El circuito de la figura 1 esta formado por una inductancia (L), resistencia (R), y capacitancia (faradios). Aplicando las leyes de Kirchhoff al sistema se tiene:

Ldidt

+Ri+ 1C∫ idt=e i(1)

1C∫ idt=eo(2)

Tomando la transformada de Laplace de (1) y (2), suponiendo que las condiciones iniciales es cero se tiene:

LsI (s )+RI (s )+ 1C1sI ( s )=Ei(s)

1C1sI (s )=Eo(s)

Si e i y eoson la entrada y salida respectivamente, la función de transferencia es:

Eo(s)Ei(s)

= 1LC s2+RCs+1

(3)

Representación en el espacio de estados:

Para obtener un modelo en el espacio de estados para la figura 1. Primero, se observa que la ecuación diferencial para el sistema se obtiene a partir de (3) como:

eo+RLeo+

1LCeo=

1LCe i

Luego, se define la variable de estado mediante:

x1=eo

x2=eo

Y las variables de entrada y salida mediante:

u=ei

y=eo=x1

Se obtiene:

[ x1x2]=[ 0 1−1LC

−RL ][ x1x2]+[ 01LC ]u

y= [1 0 ] [ x1x2]Las dos últimas ecuaciones representan un modelo matemático del sistema en el espacio de estados.

Funciones de transferencia de elementos en cascada.

La mayoría de los sistemas realimentados tienen componentes que se cargan uno al otro.

El circuito de la figura 2 se supone que e i y eo son la entrada y salida respectivamente. Los capacitores C1 y C2 no cambian inicialmente. En la segunda etapa la parte de R2C2 produce un efecto de carga en la primera etapa R1C1. Las ecuaciones para este sistema son:

1C∫ ( i1−i2 )dt+R1i1=e1(4)

1C∫ ( i2−i1 )dt+R2i2+

1C2

∫ i2dt=0(5)

1C2

∫ i2dt=eo(6)

Aplicamos la transformada de Laplace de las ecuaciones 4, 5, 6 y con las condiciones iniciales de cero, se obtiene:

1C1 s

[ I 1 ( s )−I 2(s)]+R1 I 1 (s )=E i ( s)(7)

1C1 s

[ I 2 ( s )−I1(s)]+R2 I2 (s )+ 1C2 s

I 2 ( s)=0(8)

1C2 s

I 2 ( s )=Eo (s )(9)

Si se elimina I 1 ( s) de las ecuaciones 7 y 8 y se escribe Ei (s ) en términos de I 2 ( s), se encuentra que la función de transferencia es:

Eo(s)Ei(s)

= 1R1C1R2C2 s

2+(R1C1+R2C2+R1C2 ) s+1(10)

El término R1C2 s representa la interacción de dos circuitos RC sencillos. Como

(R1C1+R2C2+R1C2)2>4 R1C1 R2C2 las dos raíces de denominador son reales.

Nota: Si tenemos dos circuitos conectados en cascada (salida del primer circuito es la entrada del segundo) la función de transferencia no es el producto de la función de transferencia de cada circuito, esto se debe a que cuando se obtiene la función de transferencia para un circuito aislado, se supone implícitamente que la salida no está cargada. Sin embargo cuando se conecta el siguiente circuito a la salida del primero, se entrega cierta cantidad de potencia. Si la función de transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposición de que no hay carga. La suposición no es válida. El grado del efecto de carga determina la cantidad de modificación de la función de transferencia

Impedancias complejas:

Muchas de las veces resulta conveniente escribir las ecuaciones transformadas mediante el método de Laplace, en vez de expresarlas como ecuaciones diferenciales. Considerando el sistema de la figura 3a en donde Z1 y Z2 representan impedancia complejas. La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente entre E(s), la transformada de Laplace del voltaje a través de los terminales, e I(s), la transformada de Laplace de la corriente a través del elemento, suponiendo que las condiciones iniciales son cero; por lo tanto: Z (s)=E(s)/ I (s). Si los elementos de dos terminales son una R, C o una L, la impedancia compleja se obtiene mediante R ,1/Cso Ls respectivamente.

Nota: el enfoque de impedancias complejas únicamente es válida para condiciones iniciales iguales a cero.

Para el circuito de la figura 3b. Supóngase que los voltajes e i y eo son la entrada y salida del circuito respectivamente. Por lo tanto la función de transferencia es:

Eo(s)Ei(s)

=Z2(s)

Z1(s)+Z2(s)

Para el sistema de la figura 1

Z1 (s )=Ls+R ,Z2=1Cs

Por lo tanto la función de transferencia Eo(s)Ei(s)

se encuentra del modo siguiente:

Eo(s)Ei(s)

=

1Cs

Ls+R+1Cs

=1

LC s2+RCs+1

Que es idéntica a la ecuación 3

Ejemplo:

Considérese el sistema de la figura 2. Obténgase la función de transferencia utilizando la aproximación de la impedancia compleja. Los condensadores C1y C2 no están cargados inicialmente.

Solución:

Z2 I 1=(Z3+Z4 ) I 2 , I1+ I 2=I

Se obtiene:

I 1=Z3+Z 4

Z2+Z3+Z4I , I 2=

Z2Z2+Z3+Z4

I

Obsérvese que:

Ei(s)=Z1 I+Z2 I1=[Z1+ Z2 (Z3+Z4 )Z2+Z3+Z4 ]I

Eo ( s)=Z4 I 2=Z2Z4

Z2+Z3+Z4I

Se tiene:

Eo ( s )Ei(s)

=Z2Z4

Z1 (Z2+Z3+Z 4 )+Z2 (Z3+Z4 )

Si se sustituye Z1=R1 , Z2=1/C1 s ,Z3=R2 y Z4=1/ (C2 s ) en esta última ecuación se obtiene:

Eo (s )Ei (s )

= 1R1C1R2C2 s

2+(R1C1+R2C2+R1C2 ) s+1

Que es la misma que se mostró en la ecuación 10

Funciones de transferencia de elementos en cascada sin carga:

Para este caso la función de transferencia se obtiene eliminando la entrada y la salida intermedias. Por ejemplo la función de trasferencia para los elementos el circuito de la figura 5 es:

G1 (s )=X2(s)X1(s)

y G2 ( s)=X3(s)X2(s)

Si la impedancia de entrada del segundo elemento es infinita, la salida del primer elemento no se modifica si se conecta al segundo. En este caso, la función de transferencia del sistema completo se convierte en:

G (s )=X3(s)X1(s)

=X2(s)X3(s )X1(s)X2(s)

=G1 (s )G2 ( s)

Por lo tanto la función de transferencia del sistema completo es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales.

La inserción de un amplificador de aislamiento entre los circuitos para obtener características sin carga se usa a menudo cuando se combinan circuitos. Los amplificadores poseen impedancias de entrada muy altas por ende la inserción de un amplificador entre los dos circuitos justifica la suposición de que no hay carga.

Controladores electrónicos

La gran mayoría de controladores electrónicos usan amplificadores operacionales por ende comenzaremos definiendo que es un amplificador operacional:

Amplificadores operacionales (Amp op): los amplificadores operacionales son circuitos usados para amplificar las señales de los circuitos sensores. También se utilizan en filtros para compensación. Es una práctica común seleccionar la tierra como 0 volts y medir los voltajes de entrada e1 y e2 en relación a ella. La entrada e1 hacia la terminal negativa del amplificador esta invertida y la entrada e2 hacia la terminal positiva no lo está. Por consiguiente la entrada del amplificador se concierte en e2−e1 de este modo para el circuito de la figura 3.28 se tiene:

eo=K (E2−e1 )=−K (e1−e2 )

Donde las entradas e1 y e2 pueden ser señales de cd o ca y K la ganancia de voltaje. La ganancia de K es, aproximadamente, de 105 106 para las señales de cd y ca que tienen frecuencias menores a 10Hz. Nótese que el Amp op amplifica la diferencia entre los voltajes e1 y e2, este amplificador se conoce como amplificador diferencial. Debido a que la ganancia del amplificador es muy alta, es necesario tener una realimentación negativa de la salida hacia la entrada para hacer estable el amplificador.

En un Amp op ideal no fluyen corrientes en los terminales de entrada y el voltaje de salida no se afectado por la carga conectada al terminal de salida.