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FACULTAD DE EDUCACIÓN

TRABAJO FINAL DE GRADO

AINHOA CORREAS TUR

TUTORA: MAR MORENO

CURSO 2015 – 2016

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................. 3

2. MARCO TEÓRICO .......................................................................... 4

3. OBJETIVOS .................................................................................... 16

4. METODOLOGÍA ............................................................................ 17

4.1. RECOGIDA DE DATOS .......................................................... 17

4.2. ANÁLISIS DE LOS DATOS .................................................... 23

5. RESULTADOS ............................................................................... 23

7. CONCLUSIONES ........................................................................... 39

8. LIMITACIONES Y EXPECTATIVAS FUTURAS ...................... 40

9. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................. 40

10. ANEXOS ....................................................................................... 41

3

1. INTRODUCCIÓN

El aprendizaje de las matemáticas no es lineal ni homogéneo. Está claro que durante todo

el proceso de aprendizaje de las matemáticas pasamos por una serie de niveles que indican la

evolución, el proceso y el conocimiento que tenemos de las mismas. Este proceso de

aprendizaje se podría comparar de una forma hipotética con una estructura piramidal, donde

la base sería el comienzo del aprendizaje, el primer nivel, y la cúspide el conocimiento más

amplio de las matemáticas, el nivel más alto. Pero dentro de cada uno de estos niveles no

todos tenemos el mismo conocimiento de las matemáticas, a esto me refiero con la

heterogeneidad existente en el aprendizaje de las matemáticas, puesto que puede haber

personas que, estando en el mismo nivel que otras, tengan más o menos conocimiento de las

matemáticas adquirido.

Estos niveles de conocimiento de las matemáticas suelen estar asociados a los cursos

escolares, pero esta asociación no siempre coincide con el nivel del alumno. Cierto es que en

unas circunstancias normales basándonos en los objetivos escolares, los alumnos y las

alumnas irían aumentando de nivel al paso de los ciclos escolares. Aunque es respetable que

los niños con 7-8 años estén en tercero y con 8-9 años estén en cuarto curso de Primaria, pero

eso no quita que luego haya niños que por distintas cuestiones tengan realmente otros niveles.

Esta heterogeneidad existente puede deberse a diferentes motivos: por un lado, los trastornos

y/o las discapacidades suponen que, en la mayoría de las ocasiones, no se alcance el nivel

esperado en cada una de las etapas escolares; por otro lado, en un mismo ciclo, incluso en un

mismo grupo de alumnado, existen distintos niveles cognitivos y de desarrollo que dificultan

el avance progresivo de los niveles de conocimiento o se consigue este de una forma más

pausada a lo largo de toda la etapa escolar; además de tener en cuenta los aspectos de tipo

social.

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Todas estas diferencias entre el alumnado de un mismo nivel se comienzan a percibir a

partir del primer ciclo de Educación Primaria con los problemas de estructura aditiva y

multiplicativa. Esto se consigue gracias a que estos problemas poseen una amplia variedad de

estrategias de resolución, las cuales ofrecen una información muy valiosa sobre el nivel

cognitivo y de desarrollo del alumno/a que permite identificar los errores y las dificultades

que se tienen a la hora de resolver estos problemas.

Es toda esta diversidad de conocimientos, dificultades y estrategias lo que me promueve mi

interés y motivación por el tema a tratar y lo que me lleva a adentrarme en un grupo de

alumnado para investigar toda esta heterogeneidad existente y poder observar de primera

mano si la teoría sobre el tema se confirma o se desmiente en la realidad escolar. Asimismo,

analizar si existen otras estrategias de resolución de problemas todavía sin descubrir para los

problemas de estructura aditiva y multiplicativa.

2. MARCO TEÓRICO

El presente trabajo de investigación está fundamentado en algunas ideas claves de ciertos

autores y documentos que interesa resumir en esta introducción general.

1. Según (Castro, 2008), actualmente, la clasificación que observamos de los problemas de

estructuras aditiva y multiplicativa está basada en la relación semántica de las cantidades:

PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ADITIVA:

Tipo problema: Cambio creciente

Incógnita: cantidad final

“María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron 9. ¿Cuántos caramelos tiene

ahora?”

Incógnita: cantidad de cambio

“María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron algunos. Ahora tiene 14

caramelos. ¿Cuántos caramelos le dieron sus amigos?”

5

Incógnita: cantidad inicial

“María tenía algunos caramelos. Sus amigos le dieron 9 caramelos. Ahora

tiene 14 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía antes?”

Tipo de problema: cambio decreciente

Incógnita: cantidad final

“María tenía 14 caramelos. Dio 9 a Roberto. ¿Cuántos caramelos le

quedan?”

Incógnita: cantidad de cambio

“María tenía 14 caramelos. Dio algunos a Roberto. Ahora le quedan 5

caramelos. ¿Cuántos caramelos le dio a Roberto?”

Incógnita: cantidad inicial

“María tenía algunos caramelos. Dio 9 caramelos a Roberto. Ahora le

quedan 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía antes?

Tipo de problema: combinación

Incógnita: todo

“5 chicos y 9 chicas hacían un obra de teatro. ¿Cuántos niños estaban

actuando en total?

Incógnita: parte

“14 niños hacían una obra de teatro. 9 eran chicas y el resto chicos.

¿Cuántos chicos había?”

6

Tipo de problema: comparación creciente “más que”

Incógnita: diferencia

“Ana tiene 13 canicas. Juan tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Ana más

que Juan?”

Cantidad comparada (Ana) = 5

Cantidad referente (Juan) = 13

Diferencia = ?

Incógnita: cantidad comparada

“Ana tiene algunas canicas. Juan tiene 5 canicas. Ana tiene 8 más que Juan.

¿Cuántas canicas tiene Ana?”

Cantidad comparada (Ana) = ?


Diferencia = 8

Incógnita: cantidad de referencia

“Ana tiene 13 canicas. Ana tiene 8 más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene

Juan?”

Cantidad comparada (Ana) = 13

Cantidad referente (Juan) = ?

Diferencia = 8

Tipo de problema: comparación decreciente “menos que”

Incógnita: diferencia

“Pablo tiene 13 caramelos. Javier tiene 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos

tiene Javier menos que Pablo?”

Cantidad comparada (Javier) = 13

Cantidad referente (Pablo) = 5

Diferencia = ?


“Pablo tiene 13 caramelos. Javier tiene algunos caramelos. Javier tiene 8

caramelos menos que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Javier?”

7

Cantidad comparada (Javier) = ?

Cantidad referente (Pablo) = 13

Diferencia = 8

Incógnita: cantidad de referencia

“Pablo tiene algunos caramelos. Javier tiene 5 caramelos. Javier tiene 8

caramelos menos que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Pablo?

Cantidad comparada (Javier) = 5

Cantidad referente (Pablo) = ?

Diferencia = 8

Para todos estos tipos de problemas de estructura aditiva, no hay una sola forma de

solución, sino que podemos observar distintas estrategias de resolución que el alumnado

utilizará a su libre albedrío según su conveniencia, su capacidad o su nivel cognitivo y de

desarrollo.

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN

Estrategias de modelización:

Juntar todo: se utilizan objetos o dedos para representar cada uno de los

sumandos y se cuentan los objetos o dedos de la unión de los dos conjuntos.

Añadir hasta: se forma un conjunto equivalente a la cantidad inicial y se le

añaden objetos hasta que la nueva colección de objetos es igual al total dado.

El número de objetos añadidos es la respuesta.

Quitar: se representa la cantidad mayor que aparece en el problema y, a

continuación, se quita la menor. La respuesta es el número de objetos que

queda.

Quitar hasta: Se representa la cantidad mayor que aparece en el problema y,

a continuación, se van quitando objetos hasta que el número de éstos coincida

con el menor número dado. La respuesta es el número de objetos que se han

quitado.

Correspondencia uno a uno: se realiza un emparejamiento entre dos

conjuntos hasta que se acaban los elementos de uno de ellos. El conteo de

aquellos elementos que no tienen pareja da la respuesta.

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Ensayo y error: se realiza a través de distintas estimaciones y

comprobaciones.

Estrategias de conteo:

Contar desde el primero: se inicia la secuencia desde el primer sumando

que aparece utilizando los dedos como punto de apoyo, no como

representación. El conteo finaliza cuando el número de palabras recitadas

coincide con el segundo sumando. La solución es la última palabra

pronunciada.

Contar desde el mayor: se comienza a contar a partir del mayor sumando

que aparece utilizando los dedos como punto de apoyo. El conteo finaliza

cuando el número de palabras recitadas coincide con el menor sumando. La

solución es la última palabra pronunciada.

Contar hasta: se inicia el conteo progresivo desde el número más pequeño

utilizando los dedos. Este finaliza cuando el último número de la secuencia

coincide con el mayor sumando. La solución es el número de palabras

recitadas.

Conteo regresivo (contar hacia atrás): la secuencia de conteo regresivo se

inicia desde el número mayor. El conteo finaliza cuando el número de

palabras recitadas coincide con el número menor. La solución es la última

palabra recitada.

Conteo regresivo hasta (contar hacia atrás hasta): la secuencia de conteo

regresivo se inicia desde el número mayor. El conteo finaliza cuando se

alcanza el número más pequeño. La solución es el número de palabras

recitadas.

Hechos numéricos:

Uso de dobles: utilizan el doble de uno de los números del enunciado y

añaden o quitan los que sobran o faltan para obtener la respuesta.

Sumas con resultado 10: desde una cantidad del enunciado suman hasta

llegar a 10 y después añaden la diferencia (14 8+2=10 , 10+4=14).

La vuelta al cinco: descomponen los números del enunciado en 5 + X y

después añaden los restos (8 = 5 + 3 ; 6 = 5 + 1 ; 5 + 5 = 10 + 3 + 1 = 14).

9

Ahora bien, aunque haya a disposición del alumnado diferentes estrategias de resolución,

es imposible que los niños no tengan ciertos errores y dificultades que hacen que los

problemas de estructura aditiva y multiplicativa sean una de las más complejas tareas de la

etapa educativa.

Según (Castro, 2008), los problemas de estructura aditiva se pueden clasificar en distintos

niveles de dificultad según la incógnita que se plantee. Así lo demuestra en la siguiente tabla:

Tipo de problema Incógnita Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4

Cambio creciente Cantidad final X

Cambio decreciente Cantidad final X

Cambio creciente Cantidad de cambio X

Cambio decreciente Cantidad de cambio X*

Cambio creciente Cantidad inicial X

Cambio decreciente Cantidad inicial X

Combinación Todo X

Combinación Parte X

Comparación creciente Diferencia X*

Comparación decreciente Diferencia X*

Comparación creciente Cantidad comparada X

Comparación decreciente Cantidad comparada X

Comparación creciente Cantidad de referencia X*

Comparación decreciente Cantidad de referencia X*

* Puede estar en ese nivel o en el anterior

En esta tabla se representa los distintos niveles de dificultad que tienen los niños y las

niñas a la hora de resolver los problemas de estructura aditiva. Podemos observar que el nivel

1 es el nivel más bajo, es decir, los problemas que les son más fáciles de resolver, que son los

de cambio cuando se les pregunta por la cantidad final y los de combinación cuando se les

pregunta por el conjunto total, como por ejemplo:

“Sergio y Blanca son hermanos. Tienen en su casa 58 libros de lectura. Sus tíos les han

regalado una preciosa colección de 34 libros. ¿Cuántos libros tienen en total?” ó “Antonio

mira con su padre los álbumes de fotos familiares. En uno tienen 84 fotos y en el otro 72.

¿Cuántas fotos tienen en total?”

10

El nivel 2 les sigue siendo fácil de resolver. Este se da sólo en los problemas de cambio

cuando se les pregunta por la cantidad de cambio, por lo que no supone un gran esfuerzo

mental, tanto es así que incluso se pueden considerar en el nivel 1. Por ejemplo:

“Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de adivinanzas. Si

ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?”

En este nivel 2 también se podría contar con los problemas de comparación cuando se

pregunta por la diferencia, ya que, en definitiva, es prácticamente lo mismo que en los de

cambio, aunque sean un poco más complicados. Por ejemplo:

“Ana tiene 13 canicas y Juan tiene 5. ¿Cuántas canicas tiene Ana más que Juan?”

El nivel 3 es el que más tipos de problemas abarca, razón por la que se puede confirmar

que los problemas de estructura aditiva y multiplicativa son complicados para el alumnado.

En este nivel encontramos la cantidad inicial de los problemas de cambio, cuando se pregunta

por una parte en los de combinación o la cantidad comparada en los de comparación, como

estos ejemplos respectivamente:

“Raúl va a celebrar su fiesta de cumpleaños y necesita 75 globos para decorar su casa. Si

solo le faltan 15 globos, ¿cuántos globos tiene?”, “Un disfraz de Halloween con la máscara

cuesta 57 euros. Si el disfraz cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la máscara?” o “Pablo tiene 8

rotuladores menos que Ana, que tiene 26. ¿Cuántos rotuladores tiene Pablo?”

Por último, el nivel 4 cuenta con los problemas de comparación cuando se pregunta por la

cantidad de referencia, aunque estos se pueden considerar también del nivel 3. Por ejemplo:

“Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero Paula tiene 13 cromos

más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos, cuántos cromos tiene Susana?”

La razón por la que los diferentes tipos de problemas se clasifiquen de esta manera entre

los 4 niveles, está basada en los estudios realizados por diferentes autores, como Castro o

Vergnaud entre otros, en niños y niñas de diferentes edades dando como respuesta mayores y

menores dificultades entre los distintos problemas utilizando diferentes estrategias de

resolución y planteando los enunciados de varias maneras.

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PROBLEMAS DE ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA:

Tipo de problema: proporcionalidad simple

Multiplicación: Total (agrupamiento)

Incógnita: total de objetos

“Benjamín tiene 4 cajas de lápices. Hay 6 lápices en cada caja. ¿Cuántos

lápices tiene Benjamín en total?”

División – partitiva: Reparto

Incógnita: número de objetos en cada grupo

“Benjamín tiene 24 lápices en 4 cajas con el mismo número de lápices en

cada caja. ¿Cuántos lápices hay en cada caja?”

División – medida: Agrupamiento

Incógnita: número de grupos

“Benjamín tiene 24 lápices. Hay 6 lápices en cada caja. ¿Cuántas cajas de

lápices tiene Benjamín?”

Tipo de problema: comparación multiplicativa

“veces más que”


“Juan tiene 18 canicas. Pedro tiene 3 veces más. ¿Cuántas canicas tiene

Pedro?”

Cantidad comparada (Pedro) = ?


Escalar = 3 veces más

Incógnita: cantidad referente

“Juan tiene algunas canicas. Pedro tiene 54 canicas, que son 3 veces más

canicas que las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?

Cantidad comparada (Pedro) = 54

Cantidad referente (Juan) = ?

Escalar = 3 veces más

Incógnita: escalar

“Juan tiene 18 canicas. Pedro tiene 54 canicas. ¿Cuántas veces más

canicas tiene Pedro que Juan?

Cantidad comparada (Pedro) = 54


12

Escalar = ?

“veces menos que”


“Pedro tiene 48 canicas. Juan 4 veces menos canicas que Pedro.

¿Cuántas canicas tiene Juan?”

Cantidad comparada (Juan) = ?

Cantidad referente (Pedro) = 48

Escalar = 4 veces menos

Incógnita: cantidad referente

“Juan tiene 12 canicas, que son 4 veces menos canicas que las de Pedro.

¿Cuántas canicas tiene Pedro?”

Cantidad comparada (Juan) = 12

Cantidad referente (Pedro) = ?

Escalar = 4 veces menos

Incógnita: escalar

“Pedro tiene 48 canicas. Juan tiene 12 canicas. ¿Cuántas veces menos

canicas tiene Juan que Pedro?”

Cantidad comparada (Juan) = 12

Cantidad referente (Pedro) = 48

Escalar = ?

Tipo de problema: producto cartesiano

Incógnita: cantidad compuesta

“Tengo 5 camisetas y 4 pantalones. ¿De cuántas maneras diferentes me

puedo vestir?”

Incógnita: componente

“Tengo 5 camisetas que al combinarlas con los pantalones que tengo me

puedo vestir de 20 maneras diferentes. ¿Cuántos pantalones tengo?”

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Para los problemas de estructura multiplicativa, al igual que para la aditiva, también

hay distintos métodos para solucionarlos.

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN

Estrategias de modelización:

Agrupamiento: los niños resuelven los problemas de multiplicación

modelizando cada uno de los grupos (utilizando fichas, marcas escritas u otro

tipo de representación) y contando a continuación el número total de objetos.

Reparto: los niños resuelven problemas de división – partitiva repartiendo

los objetos uno por uno en el número de grupos determinado hasta repartir

todos los objetos.

Medida: los niños resuelven los problemas de división – medida formando

grupos, cada uno de los cuales contiene el número especificado de objetos, y

a continuación cuentan el número de grupos que han formado.

Estrategias de conteo:

Para problemas de multiplicación: se utiliza el conteo a saltos de 2 en 2, de

3 en 3, de n en n. Los niños tienen un mayor dominio del conteo a saltos con

números como 2, 3 y 5, que con otros como el 7. El resultado es el último

número que ha dicho.

Para problemas de división – medida: también se utiliza el conteo a saltos.

El resultado es el número de dedos que ha levantado.

Para problemas de división – partitiva: se utiliza el ensayo y error para

calcular qué número deben utilizar para contar a saltos o para sumar, es decir,

de cuántos en cuántos deben saltar o sumar.

Hechos numéricos: usan los conocimientos que tienen de las tablas de

multiplicar.

A diferencia de los problemas de estructura aditiva, no se puede elaborar un cuadro de

dificultades para los problemas de estructura multiplicativa al no haber suficientes estudios

que avalen estas dificultades. No obstante, se podría decir que algunos estudios indican que

para los niños es más difícil identificar:

Un problema de multiplicación que uno de división.

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Un problema multiplicativo de combinación que de los otros dos tipos.

Un problema de división – medida que de división – partitiva.

A parte de esta clasificación de los niveles de dificultad que apunta Castro, (Vergnaud,

2001) expone otra serie de dificultades relacionadas con el enunciado de los problemas:

a) Los conceptos utilizados: Todos aquellos conceptos que sean palpables para los

niños y niñas o que sean cotidianos en su día a día les parecerán más fáciles a la hora

de escoger la operación adecuada para resolver el problema, ya que, por ejemplo, la

velocidad de la luz es algo que no están acostumbrados a trabajar y por lo tanto no

sabrán qué tipo de algoritmo deben realizar para resolver el problema. Además, hay

conceptos que, aunque los conozcan y sean cotidianos, hacen que el problema sea

más o menos accesible para el alumnado, por ejemplo, la ampliación de una figura o

la relación tiempo-espacio les es más difícil que el precio de los lápices o de las

golosinas. De esta misma forma, operar con números enteros comprendidos entre el

0 y el 100 les son más fáciles a la hora de elegir y realizar las operaciones que si se

les pregunta por números decimales.

b) El exceso de informaciones: Si una información no es relevante para el problema,

sobre todo las cantidades, es mejor omitirla, ya que puede causar la desorientación

del alumnado para resolver el problema, porque, normalmente, los niños tienden a

utilizar todas las cantidades que se le presentan en el enunciado como datos

relevantes para la resolución, aunque no lo sean. Por este motivo es mejor facilitarles

la tarea omitiendo cualquier cantidad o información que no sea relevante para el

problema, al menos, en las primeras etapas de la enseñanza de las matemáticas.

c) Ausencia de preguntas: En las primeras etapas del aprendizaje de las matemáticas es

muy normal que los y las discentes utilicen las preguntas que se les plantean en el

enunciado para resolver el problema, ya que esto les indica qué dato tienen que

averiguar y cómo debe ser la respuesta al problema, respondiendo literalmente a la

pregunta que se les plantea y, en caso de no tenerla, supondría no saber qué deben

contestar.

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Vergnaud (2001) clasifica los problemas teniendo en cuenta la relación que se da entre las

cantidades:

- ESTRUCTURAS ADITIVAS

Relación estado – transformación – estado:

Las distintas cantidades que vienen en el enunciado se diferencian como: estado

inicial, transferencia positiva o negativa y estado final. El primero, como su nombre indica, es

la cantidad con la que se parte para realizar la operación; el segundo, es la modificación que

se hace a la cantidad inicial, siendo positiva cuando la transformación es de aumento y

negativa cuando es de disminución sobre el estado inicial; y el último es la cantidad resultante

después de realizar la operación.

Relación partes – partes – todo:

Esta relación tiene dos variantes según la cantidad que se esté buscando: el todo

(para ello se debe conocer las dos partes) o una parte (para la que se debe conocer la otra parte

y el todo). Refiriéndose con “parte” a las distintas cantidades o grupos que componen el

problema y “todo” a la cantidad total de los dos o más grupos anteriores.

Relación referido – comparación – referente:

Por referido y referente se entiende las dos cantidades o grupos principales en las

que se basa el enunciado, y por comparación, la diferencia que hay entre las dos cantidades.

Aquí, según explica Vergnaud, se dan dos casos: uno cuando el referido es más grande que el

referente y, otro, cuando el referido es más pequeño que el referente. En estos dos casos se

pueden encontrar distintas variantes según la cantidad que se busque para resolver el

problema (referido, relación o referente).

- ESTRUCTURAS MULTIPLICATIVAS

Proporcionalidad:

Se encuentran diferentes tipos de problemas dentro de este: multiplicación,

división – partición (reparto de una cantidad en diferentes partes), división – cuotición

(agrupamiento de una cantidad en diferentes grupos) y cuarta proporcional (regla de tres).

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Comparación:

Cuando se compara se pueden dar dos casos diferentes: cuando la cantidad es “n

veces más que” o cuando es “n veces menos que”. En cualquiera de los dos casos las

respuestas que se pueden pedir al alumnado siempre serán las mismas: encontrar al referido,

al referente o a la relación.

Se puede observar en esta explicación que existen varias incógnitas para cada tipo de

problema, pues bien, la dificultad que tiene el alumnado para resolver los problemas radica en

estas incógnitas, siéndoles unas más fáciles de resolver que otras. Por ejemplo, los problemas

de estructura aditiva siempre van a ser más fáciles que los de estructura multiplicativa, y

dentro de los primeros, es más fácil cuando se pregunta por una cantidad final o el conjunto

de varias partes que los demás casos.

A modo de conclusión de este apartado, todas estas consideraciones matemáticas que he

ido enunciando (los diferentes tipos de problemas, las distintas estrategias de resolución y las

dificultades existentes), son la única forma de comprender de una manera profunda, concreta

y acertada cómo resuelven los niños los distintos problemas matemáticos de estructura aditiva

y multiplicativa así como los errores y dificultades que tienen.

Sin embargo, para realizar el análisis de todos los datos recopilados y a la hora de

interpretar los resultados obtenidos, me voy a centrar en el apartado del marco teórico

correspondiente a Castro debido a que esta clasificación es la más completa y la que más

refleja todas las posibilidades a la hora de la resolución y las estrategias utilizadas por los y

las discentes.

3. OBJETIVOS

Identificar las estrategias de resolución utilizadas en los diferentes tipos de problemas.

Identificar errores y dificultades en los problemas de estructura aditiva y

multiplicativa.

17

4. METODOLOGÍA

4.1. RECOGIDA DE DATOS

Durante todo el proceso de investigación se ha trabajado con alumnos y alumnas de Tercer

y Cuarto Curso de Educación Primaria del C.E.I.P. Fernando de Loaces de Orihuela, es decir,

discentes de entre 8 y 10 años de edad. Estos cursos se han escogido con el fin de centrarnos

más en la estructura aditiva con el alumnado de Tercero y en la estructura multiplicativa con

el alumnado de Cuarto, ya que los más pequeños no tienen afianzado los algoritmos de la

multiplicación y la división, al contrario de los más mayores, que tienen la adición y la

sustracción perfectamente superada y están trabajando con el resto de algoritmos.

Para llevar a cabo este trabajo de investigación de una forma concreta y detallada hemos

llevado a cabo dos fases:

Fase 1: Prueba objetiva de diagnóstico

Fase 2: Pruebas específicas. Identificación de estrategias de resolución.

FASE 1: PRUEBA OBJETIVA DE DIAGNÓSTICO

Para realizar esta fase, primeramente, se envió un comunicado a los padres y madres

solicitando permiso para realizar el estudio a sus hijos e hijas. Una vez recogidas todas las

autorizaciones firmadas se procedió a hacer la prueba a todos estos/as discentes permitidos,

siendo un total de 13 en Tercer Curso y 15 en Cuarto Curso.

Esta “prueba objetiva” se basa en un conjunto de 10 problemas de estructuras aditiva y

multiplicativa adaptados de algunos problemas de los libros de matemáticas de Educación

Primaria. La selección de los problemas se ha hecho fijándose en el nivel de dificultad de cada

uno de ellos, según la clasificación de Castro citada en el marco teórico, es decir, se ha

escogido un problema de cada tipo alternando entre los niveles 3 y 4 de dificultad en el caso

de los problemas de estructura aditiva y la mayor o menor dificultad en los problemas de

estructura multiplicativa según la incógnita por la que se esté preguntando. Los enunciados de

los problemas han sido formulados detenidamente teniendo en cuenta que los conceptos

trabajados sean familiares para el alumnado, que los datos estén comprendidos entre 1 y 100 y

que estén redactados de forma clara y concisa siempre con las preguntas de lo que se les pide.

18

Los objetivos son:

1. Recopilar información sobre los conocimientos del alumnado.

2. Conocer las diferentes estrategias de resolución que utilizan los discentes.

Esta selección de los/as discentes se realiza en base a una tabla (Anexo 3), donde se recoge

de forma esquemática los resultados obtenidos de la prueba, centrándonos en el porcentaje de

aciertos que tienen además de las distintas peculiaridades encontradas en la resolución de los

problemas, escogiendo así a tres alumnos/as de cada curso de la siguiente manera:

- Más del 90% de aciertos

- Entre el 50 y el 90% de aciertos

- Menos del 50% de aciertos

FASE 2: PRUEBAS ESPECÍFICAS. IDENTIFICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Para realizar esta fase ya se ha escogido los alumnos y alumnas con los que se va a

trabajar, y ahora se procede a estudiar cada caso minuciosamente para realizar las preguntas

más óptimas para la entrevista personal.

Las pruebas específicas a los alumnos de Tercer Curso se han centrado fundamentalmente,

en base a los resultados de la prueba anterior, en los problemas de estructura aditiva, debido a

que el tema de estructura multiplicativa, en el momento en que se ha realizado la prueba,

prácticamente se estaba iniciando y más del 80% han tenido dificultades en los problemas

multiplicativos y, por lo tanto, los resultados obtenidos en la prueba objetiva no eran del todo

significativos para este trabajo de investigación.

En el caso de los alumnos de Cuarto Curso ha pasado básicamente lo mismo pero al

contrario, es decir, que el tema de estructura aditiva ya se había trabajado muchísimo desde el

Segundo Curso y por lo tanto lo tenían completamente dominado y el tema de estructura

multiplicativa ya se estaba trabajando, así que, a la vista de los resultados de la prueba

objetiva, más del 90% no tenían dificultades con los problemas aditivos y las dificultades o

donde se ha visto más variedad de estrategias ha sido en los de estructura multiplicativa, por

lo que me he centrado en estos para las pruebas específicas.

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Para las pruebas específicas (vídeos Anexo 5 - CD) todos los alumnos/as tienen a su

disposición la hoja con el enunciado donde pueden responder, folios aparte, lápices de colores

y fichas de colores para poder utilizarlos en sus respuestas pudiendo trabajar con distintas

estrategias de resolución.

Respecto a las preguntas realizadas en las pruebas específicas, tanto para el alumnado de

Tercer Curso como para el de Cuarto Curso se ha utilizado la misma metodología:

Realizar el problema como supieran.

Otra forma de resolverlo.

Cambio del enunciado o de los datos (a aquellos que tenían dificultades).

Otra vez el problema inicial (a aquellos que tenían dificultades).

Para el alumnado de Tercer Curso se han escogido dos problemas de estructura aditiva (los

problemas 3 y 8 de la prueba objetiva) y para los de Cuarto Curso se han escogido tres

problemas de estructura multiplicativa (problemas 2, 4 y 10 de la prueba objetiva) debido a

que había disparidad de respuestas entre los seleccionados. A los alumnos se les pedía que

volvieran a resolver el problema y, si lo resolvían igual que en la prueba se les pedía que lo

resolviesen de alguna otra forma, incluso ayudándose con materiales y recursos (dibujos,

fichas, dedos, otros algoritmos…); y si lo resolvían de alguna otra forma diferente a como

lo habían resuelto en el problema inicial de su prueba objetiva, entonces intentaba que me

explicaran por qué lo habían resuelto así. En el caso de los alumnos que tenían dificultades

para resolverlo, yo les cambiaba el enunciado o los datos de este de manera que les

resultase más fácil, por ejemplo, en el caso del Niño 11 de Tercero en el problema 8 se le

cambió el enunciado donde se detectó que no lo entendía quedando:

“Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda. Paula tiene 28 cromos y

Susana tiene 13 cromos menos que Paula. ¿Cuántos cromos tiene Susana?”

O en el caso del ejercicio de “3 veces más que” se les cambiaba la expresión por “el

triple” de forma que lo entendiesen mejor o se les cambiaban las cantidades por otras

menores como el 12, que es un número fácil para reconocer la tercera parte. Después, si lo

hacían bien con el nuevo enunciado, les volvía a pedir que resolviesen el problema inicial

para ver si habían comprendido el proceso.

Aunque haya varias posibles estrategias para resolver un problema, no todas se pueden

utilizar en todos los problemas. Para aquellos con los que hemos estado trabajando se han

20

hecho unas fichas que identifican todas las posibles estrategias que se pueden utilizar junto

con un ejemplo de cómo se haría y qué se haría.

PROBLEMA 2

ESTRATEGIA CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA

MODELIZACIÓN:

Agrupamiento

oooooo

oooooo

oooooo

oooooo

Darío tiene

24 cromos.

oooo

oooo

oooo

oooo

oooo

oooo

Raquel tiene 24

cromos.

Hace los montones y después

cuenta todas las fichas.

CONTEO:

Para problemas de

multiplicación

6, 12, 18, 24. Darío tiene 24

cromos.

4, 8, 12, 16, 20, 24. Raquel tiene 24

cromos.

Cuentan de n en n.

HECHOS NUMÉRICOS

4 x 6 = 24 Darío tiene 24 cromos.

6 x 4 = 24 Raquel tiene 24 cromos.

Usan su conocimiento de las

tablas de multiplicar.

21

PROBLEMA 3

ESTRATEGIAS CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA

MODELIZACIÓN:

Añadir hasta 33, 34, 35, 36, …, 56,

57.

La máscara cuesta 24

euros.

Pone la otra parte como una cantidad

inicial y va añadiendo hasta llegar al total.

Luego cuenta las que ha añadido.

Quitar 57 menos 33. La

máscara cuesta 24

euros.

Representa la cantidad mayor y quita la

menor. Luego cuenta lo que ha quedado.

Quitar hasta 57, 56, 55, …, 34, 33.


euros.

Representa la cantidad mayor y luego va

quitando la cantidad menor. La respuesta

es el número de fichas que ha quitado.

Ensayo y error 33 + 10 = 43 ; 33 + 20

= 53 ; 33 + 24 = 57 ;…

Va haciendo diferentes estimaciones hasta

conseguir el número apropiado.

CONTEO:

Contar desde el primero 57, 56, 55, …, 25, 24.


euros.

Cuenta desde el primer número que

aparece en el enunciado hasta que la

cantidad de números recitados coincide

con el segundo.

Contar desde el mayor 57, 56, 55, …, 25, 24.


euros.

Cuenta desde el mayor hasta que la

cantidad de números recitados coincide

con el número menor.

Contar hasta 33, 34, 35, …, 56, 57.


euros.

Desde el más pequeño hasta el mayor. La

solución es la cantidad de números

recitados.

Conteo regresivo 57, 56, 55, …, 25, 24.


euros.

Desde el mayor hasta que la cantidad de

números recitados coincide con el menor.

Conteo regresivo hasta 57, 56, 55,…, 34, 33.


euros.

Desde el mayor hasta el menor. la solución

es la cantidad de números recitados.

22

PROBLEMA 8

ESTRATEGIAS CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA

MODELIZACIÓN:

Añadir hasta

13, 14, 15,…, 28.

Susana tiene 15

cromos.

Representa 13 como cantidad inicial y va

añadiendo hasta el total. Después cuenta

los añadidos.

Quitar

28, 27, 26,…., 13,

Susana tiene 25

cromos.

Representa el total y quita 13. Después

cuenta las fichas que quedan.

Quitar hasta

28, 27, 26,…, 13.

Susana tiene 25

cromos.

Representa la cantidad mayor y va

quitando hasta tener la cantidad menor.

Después cuenta la cantidad quitada

Ensayo y error

CONTEO:

Contar desde el mayor

28, 27, 26,…, 15.

Susana tiene 25

cromos.

El conteo termina cuando la cantidad de

números recitados coincide con el menor

sumando.

Contar hasta

13, 14, 15,…, 28.

Susana tiene 15

cromos.

El conteo termina cuando la cantidad de

números recitados coincide con el mayor

sumando.

Conteo regresivo

28, 27, 26,…, 15.

Susana tiene 25

cromos.

Desde el mayor hasta que la cantidad de

números recitados coincide con el menor.

Conteo regresivo hasta

28, 27, 26,…, 13.

Susana tiene 25

cromos.

Desde el mayor hasta el menor. la solución

es la cantidad de números recitados.

HECHOS NUMÉRICOS:

Uso de dobles

13 y 13 son 26 y 2

más son 15. Tiene 15

cromos.

Utiliza el doble de uno de los números del

enunciado y añade lo que falta para saber

la respuesta.

Los problemas 4 y 10, según Castro (2008), no tendría diferentes estrategias de

resolución.

23

4.2. ANÁLISIS DE LOS DATOS

Las pruebas objetivas se han analizado con una tabla de doble entrada (Anexo 3) en la que

se identifica todos los problemas, ya que eran los mismos para los alumnos de los dos cursos,

diferenciando los de estructura aditiva y multiplicativa y ordenados por orden de dificultad, y

todos los niños del Tercer y Cuarto Curso, de forma que me permitía observar globalmente

cada resultado de cada niño e, incluso, poder comparar entre cursos para ver si había una gran

diferencia entre las estructuras aditiva y multiplicativa.

Por otra parte, las pruebas específicas se han analizado observando minuciosamente los

vídeos realizados durante estas pruebas (Anexo 5 - CD), lo cual me posibilitaba ampliar la

información de los datos recogidos, a su vez, en una tabla de doble entrada (Anexo 6) en la

que se identifica todos los problemas realizados por cada uno de los niños en las pruebas

específicas, y todas las estrategias de resolución posibles, según el marco teórico, para la

resolución de los problemas de estructura aditiva y multiplicativa. De esta forma, me ofrecía

una visión global sobre las diferentes estrategias de resolución que había utilizado cada niño

para cada problema. Además, me permitía diferenciar y comparar las diferentes estrategias

utilizadas entre los niños de Tercer y Cuarto Curso.

5. RESULTADOS

1. Resultados procedentes del análisis de las pruebas objetivas:

a) Como hemos estado viendo a lo largo del trabajo, la dificultad de los problemas

varía según de qué tipo se trate. En la prueba objetiva pasada a los discentes de Tercero y

Cuarto de Educación Primaria, había diversidad de niveles o dificultades de los problemas,

aunque más centrada en los niveles 3 y 4 en la parte de estructura aditiva y en los problemas

de mayor dificultad en la parte de estructura multiplicativa. Pues bien, a la vista del análisis

realizado sobre la resolución de la prueba objetiva, en ámbitos generales se puede apreciar

que el alumnado de Tercer Curso se encontraba cómodo con la parte de estructura aditiva ya

que el 92% del total ha superado esta parte, aunque dentro del porcentaje de aciertos de los

diferentes problemas haya más disparidad, al contrario que con la parte de estructura

multiplicativa, con la que se ha notado que iban más perdidos ya que sólo el 23% ha superado

esta parte. Por otro lado, el alumnado de Cuarto Curso se ha podido apreciar que la parte de

24

estructura aditiva la tenían completamente asentada ya que el 100% del total han superado la

parte sin haber apenas diferencia de porcentajes entre los diferentes problemas, al contrario

que en la parte de estructura multiplicativa, la cual han superado el 40% del total, aunque sí se

puede apreciar una disparidad bastante importante entre los diferentes problemas. Estos

porcentajes argumentan el porqué de mi decisión sobre trabajar la estructura aditiva en las

pruebas específicas de Tercero y la estructura multiplicativa en las pruebas específicas de

Cuarto Curso.

Centrándonos ahora en cada problema de la prueba objetiva, los problemas que han

resultado más sencillos para el Tercer Curso son:

En la parte de estructura aditiva:

Cambio decreciente con incógnita en cantidad de cambio (problema 9):

El 92% ha respondido correctamente.

Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de

adivinanzas. Si ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?

Nivel 2

Cambio creciente con incógnita en cantidad inicial (problema 1): El

92% ha respondido correctamente.

Raúl va a celebrar su fiesta de cumpleaños y necesita 75 globos para

decorar su casa. Solo le faltan 15 globos. ¿Cuántos globos tiene?

Nivel 3

En la parte de estructura multiplicativa:

Proporcionalidad simple de multiplicación (problema 2): El 69% ha

respondido correctamente.

Darío ha colocado sus cromos de animales en 4 montones de 6

cromos cada uno, y Raquel ha agrupado los suyos en 6 montones de 4

cromos cada uno. ¿Cuántos cromos tiene Darío y cuántos tiene

Raquel? (Dificultad menor)

25

Los problemas que les han resultado más complejos son:


Comparación creciente “más que” con la incógnita en la cantidad de

referencia (problema 8): El 61% ha respondido correctamente.

Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero

Paula tiene 13 cromos más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos,

¿cuántos cromos tiene Susana?

Nivel 4


Comparación multiplicativa “veces más que” con la incógnita en la

cantidad referente (problema 4): El 0% ha respondido correctamente.

Juan tiene algunas canicas y Pedro tiene 54 canicas, que son 3 veces

más que las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan? (Dificultad

mayor)

En el caso de Cuarto Curso, los problemas que les han resultado más sencillos son:


Cambio decreciente con incógnita en cantidad de cambio (problema 9):

El 100% ha respondido correctamente.

Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de

adivinanzas. Si ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?

Nivel 2

Combinación con incógnita en la parte (problema 3): El 100% ha


Un disfraz de Halloween con la máscara cuesta 57 euros. Si el disfraz

cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la máscara?

Nivel 3

26

Comparación decreciente “menos que” con incógnita en la cantidad

comparada (problema 5): El 100% ha respondido correctamente.

Pablo tiene 8 rotuladores menos que Ana, que tiene 26. ¿Cuántos

rotuladores tiene Pablo?

Nivel 3


Proporcionalidad simple de multiplicación (problema 2): El 93% ha


Darío ha colocado sus cromos de animales en 4 montones de 6

cromos cada uno, y Raquel ha agrupado los suyos en 6 montones de 4

cromos cada uno. ¿Cuántos cromos tiene Darío y cuántos tiene

Raquel? (Dificultad menor)

Por otro lado, los que les han resultado más complicados han sido:


Comparación creciente “más que” con la incógnita en la cantidad de

referencia (problema 8): El 73% ha respondido correctamente.

Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero

Paula tiene 13 cromos más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos,

¿cuántos cromos tiene Susana?

Nivel 4


El problema de comparación multiplicativa “veces menos que” con

incógnita en el escalar (problema 7): El 7 % ha respondido correctamente.

Alba tiene 24 clips de colores en su estuche, y Raquel tiene 6 clips de

colores. ¿Cuántas veces menos clips tiene Raquel que Alba?

(Dificultad mayor)

27

Todos estos porcentajes confirman la teoría de Castro (2008), quien clasifica el

problema 9 en un nivel 2 de dificultad, de ahí los tan buenos resultados en las pruebas, los

problemas 1, 3 y 5 en un nivel 3 y el problema 8 en un nivel 4 de dificultad, con lo cual se

entiende la varianza en los resultados entre estos problemas en el Tercer Curso y la absoluta

destreza en el Cuarto Curso. Y en el caso de la estructura multiplicativa, el problema 2 como

el de menor dificultad, de ahí que despunte el porcentaje de aciertos en los dos cursos, sobre

todo en Tercero; el problema 6, de proporcionalidad simple de división – medida, en un nivel

medio, por lo que ronda el 50% en los dos cursos, por debajo con un 46% en Tercero y por

encima con un 67% en Cuarto, y los problemas 4, 7 y 10, este último de producto cartesiano

con la incógnita de cantidad compuesta, como los de mayor dificultad por lo que los

porcentajes de aciertos no sobrepasa del 40% en el mejor de los casos en ambos cursos.

b) Grosso modo, ya que en una prueba escrita donde la mayoría del alumnado responde

con un algoritmo simple sin dar explicaciones de su respuesta y sin un indicio con el que se

pueda identificar la estrategia que ha utilizado, las estrategias de resolución más utilizadas

han sido, en el caso de la estructura aditiva, la estrategia de conteo “contar hasta”

y, en el caso de la estructura multiplicativa, la estrategia de hechos numéricos, debido a

que todos han empleado sus conocimientos sobre las tablas de multiplicar para llevar a cabo

la resolución con algoritmos.

28

Esta visualización global de las estrategias utilizadas para la prueba objetiva, aunque no

sea una información objetiva y específica de las estrategias que realmente utilizan puesto que

esto se identifica con la explicación de los pasos que siguen, se confirma, en primera

instancia, los argumentos de Castro (2008) que indican que mientras en la estructura aditiva sí

se pueden identificar ciertas estrategias de resolución, en los problemas de la estructura

multiplicativa, en su mayoría, no se da ninguna estrategia de resolución concreta, sino que los

discentes se apoyan en sus conocimientos previos de las tablas de multiplicar, lo cual no es

una estrategia en sí , sino un apoyo matemático para resolver un algoritmo.

c) Hay ciertas cuestiones que me han llamado la atención a la hora de analizar las

pruebas objetivas:

- En el problema 10, de producto cartesiano, la mayoría de los discentes han

realizado una suma en vez de una multiplicación, lo cual da a entender que no comprenden el

concepto de que cada camiseta se puede combinar con cada una de las faldas, sino que solo

entiende una combinación posible de cada camiseta con una falda.

29

- Muchos alumnos entienden el concepto “veces más/menos que” como “más/menos

que”, realizando una suma o una resta en vez de una multiplicación o una división.

- Sólo una niña entre los dos cursos utiliza distintas estrategias de resolución en

diferentes problemas, incluso, explicando lo que realiza. Por ejemplo: en el problema 2 ha

hecho una mezcla entre modelización y uso de dobles (hechos numéricos) representando con

imágenes y flechas lo que ha ido haciendo;

o en el problema 10, ha dibujado las faldas y las camisetas y las ha coloreado de

diferentes colores para realizar las diferentes combinaciones uniendo con flechas, aunque

finalmente no lo ha sabido resolver correctamente.

30

2. Resultados procedentes del análisis de las pruebas específicas:

a) Después de analizar las pruebas objetivas, se han llevado a cabo las pruebas

específicas realizadas a tres niños seleccionados de cada curso. En el transcurso de las mismas

se ha podido visualizar si todo aquello que habíamos analizado anteriormente se confirmaba o

se desmentía con el análisis específico y detallado de algunos de los problemas más

complicados de la prueba anterior.

En primer lugar, la dificultad de los problemas parece haber ido, respecto al

análisis previo, en discordancia con el alumnado de Tercero, y en sincronía con el alumnado

de Cuarto. Con esto quiero decir que todos los alumnos de Tercero, de los tres escogidos, que

en la prueba objetiva tuvieron dificultades con los problemas propuestos, en la prueba

específica lo han resuelto sin ningún obstáculo, a excepción de uno que ha seguido teniendo la

misma dificultad en uno de los problemas. Por otro lado, los de Cuarto han tenido las mismas

dificultades a la hora de realizar los problemas, lo que me ha facilitado el análisis dándome la

oportunidad de observar sus errores y las estrategias utilizadas.

31

Los alumnos de Tercero, en el problema 3 no han tenido ninguna dificultad en esta

ocasión identificando rápidamente la operación que debían hacer y realizándola, incluso, con

diferentes estrategias: quitar y contar hasta.

A: Un disfraz de Halloween con la máscara cuesta 57 euros. Si el disfraz cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la

máscara?

[…]

A: Con las fichas sí que sé.

A: Diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete. Aquí tengo 57 y le tengo

que quitar 33.

P: ¿A ver cómo son 57?

A: Pues son, las rojas son de diez y las azules son de uno.

P: Ahh vale.

[…]

A: Sí. Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta… Sí, aquí tengo cincuenta y siete.

A: Le quito aquí diez, otros diez y otros diez, que me daría treinta, y le quito tres. Una, dos y tres. Me queda

diez, veinte, (pausa) veintiuno, veintidós, veintitrés y veinticuatro. Sí, ahora sí.

[…]

A: Pues me colocaría en mi cabeza 57 menos 33 y después haría, […]de 3 a 7 van 4, y de 3 a llegar a 5 son dos.

Y me da 24.

En el problema 8, dos de ellos no han tenido ninguna dificultad para resolverlo

mediante diferentes estrategias, lo contrario a la prueba objetiva donde no lo habían sabido

resolver, pero hay uno que ha seguido teniendo el mismo error entendiendo la expresión “más

que” de los problemas de comparación como una suma. El hecho de que este último niño

haya tenido errores en la resolución del problema 8 me lleva a confirmar, aunque quizá no sea

demasiado objetivo, que el problema 8, del nivel 4 en la tabla de dificultad de Castro (2008),

es el problema de la parte de estructura aditiva que más errores y dificultades plantea al

alumnado, de ahí el menor porcentaje de aciertos en la prueba objetiva.

Prueba objetiva:

32

Prueba específica:

Los alumnos de Cuarto, por el contrario, me han permitido valorar con más exactitud

cuáles han sido los problemas que mayor y menor dificultad les han supuesto. Estos han

tenido en cada problema los mismos errores y dificultades que en la prueba objetiva (los

cuales veremos en el siguiente párrafo), lo que me lleva a confirmar la dificultad de los

mismos, a excepción de uno de los tres alumnos, quien ha resuelto en las dos pruebas todos

los problemas correctamente, por lo que con él no he pretendido analizar los errores y

dificultades, sino las estrategias utilizadas. El problema 2 lo han respondido correctamente

todos ellos en esta prueba, lo cual confirma que sea el problema de menor dificultad y el

elevado porcentaje de aciertos.

Prueba específica niño 11:

33



34

En cambio, los problemas 4 y 10 sí han supuesto bastantes dificultades para los

discentes, incluso después de guiarlos con cambios de enunciados y de datos y con distintas

estrategias de resolución, lo cual, al igual que el anterior, también confirma que sean dos de

los problemas de mayor dificultad.


P: ¿De qué otra forma lo podríamos hacer? Lo puedes hacer con las fichas o con lo que tú quieras.

A: Con las fichas. Tendría una camiseta azul, una roja, una verde y una amarilla. Y las faldas serían dos

verdes, una roja, una amarilla y una azul. Y Nerea le puede poner la camiseta

[…]

P: Entonces de cuántas formas se puede vestir? Cuéntalas.

A: Esta camiseta con esta falda, esta otra con esta falda, esta con esta, y esta con esta, y me sobra una camiseta

que la puedo poner otro día con otra falda.

P: Entonces ¿cuántas formas serían en total?

A: Cinco formas.

Niño 2:

Prueba objetiva:

Prueba específica:

A: 54 por 3. Porque dice que tiene tres veces más que Juan […] Y luego le quito a 162, 54, porque Juan tiene

tres veces menos. 128 tiene Juan.

35

Niño 11:

Prueba objetiva:

Prueba específica:

A: 54 menos 30, (le pregunto por qué) ahh no, menos 3. (lee el problema otra vez) Ahh, que a 54 le tendría que

sumar 3.

P: Si yo te digo que tres veces más es el triple, […] entonces ¿cuántas tiene Juan?

A:84, porque como tú has dicho 3, entonces sería que cada uno de esos tres tiene diez, las tres veces.

(lo hacemos con números más pequeños y luego volvemos al ejercicio y realiza 54 menos 30)

b) Según el análisis de los vídeos y de la tabla de correspondiente a las pruebas

específicas (Anexos 5 y 6), hemos podido observar que los discentes utilizan muy pocas

estrategias de todas las posibles para cada problema, tal como vimos en las tablas del apartado

de metodología, teniendo, incluso, material suficiente para llevarlas a cabo de distintas

maneras. En el caso de los alumnos de Tercero, quienes tienen muchas más estrategias

posibles, sólo suelen utilizar la estrategia de modelización: quitar y la de conteo: contar hasta

o, en algunos casos, conteo regresivo. Esto poniendo los casos en los que realizan el problema

correctamente, porque en el caso del alumno que no llega a comprender el problema 8, en este

36

realiza varias estrategias, sobre todo de conteo, con el fin de intentar llegar a la solución

correcta, pero no como conocimiento asentado de diferentes estrategias.

1. Como Paula tiene 28 y tiene 13 más que

Susana, entonces se suma. (estrategia: contar

desde el mayor)

2. (le doy la vuelta al enunciado) Paula tiene

28 cromos, y Susana tiene 13 cromos menos

que Paula ¿Cuántos cromos tiene Susana?

(responde correctamente) 28 menos13

(estrategia: contar hasta)

3. (le expongo el problema con números

pequeños) Yo tengo 4 cromos, que son 2 más

que los tuyos. ¿Cuántos cromos tienes tú?

(Primero realiza una suma pero después

rectifica y realiza una resta) (se lo expongo con

fichas) Si tú tienes dos más que yo y tú tienes 4,

yo tengo 2.

(volvemos al ejercicio principal realizándolo

con fichas. Esta vez sí comprende, aunque

después de varios intentos, que se realiza una

resta) Yo: Entonces ¿qué hemos hecho?

Alumno: Restar 13 de los que tiene Paula

En el caso de Cuarto nos hemos podido encontrar más disparidad, ya que no han

utilizado únicamente estrategias para la estructura multiplicativa, sino que han llevado acabo

algunas de la estructura aditiva. En el problema 2 todos coinciden en utilizar sólo la estrategia

de conteo: para los problemas de multiplicación, a excepción del niño 11 que utiliza diversas

estrategias, entre ellas la de uso de dobles de la estructura aditiva

37

Alumno: 6 y 6, 12, y otros dos 6 igual a

12. 12 más 12 igual a 24.

En el caso de los problemas 4 y 10, todos los niños utilizan varias estrategias para

cada ejercicio, ya sea que lo hayan resuelto bien pero con diferentes estrategias (niño 6): con

hechos numéricos y por modelización utilizando las fichas en el caso de problema 10 para

explicar las combinaciones; o que hayan utilizado diferentes estrategias para intentar

realizarlo de forma correcta, ya que los otros dos han fallado en ambos problemas. Entre las

diferentes estrategias utilizadas para estos dos últimos problemas destacan, sobre todo, la de

modelización: correspondencia uno a uno para el problema 10 realizada por todos los

discentes, la de conteo: contar desde el primero para el problema 4 (estas dos

correspondientes a la estructura aditiva según el marco teórico) y la de modelización:

agrupamiento.

En este análisis se demuestra que para los problemas de estructura aditiva sí que se

confirma que los discentes utilizan las estrategias de resolución consideradas por Castro

(2008) debido a que la gran variedad de posibilidades que se presentan permite a los niños

resolver los problemas de la forma más cómoda posible. Pero en el caso de los problemas de

estructura multiplicativa se ha demostrado que no existe una concordancia entre la realidad en

las pruebas específicas y las propuestas del marco teórico, ya que, según Castro (2008), para

los problemas 4 y 10 no se conoce ninguna estrategia de resolución que no sea los hechos

38

numéricos, es decir, los conocimientos previos sobre las tablas de multiplicar y los algoritmos

de multiplicación y división. Pero se ha podido comprobar que sí utilizan otras estrategias

para la resolución de los problemas, como por ejemplo diferentes estrategias de modelización

y el ensayo y error.

c) Los errores más comunes que se han podido observar a lo largo de las pruebas

específicas son algunos como:

Tal y como expone Castro (2008) en la tabla de niveles de dificultad para los

problemas de estructura aditiva, los problemas de comparación creciente y decreciente “más

que” y “menos que” tienen una clara diferencia de dificultad (comparación creciente del nivel

4 y comparación decreciente del nivel 3) según se ha podido observar tanto en las pruebas

objetivas como en las específicas, debido a que, en el caso del problema de comparación

decreciente se entendía la expresión “más que” como una suma sin entender de ninguna forma

el significado real del enunciado.

En el caso del problema 4: comparación multiplicativa “veces más que”, la

mayor parte del alumnado entiende “tres veces más” como “tres más” o “tres decenas más”,

sin comprender, incluso cambiándole la expresión por “el triple”, que deben multiplicar por

tres la cantidad que se les muestra.

A este caso anterior se le añade una dificultad mayor cuando se le pregunta por

el escalar, problema en el cual solo tres alumnos entre los dos cursos han sabido responder

correctamente.

d) En estas pruebas específicas ha habido ciertos aspectos que me han llamado la

atención en lo que se refiere a la forma de la resolución de los problemas:

El caso de una niña que para realizar la estrategia de modelización con las

fichas, utiliza los distintos colores de estas para diferenciar entre decenas y unidades al hacer

el recuento, al contrario del resto de sus compañeros quienes utilizaban cada ficha como una

unidad.

Cuando realizan el problema “de cabeza” lo hacen visualizando el algoritmo

correspondiente y realizando la operación tal y como la harían escribiéndola en el papel.

39

7. CONCLUSIONES

Con los resultados obtenidos en base a las estrategias de resolución utilizadas por los

discentes, se puede concluir en que los niños saben llevar a cabo diferentes tipos de

estrategias siempre que se les facilite el material oportuno y necesario. Además, quisiera

resaltar que en el caso de la estructura aditiva, el alumnado utiliza las estrategias propuestas

por Castro (2008) debido a que hay una gran variedad entre la que elegir o, más bien, que

abarca todas las posibilidades que se pueden realizar para resolver un problema de esta índole.

Pero en el caso de la estructura multiplicativa discrepan la realidad escolar y la teoría puesto

que, según Castro (2008), para la mayoría de los problemas de esta estructura ni existen

diferentes estrategias de resolución, pero se ha comprobado con las pruebas objetivas y

específicas que en la realidad escolar sí se utilizan una gran variedad de estrategias de

resolución. Es más, se puede observar claramente que, en ocasiones, no existe diferencia

alguna entre las estrategias de resolución de la estructura aditiva y multiplicativa, es decir, que

se utilizan ambas estrategias para resolver los problemas de estructura multiplicativa ya que

estos, a veces, son sumas o restas reiteradas, con lo que también estamos ante una estructura

aditiva y por lo tanto ante toda la variedad de sus estrategias.

Por otra parte, en lo que respecta a los errores y dificultades de los problemas de estructura

aditiva y multiplicativa, cabe mencionar que la clasificación que hace Castro (2008) es

bastante concordante con la realidad escolar que se ha podido observar a lo largo del trabajo

de investigación. Estos errores y dificultades siempre van unidos a los distintos niveles de

dificultad que presentan los diferentes tipos de problemas. Además, hemos podido detectar

que muchos de estas dificultades se subsanan con el uso de materiales, es decir, a lo largo de

las pruebas específicas, en los problemas que se ha tenido dificultades se han realizado con

materiales tangibles (fichas) con el fin de que intentaran resolver el problema de una forma

más visual. Pues bien, en la mayoría de los casos se ha solucionado el problema sin mucho

esfuerzo, debido a que podían experimentar con las fichas y de esta forma descubrir la

estrategia correcta. Cabe mencionar, además, que en los pocos casos que no se ha llegado a

entender, ha sido a causa de la falta de explicaciones, ya que mi objetivo no era explicarles la

forma de resolverlo, sino observar sus estrategias de resolución.

40

8. LIMITACIONES Y EXPECTATIVAS FUTURAS

A lo largo de este trabajo de investigación se han surgido algunas líneas abiertas de

investigación que pueden resultar interesantes para futuros trabajos como, por ejemplo, el uso

de materiales tangibles en las aulas de Educación Primaria como punto de apoyo en los

problemas matemáticos, o el condicionamiento de la estructura de los enunciados en los

problemas matemáticos para la resolución de los mismos.

Pero, a parte de estas expectativas futuras, a lo largo del presente trabajo de investigación

ha habido ciertas limitaciones y dificultades que, en caso contrario, hubieran supuesto una

mejora en los datos, los análisis y los resultados obtenidos. Algunas de estas son tales como:

Haber elegido otro tipo de problemas que hubieran enriquecido el trabajo.

Haber planteado las pruebas específicas de forma que hubiera incentivado a utilizar

una mayor variedad de estrategias de resolución.

Haber tenido más variedad de recursos preparados para los posibles contratiempos en

las pruebas específicas como, por ejemplo, otros problemas preparados por si ocurría, como

fue el caso, de hacer correctamente y sin utilizar muchas estrategias de resolución, los

problemas que en las pruebas objetivas habían realizado con dificultades.

Algunos de estos problemas, a la vista de las pruebas específicas, han resultado muy

sencillos.

Yo he condicionado mucho a la hora de utilizar diferentes estrategias de resolución en

las pruebas específicas individualizadas.

9. BIBLIOGRAFÍA

Fraile, J. (2009). Matemáticas 3. Segundo Ciclo. Tercer Curso. Barcelona, España:

Vicens Vives.

Fraile, J. (2009). Matemáticas 3. Segundo Ciclo. Tercer Curso. Actividades.

Barcelona, España: Vicens Vives.

García, M., Martínez, M.J., Santiago, M. y Villarino, J.A. Matemáticas. Tercer Curso

Primaria. Madrid, España: S.M.

41

Castro, E., Castro, E., Rico, L., Gutiérrez, J., Tortosa, A., Segovia, I., González, E.,

Morcillo, N. y Fernández, F. (1998). Problemas aritméticos compuestos de dos relaciones.

(Seminario CIEM). Dpto. Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.

Castro, E. (2008). Adición y sustracción. En C. Maza. (Ed.), Didáctica de la

matemática en la Educación Primaria. (pp. 177 – 202). Madrid, España: Síntesis Educación.

Castro, E. (2008). Multiplicación y división. En E. Castros (Ed.), Didáctica de la

matemática en la Educación Primaria. (pp. 203 – 230). Madrid, España: Síntesis Educación.

Belmonte, J.M., Bolon, J., Chamorro, M.C., D’Amore, B., Ruiz, L., Sánchez, M.V.,

Vecino, F. y Vergnaud, G. (2001). Problemas aditivos y multiplicativos. En G. Vergnaud.

(Ed.), Dificultades del aprendizaje de las matemáticas (pp. 189 – 228). Ministerio de

Educación, Cultura y Deporte, Subdirección General de Información y Publicaciones.

Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas.

Barcelona, España: Editorial Labor, S.A.

10. ANEXOS

Anexo 1: autorización

Anexo 2: prueba objetiva

Anexo 3: tabla resultados prueba objetiva

Anexo 4.1.: resultados prueba objetiva niños seleccionados tercero (niño 8)



Anexo 4.2.: resultados prueba objetiva niños seleccionados cuarto (niño 2)



Anexo 4.3.: resultados prueba objetiva niños no seleccionados tercero

Anexo 4.4.: resultados prueba objetiva niños no seleccionados cuarto

Anexo 5: vídeos pruebas específicas

Anexo 6: tabla de resultados pruebas específicas

Anexo 7: resultados prueba específica cuarto (niño 2)



Anexo 7: resultados prueba específica tercero (niño 5)



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