TRABAJO DE SEPTIEMBRE Matemáticas · MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014...
Transcript of TRABAJO DE SEPTIEMBRE Matemáticas · MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014...
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 1
TRABAJO DE SEPTIEMBRE Matemáticas 1º Bachillerato
.
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 2
BLOQUE I: CÁLCULO
TEMA 1 (UNIDAD DIDÁCTICA 9): Propiedades globales de las funciones
1. Justifica si las siguientes gráficas corresponden a funciones.
2. Determina el dominio de las siguientes funciones.
a) 7
3)( −=
xxf b) 1
)( 2
2
+=
xxxf c)
37)(−
=x
xf
d) xx
xxf21)( 2 +
−= e) 3)( += xxf f) 232)( 2 −+= xxxf
g) 44)( 2 +−= xxxf h) xxf 25)( −= i) 3 2)( += xxf
j) )4(log)( 3 −= xxf k) )1cos()( xxf −= l) xxf ln3)( =
m) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
xxf
410ln)( n) 632)( −= xxf
o) 21
5)( −= xxf
p) tgxxf −= 2)( q) xxxf −++= 81)( r)
xxxf −
=1)(
s) 21
3)(x
xf−
= t) x
xf 12)( += u) x
xfln1)( =
f(x) g(x) h(x)
i(x) j(x) k(x)
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 3
3. Dadas las siguientes funciones indica: Dominio, recorrido, máximos y mínimos,
simetría y crecimiento y decrecimiento.
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 4
4. Estudia la simetría de las siguientes funciones:
a) xxxf 3)( 3 −= b) 23)(x
xf =
c) xxxf 3)( 2 −= d)
4)( 2
2
−=
xxxf
e) 1)( −= xxf f) 3)( 4 += xxf
g) xxf 3)( = h)
3)(
3
−=
xxxf
5. Dadas las funciones 2)( += xxf y 1
3)( 2 −=
xxg , calcula:
a) )5)(( gf + b) ))(( xgf ⋅
c) )(xgf⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
d) )3)(( gf −
6. Dadas las siguientes funciones xxf 2)( = , 2)( xxg = , x
xh 1)( = calcula:
a) gf o b) hg o
c) fh o d) fg o
e) gh o
7. Comprueba con las funciones 1)( += xxf y 23)( −= xxg que la
composición de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de gf o y fg o .
8. Calcula la función inversa de las siguientes funciones: a) 52 += xy
b) 2
3 xy −=
c) 3 32 −= xy
d) x
xy 1−=
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 5
9. Dibuja las funciones inversas de las siguientes gráficas de funciones:
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 6
TEMA 2 (UNIDAD DIDÁCTICA 10): Funciones elementales 1. Representa gráficamente las siguientes funciones:
2. Escribe la expresión algebraica de las funciones representadas, y calcula su pendiente y su ordenada en el origen.
3. Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.
a) 222 +−= xxy b) 12 2 −+−= xxy c) 22 −−= xy
4. Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas indicando el
vértice y los cortes con los ejes. a) 822 −−= xxy b) xxy 32 +−= c) 442 ++= xxy d) 232 2 −+= xxy
5. Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la
abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2.
a) 3
3−=
xy b) 4+−= xy
c) 121
+= xy d) xy 2−=
a) 2xy = b) 22xy =
c) 2
21 xy = d) 2
41 xy =
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 7
6. Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica.
a) 132
2
−+= xxy b) 122 2 +−= xxy
c) 23
2
+−−= xxy d) 12 2 ++−= xxy
7. Observa la gráfica de la función x
y 9= .
Representa las siguientes funciones:
a) 3
9−
=x
y b) 2
9+
=x
y c) 39−=
xy d) 29
+=x
y e) x
y 9−= f)
19−
−=x
y
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 8
8. Ayúdate de la calculadora para representar las funciones x
y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
31 , xy 4= .
9. A partir de la gráfica de la función xy 3log= , explica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones:
a) xy3
1log=
b) xy 3log3= c) xy 3log−=
10. Representa y describe las características de las siguientes funciones.
a) ⎩⎨⎧
≥−<+
=2 52 12
)(xxxx
xf
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+−=<−
= 3 3
3 63 3
)(
2
xxx
xxxxf
c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+
<−=
2 12
2 2
6)(
xx
xxxf
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
4
40 3
20
)(
3
xx
xx
xxxf
11. Observa la gráfica de la función 62 −−= xxy y realiza la gráfica de
62 −−= xxy .
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 9
TEMA 3 (UNIDAD DIDÁCTICA 11): Límites de funciones. Continuidad
1. Halla los siguientes límites: a) )32( 23 −+
+∞→xxlím
x b)
124
2 +++∞→ xxlímx
c) x
xexlím ⋅
+∞→
d) )27332( 234 +−+−+∞→
xxxlímx
e) )6( 23 xxlímx
+−∞→
f) )4( 34 xxlímx
+−∞→
g) 53362
2
2
+−+−
+∞→ xxxxlím
x h)
254162
2
32
−++−−
+∞→ xxxxxlím
x i)
xxxxxlím
x ++−++
+∞→ 23
3
63135
j) 53
22 +−
−+∞→ xx
xlímx
k) 1275
2
2
++++
−∞→ xxxxlím
x l)
113224
2
3
+−−+
+∞→ xxxxlím
x
m) ( )3424 22 −−++∞→
xxxlímx
n) ( )4212 22 +−−+−+∞→
xxxxlímx
o) ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
++
−∞→ 2315 22
xx
xxlím
x
p) 236
2
2
+−
+∞→ xxxlím
x q)
1232
2
4
−+−
+∞→ xxxxlím
x r) ⎜⎜
⎝
⎛−+
−−+∞→ 42
122
2
2
3
xx
xxxlím
x
s) ( )xxxlímx
−+−+∞→
132 t) x
x xxlím
2
52⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+∞→ u)
x
x xxxlím
2
2
2
52⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+∞→
v) 2
21x
x xlím ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→ w)
x
x xxlím ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+∞→ 522 x)
2
3
3
53
x
x xxxlím ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+∞→
2. Halla los siguientes límites:
a) 262
2 −+
→ xxlím
x b)
xxxlím
x 2822
4 −+
→ c) 23 9
9x
límx −→
d) 12
2421 +−−
→ xxxlím
x e)
xxxlím
x 224
21 −−
−→ f)
)3)(1()3)(32(
3 +++−
−→ xxxxlím
x
g) 273
10922
2
2 +−+−
→ xxxxlím
x h)
81474123
23
23
4 +++−−+
−→ xxxxxxlím
x i)
102525159
23
23
5 −+−++−
→ xxxxxxlím
x
j) 1616414112
2
2
2 +−+−
→ xxxxlím
x k)
xxxxxxlím
x ++−−+
−→ 23
23
1 21 l)
x
x xxlím
32
0 22⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
→
m) x
x xxxxlím
1
2
2
0 1216⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++
→
3. Halla los siguientes límites:
1) 3
4
0
2x
xlimx
−→
2) 4
862
4 −+−
→ xxxlim
x 3)
124322
3 −−−
→ xxxlim
x
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 10
4) x
xxlimx
+−−→
110
5) 3
213 −
−+→ x
xlimx
6) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+
−−+
→ xxxx
xxlim
x 22
21
2
22
2
7) 112
1 −−
→ xxlim
x 8)
x
x xxlim
2
1
4⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→ 9)
x
x xxlim
24⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
10) 9535
2
3
+−+−
+∞→ xxxxlim
x 11)
732
2
23
+−+−
−∞→ xxxxxlim
x 12)
144212
2
3
5 +−+−
→ xxxxlim
x
13) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−→ 912
32
23 xxlimx
14)
xx
x xxxlim
1
3
232
1464
+
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
15)xxx
xlimx −−−
++∞→ 22 3
42
16) 214152
2
2
3 −−−+
−→ xxxxlim
x 17)
6536
2
2
6 −−−
→ xxxlim
x 18)
2721493155
2
23
3 +−−+−
→ xxxxxlim
x
19) 15
4352 −
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x xxlim 20)
34
2
2
4513
+
−∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
x
x xxxlim 21)
3212
45 −
+
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x
x xxlim
22) 12
2
2
2717
+
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
x
x xxxlim 23)
15
2 132 −
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ x
x xxlim 24) ( ) x
xxlim 3
2
051+
→
25) ( )xxxlimx
−+−+∞→
14 2 26) ( )xxxlimx
3379 2 −+−+∞→
4. Calcular:
a) )(2
xflímx→
, siendo ⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−
+−=
2.................3
2.........2
44)(
2
x
xx
xxxf
b) )(2
xflímx→
, siendo ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+−=−<−
=2...............3
2...............42...............32
)(xx
xxx
xf
5. De la siguiente función se pide: )(xflímx +∞→
, )(xflímx −∞→
, )(2
xflímx→
, )(1
xflímx −→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+−++
>+−+−
=2..........
534
2.........432
13
)(
2
2
3
2
xx
xx
xxxxx
xf
6. Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) 3
1+
=x
y
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 11
b) 12
22 +−
+=
xxxy
c) xy += 4
d) 234 xxy −−=
7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+≤≤−+
−<−
=3....................7
31.................11...................32
)( 2
xxxx
xxxf
b) ⎩⎨⎧
>≤
=0;0;
)( 2 xsixxsix
xf
c) ⎩⎨⎧
>−≤
=1;11;2
)(xsixxsi
xf
d)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−−
=
<−−
=
2;22
422;1
2;242
)(
2
xsix
xxsi
xsix
xx
xf
8. Sea a un número real y f una función definida por:
⎩⎨⎧
>≤+
=0;50;
)(xsixsiax
xf Determina el valor de a de modo que f sea continua
en 0=x . 9. Sean a y b números reales y f una función definida por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤−+−<−
=2;
21;1;
)(xsix
xsibaxxsix
xf . Determina el valor de a y b de modo que f
sea continua en 1−=x y 2=x . 10. Determina las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones.
a) 3
62+−
=x
xy
b) 123 2
++
=x
xxy
c) 1
3−
=x
y
d) 5
4 3
−=
xxy
e) 1
12 ++
=xx
y
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 12
11. Calcula el dominio, el recorrido, los puntos de corte, el crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos absolutos y relativos, f(0), f(-2),
)(lim0
xfx −→
, )(lim0
xfx +→
, )(lim4
xfx −→
y )(lim4
xfx +→
:
12. Hallar los siguientes límites de las funciones siguientes:
)(lim xfx +∞→
, )(lim xfx −∞→
, )(lim2
xfx −→
y )(lim2
xfx +→
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 13
TEMA 4 (UNIDAD DIDÁCTICA 12): Introducción a las derivadas 1. Dada la función f(x) = 4x2, deducir razonadamente f '(5).
2. Halla, utilizando la definición, la derivada de la función 1
)( 2 +=
xxxf en el punto
x = 2. Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto. 3. Aplicando la definición demuestra que la función 2)( −= xxf no es derivable en x = 2. Da también un razonamiento gráfico.
4. Dada la función ⎩⎨⎧
>≤−
=1 si),/(21 si,3
)(2
xaxxax
xf
a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para qué valores de a es derivable?
5. Dada la función ⎩⎨⎧
>++−≤+
=0 si0 sisen25
)( 2 xbaxxxx
xf
a) ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f (x)? b) Determina a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.
6. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función:xxxf
cos1cos1ln)(
+−
= .
7. Deriva y simplifica: a) 32 )5( xxy += b) 3 22 )25( xxy −= 8. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale cero.
9. Deriva: a) )43ln()( 2 −= xxxf b) )1ln()1()( 2 −−= xxxf c) 3
2 )1ln()(x
xxf −=
10. Deriva: a) 13 2
2 −= xy b) 32 +−= xey c) 122 += xexy d) 2+
=xey
x
11. Si 1)( 2 += xxf y 2)( senxxg = halla la derivada de las funciones ))(()( xgfxF = y ))(()( xfgxG = , aplicando la regla de la cadena.
12. Halla la ecuación de la recta tangente a xxxf 3)( 2 += en el punto x = −1. Representa gráficamente la curva y la tangente.
14. Halla la ecuación de la recta tangente a x
xf 4)( = en el punto de abscisa x = 4.
15. Halla los puntos de la curva xxy 23 −= en los que su tangente tiene pendiente 1. Halla la ecuación de esas tangentes. 16. La derivada de orden n de xxf 22)( = es: (a) 222 nLnx+ (b) nLn )2(2 (c) nnx L )2(22 + 17. Halla la derivada n-ésima de xxf ln)( = .
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 14
18. La función ⎩⎨⎧
>+≤
=0 para,120 para,
)(xxxe
xfx
, en el punto x = 0 es:
a) Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable.
19. Dada la función: ⎩⎨⎧
>−≤
=0 si0 si)(
)( 2 xaxxxxsen
xf
¿Existen valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real?
20. La función ⎩⎨⎧
≥<++
=2 si22 si)(
2
xxxbaxxxf es derivable en x = 2 si:
a) b = –2a b) Sólo si a = −2 y b = 4 c) Ninguna de las anteriores. 21. La derivada de la función 5)( −= xxxf se anula en al menos un punto del intervalo a) (1, 5) b) [5, 10] c) Ninguna de las anteriores.
22. Dada 32 )3(
2)(−
=x
xxf , los valores de f ´(1) y f ´´(1) son, respectivamente:
a) 1 y 14 b) −1 y 4 c) −1 y −21/4
23. La ecuación de la recta tangente a la curva 3
2+
=x
y en el punto de abscisa x = 1 es:
a) xy21
= b) 85
81
+−= xy c) y = 2x
24. Deriva: a) 322 −= xy b)
223 xxy −= c) 3+−= xey d) xey 52= e) 12)12( ++= xexy
25. Deriva: a) x
eyx
= b) xexy = c)
123+
=xey
x d)
xxey
x
−=
1 e) xey = f) xey =
26. Halla la derivada de las siguientes funciones:
a) ( )425 743)( +−= xxxf b) xx
xxf412)( 2
3
−−
= c) 543
432)(xxx
xf +−=
d) xx
y53
22 −
= e) 52 )1(3−
=x
xy
27. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):
a) )24log( 2 +−= xxy b) 73 )5log( xxy −= c) 2
1log)(x
xf = d) ( )xxxf 2log)( −=
28. Deriva:
a) xexxf cos2)( = ; b) xexf 2cos)( = ; c) 32cos)( xxf = ; d) 2
1cos)(x
xf = ;
e) x
xxfsen
)( =
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 15
29. Deriva y simplifica cuando sea posible:
a) x
y51
= b) 23
xy −= c) 3
2x
y = d) xx
y2
12 −−
= e) xx
y72
52 −
=
30. Deriva y simplifica:
a) 543 2 −+= xxy b) xxy 44 += c) 3)51( xy += d) xxy −= 2
73
31. Deriva y simplifica:
a) x
y 1= b)
232 xxy +
= c) 232
xxy −
=
32. Deriva: a) 32
2 −= xy b) 223 xxy −= c) 3+−= xey d) xey 52= e) 12)12( ++= xexy
33. Deriva:
a) x
eyx
= b) xexy = c)
123+
=xey
x d)
xxey
x
−=
1 e) xey = f) xey =
34. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): a) )3log( 2 xxy += b) 7)43log( += xy c) )5log( xy = d) )5log( 2xy =
e) 2)5log( xy = f) ( )2)5log( xy = g) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= 212log
xxy h) 2log
)12log(xxy −
=
35. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): a) )32ln( 2 += xy b) )3ln(2 2 += xy c) 22 )3ln( += xy
d) 22 )32ln( += xy e) ( )22 )32ln( += xy 36. Deriva y simplifica a) xy 3ln= b) xy 3ln= c) ( )xy 3ln= d) ( )xy −= 3ln
37. Deriva y simplifica a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3ln
2xy b) 3
ln 2xy = c) 3ln
ln 2xy =
38. Deriva: a) xsenxy cos53 −= b) xxy 3sen = c) xxy sen ·cos= d) xxy sen ·3cos= 39. Deriva:
a) xxy 4cos2= b) xsenxy 52 3 −= c) )13( sen 2 −= xy d) x
xy 2cos=
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 16
40. Deriva:
a) senx
y 1= b)
xy
cos1
= c) senx
xy cos=
41. Deriva: a) xseney x 32= b) xey cos= c) xey cos= 42. Deriva:
a) )(ln xseny = b) )cos(ln xy = c) x
y 1cos= d) senxy =
43. Deriva: a) )1( tag 2 −= xy b) 2)1( tag −= xy c) )1( tag2 −= xy
d) )1( tag2 −= xy e) ( )2)1( tag −= xy 44. Deriva: a) xy 2arcsen = b) )(2arcsen xy += c) 2arccos xy = d) xey arccos= e) )23( += xarctagy f) )( 2xarctagy = 45. Miscelánea de derivadas.
1) 865243)( 2345 ++−−+= xxxxxxf 2) 1552
93
74
3)(234
−++−= xxxxxf
3) 2
125)(342 xxxxf +−
= 4) ( )( )53 153)( xxxxxf ++−= 5) 342 1252)(
xxxxf
+−=
6) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=23
)(2
xxxf 7)
2
9723)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
=x
xxf 8) ( )13
5)(2
−−
=x
xxf 9) 11)( −=x
xf
10) 323)( 24 +−=xx
xf 11) 33)( 5 +=x
xf 12) xxf 12)( =
13) ( ) ( )xxxf 4113)( 2 −−= 14) ( )523
5
)(xx
xxxf−
= 15) ( )425 2)( xxxf −=
16) 41)( xxf −= 17) ( ) 423)( −−= xxxf 18)
3
13)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=xxxf 19) 2
1)(x
xxf +=
20) ( ) 142)( 24 −+−= xxxf 21) 1)( 2 −= xxxf 22) xxexf 35 2
)( +=
23) ( )32ln)( += xxf 24) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=x
xxf31
ln)(2
25) xsenxf 3)( = 26) xsenxf 3)( =
27) 3)( senxxf = 28) 2
cos)( xxf = 29) 3)( arcsenxxf = 30) )21()( xarctgxf −=
31) x
exfx
=)( 32) x
xexfx
−=
1)( 33) xexf =)( 34) )5log()( 2xxf =
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 17
35) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= 2
12ln)(xxxf 36) ( )2)5log()( xxf = 37) xxxf 4cos)( 2=
38) )13()( 2 −= xsenxf 39) )1()( 2 −= xtgxf 40) )(ln)( xsenxf =
41) )()( 3xarctgxf = 42) xexf cos)( = 43) aecsenxxf 3)( = 44) x
xsenxf )(ln)( =
45) 3 3ln)( xxf = 46) 510)( += xxf
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 18
TEMA 5 (UNIDAD DIDÁCTICA 13):Aplicaciones de las derivadas
1. Halla una función de la forma cbxaxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto ( 0, 3) y tiene su máximo en ( 1, 2).
2. ¿ En qué puntos no son derivables las siguientes funciones?
a) 1
2)(+
=x
xxf
b) )5)(1(
3)(+−
+=
xxxxf
3. ¿ Para qué valores de k es derivable la función ⎩⎨⎧
−≥−−<+
=1 11
)(2
xxxkxx
xf en el
punto x = -1?
4. ¿ Para qué valores de k es derivable la función ⎩⎨⎧
−≥−−<+
=1 11x x
)(22
xxxk
xf en el
punto x = -1?
5. Dada la función ⎩⎨⎧
>+≤+
=1k 1 5x2
)( 2 xxx
xf ,
a) Determinar k para que f(x) sea continua en x = 1. b) ¿ Es la función f(x) para el valor de k calculado, derivable en x = 1?
6. Halla los coeficientes a, b y c de la función cbxaxxf ++= 2)( sabiendo que corta al eje OY en el punto (0, 4) y que la recta y = x es tangente a ella en el punto ( 2, 2).
7. De una función f : [0,5] se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada está dada
por ⎩⎨⎧
<≤+−
<<−=
51861025
)(' 2 xsixxxsix
xf . Calcula la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
8. Se sabe que la función definida por ⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤−
<<−+−=
101
01212
)(2
xsix
xsicxxxf
es derivable en el intervalo (− 1, 1).
a) Determina el valor de la constante c.
b) Calcula la función derivada f ‘.
c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = x.
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 19
9. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 que es paralela a la recta 4x + y + 3 = 0.
b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = x2 que pasan por el punto (2, 0).
10. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función representada en la figura en el intervalo [ 0 , 5 ].
11. La gráfica de una función es la de la figura:
• Estudia la continuidad y derivabilidad
de la función
12. La gráfica de la función derivada de f(x) es la siguiente. Explica cómo será f(x).
13. Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 20
a. 132 23 +−+−= xxxy
b. x
xxy 132 2 +−=
c. 22
−+
=xxy
d. 42
3
+=
xxy
14. Realiza un estudio completo de las siguientes funciones:
a. 5126 23 −+−= xxxy
b. 215
−+
=xxy
c. x
xy−
=2
2
d. 43
52 −−
+=
xxxy
e. 2
2
)1( −=
xxy
f. 11
2
2
+−
=xxy
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 21
TEMA 6 (UNIDAD DIDÁCTICA 14): Introducción a las integrales y sus aplicaciones
1. Halla las siguientes integrales:
1) ∫ dxx5 3 2) ∫+−+ dx
xxxx
2
23 753 3) ∫+ dxxsenx2
cos 4) ∫ − dxe x
5) dxx
x∫ − 5
22 6) ∫
−dx
xtgx
2cos35
7) ∫+ dxx
xx2 8) dxx∫ + 3
9) ∫ ++ dx
xxx
42
2 10) ∫ xdxsenx cos 11) ∫ +++ dxxx
x16
23
2
12) ∫ dxx
e x
13) ∫++
+ dxxx
x32
12
14) ∫ +dx
ee
x
x
21 15) ∫ + xdxx 5)1( 202 16) ∫
−dx
xx
412
17) ∫ dxx
x)cos(ln 18) ∫ + dxxtg )23( 19) ∫ dxx x2 20) ∫ +⋅ dxxarctgx )1(
21) ∫ ⋅ xdxx ln 22) ∫ + dxx )1ln( 23) ∫ + dxexx x)( 2 24) ∫ arctgxdxx 2
25) ∫ dxex x32 26) ∫ +dx
x 2211 27) dx
x∫ + 53 28) ∫ ++
dxxx 32
12
29) ∫ +−+ dxxx
x23
122 30) ∫ +
−+ dxx
xx12
124 3
31) ∫ +−−dx
xxx 22623 32) ∫ −
dxx 4
12
33) ( )∫ −
+ dxxx
3
2
11 34) ∫ +
dxx
x41
35) ∫+
dxx
x3
5
1 36) dxxx∫ +123
37) dxxx∫ + 3
1 38) ∫ − dxxx 21 39) ∫ −dx
xx
2
2
92 40) ∫ ++
dxxx
x122
41) ∫ −+dx
xxxx
223
2
42) ∫+ dx
xx 3)1( 43) ∫ −
+⋅ dxx
xx
13325 44) ∫ xdxe x cos
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 22
BLOQUE II: GEOMETRÍA
TEMA 7 (UNIDAD DIDÁCTICA 4 ): Trigonometría I TEMA 8 (UNIDAD DIDÁCTICA 5): Trigonometría II
1. Demuestra las siguientes identidades:
a) ααα
2sec21
11
1=
−+
+ sensen
b) αααα sengec =+− )cot)(coscos1(
c) 1cotcot
cotcot)(−⋅
+=+
βαβαβα
ggggtg
d) 0)1(cossec 222 =+−⋅ ααα tg e) 01)(cot =+−⋅ αα gtg
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1cos2 =− senxx b) 2)cos(21 xsenxxsen +=+ c) xgx coscot = d) 2cos23 2 =+ xxsen e) xsenxx cos2cos = f) 12cos 2 =− xsenx
g) 21cos 44 =− xsenx
3. Resolver el triángulo ABC en los siguientes casos:
a) a = 33, b = 23, c = 17. b) a = 19 , b = 32, C = 50º. c) a = 40 , b = 30, C = 100º. d) c = 39 , A = 42º, B = 56º. e) a = 33 , b = 20, B = 54º. f) a = 33 , b = 40, B = 54º. g) a = 33 , b = 29, B = 54º.
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 23
TEMA 9 (UNIDAD DIDÁCTICA 7): Geometría analítica en el plano
1. Calcular vu rr⋅ en los casos siguientes:
a) radvu4
,2,53 πα ===
rr
b) radvu2
,32,3 πα ===
rr
c) º240,2,2 === αvu rr
2. Calcular el ángulo que forman vu rr y en los siguientes casos: a) 4,4,2 =⋅== vuvu rrrr
b) 3,2,3 −=⋅== vuvu rrrr
3. Determinar el ángulo que forman las siguientes parejas de vectores: a) )1,4(y )2,3( =−= vu rr b) )4,2(y )3,1( −== vu rr
4. Sean vu rr y dos vectores de módulos 2 y 4 respectivamente y de producto
escolar -3, calcular los siguientes productos: a) )2( vuu rrr
−⋅ b) )42)(2( uvvu vrrr
−+ c) 2)3( vu rr
−
5. En R2 se dan los puntos A(1,2), B(0,3), C(5,x). a) Determina x para que AB y AC sean perpendiculares. b) Determina x para que el ángulo en el vértice A sea 60º.
6. Se consideran los puntos A(1,2) , B(5,0) , C(-1, -2) a) Calcula las longitudes de los lados del triángulo ABC. b) Calcula los ángulos del triángulo.
7. Escribe todas las ecuaciones de la recta: a) 0123 =++− yx b) que pasa por P(1,1) y Q(0,4) c) que pasa por A(3,-2) y m = 2.
8. Hallar A, sabiendo que )4,3(−=BA
r y B(5,-6).
9. Hallar un punto y un vector director de las siguientes rectas:
a) 5
22
3 +=
+ yx
b) 073 =−+ yx c) 25 −= xy
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Trabajo de Verano 2014
Página 24
d) ⎩⎨⎧
−−=−=
αα
22
yx
10. Determina el ángulo determinado por las rectas:
a) 053 =−+ yx y 0723 =+− yx
b) ⎪⎩
⎪⎨⎧
−+
=−
=−+
15
31
052yx
yx
11. Dada la recta 042: =+− yxr , halla las ecuaciones de una recta paralela y otra perpendicular a r que pasan por P(1,1)
12. Halla la ecuación de la recta que pasa por A(-2,3) y es paralela al eje OY. 13. Calcular m y n para que las rectas 0232 =−+ yx y 0=++ nmyx sean
a) paralelas, b) perpendiculares, c)coincidentes. 14. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
825 =− yx y 1794 =+ yx y es perpendicular a la bisectriz del segundo cuadrante.