MARCO TEORICO 1.1

DERIVADAS

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales delclculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada ointegral; ambos estn relacionados por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto delmite, el cual separa lasmatemticasprevias, como ellgebra, laTrigonometrao laGeometra Analtica, delClculo.

Quiz la derivada es el concepto ms importante delClculo Infinitesimal.La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de unamagnitudo situacin.

Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios deFsica,QumicayBiologa, o en ciencias sociales como laEconomay laSociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a lagrficade dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de la rectatangentedel grfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como ellmitecuando la distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de funciones, tales comoconcavidadoconvexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, unadiscontinuidado unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica es unacurva suave, por lo que es susceptible de derivacinLas funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), sonaproximables linealmente.

DEFINICIONES:

En terminologa clsica, ladiferenciacinmanifiesta el coeficiente en que una cantidadcambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.En matemticas,coeficientees un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funcin base, etc.En fsica,coeficientees una expresin numrica que mediante alguna frmula determina las caractersticas o propiedades de un cuerpo.En nuestro caso, observando lagrficade la derecha, el coeficiente del que hablamos vendra representado en el puntode lafuncinpor el resultado de la divisin representada por la relacin, que como puede comprobarse en la grfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la lnea recta azul que representa la tangente en el puntode la funcin. Esto es fcil de entender puesto que eltringulo rectnguloformado en la grfica con vrtice en el punto, por mucho que lo dibujemos ms grande, al ser una figura proporcional el resultado dees siempre el mismo.Esta nocin constituye la aproximacin ms veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultnea.

LIMITES

Ellmitees muy importante a la hora de estudiar funciones porque nos introduce al mundo del clculo infinitesimal, una herramienta muy importante tanto para las matemticas como para la fsica. Cuando calculo ellmitelo que quiero averiguar es a qu valor tiene el valor de una funcin. Ellmite es siempre una tendencia: x slo se acerca al valor al que tiende pero nunca puede ser l mismo.

Para lamatemtica, un lmite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los trminos de una secuencia infinita de magnitudes. Unlmite matemtico, por lo tanto, expresa la tendencia de una funcin o de una sucesin mientras sus parmetros se aproximan a un cierto valor.

Una definicin informal del lmite matemtico indica que ellmite de una funcinf(x)esTcuandoxtiende as, siempre que se puede hallar para cada ocasin unxcerca desde manera tal que el valor def(x)sea tan cercano aTcomo se pretenda.

No obstante, adems del lmite citado, no podemos obviar que existen otros muy importantes en el mbito de las Matemticas. As, tambin se puede hablar del lmite de una sucesin que puede ser existente o nico y divergente, en el caso de que los trminos de aquella no converjan en ningn punto.

De la misma manera, tambin hay que hablar de otra serie de lmites matemticos tales como el lmite de una sucesin de conjuntos o el de espacios topolgicos. Entre estos ltimos estn los que hacen referencia a los filtros o a las redes.

Finalmente tampoco podemos pasar por alto la existencia de lo que se conoce como Lmite de Banach. Este ltimo, que recibe el nombre del matemtico polaco Stefan Banach, es aquel que gira entorno a lo que se conoce como espacio de Banach. Este es una pieza fundamental dentro de lo que es el anlisis funcional y puede definirse como el espacio donde estn funciones que cuentan con una dimensin infinita

Al igual que otros conceptos matemticos, los lmites cumplen con diversas propiedades generales que ayudan a simplificar losclculos. Sin embargo, puede resultar muy difcil comprender esta idea ya que se trata de un concepto abstracto.

En matemtica, la nocin est vinculada con la variacin de losvaloresque toman las funciones o sucesiones y con la idea de aproximacin entrenmeros. Esta herramienta ayuda a estudiar el comportamiento de la funcin o de la sucesin cuando se acercan a un punto dado.

La definicin formal del lmite matemtico fue desarrollada por diversos tericos de todo el mundo a lo largo de los aos, con trabajos que constituyeron la base delclculo infinitesimal.

MARCO METODOLOGICO 1.2

DERIVADAS Y LMITES

Existe un gran nmero de investigaciones que abordan la problemtica de la enseanza y aprendizaje del Clculo; Robert y Speer (2001) ofrecen una amplia revisin de los diferentes estudios a nivel mundial. A nuestra forma de ver. este desarrollo se justifica ante el esclarecimiento de un paradigma tradicional de enseanza que deja mucho que desear en cuanto al aprendizaje: elevados ndices de reprobacin, aprendizaje sin comprensin y actitud negativa hacia el aprendizaje de las matemticas son hechos que han sido reportados en los ltimos treinta aos con respecto a los cursos de Clculo en el nivel medio superior y superior de educacin. En lo que sigue, intentaremos apoyar la evidencia de este paradigma que identificamos durante nuestra actividad acadmica en una institucin de prestigio ubicada al norte de Mxico.Artigue (1995) hizo pblica a la comunidad una realidad que para 1995 era difcil justificar. La problemtica de enseanza del Clculo era evidente: existe gran dificultad en lograr que los estudiantes muestren una comprensin satisfactoria de sus conceptos y mtodos y la enseanza tradicional se protege en el aprendizaje de prcticas algortmicas y algebraicas que son a la vez el centro de la evaluacin. Para 2001, la situacin no pareca haber cambiado: "la mayora de los estudiantes piensan que la manera ms segura para tratar satisfactoriamente con este dominio es no tratar de comprender, sino slo funcionar mecnicamente" (Artigue, 2001, p. 213). En 2003, el Clculo sigue siendo una preocupacin de los investigadores; Artigue (2003) comenta que la situacin actual se caracteriza por un sentimiento general de crisis que, aunque no sea percibido de la misma manera, s parece trascender las diferencias culturales. Las dificultades en el aprendizaje no han cambiado de manera sustancial.El movimiento de reforma del Clculo, que en Estados Unidos inici en 1986, es una reaccin contra una prctica generalizada como la que Artigue menciona. Dicho movimiento ha tenido el apoyo de diferentes fuentes, entre ellas "de cientficos que estaban frustrados por la inhabilidad de los estudiantes para usar el Clculo inteligentemente en aplicaciones reales y por administradores que estaban molestos por el alto fracaso o las tasas de desercin de los cursos de Clculo" (Steen, 2003, p. 197). Su avance ha logrado que se pongan a discusin varias cuestiones, entre ellas la bsqueda de un adecuado balance entre dos dimensiones relativamente independientes: contenido y contexto. Algunos acercamientos son fuertes en una de esas dimensiones y otros en ninguna porque se siguen focalizando en mecnicas a expensas del contenido y el contexto. Tal vez ningn acercamiento enfatiza ambas dimensiones, ya que se requiere mucho ms tiempo y esfuerzo del que los estudiantes tienen destinado para ello (Steen, 2003).En Mxico, Cantoral, Cordero, Farfn e Imaz (1990) advierten cul es la premisa ms importante de la que debe partirse en el estudio sobre el fenmeno de la enseanza del Clculo:la estructura general del discurso matemtico terico constituye la base menos propicia para comunicar las ideas del Clculo.Sealan que no debe olvidarse que su enseanza es para futuros usuarios del mismo y no para expertos en su discurso terico, pero aclaran que no estn a favor detcnicascomo aligerar conocimientos o emplear rutinas. En un trabajo posterior, Cantoral y Mirn sealan una dislexia escolar en Clculo, su enseanza logra que los estudiantes deriven, integren y calculen lmites elementales, pero no son capaces de dar un sentido ms amplio a esas nociones que les haga reconocer, por ejemplo, cundo un problema requiere de calcular una derivada (Cantoral y Mirn, 2000).El estudio terico de Gascn (2001) revelala correspondencia entre modelos docentes y modelos epistemolgicos generales que han existido en la historia de las matemticas.Nos resulta conveniente situar en esta perspectiva a lo que queremos dar a entender como elparadigma tradicional en la enseanza del Clculo, identificndolo como consecuencia del ejercicio normalizado de ciertos modelos docentes. Gascn (2001) propone que se considere a tres teoras epistemolgicas generales o patrones de organizacin matemtica: eucldeas, cuasi empricasyconstructivistas.En relacin con ellas identifica diferentes tipos de prctica docente y explica cmo les subyacen estos diferentes modelos epistemolgicos. Gascn comenta que el modelo epistemolgico de las matemticas de una institucin escolar incide en el modelo docente, que atae a la manera como se gestiona y organiza el proceso de enseanza de las matemticas en la institucin.El modelo epistemolgico deleuclideanismotrata sobre la organizacin de la matemtica para que se resuelva el problema defundamentacin,esto es, dar a la matemtica una justificacin lgica y base firme como teora cientfica. La incidencia deleuclideanismose percibe en dos modelos docentes clsicos, elteoricismoy eltecnicismo,donde se identifica a la matemtica como producto de la fundamentacin de la matemtica. Elteoricismoplantea que ensear matemticas esmostrarteoras cristalizadas, y asume implcitamente que la forma en que la teora se presenta corresponde a cmo se aprende; en este sentido, el proceso de enseanza se considera trivial porquebasta con mostrar lo ya producido.Sin embargo, como Gascn precisa, todos los datos empricos disponibles contradicen esta conclusin, ya que hay enormes dificultades para que un estudiante utilice adecuadamente un teorema, aplique una tcnica o compruebe si un objeto cumple una definicin. Por su parte, de acuerdo con eltecnicismo,el proceso de ensear matemticas se identifica con el ensear tcnicas algortmicas, con lo cual queda trivializada la actividad de resolucin de problemas. Eltecnicismo,asevera Gascn, "tiende a olvidar los 'autnticos' problemas, esos cuya dificultad principal consiste en escoger las tcnicas adecuadas para construir una 'estrategia de resolucin' " (2001, p. 136).Por su parte, el estudio terico de Artigue (2001) que trata del fruto de la investigacin educativa hecha durante ms de 20 aos, pone hincapi en los reportes negativos de los primeros resultados con respecto al Clculo o Anlisis elemental. "Los resultados obtenidos proporcionan evidencias estadsticas de las limitaciones tanto de las prcticas educativas tradicionales como de las prcticas educativas que favorecen los enfoques formales y tericos que reflejan el estilo Bourbaki" (p. 208). Indica que, como reaccin espontnea de los sistemas educativos a tales dificultades, se produce una especie decrculo vicioso convenientepara garantizar unaeficiencia aceptableen los cursos de Clculo: el profesor aumenta la diferencia entre lo que ensea y lo que evala, mientras que el estudiante, guiado por el contenido de la evaluacin, se forma una creencia sobre la matemtica que no le ayuda a enfrentarse al pensamiento matemtico avanzado.Es precisamente este sealamiento de Artigue el que nos conlleva a interpretar que elmodelo docente tecnicistase viene a constituir en la institucin educativa como una reaccin al ejercicio delmodelo docente teoricista.El modelotecnicistabrinda una alternativa viable a la institucin, una vez que el docente comprueba "en aula propia" que el modeloteoricistafracasa en lograr el aprendizaje de aquello que ofrece como enseanza. Pensamos que de este modo en algn momento llega a sernormalidentificar en las aulas que la enseanza del Clculo se focaliza en tcnicas algortmicas que se alternan con la presencia de definiciones y resultados formales que los justifiquen.Al ingresar en 1990 como profesores a nuestra institucin educativa, pudimos observar que estaba normalizada esta prctica docente a la que denominamosparadigma tradicional en la enseanza del Clculo,cuyas caractersticas reparan en el contenido que es objeto de enseanza y en la estrategia de enseanza que se utiliza.El contenido matemtico se presenta estructurado de manera formal y rigurosa. Por formal entendemos una ausencia de significados reales asociados con las nociones y procedimientos de esta rama de la matemtica. Por riguroso entendemos una secuencia de definiciones, teoremas y demostraciones lgicamente validadas, todo organizado de tal forma que las nociones y procedimientos anteriores dan sentido a los subsecuentes. Esta presentacin formal y rigurosa (resultado de la fundamentacin) culmina con aplicaciones del contenido matemtico que dejan la impresin de que son consecuencia natural del dominio de la teora. El ndice de libros de texto tradicionales muestra ese tipo de estructura en el contenido: nmeros reales, funciones, lmites, continuidad, derivada, aplicaciones de la derivada, integral y aplicaciones de la integral.Es entendible que esta presentacin tradicional del contenido se vincule con una estrategia de enseanza tradicional del profesor que se limita a exhibir (ensear) la estructura, ya que presupone que as se dar el aprendizaje. Por tanto, para ensear la derivada habr que ensear antes lmites (porque la derivada es un lmite) y para ensear lmites habr que ensear antes funciones (porque los lmites son de funciones) y para ensear funciones habr que ensear antes los nmeros reales (porque son funciones de variable real). Al llegar al captulo de aplicaciones, el estudiante tal vez pueda repetir la definicin de derivada y habr calculado suficientes derivadas por definicin, pero sobre todo estar habituado a derivar funciones con el uso de las reglas de derivacin y sortear las dificultades algebraicas que dicho mtodo demanda. Bajo esa misma forma de trabajar, incorporar a sus conocimientos las aplicaciones de la derivada como procedimientos repetitivos del tipopara obtener el mximo se deriva y se iguala a 0.Es de esperar que el estudiante adopte un papel pasivo durante el proceso de transmisin del contenido y que su aprendizaje se evidencie mediante el dominio de esa estructura de conceptos y procedimientos rigurosamente organizados, aunque en mayor medida a travs de su habilidad para resolver ejercicios rutinarios de corte algortmico que han sido diseados para facilitar al profesor la emisin de una evaluacin. Con ello, sealiviaun tanto la baja eficiencia de los cursos.A la fecha, diversos reportes de investigacin en revistas especializadas continan dando evidencia de la necesidad de repensar la enseanza del Clculo, con el fin de vencer la limitada comprensin de sus nociones y procedimientos. La investigacin ha pasado de referir dificultades a proponer alternativas basadas en nuevas estrategias didcticas; el uso de nuevas herramientas tecnolgicas para reforzar o descubrir ideas matemticas; el desarrollo y empleo de distintos marcos tericos; la realizacin de investigaciones cualitativas en pequeas poblaciones, e incluso ha formulado secuencias didcticas que afectan los currculos y son llevadas a cabo en grupos escolares completos. La seleccin de artculos que hicimos para elaborar este trabajo, sin pretender ejemplificar de manera exhaustiva, busca ofrecer una muestra organizada de las tendencias actuales, en la que se perciba cmo el anlisis va tomando un giro de cuestionar elcmo enseara cuestionar elqu ensear,aunque en cierta medida y con cierta reserva.De este modo, incluimos el trabajo que reporta Zhang (2003) sobre un curso tradicional de Clculo: en sesiones de 150 a 350 estudiantes, los profesores imparten exposiciones formales para transmitir el conocimiento y los estudiantes observan, escuchan, toman notas y reciben informacin pasivamente. En dos semestres cubren contenidos tradicionales: funciones, sucesiones, lmites, continuidad, derivadas y diferenciales, integrales, ecuaciones diferenciales y series. El profesor funge como lder en la transmisin de esta informacin y el estudiante es un receptor pasivo de la informacin que posee el profesor.Zhang expresa que pocos estudiantes logran aprender estas ideas la primera vez que las encuentran y perciben al Clculo como abstracto, aburrido y difcil de aprender. Afirma que la investigacin muestra que lasestrategias de enseanza centradas en el profesortienen desventajas porque no permiten un ambiente de aprendizaje activo. El inters del estudiante disminuye y, en la mayora de los casos, se apropia de un aprendizaje superficial, enfocado en la memoria y la reproduccin. Zhang, quien tuvo una reciente experiencia en la Universidad de Sydney, Australia, busca regresar a China para mejorar la calidad en la enseanza del Clculo medianteestrategias de enseanza centradas en el estudiante.Notamos en el trabajo anterior un ejemplo en el que la preocupacin por la problemtica del aprendizaje no incluye aspectos sobre el contenido tradicional del Clculo. Zhang slo cuestiona el modo en que este contenido debe acercarse al estudiante; a final de cuentas, dice, "los objetivos principales del curso son dar a los estudiantes los conceptos y teora del Clculo, hacerlos entender las ideas matemticas y desarrollar sus habilidades para pensar lgica, profunda y creativamente" (2003, p. 100).Desde nuestro punto de vista, la introduccin de la tecnologa computacional en la enseanza pudo ser vista al principio como un medio para resolver la problemtica: los libros de texto tradicionales se acompaaban con mejores imgenes, mientras que en el aula se ocupaban calculadoras que graneaban para mostrar el mismo contenido; un diferentecmopara mostrar un mismoqu.La evolucin de los recursos tecnolgicos, de acuerdo con MorenoArmella, Hegedus y Kaput, ofrece una nueva perspectiva terica para investigar el potencial didctico de los ambientes tecnolgicosdinmicos continuos,que pertenecen a la ltima etapa en tal desarrollo. Entre las etapas anteriores se ubican las graneadoras, que son medios decomputacin estticaque responden computacionalmente a una accin humana y las hojas de Clculo, que representan una etapa de mediosdinmicos discretosdonde "la coaccin entre usuario y ambiente puede existir" (2008, p. 103).El ejemplo sobre el uso de tecnologa que seleccionamos maneja un recurso computacional dinmico discreto. La investigacin de Gordon y Gordon se enfoca en aprovechar la idea delajuste de funciones con datosa favor de que el estudiante descubra elteorema fundamental del Clculo.Su motivacin radica en que la manera como se presenta el teorema en cursos tradicionales, donde se introduce a la funcin rea como integral definida, los estudiantes la encuentran "sacada de la manga del profesor" (2007, p. 598). Gordon y Gordon no comentan sobre la experiencia con estudiantes de su acercamiento al teorema con el uso de la hoja de clculo, pero manifiestan la conviccin de que la problemtica sobre el aprendizaje del teorema puede aliviarse mediante la aplicacin del recurso computacional para obtener valores numricos, a los que despus se ajusta una funcin matemtica. Al final, expresan su preocupacin por desembocar en la presentacin tradicional del contenido: "por supuesto, una vez que la 'frmula' ha sido descubierta o conjeturada, uno puede voltear a los argumentos algebraicos de lmite para probar los resultados formalmente" (p. 604). Queda la impresin de que el modo de introducir el teorema no es tradicional, pero ha depagarse el preciode arribar a la presentacin formal del resultado, como si con ello se estuviese validando el acercamiento didctico.Con Gordon y Gordon (2007) ilustramos un caso en el que el manejo de recursos tecnolgicos ofrece una alternativa innovadora para presentar cierto contenido matemtico. Elcmoy en cierto sentido elqu ensearse modifican; sin embargo, la validez del resultado matemtico sigue justificndose por supresentacin formal y rigurosa.Asimismo, seleccionamos el artculo de Thompson y Silverman (2007) para ilustrar la aplicacin de resultados de investigacin de ndole cognitiva. Thompson y Silverman consideran algunas dificultades documentadas sobre la concepcin defuncincomoproceso;su estudio va dirigido a determinar las dificultades que tiene el estudiante para comprender una idea importante del Clculo: laacumulacin.Argumentan que los estudiantes encuentran difcil "pensar en algo que se est acumulando cuando no pueden conceptualizar los 'bits' que se estn acumulando" (p. 117). A su vez, la expresin matemtica de lafuncin de acumulacinposee tantas partes que varan (comox,t, f(t),F(x)) que resulta natural la dificultad para entender y emplear dicha notacin.Thompson y Silverman cuestionan el dbil aprendizaje de laintegralexpresada en la funcin deacumulacincuando el sentido deF(x) es representar el rea acotada entre una grfica de una funcinf(x) y el ejex, una imagen que debe preexistir en la mente del estudiante. En la expresin aparecen simultneamente los problemas con la comprensin sobre el proceso de acumulacin del rea y con el proceso de determinacin para los diferentes valores de la funcin de acumulacin. Thompson y Silverman indican que la mayor fuente de problemas con la comprensin matemtica de la acumulacin se da porque es raro que dicha idea se ensee en los cursos o, si se ensea, es raro que se tenga intencin de que se aprenda.La idea de Thompson y Silverman consiste en elaborar una alternativa para la enseanza del Clculo tomando en cuenta aspectos cognitivos que permitan la apropiacin de un discurso coherente en los estudiantes donde participen significados de las nociones dederivada(razn de cambio) eintegral(acumulacin) y se dominen conexiones entre razones de cambio de cantidades, acumulacin de cantidades, funciones como modelos, lmites, antiderivadas, convergencia uniforme y puntual, al igual que funciones de dos o ms variables. "Aunque se necesita ms trabajo para desarrollar la instruccin que logre esto, creemos que enfocarse en funciones de acumulacin, como se ha discutido en este captulo, ser algo central" (Thompson y Silverman, 2007, p. 129).Debido a que no es comn referirse a la integral comofuncin de acumulacin,pensamos que elcmointentan presentarla Thompson y Silverman altera elquensear, y le otorga un significado diferente al tradicional del rea. Sin embargo, a lo largo del trabajo se nota la preocupacin por hacer que los estudiantes lleguen a conceptualizar la funcin de acumulacin y, con ello, comprendan finalmente el sentido de la definicin formal de la integral como el lmite de sumas de Riemann.Para ilustrar una ltima alternativa, que contempla la importancia dea quinse dirige la enseanza, elegimos el reporte de Bingolbali, Monaghan y Roper (2007), quienes estn interesados en esclarecer el aprendizaje del Clculo que evidencian estudiantes de ingeniera, a diferencia del aprendizaje que concierne a los alumnos de una carrera de matemticas. Se obtuvo informacin de estudiantes de primer semestre de matemticas y de ingeniera mecnica en una Universidad de Turqua para comparar las concepciones de los grupos en cuanto a la nocin dederivada.Los grupos tenan sus respectivos mdulos de Clculo y el mtodo que emplearon incluy la aplicacin de cuestionarios, la observacin de exposicin en clase, el desempeo en aula de los estudiantes, las notas de clase y la realizacin de entrevistas.Algunos resultados del estudio sealan diferentes concepciones y preferencias en los grupos. En particular, los alumnos de ingeniera manifestaron su inters por ver a la matemtica como una herramienta y por desear que el conocimiento matemtico fuera relevante en las aplicaciones de ingeniera. Esto se contrapone a la idea de concebir a la matemtica como disciplina mental.Nosotros sostenemos que los resultados del estudio envan un fuerte mensaje a los participantes involucrados en la educacin matemtica de los ingenieros: en que sus puntos de vista y expectativas deberan ser tomadas en consideracin, en la decisin de qu matemticas les sean enseadas (Bingolbali, Monaghan y Roper, 2007, p. 774).Este trabajo nos marca la pauta para cuestionar la pertinencia del orden clsico que presenta un contenido tradicional del Clculo, en relacin con el estudiante que lo ver como objeto de aprendizaje. En otras palabras, es legtimo considerar el carcterinstrumentalque tienen los cursos de Clculo en el currculo universitario cuando se investiga la problemtica de su aprendizaje. Pensamos que el papel que desempea el Clculo en el currculo debe ser el demediooherramientaque le permita al estudiante entender la realidad de otras reas del conocimiento; es en tal contexto donde deberamos estudiar las dificultades del aprendizaje.Con esta resea hemos querido mostrar algunas opciones que plantean la necesidad de experimentar diferentes acercamientos al Clculo. Cambiar elcmo enseares la primera alternativa que se presenta. El uso de aprendizaje activo, tecnologa, ideas importantes(ajuste, acumulacin)y utilidadinstrumentaldel conocimiento matemtico son, sin duda, acciones vlidas que buscan un aprendizaje viable en el aula.Hacemos la precisin de que estos trabajos no corresponden a los modelos docentes clsicos. Gascn (2001) plantea que un modelo epistemolgicocuasi empricose distingue deleuclideanismoporque concibe en forma distinta el desarrollo de una teora matemtica, ya que acenta periodos en que la teora es informal, periodos que preceden a la formalizacin. En ellos tiene sentido descubrir soluciones a problemas interesantes, establecer y probar conjeturas, contrastar, refutar, buscar contraejemplos; todas estas actividades son reivindicadas en su papel degeneradoras de conocimiento.La influencia del modelo cuasi emprico en el modelo docente consiste en recuperar la actividad matemtica exploratoria en el proceso.A nuestro juicio, dichos estudios introducen la actividad en el aula, ya que intentan involucrar al estudiante en el proceso de aprendizaje, como interactuando con una teora informal. Sin embargo, queda la impresin de que su uso se limita a predisponer al estudiante para arribar al contenido matemtico en su versin formal, con lo cual se quiere garantizar que el objeto de aprendizajeesmatemticas y no otra cosa.

DERIVADAS 2.1

La derivada de una funcinfen un puntoxse denota comof(x). La funcin cuyo valor en cada puntoxes esta derivada es la llamadafuncin derivadadef, denotada porf. El proceso de encontrar la derivada de una funcin se denominadiferenciacin, y es una de las herramientas principales en el rea de las matemticas conocida comoclculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denominaclculo diferencial.

HISTORIA DE LAS DERIVADAS

Los problemas tpicos que dieron origen alclculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la poca clsica de laantigua Grecia(siglo IIIa.C.), pero no se encontraron mtodos sistemticos de resolucin hasta veinte siglos despus (en el siglo XVII por obra deIsaac NewtonyGottfried Leibniz).En lo que atae a las derivadas existen dos conceptos de tipo geomtrico que le dieron origen: Elproblema de la tangente a una curva(Apolonio de Perge) ElTeorema de los extremos: mximos y mnimos (Pierre de Fermat)En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce comoclculo diferencial.

Siglo XVIILos matemticos perdieron el miedo que los griegos le haban tenido a los infinitos:Johannes KepleryBonaventura Cavalierifueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevara en medio siglo al descubrimiento del clculo infinitesimal.A mediados delsiglo XVIIlas cantidades infinitesimales fueron cada vez ms usadas para resolver problemas de clculos de tangentes, reas, volmenes; los primeros daran origen al clculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, mtodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos derivadas e integrales. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivacin) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del clculo).Newton desarroll en Cambridge su propio mtodo para el clculo de tangentes. En 1665 encontr un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincida con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedic a reestructurar las bases de su clculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxin, que para l era la velocidad con la que una variable fluye (vara) con el tiempo.Gottfried Leibniz, por su parte, formul y desarroll el clculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados queIsaac Newtondescubriera 10 aos antes. En su investigacin conserv un carcter geomtrico y trat a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.Fue quizs el mayor inventor de smbolos matemticos. A l se deben los nombres de:clculo diferencialyclculo integral, as como los smbolos de derivaday elsmbolo de la integral.

CONCEPTOS Y APLICACIONES

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales delclculo infinitesimal. El otro concepto es la anti derivada ointegral; ambos estn relacionados por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto delmite, el cual separa lasmatemticaslaTrigonometra.Quiz la derivada es el concepto ms importante delClculo Infinitesimal.La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de unamagnitudo situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios deFsica,QumicayBiologa, o en ciencias sociales como laEconomay laSociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a lagrficade dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de la rectatangentedel grfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como ellmitecuando la distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de funciones, tales comoconcavidadoconvexidad.Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidado unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica es unacurva suave, por lo que es susceptible de derivacin.Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), sonaproximables linealmente.En terminologa clsica, ladiferenciacinmanifiesta el coeficiente en que una cantidadcambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.En matemticas,coeficientees un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funcin base, etc.En fsica,coeficientees una expresin numrica que mediante alguna frmula determina las caractersticas o propiedades de un cuerpo.En nuestro caso, observando lagrficade la derecha, el coeficiente del que hablamos vendra representado en el puntode lafuncinpor el resultado de la divisin representada por la relacin, que como puede comprobarse en la grfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la lnea recta azul que representa la tangente en el puntode la funcin. Esto es fcil de entender puesto que eltringulo rectnguloformado en la grfica con vrtice en el punto, por mucho que lo dibujemos ms grande, al ser una figura proporcional el resultado dees siempre el mismo.Esta nocin constituye la aproximacin ms veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultnea.

Definicin como cociente de diferencias

La derivada de una funcines lapendiente geomtricade larecta tangentedel grfico deen. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la lnea tangente a una funcin dada, porque solamente se conoce un punto en la lnea tangente: . La idea es aproximar la lnea tangente con mltipleslneas secantesque tienen distancias progresivamente ms pequeas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma ellmitede las pendientes de las lneas secantes de esta progresin, se consigue la pendiente de la lnea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el lmite de la pendiente de las lneas secantes, al acercarlas a la lnea tangente.

Diferenciable

Una funcin con dominio en un subconjunto de los reales esdiferenciableen un puntosi su derivada existe en ese punto; una funcin es diferenciable en unintervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.Si una funcin es diferenciable en un punto, la funcin es continua en ese punto. Sin embargo, una funcin continua en, puede no ser diferenciable en dicho punto (punto crtico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recprocoLa derivada de una funcin diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y as sucesivamente. Esto tambin recibe el nombre de derivacin sucesiva o derivadas de orden superior.

LIMITES 2.2

La definicin de lmite matemtico para el caso de unasucesinnos indica intuitivamente que los trminos de la sucesin se aproximan arbitrariamente a un nico nmero o punto , si existe, para valores grandes de. Esta definicin es muy parecida a la definicin dellmite de una funcincuandotiende a.Formalmente, se dice que la sucesintiende hasta su lmite, o queconvergeoes convergente(a), y se denota como:

si y solo sipara todovalor real>0 se puede encontrar unnmero naturaltal que todos los trminos de la sucesin, a partir de un cierto valor naturalmayor queconverjanacuandocrezca sin cota. Escrito en unlenguaje formal, y de manera compacta:Este lmite, si existe, se puede demostrar que es nico. Si los trminos de la sucesin no convergen a ningn punto especfico, entonces se dice que la sucesin esdivergente.

Enanlisis realparafuncionesde una variable, se puede hacer unadefinicinde lmite similar a la de lmite de una sucesin, en la cual, los valores que toma la funcin dentro de unintervalooradio de convergenciase van aproximando a un punto fijadoc, independientemente de que ste pertenezca al dominio de la funcin. El punto c es punto de acumulacin del dominio de la funcin.1Esto se puede generalizar an ms afunciones de varias variableso funciones en distintosespacios mtricos.Informalmente, se dice queel lmite de la funcin f(x) esLcuandoxtiende ac, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasin unxsuficientemente cerca dectal que el valor de f(x) sea tan prximo a L como se desee.Para un mayor rigor matemtico se utiliza ladefinicinpsilon-deltade lmite, que es ms estricta y convierte al lmite en una gran herramienta delanlisis real. Su definicin es la siguiente:"El lmite def(x)cuandoxtiende aces igual aLsi y slo sipara todonmero realmayor que cero existe un nmero realmayor que cero tal que si la distancia entrexyces menor que, entonces la distancia entre laimagendexyLes menor queunidades".Esta definicin, se puede escribir utilizando trminoslgico-matemticosy de manera compacta:

Esta definicin es equivalente al lmite de una sucesin, una funcin es continua si:

Para la funcin f(x) = x2- 9/ x - 3 se tiene lmite en el punto 3, que no est en el dominio, cuando los valores del dominio se acercan a 3, los valores de la funcin se aproximan a 6. 3 es un punto de acumulacin de Df2

ImportanciaEl concepto de lmite es importante en anlisis matemtico; una herramienta bsica para definir la derivada e integral definida, la existencia de nmero real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de , genial creatura de Arqumedes.

Lmites lateralesAdems del lmite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los lmites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El lmite por la derecha (cuando existe) es el lmite de la sucesin:

Anlogamente el lmite por la izquierda (cuando existe) es:

EJERCICIOS 3.1

DERIVADAS

1f(x) = 3x2en x = 2.

2f(x) = x2+ 4x 5en x = 1.

3f(x) = x2 x + 1en x = 1, x = 0yx = 1.

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

f'(1), f'(0) y f'(1).f'(1)= 2(1) 1 =3f'(0)= 2(0) 1 =1f'(1)= 2(1) 1 =1

LIMITES1Aplicando la definicin de lmite, probar que:

2Observa la grfica de esta funcin f(x) y calcular estos lmites.

Calcular los siguientes lmites345

EJERCICIO 1

Aplicando la definicin de lmite, probar que:

Para comprobarlo vamos a tomar un = 0,01.

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:

Para x = 0.995 f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.Para x = 1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

Calcular el lmite de:

EJERCICIO 4

Calcular el lmite de:

EJERCICIO 5

Calcular el lmite de: