SECCION 3.6 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

ANGIE RAMIREZ

CATERINE RAMIREZ

ANGELICA BALAGUERA

ABEL RIVERA

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSARIO

CUCUTA

2015

SECCION 3.6 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

ANGIE RAMIREZ - 1090473803

CATERINE RAMIREZ -

ANGELICA BALAGUERA -

ABEL RIVERA -

ENTREGADO A: OSCAR VALBUENA

MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA SEDE VILLA DEL ROSARIO

CUCUTA

2015

UNA CLASIFICACION DE LOS OSCILADORES ARMONICO

Ahora podemos contar la historia completa acerca de los soluciones de la ecuacin de segundo orden

Que modela los osciladores armnicos (entre otras cosas), y al hacerlo as tendremos ocasin de usar el mtodo de la conjetura afortunada y el del plano fase. Antes de comenzar nuestro anlisis, es importante sealar que la masa m y la constante de resorte k son siempre positivas, pero que la constante de amortiguamiento b puede ser cero o positiva. Si , no tenemos amortiguamiento y se dice que el oscilador no es amortiguado.

1. OSCILADOR ARMONICO SIN AMORTIGUAMIENTO

La ecuacin de segundo orden para este caso es simplemente

Y el polinomio caracterstico es

Como y son positivos, los eigenvalores son . Esta raiz cuadrada aparece con tanta frecuencia que se escribe comunmente como

Por tanto, tenemos soluciones complejas de la forma

Tanto la parte real como la imaginaria de esta expresion son soluciones de la ecuacion, por lo que la solucion general es

Cada una de esas funciones es una funcion periodica cuyo intervalo es (vease el ejercicio 22 de la seccion 3.4)

Calculando , obtenemos a forma vectorial de la solucion

Cada una de estas soluciones genera una elipse en el plano fase que comienza en el punto y viaja alredeor del origen en el sentido de las manecillas del reloj.

En termionos del sistema real no amortiguado mesa-resorte, esos trazos nos dicen que la masa permanece en reposo para siempre, o bien oscila alrededor de su posicion de reposo sin asentarse jamas. Sin amortiguamiento, el sistema masa-resorte oscila para siempre con la misma amplitud y periodo. Esta comportamiento regular es por lo que los relojes son hechos a menudo con resortes. Este comportamiento regular es por lo que los relojes son hechos a menudo con resortes. Por supuesto, los sistemas fisicos tienen algun amortiguamiento, lo que explica por que a los relojes hay que darles cuerda con cierta frecuencia.

Este tipo de movimiento se llama movimiento armonico simple. Una observacion interesante acerca de este es que el periodo del movimiento es determinado solo por y . Por tanto, el periodo es independiente de la condicion inicial (y en consecuencia de la amplitud del movimiento).

2. OSCILADOR ARMONICO CON AMORTIGUAMIENTO

Si se tiene amortiguamiento presente, el sistema masa- resorte se comporta de varias maneras diferentes, dependiendo de las races de la ecuacin caracterstica para la ecuacin de oscilador armnico.

La ecuacin caracterstica es:

Con races dadas por la formula cuadrtica

Hay entonces tres posibilidades para las races de la ecuacin caractersticas:

Si b es pequea respecto a 4km (o ms precisamente, si - 4km0) entonces tenemos races complejas. La parte real e esas races es b/ (2m), que siempre es negativa. En este caso, se dice que el oscilador armnico es subamortiguado.

Si - 4km0, habr dos races reales y distintas para esta ecuacin. En este caso se dice que el oscilador es sobreamortiguado.

Si - 4km=0, tenemos races repetidas y se dice que el oscilador es crticamente amortiguado

EJEMPLO:

Un oscilador armnico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es 0 = 15 rad/s y cuyo parmetro de amortiguamiento es = 9 s1, se encuentra inicialmente en reposo en la posicin de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm/s. Para este sistema se pide.

a. Expresar la elongacin del oscilador en funcin del tiempo.

b. Calcular el mximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posicin de equilibrio.

c. Calcular el tiempo que debera transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0,1 % del valor mximo anteriormente calculado.

SOLUCIN

Planteamiento En este problema debemos trabajar con las ecuaciones que describen el movimiento oscilatorio amortiguado (MA):

X(t) = A0 e t sin(t + )

A = A0 e t

= q 2 0 2

E = E0 e 2t = E0 e t/

2 0 = k m, 2 = b m = 1 , f = 2 , T = 1 f = 2 .

Donde A0 y E0 son la amplitud y energa inicial del movimiento, el parmetro de amortiguamiento, el tiempo de relajacin de la energa, la frecuencia del oscilador amortiguado, 0 la frecuencia natural del oscilador (sin amortiguamiento), la fase inicial, k es la constante elstica de la fuerza recuperadora (F = k x), m la masa de la partcula, b es el coeficiente de amortiguamiento que aparece en la fuerza de rozamiento viscosa que amortigua el movimiento (Fr = b v) y T y f el periodo y la frecuencia del movimiento.

a. Expresar la elongacin del oscilador en funcin del tiempo

Para determinar x(t) necesito evaluar A0, y .

La fase inicial se puede obtener imponiendo que x(0) = 0:

x(0) = A0 e t sin(t + ) = 0 sin() = 0 = 0

La frecuencia angular del movimiento se puede calcular directamente con los datos del problema:

= q 2 0 2 = 12 rad/s

v(t) = dx dt = A0 e t cos(t) A0 e t sin(t)

v(0) = A0

Por lo tanto, sustituyendo los datos del problema:

A0 = v(0) = v(0) p 2 0 2 = 0,05 m

x(t) = 0,05 e 9t sin(12 t) (en m y s)

b. Calcular el mximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posicin de equilibrio.

Igualando a cero la velocidad:

v(t) = dx dt = A0 e t( cos(t) sin(t)) = 0

cos(t) = sin(t) tan(t) =

t = tan1 t = 1 tan1 = 0,0772 s

xmax = 0,05 e90,0772 sin(12 0,0772) = 0,01995 m

c. Calcular el tiempo que debera transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0,1 % del valor mximo anteriormente calculado.

Queremos ahora que la amplitud de las oscilaciones (A0 et) sea el 0,1 % de xmax:

x = xmax 0,001 = 1,99 105 m

x = A0 e t t = ln(x/A0) t = 1 ln x A0

Sustituyendo el valor calculado para x (0,001 xmax) queda:

t = 0,869 s

2.1 UN OSCILADOR SUBAMORTIGUADO

Si es relativamente pequeo pero no nulo, las races de la ecuacin caracterstica son complejas con partes reales negativas. Esperamos que el sistema se mueva en espiral en el plano fase con correspondientes oscilaciones en las grficas y(t).

Por ejemplo, si m=1, b=0.2, y k=1.01, la ecuacin de segundo orden para el movimiento del oscilador es.

Y las races del polinomio caracterstico son:

En consecuencia, la solucin compleja es

Y la solucin general es

Esas soluciones tienen un periodo natural de 2, pero la amplitud de las oscilaciones decae con el tiempo. El movimiento correspondiente del resorte es la familiar oscilacin alrededor de la posicin del reposo, pero la amplitud sucesiva de estas decrece conforme t se incremente.

Solucin en el plano fase y grficas y(t) y v(t) para el oscilador armnico subamortiguado.

2.2 UN OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO

Si el amortiguamiento del sistema masa-resorte es relativa mente grande, esperamos un comportamiento algo distinto para el movimiento de la masa. Por ejemplo, si el sistema es sumergido en un recipiente con crema de cacahuate, difcilmente podramos esperar que la masa oscilante alrededor de su posicin de reposo como en el caso su amortiguado.

Por ejemplo, el polinomio caracterstico del oscilador armnico modelado por

+3

Es

Ambos eingenvalores son reales o negativos como consecuencia, todas las soluciones de esta ecuacin tiende a la posicin de reposo de la masa conforme pasa el tiempo.

Pero porque tienden a esta posicin? , para responder eso podramos escribir la solucin general de la ecuacin del segundo orden. Sin embargo, como la respuesta que buscamos una ecuacin cualitativa del movimiento oscilador.

El sistema correspondiente a la ecuacin del segundo orden de segundo orden anterior es

)

Supongamos que v1 es un eigenvector del eigenvalor (), v2 es un eigenvector asociado con el eigenvalor (

Una curva de solucin tiene condicin inicia

(y0, v0) = (3, 0) y la otra (y0, v0)= (-0.25, 3)

Y (t) y v (t) = (0, 3) y (t) Y V (t) = (-0.25, 3)

2.3 UN OSCILADOR CRITICAMENTE AMORTIGUADO

Si el coeficiente de amortiguamiento y la constante de resorte satisfacen la ecuacin

Entonces la ecuacin caracterstica slo tiene una raz, s = - b/(2m).

Como sabemos, esta condicin divide los retratos fase donde ellas no se mueven en espiral hacia el origen (sumidero espiral) de los retratos fase donde ellas no se mueven en espiral. Llamamos a este oscilador crticamente amortiguado porque un pequeo cambio en la constante de amortiguamiento es mnima, la masa oscila al acercarse a su posicin de reposo. Incrementarlo nos lleva al caso sobreamortiguado, donde no hay posibilidad de oscilacin.

Por ejemplo, suponga que consideramos un oscilador armnico con masa m = 1 y constante de resorte k = 2, y que tomamos en cuenta diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento b. Entonces, la ecuacin de segundo orden que modela a este oscilador es

La races de la ecuacin caracterstica

Y en consecuencia, son complejas si y reales si y se repiten cuando si

Como hemos analizado hemos analizado los casos no crticos, nos concentraremos en el caso en que si Entonces, sabemos que el sistema tiene slo un eigenvalor s y que es una solucin de esta ecuacin. Para encontrar la solucin general, necesitamos otra que no sea un mltiplo de y por tanto volvemos al mtodo de la conjetura afortunada.

Pero cul ser la segunda conjetura? Del polinomio caracterstico, sabemos que la conjetura natural, y (t) = no ser una solucin a menos que Para determinar recordamos el caso de los eigenvalores repetidos para sistemas.

Recuerde que encontramos que la solucin general contiene trminos de la forma

Para algn vector V. Por tanto, conjeturamos una solucin de la forma ( podemos comprobarla sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuacin de segundo orden, obteniendo

(-2)+2)+2t

La solucin general es entonces

+