ALGEBRA LINEAL

Trabajo Colaborativo No. 2

Grupo: 100408_175

Presentado Por:

MAURICIO PATIÑO CAMARGO_ 79914320

JIMMY FERNEY CHAMBO CARO_79951320 MAURICIO RAMIREZ PITA_ 79912529

TUTOR:

IVAN FERNANDO AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

MAYO DE 2012

INTRODUCCIÓN

Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que

son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se

presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.

En la unidad 2 del programa de Algebra Lineal se aborda la resolución de sistemas

de ecuaciones lineales de forma gráfica y de forma analítica, viéndose en este

último caso los tres métodos conocidos de resolución de sistemas: sustitución,

igualación y reducción. Estos métodos nos permiten a la vez afrontar el

planteamiento y resolución de problemas diversos.

Se hace un reconocimiento general de la unidad 2 del curso de álgebra lineal, y se

presentan una serie de ejercicios desarrollados para aplicar dichos conocimientos.

OBJETIVOS

- Aplicar el método de Gauss Jordan para solucionar sistemas de ecuaciones

lineales.

- Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la

unidad 2 del programa de Algebra Lineal.

- Comprender los fundamentos teóricos de los sistemas lineales, rectas,

planos y los principios de espacio vectorial, a través del estudio, análisis y

solución de diferentes ejercicios.

- Conocer los sistemas de ecuaciones lineales, sus aplicaciones y solucionar

dichos sistemas a través de la práctica.

DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1 -x -4y-7z = -12

5x – 7y -3z = -5

-8x + 5y +6z= 3

-1 -4 -7 -12

5 -7 -3 -5 , Ahora llevemos la matriz a su forma escalonada

-8 5 6 3

-1 f1 1 4 7 12

5 -7 -3 -5

-8 5 6 3

5f1-f2 1 4 7 12

0 27 38 65

-8 5 6 3

8f1+ f3 1 4 7 12

0 27 38 65

0 37 62 99

F2/ 27 1 4 7 12

0 1 38/27 65/27

0 37 62 99

4F2+ f1 1 0 37/27 64/27

0 1 38/27 65/27

0 37 62 99

-37f1+ f3 1 0 37/27 64/27

0 1 38/27 65/27

0 0 268/27 268/27

27

268𝑓3 1 0 37/27 64/27

0 1 38/27 65/27

0 0 1 1

−38

27𝑓3 + 𝑓2 1 0 37/27 64/27

0 1 0 1

0 0 1 1

−37

27𝑓3 + 𝑓1 1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

Donde:

X= 1

Y= 1

Z = 1

1.2 3x - y - z + 4w= -10

8x –-3y -z – 2w= -18

3 -1 -1 4 10

8 -3 -1 -2 -18

F1/3 1 −1

3

−1

3

4

3

10

3

8 -3 -1 -2 -18

-8 f1+f2 1 −1

3

−1

3

4

3

10

3

0 −1

3

5

3

−38

3

−134

3

-3 f2 1 −1

3

−1

3

4

3

10

3

0 1 -5 38 134

1

3 f2+f1 1 0 -2 14 48

0 1 -5 38 134

La ecuación quedaría de la siguiente forma:

X – 2z + 14w = 48

Y – 5z + 38w=134

Despejamos x,y respectivamente y las ecuaciones poseen múltiples soluciones:

X= 48+ 2z- 14w

Y= 134+ 5z -38w

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el

método que prefiera para hallar 𝐴−1).

𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = −8 3𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 = −7 −5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −2

Solución Encontremos el determinante

𝐷𝑒𝑡𝐴 = 1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1

= 227

1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1

1 0 00 1 00 0 1

𝑓2 − 3𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 19−5 2 1

1 0 0−3 1 0 0 0 1

𝑓3 + 5𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 190 − 3 − 34

1 0 0−3 1 0 5 0 1

−1

5 𝑓2

1 − 1 − 7

0 1 19

5

0 − 3 − 34

1 0 03

5

−1

5 0

5 0 1

𝑓3 + 3𝑓2

1 − 1 − 7

0 1 19

5

0 0 −227

5

1 0 03

5

−1

5 0

34

5

−3

5 1

−5

227 𝑓3

1 − 1 − 7

0 1 19

5

0 0 1

1 0 03

5

−1

5 0

34

227

−3

227

−5

227

𝑓2 + 19

5 𝑓3

1 − 1 − 70 1 00 0 1

1 0 07

227

−34

227

−19

227

34

227

−3

227

−5

227

𝑓1 + 𝑓2

1 0 − 7

0 1 00 0 1

234

227

−34

227

−19

2277

227

−34

227

−19

227

34

227

−3

227

−5

227

𝑓1 + 7𝑓3

1 0 0

0 1 00 0 1

−4

227

−13

227

−54

2277

227

−34

227

−19

227

34

227

−3

227

−5

227

𝐴−1 =

−4

227

−13

227

−54

2277

227

−34

227

−19

227

34

227

−3

227

−5

227

−4

227

−13

227

−54

2277

227

−34

227

−19

227

34

227

−3

227

−5

227

231220261

𝑥 =231

227

𝑦 =220

227

𝑧 =261

227

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧

3.1. Las ecuaciones simétricas de la recta son:

𝑥 − 7

−8=

𝑦 + 1

6=

𝑧 − 1

−4

Las ecuaciones paramétricas de la recta son

𝑖 : 𝑥 = −8𝑡 + 7

𝑗 : 𝑦 = 6𝑡 − 1

𝑘 : 𝑧 = −4𝑡 + 1

3.2

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5,3, −7 y el 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 + 7𝑘

𝑥 = 5 + 3𝑡

𝑦 = 3 − 4𝑡

𝑧 = −7 + 7𝑡

𝐋𝐚𝐬 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚

𝐋𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐚 𝐭 𝐞 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬.

𝑥 − 5

3=

𝑦 − 3

−4=

𝑧 + 7

7

4.

Solución

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑄 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑄𝑅

𝑃𝑄 = 5 + 8 𝑖 + −4 − 5 𝑗 + −8 − 0 𝑘

𝑃𝑄 = 13𝑖 − 9𝑗 − 8𝑘

𝑃𝑅 = −3 + 8 𝑖 + −5 − 5 𝑗 + 1 − 0 𝑘

𝑃𝑅 = 5𝑖 − 10𝑗 + 1𝑘

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑃𝑄 𝑦 𝑃𝑅 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.

𝑃𝑄 𝑋𝑃𝑅 = 𝑖 𝑗 𝑘

13 −9 −85 −10 1

→ 𝑖 −9 −8−10 1

− 𝑗 13 −85 1

+ 𝑘 13 −95 −10

−89𝑖 − 53𝑗 − 85𝑘

𝑇𝑜𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−3,−5,1)

𝜋1: −89 𝑥 + 3 − 53 𝑦 + 5 − 85 𝑧 − 1

𝜋1: −89𝑥 − 267 − 53𝑦 − 265 − 85𝑧 + 85 = 0

𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 267 + 265 − 85

𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 447

𝑆𝑒𝑎 𝜋 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒

𝜋: −5 𝑥 + 7 − 2 𝑦 + 8 + 6 𝑧 + 8 = 0

𝜋: −5𝑥 − 35 − 2𝑦 − 16 + 6𝑧 + 48 = 0

𝜋: −5𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 3

𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜

𝐷𝑒 𝜋1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = 1𝑖 − 5𝑗 − 8𝑘

𝐷𝑒 𝜋2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = −2𝑖 − 5𝑗 − 7𝑘

𝑛 𝑋𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘1 −5 −8

−2 −5 −7 → 𝑖

−5 −8−5 −7

− 𝑗 1 −8

−2 −7 + 𝑘

1 −5−2 −5

−5𝑖 + 23𝑗 − 15𝑘 ≠ 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 Por lo tanto los planos no son paralelos.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑐𝑖ó𝑛

1 −5 −8−2 −5 −7

109

2𝑓1 + 𝑓2 = 𝑓2 1 −5 −80 −15 −23

1029

−1

15𝑓2 = 𝑓2

1 −5 −8

0 123

15

10

−29

15

5𝑓2 + 𝑓1 = 𝑓1 1 0

−1

3

0 123

15

1

3−29

15

𝐷𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 −1

3𝑧 =

1

3 𝑦 +

23

15𝑧 =

−29

15

𝑥 =1

3+

1

3𝑧 𝑦 =

−29

15−

23

15𝑧 z=z Si hacemos z = t, se tienen las

ecuaciones paramétricas de la recta donde se interceptan los dos planos.

𝑥 =1

3+

1

3𝑡 ; 𝑦 =

−29

15−

23

15𝑡 ; z=t

CONCLUCIONES

Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y

ejercicios de la Unidad 2, sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su

funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.

BIBLIOGRAFIA

ZUÑIGA, CAMILO ALBERTO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. MODULO ALGEBRA LINEAL. Bogotá D.C. 2010

http://intranet.iesmediterraneo.es/filesintranet

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/matrices/index.html

http://html.rincondelvago.com/matrices-y-determinantes.html