CUENCA 2015 1

Integracin de Romberg

Daniel Proao1, Javier Procel2, Mauricio Pillacela31Stundent Member, IEEE

Ingeniera ElectrnicaUniversidad Politcnica Salesiana

Cuenca, EcuadorEmail: dproanog@est.ups.edu.ec

2Ingeniera ElectrnicaUniversidad Politcnica Salesiana

Cuenca, EcuadorEmail: cprocelf@est.ups.edu.ec

3Ingeniera ElectrnicaUniversidad Politcnica Salesiana

Cuenca, EcuadorEmail: mpillacela@est.ups.edu.ec

The Romberg method for integration is a pretty accurate solution, especially when the domain of the function could be dividedin same-length segments, it could be used in non-equal segments but the answer is only approximate.

Index Termsnumeric method, computational answer, integrals

I. INTRODUCCIN

LAintegracin de romberg es una tcnica de integracinnumrica de funciones de manera eficiente, para aplicarel teorema se debe tener en cuenta los siguientes conceptos:la regla del trapecio y extrapolacin de Richardson.[1]

A. Regla del Trapecio

La regla de trapecio es un mtodo ms de integracinnumrica, calcula la aproximacin de la integral. Para aplicarel mtodo necesitamos 2 puntos, estos son punto(a, f (a)) y(b, f (b)), la formula consiste en dividir en n segmentos. Laregla tiene la primera de las frmulas cerradas de integracinde Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio esde primer grado:[1] b

af (x) dx = h2 (f (a) + 2f (a+ h) + 2f (a+ 2h) + + f (b))

I = (b a) f (b) f (a)2

(1)

En la eq:?? se muestra el mtodo equiespaciado del mtododel trapecio y en la eq:1 el primer valor aproximado de laintegral

El error en el trapecio se muestra en la eq:2

Et = (b a)3

12nf (2)

B. Extrapolacin de Richardson

La tcnica se basa en la extrapolacin de Richardson, elcual es un mtodo que combina dos estimaciones numricasde la integral para obtener una tercera, que tiene un valorms exacto. El algoritmo computacional para implementar enforma muy eficiente la extrapolacin de Richardson se llama

integracin de Romberg. Esta tcnica es recursiva y puedeusarse para generar una estimacin de la integral dentro deuna tolerancia de error pre especificada.[2]

En la extrapolacin de Richardson se tienen las sigu-ientes tcnicas de correccin de errores que se hallan tam-bin disponibles para mejorar los resultados de integracinnumrica sobre la base de las mismas estimaciones de laintegral. Esos mtodos usan dos estimaciones de una integralpara calcular una tercera ms exacta, y se les conoce por logeneral como extrapolacin de Richardson. El error estimadoy asociado con una aplicacin mltiple de la regla trapezoidalpuede representarse de manera general en la eq:3 [2]

I = I (h) + E (h) (3)

DondeI Es el valor exacto de la integral [2]I(h) Es la aproximacin obtenida de una aplicacin con n

segmentos de la regla del trapecio, con un tamao depaso h = (b a)/n [2]

E(h) Es el error de truncamiento [2]Si se hacen, por separado, dos estimaciones usando tamaosde paso h1 y h2 y se obtienen valores exactos del error en laeq:4 [2]

I(h1) + E(h1) = I(h2) + E(h2) (4)

Se supone que f es constante para todo tamao de pasose utiliza para determinar la razn entre los dos erroresexpresados en las eq:5 y 6 [2]

E (h1)

E (h2)= h

21

h22(5)

CUENCA 2015 2

E (h1) = E (h2)(h1h2

)2(6)

Las cuales se sustituyen en la eq:4, dando como resultadola eq:7 [2]

I (h1) + E (h2)

(h1h2

)2= I (h2) + E(h2) (7)

En la eq:8 error de truncamiento en trminos de las estima-ciones de la integral y de sus tamaos de paso:[2]

E (h2) = I (h1) + I (h2)1

(h1h2

)2 (8)La eq:8 es sustituida em la eq:3, considerando que h2 =

h12 y simplificando se obtiene la eq:9 como la integral ms

aproximada segn el mtodo de Romberg[2]

I = 43

[I (h2) 1

3I (h1)

](9)

II. MTODO

El mtodo se define de forma recursiva de la siguientemanera:Case 1. R (0, 0) = 12 (b a) (f (a) + f (b))Case 2. R (n, 0) = 12R (n 1, 0) +

hn2n1k=1 f (a+ (2k 1)hn)

Case 3. R (n,m) = R (n,m 1) +1

4m1 (R (n,m 1)R (n 1,m 1))dnde

n 1

m 1

hn =b a2n

Remark 1. La extrapolacin a orden cero del Caso 2 esequivalente a la Regla del trapecio con n+2 puntos a ordenunoR (n, 1) es equivalente a la Regla de Simpson con n+2

puntosPara poder realizar ste algoritmo cabe recalcar que m n

por lo que se forma una matriz triangular inferior como se vea continuacin:

(0, 0) 0 0 0 0(0, 1) (1, 1) 0 0 0(0, 2) (1, 2) (1, 3) 0 0

......

.... . . 0

(0, n) (1, n) (2, n) (n,m)

dnde el trmino (n,m) es el valor de la integral ms

aproximada en el nivel de integracin n

Example 2. Usar el algoritmo de Romberg, para aproximarla integral

10ex

2

dx usando segmentos de longitud 1,1/2,1/4

Proof: Primero calculamos las integrales del nivel 1,usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentosindicadas en la Fig. 1:

Fig. 1. Divisin de segmentos equiespaciados

Con estos datos, tenemos:I(h1) =

102

[e0

2

+ e12]= 1.859140914

I(h2) =104

[e0

2

+ 2e(12 )

2

+ e12]= 1.571583165

I(h3) =108

[e0

2

+ 2[e(

14 )

2

+ e(12 )

2

+ e(34 )

2]+ e1

2]=

1.490678862Ahora pasamos al segundo nivel de aproximacin donde

usaremos la frmula que se dedujo anteriormente:

4

3I(h2) 1

3I(h1)

donde I(h1) es la integral menos exacta (la que usa menossub-intervalos) e I(h2) es la ms exacta (la que usa el doblede sub-intervalos).

En un diagrama vemos lo siguiente:

Fig. 2. Avance por niveles de integracin

Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la frmulacorrespondiente. De forma similar a la deduccin de la fr-mula,

4

3I(h2) 1

3I(h1)

se puede ver que la frmula para el siguiente nivel deaproximacin (nivel 3) queda como sigue:

16

15Im 1

15Ii

donde:Im: es la integral ms exactaIi: es la integral menos exactaEn el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la frmula

64

63Im 1

63Ii

CUENCA 2015 3

En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximacin en elnivel 3 como sigue:

16

15(1.463710761) 1

15(1.475730582) = 1.46290944

As, podemos concluir que el valor de la aproximacin,obtenido con el mtodo de Romberg en el ejemplo 1, es:

10

ex2

dx = 1.46290944

III. RESULTADOS

Para demostrar la eficacia de ste mtodo se resolvern enel programa implementado en el apndice A

Se resolvern los siguientes problemas siguiendo los pasosdescritos en el apndice B:

Problem 3. 32

x2dx

Fig. 3. Solucin al Problema 3

Como se aprecia en la Fig.3 se necesit nicamente de 3niveles de integracin para llegar a la respuesta correcta dela integral, ahora se realizar una integral que computacional-mente necesita de mayor esfuerzo:

Problem 4. pi0

cosx sinxdx

Lamentablemente este problema no tiene solucin por elmtodo planteado ni por el mtodo de la Regla del Trapecioya que como se puede observar en la Fig.4 vara considerable-mente el resultado, que en realidad es 0, pero nos otorga unresultado bastante aproximado ya que se est considerando unaexponencial de orden -17 demostrando ser un mtodo bastantetil.

IV. CONCLUSIONS

Genera una matriz triangular cuyos elementos son estima-ciones numricas de la integral definida usando la extrap-olacin de Richardson de forma reiterada en la regla deltrapecio.

a)

b)

Fig. 4. Solucin al problema 4

El mtodo de Romberg evala el integrando en puntosequiespaciados del intervalo de integracin estudiado. Para queeste mtodo funcione, el integrando debe ser suficientementederivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bas-tante buenos incluso para integrandos poco derivables.

Es un mtodo que es bastante aproximado en la solucingeneral de las integrales definidas, en algunos casos no sepuede controlar ste algoritmo por el error estimado ya queno se detendra nunca, por lo tanto es recomendable manejarlonicamente por los niveles de integracin que se deseanmanipular.

APPENDIX AINTEGRACIN DE ROMBERG, CDIGO

Cdigo Implementado en Matlab en el Alg: 1

APPENDIX BEXPLICACIN PARA EJECUCIN DEL PROGRAMA

El programa consta de 4 entradas por usuario, las cualesson:Ingrese la funcin a evaluar Se ingresa la funcin sobre la

que se quiere integrarIngrese el lmite inferior de la integral Se ingresa el valor

inicial del mtodo, correspondiente a la cte. aIngrese el lmite superior de la integral Se ingresa el valor

final del mtodo, correspondiente a la cte. b

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Algorithm 1 Cdigo en Matlab del Mtodo de Romberg

c l e a r a l lc l o s e a l lc l c

%I n g r e s o de v a r i a b l e sf = i n p u t ( I n g r e s e l a f u n c i n a e v a l u a r : , s ) ;a= i n p u t ( I n g r e s e e l l m i t e i n f e r i o r de l a i n t e g r a l : ) ;b= i n p u t ( I n g r e s e e l l m i t e s u p e r i o r de l a i n t e g r a l : ) ;e= i n p u t ( I n g r e s e Numero de i t e r a c i o n e s : ) ;%c o n s t a n t e s i n i c i a l e sh=ba ;s =1;%d e f i n i r tamao de m a t r i zM= z e r o s ( e ) ;%e v a l u a c i o n e s i n i c a l e sx=a ;f1 = e v a l ( f ) ;x=b ;f2 = e v a l ( f ) ;%Pr im er t r m i n o m a t r i zM( 1 , 1 ) = 0 . 5 ( ba ) ( f1 + f2 )%i n i c a r desde e l segundo t r m i n on =0;w h i l e n