8/17/2019 Trabajo de Derivada Direccional

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO  

FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA 

INDUSTRIAL

Asignatura : MATEMÁTICA III 

Docente : ELVIS SOTO APOLITANO

Tema : DERIVADA DIRECCIONAL Y EL VECTOR GRADIENTE 

Estudiante : ROMERO BUSTOS, ROSHELL

Ciclo : III 

2016

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Derivada direccional

Definiciones y formulas: 

La derivada direccional de una función multivariable en la dirección un vector dado,representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este

concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas

direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.

-Sea   una función escalar y sean   un vectorunitario, entonces la derivada direccional de    en   en la dirección del vectorunitario  , esta dado por:

     

-Sea   una función escalar diferenciable en , entonces    tienederivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo  y esta dadapor:

      

-Dado un vector unitario  y el vector gradiente de la funcion  en el punto, que denotamos por podemos calcular la derivada direccionaasociada al vector  en dicho punto, realizando el producto escalar del gradiente con  Sean  una funcion diferenciable en un punto abierto , donde  y es un vector unitarioL a derivada direccional de la funcion diferenciable en un punto  con respectoal vector unitario viene dada por:

 

 

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Sea f:  → R definida al menos en un entorno de  y sea un vector de tal que Se define entonces la derivada direccional de   en la dirección de  en elpunto    como el límite:

Si la función  f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la

fórmula:

Es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes de un vector unitario.

 

Ejemplos:

1. Calcule la derivada direccional     si     y

 con . Calcule   

Solución:

 

   

 

 

De donde        

     

 

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2. Usando la definición de   , determina    cuando:  En este ejercicio tenemos el vector unitario: 

a)

 

  ;  

Solución:

   

   

Reemplazando:

   

  +  Respuesta:

   

b)  f(x, y) = senxy ; u=

(-2,3) Solución:

   

   

   

FORMULA:

   

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Reemplazando:

 

 

   

   

      

 

    

Respuesta:

     

c) En este caso es cuando el vector unitario no existe pero si te dan los puntos de P y

Q .

Sea el punto P (3.4) en la dirección de Q (5,7);    Solución:

   

   

 

NORMA: 

   

VECTOR

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  24*  Respuesta: 

   

Grafico de una derivada direccional:

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El vector gradiente

Definición y formulas: 

El gradiente o también conocido como vector gradiente denotado    de un campoescalar   es un campo vectorial.  El vector gradiente de   evaluado en un puntogenérico del dominio de  ,    indica la dirección en la cual el campo  varía másrápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de    en la dirección dedicho vector gradiente.

El gradiente se representa con el operador diferencial  nabla   seguido de la función(cuidado de no confundir el gradiente con la  divergencia, ésta última se denota con un

punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede

representarse mediante

   , o usando la notación

   .La generalización del

concepto de gradiente a campos   vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana. 

Sea     es una función(o campo) escalar diferenciable en una región R,entonces la función (o campo) gradiente de   es la función vectorial  definida por

   En el caso   

  En el caso   

 

 

GRADIENTE EN EL PLANO: 

Para un campo escalar plano (x, y)  f (x, y), que sea diferenciable en un puntoa = (, ), tendremos: , , ,  

GRADIENTE EN EL ESPACIO:

Análogamente, si (x, y, z)

 f (x, y, z) es un campo escalar en el espacio, diferenciable

en un punto a = (, ), tendremos:

https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar

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 ( ,  ) = = , , , k 

Ejemplos:

1. Si   Solución:

El gradiente esta dado por:

  y evaluando

  

2.Si  Solución:

Excepto en la circunferencia

 (curva de nivel z=0), se puede calcular

  

Grafico de una gradiente de dos variables 

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Referencias bibliográficas

 MORA, Walter. Cálculo en varias variables. Revista digital Matemática. Costa

Rica.2012.

ISBN: 978996864128

 GEORGE, Thomas. Cálculos varias variables, 11va.ed.México: Pearson Educación,

2006.

ISBN: 9702606446

MORMAN, Haaser. Análisis matemático, 2da.ed.México: Trillas, 2010.

ISBN: 9809682438820