RESULTADOS

MODELO 1

N= 100

t Nt M S A Nt+1

1 100 73 27 13 402 40 21 19 7 263 26 7 19 15 344 34 9 25 11 365 36 17 19 9 286 28 7 21 9 307 30 12 18 11 298 29 5 24 16 409 40 12 28 14 42

10 42 24 18 8 2611 26 5 21 13 3412 34 10 24 14 3813 38 12 26 14 4014 40 10 30 16 4615 46 14 32 22 5416 54 19 35 21 5617 56 34 22 14 3618 36 15 21 11 3219 32 7 25 11 3620 36 8 28 10 38

K=38,80958

9

t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t

x y x² y² xy

3 -0,7079025 9 0,501125943 -2,1237074874 -1,95574886 16 3,824953608 -7,8229954445 -2,55048068 25 6,504951687 -12,752403396 -0,95177089 36 0,90586782 -5,7106253177 -1,22535658 49 1,501498743 -8,5774960458 -1,08393544 64 1,174916035 -8,671483509

11 -0,7079025 121 0,501125943 -7,78692745212 -1,95574886 144 3,824953608 -23,4689863313 -3,84881455 169 14,81337343 -50,0345891318 -2,55048068 324 6,504951687 -45,908652219 -1,54740412 361 2,394459497 -29,400678220 -2,55048068 400 6,504951687 -51,00961355

∑ 126 -21,6360263 1718 48,95712969 -253,2681581

b= -0,06605033 r= 0,066050334a= -20,5957336

t Nt esperado

nt

3 27,6398753 264 35,0072893 345 36,7482453 366 30,8076103 287 32,7522902 308 32,3569419 29

11 31,3424181 2612 36,4740381 3413 38,4623663 3818 37,908553 3619 36,5898066 3220 38,0177788 36

3 4 5 6 7 8 11 12 13 18 19 200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Nt esperado nt

MODELO 2

N= 200

t Nt M S A Nt+1

0 200 185 15 5 20

1 20 3 17 9 26

2 26 3 23 9 32

3 32 12 20 17 37

4 37 18 19 10 29

5 29 7 22 12 34

6 34 15 19 12 31

7 31 15 16 17 33

8 33 15 18 13 31

9 31 3 28 12 40

10 40 17 23 9 32

11 32 12 20 10 30

12 30 11 19 15 34

13 34 11 23 19 42

14 42 13 29 11 40

15 40 14 26 12 38

16 38 14 24 14 38

K=34,85090

3

t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t

x y x² y² xy

1 -0,29767161 1 0,088608385 -0,2976716052 -1,07757706 4 1,161172311 -2,1551541113 -2,41810013 9 5,847208253 -7,2543003995 -1,60069983 25 2,562239945 -8,0034991486 -3,68781772 36 13,59999954 -22,126906327 -2,08567955 49 4,350059187 -14,599756858 -2,88083396 64 8,299204297 -23,046671679 -2,08567955 81 4,350059187 -18,77111595

11 -2,41810013 121 5,847208253 -26,5991014612 -1,82203252 144 3,319802497 -21,8643902213 -3,68781772 169 13,59999954 -47,94163036

∑ 77 -24,0620098 703 63,02556139 -192,6601981

b= -0,1477203 r= 0,147720303a= -22,1662659

t Nt esperado

nt

1 21,2431261 202 27,8063946 263 32,9653949 325 31,7868142 296 34,4950803 347 33,3766733 318 34,2614588 339 33,7417746 31

11 34,2500089 3212 33,919158 3013 34,7235463 34

1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 130

5

10

15

20

25

30

35

40

Nt esperado nt

MODELO 3

N= 300

t Nt M S A Nt+1

0 300 273 27 15 421 42 9 33 15 48

2 48 22 26 12 383 38 6 32 16 484 48 20 28 18 465 46 7 39 11 506 50 23 27 15 427 42 15 27 15 428 42 19 23 17 409 40 7 33 13 46

10 46 16 30 20 5011 50 19 31 17 4812 48 26 22 10 3213 32 10 22 16 3814 38 8 30 14 44

K=43,03471

2

t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t

x y x² y² xy

1 -3,70354604 1 13,71625324 -3,703546036

3 -2,02122974 9 4,085369667 -6,063689224

7 -3,70354604 49 13,71625324 -25,924822258 -3,70354604 64 13,71625324 -29,628368299 -2,57876277 81 6,650017433 -23,20886495

13 -1,06468992 169 1,133564625 -13,84096895 14 -2,02122974 196 4,085369667 -28,29721638∑ 55 -18,7965503 569 57,10308111 -130,6674761

b= 0,1243611 r= 0,124361099a= -19,6515328

t Nt esperado

nt

1 42,1184221 42

3 39,4366927 387 42,5953057 428 42,6462257 429 41,9943975 40

13 40,2770133 3214 42,0576874 38

1 3 7 8 9 13 140

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Nt esperado nt

MODELO 4

N= 400

t Nt M S A Nt+1

0 400 387 13 5 18

1 18 3 15 4 19

2 19 0 19 10 29

3 29 10 19 9 28

4 28 6 22 14 36

5 36 6 30 14 44

6 44 20 24 12 36

7 36 16 20 8 28

8 28 12 16 12 28

9 28 3 25 13 38

10 38 13 25 16 41

11 41 19 22 9 31

12 31 11 20 8 28

13 28 10 18 13 31

14 31 12 19 9 28

15 28 9 19 11 30

16 30 11 19 12 31

K=32,83732

8

t ln (k-Nt/Nt) t² (ln (k-Nt/Nt))² (ln (k-Nt/Nt))*t

x y x² y² xy

1 -0,19322557 1 0,037336122 -0,193225573

2 -0,31706909 4 0,10053281 -0,6341381863 -2,02251947 9 4,090585017 -6,0675584174 -1,75584196 16 3,082980972 -7,0233678218 -1,75584196 64 3,082980972 -14,046735649 -1,75584196 81 3,082980972 -15,8025776

12 -2,82567472 144 7,984437643 -33,9080966813 -1,75584196 169 3,082980972 -22,8259454214 -2,82567472 196 7,984437643 -39,5594461315 -1,75584196 225 3,082980972 -26,33762933

16 -2,35833453 256 5,561741744 -37,73335244∑ 97 -19,3217079 1165 41,17397584 -204,1320732

b= -0,10899799 r= 0,108997986a= -17,5595738

t Nt esperado

nt

1 18,8810038 18

2 20,7093103 193 29,9770507 294 29,5376296 288 30,6251127 289 30,8396655 28

12 32,3194328 3113 31,5172142 2814 32,4195832 3115 31,7673614 2816 32,3032088 30

1 2 3 4 8 9 12 13 14 15 160

5

10

15

20

25

30

35

Nt esperado nt

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Gráfica de los Nts

nt nt nt nt

*La gráfica roja representa N1=300, La grafica azul N2=100, La grafica café N3=200 y La gráfica Negra N4=400.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En el juego frijolero utilizamos cuatro condiciones iniciales de (300, 100, 200 y 400), respecto al número de individuos. Las gráficas expresadas en cada ejercicio, presentan una serie de oscilaciones cercanas a K, donde presentan dos momentos cuando r <0, que es cuando la población decrecía y cuando r >0, que es cuando la población crece; estas oscilaciones se dan cercanas a la capacidad de carga, porque es un modelo continuo es decir hay sobrelapamiento y el recurso es limitado, debido a estas presiones, la población puede en cualquier momento estabilizarse a K y a sí mismo en algunos momentos acercarse o alejarse de K (azar). En general las tres graficas presentan el mismo comportamiento, pero no son las mismas porque para el N1=100, su capacidad de carga fue de 38,809589; para N2=200 fue de 34,850903; para N3=300 fue de 43,034712 y para N4=400 fue de 32,837328. Con pendientes de r1=0,066050334, r2=0,147720303, r3=0,124361099 y r4=0,108997986, según la literatura, entre mayor sea el valor de r, mayor será la velocidad con que se produzca el acercamiento a la capacidad de saturación. Se ha demostrado en diversos estudios (Ulloa Ibarra, 2010), en este caso se cumple esta afirmación pero presenta algunas variaciones en los datos, lo que indica que en la pendiente r2= 0,147720303 (mayor), presenta una capacidad de carga relativamente menor y la pendiente r1=0,066050334 (menor), presenta una capacidad de carga relativamente mayor. En cuanto a los Nts, que fueron graficados de manera individual, en los cuatro ejercicios, se aproximan muy poco a los Nts esperados, coinciden en algunos puntos, las graficas se encuentran próximas, pero estrictamente no son las mismas. La tasa de crecimiento se debe reflejar, el hecho de que si la población aumenta considerablemente ese mismo tamaño va a inhibir el crecimiento o se reducirá los nuevos miembros de la población, es decir esta nueva tasa de crecimiento, donde el factor a indica una

tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el factor b N (t), con b > 0, indicará el retardo en la tasa a cuando la población N (t) sea muy grande. (Dinamica poblacional: ecuación logistica , s.f.), con esta afirmación se puede decir que el ejercicio 4, de N4=400, presenta un valor de a4= -17,5595738 mayor con respecto a los demás ejercicios, este valor a representa la tasa de crecimiento, que en este caso es mayor, indicando que rápidamente puede llegar a su capacidad de carga, esto se puede ver en las gráficas de los Nts. El valor b presentará la resistencia para que no llegue inmediatamente a la capacidad de carga, cuando la población aumenta aceleradamente.

CUESTIONARIO

1. Si deseáramos explotar una especie de importancia comercial ¿Qué importancia tendría K y r, y en qué punto explotaría dicha población?

Respuesta: Los modelos matemáticos en general han servido para predecir el comportamiento del crecimiento en poblaciones, y con base en los resultados, tomar decisiones concretas para el manejo y control de las poblaciones, con la finalidad de mantenerlas en equilibrio en el momento de su propagación; además es importante tener control de las variable independiente y dependiente que nos permiten conocer los parámetros utilizados para el mantenimiento de la especie y a su vez entender algunos aspectos de la realidad caótica. Si vamos a trabajar con cierta especie de importancia comercial es de hincapié conocer la evolución de la especie a través del tiempo, con este conocimiento se puede saber cuál es el rango de tiempo en el cual la población tiene mejor rendimiento (r>0), su punto de inflexión (r=0) y así mismo saber después de que tiempo la población comienza a decrecer debido a la deceleración del índice intrínseco (r<0), hasta llegar a su capacidad de carga (K) donde ocurre la saturación de la especie, es decir cuando la tasa de natalidad es igual a la tasa de mortalidad; este es el punto en el cual se debe evitar porque la idea es que el crecimiento sea favorable y totalmente equilibrado para que se pueda dar la producción de la especie.

2. En que suposiciones respecto a edad y sexo difíciles de encontrar en la naturaleza y se basa el modelo logístico?

Respuesta: En el modelo logístico se dice, que para una evolución positiva de la población, depende también de su estructura en este caso de la proporción del sexo y de la edad. En la Composición por sexo, Mide la relación existente entre la cantidad de machos y de hembras en una población. Según este modelo se dice que la proporción entre hembras y machos tiene que ser equitativa (1:1), para que haya una contribución genética de las generaciones futuras y por lo tanto haya una contribución en el aumento de la población, pero en el mundo real estas proporciones varían a escala tiempo, por las distintas presiones evolutivas que sufren en determinada zona geográfica. En cuanto a la proporción de edades, el modelo indica que los individuos jóvenes contribuyen a un crecimiento resaltante de la población. Los patrones siguientes muestran las relaciones que nombre anteriormente de la proporción de sexo y edad.En la pirámide de edades de base ancha (alta proporción de individuos jóvenes) se encuentra en franca expansión. No obstante, una estructura similar puede resultar también de la extracción selectiva de adultos. El predominio de adultos suele asociarse a poblaciones estacionarias o en decadencia mientras que una asimetría de las clases de edad entre los sexos es a menudo un indicio de mortalidad diferencial. Sin embargo, los factores responsables de la estructura poblacional son muchos y complejos, por lo cual se aconseja sumo cuidado al extrapolar el futuro de una población a partir de su estructura en un momento dado. (Agroecología, 2014)

3. Que situaciones reales tratan de representar las reglas y condiciones del frijolero? Que modificaciones propondría?Respuesta: El juego frijolero muestra de manera aleatoria como actúa los factores selectivos en una población tras cada generación con condiciones iniciales distintas (número de individuos). A su vez este juego muestra cuales son los individuos que contribuyen en la siguiente generación, porque es claro que en un determinado tiempo y espacio de una población, no todos los individuos van aportar reproductivamente debido a que algunos individuos pueden presentar una variabilidad genética baja. El factor selectivo de los individuos de la población (frijoles), se basa en los recursos limitados y la presión que genera el ambiente para que los organismos lleguen a su capacidad de carga. En algunos momentos este juego intenta mostrar una forma de oscilación favorable o desfavorable para la población, es decir en algunos momentos crecen y en otros decrecen de manera continua hasta que al final se estabiliza.Los cuadros que tomamos de referencia para el conteo, deberían tener una superficie más profunda para que en el momento del lanzamiento y conteo sea más claro saber cuáles fueron los individuos muertos y los que sobrevivieron.

4. Que tipos de demoras existen en la población humana en el momento en que se alcanza densidades críticas y en el momento en que se manifiesta efectos en la tasa de crecimiento?Respuesta: Malthus argumentó dos tipos de controles que tienen la población. Dentro de los límites de los recursos: los controles positivos, que elevan la tasa de mortalidad; y los preventivos, los cuales reducen la tasa de natalidad. Los controles positivos son el hambre, la enfermedad y la guerra; el control preventivo, aborto, control de la natalidad, la prostitución, la postergación del matrimonio y el celibato. En las ediciones posteriores de su ensayo, Malthus aclaró su opinión de que si la sociedad se basaba en la miseria humana para limitar el crecimiento de la población, entonces fuentes de la miseria (por ejemplo, el hambre, la enfermedad y la guerra) que inevitablemente afligir a la sociedad, al igual que los ciclos económicos volátiles. Por otro lado, "controles preventivos" relacionada con las tasas de natalidad limitada, como los matrimonios posteriores, podría garantizar un mejor nivel de vida para todos, al tiempo que incrementa la estabilidad económica. En cuanto a las posibilidades de liberar al hombre de estos límites, Malthus argumentó contra una variedad de soluciones imaginables, tales como la noción de que las mejoras agrícolas podrían expandirse sin límite. (T.R., 1798 )De acuerdo con lo anterior demuestra que la población humana tiene un crecimiento de natalidad impresionante y es por ello que se debe llegar a un control sensato de nuestra población, sin embargo dentro de nuestras relaciones intraespecifica estamos aumentando la tasa de mortalidad como son: los controles positivos y preventivos que se han convertido en un factor importante en la aparente estabilidad como población, sumado la tasa de mortalidad natural (por edad) que es relativamente baja.

5. Que significado adaptativo tiene el que las poblaciones manifiesten un K que teóricamente no es el máximo posible?

Respuesta: La capacidad de carga (K), representa según el modelo logístico la línea o nivel de saturación que el ambiente genera, siendo este el momento en que la población para de crecer debido a que la tasa de mortalidad aumenta hasta el punto de sobrepasar la tasa de natalidad. Esto bajo condiciones controladas, pero en el mundo real hay diversas variables que interactúan con la población, incluso algunas son imprescindibles lo que indica que las poblaciones van a

tender a un K que fluctúa por encima y por debajo de la K teórica, ya que debido a estas condiciones esta población no suele nivelarse rápidamente. El papel adaptativo de la población, es significativo debido a que la población in vivo tiene que contemplar una serie limitaciones de tipo biótico y abiótico para evitar llegar a ese punto de saturación, valiéndose de distintas estrategias biológicas para que la tasa de natalidad siempre sea mayor, para la supervivencia como especie.

6. Como explica las fluctuaciones cerca de K en el frijolero?

Respuesta: Las fluctuaciones anteriores a la capacidad de carga muestran un crecimiento y decrecimiento de la población. En un momento el número de muertos era superior a los sobrevivientes y en otros momentos el número de sobrevivientes fueron mayores al número de muertos, hasta llegar a un punto de r=0, es decir tasa intrínseca neta; en ese momento la población se conllevaba a la extinción. Al ser un modelo continuo va a efectuar sobrelapamiento, escasez del recurso entre otras variables; debido a esto no se puede saber con certeza en que momento llega a la capacidad de carga y por consiguiente se va efectuar una serie de oscilaciones cercanas a K, por las distintas presiones a las cuales se encuentran sometidos.

7. Qué significado tiene r en el modelo exponencial?

Respuesta: En el modelo exponencial r, indica la tasa de crecimiento (b-d), que tiende a tomar valores iguales de r, en que cada caso, a diferencia del modelo logístico que varía el valor de r hasta llegar a la capacidad de carga (K). En el modelo exponencial se presenta tres casos, si la tasa de natalidad es mayor a la mortalidad la población crece (r>0), si se presenta el caso contrario decrece (r<0) y cuando son iguales la población permanece constante (r=0).

Imagen1. Gráficas que representan los tres tipos de comportamiento de la variable r (b-d).

BibliografíaAgroecología. (9 de octubre de 2014). Universidad Nacional de Bogotá . Obtenido de capitulo 4:

dinamica de poblaciones: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/agronomia/2005840/lecciones/cap04/Lec4_2.htm

Dinamica poblacional: ecuación logistica . (s.f.). Obtenido de http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/poblacion/logistica/logistica.html

T.R., M. (1798 ). Ensayo sobre el principio de la población. Capítulo II . Obtenido de p 18 en Classics reimpresión de Oxford Mundial. : http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Robert_Malthus#An_Essay_on_the_Principle_of_Population

Ulloa Ibarra, J. T. (3 de marzo de 2010). El modelo logístico: Una alternativa para el estudio del crecimiento poblacional de organismos . Obtenido de http://www.veterinaria.org/revistas/redvet/n030310/031004.pdf