AMORTIGUACIONESEl amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fluidos (aire, agua...).La ecuacin de movimiento es: Cuando se escribe:(1.1) Al sustituir y dividir entre se escribe la ecuacin caracterstica(1.2)Y se obtienen las races(1.3)Al definir el coeficiente de amortiguamiento critico c, como el valor de c que hace que el radical en la ecuacin se iguale a cero, se escribe:(1.4)

Donde es la frecuencia circular natural del sistema en ausencia de amortiguamiento. Se pueden distinguir 3 casos diferentes de amortiguamiento, dependiendo del valor del coeficiente c. CASO1.- Sobre amortiguamiento o amortiguamiento fuerte: c > cc. Las races de la ecuacin caracterstica son reales y distintas.(1.5)Esta solucin corresponde a un movimiento no vibratorio. Puesto que y son ambas negativas, x tiende a cero cuando t aumenta de manera indefinida. Sin embargo el sistema en realidad vuelve a su posicin de equilibrio despus de un tiempo finito.

CASO2.- Amortiguamiento critico c = cc. La ecuacin caracterstica tiene una doble raz , y la solucin general es:(1.6)El movimiento que se obtiene es otra vez no vibratorio. Los sistemas crticamente amortiguados son de especial inters en aplicaciones de ingeniera, pues vuelven a su posicin de equilibrio en el tiempo ms corto posible sin oscilacin.

CASO3.-Sudamortiguamiento o amortiguamiento dbil: c < cc. Las races de la ecuacin son complejas y conjugadas, y la solucin general es de la forma:(1.7)Donde se define por la relacin

Al sustituir y recordar (1.4)(1.8)Donde la constante c/cc se conoce se conoce como el factor de amortiguamiento. Aun cuando el movimiento en realidad no se repite a si mismo, la constante se conoce comnmente como la frecuencia circular de la vibracin amortiguada. Sustituyendo se puede escribir la solucin general de la ecuacin (1.1) en la forma:(1.9)

El movimiento definido por la ecuacin (1.9) es vibratorio con amplitud decreciente y el intervalo de tiempo que separa dos puntos sucesivos donde la curva definida por la ecuacin (1.9) toca una de la curvas limite que se muestra en la figura, se conoce como el periodo de vibracin amortiguada. De acuerdo con la ecuacin (1.8), se observa que y, por ello, que es ms grande que el periodo de vibracin del sistema no amortiguado correspondiente.

VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADASsi el sistema considerado en la seccin anterior est sujeto a una fuerza peridica P de magnitud , la ecuacin movimiento se convierte en:(1.10)La solucin general se obtiene al sumar una solucin particular de (1.10) a la solucin complementaria o solucin general de la ecuacin homognea (1.1). La funcin complementaria est dada por (1.5),(1.6) o (1.7) segn el tipo de amortiguamiento considerado. Esto representa un movimiento transitorio que finalmente se amortigua.El inters en esta seccin se centra en la vibracin de estada estable representada por una solucin particular de (1.10) de la forma:.(1.11)Al sustituir en vez de x en (1.10), se obtiene: al hacer sucesivamente igual a 0 y a , se escribe:. (1.12). (1.13)Al elevar al cuadrado ambos miembros y sumar resulta. (1.14)Al resolver para y dividir (1.12) y (1.13) miembro a miembro, se obtiene, respectivamente: . (1.15)De acuerdo con la ecuacin , donde es la frecuencia circular de la vibracin libre no amortiguada, y conforme a (1.4), de que , donde es el coeficiente de amortiguamiento crtico del sistema, se escribe: (1.16) (1.17)La formula (1.16) expresa el factor de amplificacin en funcin de la razn de frecuencia y del factor de amortiguamiento . Es posible usarla para determinar la amplitud de la vibracin de estado estable producida por una fuerza aplicada de magnitud o por el movimiento de apoyo aplicado . La formula (1.17) define en trminos de los mismos parmetros la diferencia de fase entre la fuerza aplicada o el movimiento de apoyo aplicado y la vibracin de estado estable resultante del sistema amortiguado. El factor de amplificacin se ha graficado en funcin de la razn de las frecuencias en la figura siguiente, para diferentes valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una vibracin forzada puede mantenerse pequea al elegir un alto coeficiente de amortiguamiento viscoso c o al mantener alejadas las frecuencias natural y forzada.