Repuacuteblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politeacutecnica de las Fuerzas Armadas

UNEFA

Guacara Edo Carabobo

Integrantes

Lotero Marvin 15979718

Borjas Juan 15606482

Ing Telecomunicaciones

Seccioacuten 004-N

Enero 2010

Funcioacuten de Bessel

En matemaacuteticas funciones de Bessel primero definido por el matemaacutetico Daniel Bernoulli y generalizado por Friedrich Bessel sea canoacutenico soluciones y(x) de Bessel la ecuacioacuten diferencial

Para una α arbitraria del nuacutemero verdadero o complejo (orden de la funcioacuten de Bessel) El caso especial maacutes comuacuten y maacutes importante es donde estaacute el α nuacutemero entero n

Aunque el α y el minusα producen la misma ecuacioacuten diferencial es convencional definir diversas funciones de Bessel Para estas dos oacuterdenes (eg de modo que las funciones de Bessel Sean sobre todo funciones lisas del α) Las funciones de Bessel Tambieacuten se conocen como Funciones del cilindro o Armoacutenicos ciliacutendricos porque se encuentran en la solucioacuten a Ecuacioacuten de Laplace en coordenadas ciliacutendricos

Definicioacuten

Dado que es una ecuacioacuten diferencial de segundo orden deben de haber dos soluciones independientes El depender de las circunstancias sin embargo las varias formulaciones de estas soluciones es conveniente y las diversas variaciones son descritas maacutes adelante

Uso de las Funciones de Bessel

La ecuacioacuten de Bessel se presenta al encontrar soluciones separables a Ecuacioacuten de Laplace y Ecuacioacuten de Helmholtz en ciliacutendrico o coordenadas esfeacutericos Las funciones de Bessel Son por lo tanto especialmente importantes para muchos problemas de propagacioacuten de la onda potenciales estaacuteticos y asiacute sucesivamente En solucionar problemas en sistemas coordinados ciliacutendricos uno obtiene las funciones de Bessel De la orden del nuacutemero entero (α = n) en problemas esfeacutericos uno obtiene las oacuterdenes del mitad-nuacutemero entero (α = n+frac12) Por ejemplo

bull ondas electromagneacuteticas en un ciliacutendrico guiacutea de ondabull conduccioacuten del calor en un objeto ciliacutendricobull modos de la vibracioacuten de una circular fina (o anulares) membrana artificial

(por ejemplo a tambor u otro membranophone)bull problemas de la difusioacuten en un enrejado

Las funciones de Bessel Tambieacuten tienen caracteriacutesticas uacutetiles para otros problemas tales como proceso de sentildeal (eg vea Siacutentesis de FM Ventana de Kaiser o Filtro de Bessel)

Funciones de Bessel de la primera clase Jα

Funciones de Bessel De la primera clase denotadas como Jα(x) son las soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para el α no negativo del nuacutemero entero y diverge como x los acercamientos ponen a cero para el α negativo del no-nuacutemero entero El tipo de la solucioacuten (eg nuacutemero entero o no-nuacutemero entero) y normalizacioacuten de Jα(x) es definido por sus caracteriacutesticas debajo Que las soluciones de la orden del nuacutemero entero es posible definan la funcioacuten por su Serie de Taylor extensioacuten alrededor x = 0

Γ (z) es la funcioacuten Gamma de Euler una generalizacioacuten del factorial para nuacutemeros complejos Para α no enteros se necesitan expansiones en series de potencias maacutes generales

Estas funciones cumplen que

bull Si entonces Jα(x) y J minus α(x) son linealmente independientes y por tanto dan una solucioacuten general de la ecuacioacuten de Bessel

bull Si entonces J minus α(x) no estaacute definida en x = 0bull Si entonces se cumple J minus n(x) = ( minus 1)nJn(x) por lo que las dos

soluciones dejan de ser linealmente independientes En este caso la segunda solucioacuten linealmente independiente seraacute una funcioacuten de Bessel de segunda especie

Las graacuteficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias

(como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a (como nos lo mostraraacuten las formas asintoacuteticas de estas funciones maacutes abajo) aunque los ceros de estas funciones no son en general perioacutedicos excepto de forma asintoacutetica para grandes x

Como casos particulares se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras

Funciones de Bessel de primera especie Jα(x) para oacuterdenes enteros α=012

Funciones de Bessel de la segunda Especie Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie denotadas por Yα(x) son soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel Estas funciones divergen en el origen (x = 0)

A estas funciones Yα(x) tambieacuten se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber y a veces se denotan por Nα(x) Para α no enteros se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente foacutermula

En matemaacuteticas funciones de Bessel primero definido por el matemaacutetico Daniel Bernoulli y generalizado por Friedrich Bessel sea canoacutenico soluciones y(x) de Bessel la ecuacioacuten diferencial

Para una α arbitraria del nuacutemero verdadero o complejo (orden de la funcioacuten de Bessel) El caso especial maacutes comuacuten y maacutes importante es donde estaacute el α nuacutemero entero n

Aunque el α y el minusα producen la misma ecuacioacuten diferencial es convencional definir diversas funciones de Bessel Para estas dos oacuterdenes (eg de modo que las funciones de Bessel Sean sobre todo funciones lisas del α) Las funciones de Bessel Tambieacuten se conocen como Funciones del cilindro o Armoacutenicos ciliacutendricos porque se encuentran en la solucioacuten a Ecuacioacuten de Laplace en coordenadas ciliacutendricos

Definicioacuten

Dado que es una ecuacioacuten diferencial de segundo orden deben de haber dos soluciones independientes El depender de las circunstancias sin embargo las varias formulaciones de estas soluciones es conveniente y las diversas variaciones son descritas maacutes adelante

Uso de las Funciones de Bessel

La ecuacioacuten de Bessel se presenta al encontrar soluciones separables a Ecuacioacuten de Laplace y Ecuacioacuten de Helmholtz en ciliacutendrico o coordenadas esfeacutericos Las funciones de Bessel Son por lo tanto especialmente importantes para muchos problemas de propagacioacuten de la onda potenciales estaacuteticos y asiacute sucesivamente En solucionar problemas en sistemas coordinados ciliacutendricos uno obtiene las funciones de Bessel De la orden del nuacutemero entero (α = n) en problemas esfeacutericos uno obtiene las oacuterdenes del mitad-nuacutemero entero (α = n+frac12) Por ejemplo

bull ondas electromagneacuteticas en un ciliacutendrico guiacutea de ondabull conduccioacuten del calor en un objeto ciliacutendricobull modos de la vibracioacuten de una circular fina (o anulares) membrana artificial

(por ejemplo a tambor u otro membranophone)bull problemas de la difusioacuten en un enrejado

Las funciones de Bessel Tambieacuten tienen caracteriacutesticas uacutetiles para otros problemas tales como proceso de sentildeal (eg vea Siacutentesis de FM Ventana de Kaiser o Filtro de Bessel)

Funciones de Bessel de la primera clase Jα

Funciones de Bessel De la primera clase denotadas como Jα(x) son las soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para el α no negativo del nuacutemero entero y diverge como x los acercamientos ponen a cero para el α negativo del no-nuacutemero entero El tipo de la solucioacuten (eg nuacutemero entero o no-nuacutemero entero) y normalizacioacuten de Jα(x) es definido por sus caracteriacutesticas debajo Que las soluciones de la orden del nuacutemero entero es posible definan la funcioacuten por su Serie de Taylor extensioacuten alrededor x = 0

Γ (z) es la funcioacuten Gamma de Euler una generalizacioacuten del factorial para nuacutemeros complejos Para α no enteros se necesitan expansiones en series de potencias maacutes generales

Estas funciones cumplen que

bull Si entonces Jα(x) y J minus α(x) son linealmente independientes y por tanto dan una solucioacuten general de la ecuacioacuten de Bessel

bull Si entonces J minus α(x) no estaacute definida en x = 0bull Si entonces se cumple J minus n(x) = ( minus 1)nJn(x) por lo que las dos

soluciones dejan de ser linealmente independientes En este caso la segunda solucioacuten linealmente independiente seraacute una funcioacuten de Bessel de segunda especie

Las graacuteficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias

(como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a (como nos lo mostraraacuten las formas asintoacuteticas de estas funciones maacutes abajo) aunque los ceros de estas funciones no son en general perioacutedicos excepto de forma asintoacutetica para grandes x

Como casos particulares se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras

Funciones de Bessel de primera especie Jα(x) para oacuterdenes enteros α=012

Funciones de Bessel de la segunda Especie Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie denotadas por Yα(x) son soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel Estas funciones divergen en el origen (x = 0)

A estas funciones Yα(x) tambieacuten se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber y a veces se denotan por Nα(x) Para α no enteros se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente foacutermula

Las funciones de Bessel Tambieacuten tienen caracteriacutesticas uacutetiles para otros problemas tales como proceso de sentildeal (eg vea Siacutentesis de FM Ventana de Kaiser o Filtro de Bessel)

Funciones de Bessel de la primera clase Jα

Funciones de Bessel De la primera clase denotadas como Jα(x) son las soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para el α no negativo del nuacutemero entero y diverge como x los acercamientos ponen a cero para el α negativo del no-nuacutemero entero El tipo de la solucioacuten (eg nuacutemero entero o no-nuacutemero entero) y normalizacioacuten de Jα(x) es definido por sus caracteriacutesticas debajo Que las soluciones de la orden del nuacutemero entero es posible definan la funcioacuten por su Serie de Taylor extensioacuten alrededor x = 0

Γ (z) es la funcioacuten Gamma de Euler una generalizacioacuten del factorial para nuacutemeros complejos Para α no enteros se necesitan expansiones en series de potencias maacutes generales

Estas funciones cumplen que

bull Si entonces Jα(x) y J minus α(x) son linealmente independientes y por tanto dan una solucioacuten general de la ecuacioacuten de Bessel

bull Si entonces J minus α(x) no estaacute definida en x = 0bull Si entonces se cumple J minus n(x) = ( minus 1)nJn(x) por lo que las dos

soluciones dejan de ser linealmente independientes En este caso la segunda solucioacuten linealmente independiente seraacute una funcioacuten de Bessel de segunda especie

Las graacuteficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias

(como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a (como nos lo mostraraacuten las formas asintoacuteticas de estas funciones maacutes abajo) aunque los ceros de estas funciones no son en general perioacutedicos excepto de forma asintoacutetica para grandes x

Como casos particulares se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras

Funciones de Bessel de primera especie Jα(x) para oacuterdenes enteros α=012

Funciones de Bessel de la segunda Especie Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie denotadas por Yα(x) son soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel Estas funciones divergen en el origen (x = 0)

A estas funciones Yα(x) tambieacuten se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber y a veces se denotan por Nα(x) Para α no enteros se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente foacutermula

Como casos particulares se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras

Funciones de Bessel de primera especie Jα(x) para oacuterdenes enteros α=012

Funciones de Bessel de la segunda Especie Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie denotadas por Yα(x) son soluciones de la ecuacioacuten diferencial de Bessel Estas funciones divergen en el origen (x = 0)

A estas funciones Yα(x) tambieacuten se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber y a veces se denotan por Nα(x) Para α no enteros se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente foacutermula

En el caso en el que tengamos un orden entero n la funcioacuten es definida como el siguiente liacutemite soacutelo vaacutelido para α no enteros

Que nos da el siguiente resultado en forma integral

Para el caso en el que tengamos α no enteros la definicioacuten de Yα(x) es redundante (como queda claro por su definicioacuten de arriba) Por otro lado cuando α es entero Yα(x) es la segunda solucioacuten linealmente independiente de la ecuacioacuten de Bessel ademaacutes de forma similar a lo que ocurriacutea con las funciones de primera especie se cumple que

Ambas Jα(x) y Yα(x) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado por el eje real negativo Cuando α es un entero no hay puntos de ramificacioacuten y las funciones de Bessel son funciones enteras de x Si fijamos x entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α

Funciones de Bessel de segunda especie Yα(x) para oacuterdenes α=012

Propiedades de las Funciones de Bessel

Integrales de Bessel

Otra definicioacuten de las funciones de Bessel para valores enteros de n es la siguiente representacioacuten integral de la funcioacuten de Bessel

Esta fue la forma con la que Bessel definioacute a estas funciones y de esta definicioacuten obtuvo distintas propiedades de la funcioacuten Otra representacioacuten integral es la siguiente

Relacioacuten con las series Hipergeometricas

Las funciones de Beesel se pueden expresar en funcioacuten de las funciones hipergeomeacutetricas como

Esta expresioacuten estaacute relacionada con la expresioacuten de las funciones de Bessel en a partir de la funcioacuten de Bessel-Clifford

Solucioacuten General de la Ecuacioacuten de Bessel

La solucioacuten general de la ecuacioacuten diferencial de Bessel con paraacutemetro α viene dada en teacuterminos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel Dicha solucioacuten general puede expresarse como

Donde A y B son dos constantes arbitrarias

Funciones Esfeacutericas de Bessel jnyn

Cuando se soluciona la ecuacioacuten de Helmholtz en coordenadas esfeacutericas por separacioacuten de variables la ecuacioacuten radial tiene la forma

Donde n es un entero positivo Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuacioacuten se denominan funciones esfeacutericas de Bessel jn(x) y yn(x) y estaacuten relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias Jn(x) y Yn(x) por

yn se escribe tambieacuten como nn o ηn A esta funcioacuten a veces se le llama funcioacuten esfeacuterica de Neumann

Las funciones esfeacutericas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes foacutermulas

Para n = 01 y 2 tenemos

Las funciones esfeacutericas de Hankel se definen de forma anaacuteloga a las no esfeacutericas

De hecho esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en teacutermino de funciones trigonomeacutetricas y por tanto tambieacuten de las funciones esfeacutericas de Bessel De esto se deduce que para n entero no negativo se tiene

Tambieacuten existen anaacutelogos esfeacutericos de las funciones de Bessel modificadas

kn(x) se pueden escribir usando asiacute

Regla de Carson

La regla de Carson es el nombre comuacuten que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98) de una sentildeal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia estaacute comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

BT = 2(fΔ + fm)

donde fΔ es la desviacioacuten maacutexima de la frecuencia instantaacutenea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el iacutendice de modulacioacuten respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) estaacute normalizada en el rango plusmn1) y donde fm es el ancho de banda de la sentildeal moduladora (que se define en banda base y es el mismo para la sentildeal modulada)

Una regla de la definicioacuten de los requisitos aproximados de ancho de banda de comunicaciones de los componentes del sistema para una sentildeal portadora es la frecuencia modulada por un espectro continuo o gama de frecuencias en lugar de una sola frecuencia

Nota 1 La regla de ancho de banda de Carson se expresa mediante la relacioacuten

CBR = 2 ( f + f m) where CBR is the bandwidth requirement f + f m) donde CBR es el requisito de ancho de banda

Nota 2 f es el portador de la maacutexima frecuencia de desviacioacuten y f m es la maacutexima frecuencia de modulacioacuten

Nota 3 La regla de ancho de banda de Carson a menudo se aplica a los transmisores antenas fuentes oacutepticas receptores foto detectores y otros componentes del sistema de comunicaciones

Funciones Esfeacutericas de Bessel jnyn

Cuando se soluciona la ecuacioacuten de Helmholtz en coordenadas esfeacutericas por separacioacuten de variables la ecuacioacuten radial tiene la forma

Donde n es un entero positivo Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuacioacuten se denominan funciones esfeacutericas de Bessel jn(x) y yn(x) y estaacuten relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias Jn(x) y Yn(x) por

yn se escribe tambieacuten como nn o ηn A esta funcioacuten a veces se le llama funcioacuten esfeacuterica de Neumann

Las funciones esfeacutericas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes foacutermulas

Para n = 01 y 2 tenemos

Las funciones esfeacutericas de Hankel se definen de forma anaacuteloga a las no esfeacutericas

De hecho esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en teacutermino de funciones trigonomeacutetricas y por tanto tambieacuten de las funciones esfeacutericas de Bessel De esto se deduce que para n entero no negativo se tiene

Tambieacuten existen anaacutelogos esfeacutericos de las funciones de Bessel modificadas

kn(x) se pueden escribir usando asiacute

Regla de Carson

La regla de Carson es el nombre comuacuten que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98) de una sentildeal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia estaacute comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

BT = 2(fΔ + fm)

donde fΔ es la desviacioacuten maacutexima de la frecuencia instantaacutenea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el iacutendice de modulacioacuten respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) estaacute normalizada en el rango plusmn1) y donde fm es el ancho de banda de la sentildeal moduladora (que se define en banda base y es el mismo para la sentildeal modulada)

Una regla de la definicioacuten de los requisitos aproximados de ancho de banda de comunicaciones de los componentes del sistema para una sentildeal portadora es la frecuencia modulada por un espectro continuo o gama de frecuencias en lugar de una sola frecuencia

Nota 1 La regla de ancho de banda de Carson se expresa mediante la relacioacuten

CBR = 2 ( f + f m) where CBR is the bandwidth requirement f + f m) donde CBR es el requisito de ancho de banda

Nota 2 f es el portador de la maacutexima frecuencia de desviacioacuten y f m es la maacutexima frecuencia de modulacioacuten

Nota 3 La regla de ancho de banda de Carson a menudo se aplica a los transmisores antenas fuentes oacutepticas receptores foto detectores y otros componentes del sistema de comunicaciones

Las funciones esfeacutericas de Hankel se definen de forma anaacuteloga a las no esfeacutericas

De hecho esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en teacutermino de funciones trigonomeacutetricas y por tanto tambieacuten de las funciones esfeacutericas de Bessel De esto se deduce que para n entero no negativo se tiene

Tambieacuten existen anaacutelogos esfeacutericos de las funciones de Bessel modificadas

kn(x) se pueden escribir usando asiacute

Regla de Carson

La regla de Carson es el nombre comuacuten que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98) de una sentildeal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia estaacute comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

BT = 2(fΔ + fm)

donde fΔ es la desviacioacuten maacutexima de la frecuencia instantaacutenea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el iacutendice de modulacioacuten respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) estaacute normalizada en el rango plusmn1) y donde fm es el ancho de banda de la sentildeal moduladora (que se define en banda base y es el mismo para la sentildeal modulada)

Una regla de la definicioacuten de los requisitos aproximados de ancho de banda de comunicaciones de los componentes del sistema para una sentildeal portadora es la frecuencia modulada por un espectro continuo o gama de frecuencias en lugar de una sola frecuencia

Nota 1 La regla de ancho de banda de Carson se expresa mediante la relacioacuten

CBR = 2 ( f + f m) where CBR is the bandwidth requirement f + f m) donde CBR es el requisito de ancho de banda

Nota 2 f es el portador de la maacutexima frecuencia de desviacioacuten y f m es la maacutexima frecuencia de modulacioacuten

Nota 3 La regla de ancho de banda de Carson a menudo se aplica a los transmisores antenas fuentes oacutepticas receptores foto detectores y otros componentes del sistema de comunicaciones

La regla de Carson es el nombre comuacuten que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98) de una sentildeal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia estaacute comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

BT = 2(fΔ + fm)

donde fΔ es la desviacioacuten maacutexima de la frecuencia instantaacutenea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el iacutendice de modulacioacuten respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) estaacute normalizada en el rango plusmn1) y donde fm es el ancho de banda de la sentildeal moduladora (que se define en banda base y es el mismo para la sentildeal modulada)

Una regla de la definicioacuten de los requisitos aproximados de ancho de banda de comunicaciones de los componentes del sistema para una sentildeal portadora es la frecuencia modulada por un espectro continuo o gama de frecuencias en lugar de una sola frecuencia

Nota 1 La regla de ancho de banda de Carson se expresa mediante la relacioacuten

CBR = 2 ( f + f m) where CBR is the bandwidth requirement f + f m) donde CBR es el requisito de ancho de banda

Nota 2 f es el portador de la maacutexima frecuencia de desviacioacuten y f m es la maacutexima frecuencia de modulacioacuten

Nota 3 La regla de ancho de banda de Carson a menudo se aplica a los transmisores antenas fuentes oacutepticas receptores foto detectores y otros componentes del sistema de comunicaciones