Trabajo terminado-monografias (2)
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Índice
Concepto Geométrico de la Derivada
Uso de la Pendiente en la Derivada
Derivando con la regla de los 4 pasos (4 ejercicios)
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada del producto cx
Derivada de funciones suma y resta
Derivada de una variable con potencia
Derivada de variables con raíz cuadrada
Derivada de funciones con raíz cuadrada
Derivada de funciones con potencia
Derivar un producto de funciones
Derivada de un Cociente de funciones
Derivar funciones 4 ejercicios
Derivar funciones 2 ejercicios mas
Derivada función Seno
Derivada función coseno
Derivada de la función Tangente
Derivar función cotangente
Derivada función secante
Derivada función Cosecante
Derivada función inversa arcoseno
Derivada función exponencial
Derivada función exponencial base constante
Formula derivación logaritmica
Derivación logaritmica ejemplo
Derivada log natural formula
Derivada log natural ejercicio
Derivada con regla de la cadena 1
Derivar regla de la cadena
Derivadas sucesivas
Derivación implícita
Diferencial de una función (2)
Regla de L'Hopital (1)
Regla de L'Hopital (2)
Regla de L'Hopital (3)
Derivadas de orden superior
CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADAEs la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado.
f ( x )= lim∆x→ 0
f (x+∆ x )−f (x)∆ x
USO DE LA PENDIENTE EN LA DERIVADADERIVA DA DE UNA CONSTANTE
REGLA
F (X )=CC=CONSTANTEY=F (X )
F (X )=∅ Y=DYDX
EJERCIO
1.−Y=5
2.−Y 35
Y=0
3.−F (X )=7 A´ B
F (X )=0
4.−√95−0.3M 2
Y=0−0
Y=0
DERIVANDO CON LA REGLA DE LOS 4 PASOS (4 EJERCICIOS)
DERIVADAR CON LA REGLA DE 4 PASO
F (X ) lim∆ X→O
F (X+0 X )−F(X)∆ x
Ejercicio 1
Y=X
PASO # 1
Y →Y +∆Y
X→X+∆ X
Y +∆Y=X+∆ X
PASO#2 →∆Y
Y +∆Y=X+∆ X
−Y∆Y
= X∆ X
PASO ¿3→∆X
∆ y∆x
=∆ y∆x
∆ y∆x
=1
PASO ¿4→ lim∆ X→0
❑
lim ∆ y∆ x
= lim∆X→ 0
(1 )
Y=1
EJERCIO # 2
PASO ¿1
X→X+∆ X
Y +∆Y=8 (X+∆ X )+13
Y +∆Y=8 X+8 ∆ X+13
PASO ¿2→∆Y
Y ∆Y=8 X+8∆ X+13
− y∆Y
=−8−138 ∆ X
PASO ¿3→∆X
∆Y∆ X
=8∆ X∆ x
∆Y∆ X
=8
PASO ¿4→ lim∆ X→0
❑
lim∆ X
∆Y= lim∆X→ 0=8
¿¿
Y=8
EJERCIO ¿3
Y=X−3Y +∆Y= (X+∆ X )2−3
PASO ¿1Y +∆Y=X2+2 X ∆ X+∆ X2−3
Y ∆→X+∆ X ¿
X2+X ∆ X+X ∆ X+∆2
PASO ¿2→∆Y X2+2 X ∆ X +∆2
Y +∆Y=X2+2 X ∆ X+∆ X2−3
−Y=X2
∆Y=2 X ∆ X+∆ X2
PASO ¿3
∆Y=2 X ∆ X+∆ X2
∆Y∆ X
=∆ X (2 X+∆ X )∆ X
∆Y∆ X
=2 X+∆ X
PASO ¿4→ lim ¿
∆Y∆ X
=lim (2 X+∆ X )
∆ X→0
Y=2X+0=2 X
EJERCIO ¿4
Y=5 x3−7 X+1
PASO ¿1
Y +∆Y=5 ¿
¿
(X+ 2X ∆ X+∆ X2 ) (X+X2 )
X3+X2∆ X+2 X2∆ X+2 X ∆ X2+∆ X3
5 X 3+15X2∆ X+15X ∆ X2+5∆ X3−7 X−7∆ X+1
PASO ¿2
Y +∆Y=5 X3+15 X3+15X2+∆ X+15 X ∆ X2+5∆ X3−7 X−7 ∆ X+1
−Y=5 X3+7 X−1
∆Y 15X2+∆ X+13 X ∆ X2+5∆ X2−7
PASO ¿3∆ X
∆Y=15❑❑+∆ X+15 X ∆ X2+5 ∆ X3−7 ∆ X
DY=∆ X(15X2+13 X ∆ X+5∆ X2−7 )
∆ X
∆Y∆ X
=15 X2+15 X ∆ X+5∆ X2−7
PASO ¿4 lim ¿
∆Y∆ X
=lim ¿∆→O (15 X2+15 X ∆ X+5∆ X2−7 )¿
15 X2+15 X (0 )+5 (0 )2−7
Y=15 X2−7
Derivada de una constante
Regla
f ( x )=c
f ' ( x )=∅
dydx
=5
y '=0
y=−35
y '=0
f ( x )=7 A+B
f ' ( x )=0y=√9
5−0.3M 2
y '=0
Derivada de x
f ( x )=7 A+B
f ' ( x )=0y=√9
5−0.3M 2
y '=0
Regla:
f ( X )=x
f ' (X )=¿1
y=f ( x )
y '=dydx
Derivada del producto cx
Regla:
y=cx→ y '=0
y= f ( x )
y '=df (x)dx
y=5 x
y '=5y=−7 x
2=−72
∙ x
y '=−72
f ( x )= 4 AxM
Y= 4 AM
. X
y '= 4 AM
Todo lo que sea x se considera como una constante.
Derivada de suma y resta
f ( x )= 4 AxM
Y= 4 AM
. X
y '= 4 AM
Nota:
Para derivar una función que este compuesta de varios términos de suma y resta su resultado en la derivación será igual según la regla a simplemente a derivar cada una de ellas de manera independiente yluego juntarlas.
1. 7 x−9
y '=7. x=7
Cuando se deriva la constante por x siempre será la constante. 2. y=x−8
7+ 3 x4
y '=x+ 34¿¿
y '=11+ 34
y '=74
Regla paraderivaruna potencia conbase x
F (X )=xn
d [ f (x ) ]dx
=d [ xn ]dx
f́ ( x )=nxn−1
y=xn→y ´=n xn−1
y=x3´y=3 x3−1
y ´=3 x2
y=2 x7
3=23∙ x7
y ´=[ 23 ] [7 x7−1 ]
y ´=( 23 ) [7 x7−1 ]
¿+ 14 x6
3
2
4
y=−4 x−5
y ´= [−4 ] [−5 x−5−1 ]y ´= [−4 ] [−5 x−6 ]=+20 x−6
¿+ 201 [ 1x+6 ]
y ´=20x6
3
y=2x54
y ´= [+2 ][ 54 x54−1] 54− 44=5−4
4=+14
y ´=+104
x+14
amn=
n√amy ´=10
44√x
104
=52=254√x
Derivada de variables con raíz cuadrada
Formula:
y=un
y '=nun−1. n
y=√4−x=(4−x )1 /2 La derivada no puede quedar con un exponente negativo; para ese se utiliza el reciproco.
y '=12
1[4−x ]1
2
¿−12 [ 1
√4−x ]y '= −1
2√4−x
n√am=a mn
y '=12
[4−x ]12−1 [−1 ]
¿−12
[4−x ]−12
Derivada
u=4−x
u'=0−1
u '=−1
Derivada de funciones con raíz cuadrada
Formula:
y=xn−−−−− y '=n xn−1
n√am=amn
Reciproco
¿ 12 [ x
−12
1 ]¿ 12 [ 1x1 /2 ]y '= 1
2√ x
y=√x = y=x12
y '=12x12−2/2
y '=1 /2. x−12
y '=12. x
−12
Derivar un producto de funciones
y
Reciproco
¿ 12 [ x
−12
1 ]¿ 12 [ 1x1 /2 ]y '= 1
2√ x
y=√x = y=x12
y '=12x12−2/2
y '=1 /2. x−12
y '=12. x
−12
No se puede dejar el exponente negativo.
Formula:
y=u . v y '=uv '+vu '
1. y=( x+3 ) ( x−8 )
u=( x+3 )
u'=1+0
u '=1
v=( x−8 )
v'= (1−0 )
v '=1
2. y=( x−7 )3 (x2−x )
u=( x−7 )
u'=3 ( x−7 )3−1 (1 )
u'=3 ( x−7 )2 (1 )
v=(x2−x )
v'=2 x2−1−1
v '=2 x−1
1. y=( x+3 ) ( x−8 )
y '=( x+3 ) (1 ) ( x−8 ) (1 )
y '=( x+3 ) ( x−8 )
y '=x+3+x−8
y '=2 x−5
y '=( x−7 )3 (2 x−1 )+(x2−x ) [3 (x−7 )2 ]
y '=(2 x−1 ) (x−7 )3+3 (x2−x ) (x−7 )2
3. y= (x−1 )2 ( x+5 ) (8−x )10
U V
u=( x−2 )2 ( x+5 )
u=( x+5 )2 v=¿
u'=2 ( x−2 )2−1 (1 ) v'=1
u'=2 ( x−1 )
'=( x−1 )2 (1 )+ ( x+5 ) [2 (x−1 ) ]
'=( x−1 )2+2 (x−1 ) ( x+5 )
'=( x−1 ) [ (x−1 )+ ( x+5 ) ]
y '=(x−1 [3 x+9 ] )(8−x )10
10 (8−x )10−1 (−1 )
v'=−10 (8−x )9
y '=( x−1 )2 ( x+5 ) [10 (8−x )9 ]+(8−x )10 ( x−1 ) (3 x+9 )
Derivada de un cociente de funciones
Formula:
y=uv y '= v u'−uv '
v2
3. y= (x−1 )2 ( x+5 ) (8−x )10
'=( x−1 )2 (1 )+ ( x+5 ) [2 (x−1 ) ]
'=( x−1 )2+2 (x−1 ) ( x+5 )
'=( x−1 ) [ (x−1 )+ ( x+5 ) ]
y '=(x−1 [3 x+9 ] )(8−x )10
10 (8−x )10−1 (−1 )
v'=−10 (8−x )9
y '=( x−1 )2 ( x+5 ) [10 (8−x )9 ]+(8−x )10 ( x−1 ) (3 x+9 )
y '= (x−1 )2 (−10 x−50 ) (8−x )9+ (8−x )10 (3 x2+6 x−9 )
1.x+1x−1
=uv 2. y= 3 x2
2 x−11=uv
u=x+1
u '=1+0
v=x−1
v=1−0
u=3x2
u'=3 [2 x2−1 ]
u '=6 x
v=2 x−11
v'=2−0
v '=2
Derivar función seno
1.x+1x−1
=uv 2. y= 3 x2
2 x−11=uv
y '=( x−1 ) (1 )−( x−1 ) (1 )
( x−1 )2
y '= ( x−1 )−( x+1 )( x−1 )2
y '= x−1−x−1( x−1 )2
y '= −2( x−1 )2
y '=(2x−11 ) (6x )−(3 x2 ) (2 )
(2x−11)2
y '=(12x2−66 x )−6 x
(2x−11 )2
y '=12x2−66−6 x2
(2x−11 )2
y '=6 x2−66 x
(2x−11 )2
Formula:
y=senu y '= [cosu ] [u ' ] u=g (x )
u '=dg (x )dx
Ejemplo 1:
y=senx
u=x
u '=1y '=[cosx ] (1 )
y '=cos x
Ejemplo 2: 4 sen (5 x2−7 )
Derivar la función: u=(5 x2−7 )
u'=5 (2 x2−1)
u '=10x
Derivar función coseno
Formula:
y=cosuy '= [−senu ]u
1. y=cos13 x
u=13x
u'=13
y '=[−sen13x ] (13 )
y '=−13 sen13 x
2. cos x2 y '=[sen x
2 ]12
Ejemplo 1:
y=senx
u=x
u '=1
y '=4 [cos (5 x2−7 ) (10 x ) ]
y '=40x [cos (5 x2−7 ) ]
y '=40 xcos5 x2−7
Derivar función tangente
Derivada de función tangente
y '=−12
sen( x2 )2
y '=−12
y '=−sen( x2 )
2
u= x2=12−x
u '=12
y=tan u y '=[ sen2u ] u
1. y=tan(18 x−35 )u=18x−3
5
u'=18
y '=18 se c2(18 x−35 )
Derivada de función cotangente
2. y=tan (8x2−x )
u=8 x2−x
u'=8 [2 x ]−1=16 x−1
y '=[ sen2 (8 x2−x ) ] (16 x−1 )
y '=(16 x−1 ) se n2 (8 x2−x)
Formula: y=co+u y '= [−csc2 ]u '
Ejemplo 1:
y=co+ (5 x−1 )
u=(5x−1 )
u=5 x−1
u '=5−0
u'=5
y '=−csc2 (5 x−1 ) (5 )
y '=−5csc2 (5 x−1 )
Derivar función secante
Ejemplo 1:
y=co+ (5 x−1 )
u=(5x−1 )
u=5 x−1
u '=5−0
u'=5
y=sec u y '=[sec u ] [ tan u ]u '
1. y=sec x2
Se deriva la
Función:
u=x2
u '=2x
y '=[ sec x2 ] [ tan x2 ] (2x )
y '=2x [ tan x2 ] [sec x2 ]
Derivar función cosecante
u= x5
4
u=14. x5
u'=14
[5 x4 ]
u '=54x 4
y '=−3 [(sec x54 )( tan x54 )]5x4
y '=−154
x4( tan x54 )(sec x54 )
y=−3 sec( x54 )
y=cscu→ y '=−cscu .cot u .u '
y=csc (4 x+3 )2
y '=−csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2 .2 (4 x+3 )2−1 . (4 x+3 )2
y '=−cos (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2 .2 (4 x+3 ) .4
y '=−8 (4 x+3 ) csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2
y '=−[32−24 ]csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2
Derivada de función inversa arcoseno
y=arcsen→ y '= 1√1−g2
y=arcsen√x2−4
y '= 1
√1−√ x2−4* 2xx√ x2−4
y '=
x
√1−(x2−4 )∗1
√ x−4
y '=
x
√1−x2−4∗√x2−4∗x
√5x2 .√x2−4
y '= x
√ (5 x2) (x2−4 )
DERIVADA FUNCION EXPONENCIAL
FORMULA y=eu→y1 = eu.u1
EJERCICIO 1°
y=e(5 x−34)→y1=e
(5x−34 ) .5
y1=5e5x− 34
La derivada de esta función
Es poner la función igual.
y=arcsen√x2−4
y '= 1
√1−√ x2−4* 2xx√ x2−4
y '=
x
√1−(x2−4 )∗1
√ x−4
y '=
x
√1−x2−4∗√x2−4∗x
√5x2 .√x2−4
y '= x
√ (5 x2) (x2−4 )
u=5x−34 Exponente
u1=5 Derivada
EJERCICIO 2°
y=e¿ ¿-x2-x¿
u=57x6−x2−x
u1= 57 [ 61 x5]− [2 x ]−1
u1=307
x5−2x−1
y1=e(57 x6−x 2−2x−1).( 307 x5−2x−1)
¿¿
( 307 x5−2 x−1)e( 57 x6−x2−x)
EJERCICIO 3° u=senx
u1=cosx
y=−34
e sen x
y1=−34
−[e sen x .cosx ]
y1=−34
. cosx e senx
y '= 88 x−11
y=ln ( x2−2x+710 )→y '= 2x−2
x2−2x+ 710
U=x2−2x+ 710
U '=2 x−2
y=−58ln (cos x )→ y '=−5
8¿
U=cos x y '=58tan x
U '=sen x
Derivada con regla de cadena 1Formula:
y= (g ( x ) )n
y '=n (g ( x ) )n−1 . g ( x )
f ( x )=(1+4 x−2 x2 )5
f ' ( x )=5 (1+4 x−2 x2)4 . d (1+4 x−2x2 )dx
f ' ( x )=5 (1+4−2 (2x ) )4
f ' ( x )=5 (4−4 x ) (1+4 x−2x2 )4
Derivar regla de cadena 2
f ( x )=(1+4 x−2 x2 )5
f ' ( x )=5 (1+4 x−2 x2)4 . d (1+4 x−2x2 )dx
f ' ( x )=5 (1+4−2 (2x ) )4
f ' ( x )=5 (4−4 x ) (1+4 x−2x2 )4
senu→ [cosu ]u '
ln u→ u 'u
uv→uv '+vu '
y=(sen2x )( ln x2 )u=sen2 x
u '=[cos2 x ] [2 ]
u '=2cos 2 x
v=ln x2
v '=2xx2
v '=2xxx
Derivadas sucesivas
y=(sen2x )( ln x2 )
v=ln x2
v '=2xx2
v '=2xxx
y '= (sen2 x )( 2x )+( ln x2 ) (2cos2x )
y '=2 sen2 x+2cos2x(ln x2 )
x
y=√x=x1 /2
y '=12∗x
12−
22
y '=12x−1 /2
Segunda derivada:
y ' '= 12 [−12 ∗x3 /2]
y ' '=12 [−12 x3 /2]
y ' '=−1 x−3/2
4
DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA
6 x2+6 x−2 y=14
Una función implícita es aquella qué no está despejado la variable dependiente, por lo general lo identificamos con la letra y.
FUNCIÓN EXPLICITA
Es donde si esta despejada la variable dependiente.
y=3 x2+8 x−5
Importante: Cuando se deriva una función implicita en función de x:
Segunda derivada:
y ' '= 12 [−12 ∗x3 /2]
y ' '=12 [−12 x3 /2]
y ' '=−1 x−3/2
4
x→ d (x)dx
=1
y→ (dy)dx
= y '
Pasos para derivar una función implícita:
1.- derivar con respecto a “x”
2.- despejar “x” (factorizar)
3.- despejar “y” y sustituirla en “y’”
Ejercicio 1
Encontrar la derivación de “y”
x2+ y2=9
Derivando
2 x+2 y . y'=0
Despejando y’= +2 x+2 y y '=0
+2 y . y '=−2x
y '=−2x2 y
=−xy
x2+ y2=9
y2=9−x2
y=+√9−x2
Diferencial de una función
y=7 x3
Derivar: 7 [3 x3−1 ]
y '=21x2
dydx
=2 x2
Resolución :d y=2 x2 . dx
dy=?
Regla L' hospital 1
(Indeterminación)
y=7 x3
Derivar: 7 [3 x3−1 ]
y '=21x2
dydx
=2 x2
Resolución :d y=2 x2 . dx
lim x→3 x2−9x−3
(3 )2−9(3 )−3
¿ 9−93−3
=00
Indeterminación
lim x→3 x2−9x−3
¿
d (x2−9 )dx
d ( x−3 )dx
=2x1
Regla L' hospital 2
lim x→3 x2−9x−3
(3 )2−9(3 )−3
¿ 9−93−3
=00
lim x→3 x2−9x−3
¿
d (x2−9 )dx
d ( x−3 )dx
=2x1
Entonces el límite será:
limx→3
(2x )=2 (3 )=+6
limx→3
√ x2−5x−3
Sustitución ¿ √(3 )2−5(3 )−3
−2=2−23−3
=00
Indeterminación
Ley de L' HOSPITAL:
limx→3
√ x2−5x−3
−2
f ( x )
Regla L' hospital 3
Sustitución ¿ √(3 )2−5(3 )−3
−2=2−23−3
=00
Ley de L' HOSPITAL:
limx→3
√ x2−5x−3
−2
g ( x )
limx→3
f ' ( x )
g' ( x )
g ' ( x )=x−3
¿1−0
limx→3
x√ x2−5
Sustitución: 3
32−5= 3
√9−5= 3
√4=32=1.5
f ( x )=√x2−5−2
¿ (x2−5 )1 /2−2
¿ 12
[ x2−5 ]12−1 (2 x )
¿ 12 [ 1
√x2−5 ] (2 x )
¿ 2x2√ x2−5
¿ x√x2−5
limx→0
x−sen x2x3
f ( x )
g ( x )
f ( x )=x sen x
f ' ( x )=1−[cos x ] (1 )
g ( x )=2 x3
'=6 x2
Derivadas de orden superior
DERIVADAS SUCESIVAS.
y=f ( x )
y '=1−cos x6 x2
=1−cos (0 )6 (0 )2
=00
Segunda derivada:
f ' ( x=cos x )
¿0−[−sen x ] (1 )
g' ( x )=6 x2
g' '=12 x
g ' '= sen x12 x
=00
Tercera derivada:
f ' ' '=sen x
¿cosx
g ' ' ' ( x )=12 x
g ' ' ' ( x )=12
Sustitución:y '= cos x12= 112
¿
1
2
4. ..n
dydx
= y '=df ( x )dx
=f ' ( x )
d2 ydx 2 = y ''=d2 f ( x )
dx2=f '' ( x )
d4 ydx 4 = y ''''=
d4 f ( x )dx4
=f '''' ( x )
dn ydxn
= y (n )=dn f ( x )dxn
= f (n ) ( x )
ejercicio1 .y=5 x3−4 x−9y '=5 (3 x2)−4y '=15 x2−4y ''=15 (2 x )=30 x
seg .derivday ''=30 xf ( x )=( x3+5 )4
f ' ( x )=4 (x3+5 )3 (3 x2)f ' ( x )=12x2 (x3+5 )3
f '' ( x )=(12 x2) [3 (x3+5 )2 (3 x2 ) ]+(x3+5 )3 (24 x )
f '' ( x )=108 x4 (x3+5 )2+24 x (x3+5 )3
factorizando :f '' ( x )=12 x (x3+5 )2 [9 x3+2 (x3+5 ) ]deri var:f ''' ( x )=12x (x3+5 )2 [9 (3 x2)+2 (3 x2) ]f ''' ( x )=12x (x3+5 )2 [33x2 ]+ (11 x3+10 )12 x (x3+5 )2
u .v→uv '+vu '12 x [2 (x3+5 ) (3 x2) ]+ (x3+5 )2+(12 )
72 x3 ( x3+5 )+12 (x3+5 )2
(x3+5 ) [72x3+12 (x3+5 ) ]f '' ( x )=12 x (x3+5 )2 [33 x2 ]+(11 x3+10 ) (x3+5 ) [72x3+12 (x3+5 ) ]
y '''senU→ [cosU ] U 'cosU→ [−senU ]U '
y(4 )
1xn
=x−n
b√ xa=xab
y=senxy '= [cos x ] (1 )y '=cos xy ''=[−senx ] (1 )=−senxy '''=−[cos x ] (1 )=−cos x
y=2x5
−3√x2
y=2(1x5 )−x23
y=2 (x−5 )−x23
1xn
=x−n
b√ xa=xab
y=2x−5−x23
deri var
y=2x−5−x23
y '=2 [−5 x−6 ]−23x−13
y '=−10 x−6−23x−13
y ''=−10 [−6 x−7 ]23
[¿−
13 x−
43 ]23
−33=−1
3
y ''=+60 x−7+29x
−43
y '''=60 [−7 x−8 ]+29 [−43 x−
73 ]
y (3 )=−420 x−8−827
x−73
y (4 )=−420 [−8x−9 ]−827 [−73 x−103 ]
y (4 )=+3360 x−9+5681 x
−103
y (4 )=33601 (1x9 )+5681 (1x103 )
y (4 )=3360x9
+5681 3√ x10
Monografías de las DERIVADAS
PROFESOR: Jesús Eduardo León Tarín
MATERIA: calculo diferencial
NOMBRE:Aimé Galván López
GRUPO: 1D
ESPECIALIDAD: ING. EN GESTION EMPRESARIAL
CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓNEs la pendiente de una recta tangente a una curva e un punto dado.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
f (x) lim∆ x→ 0
f ( x+∆ x )−f (x)∆ x
❑
La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como ellímite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
∆ y= y2− y1
∆ x=x 2−x 1
y= lim∆x→0
∆ y∆ x
DONDE:
Y= f(x) Variable dependiente.
X= Variable independiente.
En Geometría
m= y 2− y 1x 2−x1
En Física
v=d2−d1t 2−t 1
CONCEPTO GEOMETRICO DE LA DERIVADA
M= y 2− y 1x 2−x1
m=tanθ
m=y 2− y 1x 2−x1 →m=
f (x+∆x )−f (x )∆ x
lim∆ x→ 0
f ( x+∆ x )−f (x )∆ x
❑
X2
Y1
P=x2,y2
(x1,y1)
θ
Al reducir el punto Q la recta va a cambiar de posición.