trabajo sobre conceptos básicos de control

8/18/2019 trabajo sobre conceptos básicos de control

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CONTROL II

CONCEPTOS BÁSICOS

CARLOS ANDRES TAMAYO CORTES

JUAN CAMILO MONTOYA MAZO

LUI FELIPE CARMONA ÁLVAREZ

DOCENTE:NELSON LONDOÑO OSPINA

MEDELLIN

2016-1


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( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1.3.4.5

2.6)(

R s R s R s R s

R s R s sG

P

++++

++=

R1

=

10

R2

=

20

R3

=

30

R4

=

40

R5

=

50

R6

=

60


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Sin controlador (KcGc=1), analice el comportamiento del sistemaidentificando:

Rano de esta!ilidad para "ariaciones de Kp.

La siguiente imagen corresponde al LGR, en la cual podemos apreciarque el LGR no cruza hacia el semiplano derecho, por lo que no hay corte

con el eje imaginario y el sistema de lazo cerrado es estable para todovalor de k, por tanto el rango de estabilidad de K es: 0 K !"#ara valores de K $%, los polos de lazo cerrado son todos reales, lo cualindica que la &orma de la respuesta ser' e(ponencial semejante a la delos sistemas de primer orden, donde la din'mica del sistema empezarapor ser sobreamortiguado" )ambi*n se pude decir que el tiempo de establecimiento ser'medianamente alto, debido a la cercan+a del polo dominante con el ejeimaginario" medida que se incrementa el valor de la ganancia, los polos se van

desplazando hasta un punto en el cual los polos -./ 102 y -./ 302 seigualan, esto ocurre cuando K/$%, en este punto se tiene dos ra+cesreales e iguales dando lugar a un comportamiento cr+ticamenteamortiguado, para valores K4$% el sistema presenta un comportamientosubamortiagudo"


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Rano de Kp para el c#al el sistema es:

.obreamortiguado: 5l rango de K es: 0 K $% #ara valores de K $%,los polos de lazo cerrado son todos reales, lo cual indica que la &orma dela respuesta ser' e(ponencial semejante a la de los sistemas de primerorden"

.ubamortiguado: .i el valor de la ganancia -K 4$%2, entonces el LG sedespega del eje real y los polos dominantes pasan a ser conjugados, lo


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que implica que la respuesta puede ser apro(imada a la de un sistema desegundo orden subamortiguado" 5l valor de 6 disminuye a medida que K aumenta por lo tanto el m'(imo sobre sobre pico decrecer'"

Oscilatorio" 5n una sola 7gura gra7que la respuesta al escal8n y alimpulso" 5(plique su resultado"5l sistema no es oscilatorio ya que no hay polos en el eje imaginario" .epuede ver claramente que en el LGR los polos del sistema est'n solosobre el eje real, lo cual da lugar a comportamientos sub y9o sobre

amortiguado en su de&ecto"

Inestable" 5n una sola 7gura gra7que la respuesta al escal8n variando K -% valores2, en otra, la respuesta al impulso" 5(plique su resultado"el LGR se puede ver que el sistema es estable, ya que se encuentra allado izquierdo del plano imaginario"


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$"al%e el error de estado estacionario del sistema, para cada caso, identificando

los coeficientes est&ticos de posici'n, "elocidad aceleraci'n. *oinciden con

la resp#esta del sistema ante las se+ales de entrada correspondientes

$-pli#e.

#ara el an'lisis del error de estado estacionario del sistema se apelara alas siguientes ecuaciones"

;ota: los resultados estan acoordes a un sistema de tipo cero, donde setiene un valor para el error de posicion, para los errores de velocidad yacerleracion se tiene que su valores es in7nito"

V

ss

K e

1=

a

ss K

e 1=

Kpe ss

+

=

1

1

)()(lim/ s H sG K s P →=

)()(lim/ s H s sG K sV →=

)()(lim 2/

s H sG s K s

a→

=

5RR


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Si a la f#nci'n de transferencia de la0o a!ierto del sistema se le #ita el polo

m&s pr'-imo al ee imainario, en #2 "ara la din&mica del sistema

$-pli#e claramente.

espu*s de haber e(tra+do el polo m's pr8(imo al eje imaginario, segra7c8 el lugar geom*trico de ra+ces, este mostro cambios importantesen la din'mica del sistema, el cambio que resalta es que al variar laganancia -K2 este se vuelve m's lento dada su pro(imidad al ejeimaginario"

Si a la f#nci'n de transferencia de la0o cerrado, para K=1 se le #ita el polo

m&s aleado (a la i0#ierda) del ee imainario, en #2 "ara la din&mica del

sistema, se p#ede despreciar $-pli#e s# resp#esta con !ase en la rep#esta al

escal'n.


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l e(traer el polo m's alejado del eje imaginario se presentan dos&actores muy importantes, estos &actores se ven reIejados en lavelocidad de estabilizaci8n de la seJal y la amplitud a la cual seestabilizo, tomando como re&erencia la amplitud de la seJal de entrada"

=on polo: sin polo:;ota: se puede observar que en tiempo de estabilizaci8n las dos seJalespresentan una di&erencia muy pequeJa, pero para la amplitud se observauna di&erencia considerable, lo que lleva a concluir que no se puededespreciar el polo, esta conclusi8n la podemos ver apoyada en que elpolo que se e(trajo de -./ %02 respecto al polo dominante -./ D02 nocumple la relaci8n que sea D0 veces mayor -esta es una consideraci8nque proponen los libros2"

ara cada #no de los casos del n#meral !, elia #n "alor de K representati"o

e"al%a, mediante el diarama de 5ode, la esta!ilidad del sistema. Se p#ede

identificar al#na relaci'n entre la din&mica del sistema los m&renes de 6ase

de Ganancia

#ara el sub amortiguado se eligi8 un K/$3


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5n la siguiente gra7ca se puede observar, la gr'7ca que representa la&ase y la que representa la magnitud, no tiene cruce por DF0 y no tienecruce por cero, lo que lleva a concluir que el sistema tiene una gananciain7nita que adem's de eso el sistema siempre es estable"

#ara el sobre amortiguado se eligi8 un K/1%D0

5n la siguiente gra7ca se observa que tiene un margen de gananciain7nita y adem's muestra que para desestabilizar el sistema se necesitaun margen de &ase %1"1 grados, lo que lleva a concluir que el sistemasiempre es estable"

ara el "alor de K definido en el n#meral 4.

Gra7que el diagrama de Aode del sistema y analice su comportamientoen &recuencia".e puede observar en la siguiente gra7ca que ante una seJal de entradasu salida pasara por di&erentes estados, estos estados se obtienendependiendo el valor de &recuencia al cual se quiera trabajar, este


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diagrama de bode nos entrega para la &unci8n de lazo cerradoin&ormaci8n de la din'mica de mi sistema, donde se tienecomportamiento que para &recuencia bajas el sistema no atena la seJaly para &recuencias altas el sistema atena la seJal"

$lia 3 frec#encias representati"as (e-pli#e s# elecci'n) rafi#e la

resp#esta del sistema ante se+ales senoidales a dic7a frec#encias. 8nalice.

#ara la &recuencia de 0"1FH -rad9s2 con des&ase de $"3 grados

=omprobando ganancia lineal se tiene que: %3db / $0log-2 luego / D0M-%39$02 / 0"00D

Lo cual es congruente de acuerdo a la gr'7ca anterior, en este eldes&ase es un poco despreciable"

#ara la &recuencia de 3%"H -rad9s2 con des&ase de D$$ grados


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=omprobando ganancia lineal se tiene que: HF"Edb / $0log-2 luego / D0M-HF"E9$02 / 0"0001%FE


#ara la &recuencia de EDH0 -rad9s2 con des&ase de DF0

=omprobando ganancia lineal se tiene que: HF"Edb / $0log-2 luego / D0M-D%F9$02 / De0F


;ota: se eligieron tres &recuencias las cuales est'n representando quepara &recuencias bajas la seJal no es atenuada y que a partir de las

&recuencias altas la seJal es atenuada y adem's des&asada"=abe aclarar que a medida que la &recuencia aumenta, las seJales salenen &orma triangular, esto es por de&ecto del programa, pues este no tomasu7cientes puntos para gra7car estas, es decir el muestreo de los puntoses muy poco, como para que la gra7cas saliesen, m's redondeadas om's bonitas"

e antemano se pide disculpa por este error ya que no se pudoestablecer el error del muestreo"


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Con controlador (KcGc):

(Para este punto utilice el programa SISOTOOL y explique con algunas graficas

representatias! sus resulta"os#

9#2 pasa si el controlador adiciona #n polo en el orien *ontrol nterador

5ste controlador se apoda control integral, y altera la din'mica delsistema, lo cual se espera que el estado transitorio tome mucho m'stiempo, es decir desmejora el tiempo de establecimiento, adem's elsistema tiende a ser inestable o tener una estabilidad relativa para ciertorango de ganancia"

8l l#ar eom2trico de races

Figura 1. LGR adicionándole polo en el origen.


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=omo se puede observar en la Nigura D, el lugar geom*trico de ra+cesluego de agregarle el polo en el origen este se corri8 hacia la derecha,cruzando el eje imaginario, por ende la etapa din'mica del sistema ser',ante ganancia iguala a cero es sobre amortiguada, adem's de tener untiempo de estabilidad mucho m's largo, luego ser' cr+pticamente menteamortiguado, siguiendo con la secuencia, ser' subamortiguado,oscilatorio puro, y por ultimo este es inestable"

La din'mica que se ten+a antes que se agregara el polo mostraba uncomportamiento din'mico ante la variaci8n de la ganancia siempreestable"

8l diarama de !ode de la0o a!ierto (maren de fase, de anancia)

.e calcula el intervalo de ganancia para las di&erentes etapas din'micasdel sistema, teniendo en cuenta la entrada escal8n unitaria:

.obre amortiguado: K / O0,DDE0P, para este sistema se tiene que losm'rgenes de ganancias y &ase son positivas como se esperaba y sepuede observar en la 7gura a"

=r+pticamente amortiguada: K/ DDE0, este es un sistema din'micoestable pues los m'rgenes de ganancia y de &ase son positivos como sepuede observar en la 7gura b"

.ub amortiguado: k/ ODDE0,$EE00P, el sistema din'mico es estable, por

ende su margen de ganancia y de &ase es positivo, esto se puedeobservar en la 7gura c


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Figura a. Sobre aortig!ado.

Figura b. "r#pticaente aortig!ado.


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Figura c. S!b aortig!ado.

Figura d. Oscilatoria.

Figura e. Sistea inestable.

=abe destacar tambi*n la e(actitud del sistema ante ganancias que, danestabilidad como lo son: sobre amortiguado, cr+pticamente amortiguado,

y sub amortiguado"

;eora la esta!ilidad $-pl#elo desde los res#ltados en


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totalmente estable, sin importar la variaci8n de la ganancia, ante unaentrada de magnitud limitadaQ tambi*n puede haber el caso deestabilidad relativa lo que, y es lo que sucede en este sistema"

Cn sistema se considera inestable si los polos se encuentran en la partederecha del eje real, -polos positivos2"

5n este caso se tiene un control integrador, donde se le agrega un poloen el origen al lugar geom*trico de ra+ces, en este se presenta unaestabilidad relativa, es decir es estable hasta cierto punto de la ganancia,pasando por una secuencia din'mica del sistema aumentando cada vezla ganancia: sobre amortiguado, cr+pticamente amortiguado, subamortiguado, oscilatorio, y por ultimo inestable"

esacuerdo al diagrama de bode, nos indica que para los primeros %sistemas mencionados anteriormente, el sistema es estable, pero elsistema oscilatorio a pesar que es estable segn el diagrama de bode,nos dice que no tolera ninguna perturbaci8n al si sistema, pues se puedevolver inestable, pero tambi*n puede ser estable como se dijo en elan'lisis del punto anteriorQ luego para el ultimo sistema el margen deganancia y el de &ase son negativos, que nos indica que este esinestable" =uando el margen de &ase y de ganancia son de signoscontrarios este no nos dice nada sobre la estabilidad del sistema"

manera de conclusi8n el sistema es relativamente estable hasta ciertopunto, donde la ganancia es igual a $EE00, despu*s de este el sistema esinestableQ otra cosa a resaltar es que la respuesta al transitorio se hizo

muy lenta que es obvio decirlo"Respondiendo a la pregunta sobre si estos se pueden comparar, se puededecir que si, ambos nos dan un an'lisis igual &rente a la estabilidad delsistema"

;eora la e-actit#d ante las se+ales de pr#e!a

La e(actitud es la medida que me dice que tan congruente es la salida

con la entrada cuando se estabiliza la seJal, es decir entre menos errorde estado estable, mayor es la e(actitud de la seJal"

5n la siguiente tabla 7gura $" .e puede veri7car los distintos errores deestado estable, ante di&erentes entradas"

)ipo desistema

5ntrada5scal8n -5rror

de posici8n2

5ntradaRampa -5rrorde velocidad2

5ntrada#arab8lica -5rror

de celeraci8n2


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)ipo 0 ! !

)ipo D 0 !

)ipo $ 0 0

)ipo 1 o mas 0 0 0

Figura 2. $rror de estado estable ante di%erentes entradas.

=uando no se ten+a el controlador integral, o el polo en el origen, la&unci8n de trans&erencia de lazo abierto es de tipo cero, y ante entradaescal8n unitaria se tiene un error de estado estable -esta varia de 0 a D, yla de7ne el coe7ciente de error est'tico de posici8n2, el cual se calcula deacuerdo a la &ormula en la tabla y esta in&orma que tan e(acta es la seJalde salida ante la entrada" para la entrada rampa y parab8lica, el errores in7nito, por ende en este no hay e(actitud en ningn sentido"

Luego de agregarle al LGR el polo en el origen el sistema se vuelve tipouno pues se le agreg8 un control integrador al sistema, y por ende la&unci8n de trans&erencia de lazo abierto obtiene este integrador" .egn latabla, dice que ante la entrada escal8n no hay error de estado estable,por ende se tiene la e(actitud m'(ima, esto se puede observar en las7guras a, b, c donde todas las seJales de salida se estabilizaci8n en elvalor unitario, ante la entrada escal8n unitario" Luego para la entradarampa, el error es inversamente proporcional al coe7ciente de errorest'tico de velocidad, por lo tanto entre mayor sea este, la e(actitud es

mayor, y por ultimo para la entrada parab8lica el error es in7nito"

8nalice el efecto de colocar #n controlador con #n polo al lado i0#ierdo del

plano compleo.


=omo se hab+a analizado antes, los polos de lazo abierto, muestra ladin'mica del sistema de lazo cerrado ante la variaci8n de la ganancia"

.i se le agrega un polo negativo, es decir al lado izquierdo del eje realcambia la din'mica del sistema, y dependiendo de su valor, ser' polodominante o noQ si este se pone siendo el m's cerca al eje imaginarioeste dominara y de7nir' el sistema, para este caso el estado transitorioser' mucho m's lento" #ero si se coloca m's alejado del eje imaginario,el sistema, lo de7nir'n los polos que sean dominantes"

ess=

1

1+k

ess=

1

k

ess=

1

k


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5ste an'lisis se puede observar en la 7gura 1"

Figura 3. LGR para distintas ganancias.

esacuerdo a las ganancias dadas y a los lugares geom*tricos de ra+ces,la din'mica del sistema ser' relativamente estable pues, se tiene quepara cierto valor de ganancia el sistema es estable, y luego quesobrepase este valor el sistema se comportara de manera inestable"


;os es necesario el gra7co de estas pues el an'lisis que se obtuvo en elLGR, es equivalente al del diagrama de bode, pues tambi*n de7ne laestabilidad del sistema" #ara este se tiene que tener en cuenta que si elmargen de ganancia y &ase son positivos, la din'mica del sistema ser'estable, de lo contrario ser' inestable, y cuando el margen de ganancia y&ase son de signos contrarios no se puede concluir o sacarle in&ormaci8ncon respeto al comportamiento del sistema"


=omo se dijo anteriormente, la e(actitud se re7ere a la medida del errorde estado estable, si esta es muy pequeJa la e(actitud es mucho mejor yde lo contrario ser' menor esta"

dem's tambi*n se mencion8 sobre el tipo del sistema" 5n este caso sele est' aJadiendo al sistema un controlador integrando, por ende la


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&unci8n de trans&erencia de lazo abierto es de tipo D, cabe aclarar que sineste controlador el sistema seria de tipo cero"

Luego se tiene que la e(actitud mejora ante la seJal escal8n unitariopues, el nuevo sistema al ser de tipo uno, ante esta entrada el error esceroQ luego para la entrada rampa el error lo de7ne el coe7ciente de errorest'tico de velocidad donde es inversamente proporcional a esta, y la

e(actitud por ende desmejorara a la medida que esta constante sevuelve m's pequeJa"

=abe aclarar que el controlador integrando, convierte en este caso ladin'mica del sistema relativamente estable pues es estable hasta ciertopunto de la ganancia"

)odo este an'lisis esta se puede ver de acuerdo a la tabla de la 7gura $"

*oncl#si'n

=on base a todo el an'lisis realizado anteriormente &rente al controladorintegrando, al agregarle el polo en el origen, se tiene la ventaja encuanto al error pues este convierte el sistema a tipo uno, pero el costo esgrande pues el tiempo de establecimiento desmejora"

dem's el LGR tiende hacia la derecha y de acuerdo a esta la din'micatiene a ser inestable, donde se puede encontrar casos en el cual, elsistema tenga una estabilidad relativa donde es estable hasta cierto

l+mite de ganancia, o en el mejor de los casos tener una estabilidad total"

9#2 pasa si se adiciona #n cero en el orien eri"ador

5l adicionar un cero en el origen corresponde a un control derivativo, elcual se espera que mejore la respuesta transitoria, y a su vez la din'micadel sistema, a pesar de ser ya estable, este controlador tiene la &unci8n

de estabilizarlo"



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Figura 1.1 LGR adicionándole polo en el origen.

=omo se puede observar en la 7gura DD, el LGR se corri8 hacia laizquierda lo cual me indica que la din'mica del sistema, lo deja estable"

dem's el sistema se estabiliza mucho m's r'pido pues los polosdominantes tambi*n se corren hacia la izquierda"


#ara este an'lisis se calcularan las ganancias que de7nen las di&erentesdin'micas del sistema, ante una entrada escal8n unitario"

#ero antes de calcular las ganancias respetivas a cada din'mica, se

utilizara el teorema del valor 7nal para dar cuenta de la estabilidad delsistema"

.e tiene que la salida ante una entrada escal8n unitario es -&unci8n detrans&erencia de lazo cerrado2:

lims→0

s(s(s+60)(s+20))

(( s+9.795)( s+28.37)( s2+92.83 s+2159))=0

Lo que nos indica que ante la entrada escal8n el sistema se estabilizara

en cero" #or las razones e(puestas sobre el an'lisis de estado estable nose calcularan las ganancias para las di&erentes din'micas del sistema"

#or ende se espera ver en el diagrama de bode, un margen tanto deganancia como de &ase siempre positivas, pues el sistema segn el LGRsiempre ser' estable para cualquier ganancia, cabe decir que si estas sonde signos trocados no brindara in&ormaci8n ante la din'mica del sistema"


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Figura a.1 & = 1.

Figura b.1 & = 20.6

=on base al diagrama de bode de la 7gura a"D y b"D se puede observar,que segn lo analizado se cumple, pues los m'rgenes de ganancia y de&ase son positivos, y tambi*n nos indica que el sistema siempre ser'

estable y se necesitar+a, ya sea un margen de ganancia o de &asein7nitos ante respectivas ganancias, para volverlo inestable"



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5l cero agregado en el origen, que corresponde a un controladorderivativo, mejoro considerablemente el estado transitorio del sistema,es decir el tiempo de estabilizaci8n es mucho m's r'pido, pero a pesarde ello con base al an'lisis hecho anteriormente esto produjo un costomuy caro, pues la e(actitud de la salida se daJa en un D00S ante laentrada escal8n unitaria, esto se debe a que el coe7ciente de errorest'tico de posici8n ser' igual a cero, lo cual se ver' m's adelante"

5ntonces se har' un an'lisis ante la entrada rampa y par'bola y secomprobara, el error de estado estacionario en cada una de estas"

La &unci8n de trans&erencia de lazo abierto, con el controlador derivativoes:

F ( s)= s (s+60)( s+20)

(s+50)( s+40)(s+30)(s+10)

La ecuaci8n anterior indica que el sistema es de tipo cero, pues la&unci8n de trans&erencia de lazo abierto no presenta integradores"

Luego el error de estado estacionario de velocidad ser':

ess=lim

s→0 ( s

1+ s (s+60 ) (s+20 )

( s+50 ) ( s+40 ) ( s+30 ) ( s+10 )

( 1s2 )).e aplica propiedades de los l+mites y se llega a que:

ess=

1

k

onde k es el coe7ciente de error est'tico de velocidad y kT es laganancia del sistema, la cual quedara de7nida por:

k =lims→0

( k ' ( s+60 ) (s+20 ) s2

(s+50 ) ( s+40 ) (s+30 ) ( s+10 ) )=0

.egn este an'lisis hecho, para la entrada rampa se tendr' un error deestado estacionario in7nito, el an'lisis es an'logo para la entradaparab8lica la cual tambi*n arroja el mismo resultado, pues el error deesta tambi*n tiende a in7nito"

5n cuanto al error de estado estacionario de posici8n luego de un mismoan'lisis se obtiene que:


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ss=¿ 1

1+k e¿

onde k al evaluar su l+mite da un valor de cero por ende se tiene unerror del D00S

#or lo tanto, no mejora en ningn sentido la e(actitud del sistema, tansolo mejora la estabilidad del sistema, con un costo muy grande"

Figura 2.1 resp!esta del sistea ante entrada escal'n( e ip!lso.

Figura 2.2 resp!esta del sistea ante entrada parab'lica( ) rapa.

=on base a las seJales de salida de la 7gura $"D y $"$ se puede observarla veracidad del an'lisis, anterior"


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=abe decir que en las seJales de salida de la 7gura $"$, corresponden alas entrada parab8lica -arriba2, y rampa -abajo2, pues se integraronambos dos veces"

9#2 pasa si se adiciona #n cero a la i0#ierda del ee imainario

=omo se mencion8 antes el e&ecto que tiene el controlador derivativo, esde mejorar la estabilidad del sistema, y tambi*n mejora la estabilidad delsistema"

5l mejoramiento de la estabilidad del sistema depende delposicionamiento del cero, pues este corre el LGR y los polos dominanteshacia la izquierda, luego la din'mica del sistema estar' de7nida, por elpolo m's cercano al eje imaginario"

Figure 3.1 LGR para di%erentes ceros *acia la i+,!ierda.

Los resultados en el LGR en la 7gura 1"D, se puede observar que segn lopredicho, se cumple pues este se desplaza hacia la izquierda, arrastrandoconsigo los polos dominantes, y es por eso que la din'mica del sistema tieneuna mejor respuesta ante el establecimiento de ella"

=abe destacar que este e&ecto tambi*n se puede observar si se le agrega uncero complejo conjugado"


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Figure 3.2 LGR para !n cero cople-o con-!gado *acia la i+,!ierda.

onde tambi*n se observa que el LGR es arrastrado hacia la izquierda"


#ara este se espera que el margen de ganancia y de &ase sean positivos,pues uno de los e&ectos que tiene el controlador derivativo es de volver elsistema estable"

5n este caso a pesar que, el sistema original ya era estable, este cero ala izquierda no hace nada con respeto a la estabilidad pues ya estaba as+"=omo se ha dicho anteriormente lo nico que, brinda este cero es de

mejorar el estado estable del sistema"

=abe destacar, que si el margen de &ase y de ganancia tienen signostrocados no brindara in&ormaci8n ante la din'mica del sistema"


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Figura 4. iagraa de bode con cero real negati/o

.e puede observar, en el diagrama de bode, indica que la din'mica del

sistema es estable y que se necesitar+a margen de &ase in7nita paravolver el sistema inestable"


5ste es el mismo caso que se obtuvo cuando se le agreg8 un cero en el origen,pero di7ere el error de estado estacionario de posici8n"

#rimero se analizar' el error ante la entrada escal8n unitaria donde se tiene que

eless=

1

1+k yk =lim

s→0( ( s+ z )G ( s ) H (s)) , por ende se tiene un error que

depende del coe7ciente de error est'tico de posici8n, que ante unaentrada escal8n unitaria variara entre 0 y D, como se ten+a para elsistema original, cabe aclarar que ambos sistemas son de tipo 0Q lo nicoque di&erencia estos es que el primero tendr' una respuesta muchomejor en el estado estable"

Luego al evaluar el error de estado estacionario para la velocidad y

aceleraci8n se tiene que el error est' de7nido por:1

K v

y

1

K a

respectivamente, donde los coe7cientes de error est'tico luego deevaluar su l+mite se tiene que son cero, por ende el error es in7nito, yesto hace que la e(actitud sea p*sima"

5n la 7gura %, se puede observar que ante la entrada escal8n unitario, larespuesta que obtiene, corresponde a la gr'7ca de arriba, al evaluar elcoe7ciente de error est'tico de estado estacionario se tiene que:


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k =lims→0

( ( s+60 ) ( s+20 )(s+ z )(s+50 ) ( s+40 ) (s+30 ) ( s+10 ) )=0.02

Luego el error de posici8n es igual a:

ess= 1

1+0.02=0.980392

#or ende la estabilizacion del sistema sera en - De / 0" 0"0DEH02, lo cualconcuerda con la gra7ca de la 7gura %"

Luego para las seJales de salidad de la 7gura H" .e tiene la entrada escalonintegrada dos veces por ende esta correspondera a la entrada parabolica, y lomismo sucede en la entrada impulso donde luego de integrarse dos veces seconvierte en la entrada rampa" #ara ambas respuesta se puede observar que noson estables pues tienden a in7nito"

Figura 5. "ero en +=10 ) &=1( seal de salida ante entrada escal'n !nitario e

ip!lso respeti/aente.


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Figura 6. "ero en +=10 ) &=1( seal de salida ante entrada parab'lica )

rapa respeti/aente.

*oncl#si'n

#ara el caso que se ten+a, se comprob8 con el an'lisis realizado que elsistema obtiene una mejor+a ante la respuesta de estado estable, cuandose le agrega el cero"

#rimero se tiene que para el controlador derivador, el sistema tuvo uncosto demasiado alto, pues este desmejoro por completo la e(actitud, apesar de mejorar la respuesta transitoria, por ende no &ue para nadabueno este controlador"

por ltimo al agregarle lo ceros al lado izquierdo este di&erente al delorigen, el sistema mejoro un poco la e(actitud y por supuesto tambi*n larespuesta transitoria, pues ante la entrada escal8n, el error var+a entre 0y D, y para las dem's entradas con un error in7nito"

#or lo tanto el sistema en general tuvo un costo muy alto como se dijoantes, para solo conseguir una mejor+a en la respuesta transitoria, lo queconduce a decir, que no &ue adecuado agregarle ya sea un controladorderivador o un cero a la izquierda a este sistema"


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*oncl#si'n eneral (tanto para el deri"ador, como para el interador)

a con todo el an'lisis hecho tanto para ceros y polos a la izquierda, &uem's conveniente para este sistema, el controlador integral, que tan solotuvo el costo de desmejorar el estado transitoria a cambio de mejorar la

e(actitud, pues aumenta el tipo del sistema"5n cuanto al controlador derivador, se perdi8 mucho para ganar poco, yaque la e(actitud se &ue por el piso a cambio de mejorar el estadotransitorio, lo que puede arreglar un poco esto ser+a agreg'ndole uncompensador al sistema"

=abe aclarar que esta conclusi8n se basa en que, en un sistema larepuesta se espera que sea lo m's e(acta posible ante la entrada"

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