Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

Mtodos Numricos

Polinomio interpolante de Lagrange

Profesor: Mg. Johnny Robert Avendao QuirzIntegrantes: Martinez Mora Miguel Antony (12200161) Medina Martinez Brajhiam(12200162)Ciclo: 2015-1

ndice

Introduccin3Antecedentes al polinomio interpolante de la Lagrange4Polinomio interpolante de Lagrange5Ejemplo N18Ejemplo N210Ventajas y desventajas del mtodo12Ventajas del mtodo12Desventajas del mtodo12Conclusiones13Bibliografa14

IntroduccinSi bien en la carrera de Ingeniera de Sistemas, el curso de mtodos numricos, y ms especficamente el tema de interpolacin de funciones, no es el campo profesional idneo para explotar todo el potencial de estos mtodos que se basan en la aproximacin, si resulta til su aplicacin en campos relacionados como son el desarrollo de videojuegos, procesamiento digital de imgenes (Interpolacin Bilineal), el diseo3D, animacin entre otros. Es por esto que en este informe explicaremos detalladamente uno de los mtodos de interpolacin ms conocidos, el polinomio interpolante de Lagrange, daremos a conocer la frmula general, as como las ventajas y desventajas que este mtodo posee y en qu casos es ms conveniente aplicarlo.

Antecedentes al polinomio interpolante de la LagrangeEl problema de interpolacin es muy antiguo y podemos situar sus orgenes en el Almagesto de Tolomeo y sus mtodos para determinar la cuerda de un ngulo inscrito en una circunferencia en funcin del radio de esta. (Los hindes utilizaban la semi cuerda, cuyo cociente con el radio dara nuestra funcin seno). Combinando los valores del ngulo mitad y la suma y diferencia Tolomeo estableci su primera tabla de cuerdas, utilizando interpolacin para calcular valores intermedios.La primera tabla de la funcin seno aparece en la obra del persa Mohammed Ibn Musa abu Djafar Al-Khwarizmi (780-850) cuyo ltimo nombre que ha dado lugar al termino algoritmo proviene de su ciudad de nacimiento Khwarizmi (la actual Khiba en Uzbekistan). Las tablas trigonomtricas permitieron durante bastante tiempo simplificar los clculos a travs de la relacin que permita convertir productos en sumas antes de la llegada de los logaritmos.Es precisamente en la confeccin de tablas de logaritmos incorporados por John Napier (1550 1617) y principalmente por Henry Briggs (1561-1631) donde se hace un uso ms extenso de estrategias de interpolacin.Son James Gegory, Thomas Harriot, y el propio Isaac Newton, en el siglo XVII, los que comienzan a hacer uso de frmulas de interpolacin de grado superior, en concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la rbita de un cometa sugiere utilizar una lnea parablica (la cual para Newton es un polinomio cuyo grado puede ir desde 2 hasta 5).Lagrange utiliza su tcnica de interpolacin tratando de resolver el problema de determinar la distancia a una serie de puntos conocidas las distancias entre ellos y los ngulos medidos desde un observador distante, en sus lecciones en LEcole Normale de Paris en 1795.

Polinomio interpolante de LagrangeComenzamos con un ejemplo de introduccin:Un amigo se lanza de nuestro avin en paracadas a una altura de 3000 metros llevando consigo un instrumento capaz de medir la velocidad a la que cae, los datos obtenidos durante su cada fueron:Tiempo(s)Velocidad(cm/s)

1800

32310

53090

73940

134755

Revisando los datos que nuestro instrumento registr, nos podramos preguntar si es posible averiguar, con los datos obtenidos, la velocidad de cada de nuestro amigo a los 9s o a los 11s de haberse lanzado, este tipo de estimaciones o aproximaciones son posibles mediante una funcin que corresponda a los datos obtenidos, el proceso de obtener esta funcin es lo que se conoce como interpolacin de funciones, y en este caso usaremos el polinomio interpolante de Lagrange para resolver esta pequea inquietud.

La interpolacin consiste en, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacin cuya curva pase por todos aquellos puntos o por lo menos, lo ms cerca posible.Para encontrar la forma del polinomio de Lagrange comenzaremos por encontrar un polinomio de primer grado que pasa por los puntos distintos que vendra a ser lo mismo que aproximar una funcin f, para lo cual Definimos las funciones

y establecemos la forma del polinomio de primer grado

Sabiendo que reemplazando

Obtenemos

Con esto podemos ver que P(x) es la nica funcin lineal que pasa por los puntos

Ahora, generalizando para n+1 puntos contruimos una funcin con la propiedads de que . Para satisfacer se requiere que el numerador de contenga el trmino

Con el fin de cumplir con la condicin , el denominador de debe coincidir con este trmino cuando se evale , esto quiere decir que

Conociendo la forma del polinomio , podemos describir el polinomio interpolante de Lagrange en su grado n-simo

Si tenemos el conjunto de puntos y la funcin que describe estos puntos, entonces existe un nico polinomio de grado que se aproxime a

Este polinomio tendr la forma

Sabiendo que

Ejemplo N1Ahora que conocemos el mtodo del polinomio interpolante de Lagrange, lo aplicaremos para resolver el ejemplo del paracaidistaEl ejercicio nos plantea el tiempo(s) y la velocidad (cm/s) a la que el paracaidista cae, y se nos pide hallar un polinomio que interpole esos puntos, esto para luego poder aproximar la velocidad en tiempos que no se pudieron registrar.Tiempo(s)Velocidad(cm/s)

1800

32310

53090

73940

134755

Por motivos prcticos usaremos los puntos (1,800), (5,3090) y (13,4755), con el cul obtendremos un polinomio de grado 2 Teniendo y Hallamos

Reemplazamos en

Obteniendo

Si queremos hallar la velocidad del paracaidista en los tiempos t = 9 y t = 11, simplemente evaluamos P(x) con estos valores y

De esta manera, con el mtodo del polinomio interpolante de Lagrange podemos estimar fcilmente la velocidad de nuestro amigo paracaidista en un punto del tiempo, sin embargo se debe aclarar que los polinomios interpolantes sern menos precisos conforme los puntos que queramos estimar se vayan alejando del intervalo de x original, en este caso el intervalo [1,13]En este caso, por motivos prcticos nosotros hayamos el polinomio de grado 2 usando 3 puntos, pero tambin podemos hallar el polinomio de grado 1,3 y 4, puesto que disponemos de 5 puntos. Esto no quiere decir que el polinomio de Lagrange no es nico, sino que existen nicos polinomios interpolantes de Lagrange que pasan por 2(1er grado), 3(2do grado), 4(3er grado), y 5(4to grado) puntos.En la grfica, a) Polinomio de grado 4, b) Polinomio de grado 3, c) Polinomio de grado 2 y d) Polinomio de grado 1 Como podemos ver, en este y en otros muchos ejemplos, las grficas de los polinomios de interpolacin indican que los polinomios de grados superiores (en este caso 3 y 4) tienden a sobrepasar la tendencia de los datos, por lo cual se sugiere, para estos casos de estimaciones y tendencias, el uso de polinomios con un grado menor (en este caso 2).Veamos otro ejemplo de aplicacin:Ejemplo N2El Instituto Nacional de Estadstica e Informtica (INEI) lleva un registro por dcadas de la cantidad de poblacin que hay en Per, desde al ao de 1970 hasta la actualidad (2010), en millones de habitantes.Ao

Poblacin en millonesde habitantes

Estime la cantidad de poblacin que hubo en el 2005 y la que habr en el 2015Para resolver este ejercicios encontraremos el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2, por lo cual tomaremos 3 puntos de los que tenemos como datos, tomaremos (1970,13.2), (1990, 21.8) y (2010, 29.5).Teniendo y Hallamos

Reemplazamos en

Obtenemos el polinomio de grado 2

Evaluamos este polinomio para los aos 2005 y 2015

Y estas seran la cantidad de habitantes en el Per en los aos 2005 y 2015.

Ventajas y desventajas del mtodoVentajas del mtodo Es claro y fcil de aplicar. Fcil de programar. til para fines pedaggicos. til para la aplicacin en demostraciones como el clculo del error cometido por un polinomio interpolador. Permite construir de forma explcita el polinomio interpolador, preferentemente mediante interpolacin lineal y cuadrtica. La interpolacin lineal no requiere el uso de sistemas de ecuaciones y los clculos son directos.Desventajas del mtodo El clculo del polinomio requiere de muchas operaciones. Si necesitamos agregar un nuevo punto, tendremos que realizar todas las operaciones nuevamente pues cambian todos los polinomios bsicos. No se puede aplicar para un nmero considerable de puntos, puesto que los polinomios de grados altos tienden a oscilar demasiado, por lo cual se puede decir que a partir de polinomios de grado 6 el mtodo deja de ser vlido en la mayora de los casos.

ConclusionesLuego de realizar este informe, podemos concluir que el mtodo de Lagrange no es un mtodo que podamos aplicar en situaciones de problemas reales en donde se nos pida interpolar una infinidad de puntos, sino que se recomienda su uso slo para un mximo de 7 puntos (Polinomios de grado 6); es por esto que motivamos al lector a seguir estudiando los otros mtodos de interpolacin existentes, tales como Interpolacin por mtodo de Newton, Interpolacin por mtodo de Hermite, Interpolacin por Splines, etc. Esto con el fin de que de que el lector pueda tener una visin ms amplia acerca de las formas de interpolar una funcin y as pueda saber escoger acertadamente una de ellas al momento que se le presente un problema de interpolacin en el desempeo de su carrera profesional.

Bibliografa Ttulo: Anlisis Numrico, 7ma edicinAutor: Richard L. Burden y J. Douglas FairesEditorial: International Thomson EditoresAo: 2002

Ttulo: Mtodos Numricos para Ingenieros, 5ta edicinAutor: Steven C. Chapra y Raymond P. CanaleEditorial: McGraw-Hill InteramericanaAo: 2007

Artculo: Ajustes de Curvas, Interpolacin de LagrangeAutor: Ing. Yamil Armando Cerquera RojasUniversidad: Universidad Surcolombiana, Facultad de Ingeniera Link del artculo: http://www.ilustrados.com/documentos/lagrange110908.pdf

Presentacin en diapositivas: Interpolacin Polinomial, Mtodos ComputacionalesAutor: Mg. Hermes Pantoja CarhuavilcaUniversidad: UNMSM, Facultad de Ingeniera IndustrialLink de la presentacin: http://hermes22.yolasite.com/resources/Interpolacion_2012_II_unmsm.pdf

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