Videoconferencia unefa feb_2010_conocimientolibreemancipacionnecesaria
Trabajo Unefa
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7/26/2019 Trabajo Unefa
1/7
y
x1
1
-1
-1
1
Para integrales de lneahttps://www.youtube.com/watch?v=jsuHv9!yoo
P"#$%!&'( )! *!#"!&' )! +"!!,
!,-,')# )!% *!#"!&'
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea 0(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funcionescoordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a la regin Dacotada por C. Entonces
+==
CD C
QdyPdxdAy
P
x
QdrF
P"#$%!&'( "!(-!%*#(
!) Transformacin de una integral de lnea en una de rea. Evaluar +C
xydxdxx4 , donde Ces la curva triangular que une los puntos
(";"), (";!) y (!;"), orientada positivamente.
S#$%&'
$a gr*fica indica la regin encerrada por la curva C.+enemos
y
x
QxyyxQ
y
PxyxP
=
=
=
=
);(
0);( 4
or lo tanto
( )
( )6
11
1
1
0
3
61
21
0 21
1
0
1
0
1
0
1
0
2
214
==
==
==
=+
x
dxxdxyydydxdAy
P
x
Qxydxdxx
D
x x
C
tese que si -ubiramos -ec-o la integral de l/nea -abr/amos tenido que -acer 0 integrales con las correspondientes parametrizaciones.
1) Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. 2etermine el *rea de la regin limitada por la -ipocicloide que tiene la ecuacinvectorial
r(t) = cos0ti 3 sen0tj , " t 1
S#$%&'
2e la parametrizacin de la curva tenemos
x= cos0tx140= cos1ty= sen0ty140= sen1t
Sumando miembro a miembro tenemos
( )( )
( )( )
+
====+
1
1
2/33/21
1
1
1
2/33/23/23/2 1211
2/33/2
2/33/2dxxdydxAxyyx
x
x
x
y
1
1
y = 1 -x
https://www.youtube.com/watch?v=jsuHv92Eyoohttps://www.youtube.com/watch?v=jsuHv92Eyoo -
7/26/2019 Trabajo Unefa
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2
Este c*lculo, e5ecutado como integral de *rea, es muy complicado. El teorema de 6reen nos permite transformar esta integral en una de l/nea,usando como trayectoria la -ipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. 7eamos
El *rea de una regin D viene dada por =D
dAA 1 . or lo tanto, para aplicar 6reen deber/amos encontrar funciones P, Q /
1=
y
P
x
Q. %n par de funciones sencillas que cumplen esta condicin son P= ", Q=x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos
x= cos0tdx= 80 cos1t sent dty= sen0tdy= 0 sen1t cost dt
$uego
8
3
6
2sen
8
4sen2cos2sen
2
4cos1
)2cos2sen2(sen4
2sen
2
2cos13
4
2sencos3
sencos3cossen3cos
2
0
3
21
83
2
0
2
83
2
0
22
83
2
0
22
0
22
2
0
242
0
23
=
+=
+=
=+=
+==
===+=
=
tttdttt
t
dttttdttt
dtt
t
tdtttdtttQdyPdxdAy
P
x
QA
CD
2e esta manera contamos con una -erramienta m*s para obtener el *rea de la regin encerrada por una curva cerrada, que se suma almtodo en coordenadas polares visto en 9n*lisis '' y al c*lculo por integral de *rea que e5ecutamos cuando tenemos la e:presin cartesiana dela curva.
0)Alicacin del teorema de !reen a un ro"lema fsico so"re una regin con agu#eros. 2eterminar el momento de inercia de una arandela-omognea de radio interno a,radio e:terno "y masa $,respecto a uno de sus di*metros.
S#$%&'
2eterminaremos el momento de inercia respecto al di*metro colineal con el e5e x. 2e/sica sabemos que
=D
x dAyI 2
2onde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es-omognea.
Esta regin no es simplemente cone:a pero, como se vio en la teor/a, se puedee:tender el teorema de 6reen a este tipo de regiones con agu5eros, siendo
++= D C CQdyPdxQdyPdxdA
yP
xQ
1 2
or lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. ara ello debemos encontrar funciones P, Qtalesque
3
312 ;0:ejemplopor, tomamos; yPQy
y
P
x
Q===
9plicando 6reen con esta funcin tenemos
+=
++==
2121
3
313
313
313
312 00
CCCCD
x dxydxydydxydydxydAyI (!)
arametrizando estas curvas tenemos
y
xa b
C2
C1
-
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3
==
==
==
==
20,cossen
sencos
20,cossen
sencos
2
1
ttadytay
tadxtaxC
ttbdytby
tbdxtbxC
8? el f/sico lo tengo yo o@AAAAA
-ttps44BBB.youtube.com4Batc-Cv=p0!ing++D@
P"#$%!&'( )!*!#"!&' )! (*#1!(
!,-,')# )!% *!#"!&' )! (*#1!(
Sea %una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva Csuave a trozos, cerrada y simple, cuya orientacin es positiva. Sea 0un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta en "0que contiene a %. Entonces
== SSC dSFdSFdrF rot
roblema !-ttps44BBB.youtube.com4Batc-Cv='&E-vvvnF%
roblema 1
&erificacin del Teorema de %to'es. 7erificar el teorema de Sto@es para elcampo vectorial 0(x;y;() = 0yi 3 >(j 8 Gx2y la parte de la superficieparaboloidal(= D 8 x1 8 y1ubicada sobre el planoxyy orientada -aciaarriba.
S#$%&'
Clculo como integral de lnea) $a curva C es en este caso unacircunferencia de radio 0 centrada en el origen sobre el plano xy.odemos parametrizarla como
3 y
z
xC
S
3
9
https://www.youtube.com/watch?v=p31ingNTT9khttps://www.youtube.com/watch?v=IKCEhvvvnQUhttps://www.youtube.com/watch?v=p31ingNTT9khttps://www.youtube.com/watch?v=IKCEhvvvnQU -
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4
20,
0
sen3
cos3
===
z
y
x
&on esta parametrizacin tenemos
0() = Dseni 3 "j!Hcos2
rI() = 0seni3 0cosj3 "2
rI() = 1Jsen1
272
2sen
2
2cos127sen27)()(
2
0
227
2
0
2
0
22
0
=
=
=
=== dddC rFdrF
Clculo como integral de suerficie rimero evaluamos el rotacional.
kji
kji
Frot 364
643
+=
=
xzyzyx
9-ora parametrizamos la superficie del paraboloide. ara eso observamos que su proyeccin sobre el plano xyes un c/rculo de radio 0 concentro en el origen. arece lgico usar una parametrizacin basada en coordenadas cil/ndricas
2030,
9
sen
cos
);(2
==
=r
rz
ry
rx
rr
El producto vectorial fundamental ser*
kji
kji
rr sen2cos2
0cossen
2sencos 22 rrr
rr
rr ++=
=
7emos que la componente(de este vector es positiva. or lo tanto la parametrizacin describe a una superficie con orientacin positiva.
%sando entonces esta parametrizacin, tenemos
272
3
)3sen12cos8()(rotrot
2
0
3
0
2
2
0
3
0
22
=
=+==
r
drdrrrdrdD
r
S
rrFdSF
$legamos al mismo valor que cuando lo -icimos como integral de l/nea, verificando de esa manera el teorema de Sto@es.
-
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0) Transformacin de una integral de suerficie en otra ms sencilla usando el Teorema de %to'es. %tilice el teorema de Sto@es para evaluar laintegral del rotacional del campo vectorial 0(x;y;() =xy(i3xyj3x1y(2sobre el dominio %consistente en la unin de la parte superior y de lascuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vrtices (!; !; !), orientado -acia afuera.
S#$%&'
$a geometr/a descrita en el enunciado est*
representada en la figura. Se requiere calcular el flu5ode rot 0a travs de todas las caras del cubo menosla de aba5o. #bservemos que esa regin deintegracin est* limitada por la curva orientadaindicada en la figura; llammosla C. ($a orientacindada se corresponde con normales con lacomponente ( mayor o igual que ", que es lonecesario para que las normales apunten -acia ele:terior del cubo.) El teorema de Sto@es nos aseguraque
=CS
drFdSF)( ,
lo cual en s/ no implica una simplificacin demasiadosignificativa, dado que en lugar de tener queparametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flu5o deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral del/nea.
Sin embargo, notemos que la curva Ctambin delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos %*. uesto que el teorema deSto@es nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flu5o de su rotacional sobre cual+uier superficielimitada por ella, tenemos que
dSFdrFdSF == )()(SCS
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. arametrizando esta Kltima tenemos, pues
*(x;y) = (x(x;y);y(x;y);((x;y)) = (x;y;8!), 8! x !, 8! y! (!)
y su producto vectorial fundamental es
k
kji
TTN ===010
001yx
otemos que esta normal apunta -acia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derec-a.
or otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por
kjikji
kji
F )()()()2(22
2
(1)param!laporreemp!
xyxyxxzyxyzxyzx
yzxxyxyz
zyx++=++=
=
or lo tanto la integral que buscamos ser*
==+==1
1
1
1
2
0)())(( dxdyxydSxyxyxdSSSS
kkjiNFdSF
En este problema vemos que el teorema de Sto@es permite no slo transformar una integral de superficie en una de l/nea, sino tambinconvertirla en otra integral de superficie de c*lculo m*s sencillo. $a seleccin de una u otra de estas opciones depender* del problemaparticular.
z
1 "y
x
1
1
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roblema >0)Alicacin al conceto de circulacin de un camo. &alcular la circulacin del campo de velocidades de un fluido 0(x;y;() = (tan8!(x1); 0x; e0(
tan() a lo largo de la interseccin de la esferax13y13(1= > con el cilindrox13y1=!, con(L ".
(#%-3,
$a circulacin de un campo es su integral a lo largo de una l/nea cerrada.
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0)Alicacin al conceto de circulacin de un camo.&alcular la circulacin del campo de velocidades de un fluido 0(x;y;() = (tan8!(x1); 0x; e0(tan() a lo largo de la interseccin de la esferax13y13(1= > con el cilindrox13y1=!, con(L ".
S#$%&'
$a circulacin de un campo es su integral a lo largo de una l/nea cerrada.