Trabajo series de taylor

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

EJERCICIOS SERIES DE TAYLOR

FREDY ANDRES REYES SANCHEZ

DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO


ESCUELA INGENIERIA DE PETROLEOS


FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

Trabajos métodos numéricos Primer Semestre Académico 2010

EJERCICIOS SERIES DE TAYLOR

FREDY ANDRES REYES SANCHEZ




MÉTODOS NUMÉRICOS

BUCARAMANGA

2010






1. La serie nfinita

Puede ser usada para aproximar

a) Demuestre que la expansión en series de Maclaurin es un caso especial de expansión

en serie de Taylor con

b) Use la serie de Taylor para estimar

versiones de cero, primero, segundo, y tercer orden y calcule el

Solución:

a) Para este caso ��

��

b) ��

��

Para orden cero:

��

��

��

Para el primer orden:

��1�




� � 1 � � � ��

2! � ��

3! � ⋯ �"

�!

Puede ser usada para aproximar �.

Demuestre que la expansión en series de Maclaurin es un caso especial de expansión

en serie de Taylor con �� 0 $ % � �. Use la serie de Taylor para estimar �� 1 �� versiones de cero, primero, segundo, y tercer orden y calcule el |�

� � 0 $ % � �, entonces:

� � � ��0� � �)�0�� ))�0� ��

2! � ⋯

��0� � �)�0� � �))�0� � 1;

�� 1 � � � ��

2! � ��

3! � ⋯

�+ , �+% � �+ -.

�! � �+ -/

0! � ⋯

�� 25 $ �� 1 → % � 75

�1� ≅ 5,�6 � 0,778801

� 8�� 8 �� 5,� � 0,367879

� 0,367879 , 0,778801 0,367879 ∗ 100 � ,

� � ≅ 0,778801 , 0,778801�0,75� ≅ 0


Demuestre que la expansión en series de Maclaurin es un caso especial de expansión

�� 25. Emplee

��| para cada caso.

367879

,111.7%

0,1947


Para el segundo orden:

��1� ≅ 0,≅ 0,413738

��1�

Para el tercer orden:

��1� ≅

2. La expansión en serie de maclaurin para cos x es

Iniciando con el prime término

a uno para estimar

términos, calcule los errores porcentuales relativos exactos y

aproximados. Use una calculadora para determinar el valor exacto.

Agréguese términos hasta qu

falle bajo cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

Solución:

Usando �> � 0,5 ∗ 10��

Para el orden cero:




�� 47,1%


,778801 , 0,778801�0,75� � 0,778801413738

� � ≅ 0,413738 $ � �� ,12,46%

� � ≅ 0,413738 , 0,778801 �0,75�6

�≅ 0,

�� 2,42%

La expansión en serie de maclaurin para cos x es

cos � � 1 , ��

2 � �B

4! , �0

6! � �C

8! , ⋯

Iniciando con el prime término cos � � 1, agréguese los términos uno

a uno para estimar cos�DB�. Después de que agregue cada uno de los



Agréguese términos hasta que el valor absoluto del error aproximado


� � 0,5%

cos EF4G ≅ 1


778801 �0,75�2

�

,358978

, agréguese los términos uno

. Después de que agregue cada uno de los



e el valor absoluto del error aproximado



Siendo el valor verdadero

��


cos EF4G ≅ 1

�H �


cos EF4G ≅ 0,691575


cos EF4G ≅ 0,707429

3. Usar los términos en series de Taylor de cero a tercer orden para

predecir f(2) para:

Usando como punto de base x=1. Calcúlese el error relativo

porcentual verdadero para cada aproximación.

�




Siendo el valor verdadero cos EDBG � 0,707107

� 0,707107 , 1 0,707107 ∗ 100 � ,41,42%

,EF

4G�

2 � 0,691575 �� I �� 2

� 0,691575 , 1 0,691575 ∗ 100 � ,44,6%


691575 �EF

4GB

24 � 0,707429 �� I ��

$ � �H � 2,24%

707429 �EF

4G0

120 � 0,707130 �� I ��

$ � �H � ,0,046%

Usar los términos en series de Taylor de cero a tercer orden para

predecir f(2) para:

�� 25��,6�� 7� , 88


porcentual verdadero para cada aproximación.

8�� 8 �� 2� � 102


2,19%

� ,0,456%

� 0,0005%

Usar los términos en series de Taylor de cero a tercer orden para



Para el orden cero:

��2�


�)



Que era como se esperaba.

4. Use aproximaciones de diferencias de

adelante y una aproximación central de

derivada de la función mencionada en el problema anterior. Evaluar la

derivada en x=2 usando un tamaño del paso de h=0,25. Compare los

resultados con el valor correcto de las derivadas. Interpretar los

resultados con el valor correcto con base en el término residu

expansión en serie de Taylor.




� � ≅ ��1� ≅ ,62 $ �I �� 160,8%

)�1� � 15�1�� , 12�1� � 7 � 10

��2� ≅ ,62 � 70�1� � 8

�� 92,1%


�))�1� � 150�1� , 12 � 138

��2� ≅ 8 � 1382 �1�� 77

�� 24,5%

�)))�1� � 150

��2� ≅ 77 � 1506 �1�� 102

�� 0%


Use aproximaciones de diferencias de O (h) hacia atrás y hacia

adelante y una aproximación central de O (h)2 para estimar la primera

la función mencionada en el problema anterior. Evaluar la



resultados con el valor correcto con base en el término residu

expansión en serie de Taylor.


h) hacia atrás y hacia

para estimar la primera

la función mencionada en el problema anterior. Evaluar la



resultados con el valor correcto con base en el término residual de la


�)

�

�

Hacia adelante:

�

Hacia atrás:

Y central:

�)�

Relacionamos los errores hacia adelante y hacia atrás:




�)�� 75�1�� , 12� � 7

)�2� � 283 JI � � 8�� 8 ��

�� 1,75 �� 39,85938

�� 2,0 �� 102

�� 2,25 �� 182,1406

�)�2� � 182,1406 , 1020,25 � 320,5625

�� ,13,273%

�)�2� � 102 , 39,59380,25 � 248,5625

�� 12,17%

�2� � 182,1406 , 39,59382�0,25� � 284,5625

�� ,0,55%

Relacionamos los errores hacia adelante y hacia atrás:

| ��| K �))��%2

�))�2� � 150�2� , 12 � 288


8 �� .

85938

1406

5625

5625

5625


Que es íntimo o pequeño.

Para la diferencia central:

Que es lo exacto.





| ��| K 288�0,25�2 � 36

Que es íntimo o pequeño.

Para la diferencia central:

| ��| K , �)))��%�

2

| ��| K , 150�0,25��

6 � ,1,5625

Que es lo exacto.

�� 283 , 284,5625




Tomado y resuelto de la Chapra, sección de

4.1, 4.2, 4.4 y 4.6




BIBLIOGRAFÍA

Tomado y resuelto de la Chapra, sección de problemas propuestos, números


problemas propuestos, números

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