS DE 3ºDE LA ESO...Proyecto: Clepsidra Matemáticas de 4º ESO C/ La Paz...

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