TRABAJO DE DIPLOMA Método de Elementos Finitos en ...

i

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TRABAJO DE DIPLOMA

Método de Elementos Finitos en

Electromagnetismo

Autor: María de Lourdes Nazco Peralta

Tutor: Ing. David Beltrán Casanova

Santa Clara

Curso 2006-2007

“Año 49 de la Revolución"

ii

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica

TRABAJO DE DIPLOMA

“Método de Elementos Finitos en

Electromagnetismo”

Autor: María de Lourdes Nazco Peralta

Tutor: MSc. David Beltrán Casanova PPrrooff.. DDppttoo.. ddee TTeelleeccoommuunniiccaacciioonneess yy EElleeccttrróónniiccaa

FFaaccuullttaadd ddee IInngg.. EEllééccttrriiccaa.. UUCCLLVV.. ee--mmaaiill:: ddbbeellttrraanncc@@uuccllvv..eedduu..ccuu

Santa Clara

Curso 2006-2007

“Año 49 de la Revolución"

mailto:[email protected]






















iii

Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central

“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad

de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea

utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial

como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización

de la Universidad.

Firma del Autor

Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de

la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un

trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.

Firma del Autor Firma del Jefe de Departamento

donde se defiende el trabajo

Firma del Responsable de

Información Científico-Técnica

iv

PENSAMIENTO

El hombre instruido lleva en sí mismo sus riquezas.

Fredo.

v

DEDICATORIA

A mis padres, mi hermana, mi abuela, mi esposo

y a todas las personas que me quieren.

vi

AGRADECIMIENTOS

Le agradezco mucho a mis padres por ser los más maravillosos de este mundo,

a mi abuela que me ha dedicado su vida entera,

a mi hermana que siempre ha estado a mi lado

a mi tutor por brindarme su apoyo

y a muchas personas que me han ayudado a lo largo de mi vida.

vii

TAREA TÉCNICA

1. Búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la aplicación del Método de

Elementos Finitos en Electromagnetismo.

2. Descripción de los métodos clásicos, Método de Ritz y Método de Galerkin.

3. Descripción de los pasos básicos del Método moderno de Elementos Finitos.

4. Solución de ejemplos que demuestren la aplicación.

Firma del Autor Firma del Tutor

viii

RESUMEN

El Método de Elementos Finitos es una técnica numérica para obtener soluciones

aproximadas de los problemas de los valores de frontera, constituyendo un instrumento de

diseño fundamental para dispositivos electromagnéticos, el trabajo introduce conceptos

básicos del método: se repasan los métodos clásicos para solucionar problemas de valores

de frontera, que incluye los métodos de Ritz y de Galerkin, se muestran ejemplos simples

para introducir el Método de Elementos Finitos y se realiza la descripción de los pasos

básicos del Método de Elementos Finitos. Finalmente, se da solución a varios problemas

que ponen de manifiesto la aplicación del método.

ix

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO ...................................................................................................................iv

DEDICATORIA .....................................................................................................................v

AGRADECIMIENTOS.........................................................................................................vi

TAREA TÉCNICA.............................................................................................................. vii

RESUMEN ......................................................................................................................... viii

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1

CAPÍTULO 1. Introducción al Método de Elementos Finitos............................................3

1.1 Base del Método de Elementos Finitos............................................................................4

1.2 ¿Para qué sirve el Método de Elementos Finitos? ...........................................................5

1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?..................................................................................................6

1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de los

valores de fronteras. ................................................................................................................6

1.4.1 Problemas de valores de fronteras. ...............................................................................6

1.4.2 Método de Ritz..............................................................................................................8

1.4.3 Método de Galerkin. ...................................................................................................11

1.4.4 EJEMPLO...................................................................................................................12

1.4.4.1 Descripción del problema. .......................................................................................12

1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz. ...............................................14

1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin.........................................17

x

CAPÍTULO 2. Método de Elementos Finitos. ..................................................................19

2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión. .......................19

2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos. ...................................................25

2.3 Discretización del dominio. ...........................................................................................25

2.4 Selección de las funciones de interpolación. .................................................................28

2.5 Formulación del sistema de ecuaciones.........................................................................29

2.5.1 Formulación por el método de Ritz. ...........................................................................29

2.5.2 Formulación por el método de Galerkin. ....................................................................33

2.6 Solución del sistema de ecuaciones. ..............................................................................36

2.7 Una alternativa de la formulación del Método de Elementos Finitos............................37

CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos. ............................41

3.1 Ejemplo # 1: Onda plana uniforme...............................................................................41

3.1.1 Solución analítica........................................................................................................44

3.1.2 Solución por los elementos finitos..............................................................................46

3.2 Ejemplo # 2: Guías de onda coaxiales. .........................................................................51

3.3 Ejemplo # 3: Discontinuidad de guías de onda en planos paralelos. ...........................53

3.4 Ejemplo # 4: Radiación por un patch microcinta en una cavidad. ...............................60

3.4.1 Modelos de alimentadores y cargas de antenas. .........................................................61

3.4.2 Resultado numérico. ...................................................................................................63

3.5 Ejemplo # 5: Diseño de una antena bocina corrugada..................................................67

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................70

Conclusiones.........................................................................................................................70

Recomendaciones .................................................................................................................70

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................71

xi

TUANEXOSUT ..............................................................................................................................74

TUAnexo I Ecuación de Poisson.UT ......................................................................................74

TUAnexo IIUT TU Ecuaciones de onda escalares.UT ........................................................................74

TUAnexo III Ecuaciones de onda vectoriales.UT......................................................................74

TUAnexo IV Ecuación escalar de HelmholtzUT .......................................................................75

TUAnexo V Ecuación diferencial.UT .......................................................................................75

TUAnexo VI Ecuación de frontera para UT

φTU.UT ........................................................................75

TUAnexo VII Ecuación de Poisson para el potencial.UT............................................................75

TUAnexo VIII Ecuación de la matrizUT ......................................................................................76

INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN

El Método de Elementos Finitos tiene una historia de alrededor de 50 años, propuesto por

primera vez en los años 40 y su uso comenzó en los 50 en el diseño de aeronaves.

Posteriormente, el método fue desarrollado y aplicado ampliamente a problemas de análisis

estructurales y de forma cada vez más creciente en otros campos. Actualmente se ha

convertido y reconocido como un método general ampliamente aplicable a los problemas

matemáticos e ingenieriles.

Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema, en particular, en el texto escrito

por Silvester y Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y

con una cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a

los temas de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. Ciertos textos suplen

la carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos

computacionales electromagnéticos. El Método de Elementos Finitos aplicable también en

el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos potenciales y para el análisis de

microonda y guías de onda óptico.

El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las

comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de

amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos

electromagnéticos.

El presente trabajo tiene como objetivo principal describir el empleo del Método de

Elementos Finitos en Electromagnetismo. Para lograr dicho objetivo se desarrollaron las

siguientes tareas: primera, una búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la

aplicación del Método de Elementos Finitos en este campo; segunda, descripción de los

métodos clásicos; tercera, descripción de la aplicación del Método de Elementos Finitos;

INTRODUCCIÓN 2

cuarta, solución de ejemplos que demuestren la aplicación. Para ello se ha estructurado en

tres capítulos en los que se abordan los siguientes temas:

En el primer capítulo luego de una revisión bibliográfica minuciosa y amplia, se definen

problemas de valores de fronteras y se realiza a través de un ejemplo un recuento de dos

métodos clásicos para la solución de dichos problemas, el método variacional de Ritz y el

método de Galerkin, los cuales constituyen la base del Método de Elementos Finitos. El

método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de variación

en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la función,

mientras que el método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo

ponderado, el cual, como su nombre indica, busca la solución por peso ponderados de la

ecuación diferencial del residuo.

En el segundo capítulo ya se introduce el Método de Elementos Finitos como un método

que usa funciones de base de subdominio para tratar con problemas complejos de valores

de frontera, el principio del método debe sustituir un dominio entero continuo por un

número de subdominios en los cuales la función incógnita es representada por funciones de

interpolación con coeficientes desconocidos, los sistemas de ecuaciones algebraicos son

obtenidos aplicando el procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, en

este capítulo se describen los pasos básicos a seguir para obtener la solución del método sin

hacer referencia a un problema en específico.

En el tercer capítulo son considerados problemas tanto estáticos como dinámicos, escalares

y vectoriales, en dominios cerrados y abiertos, problemas de radiación y dispersión; a

través de los cuales se pone de manifiesto la aplicación del Método de Elementos Finitos en

Electromagnetismo.

CAPÍTULO 1: Introducción al Método de Elementos Finitos. 3

CAPÍTULO 1. Introducción al Método de Elementos Finitos.

Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema (Axelsson, Barker, 1994; Bethe,

1992; Bickford, 1990; Burnett, 1997; Carey, Martin, 1983; Cook, 1991; Grandin, 1996;

Huebner, Thornton, Byrom, 1995; Livesley, 1993; Mitchell, Wait, 1995; Norrie, De Vries,

1983; Rao, 1992; Reddy, 1994; Strang, Fix, 1983; Taylor, Zienkiewicz, 1999). Otros han

sido publicados dentro de la década pasada. En particular, en el texto escrito por Silvester y

Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y con una

cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a los temas

de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. El libro “The Finite Element

Method in Electromagnetics” según manifiesta su autor fue escrito porque él sintió la

carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos

computacionales de electromagnetismo, el texto acentuó el análisis del método en

aplicaciones de altas frecuencia y el análisis de radiación. La IEEE reimprimió un volumen

donde recogió muchos artículos importantes sobre el análisis de elementos finitos en

problemas electromagnéticos. Esto también contuvo una bibliografía muy extensa anotada,

que es conveniente y bastante provechosa. Hay también libros que presentan el Método de

Elementos Finitos principalmente en el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos

potenciales (Hoole, 1999; Hoole, 2005; Sabonndiere, Coulomb, 1997) y dos libros

expresamente para el análisis de microonda y guías de onda óptico (Fernandez, Lu, 2006;

Koshiba, 2002). De modo interesante, 1998 era probablemente el año más fructuoso,

durante el cual cuatro libros fueron publicados. Entre aquellos, el primero es un texto

introductoria (Pelosi, Coccioli, Selleri, 1998), el segundo enfocado a la aplicación del

método de los mínimos cuadrados en el Método de Elementos Finitos (Jiang,1998), y el

tercero abarca principalmente antenas, circuitos microondas y aplicaciones de interferencias


(Volakis, Chatterjee, Kempel, 1998). Otro cubre el tema más grande de electromagnetismo

computacional e incluyen los elementos finitos (Peterson, Ray, Mitra, 1998). Finalmente,

hay varios otros libros que contienen capítulos sobre el análisis de elementos finitos de

problemas electromagnéticos,(Binns, Lawrenson, Trowbridge, 2002; Ida, Bastos, 2002;

Sadiku, 2003; Steele, 1997; Zhou, 2003).

1.1 Base del Método de Elementos Finitos.

Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del

complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de

proceder ingenieros, científicos, consiste en separar los sistemas en sus componentes

individuales, o elementos, cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y a

continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes.

En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de

componentes claramente definidos. Tales problemas se denominan discretos. En el caso,

por ejemplo, del análisis de estructura de un edificio en el que cada viga constituye una

entidad aislada bien definida. En otros la subdivisión prosigue indefinidamente y el

problema sólo puede definirse haciendo uso de la ficción matemática de infinitésimo. Ello

puede conducir a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un número

infinito de elementos implicados. Tales sistemas serán llamados continuos. Su análisis

resulta mucho más complejo, por lo que se hace referencia al cálculo estructural, el Método

de Elementos Finitos puede ser entendido como una generalización al análisis de sistemas

continuos.

El principio del Método consiste en la reducción del problema con infinitos grados de

libertad, en un problema finito en el que intervenga un número finito de variables asociadas

a ciertos puntos característicos (nodos). Las incógnitas del problema dejan de ser funciones

matemáticas del problema, para pasar a ser los valores de dichas funciones en un número

infinito de puntos. El cálculo se efectúa también restringiendo el análisis de corrimientos

de los nodos. La diferencia estriba en que el análisis del continuo, la segmentación en

elementos y la correcta posición de los nodos es, hasta cierto punto, arbitraria.


Así pues, en el Método de Elementos Finitos se supone que el comportamiento de cada

parte o elemento, en los que se subdivide queda definido por un número finito de

parámetros asociados a los puntos que en dicho momento se unen al resto de los elementos

de su entorno (nodos). Para definir el comportamiento en el interior de cada elemento se

supone que dentro del mismo, todo queda perfectamente definido a partir de lo que sucede

en los nodos a través de una adecuada función de interpolación.

Como puede apreciarse en el Método de Elementos Finitos son casi esenciales los

conceptos de "discretización": acción de transformar la realidad de la naturaleza continua

en un modelo discreto aproximado y de "interpolación": acción de aproximar los valores de

una función a partir de su conocimiento en un número discreto de puntos. Por lo tanto el

Método de Elementos Finitos es un método aproximado desde múltiples perspectivas:

a) Discretización.

b) Interpolación.

c) Utilización de métodos numéricos.

La presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite la

resolución del problema. Actualmente el Método de Elementos Finitos ha sido generalizado

hasta constituir un potente método de cálculo numérico, capaz de resolver cualquier

problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones.

1.2 ¿Para que sirve el Método de Elementos Finitos?

A pesar de su carácter aproximado, el Método de los Elementos Finitos es una herramienta

muy útil que permite realizar una gran cantidad de análisis en componentes y estructuras

complejos, difícilmente realizables por los métodos analíticos clásicos.


1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?

Las aplicaciones actuales del método son muy extensas e incluyen sistemas lineales y no

lineales, estáticos, dinámicos tales como:

• Electromagnetismo.

• Mecánica de Sólidos.

• Teoría de la Elasticidad.

• Mecánica de Fluidos.

• Transmisión de Calor.

El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las

comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de la

amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos

electromagnéticos.

1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de

los valores de fronteras.

En esta sección primero se definen problemas de valores de fronteras y luego se repasan

dos métodos clásicos para su solución, el método variacional de Ritz y el método de

Galerkin, ambos métodos forman la base del Método moderno de Elementos Finitos. Para

introducir el Método de Elementos Finitos, es necesario hablar de estos dos métodos

primero.

1.4.1 Problemas de valores de fronteras.

Los problemas de valores de fronteras surgen en el modelado matemático de sistemas

físicos, y su solución mucho tiempo ha sido un tema principal en la física matemática. Un


problema típico de valor de frontera puede ser definido por una ecuación diferencial en el

dominio Ω :

£ f=φ (1.1)

Junto con el límite condiciona sobre el límite Γ que incluye el dominio. En (1.1), £ es un

operador diferencial, la f es la excitación, y φ es la incógnita. En electromagnetismo, la

forma de la ecuación diferencial se extiende desde simples ecuaciones de Poisson (Anexo

I), a ecuaciones tan complicadas como las ecuaciones escalares de la onda (Anexo II), y

aún más complicadas como las ecuaciones vectoriales de la onda (Anexo III). Las

condiciones de frontera también se extienden a simples condiciones de Dirichlet y

Neumann, a la complicada impedancia y condiciones de radiación, a condiciones de orden

más alta aún más complicadas.

Es, desde luego, deseable solucionar problemas de valores de fronteras analíticamente

siempre que sea posible. Sin embargo, ya que una solución analítica puede ser obtenida

para sólo unos problemas especiales, la solución analítica es la excepción más bien que la

regla. En electromagnetismo estos casos excepcionales incluyen el potencial estático entre

planos infinitos paralelos, la propagación de onda en guías de onda rectangular, circular, y

elíptico, los resonadores de cavidad dentro de cavidades rectangulares, cilíndricas y

esféricas, y la onda que se dispersa por planos infinitos, cuñas, cilindros circulares, y

esferas. Muchos otros problemas de la importancia práctica de la ingeniería no tienen una

solución analítica. Para vencer esta dificultad, varios métodos aproximados han sido

desarrollados, siendo el método de Ritz y de Galerkin los más utilizados.


1.4.2 Método de Ritz.

El método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de

variación en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la

expresión de variación llamada función. El mínimo de esta función corresponde a la

ecuación diferencial evaluada bajo las condiciones de frontera dadas. La solución

aproximada es obtenida minimizando la función con respecto a las variables que definen

con cierta aproximación esta solución. A continuación se ilustrará el procedimiento,

definiendo el producto interno, denotado por corchetes, como:

Ω∂= ∫Ω∗φψψφ , (1.2)

Donde el asterisco denota el complejo conjugado. Con esta definición se muestra que si el

operador £ en (1.1) es:

£ ψφ , = ψφ , (1.3)

Y además se define que si:

£ ⎩⎨⎧=>

00

,φφ 00

=≠

φφ

(1.4)

La solución a (1.1) puede ser obtenida minimizando la función:


( )21~

=φF £ φφφφ ~,21,~

21~,~ ff −− (1.5)

Con respecto a φ~ , donde φ~ denota la función tanteo.

Una vez encontrada la función, la solución puede ser obtenida por el procedimiento descrito

más adelante.

Suponiendo que φ~ en (1.5) puede ser aproximada por:

cvvcvc TTj

N

jj === ∑

=1

~φ (1.6)

Donde:

jv Funciones de expansión seleccionadas definidas en todo el dominio.

jc Coeficientes constantes a ser determinados.

Denota el vector columna.

T Denota la traspuesta del vector.

Sustituyendo (1.6) en (1.5) se obtiene:

∫Ω= vcF T

21

£ ∫Ω Ω−Ω fdvccdv TT (1.7)

Al minimizar ( )φ~F , se obtiene el siguiente juego de ecuaciones lineales algebraicas:


∫Ω=∂∂

ii

vcF

21

£ ∫Ω+Ω vccdv TT

21

£ ∫Ω Ω−Ω fdvdv ii

(∑ ∫=

Ω=

N

jij vc

121

£ jj vv + £ ) ∫Ω Ω−Ω fdvdv ii

0= Ni ,...,3,2,1= (1.8)

Las cuales pueden ser escritas como una ecuación matricial:

[ ] bcS = (1.9)

Con los elementos en [ ]S dados por:

(∫Ω= iij vS21

£ jj vv + £ ) Ωdvi (1.10)

Y los elementos en b dados por:

Ω= ∫Ω fdvb ii (1.11)

Es evidente que [ ]S es una matriz simétrica. Recurriendo a la propiedad auto-adjunta

del operador £, ijS puede ser escrita como:

∫Ω= iij vS £ Ωdv j (1.12)

Una solución aproximada para (1.1) es dada por (1.6), donde ic son obtenidas resolviendo

la ecuación de la matriz (1.9).


1.4.3 Método de Galerkin.

El método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo ponderado, el cual,

como su nombre indica, busca la solución por pesos ponderados de la ecuación diferencial

del residuo. Suponiendo que φ~ es una solución aproximada a (1.1). Se sustituye de

φ~ para φ en (1.1) resultando un residuo distinto de cero:

=r £ 0~≠− fφ (1.13)

La mejor aproximación para φ~

sería aquella que reduzca el residuo r a valores más

pequeños en todos los puntos de Ω . En este caso, el método del residuo ponderado

fuerza la condición:

0=Ω= ∫Ω rdwR ii (1.14)

Donde:

iR Denota la integral del residuo.

iw Son las funciones de peso seleccionadas.

En el método de Galerkin, las funciones de pesos ponderados son seleccionadas de tal

modo que sean las mismas que serán usadas para la expansión de la solución aproximada.

Esto usualmente conlleva a una solución más exacta y es por lo tanto una aproximación

popular en el desarrollo de las ecuaciones del elemento finito.


Ilustrando el método más explícitamente se asume que la solución es como la representada

en (1.6). Las funciones ponderadas son seleccionadas como:

ii vw = Ni ,...,3,2,1= (1.15)

De modo que (1.14) sería:

(∫Ω= ii vR £ ) 0=Ω− dfvcv iT

Ni ,...,3,2,1= (1.16)

Esto conlleva nuevamente al sistema dado en (1.9), ahora la matriz [ ]S no es

necesariamente simétrica a menos que el operador £ sea auto-adjunta. Si £ es auto-

adjunta, el método de Galerkin resulta el mismo sistema de ecuaciones que el dado en el

método de Ritz.

1.4.4 EJEMPLO

Después de conocer el método de Ritz y de Galerkin se ilustrará a través de un ejemplo el

problema de las condiciones de frontera junto a la implementación de dichos métodos.

1.4.4.1 Descripción del problema.

El problema consiste en determinar el potencial estático φ entre 2 planos paralelos

infinitos. Un plano es localizado en 0=x con 0=φ y el otro en mx 1= y

V1=φ . El espacio entre los 2 planos está ocupado por el medio que posee una


constante de permitividad ε F/m y una densidad de carga eléctrica

( ) ( )ερ 1+−= xx 3mC .

Este problema puede ser descrito matemáticamente por la ecuación de Poisson (Anexo I),

que simplifica la ecuación diferencial de segundo orden:

12

2

== xdxd φ

10 << x (1.17)

En conjunto con las condiciones de frontera dadas por:

00=

=xφ (1.18)

11=

=xφ (1.19)

La solución exacta para este problema es:

( ) xxxx31

21

61 23 ++=φ (1.20)

La cual es fácil de obtener integrando dos veces (1.17) y aplicando (1.18) y (1.19),

determinándose la constante de integración. Sin embargo, de mucho de los problemas

prácticos no se tiene una solución simple y en muchos casos sólo se obtiene una solución

aproximada. Por estas razones, se asume que no se conoce una solución exacta, en

cambio, usando el método de Ritz y de Galerkin se pueden encontrar.


1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz.

Como se vio anteriormente, en el método de Ritz se formula el problema en términos

funcionales cuyo mínimo corresponde a la ecuación diferencial obtenida bajo las

condiciones de frontera dadas. Partiendo de (1.17) y (1.19), se muestra que la función

viene dada por:

( ) ( ) dxxdxdxdF φφφ ~1

~

21~ 1

0

21

0 ∫∫ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= (1.21)

Para probar esto, se asume que ( )xφ es la función que corresponde al mínimo de la

función F . Haciendo ( ) ( ) δφφφ += xx~, donde δφ es pequeño y una función

diferenciable que se anula en 0=x y 1=x (ya que φ es dado en estos dos

puntos). Esta pequeña variación en φ causará variación en F , la cual puede ser escrita

como:

( ) ( ) ( )( )2δφδφδφφ OFFFF +=−+=∆ (1.22)

Donde:

Fδ Es el término de primer orden en δφ .

( )( )2δφO Representa la suma de los términos de segundo orden u orden superior de

δφ .


El término de primer orden, Fδ es referido usualmente a la primera derivada de F ,

puede ser calculado convenientemente como:

( ) ( ) ( )e

FeFFe

φδφφφδ −+=

→0lim (1.23)

De acuerdo con la teoría la condición necesaria para que F sea mínima cuando

( ) ( )xx φφ =~ es:

( ) 0=φδF (1.24)

Para la función dada en (1.21), se expresa que:

( ) 011

0

1

0=++ ∫∫ dxxdx

dxd

dxd δφδφφ

(1.25)

Integrando por parte el primer término, se obtiene:

011

0 2

21

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−− ∫

=

=

dxxdxd

dxd x

x

δφφφδφ (1.26)

Ya que δφ es la función arbitraria que satisface las condiciones

010==

== xxδφδφ , se concluye que ( )xφ satisface la ecuación diferencial (1.17)


Ahora, se procederá con el método de Ritz para encontrar ( )xφ . De acuerdo con el

método, primero se expande φ~ en términos de polinomios:

( ) 34

2321

~ xcxcxccx +++=φ (1.27)

Donde ( )4,3,2,1=ici , son constantes a ser determinadas.

Aplicando las condiciones de frontera (1.18) y (1.19), se obtienen las condiciones

01 =c y 432 1 ccc −−= , las cuales reducen (1.27) a:

( ) ( ) ( )xxcxxcxx −+−+= 34

23

~φ (1.28)

Sustituyendo (1.28) en (1.21) y realizando la integración, se obtiene:

34

41

6023

21

61

52

344323

24 +−−++= ccccccF (1.29)

Las derivadas con respecto a 3c y 4c son dadas por:

41

21

31

433

−+=∂∂ cccF

(1.30)

6023

54

21

434

−+=∂∂ cccF

(1.31)


Igualando a cero (1.30) y (1.31), se obtienen dos ecuaciones lineales con solución

21

3 =c y 61

4 =c . Estos resultados son los mismos de la expresión dada en

(1.20). Se obtiene la solución exacta en este caso porque se pudo emplear la función

prueba. En muchos casos esto no es posible y solo se obtiene una solución aproximada.

1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin.

Se retoma el problema usando el método de Galerkin. La ecuación del residuo ponderado

para (1.17) es:

01~2

21

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∫ dxx

dxdwiφ

(1.32)

Usando la misma expansión para φ~ dada en (1.28), y dejando xxw −= 21 y

xxw −= 32 (siendo 1w y 2w la función de expansión asociada con 3c y

4c ), se obtiene:

041

21

31

43 =−+ cc (1.33)

06023

54

21

43 =−+ cc (1.34)


La solución de esta ecuación resulta nuevamente 21

3 =c y 61

4 =c , siendo la

misma solución exacta.


CAPÍTULO 2. Método de Elementos Finitos.

Después de analizar en el capítulo anterior los dos métodos clásicos ( método variacional

de Ritz y el método de Galerkin) que constituyen la base del Método moderno de

Elementos Finitos se retoma el mismo ejemplo aplicando funciones de subdominios de

expansión, que es lo mismo decir: Método de Elementos Finitos.

2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión.

Se observa que un punto importante en los métodos de Ritz y de Galerkin es la selección de

funciones de prueba definidas sobre la solución en todo el dominio representando

aproximadamente la solución verdadera. Para muchos problemas esto es una gran

dificultad y en algunos casos imposible, como es en problemas de dos y tres dimensiones.

Para solucionar esta dificultad, se puede dividir todo el dominio en pequeños subdominios

y usar la función tanteo definida en cada subdominio. Tales funciones de prueba son por

lo general más simples que funciones de dominio entero, ya que los subdominios son

menores y permiten obtener ( )xφ de una manera aproximada y con suficiente precisión.

Se ilustrará este procedimiento, reconsiderando el problema definido por (1.17) - (1.19).

Primero se divide la solución de todo el dominio (0.1) en tres subdominios definidos por

( )21 , xx , ( )32 , xx y ( )43 , xx siendo 1x y 4x los puntos extremos


01 =x y 14 =x . Los otros dos puntos pueden ser 31

2 =x y

32

3 =x , resultando una subdivisión igual, aunque esto no es absolutamente necesario.

Se asume una variación lineal de ( )xφ para cada subdominio definido por:

( )ii

ii

ii

ii xx

xxxxxx

x−−

+−−

=+

++

+

11

1

1~ φφφ (2.1)

Para 1+≤≤ ii xxx e 3,2,1=i , donde iφ son constantes no conocidas a ser

determinadas. Un examen cuidadoso de (2.1) revela que iφ representa el valor de

( )xφ en ixx = . Para las condiciones de frontera (1.18) y (1.19) se encuentra

01 =φ y 14 =φ . Se pueden determinar las dos constantes que restan 2φ y 3φ

usando el método de Ritz y de Galerkin.

Primero, se aplica el método de Ritz, el cual se alcanza minimizando la función F . Para

esto, se sustituye (2.1) en (1.21) encontrando que:

( )∑ ∫∫= +

++

+

+

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= ++3

1 11

1

1

2

1

1 11 121

i

x

xii

ii

ii

ii

x

xii

ii i

i

i

i

dxxx

xxxxxxxdx

xxF φφφφ

(2.2)

Evaluando las integrales, se obtiene:


( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= ++++

++

=∑ 1

31

321

31

32

21

111

2

1

11

3

1iiiiii

ii

iiii

i

xxxxxx

xxF φφφφ

(2.3)

Puede ser escrito además como:

2749

922

94333 3232

23

22 +−+−+= φφφφφφF (2.4)

Después se sustituyen los valores de ix , 1φ y 4φ . En F minimizada, se toman las

derivadas parciales con respecto a 2φ y 3φ y se igualan a cero:

09436 32

2

=+−=∂∂ φφφF

(2.5)

092263 32

3

=−+−=∂∂ φφφF

(2.6)

De las cuales se obtienen:

8114

2 =φ y 8140

3 =φ (2.7)

El resultado puede ser obtenido además usando el método de Galerkin, en el cual se

escogen las funciones de expansión implicadas por (2.1) como las funciones ponderadas

iw a ser empleadas en (1.32).


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

−−

=

+

+

−

−

ii

i

ii

i

i

xxxx

xxxx

w

1

1

1

1

1

1

+

−

≤≤

≤≤

ii

ii

xxx

xxx

(2.8)

Para 3,2=i . La ecuación de línea para 2φ y 3φ puede ser obtenida sustituyendo

(2.1) y (2.8) en (1.32). Pero antes de hacer esto, se nota que φ~ es representado por

(2.1) siendo diferenciado sólo una vez. Se reduce el orden de diferenciación en φ~ por

integración por partes, procedimiento que resulta de la transferencia de la primera derivada

de la función ponderada:

dxdxd

dxdw

xx

dxdwdx

dxdw i

i

i

i

x

x

i

i

ii

x

x iφφφ ~~~

1

1

1

1 1

12

2

∫∫+

−

+

−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+ (2.9)

Ya que iw anula a 1−ix y 1+ix , (1.32) puede ser escrita como:

( ) 01~

1

1

1

1

=++ ∫∫+

−

+

−

dxwxdxdxd

dxdw i

i

i

i

x

x i

x

x

i φ (2.10)

Sustituyendo (2.1) y (2.8) en la ecuación anterior y evaluando las integrales, se obtiene:

09436 32 =+− φφ (2.11)


092263 32 =−+− φφ (2.12)

Figura 2.1 Resultados numéricos comparados con la solución exacta.

Cuyas ecuaciones son las mismas dadas en (2.5) y (2.6). La solución, por supuesto, es

la misma que en (2.7).

Una vez que se obtiene la solución en ix , la solución en otros puntos es obtenida de la

interpolación lineal basada en (2.1). El resultado para este ejemplo es ploteado en la figura.

2.1 y comparado con la solución exacta. Es visto que aunque valores exactos fueran

obtenidos en ix , hay una pequeña discrepancia en otros puntos. Tal discrepancia se hará

aún más pequeña cuando se aumenta el número de subdivisiones.

El procedimiento de solución descrito es exactamente el del Método de Elementos Finitos.

El procedimiento que emplea el método de Ritz por lo general es mencionado como el

Método de Elementos Finitos de Ritz o el Método de Elemento Variacional Finito, mientras

que el que emplea el método de Galerkin por lo general es mencionado como el Método de

Elementos Finitos de Galerkin.

Del ejemplo anterior, se observa que el Método de Elementos Finitos difiere a partir de los

clásicos métodos de Ritz y de Galerkin en la formulación de la función de prueba. En el


método clásico de Ritz y de Galerkin la función de prueba es formulada como una

combinación de un juego de funciones de base definidas sobre el dominio entero. Esta

combinación debe ser capaz de representar, al menos aproximadamente, la solución

verdadera y también debe satisfacer condiciones apropiadas divisorias. En el Método de

Elementos Finitos, la función de prueba es una combinación de un juego de funciones de

base definidas sobre los subdominios que comprenden el dominio entero. Como se notó

antes, ya que los subdominios son pequeños, la función base definida sobre un subdominio

puede ser bastante simple.

En este punto, cabe preguntar: ¿Por qué se introduce el Método de Elementos Finitos, cómo

se observa en el ejemplo anterior el esfuerzo requerido para solucionar el problema usando

funciones base de dominio completo y funciones base de subdominios?

La respuesta a esta pregunta tiene dos partes:

Primero, en el ejemplo anterior se trataba con un problema dimensional. Es verdad que

para casi todos los problemas dimensionales siempre se pueden encontrar las funciones de

prueba requeridas. Sin embargo, cuando se analizan problemas de dos o tres dimensiones

es muy difícil y a menudo imposible encontrar las funciones de prueba de dominio enteras

requeridas, en particular para problemas con fronteras irregulares. Segundo, en el ejemplo

anterior, se llega a la solución usando papel y lápiz, procedimiento aplicable sólo a

problemas muy sencillos. Para problemas complicados de interés práctico se empleará la

computadora, escribiendo un programa que describa el procedimiento para la solución del

mismo. Como se verá más adelante, el Método de Elementos Finitos es mucho mejor para

un determinado propósito que el método clásico de Ritz y de Galerkin.

Con este método es posible escribir un programa general determinado que pueda tratar con

límites y muchos problemas diferentes.

A modo de conclusión, la idea de usar un subdominio de la función base hace posible

aliviar el problema de los valores de fronteras lo que hace este método más práctico al

emplear técnicas de cómputo. Por esta razón el Método de Elementos Finitos es el método

de análisis más ampliamente usado en el diseño asistido por computadoras.


2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos.

Después de introducir el Método de Elementos Finitos, se definirá el método de una forma

más abstracta y se describirán sus puntos básicos. Algunos de los conceptos introducidos

en esta sección aparecen con alguna dificultad de comprensión, pero llegarán a ser claros

con los problemas que se enfocarán posteriormente.

El Método de Elementos Finitos es un procedimiento numérico para obtener la solución de

problemas de valor mínimo como se ha visto en algunos ejemplos, el principio del método

debe sustituir un dominio entero continuo por un número de subdominios en los cuales la

función incógnita es representada por funciones de interpolación con coeficientes

desconocidos. Los sistemas de ecuaciones algebraicos son obtenidos aplicando el

procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, la solución del problema del

valor límite es alcanzado resolviendo el sistema de ecuaciones. Por lo tanto, el análisis de

elementos finitos en el problema del valor de frontera puede incluir los siguientes puntos

básicos:

• Discretización o subdivisión del dominio.

• Selección de las funciones de interpolación.

• Formulación del sistema de ecuaciones.

• Solución del sistema de ecuaciones.

2.3 Discretización del dominio.

La discretización del dominio, es decir Ω , es el primero y quizás el punto más importante

en todo el análisis de elementos finitos porque el modo en el cual es discretizado el

dominio afectará los requerimientos de recursos de cómputo, el tiempo computacional y la

exactitud de los resultados numéricos. En este punto, el dominio entero Ω es subdividido

en pequeños subdominios, denotados como ( )Mee ,...,3,2,1=Ω , con M denotando

el número total de subdominios. Estos subdominios son usualmente referidos como


“elementos”. Para el dominio en primera dimensión (líneas rectas o curvadas) los

elementos son segmentos de líneas cortas interconectados para formar la línea original.

(figura. 2.2 a). Para el dominio en 2 dimensiones, los elementos son usualmente pequeños

triángulos y rectángulos (figura. 2.2 b). Los elementos rectangulares son, por supuesto,

mejor opción para discretizar regiones rectangulares, mientras que los triangulares pueden

ser usados para regiones irregulares. En la solución de 3 dimensiones, el dominio puede

ser subdividido en tetraedros, prismas triangulares o cuerpos rectangulares (figura. 2.2 c).

Los tetraedros son más simples y mejor opción para dominios de volumen arbitrario. Se

nota que segmentos de rectas lineales, triangulares y tetraedro son elementos básicos en

una, dos y tres dimensiones que modelan líneas curvadas o superficies por segmentos de

líneas rectas o patches planos. En la figura. 2.3 se dan dos ejemplos mostrando la

discretización del elemento finito en el dominio de dos y tres dimensiones.

Figura 2.2 Básicos elementos finitos. a) Una dimensión , b) Dos dimensiones ,

c) Tres dimensiones.


Figura 2.3 Ejemplo de discretización del elemento finito. a) Dos dimensiones con

elementos triangulares, b) Tres dimensiones con elementos tetraedros.

En las soluciones de elementos más finitos, el problema es formulado en términos de la

función desconocida φ en nodos asociados con los elementos. Por ejemplo, un elemento

de línea linear tiene dos nodos, uno en cada punto final. Un elemento linear triangular tiene

tres nodos, localizados en sus tres vértices, mientras que un tetraedro linear tiene cuatro

nodos, localizados en sus cuatro esquinas. Para la puesta en práctica de los objetivos, es

necesario describir estos nodos. Una descripción completa de un nodo contiene sus valores

de coordenada, el número local y el número global. El número local de un nodo indica su

posición en el elemento, mientras que el número global especifica su posición en el

sistema entero. Especificar los valores de coordenada, la enumeración de nodos y

elementos requiere alguna estrategia. Será visto que la formulación de elementos finitos

por lo general causa una matriz cuyo ancho de banda es determinada por la diferencia

máxima entre los números globales de dos nodos en un elemento. Numerando

correctamente los nodos se puede reducir el ancho de banda. Sin embargo, en el caso


donde la minimización del ancho de banda es innecesaria, el esquema de enumeración

puede ser arbitrario.

La discretización del dominio por lo general es considerada una tarea previa porque puede

ser completamente separada de otros pasos. Muchos paquetes de programas de elementos

finitos bien desarrollados tienen la capacidad de subdividir una línea formada

arbitrariamente, la superficie, y el volumen en los elementos correspondientes y también

brinda la optimización global.

2.4 Selección de las funciones de interpolación.

El segundo punto del análisis de elementos finitos es la selección de una función de

interpolación que proporciona una solución aproximada de la solución desconocida dentro

de un elemento. La interpolación por lo general es seleccionada para hacer un polinomio

de primer orden, segundo y orden superior. Los elementos de orden superior, aunque muy

exactos, por lo general causan una formulación más complicada que los polinomios de

orden inferior. De ahí que la interpolación lineal simple todavía es usada extensamente.

Una vez que el orden del polinomio es seleccionado, se puede sacar una expresión para la

solución del elemento desconocido, se hablará del elemento e , en la forma siguiente:

eTeeTeej

n

j

ej

e NNN φφφφ === ∑=1

~ (2.13)

Donde:

n Es el número de nodos del elemento.

ejφ Es el valor de φ en el nodo j del elemento.


ejN Es la función de interpolación para el nodo j , que también conocen como la función

de base o la extensión.

Las funciones de mayor orden ejN para un elemento dado se menciona como la orden

del elemento, por ejemplo, si el ejN son funciones lineales, el elemento e es un

elemento lineal. Un rasgo importante de las funciones ejN es que ellos son no nulos sólo

dentro del elemento e , y fuera de este elemento ellos desaparecen.

2.5 Formulación del sistema de ecuaciones.

El tercer punto en el análisis de Método de Elementos Finitos es formular el sistema de

ecuaciones. Ambos métodos variacionales (Ritz y Galerkin) pueden ser usados para este

propósito, en una manera similar a las secciones precedentes. Se verá primero la

formulación por el variacional de Ritz.

2.5.1 Formulación por el método de Ritz.

Se considera nuevamente el problema definido en (1.1) y para simplificar se asumirán

valores reales. La función F dada en (1.5) puede ser expresada como:

( ) ( )eM

e

eFF φφ ~~1∑=

= (2.14)

Donde:

M Es el número de los elementos del dominio completo y


( ) ∫Ω=e

eeeF φφ ~21~

£ ∫Ω Ω−Ωe

dfd ee φφ ~~ (2.15)

Sustituyendo (2.13) en (2.15), se obtiene:

∫Ω=e

eTee NF φ21

£ ∫Ω Ω−Ωe

dNfdN eTeeTe φφ (2.16)

La cual puede ser escrita en la forma matricial como:

[ ] eTeeeTee bKF φφφ −=21

(2.17)

Donde:

[ ]eK Es una matriz nn×

eb Un vector columna 1×n con los elementos dados por:

∫Ω=e

ei

eij NK £ ΩdN e

j (2.18)

y

Ω= ∫Ω dfNbe

ei

ei (2.19)

Se nota que la matriz elemental [ ]eK es simétrica ya que £ es auto adjunta. Sustituyendo

(2.17) en (2.14), se obtiene:


( ) [ ] ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

M

e

eTeeeTe bKF1 2

1~ φφφφ (2.20)

Realizando la sumatoria y adoptando números de nodos globales, se puede escribir como:

[ ] bKF TT φφφ −=21

(2.21)

Donde:

[ ]K Es la matriz simétrica NN × , con N siendo el número total de incógnitas por

nodos.

φ Un vector incógnita 1×N cuyos elementos son coeficientes de expansión no

conocidos.

b El vector conocido 1×N .

El sistema de ecuaciones es obtenido imponiendo el requerimiento estacionario

0=Fδ , o colocando la derivada parcial de F con respecto a iφ a cero:

( ) 021

1

=−+=∂∂ ∑

=ij

N

jjiij

i

bKKF φφ .,...,3,2,1 Ni = (2.22)

Ya que [ ]K es simétrico, jiij KK = , por lo tanto (2.22) queda:

01

=−=∂∂ ∑

=ij

N

jij

i

bKF φφ Ni ,...,3,2,1= (2.23)

O en la forma matricial:

[ ] bK =φ (2.24)


Un equivalente pero con una derivación ligeramente diferente de (2.24) es primero tomar la

derivada de eF con respecto a

eiφ :

∫Ω=∂∂

e

eie

i

e

NFφ £ ∫Ω Ω−Ω

edfNdN e

ieTe φ ni ,...,3,2,1= (2.25)

La cual puede ser escrita en la forma matricial:

[ ] eeee

e

bKF−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂ φφ (2.26)

Donde:

T

en

e

e

e

e

e

e

e FFFF⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂

φφφφ,...,,

21

Para obtener el sistema de ecuaciones, es necesario primero encontrar φ∂∂F , donde:

T

N

FFFF⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂

φφφφ,...,,

21

Ya que solo los elementos que son directamente conectados al nodo i contribuyen a

iF φ∂∂ , φ∂∂F puede ser obtenido expandiendo eeF φ∂∂ en un vector

columna 1×N para cada elemento, usando la relación entre los nodos de números

globales y locales y adicionándolos:


∑= ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂ M

ee

eFF1 φφ (2.27)

Donde eF∂ es usado para denotar el vector que ha sido expandido o aumentado. El

sistema de ecuaciones es obtenido imponiendo el requerimiento estacionario:

[ ] ( ) 011

=−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂ ∑∑

==

M

e

eeeM

ee

e

bKFF φφφ (2.28)

Donde todos los vectores y matrices seguidos de los signos de sumatoria han sido

expandidos o aumentados. Siendo más especifico, [ ]eK es expandida (rellenos por cero)

de [ ]eK a una matriz NN × usando la relación entre nodos de números locales y

globales. Similarmente, eφ y eb son aumentados a vectores columna 1×N .

Como resultado, (2.28) puede además ser escrito como (2.24). Aparentemente, esta

alternativa de derivación es menos elegante que la derivación previa. Sin embargo, esto

fue introducido porque es similar a la formulación de Galerkin, como se observa a

continuación.

2.5.2 Formulación por el método de Galerkin.

El sistema de ecuaciones puede además ser formulado por el método de Galerkin. Para

(1.1), el residuo ponderado para este elemento es:

(∫Ω=e

ei

ei NR £ ) Ω− dfeφ~ ni ,...,3,2,1= (2.29)


Sustituyendo (2.13) en (2.29) se obtiene:

∫Ω=e

ei

ei NR £ ∫Ω Ω−Ω

edfNdN e

ieTe φ ni ,...,3,2,1= (2.30)

La cual puede ser escrita nuevamente en la forma matricial:

[ ] eeee bKR −= φ (2.31)

Aquí [ ]Ten

eee RRRR ,...,, 21= y los elementos de la matriz eijK y

eib son

de la misma forma que en (2.18) y (2.19), respectivamente. Porque el operador £ no

tiene necesidad de ser auto adjunta aquí, la matriz elemental [ ]eK no es necesariamente

simétrica. Ya que la expansión y por lo tanto la función ponderada asociada al nodo,

abarca todos los elementos conectados directamente al nodo, el residuo ponderado iR

asociado con el nodo i es la sumatoria de todos los elementos conectados directamente al

nodo i . Por lo tanto, si se expande (2.31) relacionando el global y el local y sumando

cada uno de estos elementos se encuentra que:

[ ] ( )∑∑==

−==M

e

eeeM

e

e bKRR11

φ (2.32)

Donde [ ]TNRRRR ,...,, 21= . Nuevamente se nota que todos los vectores y

matrices siguientes al signo de sumatoria en (2.32) han sido aumentados o expandidos del


mismo modo que el descrito anteriormente. El sistema de ecuaciones puede ser obtenido

colocando (2.32) a cero:

[ ] ( ) 01

=−∑=

M

e

eee bK φ (2.33)

El cual puede ser escrito nuevamente en la forma de (2.24).

Antes de que el sistema de ecuaciones (2.24) este listo para una solución específica, se

tienen que aplicar las condiciones de frontera requeridas. Existen dos tipos de condiciones

de fronteras como son: Una, la condición de frontera de Dirichlet, que prescribe φ en la

frontera tal como (1.18) y (1.19); y la otra, la condición de frontera homogénea de

Neumann, que requiere la derivada normal de φ en la frontera. La primera es una

condición esencial de frontera que debe ser impuesta explícitamente, en contraste con la

segunda, que por lo general se satisface implícitamente y automáticamente en el proceso de

solución. Por esta razón a menudo llaman a la condición de Neumann la condición de

frontera natural.

Es visto que la formulación de un sistema de ecuaciones en realidad es compuesta de tres

subpasos:

1. Formular la ecuación elemental (2.17) o (2.31) utilizando cualquiera de los dos

métodos.

2. Se suman las ecuaciones elementales sobre todos los elementos para formar el

sistema de ecuaciones, proceso llamado ensamblaje.

3. Se imponen las condiciones de frontera obteniendo la forma final del sistema de

ecuaciones.

En la implementación en la computadora, los tres subpasos por lo general no son separados,

son entrelazados. La generación de la matriz elemental y la imposición de las condiciones

de frontera por lo general ocurren durante el proceso de ensamblaje.


2.6 Solución del sistema de ecuaciones.

La solución del sistema de ecuaciones es el paso final en el análisis del Método de

Elementos Finitos. El sistema resultante tiene una de las dos formas siguientes:

[ ] bK =φ (2.34)

[ ] [ ] φλφ BA = (2.35)

La ecuación (2.34) es del tipo determinística, siendo el resultado una ecuación diferencial

no homogénea o condiciones de fronteras no homogéneas o ambas. En electromagnetismo,

el sistema determinista por lo general es asociado con la dispersión, la radiación y otros

problemas donde existe una fuente o la excitación. Al contrario, (2.35) es del tipo de valor

propio, siendo resultado de una ecuación homogénea diferencial gobernante y condiciones

de frontera homogéneas. En electromagnetismo, los sistemas de valor propio por lo general

son asociados con problemas sin fuente como la propagación de ondas de guías de onda y

resonadores de cavidad. En este caso, el vector conocido b desaparece y la matriz

[ ]K puede ser escrita como [ ] [ ]BA λ− , donde λ es un valor propio.

Una vez que se ha solucionado el sistema de ecuaciones para φ , entonces se pueden

calcular los parámetros deseados, como la capacitancia, la inductancia, impedancia de

entrada y el modelo de radiación; y mostrando el resultado en forma de curva, plots o

cuadros en color, que son más significativos o interpretables.


2.7 Una alternativa de la formulación del Método de Elementos Finitos.

En la descripción precedente del procedimiento de solución por el Método de Elementos

Finitos, puede ser difícil de comprender el proceso de ensamblaje, que es el paso de (2.20)

a (2.21) o de (2.28) y (2.33) a (2.24). Ya que [ ]K y b en (2.21) y (2.24) no tienen

ninguna expresión explícita para sus elementos, el procedimiento completo del Método de

los Elementos Finitos aparece complicado y la simplicidad ilustrada por el ejemplo de la

sección dos ahora se ha degradado. Para restaurar esta simplicidad perdida, se presentará la

formulación del sistema de ecuaciones de elementos finitos desde una perspectiva diferente.

Una característica importante en esta presentación alternativa debe escribir la expansión

para φ~ en términos de las cantidades de nodos desconocidos etiquetados por un número

global. Ya que ejN son no nulo solo dentro del elemento e y fuera de este elemento

ellos desaparecen, φ~ en el dominio entero puede ser expresado como:

ej

M

e

n

j

ejN φφ ∑∑

= =

=1 1

~ (2.36)

Usando la relación entre números de nodos locales y globales, se puede rescribir (2.36), al

menos en principio como:

j

N

j

gjN φφ ∑

=

=1

~ (2.37)

Donde:

N Denota el número total de nodos.

gjN Denota la función expansión para jφ con el índice superior g empleado para

acentuar que la j de subíndice asociado es el número global.


Aparentemente, gjN es no nulo sólo dentro del elemento conectado al nodo j , y un

ejemplo es dado en la figura. 2.4 para elementos lineales triangulares. Sustituyendo (2.37)

dentro de la función F .

( ) ∫Ω= φφ ~21~F £ ∫Ω Ω−Ω dfd φφ ~~

(2.38)

Y tomando la derivada parcial de F con respecto a iφ , se obtiene:

∑ ∫=

Ω=

∂∂ N

j

gij

i

NF1

φφ £ ∫Ω Ω−Ω dfNdN g

igj Ni ,...,3,2,1= (2.39)

El sistema de ecuaciones es obtenido usando el requerimiento estacionario

( )0=∂∂ iF φ y puede ser escrito en forma de matriz como:

[ ] bK =φ (2.40)

Donde:

∫Ω= giij NK £ ΩdN g

j (2.41)

Ω= ∫Ω

dfNb gii (2.42)


Figura 2.4 Ilustración de gjN en elementos triangulares lineares.

El mismo resultado puede también ser obtenido usando el método de Galerkin sustituyendo

(2.37) en las ecuaciones del residuo ponderado:

(∫Ω= gii NR £ ) 0~

=Ω− dfφ Ni ,...,3,2,1= (2.43)

En esta formulación, al parecer se han encontrado expresiones explícitas para ijK y

ib . Lamentablemente, este aspecto es engañoso porque la expresión explícita para gjN

no esta fácilmente disponible. Aunque sea posible encontrar gjN con el conocimiento

de ejN y la relación entre los sistemas de enumeración locales y globales, el

procedimiento es complicado. Se puede notar que la diferencia principal entre la

formulación presente y la anterior está en la etapa en la cual la relación entre los números

locales y globales es usada. En la formulación anterior, esto es usado en el proceso de

ensamblaje mientras que en el presente esto es usado en el proceso de encontrar gjN para

un número de nodo dado. La carga obviamente ha cambiado. Pero el antiguo método,

donde cada cantidad es bien definida y fácilmente calculada, requiere menos esfuerzos que

este. Por esta razón, programas en la computadora de elementos finitos por lo general son


desarrollados basados en la formulación anterior, por lo tanto, es preferible describir el

método de este modo.

Sin embargo, la formulación presente tiene una ventaja muy distinta que no es compartida

con el anterior. Primero, su formulación es muy simple. Segundo, y más importante

demuestra claramente el principio básico del Método de Elementos Finitos. En la

formulación, el uso de los métodos variacionales de Ritz y de Galerkin se asemejan más a

los métodos clásicos perfilados en la sección 1.4 que el procedimiento empleado en la

formulación anterior. Por consiguiente, se puede notar inmediatamente las semejanzas y

diferencias entre el Método de Elementos Finitos y los métodos clásicos de Ritz y de

Galerkin.

En conclusión, en la práctica, la formulación es preferida cuando se describe el

procedimiento del Método de Elementos Finitos, mientras que el presente es más ilustrativo

cuando el principio básico del método está afectado.

CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos. 41

CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos.

Después de analizar en los capítulos anteriores los dos métodos clásicos (método

variacional de Ritz y el método de Galerkin) que constituyen la base del Método moderno

de Elementos Finitos e introducir a través de un ejemplo las funciones de subdominios de

expansión, que es lo mismo decir: Método de Elementos Finitos, y sus puntos básicos, en

este capítulo se dará solución a varios problemas que ponen de manifiesto la aplicación del

método.

3.1 Ejemplo # 1: Onda plana uniforme.

El problema ilustrado en la figura. 3.1 consiste en una onda plana uniforme que incide

sobre una fina capa de dieléctrico no homogéneo sobre un plano conductor. El dieléctrico

tiene un ancho L , permitividad relativa rε y permeabilidad relativa rµ , los cuales

pueden ser funciones de x . El medio circundante es espacio libre con 1== rr µε .

Se desea encontrar la potencia reflejada.


Figura. 3.1 Onda plana reflejada sobre una fina capa de dieléctrico.

Conociendo que cualquier onda plana puede ser descompuesta en una onda plana

polarizada zE teniendo solo una componente z para el campo eléctrico y una onda

plana polarizada zH teniendo solo a una componente z para el campo magnético. Por

lo tanto, es suficiente considerar solo estos dos casos de polarización. Para el caso de

polarización zE , la onda incidente puede ser representada por:

( ) θθ ysenjkxjko

incz

ooeEyxE −= cos, (3.1)

Donde:

oE Es la constante que denota la magnitud del campo incidente.

θ Es el ángulo de incidencia definido en la figura. 3.4.


Obviamente, para satisfacer la condición de continuidad del campo en la interfase

perpendicular del eje x el campo total debe tener un factor común θysenjkoe−

. Con esta

observación, la ecuación (Anexo IV) domina al campo eléctrico zE que es reducida a:

011 22 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

rro

z

r

Esenkdx

dEdxd θ

µε

µ (3.2)

La condición de frontera impuesta a zE es la condición de Dirichlet:

00=

=xzE (3.3)

Similarmente, para el caso de polarización zH , la onda incidente puede ser representada

por:

( ) θθ ysenjkxjko

incz

ooeHyxH −= cos, (3.4)

El campo magnético total satisface la ecuación escalar Helmholtz:

011 22 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

rro

z

r

Hsenkdx

dHdxd θ

εµ

ε (3.5)

Y la condición de límite Neumann:

00

==x

z

dxdH

(3.6)


3.1.1 Solución analítica.

Este problema puede ser resuelto analíticamente primero dividiendo el dieléctrico en

muchas capas ( M capas) figura. 3.2. Dentro de cada capa la permitividad y

permeabilidad relativa rε y rµ pueden ser aproximadamente constantes, denotadas

por mrε y mr

µ ( )Mm ,...,3,2,1= . Por lo tanto, la solución de (3.2) para la m-

ésima capas puede ser expresado como:

( ) θysenjkxjkm

xjkmz

omxmx

meeBeAE −−+= (3.7)

Donde:

mA y mB son constantes no conocidas y θεµ 20 senkk

mmm rrx −=

Figura 3.2 Dieléctrico dividido en M capas.


A partir de (3.7) se puede encontrar la expresión para myH usando las ecuaciones de

Maxwell. Exigiendo que zE y yH sean continuos en la interfase entre dos capas, la

capa mth y ( )thm 1+ , se obtiene:

11

1

12

2,1

2,1

11

++

+

+

−+

−+

++

+= mmx

mmx

mmxxjk

xjkmmm

xjkmmm

m eeR

eRR

η

η (3.8)

Donde:

1+mx Denota la posición de la interfase.

mmm ABR =

mmmm

mmmm

xrxr

xrxrmm kk

kk

11

11,1

++

++

+

−=+ µµ

µµη (3.9)

Debido a la condición de frontera (3.3) 011 =+ BA y de este modo 11 −=R .

Con esto, se obtiene 2R a partir de (3.8), 3R y así sucesivamente. Finalmente, se

obtiene 1+MR , coeficiente de reflexión en el cual se está interesado. El porcentaje de la

potencia reflejada por el conductor es 2

1+MR .

Un procedimiento similar puede ser aplicado al caso de polarización zH .

Nuevamente uno encuentra la relación dada en (3.8) excepto que ahora mm ,1+η sería:


mmmm

mmmm

xrxr

xrxrmm kk

kk

11

11,1

++

++

+

−=+ εε

εεη

(3.10)

A partir de la condición de límite (3.6) se encuentra que 011 =− BA , de este modo

11 =R . Usando la relación (3.8), se puede encontrar el coeficiente de reflexión 1+MR

aplicable al caso de polarización zH .

3.1.2 Solución por los elementos finitos.

Ahora, se analizará la solución del problema por el Método de Elementos Finitos. Para

ello, primero se identifica el dominio. El dominio para este problema es semi-infinito

( )∞<≤ x0 , el Método de Elementos Finitos no puede ser aplicable directamente a tal

dominio infinito. Por lo tanto, se necesita reducir el dominio introduciendo un límite

artificial con una condición de límite apropiada. Por motivos de eficiencia el límite

artificial debe hacer al dominio lo más pequeño posible, para este problema la mejor

elección posible es poner a Lx = , donde L denota el espesor de la capa.

Después se necesita encontrar una condición de frontera apropiada para este límite. Notar

que fuera del dieléctrico, el campo total puede ser expresado como la superposición del

campo incidente y el reflejado. Para el caso de polarización zE se tiene que:

( ) θθ coscos xjko

xjkoz

oo eREeExE −+= Lx > (3.11)


Donde R denota el coeficiente de reflexión y el factor común θysenjk oe −

ha sido

suprimido. Realizando la derivada de zE con respecto a x , se obtiene:

( )θθθ coscoscos xjko

xjkoo

z oo eREeEjkdx

dE −−= Lx> (3.12)

El cual además puede ser escrito como:

( )xEjkeEjkdx

dEzo

xjkoo

z o θθ θ coscos2 cos −= Lx > (3.13)

o

( ) θθθ cos

0

cos2cos Ljkoo

Lxzo

z oeEjkxEjkdx

dE=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

+= (3.14)

Esta condición es válida sólo fuera de la frontera de la superficie donde 1=rµ . Si se

deseara fijar las condiciones de frontera dentro de la superficie, la condición de frontera

puede ser derivada desde (3.14) teniendo en cuenta que:

00 +=−==

LxzLxz EE y oLx

z

Lx

z

r dxdE

dxdE

+=−=

=0

1µ

La cual es el resultado de la condición de continuidad para zE y yH . De este modo se

encuentra que:

( ) θθθµ

cos

0

cos2cos1 Ljkoo

Lxzo

z

r

oeEjkxEjkdx

dE=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−= (3.15)


Siendo válida la condición justo dentro de la frontera de la superficie, (3.14) y (3.15) son

equivalentes y la selección de ellos no afecta la solución. De igual manera para el caso de

polarización zH se encuentra la condición de frontera a ser impuesta en zH como:

( ) θθθ cos

0

cos2cos Ljkoo

Lxzo

z oeHjkxHjkdx

dH=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

+= (3.16)

o

( ) θθθε

cos

0

cos2cos1 Ljkoo

Lxzo

z

r

oeHjkxHjkdx

dH=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−= (3.17)

Con las ecuaciones diferenciales dadas por (3.2) y (3.5), las condiciones de frontera dadas

por (3.3) y (3.6) en 0=x , y sólo se tiene derivada en Lx = , se puede proceder a

aplicar el Método de Elementos Finitos para obtener la solución numérica del problema.

Primero se divide el dieléctrico, o el dominio ( )L,0 , en un número finito de capas,

llamado nuevamente M capas. Cada capa corresponde a un elemento. Comparando

(3.2) con (Anexo V) y (3.14) o (3.15) con (Anexo VI) se reconoce que para el caso de

polarización zE :

zE=φ , rµ

α 1= ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= θµ

εβ 22 1 senkr

ro


θγ cosojk= , θθ coscos2 Ljk

oooeEjkq =

Para el caso de polarización zH ,

zH=φ , rε

α 1= , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= θε

µβ 22 1 senkr

ro

θγ cosojk= , θθ coscos2 Ljk

oooeEjkq =

Por lo tanto, se puede escribir inmediatamente la expresión para el sistema de ecuaciones

basado en resultados derivados anteriormente. Una vez el campo en Lx = ha sido

resuelto, el coeficiente de reflexión puede ser obtenido desde (3.11), o más

específicamente, para la polarización zE :

( )θ

θ

cos

cos

Ljko

Ljkoz

o

o

eEeELxE

R −

−==

Un resultado similar puede ser encontrado para la polarización zH sustituyendo zE

con zH y oE con oH .

Para validar la solución del Método de Elementos Finitos se considera un ejemplo en el

cual la permitividad relativa es seleccionada como

( )( )211.024 Lxjr −−+=ε y la permeabilidad relativa es

1.02 jr −=µ . El dieléctrico tiene un espesor de cinco longitudes de onda, los

resultados son mostrados en la figura. 3.3. Dos grupos de los resultados de elementos

finitos son presentados y comparados con la solución (analítica) exacta, uno con 50

elementos o celdas (51 nodos) y el otro con 100 elementos (101 nodos). Como se


observa, en la medida que el número de nodos se incrementa más se aproxima la solución

del Método de Elementos Finitos a la solución exacta. Además, la correspondencia entre

ambas soluciones es mejor mientras mayor sea el ángulo de incidencia θ . Esto es porque

para θ grandes, corresponde a β menores y desde el punto de vista físico pequeños

β corresponden a grandes períodos del campo en la dirección x .

Figura 3.3 Coeficiente de reflexión del dieléctrico teniendo.


( )( )211.024 Lxjr −−+=ε , 1.02 jr −=µ y λ5=L

a) Polarización - zE , b) Polarización- zH

3.2 Ejemplo # 2: Guías de onda coaxiales.

Se considera la geometría ilustrada en la figura. 3.4, donde dos guías de onda coaxiales que

tienen diferentes radios se unen. Esta geometría es rotacionalmente simétrica con respecto

al eje z , de esta manera el potencial satisface (Anexo VII) en el plano zρ . Desde que la

perturbación es limitada cerca de la unión, el potencial alejado a una cierta distancia de esta

unión puede ser el mismo que en el caso no perturbado. Por eso el potencial

suficientemente alejado de la unión es independiente de z o en otras palabras satisface la

condición:

0=∂∂

zφ

(3.18)

Este caso puede ser usado como la condición de frontera para determinar el dominio de la

solución. En la figura. 3.5 se aprecia una muestra de malla de elementos finitos y note

que la malla es refinada alrededor de la unión, ya que el potencial tiene una alta variación

allí. Los contornos equipotenciales son graficados en la figura. 3.6.


Figura 3.4 Unión entre dos guías de onda coaxiales.

a) Sección transversal en el plano- zρ , b) Dominio de solución.

Figura 3.5 Muestra de subdivisión de elementos finitos.

Figura 3.6 Contornos equipotenciales entre dos guías de ondas coaxiales.


3.3 Ejemplo # 3: Discontinuidad de guías de onda en planos paralelos.

En este ejemplo se discutirá la caracterización de la discontinuidad en guías de onda de

planos paralelos. La geometría genérica es ilustrada en la figura. 3.7, donde la onda

guiada se está propagando de izquierda a derecha. Debido a la existencia de una

discontinuidad-geométrica, material o ambas solo una porción de la potencia de la onda

incidente puede pasar y continuar su propagación a través de la guía de onda. Otra porción

de la potencia se reflejará y se propagará en dirección opuesta. En el diseño de dispositivos

o mediciones de microondas la determinación de las fracciones de potencia que se reflejan

y se trasmiten son de vital importancia.

Figura 3.7 Discontinuidad en guías de onda de planos paralelos.

Para estudiar este problema matemáticamente se asume que la guía de onda esta operando

en muy baja frecuencia de modo que sólo el modo dominante se puede propagar sin

atenuación. Así, en el lado izquierdo bastante alejado de la discontinuidad la onda puede

ser expresada como la sumatoria de las ondas incidente y reflejada:

xjko

xjko

refz

inczz eRHeHHHH 00 +=+= −

(3.19)

Donde:

oH Es una constante.


R Denota el coeficiente de reflexión.

ok Es la constante de propagación.

En el lado derecho, bastante alejada, de la discontinuidad la onda trasmitida puede ser

expresada como:

xjko

transzz

oeTHHH −== (3.20)

Donde:

T Denota el coeficiente de transmisión.

El problema entonces se convierte en la determinación de R y T , y para esto se necesita

considerar el campo cerca de la discontinuidad. Sin embargo, debido a los altos modos

excitados por la discontinuidad, el campo cercano a la discontinuidad no presenta una

forma específica y puede ser muy complicado. Esto puede ser solo determinado por la

solución de la ecuación diferencial:

011 2 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

zroz

r

z

r

Hky

Hyx

Hx

µεε (3.21)

Junto con la condición de frontera en las paredes de la guía:

0=∂∂

nH z

(3.22)

Y las condiciones de continuidad:

−+ = zz HH , nH

nH z

r

z

r ∂∂

=∂∂ −

−

+

+ εε11

(3.23)


Al lugar donde la permitividad cambia abruptamente. Por lo tanto, el problema discutido

aquí es un caso especial del problema general con:

zH=φ , r

yx εαα 1

== , rok µβ 2−= , 0=f

Sin embargo, para aplicar el Método de Elementos Finitos desarrollado previamente, el

dominio infinito puede ser reducido o truncado al dominio finito. Esto puede ser hecho

similar al problema de la figura. 3.4. Específicamente, truncar el dominio introduce dos

fronteras artificiales: una en el lado izquierdo AB y otra en el lado derecho CD de la

discontinuidad. Si AB está lo suficientemente alejado de la discontinuidad (típicamente

una longitud de onda) el campo puede aproximarse a (3.19) y así se tiene:

xjkoozo

xjkoo

xjkoo

z ooo eHjkHjkeRHjkeHjkx

H −− −=+−≈∂∂ 2

(3.24)

Obviamente esto puede ser usado como condiciones de frontera en AB . Similarmente se

pueden obtener las condiciones de frontera aproximadas en CD como:

zoz Hjk

xH

−≈∂∂

(3.25)

Con estas condiciones de frontera se puede proceder para obtener la solución por el Método

de Elementos Finitos del problema. Una vez obtenido el campo los coeficientes de

transmisión y reflexión se derivan usando (3.19) y (3.20). Específicamente ellos pueden

ser calculados como:


( )1

11

xjko

xjkoz

o

o

eHeHxH

R−−

= (3.26)

( )2

2xjk

o

zoeH

xHT −=

(3.27)

Donde:

1x Denota la posición de AB .

2x Denota la posición de CD .

Si no hay pérdidas, los coeficientes de reflexión y transmisión satisfacen la relación:

122 =+ TR

Debido a la conservación de energía. Esta relación puede ser utilizada para la validez de la

solución numérica. Por otra parte, si las pérdidas son considerables el porcentaje de la

potencia incidente disipada en el material puede ser calculada como:

221 TR +−

A modo de ejemplo considérese la geometría mostrada en la figura. 3.8 donde un

dieléctrico rectangular es insertado en las guías de onda de planos paralelos. Un ejemplo de

malla de elementos finitos para esta geometría es dada en la figura. 3.9, y en la figura.

3.10 se muestra los contornos equi- zH . Finalmente, en la figura. 3.11 se da el resultado

para los coeficientes de la reflexión y transmisión en función de la altura del dieléctrico.

Un fenómeno interesante de reflexión total es observado para el caso sin pérdidas.


Figura 3.8 Dieléctrico rectangular insertado en guías de onda de planos paralelos.

Figura 3.9 Malla de muestra del elemento finito.


Figura 3.10 Contornos equi- zH para cmh 175.0=

a) 0.4=rε , b) 0.10.4 jr −=ε , c) 0.100.4 jr −=ε


Figura 3.11 Coeficientes de reflexión y transmisión como funciones del alto del

dieléctrico. a) Reflexión, b) Transmisión.


3.4 Ejemplo # 4: Radiación por un patch microcinta en una cavidad.

La estructura específica a considerar se muestra en la figura. 3.12, donde una antena

microcinta patch o un arreglo de esta reside en un sustrato, que se encuentra alojado en una

cavidad ahuecada en un plano de tierra. En este caso la excitación es debida a fuentes

internas en la cavidad. La formulación para los campos de la cavidad son dados por:

( ) ( ) ( ) dVEEkEEEFV ro

r∫∫∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−×∇⋅×∇= ε

µ21

21

( )∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×∇⋅−⋅+

Vr

oo dVEMEJZjk intint 1µ

( )∫∫ ⋅−oS

dSEPE21

(3.28)

Donde ( )intint , MJ denota las fuentes de corriente eléctricas y magnéticas internas

debido a la alimentación de las antenas. La formulación por elementos finitos para este

problema lleva al mismo sistema matricial (Anexo VIII) excepto que b es ahora debido

a la fuente interna, el cual puede ser conformado de eb dado por:

∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−×∇⋅=

eV

eoo

eer

e dVNJZjkNMb intint1µ (3.29)


Figura 3.12 Geometría del arreglo de microcinta en la cavidad.

3.4.1 Modelos de alimentadores y cargas de antenas.

Cuando se trabaja en el campo de las antenas siempre se encuentra con el problema de

modelar su alimentación e impedancias de carga. Aquí se considera este problema en el

contexto de la formulación por elementos finitos.

A) Alimentador coaxial y generador.

Se consideran dos tipos de modelos para simular una alimentación coaxial, que es una

excitación de antena comúnmente usada. Para sustratos finos la alimentación coaxial puede

ser sustituida por un filamento de corriente, y en este caso, la contribución al vector eb

es simplemente:

( ) ( )dxdyyyxxNzIZjkb ffe

ooe −−⋅−= ∫∫ δδˆλ (3.30)


Donde:

I Denota la corriente eléctrica del filamento.

λ Es su longitud.

( )ff yx , Especifica su posición.

Para sustratos más gruesos un modelo de corrientes magnéticas puede ser empleado. En

ese caso el conductor interno del coaxial es modelado como un poste de conducción y una

corriente magnética equivalente es presentada sobre la abertura del coaxial. Esto es similar

al tratamiento para la abertura de cavidad, pero la región del espacio libre es sustituida

ahora por una guía de onda coaxial. Finalmente, se puede recurrir a un generador simple

para la excitación cuya modelación contribuye a la especificación del campo.

B) Impedancia de carga y de cortocircuito.

Una impedancia de carga ΩLZ puede ser modelada como un poste de conductividad

finita que une ambos, el parche y la base de la cavidad. Asumiendo una tirilla de longitud

λ y de sección transversal s , su conductividad requerida para representar la carga debe

ser ( )sZ Lλ=σ . En consecuencia su contribución a la matriz [ ]eK es:

[ ] dvNNsZ

ZjkK Te

v

e

L

ooe ⋅= ∫∫∫λ

(3.31)

Donde la integración es sobre el volumen del poste. Si el poste es muy delgado, esto se

reduce a:


[ ] ( ) ( )∫∫ −−⋅= dxdyyyxxNNZZjkK LL

Tee

L

ooe δδ2λ

(3.32)

Donde:

( )LL yx , Es la posición específica de la impedancia de carga.

Además, si la tirilla fina coincide con el borde i-ésimo, esto solo contribuye a iiK , y

esta contribución esta dada por Loo ZZjk 2λ .

La condición de cortocircuito por lo general es realizada con un pin cortocircuitado y dos

enfoques pueden ser usados en este caso. El primero de ellos es representarla con una

tirilla de alta conductividad. El otro debe simplemente poner el campo eléctrico a lo largo

de la tirilla a cero. La solución final debe ser la misma independientemente del modelo que

se utilice.

3.4.2 Resultado numérico.

Para el diseño de antena, por lo general interesa la impedancia de entrada de la antena y el

patrón de radiación. Si el modelo de prueba es usado, la impedancia de entrada puede ser

calculada simplemente como el voltaje observado en el punto de alimentación debido a una

corriente eléctrica localizada entre el parche y la tierra. El modelo de radiación puede ser

obtenido evaluando el campo radiado en un punto distante dado por:

( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ′′×⋅+=−

aS

rjk

oorad yxEz

reYjkrH ,ˆˆˆˆˆ2

0

ϕϕθθπ

( ) ydxde senyxsenjko ′′⋅ ′+′ ϕϕθ cos

(3.33)

La cual es la misma expresión que para el campo disperso en un caso disperso.


Los resultados siguientes se obtienen de la antena representada en la figura. 3.13, donde un

parche rectangular de cmcm 4.30.5 × reside en un sustrato de grosor

08779.0=t cm, permitividad relativa 17.2=rε y una pérdida por la tangente de

0015.0 . El sustrato está ubicado en una cavidad rectangular de

cmcmcm 08779.01.55.7 ×× ahuecada en un plano de tierra. El parche es

excitado por una corriente de prueba aplicada en ( )cmycmx ff 85.0,22.1 == y

cargado con un resistor de 50 Ω localizado en ( )cmycmx fL 5.1,2.2 −=−= .

La figura. 3.14 muestra la impedancia de entrada para la antena y los resultados de la

aplicación del Método de Elementos Finitos son comparados con los datos obtenidos para

una antena de microcinta alimentada con un cable coaxial. Esta medición fue hecha en un

modelo de sustrato infinito, sin embargo, mediante el incremento del tamaño de la cavidad

los cálculos mostraron que el tamaño de la cavidad empleada tiene un efecto casi

despreciable sobre la impedancia de entrada. Además para demostrar la capacidad del

Método de Elementos Finitos, la figura. 3.15 muestra la impedancia de entrada calculada

cuando el resistor de 50 Ω es reemplazado por un elemento cortocircuitado, y el

resultado es comparado con el generado sin una impedancia de carga. Por último la figura.

3.16 muestra el patrón de radiación del parche sin carga a su primera frecuencia de

resonancia.

Figura 3.13 Geometría de la antena de microcinta.


Figura 3.14 Comparación de los valores calculados y medidos de una antena de microcinta

con carga, a) Resistencia, b) Reactancia.


Figura 3.15 Impedancia de entrada de una antena de microcinta, con carga y en

cortocircuito, a) Resistencia, b) Reactancia.


Figura 3.16 Patrón de radiación. Línea sólida: patrón del plano E. Línea discontinua:

patrón del plano H.

3.5 Ejemplo # 5: Diseño de una antena bocina corrugada.

Este ejemplo es la radiación por una antena bocina corrugada, la cual es diseñada para

radiar ondas de polarización circular sobre un gran ancho de banda para patrones de

radiación anchos. Un diagrama y una foto de esta antena son mostrados en la figura. 3.17.

La antena es construida sobre unas largas arandelas metálicas con un grosor que alterna

entre 0.07938 cm y 0.3175 cm. En la sección de la guía de onda las arandelas tienen los

radios interiores de 3 cm y 4.8 cm, respectivamente. El patrón de radiación es calculado y

comparado con resultados medidos en varias frecuencias y la correspondencia es excelente.

La comparación en 5.2 GHz es mostrado en la figura. 3.18.


Figura 3.17 a) Diagrama , b) Foto de una antena bocina corrugada.

.


Figura 3.18 Patrón de radiación de una antena bocina corrugada a 5.2 GHz

a) FEM, b) Resultados de la medición.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 70

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones

Como resultados del presente trabajo se pueden arribar a las siguientes conclusiones:

1. Se cuenta con la documentación teórica que permite aplicar el Método de Elementos

Finitos en aplicaciones de Electromagnetismo.

2. Se describe el Método variacional de Ritz.

3. Se describe el Método de Galerkin.

4. Se describen los pasos básicos del Método de Elementos Finitos.

5. Se cuenta con un grupo de ejemplos donde se aplica el Método de Elementos Finitos en

Electromagnetismo.

Recomendaciones

Recomendamos la solución de los problemas resueltos en el Capítulo 3 por el Método de

Elementos Finitos mediante la utilización de un software que implemente los resultados de

dichos problemas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 71

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ANEXOS 74

ANEXOS

Anexo I Ecuación de Poisson.

( ) ρφε =∇⋅∇−

Anexo II Ecuaciones de onda escalares.

zoozrorr

JZjkEkyyxx

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ ε

µµ211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

xr

yr

zrorr

Jy

Jx

Hkyyxx εε

µεε

1111 2

Anexo III Ecuaciones de onda vectoriales.

JjEE ωεωµ

−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇×∇ 21

ANEXOS 75

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×∇=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×∇×∇ JHH

εµω

ε11 2

Anexo IV Ecuación escalar de Helmholtz.

zoozrorr

JZjkEkyyxx

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ ε

µµ211

Anexo V Ecuación diferencial.

fdxd

dxd

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− βφφα ( )Lx ,0∈

Anexo VI Ecuación de frontera para φ .

qdxd

Lx

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

γφφα

Anexo VII Ecuación de Poisson para el potencial.

o

crr zz ε

ρφερφρε

ρρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−1

ANEXOS 76

Anexo VIII Ecuación de la matriz.

[ ] bEA =

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