CURSO DE PROBABILIDAD

GUILLERMO MANUEL DIAZ MERLANOCC. 1.102.846.284

DOCENTE: FRANCISCO PEREIRA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA(UNAD)

COROZAL-SUCRE21/09/2013

Ejercicio 1: Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares ¿De cuántas formas pueden sentarse?

Definición de permutación: “Considere un conjunto de elementos S = {a,b,c}. Una permutación de los elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. Así:

abc acb bac bca cab cba

son las permutaciones de los elementos del conjunto S y son en total 6 posibles acomodos. Esto es:

3!= 3× 2×1 = 6

El número de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementos distintos, tomados todos de una vez, se denota por n!”

Desarrollo: Como las 4 mujeres se sentarán en los sitios pares, ocuparían las posiciones 2,4,6,8, por lo tanto las mujeres se pueden sentar de n! formas. (Es el numero de permutación de 4 elementos), los hombres ocuparían los 5 puestos que quedan, entonces podrían sentarse de 5! Formas, así el número de ordenación que piden seria:

4!*5!=2880

Ejercicio 2: Cuánto números de cuatro cifras pueden formarse con 10 dígitos, si:

a. Los números pueden repetirse.

b. Los números no pueden repetirse.

c. El último número ha de ser cero y los números no pueden repetirse.

Desarrollo: a. la primera cifra puede ser cualquiera de los 10 números a excepción de 0, ya que un numero como 0234 sería igual a 234, por lo tanto no sería numero de 4 cifras, entonces tendríamos para la primera cifra un número total de 9 posibles valores.

9

Para la 2da cifra tendríamos 10 posibles valores, ya que el 0 si se incluye, por que un numero como 1034 si es de 4 cifras.

9 10

Igualmente será para todas las casillas siguientes

9 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Pero como solo nos interesan 4 cuatro primeras cifras entonces tendríamos:

9 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Entonces tendríamos 9*10*10*10= 9000 números de 4 cifras.

b. La primera cifra puede ser cualquiera de los 10 numero a excepción del 0, osea 9

9

Para la 2da casilla tendríamos que restar el valor de la 1era cifra e incluir el 0, entonces tendríamos 9 posibles valores para la 2da casilla o 2do digito.

9 9

Para la 3ra casilla serian 8 dígitos y para la 4ta 7 dígitos, hay que ir restando uno en cada casilla por que no se deben repetir.

9 9 8 7

Entonces 9*9*8*7= 4536 números de 4 cifras

c. en este, la casilla 4ta la ocupará el cero, así que es similar al punto b, solo que hay que restarle 1 a cada casilla posterior a la primera, quedaría así

9*8*7*1= 504 números de 4 cifras

Ejercicio 3: Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos? si,

a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos

b. solamente los libros de matemáticas deben estar juntos

Desarrollo: a. Analizamos los grupos de libros por separado:

4 Libros de matemática = 4!6 Libros de física = 6!2 Libros de química = 2!

Así que 4!*6!*2! = 34560 este resultado corresponde a las posibles combinaciones que tendría los libros si no se intercambian los grupos, ahora hay que multiplicarlo por la permuta de los grupos, son 3 grupos así que tendríamos 3!

34560 * 3! = 207360 ordenamientos posibles.

b. Como solo los libros de matematicas deben estar juntos, tomaremos al resto como un grupo, así los libros de química y matematica formaran un grupo, 6+2=8, entonces 8!.

Como solo son 2 grupos, ya no seria 3! Sino 2!, entonces

4!*8!*2! = 1935360 ordenamientos posibles.

Ejercicio 4: ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

Desarrollo: Para entender mejor el ejercicio, una lotería primitiva consiste en elegir 6 números diferentes entre 1 a 49, con el objetivo de acertar la combinación correspondiente.

Es combinación, (496 ) = 13983816

Ejercicio 5: ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?

Desarrollo: quedarían 10 jugadores para 10 posibles posiciones.

10! = 3628800

Un equipo de futbol con 11 jugadores tiene 362800 posibles formas para ocupar las posiciones, sabiendo que el arquero ya está definido y no puede tomar otra posición.

Ejercicio 6: Sean los eventos A, B tales que P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.1, encuentre

a) P(A|B)

b) P(B|A)

c) P(A|A∪B)

d) P(A|A∩B)

e) P(A∩B|A∪B)

Desarrollo:

a) P(A|B) = P ( A∩B )P (B )

=0.10.3

=0.33=33%

b) P(B|A) = P (A∩B)P(A)

=0.10.4

=0.25=25%

c) P(A|A∪B) = P (A∩(A∪B))P(A∪B)

= P(A)P ( A )+P (B )−P (A∩B)

= 0.40.4+0.3−0.1

=0.40.6

=0.67=67%

d) P(A|A∩B) = P ¿¿e) P((A∩B ¿|(A∪B)) =

P ((A∩B)∩(A∪B))P(A∪B)

= P(A∩B)P ( A )+P (B )−P(A∩B)

= 0.10.4+0.3−0.1

=0.10.6

=0.167=16.7%

Ejercicio 7: En un club de amigos, 10 practican tenis, 7 practican fútbol, 4 practican ambos deportes y los restantes 5 no practican algún deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la probabilidad que,

a) Al menos practique un deporte

b) No practique tenis

c) Practique tenis y no practique fútbol

d) Practique tenis dado que no practica fútbol

Desarrollo: Para facilitar el cálculo completamos el cuadro de probabilidades:

Practica Futbol (B)

No Practica Futbol (BC)

Practica Tenis(A) 4 6 10

No practica Tenis (AC) 3 5 8

7 11 18

a) P(A∪B)= P(A)+P(B) – P(A∩B)

P(A) =1018

=0,555

P(B)=718

=0,388

P(A∩B)= 418

=0,222

P(A∪B)= P(A)+P(B) – P(A∩B)= 0,555 + 0,388 + 0,222 = 0,721= 72,1%

b) P(A¿¿C )¿=818

=0,444 = 44,4%

c) P(A∩BC)= 618

=0,333 = 33,3%

d) P( A ¿ BC )= P(A∩BBC)P(BC)

=

131118

=1833

=0.54

Ejercicio 8: En una granja se tiene que la probabilidad que un animal tenga la gripe aviar es 0.3. La probabilidad que la reacción a una prueba sea negativa para un animal sano es 0.9, y que sea positiva para un animal enfermo es 0.8

a) Calcule la probabilidad que para un animal elegido al azar, el examen sea positivo

b) Calcule la probabilidad que el animal elegido al azar esté enfermo, dado que el examen fue positivo

Desarrollo: P(G)=0.3 P(S)=0.7P(n¿ S)=0.9 P(p¿ S)=0.1P(p¿G)=0.8 P(n¿G)=0.9

a) P(p¿G)=P ( p∩G )P (G )

→P (n∩G )=P (G )∗P (p|G )

P (p )∗P (G )=P (G )∗P( p∨G)

P (p )=P (p|G )=0.8

b) P (G|p )= P(G∩ p)P( p)

=0.3∗0.80.8

=0.3

Ejercicio 9: En el último año de una clase de bachillerato con 100 estudiantes, 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia; 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, 7 historia pero ni matemáticas ni psicología, 10 las tres materias y 8 no tomaron ninguna de las tres. Si se selecciona al azar un estudiante, encuentre la probabilidad de que

a) una persona inscrita en psicología curse las tres materias.

b) una persona que no se inscribió en psicología curse historia y matemáticas

Desarrollo: Para el resolver el siguiente ejercicio y entenderlo mejor, realicé el siguiente diagrama de venn:

M=MatemáticaH=Historia

P=Psicología

a. Las personas que ven las 3 materias son 10 y las que están en psicología son 68, luego la probabilidad seria:

P(A)= 1068

=0.147=14 .7%

b. Los no inscritos en psicología son 100-68=32Los que cursan solo matemática e Historia son 12, serían 22 pero como 10 de ellos cursan psicología entonces 22-10=12, luego la probabilidad sería:

P=1232

=38=0.375=37.5%

Ejercicio 10: Una compañía de alimentos planea realizar un experimento a fin de comparar su marca de té con la de dos competidores. Se contrata una sola persona para probar cada una de tres marcas de té, las cuales no tienen marca excepto por los símbolos de identificación A, B y C. Si el catador no tiene la capacidad para distinguir la diferencia de sabor entre las marca de té,

¿Cuál es la probabilidad de que el catador clasifique el té tipo A como el más deseable?

¿Cuál es la probabilidad de que lo clasifique como el menos deseable?

Desarrollo: a. Tenemos la misma probabilidad para cada uno de los té, así que:

P(A)=13=0.333=33.3%

b. como el problema del catador es que no diferencia el sabor, todas las marcas tienen las mismas posibilidades de ser catalogadas como menos deseable

P(B)=13=0.333=33.3%

Ejercicio 11: Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca C es de 1/7, Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que contraiga la enfermedad? ¿Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?

Desarrollo: a. se inocula un virus escogiendo un tubo de ensayo al azar

sea:

E: el animal está enfermo

hay 10 tubos, la probabilidad de tomar cada uno de los tubos es

P(a) = 310

=0.323

P(b) =210

=0.2

P(c) = 510

=0.5

ahora las probabilidades de infectarse para cada uno de los virus, después de haber sido inoculado escogiendo un tubo de ensayo de cada tipo de virus, son:

P(E | A) · P(A) = 3/10 · 1/3 = 1 / 10

P(E | B) · P(B) = 2/10 · 2/3 = 4 / 30

P(E | C) · P(C) = 5/10 · 1/7 = 5 / 70

P(E) = 1/10 + 4/30 + 5/70 = 30,48%

buscamos

P(C | E) = P(E | C) · P(C) / P(E) = 5/70 / 30,48% = 23,43%