Trabajo de Primer Parcial Metodos Numericos
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8/10/2019 Trabajo de Primer Parcial Metodos Numericos
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FACULTADDEINGENIERAELCTRICA
METODOSNUMERICOS
INFORME DE TRABAJO PRIMER PARCIAL
TEMA:
DESCRIPCCIONDELOSMETODOSNUMERICOSY
PROBLEMASDECADACASO.
ALUMNOS:
DAVIDCATAGNIA.
MANCHAYDIEGO.
.
.
.
FECHADEENTREGA:
13DENOVIEMBREDEL2014
PERODOELECTIVO:
OCTUBRE2014-FEBRERO2015
CALIFICACIN: .
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UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANAMTODOS NUMRICOS INFORME
INGENIERIA ELECTRICA
MTODOS NUMRICOSCampus Kennedy
METODOS NUMERICOSINFORME
Alumno: David Catagniae-mail: [email protected]
Alumno: Diego Manchay
e-mail:[email protected]
1.RESUMEN:
Los mtodos numricos nos vuelven aptos para entender esquemasnumricos a fin de resolver problemas matemticos, de ingeniera ycientficos en una computadora, reducir esquemas numricos bsicos,
escribir programas y resolverlos en una computadora y usarcorrectamente el software existente para dichos mtodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que tambinamplia la pericia matemtica y la comprensi6n de los principios
cientficos bsicos.
2.
PALABRAS CLAVE:Mtodos Numricos, Matemticas de ingeniera, Matlab
ABSTRAC:
Numerical methods make us unfit to understand numerical
schemes to solve mathematical problems in engineering and
computer science, reduce basic numerical schemes, write
programs and solve them on a computer and correctly use existing
software for these methods and not only increases our ability to
use computers but also extensive mathematical expertise and
comprensi6n of basic scientific principles.
KEYS WORK: Numerical Methods, Engineering Mathematics,
Matlab.
3.OBJETIVO GENERAL:
Tener presente el manejo de los diferentes mtodos
numricos en Matlab.
3.1 Objetivos Especf icos: Interpretar la representacin de los diferentes tipos de
metodos numericos
Identificar a cada metodo con su debido proceso.
Identificar cada tipo de componentes de cada metodo
para su aplicacion.
Relaizar los ejercicios planteados utilizando diferentes
metodos como indica el problema.
Utilizar un paquete informatico (MATLAB) para la
respectiva realizacion de los ejemplos.
4.INTRODUCCION
El presente artculo da a conocer ciertos conceptos de los
diferentes mtodos numricos que debemos saber para poner en
prctica en nuestro programa realizado en Matlab , la cual va a
proporcionar una facilidad al momento de realizar cualquier tipo
de ejercicio que requiera del mismo ,as permitiendo la
interaccin entre el usuario y los servicios que ofrece nuestraprogramacin.
5.MARCO TEORICO
5.1. Mtodo de Biseccin
El objetivo es buscar la raz de una funcin, tomando un intervalo
inicial y reduciendo gradualmente a la mitad este, hasta hallar una
aproximacin o la raz que satisface la funcin, Este mtodo
plantea que si se cumple que:
f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta
un Xs
f(Xi) f(Xs)
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Se elige un intervalo inicial para funcin f(x)
Luego se busca localizar la raz con mayor exactitud dentro del
intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan
las condiciones iniciales.
Se compara el Xmed con cada uno de los lmites del intervalo y
se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo
intervalo.
Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeo el
intervalo hasta llegar a una aproximacin de la raz o la raz
exacta.
Al aplicarse el mtodo se puede apreciar que la aproximacin a
la raz mejora cada vez que el intervalo se hace ms pequeo.
[1]
5.2. Mtodo de la Regla Falsa.
Encontrar la interseccin de una recta conformada por los puntos
a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos ms pequeos, lo lacual permite una aproximacin a una raz.
Este mtodo conserva todas las caractersticas y condiciones que
posee el mtodo de biseccin, excepto por la forma de calcular el
punto intermedio del intervalo. Para aplicar el mtodo se debe
tener en cuenta:
Fig.2:Pseudocodigo metodo de Falsa Posicion
Si se tiene dos puntos (a,f(a)) y(b, f(b)) y se traza la recta que une
a estos dos puntos, se puede observar que un punto est por
debajo del eje x y otro por encima de este, y un punto intermedio
(Xm,0), con este punto intermedio se puede comparar los lmites
y obtener un nuevo intervalo.
Si f(A) y f(B)0, entonces la raz se encuentra al lado derecho
del intervalo.
Para hallar la interseccin de la recta con el eje X usamos la
siguiente frmula:
Xm= a - ((f(a)*(b - a))/(f(b) - f(a))) [2]
5.3. Mtodo de Punto Fijo
Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, unatolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es
necesario tener un intervalo. A partir de una ecuacin F(X)=0 se
genera una ecuacin X=g(X), a la cual se le busca una solucin, y
se debe tener en cuenta lo siguiente.
Se busca un valor de X que al reemplazarlo en g, el resultado
sea X.
Se debe elegir una aproximacin inicial Xo
Se calcula X1=g(Xo) Y se repite el paso anterior hasta llegar a
una aproximacin. [3]
A continuacion tenemos el seudocodigo de este metodo
Fig.3:Pseudocodigo metodo de Punto Fijo
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5.4. Mtodo de Newton
Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, una
tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es
necesario tener un intervalo. El mtodo de newton por su rapidez
y efectividad, es uno de los mtodos ms utilizados; este mtodo
es una variable del mtodo de punto fijo, por lo cual se debecalcular una funcin g , esta funcin g se puede calcular de la
forma:
g(X) = X(f(X)/f (x))
Una vez definida la funcin g, se debe realizar los siguientes
pasos, como en el mtodo de punto fijo.
-Se debe elegir una aproximacin inicial Xo
-Se calcula X1=g(Xo)
-Se calcula X2=g(X1)
-.............. Xn=g(Xn-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin de la
raz. [4]
Fig.4:Pseudocodigo metodo de Newton
5.5. Mtodo de la secante.
Buscar una raz de una funcin a partir de dos valores iniciales,
una tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es
necesario tener un intervalo. El mtodo de la secante se define
como una variante del mtodo de Newton. A partir de la ecuacin
iterativa que define el mtodo de Newton, se sustituye la
derivada por una expresin que la aproxima:
X2 = X1((f(X1)*(X1-Xo))/(f(X1)-f(Xo))
Se debe elegir dos aproximaciones iniciales X1 y X0
Se calcula X2= Expresin ---------- Xn = Expresin (n-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin. [5]
El seudocodigo se muestra en la figura 5
Fig.5:Pseudocodigo metodo de la Secante
5.6. Mtodo de Races Mltiples
Buscar una raz de una funcin a partir de un valor inicial, una
tolerancia y un nmero de iteraciones, para este caso no es
necesario tener un intervalo. Una de las condiciones para
garantizar la convergencia del mtodo de Newton es que f (Xv)
tiene que ser diferente de cero . Si al ejecutar el mtodo de
Newton se observa que f(xn) se aproxima a cero, la rapidez del
mtodo disminuye y hay una posible raz mltiple.
El mtodo de raz mltiple tambin es conocido como el mtodo
de Newton mejorado, y bsicamente su estructura es muy similar
excepto de que se debe hallar la segunda derivada y se debe
tomar en cuenta la siguiente expresin:
Xn+1 = Xn((f(Xn)*f(Xn))/((f`(Xn)^2 - (f(Xn)*f(Xn)))
Una vez definida la expresin anterior, se procede de una forma
similar al mtodo de Newton
Se debe elegir una aproximacin iniciales X0
Se calcula X1= Expresin ---------- Xn = Expresin (n-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximacin. [6]
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El Seudocodigo del metodo de las raizes multiples se presenta a
continuacion.
Fig.6:Pseudocodigo metodo de Raices Multiples
5.15- Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura
P5.14. Emplee el mtodo de biseccin para resolver la posicin
dentro de la viga donde no hay momento.
Figura P5.14
5.16Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20
M3/s. La profundidad crtica y para dicho canal satisface la
ecuacin.
Donde g = 9.81m/s2, Ac = rea de la seccin transversal (m2), yB = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho
y el rea de la seccin transversal se relacionan con la
profundidad y por medio de
Resuelva para la profundidad crtica con el uso de los mtodos a)
grfico, b) biseccin, y c) falsa posicin. En los incisos b) y c), haga
elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones
hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el
nmero de interaciones supere a 10. Analice sus resultados.
METODO DE LA BISECCION
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La Solucion es : 1. 5078
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Figura 7.2 ejecucion del ejercicio grafico de matlab
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA ENANEXADO EN ESTE INFORME
5-17Suponga el lector que est diseando un tanque esfrico(vase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado
pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que
puede contener se calcula con
Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque
[m], y R = radio del tanque [m].
Si R = 3m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo
que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de la
falsa posicin a fin de obtener la respuesta. Determine el error
relativo aproximado despus de cada iteracin.
Sea despejando la ecuacion igual a:
La solucion es: 2.027 m de profundidad
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EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA ENANEXADO EN ESTE INFORME
6-18 El balance de masa de un contaminante en un lago bien
mezclado se expresa as:
Dados los valores de parmetros V = 1 . 106 m3, Q = l . 10E5
m3/ao y W = l . 10E6 g/ao, y k = 0.25 mE0.5/ao, use el mtodo
de la secante modificado para resolver para la concentracin de
estado estable. Emplee un valor inicial c = 4 g/m3 y d = 0.5.
Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual
despus de la tercera iteracin.
Sea un sistema balanceado:
Los problemas de balances de masa se pueden dividir en dos
clases: los que estan en estado estacionario y los que estan en
estado no estacionario.
Un estado estacionario es aquel en el que las concentraciones y el
volumen no cambian con el tiempo: la concentracin y caudal de
entrada son constantes y el caudal de salida es constante e igual
al de entrada, y por lo tanto la concentracin en la regin decontrol del volumen es constante. As pues, para los sistemas
estacionarios : dm/dt = 0.
Los estados no estacionarios son aquellos en los que los caudales
de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la
concentracin de entrada vara de un momento a otro, o hay
variacin de volumen en la regin de control de volumen. Para los
sistemas no estacionarios: dm/dt0, de modo que la acumulacinmide la variacin de la cantidad de materia en relacin al tiempo.
Sea un sistema estacionario entonces tenemos:
( )
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA ENANEXADO EN ESTE INFORME
6-29.Utilice el mtodo de la secante de la funcin crculo
(x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 16
para encontrar una raz real positiva. Establezca su estimacin
inicial de xi = 3 y xi-1 = 0,5. Acercarse a la solucin de la primera y
cuarto cuadrantes. Cuando la solucin de f (x) en el cuartocuadrante, ser Asegrese de tomar el valor negativo de la raz
cuadrada. Por qu su solucin divergen?
>Ingrese la funcin: f(x)= sqrt(16-(x+2)^2)+2Ingrese el intervalo inferior Xo: 0.5Ingrese el intervalo superior X1: 3Ingrese el valor de la tolerancia: 0.01
i xi x1 f(xi) error0 0.5000 3.0000 5.1225 ------
1 3.0000 2.6327 4.9802 1.00002 2.6327 3.8282 2.9695 5.9116
3 3.8282 1.0877 5.8887 5.21704 1.0877 4.7952 4.7117 6.16635 4.7952 1.0066 6.7689 7.38736 1.0066 6.9651 5.8877 7.0927
7 6.9651 0.1276 7.0763 10.0782
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8 0.1276 6.7140 9.0919 7.22569 6.7140 -0.2633 7.5719 12.2054
10 -0.2633 8.3736 12.0255 7.676811 8.3736 -0.7903 7.5919 15.6189
El resultado ser: -0.790279
6-30Suponga el lector que est diseando un tanque esfrico(vase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado
pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que
puede contener se calcula con
Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque
[m], y R = radio del tanque [m].
Si R = 3m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo
que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de la
falsa posicin a fin de obtener la respuesta. Determine el error
relativo aproximado despus de cada iteracin.
Sea despejando la ecuacion igual a:
La respuesta es: h = 2.026 m
Converje mejor con el metodo de secante por que con menos
iteracciones llegamos al error buscado.
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA ENANEXADO EN ESTE INFORME
6-31. La ecuacin de Manning se puede escribir para un abierto
rectangular canal como
Donde Q = caudal [m3 / s], S = pendiente [m / m], H = Profundidad
[m], y n =0.03
el coeficiente de rugosidad de Manning. Desarrollar un punto fijo-
iteracin esquema para resolver esta ecuacin para H dada Q = 5,
S = 0,0002, B = 20, y n = 0,03. Demostrar que su esquema
converge para todos conjeturas iniciales mayores que o igual a
cero.
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CONCLUSIONES
-El mtodo de la Biseccin converge lentamente, lo que genera lapropagacin de error por la cantidad de operaciones e iteracionesnecesaria para que el mtodo converja.-Para las bsquedas incrementales es de gran importancia saberelegir el valor del incremento, pues de este depende que el mtodotenga gran eficiencia o no.
-Para los mtodos cerrados es necesario garantizar que dentro delintervalo de entrada la funcin sea continua y que este contengauna raz.-Para los mtodos aciertos es necesario garantizar que la funcinsea continua.-El mtodo de Newton se va volviendo lento cuando la derivada dela funcin tiende a 0.-Los mtodos abiertos convergen de una manera ms rpida quelos mtodos cerrados.-En los mtodos cerrados, en ocasiones el mtodo de la regla falsa
puede volverse lento, por lo que se prefiere biseccin.I. AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer al Ingeniero Edith Alexander Muoz Rios por suatencin en el trabajo y por la ayuda de las clases y las bases que lnos ha fomentado nos ha ayudado para comprender claramente eldeber enviado, adems agradecerle por tomarse el tiempo derevisar este trabajo
II. REFERENCIAS
III. Reportes encontrados en la web
II. REFERENCIAS
1.BIOGRAFIA:
Cristian Mauricio Ayala Criollo, naci en laparroquia de Gonzlez Surez del cantnOtavalo, provincia de Imbabura en Ecuador, el13 de Agosto de 1984. Realiz sus estudiosprimarios en la Escuela Simn Bolvar. Realizsus estudios secundarios en el Instituto Tcnico
Superior Otavalo donde, se gradu como FsicoMatemtico en julio de 2002. En abril del 2008,se gradu como Tcnico Superior Informtico enel SECAP. Estudi Ingeniera Electrnica yRedes de Informacin en la Escuela PolitcnicaNacional, hasta el 6 semestre, retirndose de susestudios por fuerza mayor en diciembre de 2010.
Actualmente se halla estudiando Ingeniera Elctrica en la UniversidadPolitcnica Salesiana, campus Kennedy en 6 semestre. Trabaj como sub-operario en logstica del COTRAN seccin de inteligencia de las FuerzasArmadas del Ecuador, as como docente de la Unidad Educativa adistancia Eugenio Espejo, en Ibarra-Ecuador, y docente del SECAP, enOtavalo-Ecuador.reas de inters: diseo grfico, informtica y redes, automatizacin y
control industrial, domtica, iluminacin, Smart Home, msicainstrumental.([email protected])
[1] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-1-metodo-de-biseccion. [ltimo acceso: 12 112014].
[2] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-2-metodo-regla-falsa. [ltimo acceso: 13 11 2014].
[3] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-1-metodo-de-punto-fijo. [ltimo acceso: 13 112014].
[4] PROCESOS NUMERICOS, [En lnea]. Available:
https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-2-metodo-de-newton. [ltimo acceso: 13 11 2014].
[5] programacion numerica, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-3-metodo-de-la-secante. [ltimo acceso: 13 112014].
[6] PROGRAMACION NUMERICA, [En lnea]. Available:https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodos-abiertos/4-4-metodo-de-raices-multiples. [ltimo acceso: 13 112014].
mailto:[email protected]:[email protected] -
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INGENIERIA ELECTRICA
MTODOS NUMRICOSC K d
Diego Guillermo Manchay Chasipanta, Nacien Otavalo, el 16 de Mayo de 1989.Sus estudios secundarios los realiz en elColegio Experimental Jacinto Collahuazo yobtuvo el ttulo de bachiller en ciencias:especialidad Fsico matemtico en el ao 2008.Los estudios universitarios los curso en laEscuela Politcnica Nacional. Egresado deTecnlogo Electromecnico en el 2012.
10.ANEXOS:
EJERCICIOS:
Una funcin dada de s siempre puede representarse por un
diagrama de polos y ceros, que es la representacin con las
pequeas cruces y crculos en el plano s que localizan los polos y
los ceros. La funcin. [1]
tiene un cero en s = -3 y polos en j2 y -j2. Por consiguiente, su
diagrama de polos y ceros es el de la figura [1]
Figura 10.1.
Recprocamente, si se da un diagrama de polos y ceros, es fcil
determinar la funcin de s correspondiente. Por ejemplo,
supngase que se da la figura 1.19. Hallando los ceros primero, el
cero s = 1 produce un factor (s -1) que ser colocado en el
numerador. El cero en s = -2 origina el factor (s + 2) que ser otro
del numerador, mientras que el polo s = j da lugar a un factor (s
j) y el polo s = -j produce otro (s + j), perteneciendo ambos al
denominador. Reuniendo los factores se tiene:
que puede expresarse como:
Los diagramas de polos y ceros son de especial importancia en el
anlisis de redes R-L-C y los usaremos constantemente
Ejemplo:
Determinar la funcin F(s) que corresponda al diagrama de polos y
ceros de la figura
Figura 10.2.
Respuesta: