Trabajo de a Pascualito
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ESTADISTTICA GENERAL
TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
I. OPERACIONES INICIALES - OBTENCIÓN DE LOS INTERVALOS.
1. Sean las siguientes cifras, los pesos en Kg de los alumnos del segundo año delETSUNP de la Escuela de Contabilidad, en el que se han evaluado a 100 (n=100)alumnos:
64.5 53.9 48.7 57.6 78.7
64.9 74.6 64.5 54.9 54.7
57.4 68.2 57.6 64.5 68.4
69.7 64.6 64.8 72.5 72.3
80.1 64.9 72.8 73.5 80.572.4 48.6 54.6 72.4 64.0
54.6 52.4 75.6 76.8 72.4
57.8 49.8 54.3 64.5 60.4
62.8 54.6 72.0 64.5 72.4
49.8 76.2 82.2 62.5 78.6
52.6 58.5 54.8 62.1 84.0
53.7 85.2 64.6 68.4 64.6
53.9 67.3 57.6 72.0 58.0
61.8 68.5 68.4 67.4 54.6
78.8 72.6 78.6 67.0 58.9
83.4 48.8 80.0 81.2 62.1
78.6 52.4 78.9 74.1 72.1
72.8 65.9 67.3 78.4 54.6
62.5 72.6 58.6 62.3 68.6
58.4 80.3 59.6 64.2 63.3
2. Lo siguiente es ordenar los datos en sentido creciente es decir del menor dato al mayor dato.
48.6 57.4 64.0 68.4 74.6
48.7 57.6 64.2 68.4 75.6
48.8 57.6 64.5 68.5 76.2
49.8 57.6 64.5 68.6 76.8
49.8 57.8 64.5 69.7 78.4
52.4 58.0 64.5 72.0 78.6
52.4 58.4 64.5 72.0 78.6
52.6 58.5 64.6 72.1 78.6
53.7 58.6 64.6 72.3 78.7
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ESTADISTTICA GENERAL
53.9 58.9 64.6 72.4 78.8
53.9 59.6 64.8 72.4 78.9
54.3 60.4 64.9 72.4 80.0
54.6 61.8 64.9 72.4 80.1
54.6 62.1 65.9 72.5 80.3
54.6 62.1 67.0 72.6 80.5
54.6 62.3 67.3 72.6 81.2
54.6 62.5 67.3 72.8 82.2
54.7 62.5 67.4 72.8 83.4
54.8 62.8 68.2 73.5 84.0
54.9 63.3 68.4 74.1 85.2
3. Buscamos su valor máximo y su valor mínimo
Vmax = 85.2
Vmin = 48.6
4. Hallamos el número de intervalos utilizando la fórmula de Sturges:
K = 1 + 3.3 log(n)
Donde: K = Numero de intervalos o clasesn = Numero de datos (tamaño de la muestra)
En nuestro ejercicio:
n = 100
En la formula tenemos:
K = 1 + 3.3 log (100) log 100 = 2K = 1 + 3.3 x 2K = 1 + 6.6
K = 7.6Redondeando el valor obtenemos que:
5. Ahora calcularemos el Rango o extensión de los datos que se denota con la letra “R”, sufórmula es:
K = 8
R = Valor máximo – Valor mínimo
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ESTADISTTICA GENERAL
Entonces: R = 85.2 – 48.6
R = 36.6
Entonces el Rango o extensión es 36.6
6. Calculamos el ancho o amplitud de cada intervalo que se representa con la letra “C”,este ancho de intervalo se obtiene mediante la fórmula:
Aplicando los datos en la formula tenemos:
Redondearemos a 4.58
7. Luego el nuevo Rango, será:
Entonces tenemos:
7. Teniendo en cuenta que este recorrido es mayor que el recorrido original, buscaremos elexceso:
Entonces tenemos:
Para buscar la simetría de la distribución de los datos, deberemos repartir este exceso alos dos extremos del recorrido original, mitad para cada lado, ,restamos – 0.02 al valor mínimo y sumamos + 0.02 al valor máximo.
C = R/ K
C = 36.6 / 8
C= 4.575
R’ = C * K
R’ = 4.58 * 8
R’= 36.64
E = R’ - R
E = 36.64 - 36.6
E= 0.02
0.04 / 2 = 0.02
Xmin = 48.6 - 0.02 = 48.58
Xmáx = 85.2 + 0.02 = 85.22
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ESTADISTTICA GENERAL
8. Ahora elaboraremos la columna matriz o columna base, que origina la distribución defrecuencias.
Comenzaremos a construir el primer intervalo, para lo cual sumamos la amplitud al valor mínimo, que será el extremo superior del primer intervalo, obteniendo de este modo el
extremo superior del primer intervalo.
Obtenemos de este modo el primer intervalo y así sucesivamenteobtendremos sus siguientes intervalos:
COLUMNA MATRIZ
9. Todos los datos que se hallan de un mismo intervalo, estarán representados por laMarca de Clase. La Marca de Clase se obtienen promediando los extremos de cadaintervalo
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase (Xi)
48.58 - 53.16 50.87
53.16 - 57.74 55.45
57.74 - 62.32 60.03
62.32 - 66.90 64.61
66.90 - 71.48 69.19
71.48 - 76.06 73.77
76.06 - 80.64 78.35
80.64 - 85.22 82.93
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
48.58 - 53.16
53.16 - 57.74
57.74 - 62.32
62.32 - 66.90
66.90 - 71.48
71.48 - 76.06
76.06 - 80.64
80.64 - 85.22
Xmin + Amplitud ( C )
48.58 + 4.58 = 53.16
48.58 53.16
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ESTADISTTICA GENERAL
II. FRECUENCIA ABSOLUTA (f i)
1. Realizamos el conteo de los datos:
Intervalos de clase<X'i-1 - X'i]
Marca declase (Xi)
Conteo
48.58 - 53.16 50.87 IIII III
53.16 - 57.74 55.45 IIII IIII IIII I
57.74 - 62.32 60.03 IIII IIII II
62.32 - 66.90 64.61 IIII IIII IIII III
66.90 - 71.48 69.19 IIII IIII I
71.48 - 76.06 73.77 IIII IIII IIII II
76.06 - 80.64 78.35 IIII IIII III
80.64 - 85.22 82.93 IIII
2. Luego contamos el número de tarjas en cada casillero de la columna de conteo yobtenemos la columna de frecuencias Absolutas.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase (Xi)Conteo
Frecuencia
Absoluta (fi)
48.58 - 53.16 50.87 IIII III 8
53.16 - 57.74 55.45 IIII IIII IIII I 16
57.74 - 62.32 60.03 IIII IIII II 12
62.32 - 66.90 64.61 IIII IIII IIII III 18
66.90 - 71.48 69.19 IIII IIII I 11
71.48 - 76.06 73.77 IIII IIII IIII II 17
76.06 - 80.64 78.35 IIII IIII III 13
80.64 - 85.22 82.93 IIII 5
III. FRECUENCIA RELATIVA (hi)
Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta (f i), entre el número total de elementos de ladistribución (n). La suma de todas las frecuencias relativas debe ser igual a 1.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase(Xi)
Frecuencia
Absoluta (f i)
Frecuencia
Relativa (hi)
48.58 - 53.16 50.87 8 0.08
53.16 - 57.74 55.45 16 0.16
57.74 - 62.32 60.03 12 0.12
62.32 - 66.90 64.61 18 0.18
66.90 - 71.48 69.19 11 0.11
71.48 - 76.06 73.77 17 0.17
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ESTADISTTICA GENERAL
76.06 - 80.64 78.35 13 0.13
80.64 - 85.22 82.93 5 0.05
100 1
IV. FRECUENCIA PORCENTUAL (h%)
Es la que se obtiene multiplicando cada frecuencia relativa de la distribución de frecuenciaspor 100.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase (Xi)
Frecuencia
Absoluta (f i)
Frecuencia
Relativa (hi)
Frecuencia
Porcentual (%)48.58 - 53.16 50.87 8 0.08 8
53.16 - 57.74 55.45 16 0.16 16
57.74 - 62.32 60.03 12 0.12 12
62.32 - 66.90 64.61 18 0.18 18
66.90 - 71.48 69.19 11 0.11 11
71.48 - 76.06 73.77 17 0.17 17
76.06 - 80.64 78.35 13 0.13 13
80.64 - 85.22 82.93 5 0.05 5
V. FRECUENCIAS ACUMULADAS.
Se obtienen sumando sucesivamente las frecuencias de cada clase. La acumulación puedehacerse de dos maneras:
a) Desde los intervalos que están en la parte superior de la tabla de frecuencias hacia losintervalos que están en la parte inferior de la tabla, es decir de arriba hacia abajo, se lellama acumulación menor que y se simboliza por Fi
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi )
48.58 - 53.16 8 8
53.16 - 57.74 16 24
57.74 - 62.32 12 36
62.32 - 66.90 18 54
66.90 - 71.48 11 65
71.48 - 76.06 17 82
76.06 - 80.64 13 9580.64 - 85.22 5 100
h% =( f / n) x 100
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ESTADISTTICA GENERAL
b) Al revés de la anterior: desde las clases inferiores hacia las clases superiores, se lellama acumulación mayor o igual a, simboliza con Fi
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi )
48.58 - 53.16 8 100
53.16 - 57.74 16 92
57.74 - 62.32 12 76
62.32 - 66.90 18 64
66.90 - 71.48 11 46
71.48 - 76.06 17 35
76.06 - 80.64 13 18
80.64 - 85.22 5 5
VI. REPRESENTACION GRAFICA
a) HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
Mediante barras de frecuencias adyacentes, muestra la frecuencia absoluta y relativasimple. En el eje “X” los intervalos de clase y en el eje “Y” la frecuencia.
TITULO: PESO DE LOS ALUMNOS DEL SEGUNDO AÑO DEL ETSUNP DE LAESCUELA DE CONTABILIDAD (KG) - AÑO 2012
FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL ETSUNP, AÑO 2012
0
6
12
18
24
30
36
48.58 -
53.16
53.16 -
57.74
57.74 -
62.32
62.32 -
66.90
66.90 -
71.48
71.48 -
76.06
76.06 -
80.64
80.64 -
85.22
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ESTADISTTICA GENERAL
b) POLIGONO DE FRECUENCIA
Muestra la variación de las frecuencias simples al pasar de un intervalo a otro. En eleje “X” se ubica la marca de clase y en el eje “Y” la frecuencia absoluta.
TITULO: PESO DE LOS ALUMNOS DEL SEGUNDO AÑO DEL ETSUNP DE LAESCUELA DE CONTABILIDAD (KG) - AÑO 2012
FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL ETSUNP - AÑO 2012
c) OJIVAS
Muestra el comportamiento de frecuencias acumuladas, absolutas o relativas de todoslos intervalos de clase. En el eje “X” se ubica los límites de los intervalos de clase y en
el eje “Y” la frecuencia acumulada.
0
6
12
18
24
30
36
46.29 50.87 55.45 60.03 64.61 69.19 73.77 78.35 82.93 87.51
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ESTADISTTICA GENERAL
TITULO: PESO DE LOS ALUMNOS DEL SEGUNDO AÑO DEL ETSUNP DE LAESCUELA DE CONTABILIDAD (KG) - AÑO 2012
FUENTE: DATOS PROPORCIONADOS POR LOS 100 ALUMNOS DEL IDEPUNP, AÑO 2012
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
48.58 53.16 57.74 62.32 66.9 71.48 76.06 80.64 85.22
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ESTADISTTICA GENERAL
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. MEDIA ARITMETICA:
Es la más usual de las medidas de concentración y la más conocida. La fórmula queaplicaremos en nuestro ejemplo como dato agrupado es:
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase
48.58 - 53.16 50.87
53.16 - 57.74 55.45
57.74 - 62.32 60.03
62.32 - 66.90 64.61
66.90 - 71.48 69.19
71.48 - 76.06 73.77
76.06 - 80.64 78.35
80.64 - 85.22 82.93
∑Xi=535.2
2. MEDIANA:
Es el punto que divide la distribución de los datos en dos partes iguales. Por debajo de lamediana estará la mitad de número de muestras y por encima de ella estará la otra mitad.La mediana se designa con el símbolo Md.
Su fórmula para datos agrupados es:
Donde: Li: Límite inferior del intervalo Mediano.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalo
n: Número de muestras.
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Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi)
48.58 - 53.16 8 8
53.16 - 57.74 16 24
57.74 - 62.32 12 36
62.32 - 66.90 18 54
66.90 - 71.48 11 65
71.48 - 76.06 17 82
76.06 - 80.64 13 95
80.64 - 85.22 5 100
100
Reemplazando en la ecuación tenemos:
( )
3. MODA
La moda de un conjunto de datos, es el valor más repetido. Se representa por el símboloMo. Para hallar la moda en datos agrupados aplicamos la siguiente fórmula:
( )
Donde: Li: Limite inferior de intervalo modal∆1: f i - f i-1 ∆2: f i + f i-1 C: Amplitud de intervalo.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
48.58 - 53.16 8
53.16 - 57.74 16
57.74 - 62.32 12
62.32 - 66.90 18
66.90 - 71.48 11
71.48 - 76.06 17
76.06 - 80.64 13
80.64 - 85.22 5
100
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ESTADISTTICA GENERAL
Reemplazando en la ecuación tenemos:
( )
4. DESVIACIÓN MEDIA O VARIACIÓN MEDIA
Como su nombre lo indica, es la media de las desviaciones. La fórmula para calcularla es:
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase (Xi)Xi -
48.58 - 53.16 50.87 45.518
53.16 - 57.74 55.45 50.098
57.74 - 62.32 60.03 54.678
62.32 - 66.90 64.61 59.258
66.90 - 71.48 69.19 63.838
71.48 - 76.06 73.77 68.418
76.06 - 80.64 78.35 72.998
80.64 - 85.22 82.93 77.578535.2 492.384
5. DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA
Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor conrespecto a la media, dividida entre el número de valores.Su fórmula es:
√ ∑
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ESTADISTTICA GENERAL
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Marca de
clase (Xi)Xi - (Xi - )
2
48.58 - 53.16 50.87 45.518 2071.888
53.16 - 57.74 55.45 50.098 2509.81
57.74 - 62.32 60.03 54.678 2989.684
62.32 - 66.90 64.61 59.258 3511.511
66.90 - 71.48 69.19 63.838 4075.29
71.48 - 76.06 73.77 68.418 4681.023
76.06 - 80.64 78.35 72.998 5328.708
80.64 - 85.22 82.93 77.578 6018.346
535.2 492.384 31186.26
√
6. VARIANZA
Se define como el cuadrado de la desviación estándar. Como la desviación estándar serepresenta con el símbolo “S”, la varianza se representará con el símbolo “S2”.
Su fórmula es: S2
S2 = 17.662 = 311.87
7. VARIABILIDAD RELATIVA
Este índice de dispersión es muy útil cuando se quiere comparar la variabilidad entre doso más distribuciones de datos.
Su fórmula es:
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ESTADISTTICA GENERAL
8. ASIMETRIA
Es la deformación horizontal de las curvas de frecuencia.
Su fórmula es:
9. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
A) CUARTILES:
Son medidas de posición que dividen en 4 partes iguales al conjunto de valores ordenadosde una distribución de frecuencias. La fórmula para calcular los cuartiles se derivan de lafórmula utilizada para calcular la mediana.
Donde: Li: Límite inferior del intervalo Cuartil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalo
n: Número de muestras.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi )
48.58 - 53.16 8 8
53.16 - 57.74 16 24
57.74 - 62.32 12 36 Q 1
62.32 - 66.90 18 54
66.90 - 71.48 11 65
71.48 - 76.06 17 82
76.06 - 80.64 13 95
80.64 - 85.22 5 100
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( )
B) DECILES:
Son medidas de posición que dividen en 10 puntos iguales al conjunto de los valoresordenados de una distribución de frecuencias. La fórmula para calcular déciles es:
En donde: Dr = El decil buscado.r= Indica el decil.Li: Límite inferior del intervalo decil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalon: Número de muestras.
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi )
48.58 - 53.16 8 8
53.16 - 57.74 16 24 D2
57.74 - 62.32 12 36
62.32 - 66.90 18 54
66.90 - 71.48 11 65
71.48 - 76.06 17 82
76.06 - 80.64 13 95
80.64 - 85.22 5 100
C) PERCENTILES:
Son medidas de posición que indican el lugar que corresponde a un puntaje dentro deuna escala ordenada de 100 elementos.
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ESTADISTTICA GENERAL
En donde: Pr = El percentil buscado.
r= Indica el percentil.Li: Límite inferior del intervalo percentil.Fi-1: Frecuencia Absoluta acumulada anterior.fi: Frecuencia Absoluta simpleC: Amplitud de intervalon: Número de muestras
Intervalos de clase
<X'i-1 - X'i]
Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi )
48.58 - 53.16 8 8 P2 53.16 - 57.74 16 24
57.74 - 62.32 12 36
62.32 - 66.90 18 54
66.90 - 71.48 11 65
71.48 - 76.06 17 82
76.06 - 80.64 13 95
80.64 - 85.22 5 100
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ESTADISTTICA GENERAL
PROBABILIDAD BÁSICA
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarsecomo resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al
distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describela probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramientafundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario deacontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenosnaturales.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cadasuceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Ladistribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango devalores de la variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la
distribución de probabilidad está completamente especificada por la función dedistribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria seamenor o igual que x.
EJEMPLOS:
1. Probabilidades de los alumnos pesen entre 60 a 70 Kg:
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ESTADISTTICA GENERAL
2. Probabilidades de los alumnos que tengan entre 66 a 86 Kg:
3. Probabilidades de los alumnos que pesen menos de 50 Kg:
4. Probabilidades de los alumnos que pesen entre 70 y 80 Kg:
5. Probabilidades de los alumnos pesen más de 80 kg:
6. Probabilidades de los alumnos pesen entre 45 y 55 Kg: