Trabajo de resistencia de materiales II

Ejercicio aplicado al esfuerzo plano

1. Un letrero con dimensiones 2.0 m × 1.2 m está soportado por un poste circular hueco que tiene diámetro exterior de 220 mm y diámetro interior de 180 mm. El letrero tiene una excentricidad de 0.5 m desde la línea central del poste y su borde inferior está a 6.0 m arriba del suelo. Determine los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos A y B en la base del poste debidos a una presión del viento de 2.0 kPa que actúa contra el letrero.

Presión del viento contra un letrero (flexión, torsión y cortante del poste combinados).

SOLUCION

La presión del viento contra el letrero produce una fuerza resultante W que actúa en el punto medio del letrero y es igual a la presión p por el área A sobre la que actúa:

W = pA (2.0 kPa)(2.0 m 1.2 m) = 4.8 Kn

La línea de acción de esta fuerza está a una altura h = 6.6 m arriba del suelo y a una distancia b = 1.5 m desde la línea central del poste.La fuerza del viento que actúa sobre el letrero es estáticamente equivalente auna fuerza lateral W y a un par de torsión T que actúa sobre el poste el par de torsión es igual a la fuerza W por la distancia b:

T = Wb (4.8 kN)(1.5 m) = 7.2 kN·m

Las resultantes de esfuerzos en la base del poste (figura 8.27c) consisten de un momento flexionante M, un par de torsión T y una fuerza cortante V. Sus magnitudes son:

M = Wh (4 .8 kN)(6 . 6 m )=31. 68 kN mT =7 . 2 kN m V =W 4 . 8 kN

Al examinar estas resultantes de esfuerzos se tiene que los esfuerzos flexionantes máximos ocurren en el punto A y los esfuerzos cortantes máximos en el punto B. Por tanto, A y B son los puntos críticos donde se deben determinar los esfuerzos. (Otro punto crítico está diametralmente opuesto al punto A, como se explica en la nota al final de este ejemplo.)Esfuerzos en los punto A y B. El momento flexionante M produce un esfuerzode tensión σA en el punto A (figura 8.27d) pero no esfuerzo en el punto B (que está ubicado en el eje neutro). El esfuerzo σA se obtiene con la fórmula de la flexión:

σ A=M (d2/2 )

I

En donde d2 es el diámetro exterior (220 mm) e I es el momento de inercia de la sección transversal. El momento de inercia es

I= π64 (d2

4−d 14 )= π

64[ (220mm )4−(180mm )4 ]=63 .46×10−6m4

En donde d1 es el diámetro interior. Por tanto, el esfuerzo σ A es:

σ A=Md22 I

=(31. 68 kN )(220mm )2(63 . 46×10−6m4 )

=54 .91 MPa

El par de torsión T produce esfuerzos cortantes t1 en los puntos A y B. Podemos calcular estos esfuerzos con la fórmula de la torsión:

τ1=T ( d2/2)I p

En donde I p es momento polar de inercia:

I= π32 (d2

4−d 14 )=2 I=126 .92×10−6m4

Por tanto,

τ=Td 22 I p

=(7 . 2 kN .m)(220 mm )2 ( 126 .92×10−6m4 )

=6 . 24 MPa

Por último, calculamos los esfuerzos cortantes en los puntos A y B debidos a lafuerza cortante V. El esfuerzo cortante en el punto A es cero y el esfuerzo cortante en el punto B (designado t2) se obtienen de la fórmula del cortante para un tubo circular.

τ 2=

4V3 A ( r2

2+r2+r 1+r12

r22+r1

2 ) ……………… (1)

En donde r2 y r1 son los radios exterior e interior, respectivamente, y A es el área dela sección transversal.

r2=d2

2=100 mm r1=

d1

2=90 mm

A=π (r22−r1

2)=12 ,570 mm2

Al sustituir valores numéricos en la ecuación (1), obtenemos

τ 2=0 .76 MPa

Ahora ya están calculados los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal en los puntos A y B. Elementos de esfuerzo. El paso siguiente en mostrar estos esfuerzos en elementos de esfuerzo. Para los dos elementos el eje y es paralelo al eje longitudinal del poste y el eje x es horizontal. En el punto A los esfuerzos que actúan sobre el elemento son:

σ x=0 σ y=σ A=54 . 91 MPa τ xy=τ1=6 .24MPa

En el punto B los esfuerzos son:

σ x=σ y=0 τ xy=τ1+τ2=6 .54 MPa+0 .76MPa=7 .00MPa

Como no hay esfuerzos normales que actúen sobre el elemento, el punto B está en cortante puro. Ahora que conocemos todos los esfuerzos que actúan sobre los elementos de esfuerzo podemos emplear las ecuaciones dadas en la sección 7.3 para determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos.

Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en el punto A. Los esfuerzos principales:

σ 1,2=

σ x+σ y2

±√( σ x+σ y2 )2

+τxy………………… (2)

Al sustituir Sx = 0, Sy = 54.91 MPa y τ xy = 6.24 MPa, obtenemos

σ 1,2=27 . 5MPa±28 . 2 MPa

O

σ 1=55 . 7MPa σ 2=−. 07MPa ◄

Los esfuerzos cortantes máximos en el plano se obtienen con la ecuación siguiente

τmax=√( σ x−σ y2 )2

+τ xy2

Este término se evaluó antes, por lo que de inmediato observamos que

τmax=28 .2MPa ◄

Debido a que los esfuerzos principales σ 1y σ 2 tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano. Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el punto A es 28.2 MPa. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos

en el punto B. Los esfuerzos en este punto son σ x = 0, σ y = 0 y τ xy = 7.0 MPa. Como el elemento está en cortante puro, los esfuerzos principales son:

σ 1=7 . 0 MPa σ=−7 . 0 MPa

y el esfuerzo cortante máximo en el plano es

τmax=7 . 0MPa

Los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano son la mitad de este valor.Nota: si se necesitan los esfuerzos máximos en cualquier parte del poste, entonces también debemos determinar los esfuerzos en el punto crítico diametralmente opuesto al punto A, debido a que en ese punto el esfuerzo de compresión debido a la flexión tiene su valor máximo. Los esfuerzos principales en ese punto son:

σ 1=7 .0 MPa σ=−55 .7 MPa

y el esfuerzo cortante máximo es 28.2 MPa. Por lo tanto, el esfuerzo de tensiónmayor en el poste es 55.7 MPa, el esfuerzo de compresión mayor es –55.7 MPa y el esfuerzo cortante mayor es 28.2 MPa. (Tenga en cuenta que en este análisis sólo se consideran los efectos de la presión del viento. Otras cargas, como el peso de la estructura, también producen esfuerzos en la base del poste).

2. Un poste tubular con sección transversal cuadrada soporta una plataforma horizontal. El diámetro exterior del tubo es b = 6 in y su espesor de pared es t= 0.5 in. Las dimensiones de la plataforma son 6.75 in × 24 in y soporta una carga de 20 psi distribuida uniformemente que actúa sobre su superficie superior. La resultante de esta carga distribuida es una fuerza vertical P1:

P1 = (20 psi)(6.75 in 24.0 in) =3240 lb

Esta fuerza actúa en el punto medio de la plataforma, que está a una distancia d = 9 in desde el eje longitudinal del poste. Una segunda carga P2 = 800 lb que actúa horizontalmente sobre el poste a una altura h = 52 in arriba de la base. Determine los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos A y B en la base del poste debidos a las cargas P1 y P2 .

Solución

Resultantes de esfuerzos. La fuerza P1 que actúa sobre la plataformaes estáticamente equivalente a una fuerza P1 y a un momento M1 = P1 d que actúan en el centroide de la sección transversal del poste. La carga P2 también se muestra en esta figura. Las resultantes de esfuerzos en la base del poste debidas a las cargas P1 y P2 y al momento M1. Estas resultantes de esfuerzos son las siguientes:

1. Una fuerza axial de compresión P1 = 3240 lb

2. Un momento flexionante M1 producido por la fuerza P1:

M 1=P1 d =(3240 lb)(9 in)=29,160 lb-in

3. Una fuerza cortante P2 = 800 lb

4. Un momento flexionante M2 producido por la fuerza P2:

M2 = P2 h= (800 lb)(52 in) = 41,600 lb-in

Al examinar estas resultantes de esfuerzos tenemos que los dos momentos M1 y M2 producen esfuerzos de compresión máximos en el punto A y la fuerza cortante genera esfuerzos cortantes máximos en el punto B. Por tanto, A y B son puntos críticos donde se deben determinar los esfuerzos. Esfuerzos en los puntos A y B. (1) La fuerza axial P1 produce esfuerzos de compresión uniforme en todo el poste. Estos esfuerzos son:

σ P1=P1

A

en donde A es el área de la sección transversal del poste:

A=b2−(b−2 t )2=4 t (b−t )

= 4(0.5 in)(6 in 0.5 in) = 11.00 in2

Por tanto, el esfuerzo axial de compresión es

σ P1=P1

A=3240 lb

11. 00 in2=295 in

El esfuerzoσ P1 se muestra actuando en los puntos A y B (2) El momento

flexionante M1 produce esfuerzos de compresión en los puntos A y B Estos esfuerzos se obtienen con la fórmula de la flexión:

σM1=M 1(b/2 )

I=M 1b2 I

en donde I es el momento de inercia del área de la sección transversal:

I=b4

12−

(b−2 t )4

12= 1

12[ (6 in )4− (5 in )4 ]=55 . 92 in4

Entonces, el esfuerzo σM1 es:

σM1=M 1b

2 I=

(29,160 lb-in )(6 in )2(55 . 94 in4 )

=1564 psi

(3) La fuerza cortante P2 produce un esfuerzo cortante en el punto B pero no en el punto A. Del análisis de esfuerzos cortantes en las almas de vigas con patines, sabemos que un valor aproximado del esfuerzo cortante se puede obtener dividiendo la fuerza cortante entre el área del alma. Por tanto, el esfuerzo cortante producido en el punto B por la fuerza P2 es

τ P2=P2

Aalma=

P2

2 t(b−2 t )=800 lb

2(0 .5 in )(6 in - 1 in )=160 psi

El esfuerzo tP2 actúa en el punto B en la dirección. Si se desea, se puede calcular el esfuerzo cortante tP2 con la fórmula más precisa . El resultado de ese cálculo es tP2 = 163 psi, que muestra que el esfuerzo cortante obtenido con la fórmula aproximada es satisfactorio. El momento flexionante M2 produce un esfuerzo de compresión en el punto A pero ningún esfuerzo en el punto B. El esfuerzo en A es:

σM2=M 2(b /2 )

I=M 2b2 I

=(41 ,600 lb-in )(6 in )

2(55 .92 in 4)=2232 psi

El paso siguiente es mostrar los esfuerzos que actúan sobre elementos de esfuerzo en los puntos A y B. Cada elemento está orientado de modo que el eje y es vertical (es decir, paralelo al eje longitudinal del poste) y el eje x es

horizontal. En el punto A el único esfuerzo es uno de compresión σ A en la dirección:

σ A=σ P1+σM1

+σM2

=295 psi+ 1564 psi+ 2232 psi = 4090 psi (compresión)

Así entonces, este elemento está en esfuerzo uniaxial

En el punto B el esfuerzo de compresión en la dirección es:

σ B=σP1+σM

1=295 psi + 1564 psi = 1860 psi (compresion )

y el esfuerzo cortante es

τ P2=160 psi

El esfuerzo cortante actúa hacia la izquierda sobre la cara superior del elemento y hacia abajo sobre la cara x del elemento. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos en el punto A. Empleándola notación estándar para un elemento en esfuerzo plano, escribimos los esfuerzos para el elemento A como se indica:

σ x=0 σ y=−σ A=−4090 psi τxy=0

Dado que el elemento está en esfuerzo uniaxial, los esfuerzos principales son:

σ 1=0 σ2=−4090 psi

y el esfuerzo cortante máximo en el plano es :

τmax=σ1−σ2

2=4090 psi

2=2050 psi

El esfuerzo cortante máximo fuera del plano tiene la misma magnitud. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos en el punto B. Al emplear de nuevo la notación estándar para esfuerzo plano , observamos que los esfuerzos en el punto B son:

σ x=0 σ y=−σ B=−1860 psi τ xy=−τ P2=−160 psi

Para obtener los esfuerzos principales, que se repite a continuación:

σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x+σ y2 )

2

+τ xy2

Al sustituir los valores de σ x , σ y y τ xy , obtenemos:

σ 1,2=-930±944 psi

O

σ 1=14 psi σ2=−1890 psi

Los esfuerzos cortantes máximos en el plano se obtienen:

τmax=√( σ x+σ y2 )2

+τxy2

Este término se evaluó antes, por lo que de inmediato observamos que

τmax=944 psi

Debido a que los esfuerzos principales σ 1 y σ 2 tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano. Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el punto B es 944 psi. Nota: si se necesitan los esfuerzos máximos en cualquier parte en la base del poste, entonces también debemos determinar los esfuerzos en el punto crítico A diagonalmente opuesto, ya que en ese punto cada momento flexionante produce el esfuerzo de tensión máximo. Por tanto, el esfuerzo de tensión que actúa en ese punto es:

σ y=−σ P1+σM1

+σM2=−295 psi+1564 psi+2232 psi=3500 psi

Los esfuerzos que actúan sobre un elemento de esfuerzo en ese punto son:

σ x=0 σ y=3500 psi τ xy=0

Y, por tanto, los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo son

σ 1=3500 psi σ2=0 τmax=1750 psi

Por tanto, el esfuerzo de tensión máximo en cualquier parte en la base del postees 3500 psi, el esfuerzo de compresión máximo es 4090 psi y el esfuerzo cortante máximo es 2050 psi. (Tenga en cuenta que en este análisis sólo se

consideraron los efectos de las cargas P1 y P2. Otras cargas, como el peso de la estructura, también producen esfuerzos en la base del poste.)