Trabajo de Graduación Francisco J. García Castillo 12 · operación se conocen con el nombre de...

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CCaappííttuulloo IIII

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13

CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOO IIIIII

PPPRRRIIINNNCCCIIIPPPIIIOOOSSS BBBAAASSSIIICCCOOOSSS DDDEEELLL PPPRRROOOCCCEEESSSAAAMMMIIIEEENNNTTTOOO

DDDEEE SSSEEEÑÑÑAAALLLEEESSS DDDIIIGGGIIITTTAAALLLEEESSS

Antes de pasar a describir como se han de procesar las señales a tratar, para

nuestro caso las señales auditivas, debemos ver los aspectos fundamentales en cuanto el

comportamiento de las señales y aquellos sistemas utilizados para su procesamiento.

Como las señales que trabajaremos son de carácter discreto nos enfocaremos

principalmente a este tema. Cabe destacar que por ser este tema tan amplio nos

dedicaremos a presentarlo a manera de enunciado con un breve análisis de cada punto; de

forma que podamos utilizar estos tratados como herramienta de trabajo.

222...111 CCCOOONNNCCCEEEPPPTTTOOOSSS GGGEEENNNEEERRRAAALLLEEESSS DDDEEE SSSEEEÑÑÑAAALLLEEESSS YYY SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS

222...111...111 ¿¿¿QQQuuueee EEEsss uuunnnaaa SSSeeeñññaaalll??? ... ¿¿¿QQQuuuééé eeesss uuunnn SSSiiisssttteeemmmaaa???

Una señal se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o

cualquier otra variable o variables independientes. Matemáticamente, una señal se

expresa como una función de una o más variables independientes, por ejemplo:



14

S(t) = Acos(ωωt + φφ) ec 2.1

R(t) = 5t +10t2 ec. 2.2

Z(x,y) = 3x + 8x3 –7xy2 ec. 2.3

Hay diversos fenómenos que no pueden ser descritos de manera práctica

utilizando este tipo de funciones; por ejemplo las señales de voz, los electrocardiogramas

y los electroencefalogramas.

Estudiemos un momento el caso de la generación de voz, conocemos que estas

son creadas al forzar pasar el aire a través de las cuerdas vocales. Por tanto, la forma en

que se generan las señales están asociadas con un sistema que responde a un estímulo o

fuerza. Para el caso de la señal de voz el sistema esta asociado con las cuerdas vocales y

la cavidad bucal. El estimulo en conjunto con el sistema se conocen generalmente como

fuente de la señal.

El significado de sistema va más allá del antes enunciado. Es así que también se

denomina como sistema a aquel dispositivo físico que realiza una operación sobre una

señal. Si realizamos este tipo de operación a alguna señal que atraviese un sistema,

decimos que hemos procesado la señal.

Generalmente al sistema se le conoce según el tipo de operación que realice. Si

el sistema realiza una operación lineal el sistema se conoce como lineal; si la operación

es no lineal al sistema se le conoce como no lineal. Pero el significado de sistema no

sólo abarca el sentido físico, sino también las operaciones que se le puedan aplicar a una

señal por medio software. Por ejemplo, para el procesamiento digital de una señal por

medio de un sistema computacional muchas de las operaciones matemáticas aplicadas a

la señal son especificadas mediante vía software. Para estos casos el programa

representa una implementación del sistema en software. Este proceso puede darse vía

hardware configurado para realizar las operaciones especificadas. En un sentido más

amplio un sistema digital puede ser la combinación de hardware y software cada uno de

los cuales desempeña su propio conjunto de funciones.



15

Muchas de las operaciones que se les desea aplicar a un sistema se pueden

expresar matemáticamente. El método o conjunto de reglas para implementar el sistema

mediante un programa que ejecuta las operaciones matemáticas correspondientes se les

denomina algoritmo.

2.1.2 Clasificación De Las Señales

Los métodos utilizados para el procesamiento de una señal o del análisis de la

respuesta de una señal dependen en gran manera de las características de la señal en

particular. Por tal motivo, debemos poder identificar el tipo de señal a estudiar para

darle una clasificación especifica de manera tal que se le pueda tratar adecuadamente. A

continuación describimos brevemente algunas clasificaciones comunes para señales.

Señales Multicanales y Multidimensionales

Como hablamos anteriormente una señal puede ser representada por una función

matemática de una o más variables independientes. La variable dependiente puede ser

entonces una cantidad escalar, vectorial, real o compleja. Las señales muchas veces son

generadas por múltiples fuentes o sensores. Es posible que estas fuentes generen una

señal que se represente en forma vectorial, conociéndose a este tipo de señales como

multicanales, por ejemplo:

=

)t(s

)t(s

)t(s

)t(S

3

2

1

3 ec 2.4

donde sK(t) para k=1, 2, 3; denotan componentes de la señal vectorial original.

Las señales también se pueden clasificar según la cantidad de variables

independientes que la definan. Así tenemos que para una señal cuya función es definida

sólo por una variable independiente se le conoce como unidimensional. Si son M

variables independientes las que definen las señal se conoce como señal M-dimensional.



16

Señales En Tiempo Continuo y Señales En Tiempo Discreto

Las señales se pueden clasificar en dos categorías diferentes dependiendo de las

características de la variable independiente tiempo y los valores que esta pueda tomar.

• Señales en tiempo continuo o señales análogas:

Están definidas para todos los valores del tiempo y pueden tomar cualquier valor en el

intervalo de tiempo (a,b) donde a puede ser -∞ y b puede ser ∞. Matemáticamente

estas señales se describen por funciones continuas de variables continuas. Ejemplo:

x1(t) = sen(πt), x2(t) = e-t para ∞− < t< ∞ .

• Señales en tiempo discreto:

Están definidas sólo en ciertos instantes de tiempo. Estos puntos no necesitan estar

equidistantes, sin embargo en la práctica se toman instantes equiespaciados. Un

ejemplo de señal discreta es la representada por la función x(tn) = nte , para n = 0, ±1,

±2,.... . Si usamos el índice n como variable independiente que representa los

instantes de tiempo, la señal pasa a ser función de una señal entera, es decir una

secuencia de números. Por lo tanto, una señal discreta puede representarse

matemáticamente como una secuencia de números reales o complejos. Para destacar

la naturaleza discreta de una señal denotamos dicha señal como x(n) en vez de x(t).

Si los instantes de tiempo están equiespaciados (tn = nT) también se utilizara x(nT).

En la práctica las señales de tiempo discreto pueden originarse de dos maneras:

(a) Eligiendo valores de una señal analógica en determinados instantes de tiempo. Este

proceso se denomina muestreo. Todos los instrumentos de medida que proporcionan

medidas en instantes de tiempo regulares generan señales en tiempo discreto.

(b) Acumulando una variable a lo largo de un determinado periodo de tiempo.

El valor de una señal en tiempo continuo o discreto puede ser del tipo continuo o

discreto. Si una señal toma todos los valores en un intervalo tanto finito como infinito,

se dice que es continua. Por el contrario, si toma valores de un conjunto finito de



17

valores se dice que es discreta. Normalmente estos valores son equidistantes y por tanto

pueden expresarse como múltiplos de la distancia entre dos valores sucesivos. Una señal

en tiempo discreto que toma valores discretos se denomina señal digital.

Señales Deterministas y Señales Aleatorias

Para el análisis matemático y el procesamiento de la señal se requiere que esté

descrita matemáticamente. Esta descripción matemática, conocida como modelo

matemático, crea un nuevo tipo de clasificación. Para aquellas señales que es posible

describir en forma explícita un conjunto de datos o una regla bien definida se denomina

deterministas. Este termino resalta el hecho de que valores de la señal, tanto presentes

como pasados como futuros, se conocen exactamente, sin incertidumbre.

Sin embargo en muchas situaciones reales existen señales que no puede

describirse con un grado de precisión razonable utilizando modelos matemáticos. La

ausencia de tal relación supone que dichas señales evolucionan con el tiempo en forma

impredecible. A este tipos de señales se les conoce como señales aleatorias. Un

ejemplo de este tipo de señal es la voz.

Fig. 5 Señal Senoidal Continua. Fig.6 Señal Senoidal discreta.



18

Para señales aleatorias se ha implementado la descripción y análisis mediante

técnicas estadísticas en lugar de formulas explícitas, debido a que estudios realizados

demostraron que era viable este tipo de sistema. Es así que para estas señales se

implementan utilizando la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos.

2.1.3 Proceso de Conversión de Señales Continuas a Señales Digitales y Viceversa

La mayoría de las señales que rodean los ámbitos de la ingeniería y la ciencia son

de naturaleza análoga. Esta señales pueden ser procesadas directamente por sistemas

análogos adecuados para extraer las características e información que se requieran de

ella; en cuyos casos decimos que la señal ha sido tratada en forma directa.

Pero en muchos casos se ha podido comprobar que el tratamiento de estas señales

se hace más eficiente y seguro si las mismas fueran de naturaleza digital. Por tal motivo

se hace de vital importancia poder obtener una señal digital que se pueda tratar a partir de

su forma análoga. Es así que la necesidad de la transformación de señales análogas a

señales digitales.

Para realizar este proceso se requiere una interfaz denominada convertidor

análogo – digital (A/D); donde la entrada al convertidor es una señal análoga y la salida

es una señal adecuada para la entrada del procesador digital. Este procesador digital

suele ser una computadora digital programable, un pequeño microprocesador

programable o un procesador cableado configurado para que realice las operaciones

deseadas sobre la señal de entrada.

En muchas ocasiones se requiere que esta señal digital de salida del procesador se

entregue de forma analógica para una aplicación especifica. Es aquí donde se hace pues

necesario el proceso de conversión digital a análogo. Los dispositivos que realizan esta

operación se conocen con el nombre de convertidores digital – análogo (D/A). Este

proceso lo podemos observar en la figura 7.



19

En el diagrama de bloques también se muestran otras señales que pueden formar

parte del proceso. Como podemos observar la señal de entrada al procesador puede

provenir directamente de una fuente de señales digitales, en este caso no se requiere

convertidor A/D. Similarmente la salida del procesador puede que se requiera de forma

digital para una aplicación especifica de salida, por lo tanto para estos casos no se

requerirá convertidor D/A.

Este proceso de conversión antes y después del tratamiento de la señal suele tener

más elementos que los observados anteriormente, sin embargo; el concepto de conversión

de la señal es el mismo. En los siguientes puntos aclararemos un poco más estos

procesos internos.

2.1.4 Conversión Análoga Digital

Como ya sabemos para procesar señales análogas por medios digitales se hace

necesario convertirlas en formato digital. Los dispositivos involucrados en este proceso

se conocen como convertidores análogos – digitales ADC’s. Dentro de estos dispositivos

suelen ocurrir dos procesos, que aunque conceptualmente son naturaleza distinta todos

forman parte del mismo proceso.

Estos dos pasos son el de muestreo, cuantificación (y codificación); los cuales

pasamos a detallar a continuación.

CONVERTIDOR

A/D

PROCESADOR

DIGITAL

CONVERTIDOR

D/ASeñalanálogadeentrada

Señaldigital deentrada

Señaldigital desalida

Señaldigital desalida

Fig. 7 Diagrama de bloques general de un sistema digital para el procesado de señales



20

Muestreo:

Esta es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo

discreto por medio de muestras de la señal de entrada en tiempos discretos.

Existen diversos tipos de operaciones de muestreo de importancia práctica:

• Muestreo periódico. En este caso, los instantes de muestres están

equiespaciados de manera uniforme a tk = kT ( k = 0, 1, 2....). Este tipo de

muestreo es el más convencional

• Muestreo de orden múltiple. El patrón de los tk se repite periódicamente; es

decir, tk+r es constante para todo k.

• Muestreo de tasa múltiple. En un sistema de control que tiene lazos

múltiples, la mayor constante de tiempo involucrada en un lazo puede diferir

en gran medida de las de los otros lazos. Por lo tanto, puede ser aconsejable

muestrear lentamente en un lazo que involucre una constante de tiempo

grande, mientras que un lazo que involucre constantes de tiempo pequeñas la

tasa de muestreo debe ser más rápida. De esta manera, un sistema digital

puede tener diferentes periodos de muestreo en diferentes trayectorias de

retroalimentación o bien utilizar tasas de muestreo múltiples .

• Muestreo aleatorio. En este caso, los instantes de muestreo son aleatorios,

o t, es una variable aleatoria.

El método a utilizar por nosotros corresponde al muestreo periódico. Como

hemos visto para este tipo de muestreo se toman muestras a intervalos periódicos de

tiempo de una señal análoga de frecuencia F; a este intervalo de muestreo se le conoce

como periodo de muestreo (T) y su inverso 1/T = Fs como velocidad de muestreo

(muestras por segundos) o frecuencia de muestreo (hertz). De esta forma este tipo de

muestreo crea una relación entre las variables t y n de tiempo continuo y tiempo discreto,

respectivamente; esta relación se muestra a continuación

t = nT = n / Fs ec. 2.5



21

De igual manera existe una relación entre la variable de frecuencia F (ó Ω) de las

señales análogas y la variable f (ó ω) de las señales discretas, definidas de la siguiente

relación:

f = F / Fs ec. 2.6

ωω = ΩΩT ec. 2. 7

recordando que ω = 2πf y Ω = 2πF.

Esta correspondencia entre variables de frecuencia se ve asociada al rango de

existencia de ellas. Este esta dado por:

-∞∞ < ΩΩ < ∞∞ ec. 2.8

-ππ < ωω < ππ ec. 2. 9

El muestreo de toda señal debe cumplir con el teorema del Muestreo.

Teorema del muestreo

Si se define ωs, como 2π/T, donde T es el periodo de muestreo; y ω1 como la

componente de mayor frecuencia presente en la señal de tiempo continuo x(t) y la señal

x*(t) como la señal muestreada.

Sólo se podrá reconstruir completamente x(t) a partir de x*(t) si durante el periodo

de muestreo se cumple con la condición de que ωs sea mayor a 2ω1 (ωs > 2ω1).

El incumplimiento de este teorema al momento del muestreo introduce

distorsiones a la señal muestreada y utilizada de esta forma puede crear errores al

momento de reconstruir la señal o en el tratamiento de ella. Estos inconvenientes

generalmente son el doblamiento, traslape, y oscilaciones escondidas de la señal original;

comúnmente llamados fenómenos de aliasing.



22

Cuantificación y Codificación:

Es el proceso donde la señal en tiempo discreto con valores continuos se

convierte en una señal en tiempo discreto pero con valores discretos (señal digital). Aquí

el valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor seleccionado de un

conjunto finito de valores posibles.

El estado de salida de cualquier muestra cuantificada se describe entonces

mediante un código numérico; esto se conoce como codificación. De este modo, la

codificación es el proceso de asignación de una palabra o código digital a cada uno de

los estados discretos. Generalmente el código utilizado para este proceso es el código

binario en el cuál existen n pulsos que indican el encendido (1) o apagado (0) de cada

pulso. Para la cuantificación los n pulsos representan 2n niveles de amplitud de salida o

estados de salida.

El nivel de cuantificación Q se define como el intervalo entre dos puntos

adyacentes de decisión y esta dado mediante:

Q = (FSR) / 2n =LSB ec 2.10

donde FSR es el intervalo a escala completa y LSB es el bit menos significativo.

Estos procesos afectan la señal original creando errores. El error ocasionado por

la cuantificación varia dentro de un rango de 0 y ± ½Q. Este error se puede hacer más

pequeño al disminuir el nivel de cuantificación. A este error también se le conoce como

ruido de cuantificación.

2.1.5 Conversión Digital Análoga

Para convertir una señal digital a una señal análoga utilizamos un convertidor

digital a analógico (DAC’s); cuyo objetivo es interpolar entre muestras.



23

El teorema del muestreo especifica la interpolación óptima para una señal de

banda limitada. Sin embargo, este tipo de interpolación es demasiado complicada y, por

ello, impráctico; por tal motivo generalmente se emplean otros tipos de convertidores.

El convertidor D/A mantenedor de orden cero es el más simple de todos; y

simplemente mantiene constante el valor de una muestra hasta que recibe la siguiente.

Se logra un mejor desempeño si se coloca un convertidor que realice interpolación lineal

entre muestra y muestra; a este tipo de convertidor se le conoce con el nombre de

convertidor lineal. Es de esperarse que con interpolaciones de mayor grado se obtenga un

mejor resultado. En la siguiente figura podemos observar un posible resultado de ambos

convertidores.

Fig. 8 (a) Convertidor de orden cero, (b) Convertidor de primer orden



24

En general las técnicas de interpolación subóptimas resultan en el paso de

frecuencias por encima de la frecuencia de plegado. Tales componentes de frecuencia

son indeseables y deben ser eliminadas pasando la salida del interpolador a través de un

filtrado analógico adecuado, que se conoce como postfiltro o filtro suavizante.

222...222 SSSEEEÑÑÑAAALLLEEESSS YYY SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDIIISSSCCCRRREEETTTOOOSSS

2.2.1 Señales en tiempo discreto

Una señal en tiempo discreto x(n) es una función de una variable independiente

entera. Gráficamente, se representa como en la siguiente figura.

Es importante destacar que una señal en tiempo discreto no está definida para

instantes entre dos muestras sucesivas; por tal motivo es incorrecto pensar que x(n) es

igual a cero si n no es un entero. Simplemente, la señal x(n) no está definida para

valores no enteros de n. Para los apartados siguientes supondremos que una señal en

tiempo discreto se define para cada valor entero n para - ∞ < n < ∞.

Fig. 9 Ejemplo de una señal discreta

... ...

1.9

-1.45

11.45

-1.9

1.64

-0.6

-1.2

n



25

para n = 0

para n ≠≠ 0

para n ≥≥ 0

para n < 0

2.2.1.1 Señales elementales en tiempo discreto

En el estudio de sistemas y señales discretas en el tiempo existen varias señales

básicas que aparecen con frecuencia y juegan un papel importante en su estudio. En las

siguientes líneas hacemos un resumen de estas.

Señal impulso unitario

Se denomina δ(n) y se define como

=,0

,1)(nδ ec. 2.11

En otras palabras, el impulso unitario es una señal que vale cero siempre, excepto para

n = 0 donde vale 1. La representación gráfica de δ(n) se muestra en la figura 10.

Señal escalón unidad

Se denota como u(n) y se define como:

=,0

,1)(nu ec. 2.12

La figura 11 ilustra la señal escalón unidad.

Fig. 10 Ejemplo de una señal impulso unitario

... ...

1

n0 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1



26

para n ≥≥ 0

para n < 0

Señal rampa unidad

Esta señal se denota como ur(n) y se define como:

==,0

,n)n(u ec. 2.13

La señal la podemos observar en la figura 12.

Señales senoidales en tiempo discreto

Una señal senoidal en tiempo discreto puede expresarse como:

∞<<−∞+= t),tncos(A)n(x ω ec. 2.14

donde n es una variable entera, denominada número de muestra, A es la amplitud de la

sinusoide, ω es la frecuencia en radianes por muestra, y θ es la fase en radianes.

Fig. 11 Ejemplo de una secuencia escalón unitario

...

1

n

...0 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

...1

n

...0 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

23

45

6

Fig. 12 Ejemplo de una secuencia rampa unitaria



27

Si en lugar de ω, utilizamos la variable de frecuencia f definida por

fπω 2≡ ec. 2.15

la relación se convierte en:

∞<<−∞+= t),tfncos(A)n(x π2 ec. 2.16

La frecuencia f tiene dimensiones de ciclos por muestra. Al considerar el

muestreo de senoidales analógicas, relacionamos la variable de frecuencia f de una

senoidal en tiempo discreto con la frecuencia F en ciclos por segundo de la senoidal

analógica.

Las señales senoidales en tiempo discreto se caracterizan por las siguientes

propiedades:

• Una senoidal en tiempo discreto es periódica sólo si su frecuencia f es un número

racional. Por definición, una señal en tiempo discreto es x(n) es periódica con

periodo N(N>0) si y sólo si

)n(x)Nn(x =+ para todo n ec.2.17

El valor más pequeño de N para el que se cumple la ecuación anterior se

denomina periodo fundamental.

Fig. 13 Ejemplo de señal senoidal discreta (ωω = ππ/6 y θθ =ππ/3 )



28

• Las senoidales en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por un múltiplo

entero de 2π, son idénticas.

• La mayor tasa de oscilación en una sinusoide en tiempo discreto se alcanza cuando

ω = π ( o ω = -π) o, equivalentemente, f = ½ (o f = -½) .

Estos se debe principalmente, a que como sabemos de antemano, las señales

senoidales múltiplos de 2π son idénticas; se deduce que las frecuencias en cualquier

intervalo πωωω 211 +≤≤ constituyen todas las senoidales o exponenciales

complejas en tiempo discreto. Por tanto, el rango de frecuencias para senoidales en

tiempo discreto es finito con duración de 2π. Habitualmente, se elige le rango

πω 20 ≤≤ ó πωπ ≤≤− ( 10 ≤≤ f , 21

21 ≤≤− f ), que denominamos rango

fundamental.

Señales exponenciales en tiempo discreto

La señal exponencial en tiempo discreto es una secuencia de la forma:

x(n) = an ec. 2.18

si el parámetro a es real, entonces x(n) es real. La siguiente figura muestra una señal

exponencial discreta para a = 0.7.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

Fig. 14 Ejemplo de una secuencia exponencial



29

Cuando a es complejo este puede escribirse como:

a ≡≡ re jθθ ec. 2.19

donde r y θ son ahora los parámetros; de manera que podemos escribir la secuenciacomo:

x(n) = r n e jθθn = r n ( cosθθn + jsenθθn) ec. 2.20

Dado que x(n) es ahora complejo esta se puede representar gráficamente

dibujando su parte real e imaginaria, en función de n, separadamente según las siguientes

ecuaciones.

xR(n) = r n cosθθn ec. 2.21

xI(n) = r n senθθn ec. 2.22

donde xR(n) representa la parte real y xI(n) la parte imaginaria de x(n).

Alternativamente, la señal x(n) dada por la ec. 2. 20 se puede representar

gráficamente mediante su amplitud y su fase según las siguientes relaciones.

x(n) = A(n) = rn ec. 2. 23

∠∠ x(n) = φφ(n) = θθn ec. 2. 24

2.2.1.2 Clasificación de señales en tiempo discreto

Generalmente los métodos empleados en el análisis de los sistemas discretos

dependen de las características de las señales. Por tal motivo daremos una breve

explicación a las clasificaciones más utilizadas para el estudio de señales discretas.

Señales de energía y señales de potencia

La energía de una señal se define como:



30

∑∑∞∞

−∞−∞==

==n

2)n(xE ec. 2.25

Esta definición se aplica tanto a señales reales como a señales complejas. La

energía de una señal puede ser finita o infinita. Si E es finita entonces se dice que x(n) es

una señal de energía. Es común agregar un subíndice x a E para denotar que es la

energía de la señal x(n).

Muchas de las señales que poseen energía infinita tienen potencia media finita.

La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n) se define como

∑∑−−==∞∞→→ ++

==N

Nn

2

N)n(x

1N21

limP ec. 2.26

definiendo la energía de la señal para un intervalo finito de –N ≤ n ≤ N como

∑∑−−==

≡≡N

Nn

2

N )n(xE ec. 2.27

de forma tal que podemos expresar la energía de la forma

NN

ElimE∞∞→→

≡≡ ec. 2.28

y la potencia media de la señal como

NN

E1N2

1limP

++≡≡

∞∞→→ec. 2.29



31

Podemos observar que si E es finita P = 0 ; sin embargo E es infinita la potencia

puede ser tanto finita como infinita. Si la P es finita y distinta de cero la señal se

denomina como señal de potencia.

Señales periódicas y aperiódicas

Una señal x(n) es periódica con periodo N (N > 0) si y sólo si

x(n+N) = x(n) para todo N ec. 2.30

El valor más pequeño de N para el que esta ecuación es cierta se denomina

periodo fundamental. Si esta ecuación no se verifica para ningún valor de N se

denomina aperiódica.

Señales simétricas (pares) y antisimétricas (impares)

Una señal real x(n) se considera simétrica (par) si:

x(-n) = x(n) ec. 2.31

Por otra parte una señal se considera antisimétrica (impar) si:

x(-n) = - x(n) ec. 2.32

En la figura mostrada a continuación podemos ver un ejemplo de señales

simétricas y antisimétricas.



32

2.2.1.3 Operaciones simples de señales en tiempo discreto

A continuación enunciaremos algunas de las operaciones sencillas comunes al

analizar sistemas discretos.

Transformación de la variable independiente

Entre las modificaciones más importantes a la variable independiente tiempo

tenemos:

• Una señal x(n) puede ser desplazada en el tiempo reemplazando la variable

independiente n por n – k , donde k es un entero. Si k es un entero positivo, el

desplazamiento temporal resulta un retraso en la señal en k unidades de

tiempo; si k es un entero negativo el desplazamiento temporal resulta en un

adelanto de la señal en |k| unidades de tiempo.

• Se puede reemplazar la variable n por –n, obteniendo como resultado la

reflexión de la señal con respecto al origen de tiempos (n = 0). Es importante

Fig. 15 a) Señal simétrica(par); b) señal antisimétrica(impar)



33

destacar que las operaciones de reflexión y retardo temporal no son

conmutativas.

• Se puede reemplazar n por µn, siendo µ un entero; esto producirá un

escalamiento en el tiempo. Esta condición se conoce con el nombre de

escalado temporal o submuestreo.

Suma, multiplicación y escalado de secuencias.

Dentro de las modificaciones a la amplitud de la señal en el tiempo, las más

importantes relaciones son:

• El escalado en amplitud de una señal por una constante A se obtiene

multiplicando el valor de cada muestra de la señal por A.

• La suma de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor en cada

instante es igual a la suma de los valores en ese instante de las dos señales

originales.

• El producto de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor en cada

instante es igual al producto de los valores en ese instante de las dos señales

originales.

2.2.2 Sistemas en tiempo discreto

Se conocen como sistemas discretos a aquellos elementos o conjunto de ellos que

son diseñados para procesar las señales de carácter digital. Estos elementos pueden ser

del tipo software y/o hardware.

Generalmente se considera un sistema discreto como una operación o conjunto de

operaciones que se realizan sobre la señal de entrada x(n) para producir la señal de salida

y(n). Diremos que la señal x(n) es transformada por el sistema en y(n), y expresamos la

relación general de x(n) e y(n) como:

[[ ]])n(x)n(y τ≡≡ ec. 2.33



34

donde el símbolo τ denota la transformación o procesado realizado por el sistema sobre

la señal x(n) para producir y(n).

Los sistemas tienen ciertas propiedades particulares que permiten su clasificación

interna. Esto facilita el estudio debido al tipo de procesamiento que pueden efectuar y

cómo afectará éste a la señal de entrada al sistema. A continuación damos una breve

descripción de esta clasificación de los sistemas.

2.2.2.1 Clasificación de sistemas discretos

Para el diseño y análisis de sistemas resulta conveniente clasificar éstos según sus

propiedades generales que cumplan. Es más las técnicas matemáticas desarrolladas para

el diseño y/o análisis de sistemas en tiempo discreto tienen dependencia con las

características generales de los sistemas.

Sistemas estáticos y sistemas dinámicos

Se considera un sistema como estático o sin memoria si su salida en cualquier

instante de tiempo n depende a lo sumo de la entrada en ese mismo instante de tiempo,

pero no de las muestras futuras ni pasadas. Para cualquier otro caso se considera al

sistema como dinámico o con memoria.

Si la salida del sistema en el instante n está determinada completamente por las

muestras de entrada en el intervalo n – N a n( N ≥ 0 ), se dice que el sistema tiene

memoria de duración N. Si N = 0 el sistema es estático. Si 0 < N < ∞, se dice que el

sistema tiene memoria finita, mientras que si N = ∞, se dice que el sistema tiene

memoria infinita.

Sistemas invariantes en el tiempo y sistemas variantes en el tiempo

Se puede subdivir la clase general de sistemas en dos grandes subgrupos: los

sistemas invariantes con el tiempo y los sistemas que varían con el tiempo. Básicamente



35

para lograr que los sistemas sean clasificados dentro de uno u otro grupo debe observarse

su comportamiento en relación con el siguiente teorema.

Teorema

Un sistema en reposo τ es invariante en el tiempo o invariante a desplazamiento si

y sólo si

)n(y)n(x →→== τec. 2.34

implica que

)kn(y)kn(x −−→→==−− τec. 2.35

para toda señal de x(n) y todo desplazamiento temporal k.

Si el sistema no cumple con esta condición se considera como sistema variante en

el tiempo.

Sistemas lineales y no lineales

Se considera como sistema lineal con aquel que cumpla con el principio de

superposición. Este principio exige que la respuesta del sistema a una suma ponderadas

de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las

señales de entrada.

Teorema

Un sistema es lineal si y sólo si

[[ ]] [[ ]] [[ ]])n(xa)n(xa)n(xa)n(xa 22112211 τττ ++==++ ec. 2.36

para cualquier secuencia arbitraria de entrada x1(n) y x2(n), y cualquier constante

arbitrarias a1 y a2.



36

Si algún sistema no cumple con esta condición se considera como sistema no

lineal.

Sistemas causales y no causales

Se considera un sistema causal en base al siguiente teorema.

Teorema

Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n

(es decir, y(n) ) depende sólo de las entradas presentes y pasadas (es decir, x(n),

x(n - 1), x(n - 2), ...) pero no de las futuras ( es decir, x(n + 1), x(n + 2), ...). En

términos matemáticos la salida de un sistema causal debe cumplir con la forma:

y(n) = F [x(n), x(n – 1), x(n –2), ...] ec. 2. 37

donde F es una función arbitraria.

Si un sistema no satisface con esta condición se considera como un sistema no

causal. En un sistema de este tipo, la salida depende no sólo de las entradas presentes y

pasadas sino también de las futuras. Se observa que físicamente es imposible utilizar

este tipo de sistemas para el procesamiento de la señal en tiempo real, debido a su

dependencia con las muestras futuras.

Sistemas estables e inestables

La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada en

cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables presentan un

comportamiento errático y extremo que es causa de desbordamiento del sistema en

aplicaciones prácticas. Se utiliza el siguiente teorema para determinar si el sistema es

estable o inestable.



37

Teorema

Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada – salida acotada

(BIBO, bounded input-bounded output), si y sólo si toda la entrada acotada

produce una salida acotada.

Matemáticamente podemos ver el acotamiento de las secuencias de entrada y

salida, x(n) e y(n), como la existencia de un par de números finitos, digamos Mx y My,

tales que:

|x(n)| ≤≤ Mx <∞∞ y |y(n)| ≤≤ My <∞∞ ec. 2.38

para todo n. Si para alguna entrada acotada x(n) la salida no está acotada (es infinita), el

sistema se califica como inestable.

2.2.2.2 Técnicas para el análisis de sistemas lineales

El estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo es de vital

importancia para el tratamiento de la señal ya que básicamente cualquier sistema puede

emularse bajo estas características; siendo su análisis de fácil comprensión y muy bien

explorado. Esto no quiere decir que nunca nos toparemos con sistemas que no

respondan a estas características, sin embargo los sistemas utilizados para este trabajo son

de este tipo.

Existen dos métodos básicos para el análisis de sistemas del comportamiento

respuesta de un sistema lineal a una determinada señal de entrada. Uno de estos métodos

se basa en obtener la solución de las ecuaciones de diferencias que relacionan la entrada

con la salida del sistema. Generalmente esta ecuación tiene la forma:

y(n) = F[ y(n –1), y(n –2),........, y(n –N), x(n –1), ............., x(n –M)] ec. 2.39



38

donde F[...] representa cualquier función de las cantidades entre corchetes. Por lo

general los sistemas LTI responden a la ecuación de entrada - salida dada por:

∑∑∑∑====

−−++−−−−==M

1kk

N

1kk )kn(xb)kn(ya)n(y ec. 2.40

donde ak y bk son parámetros constantes que especifican el sistema y son independientes

de x(n) e y(n).

El otro método de análisis del comportamiento de un sistema lineal ante una

determinada entrada se basa en descomponer dicha señal de entrada en señales

elementales. Las señales elementales se escogen de manera tal que sea fácil determinar

la respuesta del sistema a cada una de ellas. Utilizando la propiedad de linealidad del

sistema, se suman las respuestas del sistema a la señal de entrada global.

Básicamente la señal de entrada x(n) se expresa como una suma ponderada de

señales elementales ( xk(n) ) de manera que:

∑∑==k

kk )n(xc)n(x ec. 2. 41

donde los ck definen el conjunto de amplitudes (coeficientes de ponderación) de la

descomposición de la señal x(n). Suponiendo ahora que la respuesta del sistema a la

señal elemental xk(n) es yk(n). Entonces:

yk(n) ≡≡ ττ[ xk(n)] ec. 2.42

suponiendo que el sistema está en reposo y que la respuesta a ckxk(n) es ckyk(n), como

consecuencia de la propiedad de escalado de un sistema lineal. Finalmente la respuesta a

la entrada x(n) queda determinada por:



39

∑∑==k

kk )n(yc)n(y ec. 2.43

utilizando la propiedad aditiva de los sistemas lineales.

El análisis de ambos métodos es fundamental para la comprensión de los métodos

de diseño de los filtros, por tal motivo en las siguientes secciones daremos un análisis un

poco más detallada de ambos.

2.2.3 Análisis de sistemas lineales por el método de la convolución

Como vimos en la sección anterior los sistemas lineales invariantes en el tiempo

se pueden analizar por dos métodos diferentes. En esta sección nos dedicaremos a

comentar las principales características del segundo método mencionado en la sección

anterior, basado en la descomposición de la señal de entrada en señales elementales para

observar la respuesta del sistema.

En este método prevalece la descomposición de la señal de entrada en una suma

ponderada de impulsos unitarios. Para realizar esto debemos determinar en primer lugar

la respuesta del sistema a un impulso unitario y a continuación usar las propiedades de

escalado y aditiva de un sistema lineal para determinar la fórmula de la señal de salida a

una entrada arbitraria.

A continuación describimos este proceso y la utilización de la convolución como

herramienta matemática del análisis. A la vez aprovechamos para enunciar algunas de

las propiedades más relevantes de la convolución que nos ayudarán en el desarrollo de

sistemas.

2.2.2.1 Descomposición de una señal discreta en impulsos unitarios

Si deseamos expresar una señal x(n) como la suma ponderada de impulsos

unitarios, debemos cumplir con ciertas normas que detallamos a continuación.



40

• Definimos las señales elementales xk(n) como:

xk(n) = δδ (n – k) ec. 2.44

donde k representa el retraso del impulso unitario. Para poder manejar una señal

arbitraria x(n) que puede tener infinitos valores, el conjunto de impulsos unitarios

debe ser también infinito, para poder contener el número infinito de

desplazamientos.

• Luego multiplicamos x(n) por δ (n – k). Debido a las propiedades del impulso

unitario esto nos da por resultado una secuencia en que todos los valores son

cero excepto en n = k donde vale x(k). Por tanto:

x(n) δδ (n – k) = x(k) δδ (n – k) ec. 2.45

es una secuencia que se anula en todos los puntos excepto en n = k.

• Realizamos el procedimiento anterior para valores de k comprendidos entre

-∞ < k < ∞, de manera que cada impulso unitario extraiga los valores de la

secuencia x(n) y los almacene independientemente en señales xk(n).

• Luego por medio de una suma ponderada de estas señales, como se muestra en

la ec. 2.46, podemos obtener la señal original igual a la secuencia x(n).

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−==k

)kn()k(x)n(x δ ec. 2.46

2.2.2.2 Respuesta de un sistema LTI a entradas arbitrarias (la convolución)

Si denotamos la respuesta del sistema y(n. k) a un impulso unitario en el instante

n = k mediante el símbolo h(n, k), - ∞ < k < ∞; de forma que:

)]Kn([)k,n(h)k,n(y −−==≡≡ δτ ec. 2.47



41

donde n es el índice temporal y k indica la posición del impulso unitario. Si la entrada del

impulso unitario se escala en cierta cantidad ck ≡ x(k), la entrada x(n) expresada como un

suma ponderada también estará escalada, como se muestra:

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−==k

)kn()k(x)n(x δ ec. 2.48

Finalmente la respuesta del sistema queda determinada por una suma ponderada

de las respuestas de los impulsos, como se muestra:

[[ ]] ∑∑∞∞

−∞−∞==

−−====k

)]kn([)k(x)n(x)n(y δττ ec. 2.49

es importante saber que como sólo se aplico la propiedad de linealidad este resultado

también es valida para sistemas que varían con el tiempo. Pero si el sistema es además

invariante en el tiempo esta respuesta queda reducida a:

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−==k

)kn(h)k(x)n(y ec. 2.50

De esta forma conocemos que para un sistema LTI su respuesta queda totalmente

definida por la función h(n), es decir su respuesta al impulso unitario. A la ec. 2.50 se le

conoce con el nombre de convolución.

2.2.2.3 Propiedades de la convolución

En esta sección se estudian algunas propiedades importantes de esta operación;

que como sabemos de antemano, es una de las herramientas utilizadas para conocer la

respuesta de un sistema a una determinada entrada.



42

Para simplificar la notación denotaremos la operación de la convolución mediante

una asterisco; de esta manera tenemos que:

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−≡≡==k

)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y ec. 2.51

según esta notación, la secuencia que sigue al asterisco (en este caso la respuesta al

impulso h(n)), es la que se refleja y desplaza.

Ley conmutativa

Esta responde a la siguiente ecuación:

x(n)*h(n) = h(n)*x(n) ec. 2.52

Ley asociativa


[x(n)*h1(n)]* h2(n) = x(n)*[h1(n)* h2(n)] ec. 2.53

Propiedad distributiva


x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)* h2(n) ec. 2.54

2.2.2.4 Sistemas con respuestas impusional de duración finita e infinita

Hasta este momento hemos visto los sistemas lineales e invariantes en el tiempo

por medio de su respuesta al impulso h(n). Sin embargo, resulta provechoso realizar una



43

clasificación más objetiva acerca de cómo se da esta respuesta del sistema; en términos

de que si la misma presenta una respuesta finita o infinita al impulso unitario.

De esta manera si el sistema tiene una respuesta al impulso de duración finita se

les conoce como sistemas FIR (finite duration impulse response). Centraremos nuestro

estudio a sistemas causales tales que:

h(n) = 0 n<0 y n ≥≥ M ec. 2.55

de esta manera la convolución para este tipo de sistemas queda determinada por:

∑∑−−

==

−−==1M

0k

)kn(x)k(h)n(y ec. 2.56

Esta expresión nos indica que la salida en cualquier instante n se obtiene como la

suma ponderada de las siguientes muestras de la señal de entrada: x(n), x(n – 1), ..... ,

x(n – M + 1).

Un sistema lineal invariante en el tiempo que tiene una respuesta al impulso de

duración infinita es conocido como sistema IIR (infinite-duration impulse response). Su

salida, según la convolución, responde a la siguiente ecuación:

∑∑∞∞

==

−−==0k

)kn(x)k(h)n(y ec. 2.57

donde se ha supuesto causalidad, aunque no es necesario. En este caso la salida del

sistema consiste en la combinación lineal ponderada (por la respuesta impulsional h(k) )

de las muestras de la señal de entrada, x(n), x(n-1), x(n-2), ... . Dado que esta suma

ponderada tiene la muestra presente y todas las pasada de la señal de entrada, decimos

que el sistema tiene memoria infinita.



44

2.2.4 Análisis de sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias

Pudimos ver en la sección anterior como queda caracterizado la relación entrada –

salida del sistema a partir de la convolución de la respuesta al impulso unitario del

sistema con la entrada. Sin embargo, observamos que para los sistemas del tipo IIR esta

respuesta era de duración infinita, por lo cual su realización a través de este método se

hacia irrealizable.

Sin embargo existe una manera práctica y eficiente para la realización de sistemas

IIR. Esta proceso se basa en la implementación del sistema a través de la relación de

entrada y salida descrita mediante su ecuación de diferencias.

En forma general el método de la convolución expresaba la relación entrada -

salida sólo en términos de la señal de entrada; sin embargo, esto no es estrictamente

necesario. A veces resulta conveniente el expresar el sistema no sólo en términos de los

valores presentes y pasados de la señal de entrada, sino también en función de los valores

pasados de la señal de salida.

Con ésto en mente podemos clasificar a los sistemas discretos en dos nuevos

grupos. Si un sistema cuya salida en el instante n depende de los valores anteriores de la

misma y( n - 1), y( n - 2), ... se denomina sistema recursivo. Si por el contrario el

sistema sólo depende de los valores presentes de la entrada el mismo se denomina como

sistema no recursivo. Al ser dependiente los sistemas de las salidas pasadas (recursivos)

permite un nuevo desarrollo de sistemas en función de su ecuación de diferencias, como

veremos más adelante.

A continuación damos una descripción de los parámetros más relevantes para

llevar a cabo este tipo de análisis al sistema.



45

2.2.4.1 Sistemas LTI descritos por ecuaciones en diferencias con coeficientes

constantes

De ahora en adelante nos enfocaremos en la familias de sistemas LTI que pueden

ser descritos por una relación de entrada – salida denominada ecuación de diferencias de

coeficientes constantes; los cuales son un subgrupo de los sistemas recursivos y no

recursivos.

De manera general los sistemas de este tipo se pueden describir por la ecuación:

∑∑∑∑====

−−++−−−−==M

0kk

N

1kk )kn(xb)kn(ya)n(y ec. 2.56

donde el entero N recibe el nombre de orden de la ecuación en diferencias u orden del

sistema. El signo negativo del primer termino de la derecha de la ecuación se incluye

por conveniencia para permitirnos expresar la ecuación en diferencias sin ningún signo

negativo.

Se puede observar que la salida del sistema en el instante n esta en función de la

suma de las salidas pasadas y(n - 1), y(n - 2), ... , y(n – N) así como de muestras de

entrada presentes y pasadas. De esta forma para determinar y(n) para n ≥ 0, necesitamos

la entrada x(n) para todo n ≥ 0, y las condiciones iniciales y(-1), y(-2), ... , y(-N). Por tal

motivo las condiciones iniciales resumen todo lo que necesitamos saber sobre la historia

pasada de la respuesta del sistema para calcular las salidas presentes y futuras.

Es bueno mencionar algunas de las propiedades que rigen este tipo de sistemas de

manera que faciliten nuestro análisis para este tipo de sistemas. Entre estas propiedades

tenemos:

• Un sistema recursivo descrito por una ecuación en diferencias lineal de

coeficientes constantes es lineal e invariante en el tiempo.



46

• Los sistemas descritos mediante ecuaciones de diferencias lineal de

coeficientes constantes será estable si y sólo si para toda entrada acotada y

toda condición inicial acotada la respuesta total del sistema está acotada.

2.2.4.1 Solución de ecuaciones en diferencias con coeficientes constantes

Nuestro objetivo ahora es poder desarrollar la ecuación de diferencias del sistema

a manera de obtener el resultado de la relación de entrada – salida que nos permita

desarrollar el sistema por estructuras físicas o vía software. Por tal motivo debemos

determinar la salida del sistema y(n), n ≥ 0, para una determinada x(n), n ≥ 0 y un

conjunto de condiciones iniciales.

Existen dos métodos para lograr este desarrollo. Uno se basa en el empleo de la

transformada z como herramienta para obtener la solución de la ecuación de diferencias.

A este se le conoce como método indirecto, y su desarrollo lo abarcaremos cuando

estudiemos las propiedades de la transformada z.

El método directo hace uso de las relaciones matemáticas conocidas para el

desarrollo convencional de solución de ecuaciones de diferencias de un sistema. La

solución dada por este método supone que la solución total es la suma de dos partes:

y(n) = yh(n) + yp(n) ec. 2.57

La parte yh(n) se conoce como solución homogénea o complementaria, mientras

que yp(n) se le denomina solución particular.

Solución homogénea

Para obtener la solución homogénea del sistema suponemos primero que x(n) = 0,

lo cual nos da por resultado la ecuación en diferencias homogénea, dada por:



47

0)kn(yaN

0kk ==−−∑∑

==

ec. 2.58

para la cual suponemos una solución exponencial de la forma:

yh(n) = λλn ec. 2.59

donde el subíndice h de y(n) denota que corresponde a la solución homogénea de la

ecuación en diferencias. Luego sustituimos está solución en la ec. 2.58 de manera que:

0aN

0k

knk ==∑∑

==

−−λ ec. 2.60

o

0)aa...aa( N1N2N

21N

1NNn ==++++++++++++ −−

−−−−−− λλλλλ ec. 2.61

El polinomio entre paréntesis se le denomina polinomio característico del

sistema; que en general tiene N raíces que denotamos por λ1, λ2, ... , λN . De esta forma

la solución más general a la ecuación de diferencias homogénea es:

nNN

n212

n11h C...CC)n(y λλλ ++++++== ec. 2.62

donde C1, C2, ... , CN son coeficientes de ponderación; estos se determinan a partir de las

condiciones iniciales especificadas para el sistema.

Solución particular

Para desarrollar la solución particular de la ecuación en diferencias se debe

especificar la entrada para x(n), n ≥ 0 ; por lo tanto la yp(n) es cualquier solución que

satisfaga a:

∑∑∑∑====

−−==−−M

0kk

N

0kpk )kn(xb)kn(ya a0 = 1 ec. 2.58



48

Para resolver esta ecuación suponemos yp(n) tiene una forma que depende de la

forma de la entrada x(n).

Solución total a la ecuación en diferencias

Debido a la propiedad de linealidad de las ecuaciones en diferencia con

coeficientes constantes podemos sumar las soluciones homogénea y particular para

obtener la solución total, de forma que:

y(n) = yh(n) + yp(n) ec. 2.57

La suma resultante y(n) contiene los parámetros constantes Ci incluidos en la

solución homogénea yh(n). Estas condiciones pueden determinarse para cumplir con las

condiciones iniciales.



49

222...333 LLLAAA TTTRRRAAANNNSSSFFFOOORRRMMMAAADDDAAA ZZZ

Similar al caso de la transformada de Laplace, la transformada z es una

herramienta que nos facilita de gran manera la manipulación de los sistemas discretos

cuando éstos son caracterizados por su relación de entrada y salida utilizando ecuaciones

en diferencia. La transformada z, como veremos más adelante nos permitirá de una

manera más simplificada, expresar las relaciones de entrada y salida del sistema. Sus

propiedades nos ayudarán a conocer aspectos relevantes del sistema como la estabilidad y

relaciones de entrada – salida.

Cabe destacar que no pensamos hacer un tratado explicativo de cada aspecto de la

transformada z; sino enunciar las propiedades más importantes de la misma. De esta

forma tendremos a mano las herramientas que faciliten nuestra labor.

2.3.1 Definición

Se conoce como transformada z de una señal discreta x(n) como la serie de

potencia:

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−≡≡n

nz)n(x)z(X ec. 2.58

donde z es una variable compleja. Esta relación se denomina como transformada z

directa porque transforma una señal en el dominio del tiempo x(n) en la señal compleja

X(z). El procedimiento inverso, es decir, el que obtiene x(n) a partir de X(z), se

denomina transformada z inversa.

La transformada z de una función se denota por:

X(z) ≡≡ Z x(n) ec. 2.59



50

Mientras que la relación entre x(n) y X(z) se indica mediante:

)z(X)n(xz

↔↔ ec. 2.60

Dado que la transformada z es una serie infinita de potencias, ésta existe sólo para

aquellos valores para los que la serie converge. La región de convergencia (ROC) de

X(z) es el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) es finita.

Matemáticamente hablando la transformada z es simplemente una forma

alternativa de representar una señal. Observaremos que el coeficiente de z-n, para una

transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n.

Si expresamos la variable compleja z en su forma polar, como:

z = r e jθθ ec. 2.61

donde r =| z| y θ =∠ z. De esta forma queda determinada X(z) como:

∑∑∞∞

−∞−∞==

−−−−==

≡≡n

njn

rezer)n(x|)z(X j

θθ ec. 2.62

tenemos que para la ROC de X(z), | X(z)| < ∞. Sin embargo

∑∑∑∑∞∞

−∞−∞==

−−∞∞

−∞−∞==

−−−− ==≡≡n

n

n

njn r)n(xer)n(x)z(X θ ec. 2.63

por tal motivo |X(z)| debe ser finita si la secuencia x(n)r -n es absolutamente sumable.



51

2.3.2 Propiedades de la transformada z

Los estudios de los sistemas discretos a través de la transformada z se pueden

facilitar de gran manera si se aplican muchas propiedades de ella. Entre estas

propiedades de la transformada z podemos desatacar las siguientes.

Linealidad

Si

)z(X)n(x 1z

1 →→←← ec. 2.64

y

)z(X)n(x 2z

2 →→←← ec. 2.65

entonces

)z(Xa)z(Xa)z(X)n(xa)n(xa)n(x 2211z

2211 ++==→→←←++== ec. 2.66

para cualesquiera constantes a1 y a2. La propiedad de la linealidad se puede generalizar

a un número arbitrario de señales.

Desplazamiento en el tiempo

Si

)z(X)n(x z→→←← ec. 2.67

entonces

)z(Xz)kn(x kz −−→→←←−− ec. 2.68

La ROC de z-k X(z) es la misma que la de X(z), excepto por z = 0, si k > 0, y

z = ∞, si k < 0.



52

Las propiedades de linealidad y desplazamiento en el tiempo son las

características claves que hacen que la transformada z sea extremadamente útil para el

análisis de sistemas discretos LTI.

Escalado en el domino de z

Si

)z(X)n(x z→→←← ROC: r1 < |z| < r2 ec. 2.69

entonces

)za(X)n(xa 1zn −−→→←← ROC: |a|r1 < |z| < |a|r2 ec. 2.70

para cualquier valor constante a, real o compleja.

Inversión temporal

Si

)z(X)n(x z→→←← ROC: r1 < |z| < r2 ec. 2.71

entonces

)z(X)n(x 1z −−→→←←−− ROC: | 1 / r2| < |z| < | 1 / r1| ec. 2.72

Diferenciación en el dominio z

Si

)z(X)n(x z→→←← ec. 2.73

entonces

dz)z(dX

z)n(nx z −−→→←← ec. 2.74



53

Convolución de dos secuencias

Si

)z(X)n(x 1z

1 →→←← ec. 2.75

)z(X)n(x 2z

2 →→←← ec. 2.76

entonces

)z(X*)z(X)z(X)n(x*)n(x)n(x 21z

21 ==→→←←== ec. 2.77

La ROC de X(z) es, cuando menos, la intersección de las X1(z) y X2(z).

Esta propiedad es una de las más relevantes de la transformada z, ya que convierte

la convolución de dos señales (en el dominio del tiempo) en la multiplicación de sus

transformadas.

Correlación de dos secuencias

Si

)z(X)n(x 1z

1 →→←← ec. 2.78

)z(X)n(x 2z

2 →→←← ec. 2.79

entonces

)z(X)z(X)z(R)ln(x)n(x)l(r 121xx

z

n21xx 2121

−−∞∞

−∞−∞==

==→→←←−−== ∑∑ ec. 2.80

Multiplicación de dos secuencias

Si

)z(X)n(x 1z

1 →→←← ec. 2.81

)z(X)n(x z22 →← ec. 2.82

entonces

dvv)vz

(X)v(Xj2

1)z(X)n(x)n(x)n(x

C

121

z21 ∫∫ −−==→→←←==

πec. 2.83



54

donde C es un contorno cerrado que encierra al origen y se encuentra en la región de

convergencia común a X1(v) y X2(1/v).

Relación de Parseval

Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces

dvv)v

z(X)v(X

j21

)n(x)n(xC

1*

*21

n

*21 ∫∫∑∑ −−

∞∞

−∞−∞==

==π

ec. 2.84

siempre que r1l r2l < 1 < r1u r2u, donde r1l < |z| < r1u, y r2l < |z| < r2u, son las ROC de

X1(z) y X2(z).

El teorema del valor inicial

Si x(n) es causal entonces:

)z(Xlim)0(xz ∞∞→→

== ec. 2.86

2.3.3 Funciones de transferencia en el dominio de z

Como es conocido, en el mundo análogo, conocemos como función de

transferencia la relación entre la salida y la entrada en el domino de Laplace (s). De

manera similar podemos encontrar una relación de salida entrada para los sistemas

digitales, pero esta vez utilizaremos como herramienta de expresión la transformada z.

Las características de la relación de salida entrada en el dominio de z

generalmente nos brindan una información fiable y de gran trascendencia para el diseño,

y análisis de estos sistemas. Estas relaciones racionales y sus diversas características

serán tratadas a continuación.



55

Polos y ceros

Son considerados como ceros a aquellos valores para los cuales X(z), la

transformada z de x(n), es cero. Se conocen como polos de la transformada z X(z) a

aquellos valores donde X(z) = ∞. Si X(z) es una función racional, tenemos que:

∑∑

∑∑

==

−−

==

−−

−−−−

−−−−

==++++++++++++

====N

0k

kk

M

0k

kk

NN

110

MM

110

za

zb

za...zaa

zb...zbb

)z(D)z(N

)z(X ec. 2.87

Si los valores de a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0 (para evitar la potencias negativas) y con la

manipulación de las variables podemos obtener:

∏∏

∏∏

==

==−−++−−

−−

−−==

−−−−−−−−−−−−

==N

1kk

M

1kk

MN

N21

M21NM

0

0

)pz(

)zz(Gz

)pz)...(pz)(pz(

)zz)...(zz)(zz(z

a

b)z(X ec. 2.88

donde G ≡ b0 / a0 ; de esta forma X(z) tiene M ceros en zk = z1, z2, ..., zM (raíces del

polinomio del numerador), N polo en pk = p1, p2, ..., pN (raíces del polinomio del

denominador), y |N – M| ceros (si N > M) o polos (si M > N) en el origen z = 0.

Estos polos y ceros puede representarse en un plano complejo, similar al plano s,

denominado plano z. Aquí se muestran la localización de los polos en el plano z por

cruces; y con círculos en el caso de que sean ceros.

Por lo tanto existe una relación entre el plano s y el plano z; en la cuál todos los

puntos del semiplano izquierdo del plano s (valores reales del plano son negativos) están

encerrados dentro de un circulo de radio unitario concéntrico en z = 0. Y todo punto en

el semiplano derecho del plano s estará fuera de dicho circulo de radio unitario.



56

Como es de esperar entonces un sistema será estable si y sólo si todos sus polos de

su función de transferencia se encuentran dentro del circulo de radio unitario concéntrico

en z = 0.

Como hemos visto la transformada z X(z) es una función compleja

z = Re(z) + j Im(z). El módulo de X(z), |X(z)|, es una función real y positiva de z. Dado

que z representa un punto del plano complejo, |X(z)| es una función bidimensional y

describe una superficie.

Es de gran relevancia hacer notar también que para una señal real y causal, un

polo (o un par de polos complejos conjugados) cerca del origen hace que decrezca más

rápido que una señal con un polo (o un par de polos complejos conjugados) más cerca de

la circunferencia unidad. Como podemos ver la colocación de los polos en relación con

referencia a la circunferencia unidad afectan al comportamiento de la señal en el tiempo.

Los ceros también afectan al comportamiento en el tiempo de las señales, pero no tan

fuertemente como los polos.

R = 1

Im(z)Im(s)

Re(s)Re(z)

Plano z Plano s

Fig. 16 Relación entre el plano s y el plano z



57

Es importante destacar que todo lo dicho sobre señales causales se aplica también

a sistemas LTI causales debido a que la respuesta al impulso del sistema es una señal

causal.

Señal x(n) Transformada z, X(z) ROC

δ(n) 1 Todo z

u(n)1z1

1−−

|z| > 1

an u(n)1za1

1−−

|z| > |a|

nan u(n)2

1

)za(1az

1−

−

−

|z| > |a|

-an u(-n-1)1za1

az−

−

−

1 |z| < |a|

-nan u(-n-1)2

1

)za(1az

1−

−

−

|z| < |a|

(cos ω0n)u(n)2

01

01

21

1−−

−

+−−

zcosz

cosz

ωω |z| > 1

(sen ω0n)u(n)2

01

01

21 −−

−

+− zcosz

senz

ωω |z| > 1

(an cos ω0n)u(n)22

01

01

21

1−−

−

+−−

zacosaz

cosaz

ωω |z| > |a|

(an sen ω0n)u(n)22

01

01

21 −−

−

+− zacosaz

senaz

ωω |z| > |a|

Tabla 2. Resumen de algunas transformadas z importantes

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